Topik pelajaran: "Persamaan trigonometri homogen"
(darjah 10)
Sasaran: memperkenalkan konsep homogen persamaan trigonometri I dan II darjah; merumus dan membuat algoritma untuk menyelesaikan persamaan trigonometri homogen darjah I dan II; mengajar pelajar menyelesaikan persamaan trigonometri homogen darjah I dan II; membangunkan keupayaan untuk mengenal pasti corak dan membuat generalisasi; merangsang minat dalam subjek, mengembangkan rasa solidariti dan persaingan yang sihat.
Jenis pelajaran: pengajaran dalam pembentukan pengetahuan baru.
Borang: bekerja dalam kumpulan.
peralatan: komputer, pemasangan multimedia
Kemajuan pelajaran
Detik organisasi
Memberi salam kepada pelajar, menggembleng perhatian.
Dalam kelas sistem penilaian penilaian pengetahuan (guru menerangkan sistem penilaian pengetahuan, mengisi lembaran penilaian oleh pakar bebas yang dipilih oleh guru daripada kalangan pelajar). Pelajaran disertai dengan pembentangan. .
Mengemas kini pengetahuan asas.
Kerja rumah disemak dan digredkan oleh pakar bebas dan perunding sebelum kelas dan disiapkan lembaran markah.
Guru merumuskan kerja rumah.
cikgu: Kami terus mengkaji topik "Persamaan Trigonometri". Hari ini dalam pelajaran kami akan memperkenalkan anda kepada satu lagi jenis persamaan trigonometri dan kaedah untuk menyelesaikannya, dan oleh itu kami akan mengulangi apa yang telah kami pelajari. Apabila menyelesaikan semua jenis persamaan trigonometri, ia dikurangkan kepada menyelesaikan persamaan trigonometri yang paling mudah.
Kerja rumah individu yang dibuat dalam kumpulan disemak. Pertahanan pembentangan "Penyelesaian persamaan trigonometri termudah"
(Kerja kumpulan dinilai oleh pakar bebas)
Motivasi untuk belajar.
cikgu: Kami ada kerja untuk menyelesaikan teka silang kata. Setelah menyelesaikannya, kita akan mengetahui nama jenis persamaan baharu yang akan kita pelajari untuk selesaikan hari ini di dalam kelas.
Soalan ditayangkan ke papan tulis. Pelajar meneka, dan pakar bebas memasukkan markah pelajar yang menjawab pada lembaran skor.
Setelah menyelesaikan teka silang kata, kanak-kanak akan membaca perkataan "homogen".
Asimilasi pengetahuan baru.
cikgu: Topik pelajaran ialah "Persamaan trigonometri homogen."
Mari tuliskan tajuk pelajaran dalam buku nota. Persamaan trigonometri homogen adalah darjah pertama dan kedua.
Mari kita tulis definisi persamaan homogen ijazah pertama. Saya menunjukkan contoh menyelesaikan persamaan jenis ini; anda mencipta algoritma untuk menyelesaikan persamaan trigonometri homogen darjah pertama.
Persamaan bentuk A sinx + b cosx = 0 dipanggil persamaan trigonometri homogen darjah pertama.
Mari kita pertimbangkan penyelesaian kepada persamaan apabila pekali A Dan V berbeza daripada 0.
Contoh: sinx + cosx = 0
R 
membahagikan kedua-dua belah sebutan persamaan dengan cosx, kita dapat
Perhatian! Anda boleh membahagi dengan 0 hanya jika ungkapan ini tidak bertukar kepada 0 di mana-mana sahaja. Jika kosinus adalah sama dengan 0, maka sinus juga akan sama dengan 0, memandangkan pekali adalah berbeza daripada 0, tetapi kita tahu bahawa sinus dan kosinus pergi ke sifar dalam pelbagai mata. Oleh itu, operasi ini boleh dilakukan apabila menyelesaikan persamaan jenis ini.
Algoritma untuk menyelesaikan persamaan trigonometri homogen darjah pertama: membahagi kedua-dua belah persamaan dengan cosx, cosx 0
Persamaan bentuk A dosa mx +b cos mx = 0 juga dipanggil persamaan trigonometri homogen darjah pertama dan juga menyelesaikan pembahagian kedua-dua belah persamaan dengan kosinus mx.
Persamaan bentuk a dosa 2 x+b sinx cosx +c cos2x = 0 dipanggil persamaan trigonometri homogen darjah kedua.
Contoh : dosa 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0
Pekali a adalah berbeza daripada 0 dan oleh itu, seperti persamaan sebelumnya, cosx tidak sama dengan 0, dan oleh itu anda boleh menggunakan kaedah membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan cos 2 x.
Kami mendapat tg 2 x + 2tgx – 3 = 0
Kita selesaikan dengan memperkenalkan pembolehubah baru mari tgx = a, maka kita mendapat persamaan
a 2 + 2a – 3 = 0
D = 4 – 4 (–3) = 16
a 1 = 1 a 2 = –3
Kembali kepada pengganti
Jawapan:
Jika pekali a = 0, maka persamaan akan mengambil bentuk 2sinx cosx – 3cos2x = 0, kita menyelesaikannya menggunakan kaedah tolak pengganda biasa cosx keluar dari kurungan. Jika pekali c = 0, maka persamaan mengambil bentuk sin2x +2sinx cosx = 0, kita menyelesaikannya dengan mengambil faktor sepunya sinx daripada kurungan. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan trigonometri homogen darjah pertama:
Lihat jika persamaan mengandungi sebutan asin2 x.
Jika istilah asin2 x terkandung dalam persamaan (iaitu a 0), maka persamaan itu diselesaikan dengan membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan cos2x dan kemudian memperkenalkan pembolehubah baru.
Jika istilah asin2 x tidak terkandung dalam persamaan (iaitu a = 0), maka persamaan itu diselesaikan dengan pemfaktoran: cosx dikeluarkan daripada kurungan. Persamaan homogen bentuk a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 diselesaikan dengan cara yang sama
Algoritma untuk menyelesaikan persamaan trigonometri homogen ditulis dalam buku teks pada halaman 102.
Minit pendidikan jasmani
Pembentukan kemahiran untuk menyelesaikan persamaan trigonometri homogen
Membuka buku masalah muka surat 53
Kumpulan pertama dan kedua memutuskan No. 361-v
Kumpulan ke-3 dan ke-4 memutuskan No. 363-v
Tunjukkan penyelesaian di papan tulis, terangkan, lengkapkan. Pakar bebas menilai.
Menyelesaikan contoh daripada buku masalah No. 361-v
sinx – 3cosx = 0
kita bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan cosx 0, kita dapat 
No. 363-v
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan cos2x, kita dapat tg2x + tanx – 2 = 0
selesaikan dengan memperkenalkan pembolehubah baharu
biarkan tgx = a, maka kita mendapat persamaan
a2 + a – 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
kembali kepada pengganti
Kerja bebas.
Selesaikan persamaan.
2 cosx – 2 = 0
2cos2x – 3cosx +1 = 0
3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0
Setelah selesai kerja bebas tukar kerja dan semak bersama. Jawapan yang betul ditayangkan di papan tulis.
Kemudian mereka menyerahkannya kepada pakar bebas.
Lakukan sendiri penyelesaiannya
Merumuskan pelajaran.
Apakah jenis persamaan trigonometri yang kita pelajari di dalam kelas?
Algoritma untuk menyelesaikan persamaan trigonometri darjah pertama dan kedua.
Kerja rumah: § 20.3 membaca. No. 361(d), 363(b), peningkatan kesukaran tambahan No. 380(a).
Silang kata.
Jika anda masuk perkataan yang benar, maka anda mendapat nama salah satu jenis persamaan trigonometri.
Nilai pembolehubah yang menukar persamaan menjadi persamaan sebenar? (Akar)
Unit ukuran untuk sudut? (Radian)
Faktor berangka dalam produk? (Pekali)
Cabang pengajian matematik fungsi trigonometri? (Trigonometri)
yang mana model matematik diperlukan untuk memperkenalkan fungsi trigonometri? (Bulatan)
Fungsi trigonometri yang manakah genap? (Kosinus)
Apakah yang dipanggil persamaan sebenar? (Identiti)
Kesamaan dengan pembolehubah? (Persamaan)
Persamaan yang mempunyai akar yang sama? (setara)
Set punca-punca persamaan ? (Penyelesaian)
Lembaran markah
№
n\n
Nama keluarga, nama pertama guru
Persembahan
Aktiviti kognitif
belajar
Menyelesaikan persamaan
Berdikari
Kerja
Kerja rumah – 12 mata (3 persamaan 4 x 3 = 12 telah diberikan untuk kerja rumah)
Pembentangan - 1 mata
Aktiviti pelajar – 1 jawapan – 1 mata (maksimum 4 mata)
Menyelesaikan persamaan 1 mata
Kerja bebas - 4 mata
Penilaian kumpulan:
“5” – 22 mata atau lebih
“4” – 18 – 21 mata
“3” – 12 – 17 mata
Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.
Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi
Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.
Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.
Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:
- Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda emel dll.
Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:
- Dikumpul oleh kami maklumat peribadi membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentang tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
- Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
- Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman seperti pengauditan, analisis data dan pelbagai kajian untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
- Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.
Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga
Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Jika perlu, mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, V perbicaraan, dan/atau berdasarkan permintaan awam atau permintaan daripada agensi kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
- Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.
Perlindungan maklumat peribadi
Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.
Menghormati privasi anda di peringkat syarikat
Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.
Butiran terakhir, cara menyelesaikan tugasan C1 dari Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik - menyelesaikan persamaan trigonometri homogen. Kami akan memberitahu anda cara menyelesaikannya dalam pelajaran akhir ini.
Apakah persamaan ini? Mari kita tulis mereka pandangan umum.
$$a\sin x + b\cos x = 0,$$
di mana `a` dan `b` ialah beberapa pemalar. Persamaan ini dipanggil persamaan trigonometri homogen darjah pertama.
Persamaan trigonometri homogen darjah pertama
Untuk menyelesaikan persamaan sedemikian, anda perlu membahagikannya dengan `\cos x`. Kemudian ia akan mengambil borang
$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))) a \tg x + b = 0.$$
Jawapan kepada persamaan sedemikian mudah ditulis menggunakan arctangent.
Ambil perhatian bahawa `\cos x ≠0`. Untuk mengesahkan ini, kami menggantikan sifar dan bukannya kosinus ke dalam persamaan dan mendapati bahawa sinus juga harus sama dengan sifar. Walau bagaimanapun, mereka tidak boleh sama dengan sifar pada masa yang sama, yang bermaksud bahawa kosinus bukan sifar.
Beberapa soalan mengenai peperiksaan sebenar tahun ini melibatkan persamaan trigonometri homogen. Ikuti pautan ke. Kami akan mengambil versi masalah yang sedikit dipermudahkan.
Contoh pertama. Penyelesaian persamaan trigonometri homogen darjah pertama
$$\sin x + \cos x = 0.$$
Bahagikan dengan `\cos x`.
$$\tg x + 1 = 0,$$
$$x = -\frac(\pi)(4)+\pi k.$$
Saya ulangi, tugas yang sama adalah pada Peperiksaan Negeri Bersatu :) sudah tentu, anda masih perlu memilih akar, tetapi ini juga tidak boleh menyebabkan sebarang kesulitan khusus.
Sekarang mari kita beralih kepada jenis seterusnya persamaan.
Persamaan trigonometri homogen darjah kedua
Secara umum ia kelihatan seperti ini:
$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$
di mana `a, b, c` ialah beberapa pemalar.
Persamaan sedemikian diselesaikan dengan membahagikan dengan `\cos^2 x` (yang sekali lagi bukan sifar). Mari lihat contoh segera.
Contoh kedua. Penyelesaian persamaan trigonometri homogen darjah kedua
$$\sin^2 x - 2\sin x \, \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$
Bahagi dengan `\cos^2 x`.
$$(\tg)^2 x - 2\tg x -3 =0.$$
Mari kita gantikan `t = \tg x`.
$$t^2 - 2t -3 = 0,$$
$$t_1 = 3,\t_2 = -1.$$
Penggantian terbalik
$$\tg x = 3, \teks( atau ) \tg x = -1,$$
$$x = \arctan(3)+\pi k, \text( atau ) x= -\frac(\pi)(4)+ \pi k.$$
Jawapan telah diterima.
Contoh ketiga. Penyelesaian persamaan trigonometri homogen darjah kedua
$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$
Semuanya akan baik-baik saja, tetapi persamaan ini tidak homogen - `-2` di sebelah kanan mengganggu kita. Apa yang perlu dilakukan? Mari kita gunakan identiti trigonometri asas dan tulis `-2` menggunakannya.
$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x ),$$
$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0,$$
$$\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$
Bahagi dengan `\cos^2 x`.
$$(\tg)^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3) \tg x - 1 = 0,$$
Penggantian `t= \tg x`.
$$t^2 + \frac(2\sqrt(2))(3) t - 1 = 0,$$
$$t_1 = \frac(\sqrt(3))(3),\ t_2 = -\sqrt(3).$$
Selepas melakukan penggantian terbalik, kami mendapat:
$$\tg x = \frac(\sqrt(3))(3) \text( atau ) \tg x = -\sqrt(3).$$
$$x =-\frac(\pi)(3) + \pi k,\ x = \frac(\pi)(6)+ \pi k.$$
ini contoh terakhir dalam pelajaran ini.
Seperti biasa, izinkan saya mengingatkan anda: latihan adalah segala-galanya kepada kami. Tidak kira betapa cemerlang seseorang itu, kemahiran tidak akan berkembang tanpa latihan. Semasa peperiksaan, ini penuh dengan kebimbangan, kesilapan, dan kehilangan masa (teruskan senarai ini sendiri). Pastikan untuk belajar!
Tugas latihan
Selesaikan persamaan:
- `10^(\sin x) = 2^(\sin x) \cdot 5^(-\cos x)`. Tugasan ini adalah daripada Peperiksaan Negeri Bersepadu sebenar 2013. Tiada siapa yang membatalkan ilmu sifat-sifat darjat, tetapi jika terlupa, lihatlah;
- `\sqrt(3) \sin x + \sin^2 \frac(x)(2) = \cos^2 \frac(x)(2)`. Formula dari pelajaran tujuh akan berguna.
- `\sqrt(3) \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`.
Itu sahaja. Dan seperti biasa, akhirnya: tanya soalan dalam ulasan, seperti, tonton video, pelajari cara menyelesaikan Peperiksaan Negeri Bersepadu.
Persamaan tak linear dengan dua tidak diketahui
Definisi 1. Biarkan A sedikit set pasangan nombor (x; y). Mereka mengatakan bahawa set A diberikan fungsi angka z daripada dua pembolehubah
x dan y , jika peraturan ditentukan dengan bantuan setiap pasangan nombor dari set A dikaitkan dengan nombor tertentu. Bersenam fungsi berangka z daripada dua pembolehubah x dan y selalunya menandakan
Jadi: di mana (x , y) f
di mana (x , y) = – sebarang fungsi selain daripada fungsi ,
ax+oleh+c di mana a, b, c –.
nombor yang diberi Definisi 3. Menyelesaikan persamaan (2) x; y panggil sepasang nombor (
), yang mana formula (2) ialah kesamaan sebenar.
Contoh 1. Selesaikan persamaan
Oleh kerana kuasa dua mana-mana nombor adalah bukan negatif, ia mengikuti daripada formula (4) bahawa x dan y yang tidak diketahui memenuhi sistem persamaan.
penyelesaiannya ialah pasangan nombor (6; 3).
Jawapan: (6; 3)
Contoh 2. Selesaikan persamaan Oleh itu, penyelesaian kepada persamaan (6) ialah set tak terhingga pasangan nombor
(1 + y ; y) ,
baik hati
di mana y ialah sebarang nombor.
linear Definisi 4.
Menyelesaikan sistem persamaan x; y) , apabila menggantikannya ke dalam setiap persamaan sistem ini, kesamaan yang betul diperolehi.
Sistem dua persamaan, satu daripadanya adalah linear, mempunyai bentuk
g(x , y)
Contoh 4. Menyelesaikan sistem persamaan
Penyelesaian . Mari kita ungkapkan y yang tidak diketahui daripada persamaan pertama sistem (7) melalui x yang tidak diketahui dan gantikan ungkapan yang terhasil ke dalam persamaan kedua sistem:
Menyelesaikan persamaan
x 1 = - 1 , x 2 = 9 .
Oleh itu,
y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .
Sistem dua persamaan, satu daripadanya adalah homogen
Sistem dua persamaan, satu daripadanya adalah homogen, mempunyai bentuk
di mana a, b, c diberi nombor, dan g(x , y) – fungsi dua pembolehubah x dan y.
Contoh 6. Menyelesaikan sistem persamaan
Penyelesaian . Mari kita selesaikan persamaan homogen
3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,
3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,
menganggapnya sebagai persamaan kuadratik berkenaan dengan x yang tidak diketahui:
.
Dalam kes x = - 5y, daripada persamaan kedua sistem (11) kita memperoleh persamaan
5y 2 = - 20 ,
yang tidak mempunyai akar.
Dalam kes
daripada persamaan kedua sistem (11) kita memperoleh persamaan
,
yang puncanya ialah nombor y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Mencari bagi setiap nilai ini y nilai x yang sepadan, kami memperoleh dua penyelesaian kepada sistem: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .
Jawapan: (- 2 ; 3), (2 ; - 3)
Contoh penyelesaian sistem persamaan jenis lain
Contoh 8. Selesaikan sistem persamaan (MIPT)
Penyelesaian . Marilah kita memperkenalkan u dan v yang tidak diketahui baru, yang dinyatakan melalui x dan y mengikut formula:
Untuk menulis semula sistem (12) dari segi yang tidak diketahui baru, kami mula-mula menyatakan x dan y yang tidak diketahui dalam sebutan u dan v. Daripada sistem (13) ia mengikutinya
Mari kita selesaikan sistem linear (14) dengan menghapuskan pembolehubah x daripada persamaan kedua sistem ini.
- Untuk tujuan ini, kami melakukan transformasi berikut pada sistem (14):
- Kami akan membiarkan persamaan pertama sistem tidak berubah;
daripada persamaan kedua kita tolak persamaan pertama dan gantikan persamaan kedua sistem dengan perbezaan yang terhasil.
Akibatnya, sistem (14) diubah menjadi sistem yang setara
dari mana kita dapati
Menggunakan formula (13) dan (15), kami menulis semula sistem asal (12) dalam bentuk
Persamaan pertama sistem (16) adalah linear, jadi kita boleh menyatakan daripadanya u yang tidak diketahui melalui v yang tidak diketahui dan menggantikan ungkapan ini ke dalam persamaan kedua sistem.
- Hari ini kita akan mengkaji persamaan trigonometri homogen. Pertama, mari kita lihat terminologi: apakah persamaan trigonometri homogen. Ia mempunyai ciri-ciri berikut:
- ia mesti mengandungi beberapa istilah;
- semua istilah mesti mempunyai darjah yang sama;
semua fungsi yang termasuk dalam identiti trigonometri homogen semestinya mempunyai hujah yang sama.
Algoritma penyelesaian
Dan jika semuanya jelas dengan titik pertama, maka patut dibincangkan tentang yang kedua dengan lebih terperinci. Apakah maksudnya ijazah yang sama syarat? Mari kita lihat masalah pertama:
3cosx+5sinx=0
3\cos x+5\sin x=0
Sebutan pertama dalam persamaan ini ialah 3cosx 3\cos x. Sila ambil perhatian bahawa hanya terdapat satu fungsi trigonometri di sini - cosx\cos x - dan tiada fungsi trigonometri lain hadir di sini, jadi darjah istilah ini ialah 1. Begitu juga dengan yang kedua - 5sinx 5\sin x - hanya sinus hadir di sini, iaitu darjah istilah ini juga sama dengan satu. Jadi, kita mempunyai identiti yang terdiri daripada dua elemen, setiap satunya mengandungi fungsi trigonometri, dan hanya satu. Ini adalah persamaan darjah pertama.
Mari kita beralih kepada ungkapan kedua:
4dosa2 x+sin2x−3=0
4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0
Ahli pertama pembinaan ini ialah 4dosa2 x 4((\sin )^(2))x.
Sekarang kita boleh menulis penyelesaian berikut:
dosa2 x=sinx⋅sinx
((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x
Dengan kata lain, sebutan pertama mengandungi dua fungsi trigonometri, iaitu darjahnya adalah dua. Mari kita berurusan dengan elemen kedua - dosa2x\dosa 2x. Mari kita ingat formula ini - formula sudut berganda:
sin2x=2sinx⋅cosx
\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x
Dan sekali lagi, dalam formula yang dihasilkan kita mempunyai dua fungsi trigonometri - sinus dan kosinus. Oleh itu, nilai kuasa istilah pembinaan ini juga sama dengan dua.
Mari kita beralih kepada elemen ketiga - 3. Dari kursus matematik sekolah menengah Kami ingat bahawa sebarang nombor boleh didarab dengan 1, jadi kami menulisnya:
˜ 3=3⋅1
Satu unit menggunakan utama identiti trigonometri boleh ditulis dalam bentuk berikut:
1=dosa2 x⋅ cos2 x
1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x
Oleh itu, kita boleh menulis semula 3 seperti berikut:
3=3(dosa2 x⋅ cos2 x)=3dosa2 x+3 cos2 x
3=3\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \right)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x
Oleh itu, istilah 3 kami dibahagikan kepada dua elemen, setiap satunya adalah homogen dan mempunyai darjah kedua. Sinus dalam sebutan pertama berlaku dua kali, kosinus dalam sebutan kedua juga berlaku dua kali. Oleh itu, 3 juga boleh diwakili sebagai istilah dengan eksponen kuasa dua.
Perkara yang sama dengan ungkapan ketiga:
dosa3 x+ dosa2 xcosx=2 cos3 x
Jom tengok. Penggal pertama ialah dosa3 x((\sin )^(3))x ialah fungsi trigonometri darjah ketiga. Elemen kedua - dosa2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.
dosa2 ((\sin )^(2)) ialah pautan dengan nilai kuasa dua didarab dengan cosx\cos x ialah sebutan pertama. Secara keseluruhan, istilah ketiga juga mempunyai nilai kuasa tiga. Akhirnya, di sebelah kanan terdapat pautan lain - 2cos3 x 2((\cos )^(3))x ialah unsur darjah ketiga. Oleh itu, kita ada di hadapan kita persamaan trigonometri homogen darjah ketiga.
Kami mempunyai tiga identiti yang ditulis darjah yang berbeza. Beri perhatian sekali lagi kepada ungkapan kedua. Dalam rekod asal, salah seorang ahli mempunyai hujah 2x 2x. Kami terpaksa menyingkirkan hujah ini dengan mengubahnya menggunakan formula sinus sudut berganda, kerana semua fungsi yang termasuk dalam identiti kami semestinya mempunyai hujah yang sama. Dan ini adalah keperluan untuk persamaan trigonometri homogen.
Kami menggunakan formula identiti trigonometri utama dan menulis penyelesaian akhir
Kami telah menyelesaikan terma, mari kita beralih kepada penyelesaian. Tanpa mengira eksponen kuasa, penyelesaian kesamaan jenis ini sentiasa dilakukan dalam dua langkah:
1) buktikan bahawa
cosx≠0
\cos x\ne 0. Untuk melakukan ini, cukup untuk mengingat semula formula identiti trigonometri utama (dosa2 x⋅ cos2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \right) dan gantikan ke dalam formula ini cosx=0\cos x=0. Kami akan mendapat ungkapan berikut:
dosa2 x=1sinx=±1
\begin(align)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end(align)
Menggantikan nilai yang diperolehi, iaitu bukannya cosx\cos x ialah sifar, dan sebaliknya sinx\sin x - 1 atau -1, ke dalam ungkapan asal, kita akan mendapat yang salah kesamaan berangka. Ini adalah justifikasi bahawa
cosx≠0
2) langkah kedua secara logik mengikuti dari yang pertama. Kerana
cosx≠0
\cos x\ne 0, kita bahagikan kedua-dua belah struktur kita dengan cosn x((\cos )^(n))x, di mana n n - itu sahaja eksponen kuasa persamaan trigonometri homogen. Apa yang diberikan ini kepada kita:
\[\begin(array)(·(35)(l))
sinxcosx=tgxcosxcosx=1
\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\end(align) \\() \\ \end(array)\]
Terima kasih kepada ini, pembinaan awal kami yang rumit dikurangkan kepada persamaan n n-darjah berkenaan dengan tangen, penyelesaiannya boleh ditulis dengan mudah menggunakan perubahan pembolehubah. Itulah keseluruhan algoritma. Mari lihat bagaimana ia berfungsi dalam amalan.
Kami menyelesaikan masalah sebenar
Tugasan No 1
3cosx+5sinx=0
3\cos x+5\sin x=0
Kami telah mengetahui bahawa ini adalah persamaan trigonometri homogen dengan eksponen kuasa sama dengan satu. Oleh itu, pertama sekali, mari kita ketahui itu cosx≠0\cos x\ne 0. Katakan sebaliknya, bahawa
cosx=0→sinx=±1
\cos x=0\hingga \sin x=\pm 1.
Kami menggantikan nilai yang terhasil ke dalam ungkapan kami, kami mendapat:
3⋅0+5⋅(±1) =0±5=0
\begin(align)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end(align)
Berdasarkan ini kita boleh mengatakan bahawa cosx≠0\cos x\ne 0. Bahagikan persamaan kita dengan cosx\cos x, kerana keseluruhan ungkapan kita mempunyai nilai kuasa, sama dengan satu. Kami mendapat:
3(cosxcosx) +5(sinxcosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5
\begin(align)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \right)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\end(align)
Ini bukan nilai jadual, jadi jawapannya akan disertakan arctgx arctgx:
x=arctg (−3 5 ) + π n,n∈Z
x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z
Kerana arctg arctg arctg ialah fungsi ganjil, kita boleh mengambil "tolak" daripada hujah dan meletakkannya di hadapan arctg. Kami mendapat jawapan akhir:
x=−arctg 3 5 + π n,n∈Z
x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z
Tugasan No. 2
4dosa2 x+sin2x−3=0
4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0
Seperti yang anda ingat, sebelum anda mula menyelesaikannya, anda perlu melakukan beberapa transformasi. Kami menjalankan transformasi:
4dosa2 x+2sinxcosx−3 (dosa2 x+ cos2 x)=0 4dosa2 x+2sinxcosx−3 dosa2 x−3 cos2 x=0dosa2 x+2sinxcosx−3 cos2 x=0
\begin(align)& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2 ))x \kanan)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\end (selaraskan)
Kami menerima struktur yang terdiri daripada tiga elemen. Dalam penggal pertama kita lihat dosa2 ((\sin )^(2)), iaitu nilai kuasanya ialah dua. Dalam penggal kedua kita lihat sinx\sin x dan cosx\cos x - sekali lagi terdapat dua fungsi, ia didarab, jadi jumlah darjah sekali lagi dua. Dalam pautan ketiga kita lihat cos2 x((\cos )^(2))x - serupa dengan nilai pertama.
Mari kita buktikan cosx=0\cos x=0 bukanlah penyelesaian kepada pembinaan ini. Untuk melakukan ini, mari kita anggap sebaliknya:
\[\begin(array)(·(35)(l))
\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\end(array)\]
Kami telah membuktikannya cosx=0\cos x=0 tidak boleh menjadi penyelesaian. Mari kita beralih ke langkah kedua - bahagikan keseluruhan ekspresi kita dengan cos2 x((\cos )^(2))x. Mengapa kuasa dua? Kerana eksponen kuasa persamaan homogen ini adalah sama dengan dua:
dosa2 xcos2 x+2sinxcosxcos2 x−3=0 t g2 x+2tgx−3=0
\begin(align)& \frac(((\sin )^(2))x)(((\cos )^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\end(align)
Adakah mungkin untuk membuat keputusan ungkapan ini menggunakan diskriminasi? Sudah tentu boleh. Tetapi saya bercadang untuk mengingat semula teorem yang bertentangan dengan teorem Vieta, dan kita mendapatnya diberi polinomial Mari kita mewakilinya dalam bentuk dua polinomial mudah, iaitu:
(tgx+3) (tgx−1) =0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + π k,k∈Z
\begin(align)& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ text( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(align)
Ramai pelajar bertanya sama ada patut menulis pekali berasingan untuk setiap kumpulan penyelesaian kepada identiti atau tidak mengganggu dan menulis pekali yang sama di mana-mana. Secara peribadi, saya fikir ia lebih baik dan lebih dipercayai untuk digunakan huruf yang berbeza supaya sekiranya anda serius universiti teknikal Dengan ujian tambahan dalam matematik, pemeriksa tidak mencari kesalahan jawapan.
Tugasan No. 3
dosa3 x+ dosa2 xcosx=2 cos3 x
((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x
Kita sudah tahu bahawa ini adalah persamaan trigonometri homogen darjah ketiga, tiada formula khas diperlukan, dan semua yang diperlukan daripada kita ialah memindahkan istilah 2cos3 x 2((\cos )^(3))x ke kiri. Mari kita tulis semula:
dosa3 x+ dosa2 xcosx−2 cos3 x=0
((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0
Kami melihat bahawa setiap elemen mengandungi tiga fungsi trigonometri, jadi persamaan ini mempunyai nilai kuasa tiga. Jom selesaikan. Pertama sekali, kita perlu membuktikannya cosx=0\cos x=0 bukan punca:
\[\begin(array)(·(35)(l))
\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end(array)\]
Mari kita gantikan nombor ini ke dalam pembinaan asal kami:
(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0
\begin(align)& ((\left(\pm 1 \right))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end(align)
Oleh itu, cosx=0\cos x=0 bukan penyelesaian. Kami telah membuktikannya cosx≠0\cos x\ne 0. Sekarang kita telah membuktikannya, mari bahagikan persamaan asal kita dengan cos3 x((\cos )^(3))x. Kenapa dalam kiub? Kerana kami baru saja membuktikan bahawa persamaan asal kami mempunyai kuasa ketiga:
dosa3 xcos3 x+dosa2 xcosxcos3 x−2=0 t g3 x+t g2 x−2=0
\begin(align)& \frac(((\sin )^(3))x)(((\cos )^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)(((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\end(align)
Mari perkenalkan pembolehubah baharu:
tgx=t
Mari kita tulis semula pembinaan:
t3 +t2 −2=0
((t)^(3))+((t)^(2))-2=0
Sebelum kita persamaan padu. Bagaimana untuk menyelesaikannya? Pada mulanya, apabila saya baru menyusun tutorial video ini, saya bercadang untuk bercakap terlebih dahulu tentang pemfaktoran polinomial dan teknik lain. Tetapi dalam dalam kes ini semuanya lebih mudah. Lihat, identiti kita diberikan, dengan istilah dengan setakat yang paling besar kos 1. Selain itu, semua pekali adalah integer. Ini bermakna kita boleh menggunakan akibat daripada teorem Bezout, yang menyatakan bahawa semua punca adalah pembahagi nombor -2, iaitu sebutan bebas.
Timbul persoalan: apakah -2 dibahagikan dengan? Oleh kerana 2 ialah nombor perdana, tidak banyak pilihan. boleh jadi nombor berikut: 1; 2; -1; -2. Akar negatif hilang serta merta. kenapa? Oleh kerana kedua-duanya lebih besar daripada 0 dalam nilai mutlak, oleh itu t3 ((t)^(3)) akan lebih besar dalam modulus daripada t2 ((t)^(2)). Dan kerana kubus ialah fungsi ganjil, oleh itu nombor dalam kubus akan menjadi negatif, dan t2 ((t)^(2)) - positif, dan keseluruhan pembinaan ini, dengan t=−1 t=-1 dan t=−2 t=-2, tidak akan lebih daripada 0. Tolak -2 daripadanya dan dapatkan nombor yang pastinya kurang daripada 0. Hanya tinggal 1 dan 2 Mari kita gantikan setiap nombor ini:
˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0
˜t=1\to \text( )1+1-2=0\to 0=0
Kami telah memperoleh kesamaan berangka yang betul. Oleh itu, t=1 t=1 ialah punca.
t=2→8+4−2=0→10≠0
t=2\hingga 8+4-2=0\hingga 10\ne 0
t=2 t=2 bukan punca.
Mengikut akibat dan teorem Bezout yang sama, sebarang polinomial yang puncanya x0 ((x)_(0)), mewakilinya dalam bentuk:
Q(x)=(x= x0 )P(x)
Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)
Dalam kes kita, dalam peranan x x bertindak sebagai pembolehubah t t, dan dalam peranan x0 ((x)_(0)) ialah punca bersamaan dengan 1. Kami dapat:
t3 +t2 −2=(t−1)⋅P(t)
((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)
Bagaimana untuk mencari polinomial P (t) P\kiri(t\kanan)? Jelas sekali, anda perlu melakukan perkara berikut:
P(t)= t3 +t2 −2 t−1
P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)
Mari kita gantikan:
t3 +t2 +0⋅t−2t−1=t2 +2t+2
\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2
Jadi, polinomial asal kami dibahagikan tanpa baki. Oleh itu, kita boleh menulis semula kesaksamaan asal kita sebagai:
(t−1)( t2 +2t+2)=0
(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0
Hasil darab adalah sifar apabila sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sifar. Kami telah mempertimbangkan pengganda pertama. Mari lihat yang kedua:
t2 +2t+2=0
((t)^(2))+2t+2=0
Pelajar yang berpengalaman mungkin telah menyedari bahawa pembinaan ini tidak mempunyai akar, tetapi mari kita tetap mengira diskriminasi.
D=4−4⋅2=4−8=−4
D=4-4\cdot 2=4-8=-4
Diskriminasi adalah kurang daripada 0, oleh itu ungkapan tidak mempunyai akar. Secara keseluruhan, pembinaan besar telah dikurangkan kepada persamaan biasa:
\[\begin(array)(·(35)(l))
t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(array)\]
Sebagai kesimpulan, saya ingin menambah beberapa ulasan mengenai tugas terakhir:
- adakah syarat itu sentiasa dipenuhi? cosx≠0\cos x\ne 0, dan adakah patut menjalankan pemeriksaan ini sama sekali? Sudah tentu, tidak selalu. Dalam kes di mana cosx=0\cos x=0 ialah penyelesaian kepada kesamarataan kita; kita harus mengeluarkannya daripada kurungan, dan kemudian persamaan homogen sepenuhnya akan kekal dalam kurungan.
- Apakah yang membahagikan polinomial dengan polinomial. Malah, kebanyakan sekolah tidak mengkaji perkara ini, dan apabila pelajar melihat reka bentuk sedemikian buat kali pertama, mereka mengalami sedikit kejutan. Tetapi, sebenarnya, ini adalah teknik yang mudah dan cantik yang menjadikan penyelesaian persamaan lebih mudah darjah yang lebih tinggi. Sudah tentu, tutorial video berasingan akan didedikasikan untuknya, yang akan saya terbitkan dalam masa terdekat.
Perkara Utama
Persamaan trigonometri homogen ialah topik kegemaran pada semua jenis ujian. Mereka boleh diselesaikan dengan sangat mudah - hanya berlatih sekali. Untuk menjelaskan perkara yang kita perkatakan, mari kita perkenalkan definisi baharu.
Persamaan trigonometri homogen ialah persamaan di mana setiap sebutan bukan sifar terdiri daripada bilangan faktor trigonometri yang sama. Ini boleh menjadi sinus, kosinus, atau gabungannya - kaedah penyelesaiannya sentiasa sama.
Darjah persamaan trigonometri homogen ialah bilangan faktor trigonometri yang termasuk dalam sebutan bukan sifar.
sinx+15 cos x=0
\sin x+15\text( cos )x=0 - identiti darjah 1;
2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0
2\text( sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - darjah ke-2;
sin3x+2sinxcos2x=0
\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - darjah ke-3;
sinx+cosx=1
\sin x+\cos x=1 - dan persamaan ini tidak homogen, kerana terdapat unit di sebelah kanan - sebutan bukan sifar di mana tiada faktor trigonometri;
sin2x+2sinx−3=0
\sin 2x+2\sin x-3=0 - juga persamaan tak homogen. unsur dosa2x\sin 2x ialah darjah kedua (kerana ia boleh diwakili
sin2x=2sinxcosx
\sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx 2\sin x ialah yang pertama, dan sebutan 3 biasanya sifar, kerana tiada sinus atau kosinus di dalamnya.
Skim penyelesaian am
Skim penyelesaian sentiasa sama:
Mari kita anggap itu cosx=0\cos x=0. Kemudian sinx=±1\sin x=\pm 1 - ini mengikuti daripada identiti utama. Mari kita ganti sinx\sin x dan cosx\cos x ke dalam ungkapan asal, dan jika hasilnya tidak masuk akal (contohnya, ungkapan 5=0 5=0), pergi ke titik kedua;
Kami membahagikan semuanya dengan kuasa kosinus: cosx, cos2x, cos3x... - bergantung pada nilai kuasa persamaan. Kami memperoleh kesamaan biasa dengan tangen, yang boleh diselesaikan dengan selamat selepas menggantikan tgx=t.
tgx=tAkar yang ditemui akan menjadi jawapan kepada ungkapan asal.