Kaedah aksiomatik: penerangan, peringkat perkembangan dan contoh.

12.9. Kaedah aksiomatik Bagi orang Yunani kuno, objek matematik mempunyai kewujudan sebenar dalam "dunia idea." Sesetengah sifat objek ini seolah-olah tidak dapat dinafikan sepenuhnya kepada mata minda dan diisytiharkan sebagai aksiom, yang lain - tidak jelas - sepatutnya

(Aksioma Yunani - kedudukan penting, diterima) - cara membina teori di mana beberapa pernyataan benar dipilih...

(Aksioma Yunani - kedudukan penting, diterima) - kaedah membina teori di mana beberapa pernyataan benar dipilih sebagai kedudukan awal (aksiom), dari mana baki pernyataan benar (teorem) teori ini kemudiannya disimpulkan dan dibuktikan secara logik. Kepentingan saintifik A.M. dibenarkan oleh Aristotle, yang merupakan orang pertama yang membahagikan keseluruhan set pernyataan yang benar kepada asas ("prinsip") dan yang memerlukan bukti ("boleh dibuktikan"). Dalam perkembangannya A.M. melalui tiga peringkat. Pada peringkat pertama A.M. adalah bermakna, aksiom telah diterima berdasarkan kejelasannya. Contoh pembinaan deduktif seperti teori ialah "Elemen" Euclid. Pada peringkat kedua, D. Hilbert memperkenalkan kriteria formal untuk aplikasi A.M. - keperluan ketekalan, kebebasan dan kesempurnaan sistem aksiom. Pada peringkat ketiga A.M. menjadi formal. Sehubungan itu, konsep "aksiom" telah berubah. Jika pada peringkat pertama perkembangan A.M. ia difahami bukan sahaja sebagai titik permulaan bukti, tetapi juga sebagai kedudukan sebenar yang tidak memerlukan bukti kerana kejelasannya, maka pada masa ini aksiom itu dibuktikan sebagai elemen yang diperlukan dalam teori, apabila pengesahan yang terakhir dipertimbangkan pada masa yang sama sebagai pengesahan asas aksiomatiknya sebagai titik permulaan pembinaan. Sebagai tambahan kepada pernyataan utama dan pengenalan dalam A.M. Tahap peraturan inferens khas juga mula menonjol. Oleh itu, bersama-sama dengan aksiom dan teorem sebagai set semua pernyataan benar bagi teori tertentu, aksiom dan teorem untuk peraturan inferens dirumuskan - metaaksiom dan metateorem. Pada tahun 1931, K. Gödel membuktikan teorem tentang ketidaklengkapan asas mana-mana sistem formal, kerana ia mengandungi proposisi yang tidak dapat diputuskan yang tidak dapat dibuktikan dan tidak dapat disangkal. Dengan mengambil kira batasan yang dikenakan ke atasnya, AM dianggap sebagai salah satu kaedah utama untuk membina teori formal (dan bukan hanya substantif) yang dibangunkan, bersama-sama dengan kaedah hypothetico-deduktif (yang kadangkala ditafsirkan sebagai "semi-aksiomatik") dan kaedah hipotesis matematik. Kaedah hypothetico-deductive, berbeza dengan A.M., melibatkan pembinaan hierarki hipotesis, di mana hipotesis yang lebih lemah diperolehi daripada yang lebih kuat dalam rangka sistem deduktif tunggal, di mana kekuatan hipotesis meningkat dengan jarak dari empirikal. asas sains. Ini membolehkan kita melemahkan kuasa sekatan A.M.: untuk mengatasi ketertutupan sistem aksiomatik kerana kemungkinan memperkenalkan hipotesis tambahan yang tidak terikat dengan peruntukan awal teori; memperkenalkan objek abstrak pelbagai peringkat organisasi realiti, i.e. keluarkan sekatan ke atas kesahihan aksiomatik "di semua dunia"; menghapuskan keperluan kesamaan aksiom. Sebaliknya, A.M., berbeza dengan kaedah hipotesis matematik, yang memfokuskan kepada peraturan untuk membina hipotesis matematik yang berkaitan dengan fenomena yang belum dipelajari, membolehkan seseorang menarik minat bidang subjek kandungan tertentu.

V.L. Abushenko

Kaedah Aksiomatik

Salah satu kaedah membina teori saintifik secara deduktif, di mana: 1) set tertentu dipilih yang diterima tanpa...

Salah satu kaedah membina teori saintifik secara deduktif, di mana: 1) set proposisi tertentu bagi teori tertentu (aksiom) diterima tanpa bukti; 2) konsep yang terkandung di dalamnya tidak ditakrifkan dengan jelas dalam kerangka teori ini; 3) peraturan definisi dan peraturan inferens teori tertentu adalah tetap, membolehkan seseorang untuk memperkenalkan istilah (konsep) baru ke dalam teori dan secara logik memperoleh beberapa cadangan daripada yang lain; 4) semua proposisi lain teori (teorem) ini diperoleh daripada (1) berdasarkan (3). Idea pertama tentang A. m. Greece (Eleatics, Plato. Aristotle, Euclid). Selepas itu, percubaan dibuat untuk memberikan persembahan aksiomatik pelbagai bahagian falsafah dan sains (Spinoza, Newton, dll.) Kajian-kajian ini dicirikan oleh pembinaan aksiomatik yang bermakna bagi teori tertentu (dan hanya satu), manakala perhatian utama diberikan. kepada definisi dan pemilihan aksiom yang jelas secara intuitif Bermula dari separuh kedua Pada abad ke-19, sehubungan dengan perkembangan intensif masalah pembuktian matematik dan logik matematik, teori aksiomatik mula dianggap sebagai formal (dan dari 20. -30-an abad ke-20 - sebagai sistem rasmi, mewujudkan hubungan antara unsur-unsurnya (tanda) dan menerangkan sebarang set objek yang memuaskannya. Pada masa yang sama, yang utama perhatian mula diberikan untuk mewujudkan ketekalan sistem, kesempurnaannya, kebebasan sistem aksiom, dsb. Disebabkan fakta bahawa sistem tanda boleh dipertimbangkan sama ada tanpa mengira kandungan yang boleh diwakili di dalamnya, atau mengambil ia mengambil kira, sintaksis dan semantik adalah sistem aksiomatik yang dibezakan (hanya yang kedua mewakili pengetahuan saintifik itu sendiri) Perbezaan ini memerlukan perumusan asas. keperluan untuk mereka, pada dua tahap, sintaksis dan semantik (konsistensi sintaksis dan semantik, kesempurnaan, kebebasan aksiom, dll.) Analisis sistem aksiomatik yang diformalkan membawa kepada penubuhan batasan asas mereka, yang utama di antaranya ialah ketidakmungkinan aksiomatisasi lengkap sistem yang cukup dibangunkan yang dibuktikan oleh teori saintifik Gödel (contohnya, aritmetik nombor asli), yang membayangkan kemustahilan pemformalan lengkap pengetahuan saintifik hanyalah salah satu kaedah untuk membina pengetahuan saintifik, tetapi penggunaannya sebagai cara saintifik penemuan sangat terhad. Axiomatization biasanya dijalankan selepas teori telah cukup dibina dalam kandungannya, dan memenuhi tujuan perwakilan yang lebih tepat, khususnya, terbitan ketat semua akibat daripada premis yang diterima Dalam 30-40 tahun yang lalu, banyak perhatian telah diberikan kepada aksiomatisasi bukan sahaja disiplin matematik, tetapi juga bahagian tertentu fizik, biologi, psikologi, ekonomi, linguistik, dll., termasuk teori struktur dan dinamik pengetahuan saintifik. Apabila mempelajari sains semula jadi (secara amnya, mana-mana pengetahuan bukan matematik), kaedah matematik muncul dalam bentuk kaedah hipotetik-deduktif (lihat juga Formalisasi)

Kaedah Aksiomatik

Kaedah membina teori di mana ia berdasarkan peruntukan awal tertentu - aksiom atau postulat...

Kaedah membina teori di mana ia berdasarkan peruntukan awal tertentu - aksiom atau postulat, dari mana semua pernyataan lain teori ini mesti disimpulkan dengan cara yang logik semata-mata.

Kaedah Aksiomatik

Kaedah membina teori saintifik di mana beberapa peruntukan teori dipilih sebagai yang awal, dan semua yang lain...

Kaedah membina teori saintifik di mana beberapa peruntukan teori dipilih sebagai yang awal, dan semua peruntukan lain disimpulkan daripadanya dengan cara yang logik semata-mata, melalui bukti. Pernyataan yang dibuktikan berdasarkan aksiom dipanggil teorem.

A. m adalah cara khas untuk menentukan objek dan hubungan di antara mereka (lihat: Definisi aksiomatik). A. m. digunakan dalam matematik, logik, serta dalam cabang fizik, biologi, dsb. A. m. berasal dari zaman dahulu dan mendapat kemasyhuran yang hebat berkat "Elemen" Euclid, yang muncul sekitar 330–320. BC e. Euclid, bagaimanapun, gagal untuk menerangkan dalam "aksiom dan postulat"nya semua sifat objek geometri yang sebenarnya digunakannya; buktinya disertakan dengan banyak lukisan. Andaian "tersembunyi" geometri Euclid hanya didedahkan pada zaman moden oleh D. Hilbert (1862-1943), yang menganggap teori aksiomatik sebagai teori formal yang mewujudkan hubungan antara unsur-unsurnya (tanda) dan menerangkan sebarang set objek yang memuaskannya. . Pada masa kini, teori aksiomatik sering dirumuskan sebagai sistem formal yang mengandungi penerangan tepat tentang cara logik untuk mendapatkan teorem daripada aksiom. Bukti dalam teori sedemikian ialah urutan formula, setiap satunya adalah sama ada aksiom atau diperoleh daripada formula sebelumnya dalam urutan mengikut salah satu peraturan inferens yang diterima.

Sistem formal aksiomatik tertakluk kepada keperluan ketekalan, kesempurnaan, kebebasan sistem aksiom, dsb.

A.M. hanyalah salah satu kaedah membina pengetahuan saintifik. Ia mempunyai aplikasi yang terhad, kerana ia memerlukan tahap pembangunan yang tinggi bagi teori substantif aksioma.

Seperti yang ditunjukkan oleh ahli matematik dan logik terkenal K. Gödel, teori saintifik yang cukup kaya (contohnya, aritmetik nombor asli) tidak membenarkan aksiomatisasi lengkap. Ini menunjukkan batasan A.M. dan kemustahilan pemformalan lengkap pengetahuan saintifik (lihat: teorem Gödel).

Aksiom ialah titik permulaan, asal kedudukan teori yang menjadi asas kepada bukti peruntukan lain (contohnya, teorem) teori ini, di mana ia diterima tanpa bukti. Dalam kesedaran dan bahasa sehari-hari, aksiom adalah kebenaran tertentu yang tidak dapat dipertikaikan sehingga ia tidak memerlukan bukti.

Jadi, kaedah aksiomatik- ini adalah salah satu kaedah pembinaan deduktif teori saintifik, di mana satu set peruntukan tertentu diterima tanpa bukti, yang dipanggil "prinsip", "postulatan" atau "aksiom", dipilih, dan semua cadangan lain teori itu dipilih. diperolehi sebagai akibat logik aksiom ini.

Kaedah aksiomatik dalam matematik berasal sekurang-kurangnya dari Euclid, walaupun istilah "aksiom" sering dijumpai dalam Aristotle: "... Kerana bukti adalah mustahil untuk segala-galanya: selepas semua, bukti mesti diberikan berdasarkan sesuatu mengenai sesuatu dan untuk membenarkan sesuatu. Oleh itu, ternyata semua yang dibuktikan mestilah tergolong dalam genus yang sama, kerana semua sains pembuktian menggunakan aksiom dengan cara yang sama.<…>Aksiom mempunyai tahap keumuman tertinggi dan merupakan intipati permulaan segala-galanya.<…>Saya memanggil prinsip pembuktian sebagai peruntukan yang diterima umum atas dasarnya setiap orang membina pembuktian mereka.<…>Tidak perlu bertanya "mengapa" tentang prinsip pengetahuan, dan setiap prinsip ini dengan sendirinya mesti boleh dipercayai. Apa yang munasabah adalah apa yang kelihatan betul kepada semua atau kebanyakan orang, atau bagi orang bijak - kepada semua atau sebahagian besar daripada mereka, atau kepada yang paling terkenal dan mulia." (Lihat, sebagai contoh, Aristotle. Bekerja dalam empat jilid. T. 2. Topeka. M.: Mysl, 1978. P. 349).

Seperti yang dapat dilihat dari serpihan terakhir Topik Aristotle, asas untuk menerima aksiom adalah "kebolehpercayaan" tertentu dan juga pihak berkuasa orang "terkenal dan terkenal". Tetapi pada masa ini ini tidak dianggap sebagai alasan yang mencukupi. Sains tepat moden, termasuk matematik itu sendiri, tidak menggunakan kejelasan sebagai hujah kebenaran: aksiom hanya diperkenalkan dan diterima tanpa bukti.

David Hilbert (1862-1943), ahli matematik dan fizik Jerman, menegaskan bahawa istilah aksiomatik kadangkala digunakan dalam erti kata yang lebih luas dan kadangkala dalam erti kata yang lebih sempit. Dengan pemahaman yang paling luas tentang istilah ini, kami memanggil pembinaan teori "aksiomatik." Dalam hal ini, D. Gilbert membezakan aksiomatik kandungan dan aksiomatik formal.

Yang pertama “... memperkenalkan konsep asasnya dengan merujuk kepada pengalaman sedia ada kami, dan sama ada menganggap peruntukan utamanya sebagai fakta jelas yang boleh disahkan secara langsung, atau merumuskannya sebagai hasil daripada pengalaman tertentu dan dengan itu menyatakan keyakinan kami bahawa kami berjaya menyerang jejak hukum alam, dan pada masa yang sama niat kami untuk menyokong keyakinan ini dengan kejayaan teori yang dibangunkan. Aksiomatik formal juga perlu mengiktiraf bukti sesuatu jenis - ini adalah perlu untuk pelaksanaan potongan dan untuk mewujudkan ketekalan aksiomatik itu sendiri - walau bagaimanapun, dengan perbezaan yang ketara bahawa jenis bukti ini tidak berdasarkan mana-mana hubungan epistemologi khas kepada bidang khusus yang sedang dipertimbangkan sains, tetapi tetap sama dalam kes mana-mana aksiomatik: kami maksudkan di sini cara asas pengetahuan yang secara amnya merupakan prasyarat untuk sebarang penyelidikan teori yang tepat.<…>Aksiomatisasi formal semestinya memerlukan yang substantif sebagai pelengkapnya, kerana yang terakhir inilah yang mula-mula membimbing kita dalam proses memilih formalisme yang sesuai, dan kemudian, apabila teori formal sudah ada pada kita, ia memberitahu kita bagaimana teori ini harus digunakan. kepada bidang yang dipertimbangkan realiti. Sebaliknya, kita tidak boleh mengehadkan diri kita kepada aksiomatik yang bermakna kerana alasan mudah bahawa dalam sains - jika tidak selalu, maka kebanyakannya - kita berurusan dengan teori yang tidak sepenuhnya menghasilkan semula keadaan sebenar, tetapi hanya memudahkan idealisasi kedudukan ini, yang merupakan kepentingan mereka. Teori semacam ini, sudah tentu, tidak boleh dibenarkan dengan merujuk kepada bukti aksiom atau pengalamannya. Selain itu, justifikasinya boleh dilakukan hanya dalam erti kata bahawa konsistensi idealisasi yang dihasilkan di dalamnya akan ditetapkan, i.e. ekstrapolasi itu, akibatnya konsep yang diperkenalkan dalam teori ini dan peruntukan utamanya melebihi sempadan yang jelas secara visual atau data pengalaman"(huruf condong saya - Yu.E.). (Hilbert D., Bernays P. Asas Matematik. M.: Nauka, 1979. P. 23.)

Oleh itu, kaedah aksiomatik yang difahami secara moden adalah seperti berikut: a) pilih satu set diterima tanpa bukti aksiom; b) konsep yang terkandung di dalamnya tidak ditakrifkan dengan jelas dalam kerangka teori ini; c) peraturan definisi dan peraturan inferens bagi teori tertentu adalah tetap, membolehkan seseorang membuat kesimpulan secara logik beberapa andaian daripada yang lain; d) semua teorem lain disimpulkan daripada “a” berdasarkan “c”. Pelbagai bahagian sedang dibina menggunakan kaedah ini. ahli matematik(geometri, teori kebarangkalian, algebra, dll.), ahli fizik(mekanik, termodinamik); percubaan sedang dibuat untuk aksiomatisasi kimia Dan biologi. Gödel membuktikan kemustahilan aksiomatisasi lengkap teori saintifik yang cukup maju (contohnya, aritmetik nombor asli), yang membayangkan ketidakmungkinan pemformalan lengkap pengetahuan saintifik. Apabila mengkaji pengetahuan sains semula jadi, kaedah aksiomatik muncul dalam bentuk kaedah hypothetico-deduktif. Penggunaan konsep "aksiom" dalam pertuturan seharian sebagai sejenis a priori kejelasan tidak lagi mencerminkan intipati konsep ini. Pemahaman Aristotelian tentang istilah ini dalam matematik dan sains semula jadi kini telah dapat diatasi. Adalah sesuai untuk mengiringi perbincangan aksiomatik dengan serpihan karya klasik Karl Raymund Popper:

“Sesuatu sistem teori boleh dipanggil aksioma jika satu set pernyataan aksiom dirumuskan yang memenuhi empat keperluan asas berikut: (a) sistem aksiom mesti konsisten(iaitu, ia tidak boleh mengandungi sama ada aksiom bercanggah diri atau percanggahan antara aksiom). Ini bersamaan dengan keperluan bahawa tidak setiap pernyataan arbitrari boleh disimpulkan dalam sistem sedemikian. (b) Aksiom sistem tertentu mestilah bebas, iaitu sistem tidak boleh mengandungi aksiom yang boleh diterbitkan daripada aksiom lain. (Dengan kata lain, pernyataan tertentu boleh dipanggil aksiom hanya jika ia tidak boleh disimpulkan dalam bahagian sistem yang tinggal selepas penyingkirannya). Kedua-dua keadaan ini berkaitan dengan sistem aksiom itu sendiri. Bagi hubungan sistem aksiom dengan bahagian utama teori, aksiom mestilah: (c) mencukupi untuk penolakan semua pernyataan kepunyaan teori aksioma, dan d) perlu dalam erti kata bahawa sistem tidak sepatutnya mengandungi andaian yang tidak perlu.<…>Saya menganggap dua tafsiran berbeza bagi mana-mana sistem aksiom boleh diterima. Aksiom boleh dianggap sama ada (1) sebagai konvensyen, sama ada (2) sebagai empirikal, atau saintifik hipotesis"(Popper K.R. Logik penyelidikan saintifik. M.: Respublika, 2005. P. 65).

Dalam sejarah sains seseorang boleh menemui beberapa contoh peralihan kepada cara aksiomatik untuk mengemukakan teori. Selain itu, aplikasi konsisten kaedah ini kepada logik pembuktian teorem dalam geometri memungkinkan untuk memikirkan semula sains kuno ini, membuka dunia "geometri bukan Euclidean" (A. I. Lobachevsky, J. Bolyai, K. Gauss, G. F. B. Riemann, dll.). Kaedah ini ternyata mudah dan produktif, membolehkan seseorang membina teori saintifik secara literal sebagai kristal tunggal (ini adalah bagaimana, khususnya, mekanik teori dan termodinamik klasik kini dibentangkan). Agak kemudian, sudah dalam 30-an abad ke-20, ahli matematik domestik Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) memberikan justifikasi aksiomatik untuk teori kebarangkalian, yang, seperti yang dipercayai oleh ahli sejarah sains, sebelum ini berdasarkan imej empirikal perjudian. (“lambung”, dadu, kad). Dalam hal ini, masuk akal untuk menawarkan pembaca dua serpihan dari teks klasik sains dan pedagogi, yang tahu cara menulis, seperti yang dikatakan Berdyaev, bukan sahaja "tentang sesuatu," tetapi juga "sesuatu."

R. Courant dan G. Robbins: "Terdapat satu aksiom dalam sistem Euclidian, mengenainya - berdasarkan perbandingan dengan data empirikal, menggunakan benang tegang atau sinar cahaya - adalah mustahil untuk mengatakan sama ada ia "benar." Ini terkenal postulat tentang selari, yang menyatakan bahawa melalui titik tertentu yang terletak di luar garis tertentu seseorang boleh melukis satu dan hanya satu garisan selari dengan yang ini. Ciri khas aksiom ini ialah pernyataan yang terkandung di dalamnya berkenaan dengan sifat-sifat garis lurus sepanjang keseluruhannya, dan garis itu diandaikan dilanjutkan selama-lamanya dalam kedua-dua arah: untuk mengatakan bahawa dua baris adalah selari bermaksud untuk mengatakan bahawa mereka tidak dapat mencari titik yang sama, tidak kira sejauh mana ia dilanjutkan, Agak jelas bahawa dalam satu titik tertentu. terhad bahagian satah, tidak kira betapa luasnya bahagian ini, sebaliknya, adalah mungkin untuk melukis melalui titik tertentu banyak garis lurus yang tidak bersilang dengan garis lurus yang diberikan. Memandangkan panjang maksimum pembaris, benang, malah pancaran cahaya yang dijejaki dengan teleskop pastinya terhingga, dan kerana di dalam bulatan jejari terhingga terdapat banyak garis lurus yang melalui titik tertentu dan dalam bulatan itu tidak bertemu dengan titik tertentu. garis lurus, ia berikutan bahawa postulat Euclid tidak boleh disahkan secara eksperimen.<…>Ahli matematik Hungary Bolyai dan ahli matematik Rusia Lobachevsky menamatkan keraguan dengan membina dalam semua butiran sistem geometri di mana aksiom selari ditolak. Apabila Bolyai menghantar karyanya kepada "raja matematik" Gauss, yang daripadanya dia sangat menantikan sokongan, dia menerima sebagai maklum balas pemberitahuan bahawa Gauss sendiri telah membuat penemuan itu lebih awal, tetapi dia telah menahan diri daripada menerbitkan keputusan pada masa itu, kerana takut perbincangan yang terlalu bising.

Mari kita lihat apa maksud kebebasan aksiom selari. Kebebasan ini harus difahami dalam erti kata bahawa adalah mungkin untuk membina ayat "geometrik" tentang titik, garis, dsb., bebas daripada percanggahan dalaman, berdasarkan sistem aksiom di mana aksiom selari digantikan dengan sebaliknya. Binaan ini dipanggil geometri bukan Euclidean(huruf condong saya - Yu.E.). Ia memerlukan keberanian intelektual Gauss, Bolyai dan Lobachevsky untuk menyedari bahawa geometri, bukan berdasarkan sistem aksiom Euclidean, mungkin konsisten sepenuhnya(huruf condong saya - Yu.E.).<…>Kami kini dapat membina "model" mudah geometri sedemikian yang memenuhi semua aksiom Euclid, kecuali aksiom selari" (R. Kurant, G. Robbins. Apakah itu matematik? M.: Prosveshchenie, 1967. P. 250).

Pelbagai versi geometri bukan Euclidean (contohnya, geometri Riemann, serta geometri dalam ruang lebih daripada tiga dimensi) kemudiannya menemui aplikasi dalam pembinaan teori yang berkaitan dengan dunia mikro (mekanik kuantum relativistik, fizik zarah) dan, sebaliknya, ke dunia mega (relativiti am) .

Akhir sekali, pendapat ahli matematik Rusia Andrei Nikolaevich Kolmogorov: “Teori kebarangkalian atau disiplin matematik boleh dan harus diaksiomatiskan dalam erti kata yang sama seperti geometri atau algebra. Ini bermakna, selepas nama objek yang dikaji dan hubungan asasnya diberikan, serta aksiom yang mesti dipatuhi oleh hubungan ini, semua pembentangan selanjutnya hendaklah berdasarkan secara eksklusif pada aksiom ini, tanpa bergantung pada makna konkrit biasa objek ini dan hubungannya(huruf condong saya - Yu.E.).<…>Mana-mana teori aksiomatik (abstrak) membenarkan, seperti yang diketahui, bilangan tafsiran khusus yang tidak terhingga. Oleh itu, teori matematik kebarangkalian membenarkan, bersama-sama dengan tafsiran dari mana ia timbul, juga banyak lagi.<…>Aksiomatisasi teori kebarangkalian boleh dijalankan dalam pelbagai cara, baik berhubung dengan pilihan aksiom dan pemilihan konsep asas dan hubungan asas. Jika kita mengejar matlamat kemungkinan kesederhanaan kedua-dua sistem aksiom itu sendiri dan pembinaan teori selanjutnya daripadanya, maka nampaknya paling sesuai untuk mengaksiomatkan konsep kejadian rawak dan kebarangkaliannya. Terdapat juga sistem lain untuk pembinaan aksiomatik teori kebarangkalian, iaitu yang konsep kebarangkalian bukanlah salah satu daripada konsep asas, tetapi ia sendiri dinyatakan melalui konsep lain [nota kaki: Cf., contohnya, von Mises R. Wahrscheinlichkeitsrechnung , Leipzig u. Wien, Perancis Deuticke, 1931; Bernstein S.N. Theory of Probability, ed. ke-2, Moscow, GTTI, 1934]. Pada masa yang sama, mereka berusaha, walau bagaimanapun, untuk matlamat lain, iaitu, sedekat mungkin dengan hubungan terdekat antara teori matematik dan kemunculan empirikal konsep kebarangkalian” (Kolmogorov A.N. Konsep asas teori kebarangkalian. M.: Nauka , 1974. Hlm 9).

Kaedah aksiomatik pertama kali berjaya digunakan oleh Euclid untuk membina geometri asas. Sejak masa itu, kaedah ini telah mengalami evolusi yang ketara dan telah menemui banyak aplikasi bukan sahaja dalam matematik, tetapi juga dalam banyak cabang sains semula jadi yang tepat (mekanik, optik, elektrodinamik, teori relativiti, kosmologi, dll.).

Pembangunan dan penambahbaikan kaedah aksiomatik berlaku di sepanjang dua baris utama: pertama, generalisasi kaedah itu sendiri dan, kedua, pembangunan teknik logik yang digunakan dalam proses mendapatkan teorem daripada aksiom. Untuk lebih jelas membayangkan sifat perubahan yang telah berlaku, mari kita beralih kepada aksiomatik asal Euclid. Seperti yang diketahui, konsep awal dan aksiom geometri ditafsirkan dalam satu-satunya cara. Mengikut titik, garis dan satah, sebagai konsep asas geometri, objek spatial yang ideal dimaksudkan, dan geometri itu sendiri dianggap sebagai kajian sifat ruang fizikal. Secara beransur-ansur menjadi jelas bahawa aksiom Euclid ternyata benar bukan sahaja untuk menerangkan sifat geometri, tetapi juga objek matematik dan fizikal yang lain. Jadi, jika dengan satu titik kita maksudkan tiga kali ganda nombor nyata, dan dengan garis lurus dan satah - persamaan linear yang sepadan, maka sifat semua objek bukan geometri ini akan memenuhi aksiom geometri Euclid. Lebih menarik lagi ialah tafsiran aksiom ini dengan bantuan objek fizikal, contohnya, keadaan sistem mekanikal dan fizikokimia atau pelbagai sensasi warna. Semua ini menunjukkan bahawa aksiom geometri boleh ditafsir menggunakan objek yang sangat berbeza sifatnya.

Pendekatan abstrak kepada aksiomatik ini sebahagian besarnya disediakan oleh penemuan geometri bukan Euclidean oleh N. I. Lobachevsky, J. Bolyai, C. F. Gauss dan B. Riemann. Ungkapan yang paling konsisten tentang pandangan baru aksiom sebagai bentuk abstrak yang membenarkan banyak tafsiran berbeza ditemui dalam karya terkenal D. Hilbert "Foundations of Geometry" (1899). "Kami fikir," dia menulis dalam buku ini, "tentang tiga sistem perkara yang berbeza: kami memanggil perkara-perkara sistem pertama titik dan menandakan A, B, C,...; Kami memanggil perkara dalam sistem kedua secara langsung dan menandakan a, b, c,...; Kami memanggil benda-benda pesawat sistem ketiga dan menetapkannya sebagai a, B, y,...". Dari sini jelas bahawa dengan "titik", "garis lurus" dan "satah" kita boleh bermaksud mana-mana sistem objek. Ia hanya penting bahawa sifat mereka diterangkan oleh aksiom yang sepadan. Langkah seterusnya pada laluan ke abstraksi daripada kandungan aksiom dikaitkan dengan perwakilan simboliknya dalam bentuk formula, serta spesifikasi tepat peraturan inferens yang menerangkan bagaimana formula lain (teorem) diperoleh daripada beberapa formula ( aksiom). Akibatnya, penaakulan bermakna dengan konsep pada peringkat penyelidikan ini bertukar menjadi beberapa operasi dengan formula mengikut peraturan yang telah ditetapkan. Dengan kata lain, pemikiran yang bermakna dicerminkan di sini dalam kalkulus. Sistem aksiomatik seperti ini sering dipanggil sistem sintaksis formal, atau calculi.

Ketiga-tiga jenis aksiomatisasi yang dipertimbangkan digunakan dalam sains moden. Sistem aksiomatik formal digunakan terutamanya apabila mengkaji asas logik sains tertentu. Penyelidikan sedemikian telah mendapat skop terbesar dalam matematik berkaitan dengan penemuan paradoks dalam teori set. Sistem formal memainkan peranan penting dalam penciptaan bahasa saintifik khas, dengan bantuan yang mungkin untuk menghapuskan sebanyak mungkin ketidaktepatan bahasa biasa dan semula jadi.

Sesetengah saintis menganggap perkara ini hampir menjadi perkara utama dalam proses mengaplikasikan kaedah logik-matematik dalam sains tertentu. Oleh itu, saintis Inggeris I. Woodger, yang merupakan salah seorang pelopor penggunaan kaedah aksiomatik dalam biologi, percaya bahawa aplikasi kaedah ini dalam biologi dan cabang sains semula jadi yang lain terdiri dalam mencipta bahasa yang sempurna secara saintifik di mana kalkulus adalah mungkin. Asas untuk membina bahasa sedemikian adalah kaedah aksiomatik, dinyatakan dalam bentuk sistem formal, atau kalkulus. Simbol awal dua jenis berfungsi sebagai abjad bahasa rasmi: logik dan individu.

Simbol logik mewakili sambungan logik dan perhubungan yang biasa kepada banyak atau kebanyakan teori. Simbol individu mewakili objek teori yang dikaji, contohnya matematik, fizikal atau biologi. Sama seperti urutan huruf abjad tertentu membentuk perkataan, begitu juga koleksi terhingga simbol tersusun membentuk formula dan ungkapan bahasa rasmi. Untuk membezakan ungkapan bahasa yang bermakna, konsep formula yang dibina dengan betul diperkenalkan. Untuk melengkapkan proses membina bahasa buatan, adalah memadai untuk menerangkan dengan jelas peraturan untuk memperoleh atau menukar satu formula kepada yang lain dan menyerlahkan beberapa formula yang dibina dengan betul sebagai aksiom. Oleh itu, pembinaan bahasa formal berlaku dengan cara yang sama seperti pembinaan sistem aksiomatik yang bermakna. Memandangkan penaakulan bermakna dengan formula tidak boleh diterima dalam kes pertama, terbitan logik akibat di sini adalah untuk melaksanakan operasi yang ditetapkan dengan tepat untuk mengendalikan simbol dan gabungannya.

Tujuan utama menggunakan bahasa rasmi dalam sains adalah analisis kritikal penaakulan dengan bantuan pengetahuan baru dalam sains diperolehi. Memandangkan bahasa formal mencerminkan beberapa aspek penaakulan yang bermakna, ia juga boleh digunakan untuk menilai kemungkinan mengautomasikan aktiviti intelektual.

Sistem aksiomatik abstrak paling banyak digunakan dalam matematik moden, yang dicirikan oleh pendekatan yang sangat umum kepada subjek penyelidikan. Daripada bercakap tentang nombor konkrit, fungsi, garis, permukaan, vektor dan seumpamanya, ahli matematik moden menganggap pelbagai set objek abstrak, yang sifatnya dirumus dengan tepat melalui aksiom. Koleksi, atau set sedemikian, bersama-sama dengan aksiom yang menerangkannya, kini sering dipanggil struktur matematik abstrak.

Apakah kelebihan yang akan diberikan oleh kaedah aksiomatik kepada matematik? Pertama, ia meluaskan skop penggunaan kaedah matematik dengan ketara dan sering memudahkan proses penyelidikan. Apabila mengkaji fenomena dan proses tertentu dalam kawasan tertentu, saintis boleh menggunakan sistem aksiomatik abstrak sebagai alat analisis sedia ada. Setelah memastikan bahawa fenomena yang dipertimbangkan memenuhi aksiom teori matematik tertentu, penyelidik boleh segera menggunakan semua teorem yang mengikuti daripada aksiom tanpa kerja intensif buruh tambahan. Pendekatan aksiomatik menyelamatkan pakar dalam sains tertentu daripada melakukan penyelidikan matematik yang agak rumit dan sukar.

Bagi seorang ahli matematik, kaedah ini memungkinkan untuk memahami dengan lebih baik objek penyelidikan, menyerlahkan hala tuju utama di dalamnya, dan memahami perpaduan dan perkaitan kaedah dan teori yang berbeza. Perpaduan yang dicapai dengan bantuan kaedah aksiomatik, dalam ungkapan kiasan N. Bourbaki, bukanlah perpaduan "yang memberikan rangka tanpa kehidupan. Ia adalah jus badan yang berkhasiat dalam perkembangan penuh, instrumen penyelidikan yang mudah dibentuk dan berbuah...” Terima kasih kepada kaedah aksiomatik, terutamanya dalam bentuk formalnya, ia menjadi mungkin untuk mendedahkan sepenuhnya struktur logik pelbagai teori. Dalam bentuk yang paling sempurna, ini terpakai kepada teori matematik. Dalam pengetahuan sains semula jadi kita perlu menghadkan diri kita untuk mengaksiomatkan teras utama teori. Selanjutnya, penggunaan kaedah aksiomatik memungkinkan untuk mengawal perjalanan penaakulan kita dengan lebih baik, mencapai ketelitian logik yang diperlukan. Walau bagaimanapun, nilai utama aksiomatisasi, terutamanya dalam matematik, adalah ia bertindak sebagai kaedah untuk meneroka corak baru, mewujudkan hubungan antara konsep dan teori yang sebelum ini kelihatan terasing antara satu sama lain.

Penggunaan terhad kaedah aksiomatik dalam sains semula jadi dijelaskan terutamanya oleh fakta bahawa teorinya mesti sentiasa dipantau oleh pengalaman.

Oleh kerana itu, teori sains semula jadi tidak pernah berusaha untuk kesempurnaan dan pengasingan sepenuhnya. Sementara itu, dalam matematik mereka lebih suka berurusan dengan sistem aksiom yang memenuhi keperluan kesempurnaan. Tetapi seperti yang ditunjukkan oleh K. Gödel, mana-mana sistem aksiom yang konsisten yang bersifat bukan remeh tidak boleh lengkap.

Keperluan untuk ketekalan sistem aksiom adalah lebih penting daripada keperluan untuk kesempurnaannya. Jika sistem aksiom bercanggah, ia tidak akan bernilai apa-apa untuk pengetahuan. Dengan mengehadkan diri kita kepada sistem yang tidak lengkap, adalah mungkin untuk mengaksiomatkan hanya kandungan utama teori sains semula jadi, meninggalkan kemungkinan untuk pembangunan lanjut dan penghalusan teori melalui eksperimen. Malah matlamat terhad sedemikian dalam beberapa kes ternyata sangat berguna, contohnya, untuk menemui beberapa premis tersirat dan andaian teori, memantau hasil yang diperoleh, sistematisasi mereka, dll.

Aplikasi kaedah aksiomatik yang paling menjanjikan adalah dalam sains di mana konsep yang digunakan mempunyai kestabilan yang ketara dan di mana seseorang boleh abstrak daripada perubahan dan perkembangannya.

Ia adalah di bawah keadaan ini bahawa ia menjadi mungkin untuk mengenal pasti hubungan formal-logik antara pelbagai komponen teori. Oleh itu, kaedah aksiomatik, pada tahap yang lebih besar daripada kaedah hipotetik-deduktif, disesuaikan untuk kajian pengetahuan yang telah siap dan dicapai.

Analisis kemunculan ilmu dan proses pembentukannya memerlukan beralih kepada dialektik materialis, sebagai doktrin pembangunan yang paling mendalam dan komprehensif.