Geometri algebra, analisis sebenar dan kompleks, fizik matematik dan , serta ) tidak diselesaikan. Pada masa ini, 16 daripada 23 masalah telah diselesaikan 2 lagi adalah masalah matematik yang tidak betul (satu dirumus terlalu kabur untuk memahami sama ada ia telah diselesaikan atau tidak, yang lain, jauh daripada diselesaikan, adalah fizikal, bukan matematik) . Daripada 5 masalah yang tinggal, tiga tidak diselesaikan, dan dua diselesaikan hanya untuk beberapa kes.
Senarai masalah
| 1 | diselesaikan | Masalah Cantor pada kuasa kontinum () |
| 2 | diselesaikan | Ketekalan aksiom aritmetik |
| 3 | diselesaikan | Kesetaraan saiz yang sama |
| 4 | terlalu kabur | Senaraikan garisan di mana garisan tersebut adalah geodesik |
| 5 | diselesaikan | Adakah semua berterusan? |
| 6 | bukan matematik | Persembahan matematik aksiom fizik |
| 7 | diselesaikan | Jika a≠ 0, 1 - , dan b- algebra, tetapi tidak rasional, adakah benar itu a b - |
| 8 | buka | Masalah nombor perdana( Dan ) |
| 9 | sebahagiannya diselesaikan | Buktinya paling banyak undang-undang am timbal balik dalam sebarang medan nombor |
| 10 | diselesaikan | Masalah kebolehlarutan |
| 11 | diselesaikan | Kajian bentuk kuadratik dengan pekali berangka algebra arbitrari |
| 12 | buka | Lanjutan teorem Kronecker tentang medan Abelian kepada domain rasionaliti algebra yang sewenang-wenangnya |
| 13 | diselesaikan | Kemustahilan penyelesaian persamaan am kuasa ketujuh menggunakan fungsi yang bergantung kepada dua pembolehubah sahaja |
| 14 | diselesaikan | Bukti penjanaan terhingga algebra bagi invarian kumpulan algebra |
| 15 | diselesaikan | Justifikasi yang ketat terhadap geometri pengiraan Schubert |
| 16 | sebahagiannya diselesaikan | Bilangan dan lokasi bujur lengkung algebra sebenar bagi darjah tertentu pada satah; bilangan dan lokasi kitaran had polinomial medan vektor diberi ijazah dalam kapal terbang |
| 17 | diselesaikan | Perwakilan bentuk tertentu sebagai jumlah segi empat sama |
| 18 | sebahagiannya diselesaikan | Pengisian ruang yang tidak teratur dengan polyhedra yang kongruen. Pembungkusan bola yang paling padat |
| 19 | diselesaikan | Adakah penyelesaian variasi biasa sentiasa analitikal? |
| 20 | diselesaikan | Tugas am tentang syarat sempadan (?) |
| 21 | diselesaikan | Bukti kewujudan persamaan pembezaan linear dengan kumpulan monodromi yang diberikan |
| 22 | diselesaikan | Penyeragaman kebergantungan analitik menggunakan fungsi automorfik |
| 23 | diselesaikan | Pembangunan kaedah kalkulus variasi |
Nota kaki
- Keputusan Cohen menunjukkan bahawa hipotesis kontinum mahupun penolakannya tidak bercanggah (sistem piawai aksioma teori set). Oleh itu, hipotesis kontinum dalam sistem aksiom ini tidak boleh dibuktikan mahupun disangkal.
- Menurut Rowe dan Gray (lihat di bawah), kebanyakan masalah telah diselesaikan. Sebahagian daripada mereka tidak dirumuskan dengan cukup tepat, tetapi hasil yang dicapai membolehkan kami menganggapnya sebagai "diselesaikan". Moat and Grey merujuk kepada masalah keempat sebagai masalah yang terlalu kabur untuk menilai sama ada ia telah diselesaikan atau tidak.
- Rove dan Gray juga memanggil masalah #18 "terbuka" dalam buku 2000 mereka kerana masalah pembungkusan bola (juga dikenali sebagai masalah Kepler) belum diselesaikan pada masa itu, tetapi kini dilaporkan telah diselesaikan (lihat di bawah). Kemajuan dalam menyelesaikan masalah No. 16 telah dibuat sejak kebelakangan ini, dan juga pada tahun 1990-an.
- Masalah #8 mengandungi dua isu yang diketahui, kedua-duanya masih belum dapat diselesaikan. Yang pertama adalah salah satu daripada tujuh Masalah Hadiah Milenium yang telah ditetapkan sebagai "Masalah Hilbert" untuk abad ke-21.
- Masalah #9 telah diselesaikan untuk kes Abelian; kes bukan Abelian masih belum selesai.
- Pernyataan tentang penjanaan terhingga algebra invarian dibuktikan untuk kumpulan reduktif. Nagata pada tahun 1958 membina contoh balas untuk kes am. Ia juga dibuktikan bahawa jika algebra invarian bagi mana-mana perwakilan (dimensi terhingga) bagi kumpulan algebra dijana secara terhingga, maka kumpulan itu adalah reduktif.
- Bahagian pertama (algebra) masalah No. 16 dirumuskan dengan lebih tepat seperti berikut. Harnack membuktikannya bilangan maksimum bujur adalah sama dengan M=(n-1)(n-2)/2+1, dan lengkung tersebut wujud - ia dipanggil lengkung M. Bagaimanakah bujur lengkung M boleh disusun? Masalah ini telah dilakukan sehingga darjah n=6 inklusif, dan untuk darjah n=8 agak banyak yang diketahui (walaupun masih belum selesai). Di samping itu, terdapat kenyataan umum yang mengehadkan bagaimana bujur lengkung M boleh disusun - lihat karya Gudkov, Arnold, Roon, Hilbert sendiri (namun, perlu dipertimbangkan bahawa terdapat ralat dalam bukti Hilbert untuk n= 6: salah satu kes, yang dianggapnya mustahil, ternyata mungkin dan dibina oleh Gudkov). Bahagian kedua (pembezaan) kekal terbuka walaupun untuk medan vektor kuadratik - tidak diketahui jumlahnya, malah sempadan atas wujud. Malah teorem keterhinggaan individu (bahawa setiap medan vektor polinomial mempunyai bilangan kitaran had yang terhingga) hanya terbukti baru-baru ini. Ia dianggap terbukti oleh Dulac, tetapi kesilapan telah ditemui dalam buktinya, dan teorem ini akhirnya dibuktikan oleh Ilyashenko dan Ecal - yang mana setiap daripada mereka perlu menulis buku.
(sistem piawai aksiom teori set). Oleh itu, hipotesis kontinum dalam sistem aksiom ini tidak boleh dibuktikan mahupun disangkal (dengan syarat sistem aksiom ini konsisten).
A. A. Bolibrukh. Masalah Hilbert (100 tahun kemudian)
Masalah pertama Hilbert: hipotesis kontinum
Konjektur kontinum, masalah pertama Hilbert, berkaitan dengan masalah dalam asas matematik dan teori set. Ia berkait rapat dengan soalan mudah dan semula jadi seperti "Berapa?", "Lebih atau kurang?", dan hampir mana-mana pelajar sekolah menengah boleh memahami apa masalah ini. Walau bagaimanapun, kami memerlukan beberapa maklumat tambahan untuk merumuskannya.
Tetapkan kesetaraan
Pertimbangkan contoh berikut. Ada pesta tarian di sekolah. Bagaimana untuk menentukan siapa yang lebih hadir pada petang ini: perempuan atau lelaki?
Anda boleh, tentu saja, mengira kedua-duanya dan membandingkan dua nombor yang diperolehi. Tetapi lebih mudah untuk menjawab apabila orkestra mula memainkan waltz dan semua penari berpasangan. Kemudian, jika semua orang yang hadir menari, bermakna semua orang telah menemui pasangan, iaitu terdapat bilangan lelaki dan perempuan yang sama. Jika hanya lelaki yang tinggal, maka lebih banyak lelaki, dan begitu juga sebaliknya.
Kaedah ini, kadangkala lebih semula jadi daripada pengiraan semula langsung, dipanggil prinsip berpasangan, atau prinsip surat menyurat satu dengan satu.
Sekarang mari kita pertimbangkan koleksi objek yang bersifat sewenang-wenang --- sekumpulan. Objek yang termasuk dalam set dipanggil its elemen. Jika unsur x termasuk dalam set X, ini dilambangkan seperti berikut: x X. Jika set X 1 terkandung dalam banyak X 2, iaitu semua elemen set X 1 juga merupakan unsur X 2, kemudian mereka berkata begitu X 1--- subset X 2, dan tulis secara ringkas seperti ini: X 1 X 2.
Sekumpulan Sudah tentu, jika ia mempunyai bilangan unsur terhingga. Set boleh sama ada terhingga (contohnya, set pelajar dalam kelas) atau tak terhingga (contohnya, --- sekumpulan semua nombor asli 1,2,3,... ). Set yang unsurnya ialah nombor dipanggil berangka.
biarlah X Dan Y--- dua set. Mereka mengatakan bahawa antara set ini ditubuhkan surat-menyurat satu-satu, jika semua elemen kedua-dua set ini dibahagikan kepada pasangan bentuk (x,y), Di mana x X, y Y, dan setiap elemen daripada X dan setiap elemen daripada Y mengambil bahagian dalam tepat satu pasangan.
Contohnya ialah apabila semua gadis dan lelaki di pesta tarian berpasangan, dan terdapat contoh perlawanan satu lawan satu antara ramai perempuan dan ramai lelaki.
Set antara surat-menyurat satu-dengan-satu boleh diwujudkan dipanggil bersamaan atau sama berkuasa. Dua set terhingga adalah setara jika dan hanya jika mereka mempunyai bilangan elemen yang sama. Oleh itu, adalah wajar untuk menganggap bahawa jika seseorang set tak terhingga adalah bersamaan dengan yang lain, maka ia mempunyai "bilangan yang sama" unsur. Walau bagaimanapun, berdasarkan takrifan kesetaraan ini, seseorang boleh memperoleh sifat yang sangat tidak dijangka bagi set tak terhingga.
Set tak terhingga
Mari kita pertimbangkan mana-mana set terhingga dan mana-mana subsetnya sendiri (tidak kosong dan tidak bertepatan dengan dirinya sendiri). Kemudian unsur-unsur dalam subset kurang, daripada dalam set itu sendiri, i.e. bahagian adalah kurang daripada keseluruhan.
Adakah set infinite mempunyai sifat ini? Dan adakah masuk akal untuk mengatakan bahawa satu set tak terhingga mempunyai elemen "lebih sedikit" daripada yang lain, juga tidak terhingga? Lagipun, kira-kira dua set tak terhingga kita hanya boleh katakan buat masa ini sama ada ia setara atau tidak. Adakah set tak terhingga yang tidak setara wujud sama sekali?
Di bawah ini kami akan menjawab semua soalan ini satu persatu. Mari kita mulakan dengan yang lucu cerita yang hebat daripada buku "Stories about Sets" oleh N. Ya. Tindakan itu berlaku pada masa hadapan yang jauh, apabila penduduk galaksi yang berbeza boleh bertemu antara satu sama lain. Oleh itu, untuk semua yang mengembara melalui ruang angkasa, sebuah hotel besar telah dibina, merentangi beberapa galaksi.
Di hotel ini nombor yang tidak terhingga(bilik), tetapi, seperti yang dijangka, semua bilik bernombor, dan untuk sebarang nombor asli n ada bilik dengan nombor ini.
Pernah satu kongres ahli kosmozoologi telah diadakan di hotel ini, di mana wakil semua galaksi mengambil bahagian. Oleh kerana terdapat juga bilangan galaksi yang tidak terhingga, semua tempat di hotel telah diduduki. Tetapi pada masa ini rakannya datang kepada pengarah hotel dan meminta untuk ditempatkan di hotel ini.
"Selepas berfikir, pengarah berpaling kepada pentadbir dan berkata:
Letakkan dia di #1.
Di manakah saya akan meletakkan penyewa bilik ini? --- pentadbir bertanya dengan terkejut.
Dan pindahkan dia ke #2 Hantar penyewa dari #2 ke #3, dari #3 ke #4, dsb.
Secara umum, biarkan tetamu tinggal di dalam bilik k, akan bergerak ke dalam bilik k+1, seperti yang ditunjukkan dalam rajah berikut:
Kemudian semua orang akan mempunyai nombor mereka sendiri sekali lagi, dan #1 akan percuma.
Oleh itu, kami berjaya menampung tetamu baru --- tepat kerana terdapat banyak bilik yang tidak terhingga di hotel.
Pada mulanya, peserta kongres menduduki semua bilik hotel, oleh itu, antara banyak ahli kosmozoologi dan banyak surat-menyurat satu-dengan-satu telah ditubuhkan: setiap ahli kosmozoolog diberi nombor, di pintunya nombor asli yang sepadan ditulis. Adalah wajar untuk mengandaikan bahawa terdapat "sebanyak" perwakilan kerana terdapat nombor semula jadi. Tetapi orang lain tiba, dia juga ditempatkan, dan bilangan penduduk meningkat sebanyak 1. Tetapi sekali lagi terdapat "bilangan yang sama" daripada mereka kerana terdapat nombor semula jadi: lagipun, semua orang masuk ke dalam hotel! Dan jika kita menyatakan bilangan ahli kosmozoologi oleh 0 , maka kita mendapat "identiti" 0 = 0 +1 . Tanpa kesudahan 0 itu, tentu saja, tidak dipenuhi.
Kami membuat kesimpulan yang mengejutkan: jika anda menambah satu lagi elemen pada set yang setara, anda akan mendapat set yang sekali lagi setara. Tetapi ia benar-benar jelas apa yang diwakili oleh perwakilan kosmozoologi Bahagian daripada ramai orang yang menetap di hotel selepas ketibaan tetamu baru. Ini bermakna bahawa dalam kes ini bahagian itu tidak "kurang" daripada keseluruhan, tetapi "sama" dengan keseluruhan!
Jadi, daripada takrif kesetaraan (yang tidak membawa kepada sebarang "keanehan" dalam kes set terhingga) ia mengikuti bahawa sebahagian daripada set tak terhingga boleh bersamaan dengan keseluruhan set.
berkemungkinan begitu ahli matematik terkenal Bolzano, yang cuba menggunakan prinsip surat-menyurat satu dengan satu dalam penalarannya, takut akan kesan luar biasa itu dan oleh itu tidak mengembangkan lagi teori ini. Ia kelihatan sama sekali tidak masuk akal baginya. Tetapi Georg Cantor pada separuh kedua abad ke-19 sekali lagi berminat dalam isu ini, mula mengkajinya dan mencipta set teori, bahagian penting asas matematik.
Mari kita sambung cerita kita tentang hotel yang tidak berkesudahan.
Tetamu baharu itu “tidak terkejut apabila keesokan harinya dia ditawarkan untuk berpindah ke # 1,000,000 . Cuma ahli kosmozoolog terlewat dari galaksi VSK-3472 tiba di hotel, dan ia perlu untuk menampung lebih banyak 999,999 penyewa."
Tetapi kemudian sesuatu yang tidak kena, dan ahli filateli datang ke hotel yang sama untuk konvensyen itu. Terdapat juga bilangan yang tidak terhingga --- seorang wakil dari setiap galaksi. Bagaimana untuk meletakkan mereka semua?
Tugas ini ternyata sangat sukar. Tetapi dalam kes ini, terdapat jalan keluar.
“Pertama sekali, pentadbir mengarahkan penyewa dipindahkan daripada #1 kepada #2.
Dan alihkan penyewa dari #2 ke #4, dari #3 ke #6, secara umum, dari bilik n--- ke bilik 2n.
Kini rancangannya menjadi jelas: dengan cara ini dia membebaskan bilangan ganjil yang tidak terhingga dan boleh menampung ahli filateli di dalamnya. Akibatnya, nombor genap ternyata diduduki oleh ahli kosmozoologi, dan nombor ganjil oleh filatelis... Filatelis berdiri dalam barisan n-m, menduduki bilik 2n-1". Dan sekali lagi semua orang berjaya ditempatkan di hotel. Jadi, kesan yang lebih menakjubkan: apabila menggabungkan dua set, setiap satunya adalah setara , kita sekali lagi memperoleh set setara . i.e. walaupun apabila kita "menggandakan" set, kita mendapat set yang setara dengan set asal!
Set yang boleh dikira dan tidak boleh dikira
Pertimbangkan rantai berikut: . ( --- ialah set integer, dan --- set nombor rasional, iaitu set nombor bentuk p/q, Di mana hlm Dan q--- keseluruhan, q0.) Semua set ini tidak terhingga. Mari kita pertimbangkan persoalan kesetaraan mereka.
Marilah kita wujudkan surat-menyurat satu dengan satu antara Dan : kita membentuk pasangan bentuk (n,2n) Dan (-n,2n+1), n, serta pasangan (0,1) (di tempat pertama dalam setiap pasangan nombor dari , dan pada yang kedua --- daripada ).
Terdapat satu lagi cara untuk mewujudkan surat-menyurat ini, sebagai contoh, tulis semua integer dalam jadual, seperti yang ditunjukkan dalam rajah, dan, mengelilinginya di sepanjang anak panah, tetapkan nombor tertentu kepada setiap integer. Justeru, kami" mari kita kira semula"semua integer: setiap satu z beberapa nombor asli (nombor) dibandingkan dan bagi setiap nombor terdapat integer yang nombor ini diberikan. Dalam kes ini, tidak perlu menulis formula yang jelas.
Oleh itu, bersamaan .
Sebarang set yang setara dengan set nombor asli dipanggil boleh dikira. Set sedemikian boleh "diceritakan": semua elemennya boleh dinomborkan nombor asli.
Pada pandangan pertama, terdapat "lebih banyak" nombor rasional pada baris daripada integer. Mereka terletak padat di mana-mana: dalam mana-mana selang kecil yang sewenang-wenangnya terdapat banyak yang tidak terhingga. Tetapi ternyata ramai juga boleh dikira. Mari kita buktikan dahulu kebolehkiraannya + (set semua nombor rasional positif).
Mari kita tulis semua elemen + ke dalam jadual berikut: dalam baris pertama - semua nombor dengan penyebut 1 (iaitu, integer), dalam kedua - dengan penyebut 2, dsb. (lihat rajah). Setiap nombor rasional positif pasti akan muncul dalam jadual ini, dan lebih daripada sekali ( contohnya nombor 1====... berlaku dalam setiap baris jadual ini ) .
Sekarang kami akan mengira semula nombor-nombor ini: mengikut anak panah, kami menetapkan nombor untuk setiap nombor (atau langkau nombor ini jika kami telah menemuinya sebelum ini dalam entri lain). Oleh kerana kita bergerak di sepanjang pepenjuru, kita akan mengelilingi seluruh meja (iaitu, lambat laun kita akan sampai ke mana-mana nombor).
Jadi, kami telah menunjukkan cara untuk menomborkan semua nombor dari + , iaitu mereka membuktikan bahawa + boleh dikira.
Ambil perhatian bahawa kaedah penomboran ini tidak mengekalkan susunan: daripada dua nombor rasional, yang lebih besar mungkin muncul lebih awal, atau mungkin kemudian.
Bagaimana pula dengan nombor rasional negatif dan sifar? Sama seperti ahli kosmozoologi dan filatelis di hotel yang tidak berkesudahan. Jom nombor + bukan semua nombor asli, tetapi hanya satu genap (memberi mereka nombor bukan 1, 2, 3, ..., tetapi 2, 4, 6, ...), kami menetapkan nombor 1 kepada sifar, dan menetapkan nombor 1 kepada semua nombor rasional negatif (dengan skema yang sama dengan positif) nombor ganjil, bermula dengan 3.
Itu sahaja nombor rasional dinomborkan dengan semula jadi, oleh itu, boleh dikira.
Timbul persoalan semula jadi: Mungkin semua set tak terhingga boleh dikira?
Ternyata begitu --- set semua titik pada garis nombor tidak boleh dikira. Keputusan ini, yang diperoleh oleh Cantor pada abad yang lalu, memberikan kesan yang sangat kuat kepada ahli matematik.
Mari kita buktikan fakta ini dengan cara yang sama seperti yang dilakukan oleh Cantor: dengan bantuan proses pepenjuru.
Seperti yang kita tahu, setiap nombor sebenar x boleh ditulis dalam bentuk perpuluhan:
x=A, 1 2 ... n ...,
di mana A--- integer, tidak semestinya positif, tetapi 1, 2, ..., n, ... --- nombor (dari 0 hingga 9). Idea ini tidak jelas: contohnya,
½=0.50000...=0.49999...
(dalam satu versi notasi, bermula dari digit kedua selepas titik perpuluhan, hanya ada sifar, dan dalam yang lain - hanya sembilan). Untuk membuat rekod tidak jelas, dalam kes sedemikian kami akan sentiasa memilih pilihan pertama. Kemudian setiap nombor sepadan dengan tepat satu daripada notasi perpuluhannya.
Sekarang mari kita anggap bahawa kita telah berjaya mengira semula semua nombor nyata. Kemudian mereka boleh disusun mengikut urutan:
x 1 =A, 1 2 3 4 ...
x 2 =B, 1 2 3 4 ...
x 3 =C, 1 2 3 4 ...
x 4 =D, 1 2 3 4 ...
Untuk mencapai percanggahan, mari bina nombor berikut y, yang tidak dikira, iaitu tidak terkandung dalam jadual ini.
Untuk sebarang nombor a mari kita tentukan nombor dengan cara berikut:
=
Mari letak 
(nombor ini k Angka -th selepas titik perpuluhan ialah 1 atau 2, bergantung pada digit yang muncul k-tempat ke-selepas titik perpuluhan masuk tatatanda perpuluhan nombor x k).
Contohnya, jika
x 1 = 2.1345...
x 2 = -3.4215...
x 3 = 10.5146...
x 4 = -13.6781...
.....................
Itu =0,2112...
Jadi, menggunakan proses pepenjuru kami mendapat nombor nyata y, yang tidak bertepatan dengan mana-mana nombor dalam jadual, kerana y berbeza dari semua orang x k sekurang-kurangnya k digit ke pengembangan perpuluhan, dan rekod yang berbeza, seperti yang kita ketahui, sepadan dengan nombor yang berbeza.
Untuk membuktikan hipotesis kontinum bermaksud memperolehnya daripada aksiom ini. Untuk menyangkal ia bermakna menunjukkan bahawa jika ia ditambah kepada sistem aksiom ini, ia akan menjadi bercanggah satu set pernyataan.
Penyelesaian
Ternyata masalah pertama Hilbert mempunyai penyelesaian yang sama sekali tidak dijangka.
Pada tahun 1963, ahli matematik Amerika Paul Cohen membuktikan bahawa hipotesis kontinum tidak boleh dibuktikan mahupun disangkal.
Ini bermakna jika kita mengambil sistem piawai Zermelo---Frenkel aksiom ( ZF) dan tambah kepadanya hipotesis kontinum sebagai aksiom lain, maka ternyata konsisten sistem kelulusan. Tetapi jika untuk ZF Tambah Penafian hipotesis kontinum (iaitu pernyataan yang bertentangan), maka sekali lagi kita dapat konsisten sistem kelulusan.
Oleh itu, baik hipotesis kontinum mahupun penafiannya ia adalah dilarang menarik diri daripada sistem piawai aksiom.
Kesimpulan ini sangat kesan yang kuat dan bahkan dicerminkan dalam kesusasteraan (lihat epigraf).
Bagaimana untuk menangani hipotesis ini? Biasanya ia hanya dilekatkan pada sistem aksiom Zermelo-Frenkel. Tetapi setiap kali mereka membuktikan sesuatu berdasarkan hipotesis kontinum, mereka mesti menunjukkan bahawa ia telah digunakan dalam pembuktian.
Masalah matematik kedua yang terkenal yang dikemukakan oleh David Hilbert pada tahun 1900 di Paris pada II Kongres Antarabangsa ahli matematik. Masih belum ada kata sepakat dalam kalangan masyarakat matematik sama ada ia telah diselesaikan atau tidak. Masalahnya berbunyi seperti ini: Adakah aksiom aritmetik bercanggah atau tidak? Kurt Gödel membuktikan bahawa ketekalan aksiom aritmetik tidak boleh dibuktikan daripada aksiom aritmetik itu sendiri (melainkan aritmetik sebenarnya tidak konsisten). Selain Gödel, ramai lagi ahli matematik yang cemerlang menangani masalah ini.
Yayasan Wikimedia. 2010.
Lihat apakah "Masalah Kedua Hilbert" dalam kamus lain:
Masalah keenam belas Hilbert adalah salah satu daripada 23 masalah yang dicadangkan oleh David Hilbert pada 8 Ogos 1900 di Kongres Antarabangsa Ahli Matematik Kedua. Pada mulanya, masalah itu dipanggil "Masalah topologi lengkung dan permukaan algebra"... ... Wikipedia
Masalah Hilbert ialah senarai 23 masalah kardinal dalam matematik, yang dibentangkan oleh David Hilbert pada Kongres Antarabangsa Ahli Matematik Kedua di Paris pada tahun 1900. Kemudian masalah ini (merangkumi asas matematik, algebra, teori... ... Wikipedia
Artikel ini dicadangkan untuk dipadamkan. Penjelasan tentang sebab dan perbincangan yang sepadan boleh didapati di halaman Wikipedia: Akan dipadam / 22 November 2012. Manakala proses perbincangan adalah ... Wikipedia
Masalah Hilbert ialah senarai 23 masalah kardinal dalam matematik, yang dibentangkan oleh David Hilbert pada Kongres Antarabangsa Ahli Matematik Kedua di Paris pada tahun 1900. Kemudian masalah ini (merangkumi asas matematik, algebra, teori nombor, ... ... Wikipedia
DALAM definisi klasik teori algebra(kadang-kadang juga dipanggil teori algebra), yang mengkaji algebra. ungkapan (polinomial, fungsi rasional atau gabungannya) yang berubah mengikut cara tertentu untuk linear tidak merosot... ... Ensiklopedia Matematik
Secara teori sistem dinamik dan persamaan pembezaan, kitaran had medan vektor pada satah atau, lebih umum, pada mana-mana manifold dua dimensi ialah trajektori tertutup (berkala) bagi medan vektor ini, dalam ... ... Wikipedia
logik- LOGIK (daripada perkataan Greek logik (logos), sebab, penaakulan) ilmu penaakulan yang betul (betul). Secara tradisinya, penaakulan terdiri daripada urutan ayat, dipanggil premis, dari mana satu ayat mengikuti... ... Ensiklopedia Epistemologi dan Falsafah Sains
Teori nombor ialah satu cabang matematik yang berurusan terutamanya dengan kajian nombor asli dan integer serta sifatnya, selalunya melibatkan kaedah analisis matematik dan cabang matematik yang lain. Teori nombor mengandungi banyak masalah... ... Wikipedia
Cabang falsafah yang mengkaji sifat objek matematik dan masalah epistemologi pengetahuan matematik. Falsafah Masalah dalam matematik boleh dibahagikan kepada dua kumpulan utama: ontologikal dan epistemologi. Watak abstrak... ... Ensiklopedia Falsafah
- (Teorem Wolstenholme Inggeris) menyatakan bahawa untuk sebarang nombor perdana perbandingan dibuat dengan pekali binomial purata. Perbandingan setara Tidak diketahui nombor komposit, memenuhi teorem Wolstenhall ... Wikipedia
Buku
- Teori analisis persamaan pembezaan. Jilid 1, Ilyashenko Yu.S.. Buku yang dicadangkan ialah jilid pertama monograf dua jilid yang dikhaskan kepada teori analisis persamaan pembezaan. Bahagian pertama jilid ini menetapkan teori formal dan analisis...
PRAKATA
Koleksi yang ditawarkan kepada perhatian pembaca mengandungi teks laporan terkenal Hilbert "Masalah Matematik" yang diterjemahkan ke dalam bahasa Rusia buat kali pertama, disampaikan di Kongres Ahli Matematik Antarabangsa II, yang diadakan di Paris dari 6 hingga 12 Ogos 1900.226 orang mengambil bahagian dalam Kongres: 90 orang dari Perancis, 25 dari Jerman, 17 dari Amerika Syarikat, 15 dari Itali, 13 dari Belgium, 9 dari Rusia, 8 dari Austria dan Switzerland, 7 dari England dan Sweden, 4 dari Denmark, masing-masing 3 dari Belanda, Sepanyol dan Romania, masing-masing 2 dari Serbia dan Portugal, 4 dari Amerika Selatan, Turki, Greece, Norway, Kanada, Jepun dan Mexico menghantar seorang perwakilan.
Bahasa utama Kongres adalah bahasa Inggeris, Perancis, Jerman dan Itali.
Henri Poincaré telah dipilih sebagai Pengerusi Kongres, Charles Hermite (1822 - 1901), yang tidak hadir, telah dipilih sebagai pengerusi kehormat, E. Chuber (Vienna), K. Geyser (Zurich), P. Gordan (Erlangen), A. Greenhill (London) telah dipilih sebagai naib pengerusi , L. Lindelof (Helsingfors), F. Lindemann (Munich), G. Mittag-Leffler (Stockholm), tidak hadir E. Moore (Chicago), M. A. Tikhomandritsky (Kharkov), V. Volterra. (Turin), G. Zeiten (Copenhagen), setiausaha Kongres - I. Bendikson (Stockholm), A. Capelli (Naples), G. Minkowski (Zurich), I. L. Ptashitsky (St. Petersburg), dan A. Whitehead (Cambridge).
E. Duporcq (Paris) telah dipilih sebagai Setiausaha Agung Kongres.
Terdapat enam bahagian: 1) aritmetik dan algebra (pengerusi D. Hilbert, setiausaha E. Cartan),
Bahagian ke-5 dan ke-6 duduk bersama.Pada hari pembukaan Kongres mesyuarat agung laporan selama dua jam berlaku: M. Cantor "Mengenai pensejarahan matematik," di mana beliau menyemak karya mengenai sejarah matematik, bermula dengan J. Montucl dan G. Libri, dan V. Volterra tentang aktiviti saintifik E. Betti, F. Brioschi, dan F. Casorati.
Kemudian sesi pelarian bermula, di mana 46 laporan telah dibuat, termasuk oleh L. Dixon, G. Mittag-Leffler, D. Gilbert, J. Hadamard, A. Capelli, I. Fredholm, I. Bendixson, V. Volterra dan lain-lain .
Matematik Rusia telah diwakili di Kongres dengan satu mesej daripada M.A. Tikhomandritsky "Mengenai kehilangan fungsi N beberapa pembolehubah."
Pada mesyuarat agung terakhir, G. Mittag-Leffler bercakap, yang bercakap tentang beberapa tahun kebelakangan ini kehidupan Weierstrass mengikut suratnya kepada S.V. Kovalevskaya, dan A. Poincaré, yang membuat laporan "Mengenai peranan intuisi dan logik dalam matematik."
Ini adalah bagaimana Kongres berlangsung, di mana pada 8 Ogos, pada mesyuarat bersama bahagian ke-5 dan ke-6, D. Hilbert membaca laporannya "Masalah Matematik".
Seperti yang ditulis D. Sintsov*, "Mesej Hilbert menyebabkan beberapa komen daripada mereka yang hadir, yang menunjukkan bahawa beberapa masalah yang disenaraikan oleh Hilbert telah diselesaikan sepenuhnya atau sebahagiannya oleh mereka"**. Pada masa itu, Hilbert, seorang profesor berusia 38 tahun di Göttingen, sudah terkenal dengan karyanya mengenai teori invarian dan teori nombor algebra. Pada tahun 1899, "Asas Geometri" beliau yang terkenal telah diterbitkan, yang membentuk era dalam asas matematik. Kepelbagaian yang menakjubkan dan kuasa generalisasi bakat Gilbert membolehkan dia menavigasi dengan mudah pelbagai kawasan matematik, hampir kesemuanya dia memperoleh keputusan yang cemerlang dan menimbulkan beberapa masalah penting.
* D. M. Sintsov, Kongres Matematik Antarabangsa Kedua, Phys.-Math. Sains (2) 1, No 5 (1901), 129-137.
** Mungkin bilangan masalah dalam teks asal laporan melebihi dua puluh tiga.
Yang paling menarik, menurut Hilbert, masalah adalah "kajian yang boleh merangsang perkembangan sains selanjutnya", Inilah yang dia usulkan kepada ahli matematik dalam laporannya. Dua pertiga abad telah berlalu sejak itu. Masalah Hilbert kekal relevan sepanjang tempoh ini; ahli matematik yang paling berbakat. Perkembangan idea yang berkaitan dengan kandungan masalah ini membentuk bahagian penting dalam matematik pada abad ke-20.
Terjemahan bahagian utama laporan (tidak termasuk teks masalah ke-15 dan ke-23 dan kesimpulannya) telah dilakukan oleh M. G. Shestopal daripada teks yang diterbitkan dalam Gottinger Nachrichten (1900, 253-297), dan disemak oleh I. N. Bronstein dan I. M Yaglom, yang membuat beberapa pindaan editorial dan perubahan padanya. Teks masalah ke-15 dan ke-23, serta bahagian akhir laporan, diterjemahkan oleh A. V. Dorofeeva. Terjemahan termasuk penambahan yang dibuat oleh Hilbert untuk penerbitan laporan yang diletakkan dalam jilid ketiga Karya Terkumpulnya (Gesammelte Abhandlungen, Berlin, Springer, 1932-1935) - dalam teks ia disertakan dalam kurungan segi empat sama. Terjemahan telah disemak dengan terjemahan bahasa Inggeris(Bull. Amer. Math. Soc. 8, No. 10 (1902), 403-479), juga dengan terjemahan yang dijalankan di pejabat sejarah matematik dan mekanik Universiti Negeri Moscow oleh A. V. Dorofeeva dan M. V. Chirikov * .
* Terjemahan ini berfungsi sebagai permulaan kerja pada analisis sejarah dan matematik masalah Hilbert, yang dijalankan di pejabat sejarah matematik dan mekanik Universiti Negeri Moscow di bawah bimbingan prof. K. A. Rybnikova.
Kesukaran yang diketahui ialah terjemahan beberapa istilah matematik lama. Dalam sesetengah kes istilah Jerman diletakkan dalam kurungan di sebelah terjemahan, dan dalam satu kes istilah (Polarenprocess) dibiarkan tanpa terjemahan. Penterjemah bekerja keras untuk menyampaikan kepada pembaca Rusia bahasa laporan Hilbert yang pelik, malah kadangkala menyedihkan. Pengarang ulasan isu tersebut bersetuju untuk menyemak terjemahan isu berkaitan dan membuat beberapa pembetulan yang ketara.
Nilaikan kepentingan luar biasa yang dimainkan oleh laporan Hilbert untuk matematik pada abad ke-20. akan membolehkan, kami berharap, mengulas mengenai masalah yang membentuk bahagian kedua koleksi. Penciptaan ulasan sedemikian, yang mengandungi gambaran keseluruhan hasil utama yang dicapai ke arah menyelesaikan masalah Hilbert, telah pun dilakukan oleh pengarang individu *. Walau bagaimanapun, kerja seperti ini dengan penglibatan pakar terkenal dalam bidang matematik yang berkaitan sedang dijalankan, setakat yang kita tahu, buat kali pertama.
* L. Bieberbach, Dber die Einfluss von Hilbert Pariser Vortrag liber "Mathematische Probleme", auf die Entwicklung der Matbematik in den letzen dreissig Jabren, Naturwissenschaften 18 (1930), 1101-1111; S.S. Demidov, Mengenai sejarah masalah Hilbert. IMI, jld. 17, "Sains", 1967, 91-121.
Penerbitan buku ini sangat difasilitasi oleh perhatian dan bantuan ramai orang, antaranya perlu diperhatikan para peserta dalam seminar mengenai sejarah matematik dan mekanik Universiti Negeri Moscow, terutama pemimpinnya, Profesor I.G. Bashmakov, K.A. Rybnikova, A.P. Yushkevich, mendiang S.A. Yanovskaya, serta seorang pekerja Institut Matematik yang dinamakan sempena V.A. Akademi Sains Steklov USSR A.N. Parshin, yang nasihat dan bantuannya banyak membantu meningkatkan penerbitan.
S. S. Demidov
SEDIKIT PERKATAAN TENTANG MASALAH HILBERT
Pada Kongres Matematik Antarabangsa di Paris pada tahun 1900, ahli matematik Jerman yang cemerlang David Hilbert telah memberikan pembentangan bertajuk "Masalah Matematik." Laporan ini kemudiannya diterbitkan beberapa kali dalam versi asal dan dalam terjemahan *; Edisi terbaharu yang asal terdapat dalam jilid ketiga karya Gilbert yang dikumpul **.* Pertama kali diterbitkan dalam Arcbiv f. Matematik. u Phys., Ill series, 1 (1901), 44-63, 213-237.
** D. Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, jld.
Terjemahan Rusia laporan Gilbert dicetak pada halaman berikut.
Sebelum laporan Hilbert 1900 mahupun selepas laporan ini, ahli matematik, setahu saya, tidak tampil ke hadapan dengan laporan saintifik, meliputi masalah matematik secara umum*. Oleh itu, laporan Hilbert ternyata menjadi fenomena yang benar-benar unik dalam sejarah matematik dan dalam kesusasteraan matematik. Dan kini, hampir 70 tahun selepas Hilbert memberikan laporannya, ia mengekalkan kepentingan dan kepentingannya.
* Laporan ahli matematik Amerika J. von Neumann di Kongres Matematik Antarabangsa di Amsterdam pada tahun 1954 bukanlah penyangkalan kenyataan ini: memang benar bahawa laporan von Neumann dipanggil "Masalah Tidak Selesai dalam Matematik," tetapi penceramah memulakan laporannya. dengan kenyataan bahawa dia akan mempertimbangkan untuk meniru kegilaan Hilbert bercakap tentang masalah matematik secara umum, tetapi berhasrat untuk menghadkan dirinya hanya kepada masalah dalam beberapa bidang matematik (terutamanya dalam bidang yang dekat dengan analisis fungsi). Laporan Von Neumann tidak diterbitkan - satu-satunya perkara yang diterbitkan mengenainya dalam Prosiding Kongres Amsterdam ialah manuskrip laporan itu tidak tersedia kepada penerbit; rupa-rupanya ia tidak wujud. Oleh itu, laporan ini pada masa ini hanya boleh dinilai dengan ingatan mereka yang mendengarnya.
Hilbert mempunyai pengaruh yang luar biasa pada keseluruhan perkembangan matematik moden, meliputi hampir semua bidang pemikiran matematik; ini dijelaskan oleh fakta bahawa Hilbert adalah seorang ahli matematik di mana kuasa pemikiran matematik digabungkan dengan keluasan jarang dan serba boleh. Kepelbagaian ini, boleh dikatakan, cukup sedar: Hilbert sentiasa menekankan bahawa matematik adalah bersatu, bahawa pelbagai bahagiannya sentiasa berinteraksi antara satu sama lain dan dengan sains semula jadi, dan bahawa dalam interaksi ini bukan sahaja kunci untuk memahami intipati. itu sendiri matematik, tetapi juga penawar terbaik menentang pemisahan matematik kepada bahagian yang berasingan dan tidak berkait - bahaya yang pada masa kita mengalami pertumbuhan kuantitatif yang besar dan pengkhususan penyelidikan matematik yang menakutkan
sentiasa membuat anda berfikir tentang diri anda sendiri. DENGAN kekuatan yang hebat dan Hilbert bercakap dengan yakin, terutamanya pada penghujung laporannya yang luar biasa, tentang sifat holistik matematik sebagai asas kepada semua pengetahuan sains semula jadi yang tepat. Keyakinan beliau dalam hal ini sebahagian besarnya menjadi garis panduan laporan ini secara keseluruhan dan, tidak syak lagi, dalam banyak kes membimbing penulis dalam pemilihan masalah matematik yang dikemukakannya.Laporan itu bermula dengan bahagian pengenalan umum yang menarik, saya akan katakan yang diilhamkan, yang bercakap bukan sahaja tentang kepentingan matematik bagi masalah khas yang "disediakan dengan baik", tetapi juga membuat pertimbangan tentang ketegasan matematik, tentang hubungan matematik dengan sains semula jadi, dan tentang perkara lain yang berkaitan dengan setiap ahli matematik yang aktif berfikir tentang sainsnya. Pada akhir bahagian pengenalan ini, Hilbert, dengan perbezaan dan keyakinan yang mencolok, menyatakan tesis utamanya, "aksiom" ketetapan dalam dalam erti kata yang luas kata-kata sebarang masalah matematik adalah tesis, kandungannya adalah keyakinan yang mendalam terhadap kuasa pengetahuan manusia yang tidak terhad dan perjuangan yang tidak dapat didamaikan terhadap semua agnostikisme - menentang yang tidak masuk akal "Ignorabimus" *, seperti yang dikatakan Gilbert di tempat lain.
* "Ignorabimus"(lat.) - "kami tidak akan tahu"- satu daripada ucapan terkenal ahli fisiologi E. Dubois-Reymond mengakhiri (seperti yang digunakan untuk beberapa soalan saintifik yang tidak jelas) dengan seruan: "Ignoramus et ignorabimus" - kita tidak tahu dan tidak akan tahu!
Seterusnya datang masalah itu sendiri. Mereka bermula dengan teori set (masalah kontinum) dan asas matematik, beralih kepada asas geometri, teori kumpulan berterusan (masalah kelima yang terkenal tentang pembebasan konsep kumpulan berterusan daripada keperluan kebolehbezaan) , kepada teori nombor, algebra dan geometri algebra dan diakhiri dengan analisis (persamaan pembezaan, terutamanya dengan terbitan separa, kalkulus variasi). Tempat istimewa menduduki masalah keenam - mengenai aksiomatik teori dan mekanik kebarangkalian.
Dengan sifat mereka, masalah Hilbert sangat heterogen. Kadangkala ini adalah soalan yang dikemukakan secara khusus yang mana jawapan yang jelas dicari - ya atau tidak - seperti, sebagai contoh, masalah ketiga geometri atau masalah ketujuh aritmetik mengenai nombor transendental. Kadang-kadang masalah itu ditimbulkan kurang jelas, seperti, sebagai contoh, dalam masalah kedua belas (Hilbert memberi perhatian khusus kepadanya penting), di mana ia diperlukan untuk mencari kedua-dua generalisasi teorem Kronecker itu sendiri dan kelas fungsi yang sepadan yang sepatutnya menggantikan fungsi eksponen dan modular.
Masalah kelima belas adalah, pada dasarnya, masalah untuk mengesahkan keseluruhan teori varieti algebra.
Kadangkala masalah di bawah nombor ini sebenarnya mengandungi beberapa masalah yang berbeza, walaupun berkait rapat. Akhir sekali, masalah kedua puluh tiga ialah, pada dasarnya, masalah perkembangan selanjutnya bagi kalkulus variasi.
Sekarang, bertahun-tahun selepas Hilbert mengemukakan masalahnya, kita boleh mengatakan bahawa mereka telah ditimbulkan dengan baik. Mereka ternyata menjadi objek yang sesuai untuk memfokuskan usaha kreatif ahli matematik pelbagai arah saintifik dan sekolah. Apakah usaha-usaha ini dan apakah hasil yang mereka hasilkan, masalah Hilbert yang mana telah diselesaikan dan yang belum - pembaca boleh belajar tentang ini, walaupun tidak secara terperinci, dari komen kepada masalah ini.
Sifat komen ini agak heterogen (yang sebahagian besarnya ditentukan oleh sifat masalah itu sendiri) - sebahagian daripadanya boleh difahami oleh pembaca yang biasa dengan matematik dalam dua kursus pertama fakulti mekanik-matematik atau fizik-matematik universiti. atau institut pedagogi, manakala yang lain memerlukan budaya matematik yang agak tinggi. Saya fikir, dalam apa jua keadaan, bahawa pembaca akan berterima kasih kepada pengarang komen,
yang secara signifikan memudahkan perkenalan dengan karya kesusasteraan matematik am yang benar-benar cemerlang itu, iaitu laporan Hilbert; Di samping itu, dari komen seseorang, nampaknya saya, memahami kesan laporan ini terhadap perkembangan selanjutnya matematik.P. S. Alexandrov
Siapakah di antara kita yang tidak mahu membuka tabir yang tersembunyi masa depan kita, untuk menembusi sekurang-kurangnya dengan sekali pandang ke dalam kejayaan yang akan datang dari pengetahuan kita dan rahsia perkembangannya pada abad-abad yang akan datang? Apakah matlamat istimewa yang akan ditetapkan oleh pemikir matematik terkemuka generasi akan datang? Apakah kaedah baru dan fakta baru yang akan ditemui pada abad baru mengenai bidang pemikiran matematik yang luas dan kaya?
Sejarah mengajar bahawa perkembangan sains adalah berterusan. Kita tahu bahawa setiap zaman mempunyai masalah sendiri, yang mana era berikutnya sama ada menyelesaikan atau menolak ke tepi sebagai sia-sia untuk menggantikannya dengan yang baru. Untuk membayangkan sifat pembangunan yang mungkin pengetahuan matematik dalam masa terdekat, kita mesti membalikkan dalam imaginasi kita soalan-soalan yang masih terbuka, meninjau masalah yang ditimbulkan sains moden, dan penyelesaian yang kami harapkan dari masa hadapan. Tinjauan masalah sedemikian nampaknya pada saya hari ini, pada pergantian abad baru, sangat tepat pada masanya. Lagipun, tarikh yang besar bukan sahaja membuat kita melihat kembali ke masa lalu, tetapi juga mengarahkan pemikiran kita ke masa depan yang tidak diketahui.
Adalah mustahil untuk menafikan kepentingan yang mendalam bahawa masalah tertentu mempunyai untuk kemajuan sains matematik secara umum dan peranan penting, yang mereka mainkan dalam kerja seorang penyelidik individu. Mana-mana bidang saintifik adalah berdaya maju selagi ia mempunyai banyak masalah baru. Kekurangan masalah baru bermakna layu atau berhenti pembangunan bebas. Sama seperti pada umumnya setiap usaha manusia dihubungkan dengan satu matlamat atau yang lain, begitu juga kreativiti matematik dikaitkan dengan perumusan masalah. Kekuatan penyelidik dipelajari dalam menyelesaikan masalah: dia mencari kaedah baru, sudut pandangan baru, dia membuka ufuk yang lebih luas dan lebih bebas.
Adalah sukar, dan selalunya mustahil, untuk menilai dengan betul kepentingan tugas tertentu terlebih dahulu; kerana akhirnya nilainya akan ditentukan oleh faedah yang dibawanya kepada sains. Ini menimbulkan persoalan: Adakah terdapat ciri umum yang mencirikan masalah matematik yang baik?
Seorang ahli matematik Perancis lama berkata: " Teori matematik boleh dianggap sempurna hanya apabila anda telah menjelaskannya dengan jelas sehingga anda berjanji untuk menerangkan kandungannya kepada orang pertama yang anda temui." Keperluan kejelasan dan kebolehcapaian yang mudah ini, yang dinyatakan dengan begitu tajam di sini berhubung dengan teori matematik, saya akan meletakkan lebih tajam dalam hubungan dengan masalah matematik, jika ia mendakwa sebagai sempurna, kejelasan dan akses mudah menarik kita, manakala kerumitan dan kekeliruan menolak kita.
Masalah matematik, selanjutnya, mestilah sangat sukar untuk menarik kita, dan pada masa yang sama tidak boleh diakses sepenuhnya, supaya tidak membuat usaha kita sia-sia; ia harus menjadi tanda panduan pada jalan yang berselirat menuju kepada kebenaran tersembunyi; dan dia sepatutnya memberi ganjaran kepada kita dengan kegembiraan mencari penyelesaian.
Ahli matematik abad yang lalu menumpukan diri mereka dengan semangat bersemangat untuk menyelesaikan masalah sukar individu; mereka tahu nilai tugas yang sukar. Saya hanya akan mengingati yang ditimbulkan oleh Johann Bernoulli masalah tentang garis jatuh terpantas."Seperti yang ditunjukkan oleh pengalaman," kata Bernoulli, mengumumkan tugasnya, "tiada apa-apa yang begitu kuat mendorong minda tinggi untuk berusaha memperkaya pengetahuan sebagai perumusan yang sukar dan pada masa yang sama. tugas yang berguna"Jadi dia berharap untuk mendapat kesyukuran dunia matematik, jika dia, mengikut contoh orang-orang seperti Mersenne, Pascal, Fermat, Viviani dan lain-lain yang (sebelumnya) melakukan perkara yang sama, mencadangkan masalah itu kepada penganalisis yang cemerlang pada zamannya, supaya mereka dapat mengujinya sebagai batu ujian merit kaedah anda dan mengukur kekuatan anda. Kalkulus variasi berpunca daripada masalah Bernoulli ini dan masalah lain yang serupa.
Pernyataan Fermat yang terkenal ialah persamaan Diophantine
x n + y n = z n
tidak dapat ditentukan dalam integer x, y, z, menghalang beberapa pengecualian yang jelas. Masalah membuktikan ketidakpastian ini memberikan contoh yang menarik tentang pengaruh merangsang masalah yang istimewa dan kelihatan tidak penting terhadap sains. Kerana, didorong oleh masalah Fermat, Kummer datang kepada pengenalan nombor ideal dan penemuan teorem mengenai penguraian unik nombor dalam medan cyclotomic kepada ideal. faktor utama- teorem yang, terima kasih kepada generalisasi kepada mana-mana domain nombor algebra yang diperoleh oleh Dedekind dan Kronecker, kini menjadi pusat kepada teori moden nombor dan kepentingannya jauh melebihi teori nombor ke dalam bidang algebra dan teori fungsi.
Biar saya ingatkan anda tentang satu lagi masalah menarik - tiga masalah badan. Hakikat bahawa Poincaré mengambil pertimbangan baharu dan memajukan perkara ini dengan ketara tugas yang susah, membawa kepada kaedah yang bermanfaat dan prinsip yang meluas yang diperkenalkan oleh saintis ini ke dalam mekanik, kaedah dan prinsip cakerawala yang kini diiktiraf dan digunakan juga dalam astronomi praktikal.
Kedua-dua masalah yang disebut - masalah Fermat dan masalah tiga badan - adalah, dalam stok masalah kita, seolah-olah kutub bertentangan: yang pertama mewakili pencapaian percuma alasan murni, yang tergolong dalam bidang teori nombor abstrak, yang kedua dikemukakan oleh astronomi dan diperlukan untuk pengetahuan tentang fenomena asas alam yang paling mudah.
Ia sering berlaku, bagaimanapun, yang sama masalah khas muncul dalam bidang matematik yang sangat berbeza. Jadi, masalah talian terpendek memainkan peranan sejarah dan asas yang penting secara serentak dalam asas geometri, dalam teori lengkung dan permukaan, dalam mekanik dan dalam kalkulus variasi. Dan seperti yang ditunjukkan oleh F. Klein dengan meyakinkan dalam bukunya mengenai icosahedron *, masalah tentang polyhedra biasa adalah penting pada masa yang sama untuk geometri asas, teori kumpulan, teori algebra dan teori persamaan pembezaan linear!
* F. Klein, Vorlesungen uber das Ikosaeder und die Auflosung der Gleichungen von funften Gred, Leipzig, 1884.- Catatan ed.
Untuk menonjolkan kepentingan masalah individu, saya juga akan membenarkan diri saya merujuk kepada Weierstrass, yang menganggapnya sebagai satu kejayaan besar untuk dirinya sendiri bahawa gabungan keadaan membolehkannya menangani masalah yang begitu ketara pada permulaan kerjaya saintifiknya, seperti masalah Jacobi pada penyongsangan kamiran elips.
Setelah kita pertimbangkan makna umum masalah dalam matematik, mari kita beralih kepada persoalan dari sumber apakah matematik menarik masalahnya. Tidak syak lagi bahawa masalah pertama dan tertua bagi setiap bidang ilmu matematik timbul daripada pengalaman dan dipersembahkan kepada kita oleh dunia fenomena luaran. Malah peraturan untuk mengira dengan integer ditemui pada peringkat awal di sepanjang laluan ini. perkembangan budaya kemanusiaan, sama seperti sekarang kanak-kanak belajar penerapan peraturan ini kaedah empirikal. Perkara yang sama berlaku untuk masalah pertama geometri - masalah menggandakan kubus, mengkuadratkan bulatan, yang datang kepada kita dari zaman purba, serta masalah tertua teori persamaan berangka, teori lengkung, kalkulus pembezaan dan kamiran, kalkulus variasi, teori siri Fourier dan teori potensi, apatah lagi kekayaan keseluruhan masalah dalam mekanik yang betul, astronomi dan fizik.
Dengan perkembangan lanjut mana-mana disiplin matematik, minda manusia, didorong oleh kejayaan, sudah menunjukkan kemerdekaan; dia sendiri menimbulkan masalah baru dan membuahkan hasil, selalunya tanpa pengaruh yang ketara dunia luar, dengan bantuan hanya perbandingan logik, generalisasi, pengkhususan, pembahagian yang berjaya dan pengelompokan konsep, dan kemudian dia sendiri tampil ke hadapan sebagai pernyataan masalah. Beginilah mereka bangkit masalah nombor perdana dan masalah aritmetik lain, teori Galois, teori invarian algebra, teori fungsi Abelian dan automorfik, dan sebagainya hampir timbul secara umum semua soalan halus teori nombor moden dan teori fungsi.
Sementara itu, semasa beraksi kuasa kreatif pemikiran tulen, dunia luar sekali lagi menegaskan haknya: ia mengenakan soalan baharu kepada kita dengan fakta sebenar dan membuka kepada kita bidang pengetahuan matematik yang baharu. Dan dalam proses membawa bidang-bidang ilmu baru ini ke alam pemikiran yang murni, kita sering mencari jawapan kepada masalah lama yang belum diselesaikan dan dengan cara ini memajukan teori lama dengan terbaik. Mengenai permainan yang berulang-ulang dan berubah-ubah antara pemikiran dan pengalaman ini, nampaknya saya, berdasarkan analogi-analogi yang banyak dan menarik itu dan keharmonian yang seakan-akan telah ditetapkan yang sering ditemui oleh ahli matematik dalam masalah, kaedah dan konsep pelbagai bidang ilmu.
Marilah kita memikirkan secara ringkas persoalan tentang apakah keperluan umum yang kita berhak untuk mengemukakan kepada penyelesaian masalah matematik. Maksud saya pertama sekali daripada semua keperluan yang memungkinkan untuk mengesahkan ketepatan jawapan menggunakan nombor terhingga kesimpulan dan, lebih-lebih lagi, berdasarkan bilangan premis terhingga yang menjadi asas bagi setiap tugas dan yang mesti dirumuskan dengan tepat dalam setiap kes. Keperluan potongan logik ini dengan bantuan bilangan kesimpulan yang terhad adalah tidak lebih daripada keperluan untuk ketegasan bukti. Sesungguhnya, keperluan ketegasan, yang telah menjadi pepatah dalam matematik, sepadan dengan keperluan falsafah umum fikiran kita; sebaliknya, hanya pemenuhan keperluan ini membawa kepada pengenalpastian kepentingan penuh intipati tugas dan keberhasilannya. Tugas baru, terutamanya jika ia dihidupkan oleh fenomena dunia luar, adalah seperti pucuk muda yang boleh tumbuh dan berbuah hanya jika ia berhati-hati dan mengikut peraturan ketat seni berkebun yang dipupuk pada batang tua. - asas kukuh pengetahuan matematik kita.
akan kesilapan besar berfikir pada masa yang sama bahawa ketegasan dalam pembuktian adalah musuh kesederhanaan. Banyak contoh meyakinkan kita tentang sebaliknya: kaedah yang ketat pada masa yang sama adalah yang paling mudah dan paling mudah diakses. Keinginan untuk ketegasan membawa tepat kepada pencarian bukti yang paling mudah. Keinginan yang sama ini sering membuka jalan kepada kaedah yang terbukti lebih membuahkan hasil daripada kaedah yang lebih tua dan kurang ketat. Oleh itu, teori lengkung algebra, terima kasih kepada lebih kaedah yang ketat teori fungsi pembolehubah yang kompleks dan penggunaan cara transendental yang sewajarnya telah dipermudahkan dengan ketara dan memperoleh integriti yang lebih tinggi. Selanjutnya, bukti kesahihan menggunakan empat operasi aritmetik asas pada siri kuasa, serta pembezaan dan penyepaduan istilah demi sebutan bagi siri ini dan pengiktirafan siri kuasa berdasarkan ini [sebagai alat untuk analisis matematik - P.A. ], sudah pasti sangat memudahkan keseluruhan analisis, khususnya teori pengecualian dan teori persamaan pembezaan (bersama-sama dengan teorem kewujudannya).
Tetapi contoh yang sangat menarik yang menggambarkan maksud saya ialah kalkulus variasi. Kajian tentang variasi pertama dan kedua bagi kamiran pasti membawa kepada pengiraan yang sangat kompleks, dan kajian yang sepadan terhadap ahli matematik lama tidak mempunyai ketelitian yang diperlukan. Weierstrass menunjukkan kepada kami jalan ke asas baharu dan boleh dipercayai sepenuhnya untuk kalkulus variasi. Menggunakan contoh yang mudah dan kamiran berganda Saya akan menggariskan secara ringkas pada penghujung laporan saya bagaimana mengikut laluan ini pada masa yang sama membawa kepada penyederhanaan kalkulus variasi yang menakjubkan kerana fakta bahawa untuk mewujudkan kriteria yang diperlukan dan mencukupi untuk maksimum dan minimum, pengiraan variasi kedua menjadi tidak perlu malah sebahagiannya menghilangkan keperluan untuk inferens yang membosankan yang berkaitan dengan variasi pertama. Saya tidak bercakap tentang kelebihan yang timbul daripada fakta bahawa tidak perlu mempertimbangkan hanya variasi yang nilai derivatif fungsi berubah secara tidak ketara.
Mempersembahkan kepada penyelesaian penuh masalah keperluan ketelitian dalam pembuktian, saya ingin, sebaliknya, menyangkal pendapat bahawa penaakulan yang benar-benar ketat hanya terpakai kepada konsep analisis atau aritmetik sahaja. Saya menganggap pendapat ini, kadangkala disokong oleh fikiran yang cemerlang, adalah palsu sama sekali. Tafsiran berat sebelah tentang keperluan ketegasan dengan cepat membawa kepada mengabaikan semua konsep yang timbul daripada geometri, mekanik, fizik, dan menghentikan aliran [kepada matematik - P.A. ] bahan baru dari dunia luar dan, pada akhirnya, malah membawa kepada penolakan konsep kontinum dan nombor tidak rasional. Adakah terdapat saraf vital yang lebih penting daripada saraf yang akan terputus daripada matematik jika geometri dan fizik matematik dikeluarkan daripadanya? Saya, sebaliknya, percaya bahawa apabila konsep matematik berasal dari teori pengetahuan atau dalam geometri, atau dalam teori sains semula jadi, matematik berhadapan dengan tugas untuk meneroka prinsip yang mendasari konsep ini, dan seterusnya mengesahkan konsep ini dengan bantuan sistem aksiom yang lengkap dan ringkas supaya ketegasan konsep baharu dan kebolehgunaannya pada deduksi sama sekali tidak kalah dengan konsep aritmetik lama.
Konsep baru juga termasuk sebutan baru. Kami memilihnya sedemikian rupa sehingga mereka menyerupai fenomena yang menjadi sebab pembentukan konsep ini. Oleh itu, angka geometri adalah imej untuk mengingat konsep ruang dan oleh itu digunakan oleh semua ahli matematik. Siapa yang tidak berhubung dengan dua ketidaksamaan a>b>c antara tiga kuantiti a, b, c, imej trio terletak secara rectilinearly dan kawan seterusnya di belakang satu sama lain mata sebagai tafsiran geometri konsep "antara"? Siapa yang tidak menggunakan imej segmen dan segi empat tepat yang bersarang di antara satu sama lain jika seseorang perlu menjalankan bukti lengkap dan ketat tentang teorem yang sukar mengenai kesinambungan fungsi atau kewujudan titik had? Siapa yang boleh melakukannya tanpa angka segi tiga, bulatan dengan pusat tertentu, atau tanpa trio paksi yang saling berserenjang? Atau siapa yang mahu meninggalkan imej medan vektor atau keluarga lengkung, atau permukaan dengan sampulnya - konsep yang memainkan peranan penting dalam geometri pembezaan, dalam teori persamaan pembezaan, dalam asas kalkulus variasi dan dalam bidang ilmu matematik yang lain?
Tanda aritmetik ialah angka geometri yang ditulis, dan angka geometri adalah formula yang dilukis, dan tiada ahli matematik boleh melakukannya tanpa formula yang dilukis ini, sama seperti dia tidak boleh menolak untuk memasukkan tanda kurung atau membukanya atau menggunakan tanda analitik lain semasa mengira .
Penggunaan angka geometri sebagai cara pembuktian yang ketat mengandaikan pengetahuan yang tepat dan penguasaan lengkap aksiom tersebut yang mendasari teori angka-angka ini, dan oleh itu, agar angka geometri ini dimasukkan ke dalam perbendaharaan umum tanda-tanda matematik, kajian aksiomatik yang ketat tentang kandungan visualnya adalah perlu.
Sama seperti apabila menambah dua nombor, anda tidak boleh menandatangani digit istilah dalam susunan yang salah, tetapi anda mesti mematuhi peraturan dengan ketat, iaitu aksiom aritmetik yang mengawal operasi aritmetik, jadi operasi pada imej geometri ditentukan oleh aksiom yang mendasari geometri. konsep dan perkaitan antara mereka.
Persamaan antara pemikiran geometri dan aritmetik juga ditunjukkan dalam fakta bahawa dalam kajian aritmetik kita, sama seperti dalam pertimbangan geometri, mengesan rantai penaakulan logik hingga ke penghujungnya, hingga ke aksiom. Sebaliknya, terutamanya dalam pendekatan pertama untuk masalah, dalam aritmetik, sama seperti dalam geometri, kita mula-mula menggunakan beberapa gabungan yang sekejap, tidak sedarkan diri, tidak sepenuhnya jelas, berdasarkan kepercayaan dalam beberapa naluri aritmetik, dalam keberkesanan tanda aritmetik, - tanpa itu kita tidak boleh maju dalam aritmetik sebagaimana kita tidak boleh maju dalam geometri tanpa bergantung kepada kuasa imaginasi geometri. Contoh teori aritmetik yang beroperasi secara ketat dengan konsep geometri dan tanda * boleh berfungsi sebagai karya Minkowski "Geometri Nombor" **.
** Leipzig, 1896.
Marilah kita membuat beberapa kenyataan lagi tentang kesukaran yang boleh dihadapi oleh masalah matematik dan tentang mengatasi kesukaran ini.
Jika kita gagal untuk mencari penyelesaian kepada masalah matematik, sebab untuk ini selalunya kita masih belum memperoleh sudut pandangan yang cukup umum yang mana masalah yang sedang dipertimbangkan nampaknya hanya pautan yang berasingan dalam rantaian masalah yang berkaitan. Setelah menemui sudut pandangan ini, kami sering bukan sahaja menjadikan masalah yang diberikan lebih mudah diakses untuk penyelidikan, tetapi juga menguasai kaedah yang boleh digunakan untuk masalah yang berkaitan. Contohnya termasuk penyepaduan sepanjang laluan melengkung yang diperkenalkan oleh Cauchy ke dalam teori kamiran pasti dan penubuhan Kummer tentang konsep teori nombor ideal. Cara mencari kaedah umum ini adalah yang paling mudah dan boleh dipercayai, kerana jika seseorang mencari kaedah umum tanpa memikirkan sebarang tugas khusus, maka carian ini, sebahagian besarnya, sia-sia.
Dalam kajian masalah matematik, pengkhususan memainkan, saya percaya, peranan yang lebih penting daripada generalisasi. Ada kemungkinan bahawa dalam kebanyakan kes, apabila kita mencari jawapan kepada soalan dengan sia-sia, sebab kegagalan kita ialah masalah yang lebih mudah dan lebih mudah daripada yang satu ini belum lagi diselesaikan atau belum diselesaikan sepenuhnya. Kemudian intinya adalah untuk mencari masalah yang lebih mudah dan melaksanakan penyelesaian mereka dengan cara yang paling maju, dengan bantuan konsep yang boleh digeneralisasikan. Peraturan ini adalah salah satu tuas yang paling berkuasa untuk mengatasi kesukaran matematik, dan nampaknya saya dalam kebanyakan kes tuas ini digunakan, kadang-kadang tanpa sedar.
Pada masa yang sama, ia juga berlaku bahawa kita mencapai jawapan dengan prasyarat yang tidak mencukupi, atau pergi ke arah yang salah, dan akibatnya kita tidak mencapai matlamat. Kemudian timbul tugas untuk membuktikan ketidakupayaan masalah ini di bawah premis yang diterima dan arah yang dipilih. Bukti kemustahilan sedemikian telah dilakukan oleh ahli matematik lama, sebagai contoh, apabila mereka mendapati bahawa nisbah hipotenus segi tiga sama kaki dengan sisinya ialah nombor tak rasional. Dalam matematik moden, bukti ketidakmungkinan penyelesaian kepada masalah tertentu bermain peranan yang cemerlang; di sana kita menyatakan bahawa seperti lama dan masalah yang sukar, sebagai bukti aksiom selari, sebagai kuasa dua bulatan atau penyelesaian persamaan darjah kelima dalam radikal, kami masih menerima penyelesaian yang ketat yang benar-benar memuaskan hati kami, walaupun dalam arah yang berbeza daripada yang mula-mula diandaikan.
Fakta menakjubkan ini, bersama-sama dengan asas falsafah lain, mewujudkan dalam diri kita keyakinan yang sudah pasti dikongsi oleh setiap ahli matematik, tetapi belum ada yang mengesahkannya dengan bukti - keyakinan bahawa setiap masalah matematik tertentu pastinya boleh diakses. keputusan yang tegas* sama ada dalam erti kata bahawa adalah mungkin untuk mendapatkan jawapan kepada soalan yang dikemukakan, atau dalam erti kata bahawa kemustahilan untuk menyelesaikannya akan diwujudkan dan pada masa yang sama kegagalan yang tidak dapat dielakkan dari semua percubaan untuk menyelesaikannya akan dibuktikan.
* Kami menganggap perlu untuk membentangkan kenyataan ini, yang sangat menentukan untuk keseluruhan pandangan saintifik Hilbert, dalam bentuk asal "...die uberzeugung, dass ein jedes bestimmte mathematische Problem einer strengen Erieitung notwendig fahig sein muss." - Catatan P.A.
Mari bayangkan beberapa masalah yang belum selesai, katakan, persoalan ketidakrasionalan pemalar DENGAN Euler - Mascheroni atau persoalan kewujudan nombor tak terhingga nombor perdana bagi bentuk 2n + 1 . Tidak kira betapa sukarnya masalah ini bagi kita dan tidak kira betapa tidak berdayanya kita sekarang berdiri di hadapan mereka, kita masih ada keyakinan yang teguh bahawa penyelesaian mereka dengan bantuan sejumlah kesimpulan logik yang terhad mesti masih berjaya.
Adakah aksiom kebolehlarutan bagi setiap masalah yang diberikan ini merupakan ciri ciri sahaja pemikiran matematik atau, mungkin, terdapat undang-undang umum yang berkaitan dengan intipati dalaman minda kita, yang mengikutnya semua persoalan yang ditimbulkannya boleh diselesaikan olehnya? Lagipun, dalam bidang pengetahuan lain terdapat masalah lama yang telah diselesaikan dengan cara yang paling memuaskan dan memberi manfaat terbesar sains dengan membuktikan kemustahilan penyelesaiannya. Saya masih ingat masalah tentang perpetuum mudah alih(mesin gerakan kekal) *. Selepas percubaan sia-sia untuk mereka bentuk mesin gerakan kekal mula, sebaliknya, untuk meneroka hubungan yang mesti wujud antara kuasa alam, di bawah andaian bahawa perpetuum mudah alih mustahil. Dan perumusan masalah songsang ini membawa kepada penemuan undang-undang pemuliharaan tenaga, dari mana kemustahilan mengikuti perpetuum mudah alih dalam pemahaman asal maknanya.
Kepercayaan terhadap kebolehlarutan setiap masalah matematik ini merupakan bantuan yang besar untuk kami dalam kerja kami; Kami mendengar panggilan berterusan dalam diri kami: apabila ada masalah, cari penyelesaian. Anda boleh menemuinya melalui pemikiran murni; kerana dalam matematik tidak ada Ignorabimus! **
* Rabu. H. HeImholtz, Uber die Wechselwirkung der Naturkrafte und die darauf bezuglichen neuesten ErmittIungen der Physik, laporan dalam Konigsberg, 1854 (terjemahan Rusia: "Mengenai interaksi kuasa alam," dalam koleksi G. Helmholtz, Popular Speeches, ed. 2, bahagian 1 , St. Petersburg, 1898. - Catatan ed. ).
**Lihat nota kaki. - Catatan ed.
Terdapat banyak masalah dalam matematik, dan apabila satu masalah diselesaikan, banyak masalah baru muncul untuk menggantikannya. Izinkan saya pada masa hadapan, seolah-olah sebagai ujian, untuk menamakan beberapa masalah khusus daripada pelbagai disiplin matematik, masalah kajian yang boleh merangsang perkembangan sains selanjutnya.
Mari kita beralih kepada asas analisis dan geometri. Peristiwa paling penting dan penting pada abad yang lalu dalam bidang ini, nampaknya saya, penguasaan aritmetik konsep kontinum dalam karya Cauchy, Bolzano, Cantor dan penemuan geometri bukan Euclidean oleh Gauss, Bolyai dan Lobachevsky. Oleh itu, saya menarik perhatian anda kepada beberapa masalah yang berkaitan dengan kawasan ini.<...>
1. Masalah Cantor tentang kuasa kontinum<...>Masalah yang disebutkan hanyalah contoh masalah; tetapi ia sudah cukup untuk menunjukkan betapa kaya, pelbagai dan luas sains matematik sudah; Kita berhadapan dengan persoalan sama ada matematik akan mengalami apa yang telah berlaku kepada sains lain untuk masa yang lama, sama ada ia tidak akan berpecah menjadi sains persendirian yang berasingan, yang mana wakilnya hampir tidak akan memahami satu sama lain dan hubungan antara yang oleh itu akan menjadi semakin kurang.2. Ketekalan aksiom aritmetik
3. Kesamaan dua tetrahedra dengan tapak yang sama dan ketinggian yang sama.
4. Masalah tentang cara langsung sambungan terpendek dua mata.
5. Konsep kumpulan berterusan transformasi Lie, tanpa andaian kebolehbezaan fungsi yang mentakrifkan kumpulan.
6. Persembahan matematik aksiom fizik.
7. Ketidakrasionalan dan transendensi beberapa nombor.
8. Masalah nombor perdana.
9. Bukti hukum timbal balik yang paling umum dalam mana-mana bidang nombor.
10. Masalah kebolehlarutan persamaan Diophantine.
11. Bentuk kuadratik dengan pekali berangka algebra arbitrari.
12. Lanjutan teorem Kronecker pada medan Abelian kepada domain rasionaliti algebra yang sewenang-wenangnya.
13. Kemustahilan untuk menyelesaikan persamaan am darjah ketujuh menggunakan fungsi yang hanya bergantung pada dua pembolehubah.
14. Bukti keterbatasan sesetengah orang sistem lengkap fungsi.
15. Justifikasi yang ketat terhadap geometri pengiraan Schubert.
16. Masalah topologi lengkung algebra dan permukaan.
17. Pembentangan bentuk-bentuk tertentu sebagai jumlah kuasa dua.
18. Pembinaan ruang daripada polyhedra yang kongruen.
19. Adakah penyelesaian kepada masalah variasi biasa semestinya analitikal?
20. Masalah am mengenai syarat sempadan.
21. Bukti kewujudan persamaan pembezaan linear dengan kumpulan monodromi yang diberikan.
22. Penyeragaman kebergantungan analitik menggunakan fungsi automorfik.
23. Pembangunan kaedah kalkulus variasi
Saya tidak percaya dan saya tidak mahu. Sains Matematik pada pendapat saya, ia mewakili keseluruhan yang tidak boleh dibahagikan, organisma, yang daya majunya ditentukan oleh keselarasan bahagian-bahagiannya. Sesungguhnya, di sebalik semua perbezaan dalam bahan matematik khususnya, kita masih melihat dengan jelas identiti cara bantu logik, persamaan pembentukan idea dalam matematik secara keseluruhan dan banyak analogi dalam pelbagai bidangnya. Kami juga mendapati bahawa teori matematik selanjutnya berkembang, semakin harmoni dan lebih bersatu strukturnya terbentuk, dan hubungan yang tidak dijangka terbuka antara kawasan yang terpisah sehingga kini. Ternyata dengan pengembangan matematik, watak bersatunya tidak hilang, tetapi menjadi lebih jelas.
Tetapi - kami bertanya - dengan pengembangan pengetahuan matematik, tidakkah akhirnya menjadi mustahil bagi penyelidik individu untuk merangkumi semua bahagiannya? Sebagai jawapan, saya ingin merujuk kepada hakikat bahawa sifat sains matematik adalah sedemikian rupa sehingga setiap kejayaan sebenar di dalamnya berjalan seiring dengan penemuan alat bantu yang lebih kuat dan kaedah yang lebih mudah, yang sekaligus memudahkan pemahaman teori-teori terdahulu dan menghapuskan. kesukaran penalaran lama; Oleh itu, penyelidik individu, terima kasih kepada fakta bahawa dia akan menghayati ini lebih kuat bantuan dan kaedah yang lebih mudah, ia akan menjadi lebih mudah untuk mengemudi pelbagai bidang matematik berbanding mana-mana sains lain.
Sifat bersatu matematik adalah disebabkan oleh makhluk dalaman ilmu ini; Lagipun, matematik adalah asas kepada semua sains tepat. Dan untuk memenuhi tujuan yang tinggi ini dengan sempurna, semoga ia mendapati pada abad yang akan datang tuan-tuan yang cemerlang dan banyak penganut yang membara dengan semangat yang mulia *.
* Dalam asal perkataan ini berbunyi seperti ini: "Der einheitliche Charakter der Mathematik liegt im inneren Wesen dieser Wissenschaft begrundet; denn die Mathematik is die Grundlage alles exakten naturwissenschaftlichen Erkennens che in edlem Eifer ergluhende Jungerl" - Catatan ed.