Hypermarket ilmu >>Matematik >>Matematik gred 10 >>
Fungsi eksponen, sifat dan grafnya
Mari kita pertimbangkan ungkapan 2x dan cari nilainya untuk pelbagai nilai rasional pembolehubah x, sebagai contoh, untuk x = 2;
Secara umum, tidak kira apa makna rasional yang kita berikan kepada pembolehubah x, kita sentiasa boleh mengira nilai berangka yang sepadan bagi ungkapan 2 x. Oleh itu, kita boleh bercakap tentang eksponen fungsi y=2 x, ditakrifkan pada set Q nombor rasional:
Mari lihat beberapa sifat fungsi ini.
Harta 1.- meningkatkan fungsi. Kami melaksanakan pembuktian dalam dua peringkat.
Peringkat pertama. Mari kita buktikan bahawa jika r ialah nombor rasional positif, maka 2 r >1.
Dua kes mungkin: 1) r ialah nombor asli, r = n; 2) biasa tidak dapat dikurangkan pecahan,
Di sebelah kiri ketaksamaan terakhir yang kita ada , dan di sebelah kanan 1. Ini bermakna ketaksamaan terakhir boleh ditulis semula dalam bentuk
Jadi, dalam apa jua keadaan, ketaksamaan 2 r > 1 berlaku, itulah yang perlu dibuktikan.
Fasa kedua. Biarkan x 1 dan x 2 ialah nombor, dan x 1 dan x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:
(kami menandakan perbezaan x 2 - x 1 dengan huruf r).
Oleh kerana r ialah nombor rasional positif, maka dengan apa yang telah dibuktikan pada peringkat pertama, 2 r > 1, i.e. 2 r -1 >0. Nombor 2x" juga positif, yang bermaksud bahawa produk 2 x-1 (2 Г -1) juga positif. Oleh itu, kami telah membuktikan bahawa ketidaksamaan 2 Xg -2x" >0.
Jadi, daripada ketaksamaan x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.
Harta 2. terhad dari bawah dan tidak terhad dari atas.
Sempadan fungsi dari bawah berikutan daripada ketaksamaan 2 x >0, yang sah untuk sebarang nilai x daripada domain takrifan fungsi. Pada masa yang sama, tidak kira apa nombor positif M yang anda ambil, anda sentiasa boleh memilih eksponen x supaya ketaksamaan 2 x >M dipenuhi - yang mencirikan ketakterbatasan fungsi dari atas. Mari kita berikan beberapa contoh.
Harta benda 3. tidak mempunyai nilai terkecil mahupun terbesar.
Bahawa fungsi ini bukanlah yang paling penting adalah jelas, kerana, seperti yang baru kita lihat, ia tidak dibatasi di atas. Tetapi ia terhad dari bawah, mengapa ia tidak mempunyai nilai minimum?
Mari kita andaikan bahawa 2 r ialah nilai terkecil bagi fungsi (r ialah beberapa penunjuk rasional). Mari kita ambil nombor rasional q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.
Semua ini bagus, anda katakan, tetapi mengapa kita menganggap fungsi y-2 x hanya pada set nombor rasional, mengapa kita tidak menganggapnya seperti fungsi lain yang diketahui pada keseluruhan garis nombor atau pada beberapa selang berterusan bagi garisan nombor? Apa yang menghalang kita? Mari kita fikirkan keadaan.
Garis nombor mengandungi bukan sahaja nombor rasional, tetapi juga nombor tidak rasional. Untuk fungsi yang dikaji sebelum ini, ini tidak mengganggu kami. Sebagai contoh, kami mendapati nilai-nilai fungsi y = x2 sama mudah untuk kedua-dua nilai rasional dan tidak rasional bagi x: ia sudah cukup untuk kuasa dua nilai yang diberikan bagi x.
Tetapi dengan fungsi y=2 x keadaan adalah lebih rumit. Jika hujah x diberi makna yang rasional, maka pada prinsipnya x boleh dikira (kembali semula ke permulaan perenggan, di mana kita melakukan ini dengan tepat). Bagaimana jika hujah x diberi makna yang tidak rasional? Bagaimana, sebagai contoh, untuk mengira? Kami belum tahu perkara ini.
Ahli matematik telah menemui jalan keluar; begitulah alasan mereka.
Adalah diketahui bahawa 
Pertimbangkan urutan nombor rasional - penghampiran perpuluhan nombor mengikut kelemahan:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .
Jelas bahawa 1.732 = 1.7320, dan 1.732050 = 1.73205. Untuk mengelakkan pengulangan sedemikian, kami membuang ahli urutan yang berakhir dengan nombor 0.
Kemudian kita mendapat urutan yang semakin meningkat:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .
Sehubungan itu, urutannya bertambah
Semua sebutan bagi urutan ini ialah nombor positif kurang daripada 22, i.e. urutan ini adalah terhad. Menurut teorem Weierstrass (lihat § 30), jika urutan bertambah dan dibatasi, maka ia menumpu. Di samping itu, dari § 30 kita tahu bahawa jika jujukan menumpu, ia melakukannya hanya kepada satu had. Telah dipersetujui bahawa had tunggal ini harus dianggap sebagai nilai ungkapan berangka. Dan tidak mengapa sangat sukar untuk mencari walaupun nilai anggaran ungkapan berangka 2; adalah penting bahawa ini adalah nombor tertentu (lagipun, kami tidak takut untuk mengatakan bahawa, sebagai contoh, ia adalah punca persamaan rasional, 
punca persamaan trigonometri, tanpa benar-benar memikirkan apakah sebenarnya nombor ini: 
Jadi, kami telah mengetahui maksud yang dimasukkan oleh ahli matematik ke dalam simbol 2^. Begitu juga, anda boleh menentukan apa dan secara umum apa itu a, dengan a ialah nombor tak rasional dan a > 1.
Tetapi bagaimana jika 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Sekarang kita boleh bercakap bukan sahaja tentang kuasa dengan eksponen rasional sewenang-wenangnya, tetapi juga tentang kuasa dengan eksponen sebenar sewenang-wenangnya. Telah terbukti bahawa darjah dengan mana-mana eksponen sebenar mempunyai semua sifat biasa darjah: apabila mendarab kuasa dengan asas yang sama, eksponen ditambah, apabila membahagi, mereka ditolak, apabila menaikkan darjah kepada kuasa, mereka didarab, dan lain-lain. Tetapi perkara yang paling penting ialah sekarang kita boleh bercakap tentang fungsi y-ax yang ditakrifkan pada set semua nombor nyata.
Mari kembali kepada fungsi y = 2 x dan bina grafnya. Untuk melakukan ini, mari buat jadual nilai fungsi y=2x:
Mari kita tandai titik pada satah koordinat (Rajah 194), mereka menandakan garis tertentu, mari kita lukiskannya (Rajah 195).
Sifat bagi fungsi y - 2 x:
1)
2) tidak genap dan tidak ganjil; 248
3) meningkat;
5) tidak mempunyai nilai terbesar mahupun terkecil;
6) berterusan;
7)
8) cembung ke bawah.
Bukti yang ketat bagi sifat tersenarai bagi fungsi y-2 x diberikan dalam kursus matematik yang lebih tinggi. Kami membincangkan beberapa sifat ini pada satu darjah atau yang lain lebih awal, sebahagian daripadanya ditunjukkan dengan jelas oleh graf yang dibina (lihat Rajah 195). Sebagai contoh, kekurangan pariti atau keganjilan fungsi adalah berkaitan secara geometri dengan kekurangan simetri graf, masing-masing, relatif kepada paksi-y atau relatif kepada asalan.
Mana-mana fungsi bentuk y = a x, dengan a > 1, mempunyai sifat yang serupa. Dalam Rajah. 196 dalam satu sistem koordinat telah dibina, graf fungsi y=2 x, y=3 x, y=5 x.
Sekarang mari kita pertimbangkan fungsi dan buat jadual nilai untuknya:
Mari kita tandai titik pada satah koordinat (Rajah 197), mereka menandakan garis tertentu, mari kita lukiskannya (Rajah 198).
Sifat fungsi
1)
2) tidak genap dan tidak ganjil;
3) berkurangan;
4) tidak terhad dari atas, terhad dari bawah;
5) tiada nilai terbesar mahupun terkecil;
6) berterusan;
7)
8) cembung ke bawah.
Mana-mana fungsi bentuk y = a x mempunyai sifat yang serupa, di mana O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций 
Sila ambil perhatian: graf fungsi 
mereka. y=2 x, simetri tentang paksi-y (Rajah 201). Ini adalah akibat daripada pernyataan umum (lihat § 13): graf bagi fungsi y = f(x) dan y = f(-x) adalah simetri tentang paksi-y. Begitu juga, graf bagi fungsi y = 3 x dan
Untuk meringkaskan apa yang telah diperkatakan, kami akan memberikan definisi fungsi eksponen dan menyerlahkan sifatnya yang paling penting.
Definisi. Fungsi bentuk dipanggil fungsi eksponen.
Sifat asas bagi fungsi eksponen y = a x
Graf bagi fungsi y=a x untuk a> 1 ditunjukkan dalam Rajah. 201, dan untuk 0<а < 1 - на рис. 202.
Lengkung yang ditunjukkan dalam Rajah. 201 atau 202 dipanggil eksponen. Malah, ahli matematik biasanya memanggil fungsi eksponen itu sendiri y = a x. Jadi istilah "eksponen" digunakan dalam dua pengertian: kedua-duanya untuk menamakan fungsi eksponen dan menamakan graf fungsi eksponen. Biasanya maknanya jelas sama ada kita bercakap tentang fungsi eksponen atau grafnya.
Beri perhatian kepada ciri geometri graf bagi fungsi eksponen y=ax: paksi-x ialah asimtot mendatar graf. Benar, kenyataan ini biasanya dijelaskan seperti berikut.
Paksi-x ialah asimtot mendatar bagi graf fungsi
Dalam kata lain
Nota penting pertama. Murid sekolah sering mengelirukan istilah: fungsi kuasa, fungsi eksponen. Bandingkan:
Ini adalah contoh fungsi kuasa; 
Ini adalah contoh fungsi eksponen.
Secara umum, y = x r, dengan r ialah nombor tertentu, ialah fungsi kuasa (hujah x terkandung dalam asas darjah);
y = a", di mana a ialah nombor tertentu (positif dan berbeza daripada 1), ialah fungsi eksponen (hujah x terkandung dalam eksponen).
Fungsi "eksotik" seperti y = x" dianggap bukan eksponen mahupun kuasa (ia kadangkala dipanggil eksponen).
Nota penting kedua. Biasanya seseorang tidak menganggap fungsi eksponen dengan asas a = 1 atau dengan asas a memuaskan ketaksamaan a<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 dan a Faktanya ialah jika a = 1, maka untuk sebarang nilai x kesamaan Ix = 1 dipegang Oleh itu, fungsi eksponen y = a" dengan a = 1 "merosot" menjadi fungsi malar y = 1 - ini. tidak menarik. Jika a = 0, maka 0x = 0 untuk sebarang nilai positif x, iaitu kita mendapat fungsi y = 0, ditakrifkan untuk x > 0 - ini juga tidak menarik Jika, akhirnya, a.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.
Sebelum meneruskan untuk menyelesaikan contoh, ambil perhatian bahawa fungsi eksponen adalah berbeza dengan ketara daripada semua fungsi yang telah anda pelajari setakat ini. Untuk mengkaji objek baru dengan teliti, anda perlu mempertimbangkannya dari sudut yang berbeza, dalam situasi yang berbeza, jadi akan ada banyak contoh.
Contoh 1.
Penyelesaian, a) Setelah membina graf bagi fungsi y = 2 x dan y = 1 dalam satu sistem koordinat, kita perhatikan (Rajah 203) bahawa ia mempunyai satu titik sepunya (0; 1). Ini bermakna persamaan 2x = 1 mempunyai punca tunggal x =0.
Jadi, daripada persamaan 2x = 2° kita dapat x = 0.
b) Setelah membina graf bagi fungsi y = 2 x dan y = 4 dalam satu sistem koordinat, kita perhatikan (Rajah 203) bahawa ia mempunyai satu titik sepunya (2; 4). Ini bermakna persamaan 2x = 4 mempunyai punca tunggal x = 2.
Jadi, daripada persamaan 2 x = 2 2 kita dapatkan x = 2.
c) dan d) Berdasarkan pertimbangan yang sama, kami membuat kesimpulan bahawa persamaan 2 x = 8 mempunyai punca tunggal, dan untuk mencarinya, graf bagi fungsi yang sepadan tidak perlu dibina;
adalah jelas bahawa x = 3, kerana 2 3 = 8. Begitu juga, kita dapati satu-satunya punca persamaan
Jadi, daripada persamaan 2x = 2 3 kita mendapat x = 3, dan daripada persamaan 2 x = 2 x kita mendapat x = -4.
e) Graf fungsi y = 2 x terletak di atas graf fungsi y = 1 untuk x > 0 - ini boleh dibaca dengan jelas dalam Rajah. 203. Ini bermakna bahawa penyelesaian kepada ketaksamaan 2x > 1 ialah selang
e) Graf fungsi y = 2 x terletak di bawah graf fungsi y = 4 pada x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Anda mungkin perasan bahawa asas untuk semua kesimpulan yang dibuat semasa menyelesaikan contoh 1 ialah sifat monotonisitas (peningkatan) fungsi y = 2 x. Penaakulan yang sama membolehkan kita mengesahkan kesahihan dua teorem berikut.
Penyelesaian. Anda boleh meneruskan seperti ini: bina graf bagi fungsi y-3 x, kemudian regangkannya dari paksi x dengan faktor 3, dan kemudian naikkan graf yang terhasil sebanyak 2 unit skala. Tetapi lebih mudah untuk menggunakan fakta bahawa 3- 3* = 3 * + 1, dan, oleh itu, bina graf fungsi y = 3 x * 1 + 2.
Mari kita teruskan, seperti yang telah kita lakukan berkali-kali dalam kes sedemikian, kepada sistem koordinat tambahan dengan asalan pada titik (-1; 2) - garis putus-putus x = - 1 dan 1x = 2 dalam Rajah. 207. Mari “pautkan” fungsi y=3* kepada sistem koordinat baharu. Untuk melakukan ini, pilih titik kawalan untuk fungsi tersebut 
, tetapi kami akan membinanya bukan dalam sistem koordinat lama, tetapi dalam sistem koordinat baru (titik ini ditandakan dalam Rajah 207). Kemudian kita akan membina eksponen daripada titik - ini akan menjadi graf yang diperlukan (lihat Rajah 207).
Untuk mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi tertentu pada segmen [-2, 2], kami mengambil kesempatan daripada fakta bahawa fungsi yang diberikan semakin meningkat, dan oleh itu ia mengambil nilai terkecil dan terbesar, masing-masing, pada hujung kiri dan kanan segmen.
Jadi:
Contoh 4. Selesaikan persamaan dan ketaksamaan:
Penyelesaian, a) Mari kita bina graf bagi fungsi y=5* dan y=6-x dalam satu sistem koordinat (Rajah 208). Mereka bersilang pada satu titik; berdasarkan lukisan, ini adalah titik (1; 5). Semakan menunjukkan bahawa sebenarnya titik (1; 5) memenuhi kedua-dua persamaan y = 5* dan persamaan y = 6-x. Absis titik ini berfungsi sebagai satu-satunya punca persamaan yang diberikan.
Jadi, persamaan 5 x = 6 - x mempunyai punca tunggal x = 1.
b) dan c) Eksponen y-5x terletak di atas garis lurus y=6-x, jika x>1, ini boleh dilihat dengan jelas dalam Rajah. 208. Ini bermakna bahawa penyelesaian kepada ketaksamaan 5*>6's boleh ditulis seperti berikut: x>1. Dan penyelesaian kepada ketaksamaan 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
Jawapan: a)x = 1; b)x>1; c)x<1.
Contoh 5. Diberi fungsi 
Buktikan itu 
Penyelesaian. Mengikut syarat yang Kami ada.
Fungsi eksponen
Fungsi bentuk y = a x , di mana a lebih besar daripada sifar dan a tidak sama dengan satu dipanggil fungsi eksponen. Sifat asas fungsi eksponen:
1. Domain takrifan fungsi eksponen ialah set nombor nyata.
2. Julat nilai fungsi eksponen akan menjadi set semua nombor nyata positif. Kadangkala set ini dilambangkan sebagai R+ untuk ringkasnya.
3. Jika dalam fungsi eksponen asas a adalah lebih besar daripada satu, maka fungsi itu akan meningkat ke atas keseluruhan domain definisi. Jika dalam fungsi eksponen untuk asas a syarat berikut dipenuhi: 0
4. Semua sifat asas darjah akan sah. Sifat utama darjah diwakili oleh persamaan berikut:
a x *a y = a (x+y) ;
(a x )/(a y ) = a (x-y) ;
(a*b) x = (a x )*(a y );
(a/b) x = a x /b x ;
(a x ) y = a (x * y) .
Persamaan ini akan sah untuk semua nilai sebenar x dan y.
5. Graf bagi fungsi eksponen sentiasa melalui titik dengan koordinat (0;1)
6. Bergantung pada sama ada fungsi eksponen bertambah atau berkurang, grafnya akan mempunyai satu daripada dua bentuk.
Rajah berikut menunjukkan graf bagi fungsi eksponen yang semakin meningkat: a>0.
Rajah berikut menunjukkan graf bagi fungsi eksponen menurun: 0
Kedua-dua graf fungsi eksponen meningkat dan graf fungsi eksponen menurun, mengikut sifat yang diterangkan dalam perenggan kelima, melalui titik (0;1).
7. Fungsi eksponen tidak mempunyai titik ekstrem, iaitu, dengan kata lain, ia tidak mempunyai titik minimum dan maksimum fungsi. Jika kita menganggap fungsi pada mana-mana segmen tertentu, maka fungsi itu akan mengambil nilai minimum dan maksimum pada penghujung selang ini.
8. Fungsinya bukan genap atau ganjil. Fungsi eksponen ialah fungsi bentuk umum. Ini boleh dilihat daripada graf; tiada satu pun daripadanya adalah simetri sama ada berkenaan dengan paksi Oy atau berkenaan dengan asal koordinat.
Logaritma
Logaritma sentiasa dianggap sebagai topik yang sukar dalam kursus matematik sekolah. Terdapat banyak definisi logaritma yang berbeza, tetapi atas sebab tertentu kebanyakan buku teks menggunakan yang paling kompleks dan tidak berjaya.
Kami akan mentakrifkan logaritma dengan mudah dan jelas. Untuk melakukan ini, mari buat jadual:
Jadi, kita ada kuasa dua. Jika anda mengambil nombor dari baris bawah, anda boleh dengan mudah mencari kuasa yang anda perlu menaikkan dua untuk mendapatkan nombor ini. Sebagai contoh, untuk mendapatkan 16, anda perlu menaikkan dua kepada kuasa keempat. Dan untuk mendapatkan 64, anda perlu menaikkan dua kepada kuasa keenam. Ini boleh dilihat dari jadual.
Dan sekarang - sebenarnya, takrifan logaritma:
Definisi
Logaritma untuk mendasarkan hujah x adalah kuasa yang mana nombor itu mesti dinaikkan a untuk mendapatkan nombor x.
Jawatan
log a x = b
di mana a ialah asas, x ialah hujah, b - sebenarnya, logaritma itu sama dengan apa.
Contohnya, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritma asas 2 bagi 8 ialah tiga kerana 2 3 = 8). Dengan kejayaan yang sama, log 2 64 = 6, kerana 2 6 = 64.
Operasi mencari logaritma nombor kepada asas tertentu dipanggillogaritma . Jadi, mari tambah baris baharu pada jadual kami:
Malangnya, tidak semua logaritma dikira dengan begitu mudah. Sebagai contoh, cuba cari log 2 5. Nombor 5 tiada dalam jadual, tetapi logik menentukan bahawa logaritma akan terletak di suatu tempat pada selang. Kerana 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Nombor sedemikian dipanggil tidak rasional: nombor selepas titik perpuluhan boleh ditulis ad infinitum, dan ia tidak pernah berulang. Jika logaritma ternyata tidak rasional, lebih baik biarkan seperti itu: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Adalah penting untuk memahami bahawa logaritma ialah ungkapan dengan dua pembolehubah (asas dan hujah). Pada mulanya, ramai yang keliru di mana asasnya dan di mana hujahnya. Untuk mengelakkan salah faham yang menjengkelkan, lihat sahaja gambar:
Di hadapan kita tidak lebih daripada definisi logaritma. Ingat: logaritma ialah kuasa , di mana pangkalan mesti dibina untuk mendapatkan hujah. Ia adalah pangkalan yang dinaikkan kepada kuasa - ia diserlahkan dengan warna merah dalam gambar. Ternyata asasnya sentiasa di bawah! Saya memberitahu pelajar saya peraturan indah ini pada pelajaran pertama - dan tiada kekeliruan timbul.
Kami telah mengetahui definisinya - yang tinggal hanyalah untuk mempelajari cara mengira logaritma, i.e. buang tanda "log". Sebagai permulaan, kami perhatikan bahawa Dua fakta penting berikut dari definisi:
Hujah dan asas mestilah sentiasa lebih besar daripada sifar. Ini berikutan daripada takrifan darjah oleh eksponen rasional, yang mana takrifan logaritma dikurangkan.
Asas mesti berbeza daripada satu, kerana satu hingga mana-mana darjah masih kekal satu. Oleh kerana itu, persoalan "kepada apa kuasa seseorang mesti dibangkitkan untuk mendapat dua" tidak bermakna. Tidak ada ijazah seperti itu!
Sekatan sedemikian dipanggil julat nilai yang boleh diterima(ODZ). Ternyata ODZ logaritma kelihatan seperti ini: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Sila ambil perhatian bahawa tiada sekatan pada nombor b (nilai logaritma) tidak bertindih. Sebagai contoh, logaritma mungkin negatif: log 2 0.5 = −1, kerana 0.5 = 2 −1.
Walau bagaimanapun, kini kami hanya mempertimbangkan ungkapan berangka, di mana ia tidak diperlukan untuk mengetahui VA logaritma. Semua sekatan telah diambil kira oleh pengarang tugas. Tetapi apabila persamaan logaritma dan ketaksamaan berlaku, keperluan DL akan menjadi wajib. Lagipun, asas dan hujah mungkin mengandungi pembinaan yang sangat kuat yang tidak semestinya sepadan dengan sekatan di atas.
Sekarang pertimbangkan umum skema untuk mengira logaritma. Ia terdiri daripada tiga langkah:
Berikan alasan a dan hujah x dalam bentuk kuasa dengan asas minimum yang mungkin lebih besar daripada satu. Sepanjang perjalanan, lebih baik untuk menyingkirkan perpuluhan;
Selesaikan berkenaan dengan pembolehubah b persamaan: x = a b ;
Nombor yang terhasil b akan menjadi jawapannya.
Itu sahaja! Jika logaritma ternyata tidak rasional, ini akan kelihatan pada langkah pertama. Keperluan bahawa asas lebih besar daripada satu adalah sangat penting: ini mengurangkan kemungkinan ralat dan sangat memudahkan pengiraan. Ia sama dengan pecahan perpuluhan: jika anda segera menukarnya kepada pecahan biasa, akan terdapat banyak ralat yang lebih sedikit.
Mari lihat bagaimana skema ini berfungsi menggunakan contoh khusus:
Kira logaritma: log 5 25
Mari kita bayangkan asas dan hujah sebagai kuasa lima: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
Mari buat dan selesaikan persamaan:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Kami menerima jawapan: 2.
Kira logaritma:
Mari kita bayangkan asas dan hujah sebagai kuasa tiga: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 −1 = (3 4) −1 = 3 −4 ;
Mari buat dan selesaikan persamaan:
Kami menerima jawapan: −4.
−4
Kira logaritma: log 4 64
Mari kita bayangkan asas dan hujah sebagai kuasa dua: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
Mari buat dan selesaikan persamaan:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
Kami menerima jawapan: 3.
Kira logaritma: log 16 1
Mari kita bayangkan asas dan hujah sebagai kuasa dua: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
Mari buat dan selesaikan persamaan:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
Kami menerima jawapan: 0.
Kira logaritma: log 7 14
Mari kita bayangkan asas dan hujah sebagai kuasa tujuh: 7 = 7 1 ; 14 tidak boleh diwakili sebagai kuasa tujuh, sejak 7 1< 14 < 7 2 ;
Daripada perenggan sebelumnya ia mengikuti bahawa logaritma tidak dikira;
Jawapannya tiada perubahan: log 7 14.
log 7 14
Nota kecil pada contoh terakhir. Bagaimanakah anda boleh memastikan bahawa nombor bukan kuasa tepat nombor lain? Ia sangat mudah - hanya masukkannya ke dalam faktor utama. Jika pengembangan mempunyai sekurang-kurangnya dua faktor berbeza, bilangannya bukanlah kuasa yang tepat.
Ketahui sama ada nombor adalah kuasa yang tepat: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - darjah tepat, kerana hanya ada satu pengganda;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - bukan kuasa yang tepat, kerana terdapat dua faktor: 3 dan 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - darjah tepat;
35 = 7 · 5 - sekali lagi bukan kuasa yang tepat;
14 = 7 · 2 - sekali lagi bukan darjah yang tepat;
8, 81 - darjah tepat; 48, 35, 14 - tidak.
Perhatikan juga bahawa nombor perdana itu sendiri sentiasa kuasa tepat bagi diri mereka sendiri.
Logaritma perpuluhan
Sesetengah logaritma adalah sangat biasa sehingga mereka mempunyai nama dan simbol khas.
Definisi
Logaritma perpuluhan daripada hujah x ialah logaritma kepada asas 10, i.e. kuasa yang nombor 10 mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor itu x.
Jawatan
lg x
Sebagai contoh, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - dsb.
Mulai sekarang, apabila frasa seperti "Cari lg 0.01" muncul dalam buku teks, ketahui bahawa ini bukan kesilapan menaip. Ini ialah logaritma perpuluhan. Walau bagaimanapun, jika anda tidak biasa dengan notasi ini, anda boleh menulis semula pada bila-bila masa:
log x = log 10 x
Semua yang benar untuk logaritma biasa adalah benar untuk logaritma perpuluhan.
Logaritma semula jadi
Terdapat satu lagi logaritma yang mempunyai sebutan tersendiri. Dalam beberapa cara, ia lebih penting daripada perpuluhan. Kita bercakap tentang logaritma semula jadi.
Definisi
Logaritma semula jadi daripada hujah x ialah logaritma kepada asas e , iaitu kuasa yang mana nombor mesti dinaikkan e untuk mendapatkan nombor x.
Jawatan
ln x
Ramai yang akan bertanya: apakah nombor e? Ini adalah nombor tidak rasional; nilai tepatnya tidak dapat dijumpai dan ditulis. Saya hanya akan memberikan angka pertama:
e = 2.718281828459...
Kami tidak akan menerangkan secara terperinci tentang nombor ini dan mengapa ia diperlukan. Ingat itu sahaja e - asas logaritma semula jadi:
ln x = log e x
Oleh itu ln e = 1; ln e 2 = 2; Dalam e 16 = 16 - dsb. Sebaliknya, ln 2 ialah nombor tak rasional. Secara amnya, logaritma asli mana-mana nombor rasional adalah tidak rasional. Kecuali, sudah tentu, untuk satu: ln 1 = 0.
Untuk logaritma asli, semua peraturan yang benar untuk logaritma biasa adalah sah.
Sifat asas logaritma
Logaritma, seperti mana-mana nombor, boleh ditambah, ditolak dan diubah dalam semua cara. Tetapi kerana logaritma bukan nombor biasa, ia mempunyai peraturan mereka sendiri, yang dipanggil sifat asas.
Anda pastinya perlu mengetahui peraturan ini - tiada satu masalah logaritma yang serius boleh diselesaikan tanpanya. Di samping itu, terdapat sangat sedikit daripada mereka - anda boleh mempelajari segala-galanya dalam satu hari. Jadi mari kita mulakan.
Menambah dan menolak logaritma
Pertimbangkan dua logaritma dengan asas yang sama: log a x dan log a y . Kemudian mereka boleh ditambah dan ditolak, dan:
log a x + log a y = log a ( x · y );
log a x − log a y = log a ( x : y ).
Jadi, jumlah logaritma adalah sama dengan logaritma hasil darab, dan perbezaannya adalah sama dengan logaritma hasil bagi. Sila ambil perhatian: perkara utama di sini adalah alasan yang sama. Jika alasannya berbeza, peraturan ini tidak berfungsi!
Formula ini akan membantu anda mengira ungkapan logaritma walaupun bahagian individunya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran " "). Lihat contoh dan lihat:
Cari nilai ungkapan: log 6 4 + log 6 9.
Oleh kerana logaritma mempunyai asas yang sama, kami menggunakan formula jumlah:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Cari nilai ungkapan: log 2 48 − log 2 3.
Asasnya adalah sama, kami menggunakan formula perbezaan:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Cari nilai ungkapan: log 3 135 − log 3 5.
Sekali lagi pangkalannya adalah sama, jadi kami mempunyai:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Seperti yang anda lihat, ungkapan asal terdiri daripada logaritma "buruk", yang tidak dikira secara berasingan. Tetapi selepas transformasi, nombor normal sepenuhnya diperolehi. Banyak ujian berdasarkan fakta ini. Ya, ungkapan seperti ujian ditawarkan dalam semua kesungguhan (kadangkala hampir tiada perubahan) pada Peperiksaan Negeri Bersepadu.
Mengeluarkan eksponen daripada logaritma
Sekarang mari kita merumitkan sedikit tugas. Bagaimana jika asas atau hujah logaritma ialah kuasa? Kemudian eksponen darjah ini boleh dikeluarkan daripada tanda logaritma mengikut peraturan berikut:
Adalah mudah untuk melihat bahawa peraturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatinya - dalam beberapa kes ia akan mengurangkan jumlah pengiraan dengan ketara.
Sudah tentu Semua peraturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dan satu lagi perkara: belajar menggunakan semua formula bukan sahaja dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, i.e. Anda boleh memasukkan nombor sebelum logaritma masuk ke dalam logaritma itu sendiri. Inilah yang paling kerap diperlukan.
Cari nilai ungkapan: log 7 49 6 .
Mari kita buang darjah dalam hujah menggunakan formula pertama:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Cari maksud ungkapan:
Perhatikan bahawa penyebutnya mengandungi logaritma, asas dan hujahnya adalah kuasa tepat: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Kami ada:
Saya rasa contoh terakhir memerlukan beberapa penjelasan. Ke mana perginya logaritma? Sehingga saat terakhir kita bekerja hanya dengan penyebut. Kami membentangkan asas dan hujah logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk kuasa dan mengeluarkan eksponen - kami mendapat pecahan "tiga tingkat".
Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pengangka dan penyebut mengandungi nombor yang sama: log 2 7. Oleh kerana log 2 7 ≠ 0, kita boleh mengurangkan pecahan - 2/4 akan kekal dalam penyebut. Mengikut peraturan aritmetik, empat boleh dipindahkan ke pengangka, iaitu apa yang telah dilakukan. Hasilnya ialah jawapan: 2.
Peralihan kepada asas baharu
Bercakap tentang peraturan untuk menambah dan menolak logaritma, saya secara khusus menekankan bahawa ia hanya berfungsi dengan asas yang sama. Bagaimana jika sebabnya berbeza? Bagaimana jika mereka bukan kuasa tepat nombor yang sama?
Formula untuk peralihan kepada asas baharu datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorem:
Teorem
Biarkan log logaritma diberikan a x . Kemudian untuk sebarang nombor c sehingga c > 0 dan c ≠ 1, kesamaan adalah benar:
Khususnya, jika kita meletakkan c = x, kita dapat:
Daripada formula kedua ia mengikuti bahawa asas dan hujah logaritma boleh ditukar, tetapi dalam kes ini keseluruhan ungkapan "terbalik", i.e. logaritma muncul dalam penyebut.
Formula ini jarang ditemui dalam ungkapan berangka biasa. Adalah mungkin untuk menilai betapa mudahnya mereka hanya apabila menyelesaikan persamaan logaritma dan ketaksamaan.
Namun, terdapat masalah yang tidak dapat diselesaikan sama sekali kecuali dengan berpindah ke asas baru. Mari kita lihat beberapa perkara ini:
Cari nilai ungkapan: log 5 16 log 2 25.
Ambil perhatian bahawa hujah kedua-dua logaritma mengandungi kuasa yang tepat. Mari kita keluarkan penunjuk: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Sekarang mari kita "terbalikkan" logaritma kedua:
Memandangkan produk tidak berubah apabila menyusun semula faktor, kami dengan tenang mendarab empat dan dua, dan kemudian berurusan dengan logaritma.
Cari nilai ungkapan: log 9 100 lg 3.
Asas dan hujah logaritma pertama adalah kuasa yang tepat. Mari kita tulis ini dan singkirkan penunjuk:
Sekarang mari kita buang logaritma perpuluhan dengan berpindah ke pangkalan baharu:
Identiti logaritma asas
Selalunya dalam proses penyelesaian adalah perlu untuk mewakili nombor sebagai logaritma kepada asas tertentu. Dalam kes ini, formula berikut akan membantu kami:
Dalam kes pertama, nombor n menjadi penunjuk darjah berdiri dalam hujah. Nombor n boleh jadi apa sahaja, kerana ia hanyalah nilai logaritma.
Formula kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasa. Inilah yang dipanggil:identiti logaritma asas.
Sebenarnya, apakah yang berlaku jika nombor b dinaikkan kepada kuasa sedemikian sehingga nombor b kepada kuasa ini memberikan nombor a? Betul: hasilnya adalah nombor yang sama a. Baca perenggan ini dengan teliti sekali lagi - ramai orang terjebak padanya.
Seperti formula untuk berpindah ke pangkalan baharu, identiti logaritma asas kadangkala merupakan satu-satunya penyelesaian yang mungkin.
Tugasan
Cari maksud ungkapan:
Penyelesaian
Perhatikan bahawa log 25 64 = log 5 8 - hanya mengambil petak dari pangkalan dan hujah logaritma. Dengan mengambil kira peraturan untuk mendarab kuasa dengan asas yang sama, kita mendapat:
200
Jika ada yang tidak tahu, ini adalah tugas sebenar dari Peperiksaan Negeri Bersepadu :)
Unit logaritma dan sifar logaritma
Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identiti yang hampir tidak boleh dipanggil sifat - sebaliknya, ia adalah akibat daripada takrifan logaritma. Mereka sentiasa muncul dalam masalah dan, secara mengejutkan, mencipta masalah walaupun untuk pelajar "maju".
log a a = 1 ialah unit logaritma. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma kepada mana-mana asas a dari asas ini adalah sama dengan satu.
log a 1 = 0 ialah sifar logaritma. Pangkalan a boleh jadi apa-apa, tetapi jika hujah mengandungi satu, logaritma adalah sama dengan sifar! Kerana a 0 = 1 ialah akibat langsung daripada definisi.
Itu semua sifatnya. Pastikan anda berlatih mempraktikkannya!
Tumpuan perhatian:
Definisi. Fungsi spesis dipanggil fungsi eksponen .
Komen. Pengecualian daripada nilai asas a nombor 0; 1 dan nilai negatif a dijelaskan oleh keadaan berikut:
Ungkapan analitik itu sendiri a x dalam kes ini, ia mengekalkan maknanya dan boleh digunakan dalam menyelesaikan masalah. Sebagai contoh, untuk ungkapan x y titik x = 1; y = 1 berada dalam julat nilai yang boleh diterima.
Membina graf fungsi: dan.
 |
 |
| Graf Fungsi Eksponen | |
| y= a x, a > 1 | y= a x , 0< a < 1 |
 |
 |
Sifat Fungsi Eksponen
| Sifat Fungsi Eksponen | y= a x, a > 1 | y= a x , 0< a < 1 |
|
||
| 2. Julat fungsi | ||
| 3. Selang perbandingan dengan unit | di x> 0, a x > 1 | di x > 0, 0< a x < 1 |
| di x < 0, 0< a x < 1 | di x < 0, a x > 1 | |
| 4. Genap, ganjil. | Fungsi itu bukan genap mahupun ganjil (fungsi bentuk umum). | |
| 5.Monotoni. | monotonik meningkat sebanyak R | menurun secara monotoni oleh R |
| 6. Keterlaluan. | Fungsi eksponen tidak mempunyai ekstrem. | |
| 7.Asimtot | paksi-O x ialah asimtot mendatar. | |
| 8. Untuk sebarang nilai sebenar x Dan y; |  |
|
Apabila jadual diisi, tugasan diselesaikan selari dengan pengisian.
Tugasan No. 1. (Untuk mencari domain definisi fungsi).
Apakah nilai hujah yang sah untuk fungsi:
Tugasan No. 2. (Untuk mencari julat nilai fungsi).
Rajah menunjukkan graf bagi fungsi tersebut. Tentukan domain definisi dan julat nilai fungsi:
 |
 |
 |
 |
Tugasan No. 3. (Untuk menunjukkan selang perbandingan dengan satu).
Bandingkan setiap kuasa berikut dengan satu:
Tugasan No. 4. (Untuk mengkaji fungsi untuk monotonicity).
Bandingkan nombor nyata mengikut saiz m Dan n Jika:
Tugasan No. 5. (Untuk mengkaji fungsi untuk monotonicity).
Buat kesimpulan tentang asas a, Jika:
y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4 x
Bagaimanakah graf bagi fungsi eksponen relatif antara satu sama lain untuk x > 0, x = 0, x< 0?
Graf fungsi berikut diplot dalam satu satah koordinat:
y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0.5) x ; z(x) = (0.8) x .
Bagaimanakah graf bagi fungsi eksponen relatif antara satu sama lain untuk x > 0, x = 0, x< 0?
| Nombor
salah satu pemalar terpenting dalam matematik. Mengikut definisi, ia sama dengan had jujukan
dengan tidak terhad
meningkat n
. Jawatan e masuk Leonard Euler
pada tahun 1736. Dia mengira 23 digit pertama nombor ini dalam tatatanda perpuluhan, dan nombor itu sendiri dinamakan sebagai penghormatan kepada Napier sebagai "nombor bukan Pierre."
Nombor e memainkan peranan khas dalam analisis matematik. Fungsi eksponen dengan asas e, dipanggil eksponen dan ditetapkan y = e x. Tanda-tanda pertama nombor e mudah diingat: dua, koma, tujuh, tahun kelahiran Leo Tolstoy - dua kali, empat puluh lima, sembilan puluh, empat puluh lima. |
 |
Kerja rumah:
Kolmogorov ms 35; No 445-447; 451; 453.
Ulangi algoritma untuk membina graf fungsi yang mengandungi pembolehubah di bawah tanda modulus.
1. Fungsi eksponen ialah fungsi dalam bentuk y(x) = a x, bergantung kepada eksponen x, dengan nilai malar bagi asas darjah a, dengan a > 0, a ≠ 0, xϵR (R ialah set nombor nyata).
Mari kita pertimbangkan graf fungsi jika tapak tidak memenuhi syarat: a>0
a) a< 0
Sekiranya< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2
Jika a = 0, fungsi y = ditakrifkan dan mempunyai nilai tetap 0
c) a =1
Jika a = 1, fungsi y = ditakrifkan dan mempunyai nilai tetap 1
Domain Fungsi (DOF) Julat nilai fungsi yang dibenarkan (APV) 3. Sifar bagi fungsi (y = 0) 4. Titik persilangan dengan paksi ordinat oy (x = 0) 5. Meningkatkan, mengurangkan fungsi Jika , maka fungsi f(x) bertambah 6. Genap, fungsi ganjil Fungsi y = tidak simetri berkenaan dengan paksi 0y dan berkenaan dengan asalan, oleh itu ia bukan genap atau ganjil. (Fungsi umum) 7. Fungsi y = tidak mempunyai extrema 8. Sifat ijazah dengan eksponen sebenar: Biarkan a > 0; a≠1 Kemudian untuk xϵR; yϵR: Sifat monotoni darjah: jika , maka Jika a> 0, maka . 9. Kedudukan relatif bagi fungsi Lebih besar tapak a, lebih dekat dengan paksi x dan oy a > 1, a = 20 Contoh 1. Mari kita mula-mula memperkenalkan definisi fungsi eksponen. Fungsi eksponen $f\left(x\right)=a^x$, dengan $a >1$. Mari kita perkenalkan sifat-sifat fungsi eksponen untuk $a >1$. \ \[tiada akar\] \ Persilangan dengan paksi koordinat. Fungsi ini tidak memotong paksi $Ox$, tetapi memotong paksi $Oy$ pada titik $(0,1)$. $f""\kiri(x\kanan)=(\kiri(a^xlna\kanan))"=a^x(ln)^2a$ \ \[tiada akar\] \ Graf (Rajah 1). Rajah 1. Graf bagi fungsi $f\left(x\right)=a^x,\ for\ a >1$. Mari kita perkenalkan sifat-sifat fungsi eksponen, pada $0 Domain definisi ialah semua nombor nyata. $f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- fungsinya bukan genap atau ganjil. $f(x)$ berterusan ke atas keseluruhan domain definisi. Julat nilai ialah selang $(0+\infty)$. $f"(x)=\kiri(a^x\kanan)"=a^xlna$ \ \[tiada akar\] \ \[tiada akar\] \ Fungsi ini adalah cembung pada keseluruhan domain definisi. Gelagat di hujung domain: \[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\] Graf (Rajah 2). Teroka dan plot fungsi $y=2^x+3$. Penyelesaian. Mari kita jalankan kajian menggunakan contoh rajah di atas: Domain definisi ialah semua nombor nyata. $f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- fungsinya bukan genap atau ganjil. $f(x)$ berterusan ke atas keseluruhan domain definisi. Julat nilai ialah selang $(3+\infty)$. $f"\left(x\right)=(\left(2^x+3\right))"=2^xln2>0$ Fungsi meningkat ke atas keseluruhan domain definisi. $f(x)\ge 0$ di seluruh domain definisi. Persilangan dengan paksi koordinat. Fungsi ini tidak memotong paksi $Ox$, tetapi memotong paksi $Oy$ pada titik ($0,4)$ $f""\left(x\right)=(\left(2^xln2\right))"=2^x(ln)^22>0$ Fungsi ini adalah cembung pada keseluruhan domain definisi. Gelagat di hujung domain: \[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\] Graf (Rajah 3). Rajah 3. Graf fungsi $f\left(x\right)=2^x+3$
2. Mari kita lihat lebih dekat pada fungsi eksponen:
0
Jika , maka fungsi f(x) berkurang
Fungsi y= , pada 0
Ini berikutan daripada sifat kemonotonan kuasa dengan eksponen sebenar.
b> 0; b≠1
Sebagai contoh:
Fungsi eksponen adalah berterusan pada sebarang titik ϵ R.
Jika a0, maka fungsi eksponen mengambil bentuk yang hampir dengan y = 0.
Jika a1, maka lebih jauh dari paksi ox dan oy dan graf mengambil bentuk yang hampir dengan fungsi y = 1.
Bina graf bagi y =
Fungsi eksponen $f\left(x\right)=a^x$, dengan $0
Contoh masalah untuk membina fungsi eksponen
