Konsep sudut tersurat dan pusat
Mari kita mula-mula memperkenalkan konsep sudut pusat.
Nota 1
Perhatikan bahawa ukuran darjah sudut pusat adalah sama dengan ukuran darjah lengkok di mana ia terletak.
Sekarang mari kita perkenalkan konsep sudut tersurat.
Definisi 2
Sudut yang bucunya terletak pada bulatan dan sisinya bersilang dengan bulatan yang sama dipanggil sudut tersurat (Rajah 2).
Rajah 2. Sudut tersurat
Teorem sudut tersurat
Teorem 1
Ukuran darjah sudut tersurat adalah sama dengan separuh ukuran darjah lengkok di mana ia terletak.
Bukti.
Biarkan kita diberi bulatan dengan pusat pada titik $O$. Mari kita nyatakan sudut tersurat $ACB$ (Gamb. 2). Tiga kes berikut adalah mungkin:
- Ray $CO$ bertepatan dengan mana-mana sisi sudut. Biarkan ini menjadi sisi $CB$ (Gamb. 3).
Rajah 3.
Dalam kes ini, lengkok $AB$ adalah kurang daripada $(180)^(()^\circ )$, maka sudut pusat $AOB$ sama dengan arka$AB$. Oleh kerana $AO=OC=r$, maka segitiga $AOC$ ialah sama kaki. Ini bermakna sudut tapak $CAO$ dan $ACO$ adalah sama antara satu sama lain. Dengan teorem tentang sudut luaran segi tiga, kita ada:
- Rasuk $CO$ membahagi sudut dalaman pada dua sudut. Biarkan ia bersilang dengan bulatan pada titik $D$ (Rajah 4).
Rajah 4.
Kita mendapatkan
- Ray $CO$ tidak membahagikan sudut pedalaman kepada dua sudut dan tidak bertepatan dengan mana-mana sisinya (Rajah 5).
Rajah 5.
Mari kita pertimbangkan sudut $ACD$ dan $DCB$ secara berasingan. Mengikut apa yang dibuktikan dalam point 1, kita dapat
Kita mendapatkan
Teorem telah terbukti.
Jom beri akibat daripada teorem ini.
Akibat 1: Sudut tertulis yang terletak pada lengkok yang sama adalah sama antara satu sama lain.
Akibat 2: Sudut tersurat yang mencantumkan diameter ialah sudut tegak.
Sudut tengah- ialah sudut yang dibentuk oleh dua jejari bulatan. Contoh sudut pusat ialah sudut AOB, BOC, COE, dan sebagainya.
TENTANG sudut tengah Dan arka disimpulkan antara pihaknya dikatakan sepadan satu sama lain.
1. jika sudut pusat arka adalah sama.
2. jika sudut pusat tidak sama, maka yang lebih besar daripada mereka sepadan dengan yang lebih besar arka.
Biarkan AOB dan COD menjadi dua sudut pusat, sama atau tidak sama. Mari kita putarkan sektor AOB mengelilingi pusat mengikut arah yang ditunjukkan oleh anak panah, supaya jejari OA bertepatan dengan OC. Kemudian, jika sudut pusat adalah sama, maka jejari OA akan bertepatan dengan OD dan lengkok AB dengan lengkok CD .
Ini bermakna bahawa lengkok ini akan sama.
Jika sudut pusat tidak sama, maka jejari OB tidak akan mengikut OD, tetapi ke arah lain, contohnya, sepanjang OE atau OF. Dalam kedua-dua kes, sudut yang lebih besar jelas sepadan dengan arka yang lebih besar.
Teorem yang kita buktikan untuk satu bulatan kekal benar bulatan yang sama, kerana kalangan sedemikian tidak berbeza antara satu sama lain dalam apa-apa kecuali kedudukan mereka.
Tawaran terbalik juga akan menjadi benar . Dalam satu bulatan atau dalam bulatan yang sama:
1. jika arka adalah sama, maka sepadan sudut pusat adalah sama.
2. jika arka tidak sama, maka yang lebih besar daripada mereka sepadan dengan yang lebih besar sudut pusat.
Dalam satu bulatan atau dalam bulatan yang sama, sudut pusat dikaitkan sebagai lengkok yang sepadan. Atau parafrasa kita mendapat bahawa sudut pusat berkadar lengkoknya yang sepadan.
Arahan
Jika jejari (R) bulatan dan panjang lengkok (L) sepadan dengan sudut pusat yang dikehendaki (θ) diketahui, ia boleh dikira dalam darjah dan dalam radian. Jumlahnya ditentukan oleh formula 2*π*R dan sepadan dengan sudut pusat 360° atau dua nombor Pi, jika radian digunakan dan bukannya darjah. Oleh itu, teruskan daripada perkadaran 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. Ungkapkan daripadanya sudut pusat dalam radian θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R atau darjah θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π * R) dan hitung menggunakan formula yang terhasil.
Berdasarkan panjang kord (m) yang menghubungkan titik-titik yang menentukan sudut pusat (θ), nilainya juga boleh dikira jika jejari (R) bulatan diketahui. Untuk melakukan ini, pertimbangkan segitiga yang dibentuk oleh dua jejari dan . ini segi tiga sama kaki, semua orang dikenali, tetapi anda perlu mencari sudut yang bertentangan dengan tapak. Sinus separuhnya sama dengan nisbah panjang tapak - kord - hingga dua kali ganda panjang sisi - jejari. Oleh itu, gunakan fungsi sinus songsang untuk pengiraan - arcsine: θ = 2*arcsin(½*m/R).
Sudut tengah boleh dinyatakan dalam pecahan revolusi atau dari sudut putaran. Sebagai contoh, jika anda perlu mencari sudut pusat yang sepadan dengan suku giliran penuh, bahagikan 360° dengan empat: θ = 360°/4 = 90°. Nilai yang sama dalam radian hendaklah 2*π/4 ≈ 3.14/2 ≈ 1.57. Sudut lurus sama dengan separuh revolusi penuh, oleh itu, sebagai contoh, sudut pusat yang sepadan dengan suku daripadanya akan menjadi separuh daripada nilai yang dikira di atas dalam kedua-dua darjah dan radian.
Songsangan sinus dipanggil fungsi trigonometri arcsine. Ia boleh mengambil nilai dalam separuh daripada Pi, kedua-dua positif dan negatif apabila diukur dalam radian. Apabila diukur dalam darjah, nilai ini masing-masing akan berada dalam julat dari -90° hingga +90°.
Arahan
Beberapa nilai "bulat" tidak perlu dikira; ia lebih mudah diingati. Contohnya:- jika hujah fungsi sama dengan sifar, maka nilai lengkoknya juga adalah sifar; - daripada 1/2 bersamaan dengan 30° atau 1/6 Pi, jika diukur; - lengkok bagi -1/2 bersamaan dengan -30° atau -1/ 6 daripada nombor Pi dalam; - lengkok daripada 1 adalah bersamaan dengan 90° atau 1/2 daripada Pi dalam radian; - lengkok bagi -1 adalah bersamaan dengan -90° atau -1/2 daripada Pi dalam radian;
Untuk mengukur nilai fungsi ini daripada argumen lain, cara paling mudah ialah menggunakan standard kalkulator Windows, jika anda ada di tangan. Untuk memulakan, buka menu utama pada butang "Mula" (atau dengan menekan kekunci WIN), pergi ke bahagian "Semua Program", dan kemudian ke subseksyen "Aksesori" dan klik "Kalkulator".
Tukar antara muka kalkulator kepada mod pengendalian yang membolehkan anda mengira fungsi trigonometri. Untuk melakukan ini, buka bahagian "Lihat" dalam menunya dan pilih "Kejuruteraan" atau "Saintifik" (bergantung pada jenis sistem operasi).
Masukkan nilai hujah dari mana arctangent harus dikira. Ini boleh dilakukan dengan mengklik butang pada antara muka kalkulator dengan tetikus, atau dengan menekan kekunci pada , atau dengan menyalin nilai (CTRL + C) dan kemudian menampalnya (CTRL + V) ke dalam medan input kalkulator.
Pilih unit ukuran yang anda perlukan untuk mendapatkan hasil pengiraan fungsi. Di bawah medan input terdapat tiga pilihan, yang mana anda perlu memilih (dengan mengkliknya dengan tetikus) satu - , radian atau rad.
Tandakan kotak semak yang menyongsangkan fungsi yang ditunjukkan pada butang antara muka kalkulator. Di sebelahnya terdapat tulisan pendek Inv.
Klik butang dosa. Kalkulator akan menyongsangkan fungsi yang berkaitan dengannya, melakukan pengiraan dan membentangkan anda dengan keputusan dalam unit yang ditentukan.
Video mengenai topik
Salah satu yang biasa masalah geometri ialah pengiraan luas segmen bulat - bahagian bulatan yang dibatasi oleh kord dan kord yang sepadan dengan lengkok bulatan.
Luas segmen bulatan adalah sama dengan perbezaan antara luas sektor bulatan yang sepadan dan luas segi tiga yang dibentuk oleh jejari sektor yang sepadan dengan segmen dan kord yang mengehadkan segmen.
Contoh 1
Panjang kord yang menyamakan bulatan adalah sama dengan nilai a. Ukuran darjah lengkok yang sepadan dengan kord ialah 60°. Cari luas segmen bulatan.
Penyelesaian
Segitiga yang dibentuk oleh dua jejari dan kord adalah sama kaki, jadi ketinggian yang dilukis dari bucu sudut pusat ke sisi segi tiga ialah dibentuk oleh kord, juga akan menjadi pembahagi dua sudut pusat, membahagikannya kepada separuh, dan median, membahagikan kord kepada separuh. Mengetahui bahawa sinus sudut dalam adalah sama dengan nisbah sebelah bertentangan kepada hipotenus, anda boleh mengira jejari:
Sin 30°= a/2:R = 1/2;
Sc = πR²/360°*60° = πa²/6
S▲=1/2*ah, dengan h ialah ketinggian yang dilukis dari bucu sudut pusat ke kord. Mengikut teorem Pythagoras h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.
Sehubungan itu, S▲=√3/4*a².
Luas segmen, dikira sebagai Sreg = Sc - S▲, adalah sama dengan:
Sreg = πa²/6 - √3/4*a²
Menggantikan nilai angka Daripada nilai a, anda boleh mengira nilai berangka kawasan segmen dengan mudah.
Contoh 2
Jejari bulatan sama dengan nilai A. Ukuran darjah lengkok yang sepadan dengan segmen ialah 60°. Cari luas segmen bulatan.
Penyelesaian:
Kawasan sektor yang sepadan sudut yang diberi boleh dikira menggunakan formula berikut:
Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,
Luas segi tiga yang sepadan dengan sektor dikira seperti berikut:
S▲=1/2*ah, dengan h ialah ketinggian yang dilukis dari bucu sudut pusat ke kord. Mengikut teorem Pythagoras h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.
Sehubungan itu, S▲=√3/4*a².
Dan akhirnya, luas segmen, dikira sebagai Sreg = Sc - S▲, adalah sama dengan:
Sreg = πa²/6 - √3/4*a².
Penyelesaian dalam kedua-dua kes adalah hampir sama. Oleh itu, kita boleh membuat kesimpulan bahawa untuk mengira luas segmen dalam kes yang paling mudah, cukup untuk mengetahui nilai sudut yang sepadan dengan lengkok segmen dan salah satu daripada dua parameter - sama ada jejari bulatan atau panjang kord yang mencantumkan lengkok bulatan yang membentuk segmen.
Sumber:
- Segmen - geometri
Selalunya, proses persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik bermula dengan pengulangan definisi asas, formula dan teorem, termasuk topik "Sudut tengah dan tersurat dalam bulatan." Biasanya, bahagian ini planimetri telah dikaji sejak itu sekolah Menengah. Tidak hairanlah ramai pelajar menghadapi keperluan untuk mengulang konsep asas dan teorem mengenai topik "Sudut pusat bulatan." Setelah memahami algoritma penyelesaian tugasan yang serupa, pelajar akan dapat mengira untuk menerima markah kompetitif berdasarkan keputusan lulus peperiksaan negeri bersatu.
Bagaimana dengan mudah dan berkesan bersedia untuk lulus ujian pensijilan?
Belajar sebelum lulus single peperiksaan negeri, ramai pelajar sekolah menengah menghadapi masalah mencari maklumat yang diperlukan mengenai topik "Sudut tengah dan tersurat dalam bulatan." Tidak selalu buku teks sekolah tersedia di tangan. Dan mencari formula di Internet kadangkala mengambil banyak masa.
Pasukan kami akan membantu anda "mempertingkatkan" kemahiran anda dan meningkatkan pengetahuan anda dalam bahagian geometri yang sukar seperti planimetri portal pendidikan. "Shkolkovo" menawarkan pelajar sekolah menengah dan guru mereka cara baharu untuk membina proses persediaan untuk peperiksaan negeri bersatu. Semua bahan asas dibentangkan oleh pakar kami pada tahap maksimum yang mungkin. borang yang boleh diakses. Selepas membaca maklumat dalam bahagian "Latar Belakang Teori", pelajar akan mempelajari sifat sudut pusat bulatan, cara mencari nilainya, dsb.
Kemudian, untuk menyatukan pengetahuan yang diperoleh dan kemahiran amalan, kami mengesyorkan melakukan latihan yang sesuai. Banyak pilihan tugas untuk mencari saiz sudut yang ditulis dalam bulatan dan parameter lain dibentangkan dalam bahagian "Katalog". Untuk setiap latihan, pakar kami menulis penyelesaian terperinci dan menunjukkan jawapan yang betul. Senarai tugas di laman web ini sentiasa ditambah dan dikemas kini.
Pelajar sekolah menengah boleh bersedia untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu dengan berlatih latihan, sebagai contoh, untuk mencari magnitud sudut pusat dan panjang lengkok bulatan, dalam talian, dari mana-mana wilayah Rusia.
Jika perlu, tugas yang telah selesai boleh disimpan di bahagian "Kegemaran" untuk kembali kepadanya kemudian dan sekali lagi menganalisis prinsip penyelesaiannya.
Ini adalah sudut yang dibentuk oleh dua kord, yang berasal dari satu titik pada bulatan. Sudut tersurat dikatakan berehat pada arka yang tertutup di antara sisinya.
Sudut tersurat sama dengan separuh lengkok di mana ia terletak.
Dalam kata lain, sudut tersurat termasuk seberapa banyak darjah sudut, minit dan saat darjah arka, minit dan saat terkandung dalam separuh lengkok di mana ia terletak. Untuk mewajarkan ini, mari kita menganalisis tiga kes:
Kes pertama:
Pusat O terletak di sebelah sudut tersurat ABC. Melukis jejari AO, kita mendapat ΔABO, di dalamnya OA = OB (sebagai jejari) dan, dengan itu, ∠ABO = ∠BAO. Sehubungan dengan ini segi tiga, sudut AOC - luaran. Dan itu bermakna dia sama dengan jumlah sudut ABO dan BAO, atau sama dengan sudut berkembar ABO. Jadi ∠ABO bersamaan dengan separuh sudut pusat AOC. Tetapi sudut ini diukur dengan arka AC. Iaitu, sudut tersurat ABC diukur dengan separuh lengkok AC.
Kes kedua:
Pusat O terletak di antara sisi sudut tersurat ABC Setelah melukis diameter BD, kami membahagikan sudut ABC kepada dua sudut, yang mana, mengikut kes pertama, satu diukur dengan separuh. arka AD, dan separuh lagi CD arka. Dan sewajarnya, sudut ABC diukur (AD+DC) /2, i.e. 1/2 AC.
Kes ketiga:
Pusat O terletak di luar sudut tersurat ABC. Melukis diameter BD, kita akan mempunyai:∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . Tetapi sudut ABD dan CBD diukur berdasarkan separuh yang dibenarkan sebelum ini arka AD dan CD. Dan kerana ∠ABC diukur dengan (AD-CD)/2, iaitu separuh lengkok AC.
Akibat 1. Mana-mana yang berdasarkan lengkok yang sama adalah sama, iaitu, sama antara satu sama lain. Oleh kerana setiap daripada mereka diukur dengan separuh daripada yang sama arka .
Akibat 2. Sudut tersurat, berdasarkan diameter - sudut tepat. Oleh kerana setiap sudut tersebut diukur dengan separuh separuh bulatan dan, oleh itu, mengandungi 90°.