Petang berikutnya, penyambut tetamu Gilbert berhadapan dengan masalah yang lebih sukar. Seperti hari sebelumnya, hotel itu sesak apabila sebuah limosin yang panjang tanpa henti tiba, menurunkan jumlah tetamu baharu yang tidak berkesudahan. Tetapi Gilbert sama sekali tidak malu dengan ini, dan dia hanya dengan gembira menggosok tangannya apabila memikirkan jumlah bil yang tidak terhingga yang akan dibayar oleh pendatang baru. Gilbert meminta semua orang yang telah menetap di hotel untuk bergerak, mematuhi peraturan berikut: penghuni bilik pertama - ke bilik kedua, penghuni bilik kedua - ke bilik keempat, dsb., iaitu, Gilbert bertanya setiap tetamu untuk berpindah ke bilik baru dengan dua "alamat" besar. Setiap orang yang tinggal di hotel sebelum ketibaan tetamu baru kekal di hotel, tetapi pada masa yang sama bilangan bilik yang tidak terhingga telah dikosongkan (semua mereka yang "alamat"nya ganjil), di mana penyambut tetamu yang bijak menampung tetamu baru. Contoh ini menunjukkan bahawa dua kali infiniti juga sama dengan infiniti.

Mungkin hotel Hilbert akan memberi seseorang idea bahawa semua infiniti adalah sama besar, sama antara satu sama lain, dan mana-mana infiniti yang berbeza boleh dimasukkan ke dalam bilik di hotel infiniti yang sama, seperti yang dilakukan oleh porter yang bijak. Tetapi pada hakikatnya, beberapa infiniti lebih besar daripada yang lain. Sebagai contoh, sebarang percubaan untuk mencari pasangan bagi setiap nombor rasional dengan nombor tak rasional supaya tiada satu nombor tak rasional dibiarkan tanpa pasangan rasionalnya pasti berakhir dengan kegagalan. Sesungguhnya, dapat dibuktikan bahawa set ir yang tidak terhingga nombor rasional adalah lebih besar daripada set nombor rasional tak terhingga. Ahli matematik terpaksa mencipta keseluruhan sistem tatatanda dan nama dengan skala infiniti yang tidak terhingga, dan memanipulasi konsep ini merupakan salah satu masalah yang paling mendesak pada zaman kita.

Walaupun infiniti bilangan nombor perdana selama-lamanya memusnahkan harapan untuk bukti cepat Teorem Hebat Ladang, bekalan nombor perdana yang begitu besar amat berguna, contohnya, dalam bidang seperti pengintipan atau penyelidikan tentang kehidupan serangga. Sebelum kita kembali kepada kisah pencarian bukti Teorem Terakhir Fermat, adalah wajar kita menyimpang sedikit dan membiasakan diri dengan penggunaan nombor perdana yang betul dan salah.

* * *

Teori nombor perdana adalah salah satu daripada beberapa bidang matematik tulen yang mempunyai aplikasi langsung dalam dunia sebenar, iaitu kriptografi. Kriptografi memperkatakan pengekodan mesej rahsia dengan cara yang hanya penerima boleh menyahkodnya, tetapi pemintas tidak boleh menguraikannya. Proses pengekodan memerlukan penggunaan kunci sifir, dan penyahsulitan secara tradisional memerlukan menyediakan penerima dengan kunci itu. Dalam prosedur ini, kunci adalah pautan paling lemah dalam rantaian keselamatan. Pertama, penerima dan pengirim mesti bersetuju dengan butiran kunci, dan pertukaran maklumat pada peringkat ini melibatkan beberapa risiko. Jika musuh berjaya memintas kunci semasa pertukaran maklumat, dia akan dapat menyahsulit semua mesej berikutnya. Kedua, untuk mengekalkan keselamatan, kunci mesti ditukar dengan kerap, dan setiap kali kunci ditukar, terdapat risiko musuh akan memintas kunci baharu.

Masalah utama berkisar pada fakta bahawa menggunakan kunci dalam satu arah menyulitkan mesej, tetapi menggunakan kunci yang sama dalam arah yang bertentangan menyahsulit mesej - penyahsulitan adalah semudah penyulitan. Tetapi kami tahu daripada pengalaman bahawa kini terdapat banyak situasi di mana penyahkodan adalah jauh lebih sukar daripada penyulitan: menyediakan telur hancur adalah lebih mudah daripada mengembalikan telur hancur ke keadaan asalnya dengan mengasingkan putih dan kuning telur.

Pada tahun 70-an abad ke-20, Whitfield Diffie dan Martin Hellman mula mencari proses matematik, yang akan mudah dilakukan dalam satu arah, tetapi sangat sukar dalam arah yang bertentangan. Proses sedemikian akan memberikan kunci yang sempurna. Sebagai contoh, saya boleh memiliki saya kunci sendiri dalam dua bahagian, dan saya boleh menerbitkan bahagian penyulitan di tempat awam. Selepas itu, sesiapa sahaja boleh menghantar mesej yang disulitkan kepada saya, tetapi bahagian penyahsulitan kunci akan diketahui oleh saya sahaja. Dan walaupun bahagian penyulitan kunci akan tersedia untuk semua orang, ia tidak ada kaitan dengan bahagian penyahsulitan.

Pada tahun 1977, Ronald Rivest, Adi Shamir dan Leonard Adleman - sekumpulan ahli matematik dan saintis komputer dari MIT Institut Teknologi- mendapati bahawa nombor perdana adalah asas yang ideal untuk proses penyulitan mudah dan penyahsulitan yang sukar. Untuk membuat kunci peribadi saya sendiri, saya boleh mengambil dua nombor perdana yang besar, setiap satu mengandungi sehingga 80 digit, dan mendarab satu nombor dengan yang lain untuk mendapatkan nombor komposit yang lebih besar. Apa yang diperlukan untuk mengekod mesej adalah untuk mengetahui nombor komposit yang besar, manakala untuk mentafsir mesej adalah perlu untuk mengetahui dua nombor perdana asal yang kita darabkan, iaitu, faktor perdana nombor komposit. Saya mampu untuk menerbitkan nombor komposit yang besar - separuh penyulitan kunci, dan menyimpan dua faktor utama - separuh penyahsulitan kunci - rahsia. Adalah sangat penting bahawa walaupun semua orang mengetahui nombor komposit yang besar, adalah amat sukar untuk memfaktorkannya kepada dua faktor utama.

Mari kita lihat contoh yang lebih mudah. Katakan bahawa saya telah memilih dan menyampaikan kepada semua orang nombor komposit 589, yang membolehkan semua orang menghantar mesej yang disulitkan kepada saya. Saya akan merahsiakan dua faktor utama nombor 589, jadi tiada siapa selain saya yang boleh menguraikan mesej itu. Jika seseorang dapat mencari dua faktor utama nombor 589, maka orang seperti itu juga akan dapat mentafsir mesej yang ditujukan kepada saya. Tetapi tidak kira betapa kecilnya nombor 589, mencari faktor utamanya tidaklah begitu mudah. Dalam kes ini, pada komputer meja dalam beberapa minit adalah mungkin untuk mengetahui bahawa faktor utama nombor 589 ialah 31 dan 19 (31 19 = 589), jadi kunci saya tidak dapat menjamin keselamatan surat-menyurat untuk masa yang lama. .

Tetapi jika nombor komposit yang saya siarkan mengandungi lebih daripada seratus digit, ia akan menjadikan mencari faktor utama tugas yang hampir mustahil. Walaupun komputer paling berkuasa di dunia digunakan untuk menguraikan nombor komposit yang besar (kunci penyulitan) kepada dua faktor utama (kunci penyahsulitan), ia masih akan mengambil masa beberapa tahun untuk mencari faktor ini. Oleh itu, untuk menggagalkan rancangan jahat pengintip asing, saya hanya perlu menukar kunci setiap tahun. Setahun sekali saya mendedahkan nombor komposit gergasi baharu saya kepada umum, dan kemudian sesiapa yang ingin mencuba nasib dan menguraikan mesej saya akan dipaksa untuk memulakan semula dengan menguraikan nombor yang diterbitkan kepada dua faktor utama.

* * *

Nombor perdana juga terdapat di alam semula jadi. Jangkrik berkala, dikenali sebagai Magicicada septendecim, mempunyai kitaran hayat terpanjang bagi mana-mana serangga. Kehidupan mereka bermula di bawah tanah, di mana larva dengan sabar menghisap getah dari akar pokok. Dan hanya selepas 17 tahun menunggu, jangkrik dewasa muncul dari tanah, berkumpul dalam kawanan besar dan untuk beberapa waktu memenuhi segala-galanya. Dalam tempoh beberapa minggu, mereka mengawan, bertelur, dan kemudian mati.

Persoalan yang menghantui ahli biologi ialah mengapa kitaran hidup jangkrik begitu lama? Adakah ia memberi sebarang perbezaan kepada kitaran hidup bahawa tempohnya dinyatakan dalam bilangan tahun yang mudah? Spesies lain, Magicicada tredecim, berkerumun setiap 13 tahun. Ini menunjukkan bahawa panjang kitaran hayat, dinyatakan sebagai bilangan tahun yang mudah, memberikan spesies kelebihan evolusi tertentu.

Tuan Leblanc

Menjelang permulaan abad ke-19, Teorem Terakhir Fermat telah membentuk reputasi yang kukuh sebagai masalah paling sukar dalam teori nombor. Selepas kejayaan Euler, tidak ada kemajuan sedikit pun sehinggalah kenyataan sensasi seorang wanita muda Perancis mengilhamkan harapan baru. Pencarian untuk bukti Teorem Terakhir Fermat diteruskan dengan kekuatan baru. Sophie Germain hidup dalam era chauvinisme dan prasangka, dan untuk dapat belajar matematik, dia terpaksa menggunakan nama samaran, bekerja dalam keadaan yang teruk dan mencipta dalam pengasingan intelektual.

Selama berabad-abad, matematik dianggap sebagai aktiviti yang tidak feminin, tetapi walaupun terdapat diskriminasi, terdapat beberapa ahli matematik wanita yang menentang adat dan amalan yang telah ditetapkan dan terukir nama mereka dalam sejarah matematik. Wanita pertama yang meninggalkan jejaknya dalam sejarah matematik ialah Theano (abad ke-6 SM), yang belajar dengan Pythagoras, menjadi salah seorang pengikut terdekatnya dan berkahwin dengannya. Pythagoras kadangkala dipanggil "ahli falsafah feminis" kerana dia menggalakkan saintis wanita. Theano hanyalah seorang daripada dua puluh lapan saudara perempuan dalam persaudaraan Pythagoras.

Pada zaman kemudian, penyokong dan pengikut Socrates dan Plato terus menjemput wanita ke sekolah mereka, tetapi hanya pada abad ke-4 Masihi. e. seorang ahli matematik wanita mengasaskan sekolah berpengaruhnya sendiri. Hypatia, anak perempuan profesor matematik di Akademi Alexandria, menjadi terkenal di seluruh dunia yang terkenal pada masa itu kerana perdebatan dan keupayaannya untuk menyelesaikan pelbagai tugas. Ahli matematik, yang telah membingungkan penyelesaian beberapa masalah selama beberapa bulan, berpaling kepada Hypatia dengan meminta bantuan, dan dia jarang mengecewakan peminatnya. Matematik dan proses pembuktian logik benar-benar memikatnya, dan apabila ditanya mengapa dia tidak berkahwin, Hypatia menjawab bahawa dia telah bertunang dengan Kebenaran. Itu adalah kepercayaan Hypatia yang tidak terbatas fikiran manusia menjadi punca kematiannya apabila Cyril, Patriark Alexandria, mula menganiaya ahli falsafah, naturalis dan ahli matematik, yang dipanggilnya bidaah. Ahli sejarah Edward Gibbon meninggalkan kisah yang jelas tentang peristiwa yang berlaku selepas Cyril berkomplot menentang Hypatia dan menetapkan kumpulan perusuh terhadapnya.

“Pada hari yang menentukan itu, pada musim suci Lentus, Hypatia ditarik dari kereta yang ditungganginya, dibogelkan, diseret ke gereja dan secara tidak berperikemanusiaan dipotong-potong oleh tangan Peter the Reader dan sekumpulan orang yang liar dan tanpa belas kasihan. fanatik; dagingnya terkoyak dari tulangnya dengan cangkang tiram yang tajam, dan anggota badannya yang terketar-ketar dibakar di kayu pancang.”

Selepas kematian Hypatia, tempoh genangan bermula dalam matematik. Wanita kedua yang membuat orang bercakap tentang dirinya sebagai ahli matematik muncul hanya selepas Renaissance. Maria Agnesi dilahirkan di Milan pada tahun 1718. Seperti Hypatia, dia adalah anak perempuan seorang ahli matematik. Agnesi diiktiraf sebagai salah seorang ahli matematik terbaik di Eropah. Dia terkenal terutamanya dengan karyanya mengenai tangen kepada lengkung. Di Itali, lengkung dipanggil "versiera" (dari bahasa Latin "untuk berpaling"), tetapi perkataan yang sama dianggap sebagai penguncupan perkataan "avversiera" - "isteri syaitan." Lengkung yang dikaji oleh Agnesi (versiera Agnesi) telah diterjemah secara salah bahasa Inggeris sebagai "sihir Agnesi", dan lama kelamaan Maria Agnesi mula dipanggil sama.

Walaupun ahli matematik di seluruh Eropah mengiktiraf bakat matematik Agnesi, ramai institusi akademik, khususnya Akademi Perancis, enggan memberikannya jawatan yang membolehkannya melibatkan diri dalam penyelidikan. Dasar mengecualikan wanita daripada jawatan akademik diteruskan hingga abad ke-20 apabila Emmy Noether, yang Einstein gambarkan sebagai "jenius matematik kreatif paling penting yang muncul sejak pendidikan tinggi untuk wanita bermula," dinafikan hak untuk memberi kuliah di Universiti Gottingen. Kebanyakan profesor memberi alasan seperti ini: "Bagaimana anda boleh membenarkan seorang wanita menjadi penolong profesor swasta? Lagipun, jika dia menjadi privatdozent, lama-kelamaan dia mungkin menjadi profesor dan ahli senat universiti... Apa yang akan difikirkan oleh tentera kita apabila mereka kembali ke universiti dan mengetahui bahawa mereka perlu belajar di kaki? seorang wanita? David Gilbert, rakan dan mentor Emmy Noether, menjawab ini: “Tuan-tuan! Saya tidak faham mengapa jantina calon menghalangnya daripada diterima sebagai privatdozent. Lagipun, senat universiti bukan rumah mandian lelaki.”

Kemudian, Edmund Landau, rakan sekerja Noether, ditanya sama ada Noether benar-benar seorang ahli matematik wanita yang hebat, dan dia menjawab: "Saya boleh bersumpah bahawa dia seorang ahli matematik yang hebat, tetapi saya tidak boleh bersumpah bahawa dia seorang wanita."

Sebagai tambahan kepada fakta bahawa Emmy Noether, seperti ahli matematik wanita berabad-abad yang lalu, mengalami diskriminasi, dia mempunyai lebih banyak persamaan dengan mereka: sebagai contoh, dia adalah anak perempuan seorang ahli matematik. Secara amnya, ramai ahli matematik datang daripada keluarga matematik, dan ini menimbulkan khabar angin yang tidak berasas tentang gen matematik khas, tetapi dalam kalangan ahli matematik wanita peratusan orang daripada keluarga matematik adalah sangat tinggi. Penjelasan itu nampaknya walaupun wanita yang paling berbakat tidak akan memutuskan untuk belajar matematik atau menerima sokongan untuk niat mereka jika keluarga mereka tidak terlibat dalam sains. Seperti Hypatia, Agnesi dan kebanyakan ahli matematik wanita lain, Noether belum berkahwin. Pembujangan yang meluas di kalangan ahli matematik wanita dijelaskan oleh fakta bahawa pemilihan profesion matematik seorang wanita mendapat penolakan daripada masyarakat, dan hanya beberapa lelaki yang berani melamar wanita dengan reputasi yang "meragukan". Pengecualian daripada peraturan am menjadi ahli matematik wanita hebat dari Rusia Sofya Vasilievna Kovalevskaya. Dia memasuki perkahwinan rekaan dengan ahli paleontologi Vladimir Onufrievich Kovalevsky. Bagi mereka berdua, perkahwinan adalah satu keselamatan, membolehkan mereka melarikan diri daripada penjagaan keluarga mereka dan memberi tumpuan penyelidikan saintifik. Bagi Kovalevskaya, lebih mudah baginya untuk mengembara bersendirian dengan bertopengkan seorang wanita yang sudah berkahwin yang dihormati.

Daripada semua negara Eropah kedudukan yang paling tidak boleh didamaikan terhadap wanita terpelajar telah diduduki oleh Perancis, yang mengisytiharkan bahawa matematik adalah pekerjaan yang tidak sesuai untuk wanita dan melampaui mereka. kebolehan mental! Dan walaupun salun di Paris mendominasi dunia matematik Abad XVIII dan XIX, hanya seorang wanita yang berjaya melepaskan diri daripada belenggu pendapat umum Perancis dan mewujudkan reputasinya sebagai pakar utama dalam teori nombor. Sophie Germain merevolusikan usaha untuk membuktikan Teorem Terakhir Fermat dan membuat sumbangan jauh melebihi apa yang telah dibuat oleh lelaki terdahulunya.

Sophie Germain dilahirkan pada 1 April 1776 dalam keluarga saudagar Ambroise Francois Germain. Di samping keghairahannya terhadap matematik, hidupnya sangat dipengaruhi oleh badai dan kesukaran yang Agung. revolusi perancis. Pada tahun yang sama dia mendapati kegemarannya terhadap nombor, orang ramai menyerbu Bastille, dan semasa dia belajar kalkulus, bayang-bayang pemerintahan keganasan jatuh. Walaupun ayah Sophie agak orang kaya Germains tidak tergolong dalam golongan bangsawan.

Kanak-kanak perempuan yang berada di tangga sosial yang sama dengan Sophie tidak digalakkan untuk belajar matematik, tetapi mereka dijangka mempunyai pengetahuan yang mencukupi tentang subjek itu untuk dapat bercakap kecil jika ia menyentuh sebarang isu matematik. Untuk tujuan ini, beberapa siri buku teks telah ditulis untuk membiasakan mereka dengan pencapaian terkini dalam matematik dan sains semula jadi. Oleh itu, Francesco Algarotti menulis buku teks "The Philosophy of Sir Isaac Newton, Explained for the Benefit of Ladies." Memandangkan Algarotti yakin bahawa wanita hanya boleh meminati novel, dia cuba membentangkan penemuan Newton dalam bentuk dialog antara marquise menggoda dengan teman bicaranya. Sebagai contoh, interlocutor menerangkan kepada marquise hukum graviti universal, sebagai tindak balas yang marquise menyatakan tafsirannya sendiri tentang undang-undang asas fizik ini: "Saya tidak boleh tidak berfikir bahawa ... hubungan yang sama, perkadaran songsang dengan kuasa dua. dari kejauhan... diperhatikan dalam cinta. Sebagai contoh, jika kekasih tidak bertemu selama lapan hari, maka cinta menjadi enam puluh empat kali lebih lemah daripada pada hari perpisahan."

Tidak menghairankan bahawa minat Sophie Germain dalam sains tidak timbul di bawah pengaruh buku genre yang begitu gagah. Peristiwa yang mengubah seluruh hidupnya berlaku pada hari ketika, semasa melihat buku di perpustakaan bapanya, dia secara tidak sengaja terjumpa "The History of Mathematics" oleh Jean Etienne Montucla. Perhatiannya telah ditarik kepada bab di mana Montucla bercakap tentang kehidupan Archimedes. Senarai penemuan Archimedes seperti yang dibentangkan oleh Montucla sudah pasti menimbulkan minat, tetapi imaginasi Sophie terutama ditangkap oleh episod di mana kematian Archimedes dibincangkan.

Menurut legenda, Archimedes menghabiskan seluruh hidupnya di Syracuse, di mana dia belajar matematik dalam persekitaran yang agak tenang. Tetapi apabila dia lebih dari tujuh puluh tahun, keamanan terganggu oleh pencerobohan tentera Rom. Menurut legenda, semasa pencerobohan inilah Archimedes, sangat tenggelam dalam renungan. angka geometri, yang tertulis di dalam pasir, tidak mendengar soalan askar Rom yang ditujukan kepadanya, dan, tertusuk oleh tombak, mati.

Germaine beralasan bahawa jika masalah geometri boleh menenggelamkan seseorang sehingga membawa kepada kematiannya, maka matematik mesti menjadi subjek yang paling menakjubkan di dunia. Sophie segera mula mempelajari asas teori nombor dan kalkulus sendiri, dan tidak lama kemudian berjaga malam membaca karya Euler dan Newton. Minat secara tiba-tiba dalam subjek "bukan feminin" seperti matematik membimbangkan ibu bapa Sophie. Rakan keluarga Count Guglielmo Libri-Carucci dalla Sommaya berkata bahawa bapa Sophie mengambil lilin, pakaian anak perempuannya dan mengambil brazier yang memanaskan biliknya untuk menghalangnya daripada belajar matematik. Beberapa tahun kemudian di Britain, bapa kepada ahli matematik muda, Mary Somerville, juga mengambil lilin anak perempuannya, mengisytiharkan: "Ini mesti dihentikan jika kita tidak mahu melihat Mary dalam jaket."

Tetapi sebagai tindak balas, Sophie Germaine memulakan penyimpanan rahsia untuk lilin dan melindungi dirinya daripada kesejukan dengan membungkus dirinya dengan cadar. Menurut Libri-Carucci, malam musim sejuk sangat sejuk sehingga dakwat membeku di ruang dakwat, tetapi Sophie terus belajar matematik, tidak kira apa. Beberapa orang yang mengenalinya semasa mudanya mendakwa bahawa dia pemalu dan janggal, tetapi dia bertekad, dan akhirnya ibu bapanya mengalah dan memberi Sophie restu untuk belajar matematik. Germaine tidak pernah berkahwin, dan penyelidikan Sophie dibiayai oleh bapanya sepanjang kerjayanya. Selama bertahun-tahun Germaine menjalankan penyelidikannya sepenuhnya sendirian, kerana tidak ada ahli matematik dalam keluarga yang boleh memperkenalkannya kepada idea terkini, dan guru Sophie enggan menganggapnya serius.

Germaine menjadi semakin yakin dengan kebolehannya dan beralih daripada menyelesaikan masalah dalam tugasan kelas kepada meneroka bidang matematik yang belum diterokai sebelum ini. Tetapi perkara yang paling penting untuk cerita kami ialah Sophie mula berminat dengan teori nombor dan, secara semula jadi, tidak dapat membantu tetapi mendengar tentang Teorem Terakhir Fermat. Germaine mengusahakan buktinya selama beberapa tahun dan akhirnya mencapai tahap di mana dia berfikir bahawa dia boleh bergerak ke arah itu matlamat yang diingini. Terdapat keperluan mendesak untuk membincangkan keputusan yang diperoleh dengan rakan sekerja, pakar dalam teori nombor, dan Germaine memutuskan untuk beralih kepada pakar terbesar dalam teori nombor - ahli matematik Jerman Carl Friedrich Gauss.

Gauss diiktiraf secara universal sebagai ahli matematik paling cemerlang yang pernah hidup. INI. Bell memanggil Fermat "putera amatur" dan Gauss "putera ahli matematik." Buat pertama kalinya, Germaine benar-benar menghargai bakat Gauss apabila dia menemui karya agungnya "Penyiasatan Aritmetik" - risalah paling penting dan luar biasa luas yang ditulis sejak Elemen Euclid. Kerja Gauss mempengaruhi semua bidang matematik, tetapi, anehnya, dia tidak pernah menerbitkan apa-apa tentang Teorem Terakhir Fermat. Dalam satu surat, Gauss malah menyatakan rasa tidak senang terhadap masalah Fermat. Rakan Gauss, ahli astronomi Jerman Heinrich Olbers, menulis surat kepadanya, menasihatinya dengan keras untuk mengambil bahagian dalam pertandingan untuk Hadiah Akademi Paris untuk menyelesaikan masalah Fermat: "Nampaknya saya, Gauss yang dikasihi, anda harus mengambil berat tentang perkara ini. ” Dua minggu kemudian, Gauss menjawab: "Saya sangat bertanggungjawab untuk mendengar berita mengenai Hadiah Paris. Tetapi saya mengaku bahawa Teorem Terakhir Fermat sebagai dalil yang berasingan adalah sangat kurang menarik minat saya, kerana saya boleh memberikan banyak dalil sedemikian yang tidak dapat dibuktikan mahupun disangkal." Gauss mempunyai hak untuk mengekalkan pendapatnya, tetapi Fermat dengan jelas menyatakan bahawa bukti itu wujud, malah percubaan yang tidak berjaya untuk mencari bukti kemudiannya menimbulkan yang baru dan kaedah asal, seperti pembuktian dengan keturunan tak terhingga dan penggunaan nombor khayalan. Mungkin Gauss juga cuba mencari bukti dan gagal, dan jawapannya kepada Olbers hanyalah varian dari pernyataan "anggur itu hijau." Walau bagaimanapun, kejayaan yang dicapai oleh Germaine, yang Gauss pelajari daripada surat-suratnya, memberikan kesan yang begitu kuat kepadanya sehingga Gauss terlupa buat sementara waktu tentang penghinaannya terhadap Teorem Terakhir Fermat.

Tujuh puluh lima tahun sebelumnya, Euler menerbitkan buktinya untuk n=3, dan sejak itu semua ahli matematik telah mencuba dengan sia-sia untuk membuktikan Teorem Terakhir Fermat dalam kes khas yang lain. Tetapi Germaine memilih strategi baru dan dalam surat kepada Gauss menggariskan apa yang dipanggil pendekatan umum kepada masalah Fermat. Dalam erti kata lain, matlamat segeranya bukanlah untuk membuktikan satu kes - Germaine berhasrat untuk mengatakan sesuatu tentang banyak kes tertentu sekaligus. Dalam surat kepada Gauss dia menyatakan kemajuan umum pengiraan tertumpu kepada nombor perdana hlm jenis persendirian: supaya nombornya adalah 2 hlm+1 - juga mudah. Senarai nombor perdana sedemikian yang disusun oleh Germaine termasuk nombor 5, kerana 11 = 2·5 + 1 juga perdana, tetapi nombor 13 tidak termasuk di dalamnya, kerana 27 = 2·13 + 1 bukan perdana.

Khususnya, Germaine, menggunakan penaakulan elegan, membuktikan bahawa jika persamaan x n + y n = z n mempunyai penyelesaian untuk sedemikian mudah n itu 2 n+1 juga merupakan nombor perdana, maka sama ada x, y, atau z saham n.

Pada tahun 1825, kaedah Sophie Germain telah berjaya diterapkan oleh Gustav Lejeune Dirichlet dan Adrien Marie Legendre. Para saintis ini dipisahkan oleh seluruh generasi. Legendre ialah seorang lelaki berusia tujuh puluh tahun yang terselamat daripada ribut politik Revolusi Perancis Besar. Kerana enggan menyokong calon kerajaan dalam Institut Negara dia telah dilucutkan daripada pencennya, dan pada masa dia menyumbang kepada bukti Teorem Terakhir Fermat, Legendre sangat memerlukan. Dirichlet adalah seorang ahli teori nombor yang muda dan bercita-cita tinggi, berumur hampir dua puluh tahun. Kedua-dua Legendre dan Dirichlet secara bebas berjaya membuktikan Teorem Terakhir Fermat untuk n=5, dan kedua-duanya mendasarkan bukti mereka pada alasan Sophie Germain dan kepadanyalah mereka berhutang kejayaan mereka.

Satu lagi kejayaan dibuat empat belas tahun kemudian oleh orang Perancis Gabriel Lamé. Dia membuat beberapa penambahbaikan yang bijak pada kaedah Germain dan membuktikan Teorem Terakhir Fermat dengan nilai prima n=7. Germaine menunjukkan ahli teori nombor bagaimana untuk menghapuskan keseluruhan kumpulan kes bernilai utama. n, dan kini, dengan usaha gabungan rakan-rakannya, mereka terus membuktikan teorem untuk satu nilai mudah n selepas yang lain. Kerja Germaine pada Teorem Terakhir Fermat adalah pencapaian terbesarnya dalam matematik, walaupun ia tidak segera dihargai. Apabila Germaine mula-mula menulis kepada Gauss, dia belum berusia tiga puluh tahun, dan walaupun namanya telah menjadi terkenal di Paris, dia takut bahawa ahli matematik yang hebat itu tidak akan mengambil surat daripada seorang wanita dengan serius. Untuk melindungi dirinya, Germaine sekali lagi berlindung di sebalik nama samaran, menandatangani surat itu dengan nama Monsieur Leblanc.

Sophie tidak menyembunyikan rasa hormatnya kepada Gauss. Berikut adalah frasa dari suratnya: "Malangnya, kedalaman intelek saya lebih rendah daripada ketidakpuasan selera saya, dan saya menyedari kebodohan tindakan saya apabila saya mengambil keberanian untuk mengganggu seorang lelaki jenius, tanpa mempunyai hak sedikit pun untuk perhatiannya, kecuali kekaguman yang tidak dapat dielakkan merangkul semua pembacanya." Gauss, tidak menyedari siapa wartawannya sebenarnya, cuba menenangkan "Monsieur Leblanc." Surat balasan Gauss berkata: "Saya gembira kerana aritmetik telah menemuinya kawan yang berkebolehan».

Keputusan yang diperolehi oleh Germaine mungkin selamanya kekal tersilap dikaitkan dengan Monsieur Leblanc, jika bukan untuk Maharaja Napoleon. Pada tahun 1806, Napoleon menawan Prusia, dan tentera Perancis menyerbu satu demi satu ibu kota Jerman. Germaine mula takut bahawa wira kedua besarnya, Gauss, mungkin berkongsi nasib Archimedes. Sophie menulis surat kepada rakannya, Jeneral Joseph Marie Pernety, yang memimpin pasukan yang bergerak maju. Dalam surat itu, dia meminta jeneral untuk memastikan keselamatan Gauss. Jeneral mengambil langkah yang sewajarnya, menjaga ahli matematik Jerman dan menjelaskan kepadanya bahawa dia berhutang nyawa kepada Mademoiselle Germaine. Gauss menyatakan rasa terima kasihnya, tetapi terkejut, kerana dia tidak pernah mendengar tentang Sophie Germaine.

Permainan itu kalah. Dalam surat seterusnya kepada Gauss, Germaine dengan berat hati mendedahkannya nama sebenar. Sama sekali tidak marah atas penipuan itu, Gauss menjawabnya dengan gembira: "Bagaimana saya boleh menggambarkan kepada anda kegembiraan dan kekaguman yang mencengkam saya apabila melihat bagaimana wartawan saya yang sangat dihormati Monsieur Leblanc menjalani metamorfosis, berubah menjadi orang yang hebat, latar belakang contoh cemerlang yang saya Sukar untuk dipercayai. Rasa untuk sains abstrak secara umum, dan lebih-lebih lagi untuk semua misteri nombor, sangat jarang berlaku, dan ini tidak menghairankan: daya tarikan yang menggoda ini ilmu yang halus terbuka hanya kepada mereka yang mempunyai keberanian untuk mendalaminya. Tetapi apabila seorang wakil jantina itu, yang, menurut adat dan prasangka kita, mesti menghadapi kesukaran yang jauh lebih besar daripada lelaki dalam membiasakan diri mereka dengan penyiasatan yang berduri, berjaya mengatasi semua halangan ini dan menembusi bahagian paling gelap mereka, maka, tidak syak lagi, dia memiliki keberanian mulia, bakat luar biasa dan bakat tertinggi. Tidak ada yang dapat meyakinkan saya dengan cara yang begitu menyanjung dan tidak diragukan bahawa aspek menarik dari sains ini, yang telah memperkaya hidup saya dengan begitu banyak kegembiraan, bukanlah khayalan, daripada pengabdian yang anda menghormatinya."

Surat-menyurat dengan Carl Gauss, yang menjadi sumber inspirasi untuk karya Sophie Germaine, tiba-tiba berakhir pada tahun 1808. Gauss telah dilantik sebagai profesor astronomi di Universiti Göttingen, minatnya beralih daripada teori nombor kepada matematik yang lebih gunaan, dan dia berhenti menjawab surat-surat Germaine. Dihalang daripada sokongan mentor sedemikian, Germaine hilang keyakinan terhadap kebolehannya dan selepas setahun meninggalkan pengajiannya dalam matematik tulen. Walaupun dia tidak dapat maju lebih jauh dalam membuktikan Teorem Terakhir Fermat, dia terus menjadi sangat produktif dalam bidang fizik - disiplin saintifik, di mana dia boleh sekali lagi menduduki jawatan terkemuka jika tidak kerana prejudis pertubuhan itu. Pencapaian tertinggi Sophie Germain dalam fizik ialah "Memoir on the Vibrations of Elastic Plates" - sebuah karya cemerlang yang penuh dengan idea baharu yang meletakkan asas kepada teori keanjalan moden. Untuk kerja ini dan kerjanya pada Teorem Terakhir Fermat, dia telah dianugerahkan pingat Institut de France dan menjadi wanita pertama yang menghadiri kuliah di Akademi Sains tanpa menjadi isteri ahli Akademi. Menjelang akhir hayatnya, Sophie Germaine memulihkan hubungannya dengan Carl Gauss, yang meyakinkan Universiti Göttingen untuk menganugerahkan dia penghormatan. ijazah akademik. Malangnya, Sophie Germaine meninggal dunia akibat kanser payudara sebelum universiti dapat menghormatinya sebagaimana yang sepatutnya.

“Dengan mengambil kira semua ini, boleh dikatakan bahawa Sophie Germain nampaknya mempunyai kecerdasan paling mendalam daripada mana-mana wanita yang pernah dihasilkan Perancis. Ia mungkin kelihatan pelik, tetapi apabila pegawai itu datang untuk mengeluarkan sijil kematian rakan sekerja terkenal ini dan pekerja ahli yang paling terkenal Akademi Perancis Sains, dalam lajur "pendudukan" dia menetapkannya sebagai "wanita tunggal tanpa profesion", dan bukan "ahli matematik". Tetapi bukan itu sahaja. Semasa pembinaan Menara Eiffel, jurutera memberi perhatian khusus kepada keanjalan bahan yang digunakan, dan nama tujuh puluh dua saintis yang memberi sumbangan yang sangat penting kepada pembangunan teori keanjalan telah ditulis pada struktur gergasi ini. Tetapi sia-sia kami akan mencari dalam senarai ini untuk nama anak perempuan Perancis yang cemerlang, yang penyelidikannya sebahagian besarnya menyumbang kepada perkembangan teori keanjalan logam - Sophie Germain. Adakah dia dikecualikan daripada senarai ini atas sebab yang sama bahawa Maria Agnesi tidak dianugerahkan keahlian dalam Akademi Perancis - kerana dia seorang wanita? Rupa-rupanya ini berlaku. Tetapi jika ini benar-benar demikian, maka lebih besar rasa malu bagi mereka yang bertanggungjawab atas rasa tidak terima kasih yang terang-terangan terhadap seorang lelaki yang mempunyai jasa besar terhadap sains - seorang lelaki yang mendapat tempat yang sah di dewan kemasyhuran. (A.J. Mozans, 1913.)

Sampul surat tertutup

Berikutan kemajuan yang dicapai melalui kerja Sophie Germain, Akademi Sains Perancis menubuhkan satu siri hadiah, termasuk pingat emas dan 3,000 franc, untuk ahli matematik yang akhirnya dapat merungkai misteri Teorem Terakhir Fermat. Orang yang dapat membuktikan teorem akan menerima bukan sahaja kemasyhuran yang layak, tetapi juga ganjaran material yang signifikan. Salun Paris penuh dengan khabar angin mengenai strategi apa yang dipilih oleh calon ini dan berapa lama keputusan pertandingan akan diumumkan. Akhirnya, pada 1 Mac 1847, Akademi bersidang untuk mesyuarat yang paling dramatik.

Minit mesyuarat memperincikan bagaimana Gabriel Lamé, yang tujuh tahun sebelumnya telah membuktikan Teorem Terakhir Fermat n=7, menaiki podium di hadapan ahli matematik paling terkenal pada abad ke-19 dan mengisytiharkan bahawa dia berada di ambang membuktikan Teorem Terakhir Fermat untuk kes umum. Lame mengakui bahawa buktinya masih belum lengkap, tetapi dia menggariskan garis besar umum kaedahnya dan bukan tanpa sukacita mengumumkan bahawa dalam beberapa minggu dia akan menerbitkan bukti lengkap dalam jurnal yang diterbitkan oleh Akademi.

Penonton terkaku dengan kegembiraan, tetapi sebaik sahaja Lame meninggalkan podium, seorang lagi ahli matematik terbaik Paris, Augustin Louis Cauchy, meminta kata-kata. Bercakap kepada ahli Akademi, Cauchy berkata bahawa dia telah mengusahakan bukti Teorem Terakhir Fermat untuk masa yang lama, berdasarkan idea yang lebih kurang sama seperti Lamé, dan juga tidak lama lagi berhasrat untuk menerbitkan bukti lengkap.

Kedua-dua Cauchy dan Lamé menyedari bahawa masa adalah penting. Orang pertama yang mengemukakan bukti lengkap akan memenangi hadiah paling berprestij dan berharga dalam matematik. Walaupun Lamé mahupun Cauchy tidak mempunyai bukti penuh, kedua-dua pesaing tidak sabar-sabar untuk menyokong tuntutan mereka, dan tiga minggu kemudian kedua-duanya menyerahkan sampul surat tertutup kepada Akademi. Itulah adat pada masa itu. Ini membolehkan ahli matematik untuk menegaskan keutamaan mereka tanpa mendedahkan butiran kerja mereka. Jika pertikaian kemudiannya timbul mengenai keaslian idea, sampul surat yang dimeterai mengandungi bukti muktamad yang diperlukan untuk menetapkan keutamaan.

Pada bulan April, apabila Cauchy dan Lamé akhirnya menerbitkan beberapa butiran bukti mereka dalam Prosiding Akademi, ketegangan meningkat. Seluruh komuniti matematik terdesak untuk melihat bukti penuh, dengan ramai ahli matematik secara rahsia berharap Lamé dan bukannya Cauchy akan memenangi pertandingan itu. Dengan semua akaun, Cauchy adalah makhluk yang mementingkan diri sendiri dan fanatik agama. Lebih-lebih lagi, dia sangat tidak popular di kalangan rakan sekerjanya. Di Akademi dia diterima hanya kerana fikirannya yang cemerlang.

Akhirnya, pada 24 Mei, satu kenyataan dibuat yang menamatkan semua spekulasi. Bukan Cauchy atau Lamé yang berucap di Akademi, tetapi Joseph Liouville. Dia mengejutkan hadirin yang dihormati dengan membaca surat daripada ahli matematik Jerman Ernst Kummer. Kummer adalah seorang pakar yang diiktiraf dalam teori nombor, tetapi semangat patriotismenya, didorong oleh kebencian yang tulus terhadap Napoleon, selama bertahun-tahun tidak membenarkannya untuk menumpukan dirinya kepada panggilan sebenar. Ketika Kummer masih kanak-kanak, tentera Perancis menyerang kampung halamannya di Sorau, membawa bersamanya wabak tifus. Bapa Kummer adalah seorang doktor bandar dan beberapa minggu kemudian penyakit itu membawanya pergi. Terkejut dengan apa yang telah berlaku, Kummer berikrar untuk melakukan segala-galanya untuk membebaskan tanah airnya daripada pencerobohan musuh baru - dan selepas menamatkan pengajian di universiti, dia mengarahkan akalnya untuk menyelesaikan masalah membina trajektori bebola meriam. Kemudian dia mengajar undang-undang balistik di Sekolah Tentera Berlin.

selari dengan kerjaya tentera Kummer terlibat secara aktif dalam penyelidikan dalam bidang matematik tulen dan menyedari sepenuhnya apa yang berlaku di Akademi Perancis. Kummer membaca dengan teliti penerbitan dalam Prosiding Akademi dan menganalisis beberapa butiran yang Cauchy dan Lama berisiko mendedahkan. Ia menjadi jelas kepadanya bahawa kedua-dua orang Perancis sedang menuju ke jalan buntu logik yang sama - dan dia menggariskan pemikirannya dalam surat kepada Liouville.

Menurut Kummer, masalah utama ialah bukti Cauchy dan Lamé bergantung pada penggunaan sifat integer yang dikenali sebagai pemfaktoran unik. Harta ini bermakna hanya ada satu gabungan yang mungkin nombor perdana yang hasil darabnya memberikan integer tertentu. Sebagai contoh, satu-satunya gabungan nombor perdana yang hasil darabnya bersamaan dengan 18 ialah

18 = 2 3 3.

Begitu juga, nombor 35, 180 dan 106260 boleh diuraikan secara unik kepada nombor perdana, dan penguraiannya adalah dalam bentuk

35 = 5 7, 180 = 2 2 3 3 5, 106260 = 2 2 3 5 7 11 23.

Keunikan pemfaktoran ditemui pada abad ke-4 SM. e. Euclid, yang dalam Buku IX Elemennya membuktikan bahawa ini benar untuk semua nombor asli. Keunikan pemfaktoran perdana untuk semua nombor asli adalah penting elemen penting pembuktian banyak teorem yang berbeza dan kini dipanggil teorem asas aritmetik.

Pada pandangan pertama, sepatutnya tidak ada sebab mengapa Cauchy dan Lamé tidak boleh menggunakan keunikan pemfaktoran dalam penaakulan mereka, seperti yang dilakukan oleh ratusan ahli matematik sebelum mereka. Walau bagaimanapun, kedua-dua bukti yang dikemukakan kepada Akademi menggunakan nombor khayalan. Kummer membawa perhatian Liouville bahawa walaupun teorem pemfaktoran unik berlaku untuk integer, ia tidak semestinya berlaku jika nombor khayalan digunakan. Menurut Kummer, ia adalah kesilapan maut.

Sebagai contoh, jika kita menghadkan diri kita kepada integer, maka nombor 12 mengakui penguraian unik 2·2·3. Tetapi jika kita membenarkan nombor khayalan dalam bukti, nombor 12 boleh difaktorkan seperti ini:

12 = (1 + v–11)·(1 + v–11).

Di sini 1 + v–11 - nombor kompleks, iaitu gabungan nombor nyata dan nombor khayalan. Walaupun pendaraban nombor kompleks dijalankan lebih banyak peraturan yang kompleks Daripada mendarab nombor nyata, kewujudan nombor kompleks menimbulkan cara tambahan untuk memfaktorkan nombor 12. Berikut adalah cara lain untuk menguraikan nombor 12:

12 = (2 + v–8)·(2 + v–8).

Oleh itu, apabila menggunakan nombor khayalan dalam pembuktian kita bercakap tentang bukan tentang keunikan penguraian, tetapi tentang pilihan salah satu varian pemfaktoran.

Oleh itu, kehilangan keunikan pemfaktoran menyebabkan kerosakan besar pada bukti Cauchy dan Lamé, tetapi tidak memusnahkannya sepenuhnya. Bukti itu sepatutnya menunjukkan ketiadaan penyelesaian integer kepada persamaan x n + y n = z n, Di mana n- mana-mana integer lebih besar daripada 2. Seperti yang telah kita sebutkan dalam bab ini, sebenarnya Teorem Terakhir Fermat hanya perlu dibuktikan untuk nilai mudah n. Kummer menunjukkan bahawa, menggunakan helah tambahan, adalah mungkin untuk memulihkan keunikan pemfaktoran untuk nilai tertentu n. Sebagai contoh, masalah keunikan penguraian boleh dielakkan untuk semua nombor perdana tidak melebihi n= 31 (termasuk nilai itu sendiri n= 31). Tetapi apabila n= 37 menyingkirkan kesukaran tidak begitu mudah. Antara nombor lain yang kurang daripada 100, adalah amat sukar untuk membuktikan Teorem Terakhir Fermat untuk n= 59 dan n= 67. Apa yang dipanggil nombor perdana tidak teratur ini, bertaburan di antara nombor yang lain, menjadi batu penghalang dalam perjalanan ke bukti yang lengkap.

Kummer menyatakan bahawa tidak ada kaedah matematik yang diketahui yang membolehkan seseorang untuk mempertimbangkan semua nombor perdana yang tidak teratur dalam satu kejadian. Tetapi dia percaya bahawa dengan menyesuaikan kaedah sedia ada dengan teliti kepada setiap nombor perdana yang tidak teratur secara berasingan, dia akan dapat menanganinya "satu demi satu." Membangunkan kaedah tersuai sedemikian akan menjadi perlahan dan amat sukar, dan lebih memburukkan lagi keadaan, bilangan bilangan prima yang tidak sekata akan tidak berkesudahan. Pertimbangan nombor perdana yang tidak sekata satu demi satu oleh seluruh komuniti matematik dunia akan berlangsung sehingga akhir abad.

Surat Kummer mempunyai kesan yang menakjubkan pada Lame. Abaikan andaian pemfaktoran unik! Paling baik, ini boleh dipanggil optimisme yang berlebihan, paling teruk, kebodohan yang tidak boleh dimaafkan. Lame menyedari bahawa jika dia tidak berusaha untuk merahsiakan butiran kerjanya, dia akan dapat menemui jurang itu lebih awal. Dalam surat kepada rakan sekerjanya Dirichlet di Berlin, dia mengakui: "Sekiranya anda berada di Paris, atau saya berada di Berlin, semua ini tidak akan berlaku." Walaupun Lamé berasa terhina, Cauchy enggan mengaku kalah. Pada pendapatnya, berbanding dengan bukti Lamé, buktinya sendiri kurang bergantung pada keunikan pemfaktoran, dan sehingga analisis Kummer disahkan sepenuhnya, terdapat kemungkinan ralat telah menjalar ke dalam penaakulan ahli matematik Jerman itu. Selama beberapa minggu, Cauchy terus menerbitkan artikel demi artikel mengenai bukti Teorem Terakhir Fermat, tetapi pada penghujung musim panas dia juga telah berdiam diri.

Kummer menunjukkan bahawa bukti lengkap Teorem Terakhir Fermat adalah di luar kemampuan pendekatan matematik sedia ada. Ia adalah contoh logik yang cemerlang dan pada masa yang sama tamparan hebat kepada seluruh generasi ahli matematik yang berharap bahawa mereka akan dapat menyelesaikan masalah matematik yang paling sukar di dunia.

Ringkasan itu telah disimpulkan oleh Cauchy, yang pada tahun 1857 menulis dalam laporan akhir yang dibentangkan kepada Akademi mengenai hadiah yang dianugerahkan untuk bukti Teorem Terakhir Fermat: “Laporkan pertandingan untuk hadiah dalam sains matematik. Pertandingan itu dijadualkan pada tahun 1853 dan kemudian dilanjutkan sehingga tahun 1856. Sebelas memoir telah disampaikan kepada setiausaha. Tidak ada satu pun daripada mereka soalan yang dikemukakan telah diselesaikan. Oleh itu, walaupun telah dikemukakan berkali-kali, persoalannya kekal di mana Encik Kummer meninggalkannya. Walau bagaimanapun, sains matematik telah diberi ganjaran oleh kerja yang dilakukan oleh ahli geometer dalam usaha mereka untuk menyelesaikan soalan, terutamanya oleh Encik Kummer, dan ahli Suruhanjaya menganggap bahawa Akademi akan membuat keputusan yang mencukupi dan berguna jika, setelah menarik diri. soalan daripada pertandingan itu, ia telah menganugerahkan pingat kepada Encik Kummer untuk kajian cemerlangnya mengenai nombor kompleks yang terdiri daripada akar perpaduan dan integer.”

* * *

Selama lebih daripada dua abad, sebarang percubaan untuk menemui semula bukti Teorem Terakhir Fermat berakhir dengan kegagalan. DALAM tahun remaja Andrew Wiles mengkaji karya Euler, Germaine, Cauchy, Lamé dan, akhirnya, Kummer. Wiles berharap dia dapat belajar daripada kesilapan yang dilakukan oleh pendahulunya yang hebat, tetapi pada masa dia menjadi sarjana di Universiti Oxford, tembok batu yang sama yang Kummer telah menghalangnya menghalangnya.

Beberapa orang sezaman Wiles mula mengesyaki bahawa masalah Fermat mungkin tidak dapat diselesaikan. Ada kemungkinan Fermat tersilap, jadi sebab mengapa tiada siapa yang dapat membina semula bukti Fermat adalah semata-mata bukti sedemikian tidak pernah wujud. Wiles diilhamkan oleh fakta bahawa pada masa lalu, selepas usaha gigih selama berabad-abad, untuk beberapa makna n Bukti Teorem Terakhir Fermat akhirnya ditemui. Dan dalam beberapa kes ini, idea yang berjaya yang menyelesaikan masalah tidak bergantung pada kemajuan baru dalam matematik; sebaliknya, ia adalah bukti yang boleh ditemui lama dahulu.

Satu contoh masalah yang telah berdekad menentang penyelesaian selama beberapa dekad ialah hipotesis titik. Ia berkaitan dengan beberapa titik, setiap satunya disambungkan ke titik lain dengan garis lurus, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 13. Hipotesis menyatakan bahawa adalah mustahil untuk melukis gambar rajah jenis ini supaya sekurang-kurangnya tiga titik terletak pada setiap baris (kami mengecualikan daripada pertimbangan gambar rajah di mana semua titik terletak pada garis yang sama). Dengan bereksperimen dengan beberapa rajah, kita boleh mengesahkan bahawa hipotesis titik kelihatan betul. Dalam Rajah. 13 A lima titik disambungkan oleh enam garis lurus. Tiada tiga titik pada empat baris ini, dan oleh itu jelas bahawa susunan titik ini tidak memenuhi keperluan masalah bahawa setiap baris mempunyai tiga titik.

A) b)

nasi. 13. Dalam rajah ini, setiap titik disambungkan kepada setiap titik yang lain dengan garis lurus. Adakah mungkin untuk membina gambar rajah di mana setiap baris melalui sekurang-kurangnya tiga titik?

Dengan menambah satu titik dan satu baris yang melaluinya, kami mengurangkan bilangan baris yang tidak mengandungi tiga mata kepada tiga. Tetapi pengurangan selanjutnya rajah kepada syarat-syarat hipotesis (penyusunan semula rajah sedemikian, akibatnya terdapat tiga titik pada setiap garis lurus), nampaknya mustahil. Sudah tentu, ini tidak membuktikan bahawa rajah sedemikian tidak wujud.

Generasi ahli matematik cuba mencari bukti hipotesis yang kelihatan mudah tentang mata - dan gagal. Hipotesis ini lebih menjengkelkan kerana apabila penyelesaian akhirnya ditemui, ternyata ia hanya memerlukan pengetahuan matematik yang minimum dan satu kelainan yang luar biasa dalam penaakulan. Kemajuan bukti digariskan dalam Lampiran 6.

Adalah agak mungkin bahawa semua kaedah yang diperlukan untuk membuktikan Teorem Terakhir Fermat telah pun digunakan oleh ahli matematik, dan satu-satunya bahan yang hilang ialah beberapa helah yang bijak. Wiles tidak akan berputus asa: impian zaman kanak-kanaknya untuk membuktikan Teorem Terakhir Fermat bertukar menjadi semangat yang mendalam dan serius. Setelah mempelajari semua yang perlu diketahui tentang matematik abad ke-19, Wiles memutuskan untuk menggunakan kaedah abad ke-20.

Nota:

Saya teringat frasa Titchmarsh di sini: "Saya baru-baru ini bertemu dengan seorang lelaki yang memberitahu saya bahawa dia tidak mempercayai kewujudan tolak satu, kerana ini membayangkan kewujudan punca kuasa dua daripadanya.”:) - E.G.A.

Saya akan memberi anda ilustrasi pelanggan baharu yang berpindah ke hotel Gilbert. Ia diambil daripada buku "Proofs from THE BOOK", diterbitkan oleh Springer pada tahun 1998 dan diterbitkan semula pada tahun 2001. Pengarang: Martin Aigner dan Gunter M. Ziegler. Petikan kecil dari mukadimah pengarang kepada buku ini: "Paul Erdos suka bercakap tentang The Book, di mana Tuhan mengekalkan yang sempurna bukti untuk teorem matematik, mengikut diktum G. H. Hardy bahawa tidak ada tempat tetap untuk matematik hodoh. Erdos juga berkata bahawa anda tidak perlu percaya kepada Tuhan tetapi, sebagai ahli matematik, anda harus percaya kepada The Book. Kami tidak mempunyai definisi atau pencirian tentang apa yang menjadi bukti daripada The Book: semua yang kami tawarkan di sini ialah contoh yang telah kami pilih, dengan harapan pembaca kami akan berkongsi keghairahan kami tentang idea yang bernas, pandangan yang bijak dan pemerhatian yang menarik. Kami juga berharap pembaca kami akan menikmati ini walaupun terdapat ketidaksempurnaan eksposisi kami. Pemilihan sebahagian besarnya dipengaruhi oleh Paul Erdos sendiri." Ilustrasi ini membuka bab "Set, fungsi dan hipotesis kontinum." - E.G.A.

Hmm... Saya terbaca di suatu tempat bahawa dia membayar dengan nyawanya apabila dia menjerit: “Berhati-hati! Jangan pijak lukisan saya!", tetapi askar Rom yang kepadanya seruan ini ditujukan tidak menghiraukan fakta bahawa di hadapannya adalah seorang lelaki tua yang tidak bersenjata. :(Dan dalam buku “Proofs from THE BOOK” yang saya sebutkan tadi, bab “Number Theory” didahului dengan lukisan yang tiada lembing. Rupa-rupanya artis itu juga tidak mengetahui butiran kematian Archimedes. - E.G.A.

Acara besar

Sekali dalam surat berita Tahun Baru tentang cara membuat roti bakar, saya dengan santai menyebut bahawa pada akhir abad kedua puluh satu peristiwa besar berlaku, yang ramai tidak perasan - apa yang dipanggil Teorem Terakhir Fermat. Mengenai ini, antara surat yang saya terima, saya dapati dua jawapan daripada kanak-kanak perempuan (salah seorang daripada mereka, seingat saya, adalah Vika kelas sembilan dari Zelenograd), yang terkejut dengan fakta ini.

Saya terkejut dengan betapa minat gadis-gadis itu dalam masalah matematik moden. Oleh itu, saya fikir bukan sahaja kanak-kanak perempuan, tetapi juga lelaki dari semua peringkat umur - dari pelajar sekolah menengah hingga pesara, juga akan berminat untuk mempelajari sejarah Teorem Besar.

Bukti teorem Fermat adalah peristiwa yang hebat. Dan kerana Ia bukan kebiasaan untuk bergurau dengan perkataan "hebat," tetapi nampaknya saya setiap penceramah yang menghormati diri sendiri (dan kita semua adalah penceramah apabila kita bercakap) hanya diwajibkan untuk mengetahui sejarah teorem.

Jika kebetulan anda tidak menyukai matematik seperti saya menyukainya, kemudian semak beberapa butiran. Menyedari bahawa tidak semua pembaca surat berita kami berminat untuk mengembara ke dalam hutan matematik, saya cuba untuk tidak memberikan sebarang formula (kecuali untuk persamaan teorem Fermat itu sendiri) dan untuk memudahkan liputan beberapa isu khusus sebanyak mungkin.

Bagaimana Fermat membuat kekacauan

Peguam Perancis dan ahli matematik hebat sambilan abad ke-17 Pierre Fermat (1601-1665) mengemukakan satu kenyataan menarik dari bidang teori nombor, yang kemudiannya dikenali sebagai Teorem Hebat (atau Hebat) Fermat. Ini adalah salah satu teorem matematik yang paling terkenal dan fenomenal. Mungkin, keseronokan di sekelilingnya tidak akan begitu kuat jika dalam buku Diophantus dari Alexandria (abad III) "Aritmetik," yang Fermat sering belajar, membuat nota di tepi lebarnya, dan yang anaknya Samuel dengan baik hati dipelihara untuk anak cucu, tidak ditemui kira-kira nota berikut oleh ahli matematik yang hebat:

"Saya mempunyai beberapa bukti yang sangat mengejutkan, tetapi ia terlalu besar untuk dimuatkan ke dalam margin."

Rakaman inilah yang menjadi punca kekecohan besar yang berlaku di sekeliling teorem itu.

Jadi, saintis terkenal itu mengisytiharkan bahawa dia telah membuktikan teoremnya. Mari kita tanya diri kita sendiri: adakah dia benar-benar membuktikannya atau hanya berbohong? Atau adakah versi lain yang menerangkan kemunculan nota itu di pinggir, yang tidak membenarkan ramai ahli matematik generasi berikutnya tidur dengan aman?

Kisah Teorem Besar sangat menarik seperti pengembaraan melalui masa. Pada tahun 1636, Fermat menyatakan bahawa persamaan bentuk Xn+Yn=Zn tidak mempunyai penyelesaian dalam integer dengan eksponen n>2. Ini sebenarnya Teorem Terakhir Fermat. Dalam formula matematik yang kelihatan mudah ini, Alam Semesta menyamarkan kerumitan yang luar biasa.

Agak pelik bahawa atas sebab tertentu teorem itu lewat dalam kemunculannya, kerana keadaan telah lama berlaku, kerana ia kes khas dengan n=2 - satu lagi yang terkenal formula matematik- Teorem Pythagoras timbul dua puluh dua abad lebih awal. Tidak seperti teorem Fermat, teorem Pythagoras mempunyai set tak terhingga penyelesaian integer, sebagai contoh, seperti Segitiga Pythagoras: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

Sindrom Teorem Hebat

Siapa yang belum cuba membuktikan teorem Fermat? Mana-mana pelajar baru menganggap tugasnya untuk memohon Teorem Besar, tetapi tiada siapa yang dapat membuktikannya. Pada mulanya ia tidak berfungsi selama seratus tahun. Kemudian seratus lagi. Sindrom massa mula berkembang di kalangan ahli matematik: "Bagaimana ini boleh membuktikannya, tetapi apa, saya tidak boleh melakukannya?" dan sebahagian daripada mereka menjadi gila atas dasar ini dalam erti kata penuh.

Tidak kira berapa kali teorem itu diuji, ia sentiasa ternyata benar. Saya mengenali seorang pengaturcara yang gemar yang terobsesi untuk menyangkal Teorem Besar dengan cuba mencari sekurang-kurangnya satu penyelesaian dengan mencari melalui integer menggunakan komputer berkelajuan tinggi (lebih biasa dipanggil kerangka utama pada masa itu). Dia percaya pada kejayaan perusahaannya dan suka berkata: "Sedikit lagi - dan sensasi akan muncul!" Saya fikir bahawa dalam tempat yang berbeza Planet kita mempunyai sejumlah besar pencari berani jenis ini. Dia, tentu saja, tidak menemui satu pun penyelesaian. Dan tiada komputer, walaupun dengan kelajuan yang hebat, boleh mengesahkan teorem, kerana semua pembolehubah persamaan ini (termasuk eksponen) boleh meningkat kepada infiniti.

Ahli matematik paling virtuoso dan prolifik pada abad ke-18, Leonard Euler, yang arkib rekodnya telah dibongkar oleh manusia selama hampir sepanjang abad, membuktikan teorem Fermat untuk kuasa 3 dan 4 (atau lebih tepat lagi, dia mengulangi bukti hilang Pierre Fermat sendiri); pengikutnya dalam teori nombor, Legendre - untuk kuasa 5; Dirichlet - untuk ijazah 7. Tetapi secara umum teorem itu tetap tidak terbukti.

Pada permulaan abad ke-20 (1907), seorang amatur Jerman yang kaya dalam bidang matematik bernama Wolfskehl mewariskan seratus ribu markah kepada orang yang akan mengemukakan bukti lengkap teorem Fermat. Keterujaan bermula. Jabatan matematik dipenuhi dengan beribu-ribu bukti, tetapi semuanya, seperti yang anda rasa, mengandungi ralat. Mereka mengatakan bahawa di beberapa universiti di Jerman, yang menerima sejumlah besar "bukti" teorem Fermat, borang telah disediakan dengan lebih kurang kandungan berikut:

______________________________ yang dihormati!

Dalam bukti teorem Fermat anda pada ____ halaman dalam ____ baris di bahagian atas
ralat berikut telah dikesan dalam formula:__________________________:,

Yang dihantar kepada pemohon anugerah yang tidak bernasib baik.

Pada masa itu, nama samaran separa menghina muncul di kalangan ahli matematik - petani. Ini adalah nama yang diberikan kepada mana-mana orang baru yang yakin diri yang tidak mempunyai pengetahuan, tetapi mempunyai lebih daripada cukup cita-cita untuk tergesa-gesa mencuba tangannya membuktikan Teorem Besar, dan kemudian, tanpa perasan. kesilapan sendiri, dengan bangganya menampar dadanya, dengan lantang mengisytiharkan: "Saya adalah orang pertama yang membuktikan teorem Fermat!" Setiap petani, walaupun dia yang kesepuluh ribu, menganggap dirinya yang pertama - ini lucu. Mudah penampilan Teorem Besar mengingatkan Fermis sebagai mangsa yang mudah sehingga mereka tidak malu sama sekali sehingga Euler dan Gauss tidak dapat mengatasinya.

(Fermatis, anehnya, masih wujud hari ini. Walaupun salah seorang daripada mereka tidak menyangka bahawa dia telah membuktikan teorem itu, seperti seorang Fermatis klasik, dia membuat percubaan sehingga baru-baru ini - dia enggan mempercayai saya apabila saya memberitahunya bahawa teorem Fermat telah pun terbukti).

Ahli matematik yang paling berkuasa, mungkin, di pejabat mereka yang sunyi, juga cuba mendekati barbel yang mustahil ini dengan berhati-hati, tetapi tidak membicarakannya dengan lantang, supaya tidak dicap sebagai petani dan, dengan itu, tidak membahayakan pihak berkuasa tinggi mereka .

Pada masa itu, bukti teorem untuk eksponen n telah muncul

TEOREM ASAS ALGEBRA Teorem bahawa setiap polinomial darjah n (n>0): f(z) = a0zn + a1zn-1 + … + an, dengan a0 / 0, di atas medan nombor kompleks mempunyai sekurang-kurangnya satu punca z1 , jadi f(z1)=0. Daripada O.T.A. dan daripada teorem Bezout ia mengikuti bahawa polinomial f(z) mempunyai betul-betul n punca dalam bidang nombor kompleks (dengan mengambil kira pendarabannya). Sesungguhnya, mengikut teorem Bezout, f(z) boleh dibahagikan dengan z – z1 (tanpa baki), i.e. f(z) = f1(z)(z – z1), dan dengan itu polinomial f1(z) bagi (n – 1) darjah mengikut O.T.A. juga mempunyai akar z2, dsb. Akhirnya kita akan membuat kesimpulan bahawa f(z) mempunyai betul-betul n punca: f(z) = a0(z – z1)(z – z2) (z – zn). O.T.A. dipanggil demikian kerana kandungan utama algebra pada abad ke-17-18. turun untuk menyelesaikan persamaan.

O.T.A. telah dibuktikan buat kali pertama pada abad ke-17. oleh ahli matematik Perancis Girard, dan bukti yang kukuh telah diberikan pada tahun 1799 oleh ahli matematik Jerman Gauss. TEOREM BEZOU Teorem pada baki pembahagian polinomial arbitrari oleh binomial linear Ia dirumuskan seperti berikut: baki pembahagian polinomial arbitrari f(x) oleh binomial x – a adalah sama dengan f(a. ). T.B. dinamakan sempena ahli matematik Perancis abad ke-18 yang mula-mula merumus dan membuktikannya. Bezu. Daripada T.B. akibat berikut berikut: 1) jika polinomial f(x) boleh dibahagikan (tanpa baki) dengan x – a, maka nombor a ialah punca f(x); 2) jika nombor a ialah punca bagi polinomial f(x), maka f(x) boleh dibahagikan (tanpa baki) dengan binomial x – a; 3) jika polinomial f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu punca, maka polinomial ini mempunyai sama banyak punca dengan darjah polinomial ini (kepelbagaian punca diambil kira). TEOREM CHEVA Jika garis lurus yang menghubungkan bucu segitiga ABC dengan titik O yang terletak pada satah segi tiga itu bersilang pada sisi bertentangan (atau sambungannya), masing-masing, pada titik A' B' C', maka kesamaan itu berlaku: (* ) Dalam kes ini, nisbah segmen dianggap sebagai positif , jika segmen ini mempunyai arah yang sama, dan negatif - sebaliknya.

T.Ch. boleh juga ditulis dalam bentuk ini: (ABC’)*(BCA’)*(CAB’) = 1, di mana (ABC’) ialah hubungan mudah tiga mata A, B dan C'. Teorem songsang juga benar: jika titik C', A', B' terletak masing-masing pada sisi AB, BC dan CA segi tiga atau sambungannya supaya kesamaan (*) dipegang, maka garis AA', BB' dan CC' bersilang pada titik yang sama atau selari (bersilang pada titik yang tidak betul). Garis AA', BB' dan CC', bersilang pada satu titik dan melalui bucu segi tiga, dipanggil garis Chevy atau Chevyans.

T.Ch. bersifat projektif. T.Ch. adalah duaan metrik kepada teorem Menelaus.

T.Ch. dinamakan sempena geometer Itali Giovanni Ceva, yang membuktikannya (1678). TEOREM KOSIN 1. T.K. trigonometri satah - pernyataan bahawa dalam mana-mana segi tiga segi empat sama mana-mana sisinya adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua dua sisinya yang lain tanpa menggandakan hasil darab sisi ini dengan kosinus sudut di antara mereka: c2 = a2 + b2 – 2abcosC, dengan a, b, c ialah panjang segi tiga sisi, dan C ialah sudut antara sisi a dan b. T.K. sering digunakan dalam penyelesaian masalah geometri asas dan trigonometri 2. T.K. untuk sisi segitiga sfera: kosinus satu sisi segitiga sfera adalah sama dengan hasil darab kosinus dua sisinya yang lain ditambah hasil darab sinus sisi yang sama dengan kosinus sudut di antara mereka: cosa = cosb*cosc + sinb*sinc*cosA 3. T.K. untuk sudut segi tiga sfera: kosinus sudut segitiga sfera adalah sama dengan hasil darab kosinus dua sudut yang lain, diambil dengan tanda bertentangan, ditambah dengan hasil darab sinus dua sudut yang lain dengan kosinus sisi bertentangan dengan sudut pertama: cosA = -cosBcosC + sinBsinCcosa. TEOREM EULER 1. T.E. dalam teori perbandingan menyatakan bahawa jika (a, m)=1, maka di mana f(m) ialah fungsi Euler (bilangan integer nombor positif coprime kepada m dan tidak melebihi m). 2. T.E. tentang polyhedra menyatakan bahawa untuk mana-mana polihedron genus sifar formula adalah sah: B + G – P = 2, di mana B ialah bilangan bucu, G ialah bilangan muka, P ialah bilangan tepi polihedron.

Walau bagaimanapun, Descartes yang pertama kali menyedari pergantungan sedemikian.

Oleh itu T.E. pada polyhedra secara sejarah lebih tepat untuk memanggilnya teorem Descartes-Euler.

Nombor B + G – P dipanggil ciri Euler bagi polihedron.

T.E. juga terpakai pada graf tertutup. Teorem Thales Salah satu teorem geometri asas tentang segmen berkadar. menyatakan bahawa jika pada salah satu sisi sudut dari puncaknya segmen yang sama dibentangkan berturut-turut dan garis selari dilukis melalui hujung segmen ini yang bersilang dengan sisi kedua sudut itu, maka segmen yang sama juga akan diletakkan pada bahagian kedua. sisi sudut.

Satu kes khas T.F. menyatakan beberapa sifat garis tengah segitiga. Pernyataan Teorem Terakhir Fermat oleh P. Fermat bahawa persamaan xn + yn = zn (di mana n ialah integer lebih daripada dua) tidak mempunyai penyelesaian dalam integer positif Walaupun kenyataan P. Fermat bahawa dia berjaya menemui bukti yang menakjubkan B .F.T yang dia tidak memetik kerana kekurangan ruang (pernyataan ini ditulis oleh P. Fermat di pinggir buku Diophantus), sehingga baru-baru ini (pertengahan 90-an) W.T.F. secara umum ia belum terbukti. TEOREM KECIL FERMA Kes khas teorem Euler apabila modul m=p ialah nombor perdana.

M.T.F. dirumuskan seperti berikut: jika p ialah nombor perdana, maka ap=a(mod p). Dalam kes apabila a tidak boleh dibahagikan dengan p, daripada M.T.F. berikut: ap-1=1(mod p). M.T.F. telah ditemui oleh saintis Perancis Pierre Fermat. KETIDAKSAMAAN HÖLDER Untuk jumlah terhingga ia mempunyai bentuk: , atau dalam bentuk kamiran: , dengan p > 1 dan. N.G. sering digunakan dalam analisis matematik.

N.G. ialah generalisasi ketaksamaan Cauchy dalam bentuk algebra dan ketidaksamaan Bunyakovsky dalam bentuk integral, di mana N.G. terbalik pada p = 2. FORMULA CARDANO Formula yang menyatakan punca-punca persamaan padu: x3+px+q=0 (*) melalui pekalinya. Setiap persamaan padu dikurangkan kepada bentuk (*). ditulis begini: . Dengan memilih nilai radikal padu pertama secara sewenang-wenangnya, anda harus memilih nilai radikal kedua (daripada tiga mungkin), yang dalam produk dengan nilai pilihan radikal pertama memberikan (-p/3). Dengan cara ini kita mendapat ketiga-tiga punca persamaan (*). Masih tidak jelas siapa yang memiliki F.K.: G. Cardano, N. Tartaglie atau S. Ferro. F.K. bermula pada abad ke-16. KETIDAKSAMAAN CAUCHY Ketaksamaan yang berlaku untuk jumlah terhingga; sangat penting dan paling biasa digunakan dalam pelbagai bidang matematik dan fizik matematik ketidaksamaan.

Ia pertama kali ditubuhkan oleh Cauchy pada tahun 1821. Analog integral N.K.: telah ditubuhkan oleh ahli matematik Rusia V.Ya. Bunyakovsky. TEOREM MENELUS Jika garis memotong sisi segitiga ABC atau sambungannya pada titik C', A' dan B', maka hubungan berikut adalah sah: (*) Nisbah segmen diambil positif jika garis memotong sisi segi tiga, dan negatif jika garis bersilang dengan sambungan sisi.

Ungkapan sebaliknya juga benar: jika kesamaan (*) dipenuhi, dengan A, B, C ialah bucu segitiga, dan A’, B’, C’ terletak pada garis lurus yang sama.

T.M. boleh dirumuskan dalam bentuk kriteria untuk lokasi tiga titik A', B' dan C' pada satu garis lurus: agar 3 titik A', B' dan C' terletak pada garis lurus yang sama, adalah perlu dan mencukupi bahawa hubungan itu dipenuhi (*), di mana A, B, C ialah bucu segitiga, dan A', B', C' masing-masing tergolong dalam garis BC, AC dan AB. T.M. telah dibuktikan oleh saintis Yunani kuno Menelaus (abad pertama) untuk segi tiga sfera dan, nampaknya, diketahui oleh Euclid (abad ke-3 SM). T.M. ialah kes khas bagi teorem Carnot yang lebih umum. KETIDAKSAMAAN MINKOWSKI Ketaksamaan untuk kuasa p-th bagi nombor, mempunyai bentuk: , dengan integer p>1, dan ak dan bk ialah nombor bukan negatif.

N.M. ialah generalisasi "ketaksamaan segitiga" yang terkenal, yang menyatakan bahawa panjang satu sisi segitiga tidak lebih besar daripada jumlah panjang dua sisi yang lain; untuk ruang dimensi-n, jarak antara titik x=(x1, x2, …, xn) dan y=(y1, y2, …, yn) ditentukan oleh nombor N.M. telah ditubuhkan oleh ahli matematik Jerman G. Minkowski pada tahun 1896. FORMULA MOHLWEIDE Formula trigonometri satah menyatakan hubungan berikut antara sisi (panjangnya) dan sudut segitiga: ; , dengan a, b, c ialah sisi, dan A, B, C ialah sudut segi tiga.

F.M. dinamakan sempena ahli matematik Jerman K. Molweide, yang menggunakannya, walaupun formula ini juga diketahui oleh ahli matematik lain NEWTON'S BINOMIAL Nama formula yang menyatakan kuasa integer bukan negatif binomial a+b sebagai jumlah kuasa bagi. syaratnya.

B.N. mempunyai bentuk: , di mana Cnk ialah pekali binomial, sama dengan nombor gabungan n unsur oleh k, i.e. atau. Jika pekali binomial untuk n=0, 1, 2, ... yang berbeza ditulis dalam baris berturut-turut, maka kita tiba di segi tiga Pascal. Dalam kes nombor nyata arbitrari (dan bukan hanya integer bukan negatif) B.N. digeneralisasikan kepada siri binomial, dan dalam hal menambah bilangan sebutan daripada dua kepada nombor yang lebih besar - menjadi teorem polinomial Pengitlakan formula binomial Newton untuk kes menaikkan jumlah sebutan k (k>. 2) kepada kuasa integer bukan negatif n: , di mana penjumlahan di sebelah kanan dilanjutkan kepada semua kemungkinan koleksi integer bukan negatif a1, a2, …, ak, menambah sehingga n. Pekali A(n)a1, a2, … ,ak dipanggil polinomial dan dinyatakan seperti berikut: Apabila k=2, pekali polinomial menjadi pekali binomial.

TEOREM POLKE Dirumuskan seperti berikut: tiga segmen panjang sewenang-wenangnya terletak dalam satah yang sama dan terpancar dari titik biasa pada sudut sewenang-wenang antara satu sama lain, boleh diambil sebagai unjuran selari rangka ortogon spatial i, j, k (|i| = |j| ==k|). Teorem itu telah dirumuskan oleh ahli geometer Jerman K. Polke (1860) tanpa bukti, dan kemudian digeneralisasikan oleh ahli matematik Jerman G. Schwarz, yang memberikan bukti asasnya.

Teorem Polke-Schwartz boleh dirumuskan seperti berikut: mana-mana segiempat yang tidak merosot dengan pepenjurunya boleh dianggap sebagai unjuran selari bagi tetrahedron yang serupa dengan mana-mana yang diberikan.

T.P. mempunyai kepentingan praktikal yang besar (sebarang segi empat dengan pepenjurunya boleh diambil, sebagai contoh, sebagai imej bagi tetrahedron biasa) dan merupakan salah satu teorem utama aksonometri TEOREM PTOLEMY Teorem geometri asas yang mewujudkan hubungan antara sisi dan pepenjuru segi empat yang ditulis dalam bulatan: dalam mana-mana segi empat cembung, ditulis dalam bulatan, hasil darab pepenjuru adalah sama dengan hasil tambah sisi bertentangannya, i.e. kesaksamaan dipegang: AC*BD = AB*CD + BC*AD Dll. dinamakan sempena saintis Yunani purba Claudius Ptolemy, yang membuktikan teorem ini.

T.P. digunakan semasa menyelesaikan masalah dalam geometri asas, apabila membuktikan kes khas teorem penambahan sinus Formula untuk mengira isipadu jasad dengan dua tapak selari: , di mana Qн ialah luas tapak bawah, Qв ialah luas tapak atas, Qс ialah luas bahagian tengah badan. Bahagian purata jasad di sini bermaksud angka yang diperoleh daripada persilangan jasad dengan satah, selari dengan pesawat tapak dan terletak pada jarak yang sama dari satah ini.

h menandakan ketinggian badan. Daripada F.S. sebagai kes istimewa, kami mendapat banyak formula terkenal jumlah badan yang dipelajari di sekolah ( piramid terpotong, silinder, sfera, dll.). TEOREM SINUS Teorem trigonometri satah yang mewujudkan hubungan antara sisi a, b, c bagi segi tiga arbitrari dan sinus sudut yang bertentangan dengan sisi ini: , dengan R ialah jejari bulatan yang dihadkan pada segi tiga itu.

Untuk trigonometri sfera T.S. dinyatakan secara analitik seperti berikut: . TEOREM STEWART adalah seperti berikut: jika A, B, C ialah tiga bucu segitiga, dan D ialah sebarang titik di sisi BC, maka hubungan berikut dipegang: AD2*BC = AB2*CD + AC2*BD – BC*BD* CD, T .WITH. dinamakan sempena ahli matematik Inggeris M. Stewart yang membuktikannya dan menerbitkannya dalam karya “Some General Theorem” (1746, Edinburgh). Teorem itu diberitahu kepada Stewart oleh gurunya R. Simson, yang menerbitkan teorem ini hanya pada tahun 1749. T.S. digunakan untuk mencari median dan pembahagi bagi segi tiga.

TEOREM TANGENT (RUMUSAN REGIOMONTAN) Formula trigonometri satah yang mewujudkan hubungan antara panjang dua sisi segitiga dan tangen bagi separuh hasil tambah dan separuh beza sudut yang bertentangan T.T. mempunyai bentuk: , dengan a, b ialah sisi segi tiga, A, B ialah sudut yang bertentangan dengan sisi ini, masing-masing. T.T. juga dipanggil formula Regiomontanus selepas ahli astronomi dan matematik Jerman Johannes Muller (dalam Latin Regiomontanus), yang menubuhkan formula ini. J. Müller dipanggil "Königsberger": dalam bahasa Jerman König adalah raja, Berg adalah gunung, dan dalam bahasa Latin "raja" dan "gunung" dalam kes genitif– regis dan montis.

Oleh itu "Regiomontan" ialah nama keluarga Latin I. Muller. " Kamus istilah matematik", O.V. Manturov FORMULA DAN TEORI TENTANG VADIMSOFT-BEST. NAROD.RU.

Apa yang akan kami lakukan dengan bahan yang diterima:

Jika bahan ini berguna kepada anda, anda boleh menyimpannya ke halaman anda di rangkaian sosial:

Kita telah melihat bahawa jika jujukan berangka mempunyai had, maka unsur-unsur jujukan ini mendekatinya sedekat mungkin. Walaupun pada jarak yang sangat kecil, anda sentiasa boleh menemui dua elemen yang jaraknya akan menjadi lebih kecil. Ini dipanggil jujukan asas, atau jujukan Cauchy. Bolehkah kita mengatakan bahawa urutan ini mempunyai had? Jika ia terbentuk pada

Jika kita mengambil segi empat sama dengan sisi sama dengan satu, kita boleh mengira pepenjurunya dengan mudah menggunakan teorem Pythagoras: $d^2=1^2+1^2=2$, iaitu nilai pepenjuru akan sama. kepada $\sqrt 2$. Sekarang kita mempunyai dua nombor, 1 dan $\sqrt 2$, diwakili oleh dua segmen garis. Walau bagaimanapun, kami tidak akan dapat menjalinkan hubungan antara mereka, seperti yang kami lakukan sebelum ini. Mustahil

Menentukan di mana titik P terletak - di dalam atau di luar rajah tertentu - kadangkala sangat mudah, contohnya untuk rajah yang ditunjukkan dalam rajah: Walau bagaimanapun, untuk rajah yang lebih kompleks, seperti yang ditunjukkan di bawah, ini lebih sukar dilakukan . Untuk melakukan ini, anda perlu melukis garis dengan pensil. Walau bagaimanapun, apabila mencari jawapan kepada soalan seperti ini, kita boleh menggunakan satu jawapan yang mudah,

Ia biasanya dirumuskan seperti berikut: setiap nombor asli selain daripada 1 boleh diwakili secara unik sebagai hasil darab nombor perdana, atau seperti ini: setiap nombor asli boleh diwakili secara unik sebagai hasil darab nombor perdana yang berbeza Penguraian terakhir selalunya dipanggil kanonik, walaupun tidak selalu, memerlukan Ini supaya faktor utama memasuki pengembangan ini dalam susunan menaik.

Teorem ini amat berguna untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan baki kuasa, dan walaupun ia adalah teorem yang benar-benar serius daripada teori nombor dan tidak termasuk dalam kursus sekolah, pembuktiannya boleh dijalankan di peringkat sekolah biasa. Ia boleh dijalankan dalam pelbagai cara, dan salah satu bukti paling mudah adalah berdasarkan formula binomial, atau binomial Newton, yang

Selalunya dalam kesusasteraan metodologi seseorang dapat mencari pemahaman tentang bukti tidak langsung sebagai bukti dengan percanggahan. Sebenarnya, ini adalah tafsiran yang sangat sempit tentang konsep ini. Kaedah pembuktian melalui percanggahan adalah salah satu kaedah pembuktian tidak langsung yang paling terkenal, tetapi ia jauh dari satu-satunya. Kaedah pembuktian tidak langsung lain, walaupun sering digunakan pada tahap intuitif, jarang direalisasikan, dan

Selalunya, guru, menggunakan hasil darab skalar vektor, hampir serta-merta membuktikan teorem Pythagoras dan teorem kosinus. Ini sudah tentu menggoda. Walau bagaimanapun, komen diperlukan. Dalam persembahan tradisional, pengagihan hasil skalar vektor dibuktikan kemudian daripada teorem Pythagoras, kerana yang terakhir digunakan dalam bukti ini, sekurang-kurangnya secara tidak langsung. Varian bukti ini adalah mungkin. Dalam buku teks geometri sekolah, seperti

Pada bulan Jun tahun ini, Dmitry Germanovich Von Der Flaass (1962–2010), seorang ahli matematik dan guru yang luar biasa, seorang yang cerdas dan menawan, meninggal dunia sebelum waktunya. Pembaca kami telah menemui nama ini lebih daripada sekali - majalah Kvant sering menerbitkan masalahnya. Dmitry Germanovich berjaya bekerja dalam sains besar, tetapi ini hanya sebahagian daripada aktivitinya. Yang kedua ialah olimpiade matematik anak sekolah: dia bekerja sebagai juri All-Union dan Olimpik semua-Rusia, dan dalam beberapa tahun kebelakangan ini - yang antarabangsa. Beliau memberi syarahan di pelbagai kem dan sekolah matematik, dan merupakan salah seorang jurulatih pasukan kami di Olimpik Matematik Antarabangsa.

Kami membawa kepada perhatian anda rakaman (dengan sedikit singkatan dan mengekalkan gaya pengarang) syarahan yang diberikan oleh D. Von Der Flaass di All-Russian pusat kanak-kanak"Eaglet" pada tahun 2009.

Terdapat seorang sofis kuno Gorgias. Beliau terkenal kerana merumuskan tiga teorem. Teorem pertama adalah seperti ini: tiada apa-apa di dunia wujud. Teorem kedua: dan jika sesuatu wujud, ia tidak dapat diketahui oleh manusia. Teorem ketiga: jika sesuatu masih boleh diketahui, maka ia tidak dapat disampaikan kepada jiran seseorang.

Dengan kata lain, tidak ada apa-apa, dan jika ada sesuatu, maka kita tidak akan tahu apa-apa mengenainya, dan walaupun kita mengetahui sesuatu, kita tidak akan dapat memberitahu sesiapa pun.

Dan empat teorem ini, secara tegasnya, adalah masalah utama matematik moden.

Teorem pertama Gorgias

Mari kita mulakan dengan yang pertama - tiada apa-apa di dunia ini wujud, atau, diterjemahkan ke dalam bahasa matematik, matematik melakukan sesuatu yang tidak dapat difahami. Dari satu segi, ini benar. Lagipun, objek matematik tidak wujud di dunia. Perkara paling mudah, di mana semuanya bermula dan apa yang digunakan oleh ahli matematik sepanjang masa, ialah nombor asli. Kita semua tahu apa itu nombor asli - ia adalah 1, 2, 3, 4 dan seterusnya. Dan hakikat bahawa kita semua memahami maksud perkataan "dan seterusnya" adalah misteri besar. Kerana "dan seterusnya" bermakna terdapat nombor "tidak terhingga banyak". Tidak ada ruang di dunia kita untuk ada sesuatu yang tidak terhingga. Tetapi kita semua pasti bahawa apabila kita berfikir tentang nombor asli, kita semua memikirkan perkara yang sama. Jika 7 saya diikuti dengan 8, maka 7 anda akan diikuti dengan 8. Jika 19 saya ialah nombor perdana, maka 19 anda akan menjadi nombor perdana. sebab tu? Nampaknya objek ini tidak wujud di dunia, tetapi kita tahu tentangnya dan kita semua tahu tentang perkara yang sama. Ini, tentu saja, bukan teka-teki matematik, ia adalah teka-teki falsafah, dan biarkan ahli falsafah membincangkannya. Cukuplah bagi kita bahawa, mujurlah, kita masih mempunyai idea objek matematik dan ia adalah sama bagi setiap orang yang mula memikirkannya. Dan oleh itu matematik adalah mungkin. Tapi besar masalah falsafah tinggal.

Jika, seperti biasa di kalangan ahli matematik, anda memikirkan perkara ini dengan serius, iaitu, cuba memikirkannya dengan tegas, maka masalah timbul, yang akan saya bicarakan sekarang. Mereka muncul dalam ingatan umat manusia baru-baru ini, secara harfiah dalam seratus tahun yang lalu.

Terdapat banyak lagi dalam matematik selain nombor asli. Terdapat satah Euclidean kami, di mana kami melukis semua jenis segi tiga, sudut, dan membuktikan teorem mengenainya. Ada nombor nyata, ada nombor kompleks, ada fungsi, ada sesuatu yang lebih dahsyat... Di suatu tempat pada pergantian abad ke-19–20, banyak kerja telah dilakukan (walaupun ia bermula, sudah tentu, sedikit lebih awal), orang menyedari bahawa keseluruhan pelbagai objek matematik boleh, pada dasarnya, dikurangkan kepada satu konsep - konsep set. Sudah tentu, jika kita hanya mempunyai idea intuitif tentang apa itu set dan apa itu "dan seterusnya", pada dasarnya kita boleh membina semua matematik.

Apa itu set? Nah, ia hanya banyak sesuatu. Persoalannya - apa yang boleh anda lakukan dengan set? Jika kita mempunyai beberapa jenis set, maka apakah maksudnya kita memilikinya? Ini bermakna tentang mana-mana elemen dunia kita, dunia objek matematik, kita boleh bertanya sama ada ia berada dalam set ini atau tidak, dan mendapatkan jawapan. Jawapannya jelas, bebas sepenuhnya daripada kehendak kita. Ini adalah perkara asas yang pertama yang boleh anda lakukan dengan set - ketahui sama ada sesuatu elemen tergolong dalam set atau tidak.

Sudah tentu, kita masih perlu membina set ini sendiri. Supaya daripada mereka, pada akhirnya, seluruh kekayaan objek matematik akan dibina. Bagaimana mereka boleh dibina? Kita boleh, katakan, membina set kosong: Ø. Yang pertama, yang paling mudah. Apa yang kita tahu tentang dia? Bahawa tidak kira apa elemen yang kita tanya sama ada ia tergolong dalam set ini atau tidak, jawapannya akan sentiasa - tidak, ia bukan milik. Dan dengan ini set kosong sudah ditakrifkan secara unik. Semua soalan mengenainya menerima jawapan segera. Hooray!

Sekarang kita sudah mempunyai set kosong ini sendiri. Dan kita boleh membina set yang tidak mengandungi apa-apa kecuali set kosong: (Ø). Sekali lagi, apakah maksudnya kita mempunyai set ini? Ini bermakna kita boleh bertanya tentang mana-mana elemen sama ada ia tergolong dalam set ini atau tidak. Dan jika elemen ini adalah set kosong, maka jawapannya adalah "ya". Dan jika elemen ini adalah unsur lain, maka jawapannya adalah "tidak". Jadi, set ini juga diberikan.

Di sinilah semuanya bermula. Terdapat beberapa lagi operasi intuitif yang boleh anda gunakan. Jika kita mempunyai dua set, maka kita boleh menggabungkannya. Kita boleh mengatakan bahawa sekarang akan ada satu set di mana akan ada unsur-unsur dari satu atau set lain. Sekali lagi, jawapan kepada soalan sama ada elemen tergolong dalam set yang terhasil atau tidak adalah jelas. Ini bermakna kita boleh membina kesatuan. Dan seterusnya.

Pada satu ketika kita perlu mengisytiharkan secara berasingan bahawa, selepas semua, kita mempunyai beberapa jenis set di mana terdapat banyak unsur yang tidak terhingga. Oleh kerana kita tahu bahawa terdapat nombor asli, kita percaya bahawa set tak terhingga wujud. Kami mengumumkan bahawa set nombor asli juga tersedia untuk kami. Sebaik sahaja set infinite muncul, maka anda boleh menghadapi pelbagai masalah dan menentukan apa sahaja yang anda mahukan. Integer boleh ditakrifkan. Integer sama ada sifar atau nombor asli, dengan atau tanpa tanda tolak. Semua ini (mungkin tidak begitu jelas seperti yang saya katakan) boleh dilakukan dalam bahasa teori set.

Nombor rasional boleh ditakrifkan. Apakah nombor rasional? Ini adalah pasangan dua nombor - pengangka dan penyebut (bukan sifar). Anda hanya perlu menentukan cara menambahnya, cara membiaknya di antara mereka. Dan apakah syarat apabila pasangan tersebut dianggap sebagai nombor rasional yang sama.

Apakah nombor sebenar? Di sini langkah yang menarik. Anda boleh mengatakan, sebagai contoh, bahawa ia tidak terhingga perpuluhan. Itu akan menjadi definisi yang sangat baik. Apakah maksud ini - pecahan perpuluhan tak terhingga? Ini bermakna bahawa kita mempunyai beberapa jenis urutan nombor yang tidak terhingga, iaitu hanya untuk setiap nombor asli kita tahu nombor yang terletak di tempat nombor sebenar kita ini. Semua jujukan tersebut membentuk nombor nyata. Sekali lagi, kita boleh menentukan cara menambahnya, cara mendarabnya, dan sebagainya.

Ngomong-ngomong, ini bukan cara ahli matematik lebih suka menentukan nombor nyata, tetapi bagaimana. Mari kita ambil semua nombor rasional - kita sudah mempunyainya. Sekarang mari kita isytiharkan bahawa nombor nyata ialah set nombor rasional yang kurang daripadanya. Ini adalah definisi yang sangat rumit. Malah, ia sangat serupa dengan yang sebelumnya. Sebagai contoh, jika kita mempunyai nombor sebenar 3.1415926... (terdapat rantai nombor yang tidak berkesudahan yang mengikuti, yang saya tidak tahu dengan teliti), maka apakah, sebagai contoh, nombor rasional yang lebih kecil daripadanya? Mari kita potong pecahan di tempat perpuluhan kedua. Kami mendapat nombor 3.14, ia kurang daripada kami. Mari kita potong pecahan di tempat perpuluhan keempat - kita mendapat 3.1415, satu lagi nombor rasional yang lebih kecil daripada kita. Adalah jelas bahawa jika kita mengetahui semua nombor rasional kurang daripada nombor kita, maka nombor ini ditakrifkan secara unik. Anda boleh bayangkan dengan jelas gambar seperti dalam Rajah 1. Garis lurus adalah semua nombor nyata, antaranya tidak diketahui kita berada di suatu tempat, dan di sebelah kirinya terdapat banyak, banyak nombor rasional yang lebih kecil daripadanya. Semua yang rasional lain, oleh itu, akan lebih besar daripadanya. Secara intuitif jelas bahawa terdapat satu jurang antara dua set nombor rasional ini, dan kami akan memanggil jurang ini sebagai nombor nyata. Ini adalah contoh bagaimana, bermula dengan konsep set, semua matematik berehat sedikit demi sedikit.

Mengapa ini perlu? Sudah jelas bahawa dalam amalan, sudah tentu, tiada siapa yang menggunakan ini. Apabila seorang ahli matematik mengkaji, katakan, fungsi pembolehubah kompleks, dia tidak ingat setiap kali bahawa nombor kompleks ialah sepasang real, bahawa real ialah set rasional tak terhingga, rasional ialah sepasang integer, dan sebagainya. pada. Ia sudah berfungsi dengan objek yang terbentuk sepenuhnya. Tetapi pada dasarnya, segala-galanya boleh diterangkan hingga ke yang paling asas. Ia akan menjadi sangat panjang dan tidak boleh dibaca, tetapi pada dasarnya ia mungkin.

Apakah yang dilakukan oleh ahli matematik seterusnya? Mereka membuktikan sifat yang berbeza dari objek ini. Untuk membuktikan sesuatu, anda perlu sudah mengetahui sesuatu, beberapa sifat awal semua objek ini. Dan lebih-lebih lagi, ahli matematik harus bersetuju sepenuhnya tentang sifat awal yang mana untuk dimulakan. Supaya apa-apa keputusan yang diperolehi oleh seorang ahli matematik diterima oleh semua yang lain.

Anda boleh menulis beberapa sifat awal ini - ia dipanggil aksiom - dan kemudian menggunakannya untuk membuktikan semua sifat lain bagi objek matematik yang lebih kompleks. Tetapi sekarang dengan nombor asli kesukaran bermula. Terdapat aksiom, dan kami secara intuitif merasakan bahawa ia adalah benar, tetapi ternyata terdapat kenyataan tentang nombor asli yang tidak boleh diperoleh daripada aksiom ini, tetapi yang bagaimanapun benar. Katakan nombor asli memenuhi sifat tertentu, tetapi ia tidak boleh diperoleh daripada aksiom yang diterima sebagai asas.

Persoalannya segera timbul: bagaimana kita tahu bahawa sifat ini benar untuk nombor asli? Bagaimana jika kita tidak boleh menerimanya dan membuktikannya seperti ini? Soalan yang sukar. Ternyata seperti ini. Sekiranya anda hanya menggunakan aksiom nombor asli, maka pada dasarnya adalah mustahil untuk bercakap tentang banyak perkara. Sebagai contoh, adalah mustahil untuk bercakap tentang subset tak terhingga arbitrari nombor asli. Walau bagaimanapun, orang ramai mempunyai idea tentang apa itu dan, pada dasarnya, secara intuitif memahami sifat yang menentukan subset ini. Oleh itu, tentang beberapa sifat nombor asli yang tidak boleh disimpulkan daripada aksiom, orang boleh tahu bahawa ia adalah benar. Oleh itu, ahli matematik Kurt Gödel, nampaknya, adalah orang pertama yang secara eksplisit menunjukkan sifat tertentu nombor asli yang benar secara intuitif (iaitu, ahli matematik tidak membantah fakta bahawa ia adalah benar), tetapi pada masa yang sama ia adalah benar. tidak boleh disimpulkan daripada aksiom nombor asli yang kemudiannya diterima.

Sebahagiannya, dan sebenarnya sangat banyak sebahagian besarnya(mencukupi untuk kebanyakan bidang matematik), masalah ini ditangani dengan berhati-hati mengurangkan segala-galanya kepada set dan menulis set aksiom tertentu bagi teori set yang jelas secara intuitif dan ketepatan aksiom ini oleh ahli matematik, secara amnya, tidak dipertikaikan. .

Katakan aksiom penyatuan. Jika kita mempunyai set beberapa set, maka kita boleh katakan: mari kita bentuk set yang mengandungi semua elemen set ini daripada set ini. Tiada bantahan yang munasabah terhadap kewujudan set tersebut. Terdapat juga aksiom yang lebih licik, yang mana terdapat lebih banyak masalah. Sekarang kita akan melihat tiga aksiom rumit dalam teori set, mengenai keraguan yang mungkin timbul pada dasarnya.

Sebagai contoh, terdapat aksiom sedemikian. Mari kita anggap bahawa kita mempunyai satu set beberapa elemen, dan mari kita anggap bahawa bagi setiap daripada mereka kita boleh secara unik menentukan nilai fungsi tertentu pada elemen ini. Aksiom mengatakan bahawa kita boleh menggunakan fungsi ini untuk setiap elemen set ini, dan apa yang berlaku bersama-sama akan membentuk set semula (Gamb. 2). Contoh paling mudah: fungsi yang menukar x kepada x 2 , kita tahu cara mengiranya. Katakan, jika kita mempunyai beberapa set nombor asli, maka kita boleh kuasa duakan setiap satu. Hasilnya sekali lagi akan menjadi beberapa set nombor asli. Aksiom yang begitu jelas secara intuitif, adakah anda bersetuju? Tetapi masalahnya ialah fungsi ini boleh ditakrifkan dengan cara yang sangat kompleks, set boleh menjadi sangat besar. Terdapat juga situasi sedemikian: kita tahu bagaimana untuk membuktikan tentang fungsi kita bahawa ia ditakrifkan secara unik, tetapi kita boleh mengira makna khusus fungsi ini untuk setiap elemen set adalah amat sukar atau sukar tidak terhingga. Walaupun kita tahu bahawa pasti ada beberapa jawapan, dan ia tidak jelas. Walaupun dalam situasi yang begitu kompleks, aksiom ini dianggap masih boleh digunakan, dan dalam bentuk yang sangat umum inilah ia berfungsi sebagai salah satu sumber masalah dalam teori set.

Aksiom kedua, yang, dalam satu pihak, jelas, tetapi sebaliknya, membawa masalah, ialah aksiom untuk mengambil semua subset bagi set tertentu. Dia mengatakan bahawa jika kita mempunyai beberapa jenis set, maka kita juga mempunyai set yang terdiri daripada semua subset yang diberikan. Untuk set terhingga ini, sudah tentu, jelas. Jika kita mempunyai set terhingga N elemen, maka ia hanya akan mempunyai 2 subset N. Pada dasarnya, kita juga boleh menulis semuanya jika kita tidak terlalu malas. Kami juga tidak mempunyai masalah dengan set tak terhingga yang paling mudah. Lihat: mari kita ambil satu set nombor asli 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 dan seterusnya. Mengapa jelas kepada kita bahawa keluarga semua subset set nombor asli wujud? Kerana kita tahu apakah unsur-unsur ini. Bagaimanakah anda boleh membayangkan subset nombor asli? Mari letakkan satu untuk elemen yang kita ambil, dan sifar untuk elemen yang tidak kita ambil, dan seterusnya. Anda boleh bayangkan bahawa ini adalah pecahan binari tak terhingga (Rajah 3). Sehingga pelarasan kecil (seperti fakta bahawa sesetengah nombor boleh diwakili oleh dua pecahan binari tak terhingga yang berbeza), ternyata nombor nyata adalah lebih kurang sama dengan subset nombor asli. Dan kerana secara intuitif kita tahu bahawa segala-galanya teratur dengan nombor nyata, ia wujud, ia boleh diwakili secara visual sebagai garis berterusan, maka di tempat ini semuanya teratur dengan aksiom kita tentang set semua subset set tertentu.

Jika difikirkan lebih lanjut, ia menjadi sedikit menakutkan. Walau bagaimanapun, ahli matematik percaya bahawa aksiom ini sentiasa benar: jika kita mempunyai set, maka terdapat set semua subsetnya. Jika tidak, ia akan menjadi sangat sukar untuk membuat beberapa pembinaan.

Dan satu lagi aksiom yang paling banyak masalah, kerana pada mulanya mereka tidak mempercayainya. Mungkin anda pernah mendengar namanya - aksiom pilihan. Ia boleh dinyatakan dalam pelbagai cara, ada yang sangat kompleks, ada yang sangat mudah. Saya akan memberitahu anda yang terbaik sekarang cara visual merumuskan aksiom pilihan di mana ia akan benar-benar jelas bahawa ia adalah benar. Mari kita mempunyai satu set beberapa set. Mereka sebenarnya mungkin bersilang antara satu sama lain, tetapi ini tidak penting - biarkan mereka tidak bersilang buat masa ini untuk kesederhanaan. Kemudian kita boleh membina hasil darab semua set ini. Apakah maksud ini? Unsur-unsur kerja ini akan menjadi perkara-perkara ini - kita akan mengambil satu elemen daripada setiap satu dan membentuk satu set daripada mereka semua (Rajah 4). Setiap cara untuk memilih satu elemen daripada set memberikan unsur hasil darab set ini.

Sudah tentu, jika di antara set ini terdapat yang kosong yang tidak ada apa-apa untuk dipilih, maka produk kesemuanya juga akan kosong. Dan aksiom pilihan menyatakan fakta yang sangat jelas - jika semua set ini tidak kosong, maka produk itu juga tidak akan kosong. Adakah anda bersetuju bahawa fakta itu jelas? Dan ini, nampaknya, berkhidmat, pada akhirnya, sebagai salah satu hujah terkuat yang memihak kepada fakta bahawa aksiom pilihan memang benar. Dalam rumusan lain, aksiom pilihan tidak begitu jelas seperti dalam satu ini.

Pemerhatian tentang bagaimana ahli matematik membuktikan kenyataan mereka, cuba menterjemah semua matematik ke dalam bahasa teori set, menunjukkan bahawa di banyak tempat ahli matematik, tanpa menyedarinya, menggunakan aksiom ini. Sebaik sahaja perkara ini disedari, ia serta-merta menjadi jelas bahawa ia perlu dipisahkan menjadi pernyataan yang berasingan - kerana kita menggunakannya, maka kita mesti membawanya dari suatu tempat. Sama ada kita mesti membuktikannya, atau kita mesti mengisytiharkan bahawa ini adalah fakta asas yang jelas yang kita ambil sebagai aksiom dan yang kita benarkan untuk digunakan. Ternyata ini benar-benar fakta asas, bahawa mustahil untuk membuktikannya hanya menggunakan semua fakta lain, juga mustahil untuk menyangkalnya, dan oleh itu, jika kita menerimanya, maka terimalah ia sebagai aksiom. Dan, tentu saja, ia mesti diterima, kerana dalam bentuk ini ia benar-benar jelas.

Di sinilah mereka bangkit masalah besar, kerana sebaik sahaja fakta ini dirumuskan secara eksplisit dan mereka berkata "kami akan menggunakannya," ahli matematik segera bergegas untuk menggunakannya dan, menggunakannya, membuktikan sejumlah besar kenyataan intuitif tidak jelas sepenuhnya. Malah, lebih-lebih lagi, kenyataan yang secara intuitif kelihatan tidak betul.

Ini yang satu contoh yang jelas kenyataan sedemikian, yang telah dibuktikan menggunakan aksiom pilihan: anda boleh mengambil bola, bahagikannya kepada beberapa bahagian dan tambah dua bola yang sama dari kepingan ini. Apakah maksud "bahagi kepada beberapa bahagian" di sini, katakan 7? Ini bermakna bahawa untuk setiap titik kita katakan yang mana antara tujuh keping ini termasuk. Tetapi ini tidak seperti memotong bola dengan pisau - ia boleh menjadi lebih sukar. Sebagai contoh, berikut adalah cara yang sukar untuk dibayangkan, tetapi dijelaskan dengan mudah untuk memotong bola kepada dua bahagian. Mari kita ambil dalam satu bahagian semua titik yang mempunyai semua koordinat rasional, dan dalam bahagian lain - semua titik yang mempunyai koordinat tidak rasional. Untuk setiap titik, kita tahu bahagian mana yang jatuh, iaitu ini adalah pembahagian undang-undang bola kepada dua bahagian. Tetapi sangat sukar untuk membayangkan ini dengan jelas. Setiap kepingan ini, jika anda melihatnya dari jauh, akan kelihatan seperti bola keseluruhan. Walaupun satu daripada kepingan ini sebenarnya akan menjadi sangat kecil, dan satu lagi akan menjadi sangat besar. Jadi, mereka membuktikan dengan bantuan aksiom pilihan bahawa bola boleh dipotong menjadi 7 bahagian, dan kemudian kepingan ini boleh digerakkan sedikit (iaitu, bergerak di angkasa, tanpa memutarbelitkan dalam apa cara sekalipun, tanpa membongkok) dan meletakkan semula. bersama-sama lagi supaya anda mendapat dua bola, betul-betul seperti ini sama seperti bola yang ada pada mulanya. Kenyataan ini, walaupun terbukti, entah bagaimana kedengaran liar. Tetapi kemudian mereka akhirnya menyedari bahawa adalah lebih baik untuk menerima akibat daripada aksiom pilihan daripada meninggalkannya sama sekali. Tidak ada cara lain: sama ada kita meninggalkan aksiom pilihan, dan kemudian kita tidak akan dapat menggunakannya di mana-mana sama sekali, dan banyak keputusan matematik yang penting, cantik dan intuitif akan menjadi tidak dapat dibuktikan. Sama ada kita mengambilnya - hasilnya menjadi mudah dibuktikan, tetapi pada masa yang sama kita mendapat keanehan seperti itu. Tetapi orang ramai terbiasa dengan banyak perkara, dan mereka juga terbiasa dengan orang aneh ini. Secara umum, nampaknya tiada masalah dengan aksiom pilihan sekarang.

Ternyata kita mempunyai satu set aksiom untuk teori set, kita mempunyai matematik kita. Dan lebih kurang nampaknya semua yang orang boleh buat dalam matematik boleh diungkapkan dalam bahasa teori set. Tetapi di sini masalah yang sama timbul yang Gödel temui dalam aritmetik. Jika kita mempunyai set aksiom yang agak kaya yang menggambarkan dunia set kita (iaitu dunia semua matematik), pasti akan ada kenyataan yang kita tidak mempunyai cara untuk mengetahui sama ada ia benar atau tidak. Kenyataan yang tidak dapat kita buktikan daripada aksiom ini, dan kita juga tidak boleh menyangkal. Teori set sedang berkembang dengan pesat, dan kini ia paling hampir dengan masalah ini: kita sering perlu berhadapan dengan situasi di mana beberapa soalan terdengar agak semula jadi, kita ingin mendapatkan jawapan kepada mereka, tetapi telah terbukti bahawa kita tidak akan pernah tahu jawapan, kerana kedua-dua jawapan itu dan tiada jawapan lain boleh disimpulkan daripada aksiom.

Apa yang perlu dilakukan? Dalam teori set mereka entah bagaimana cuba untuk memerangi ini, iaitu, mereka cuba menghasilkan aksiom baru, yang atas sebab tertentu masih boleh ditambah. Walaupun, nampaknya, segala-galanya yang jelas kepada manusia secara intuitif telah dikurangkan kepada aksiom teori set yang dibangunkan pada awal abad ke-20. Dan kini ternyata anda masih mahukan sesuatu yang lain. Ahli matematik melatih gerak hati mereka dengan lebih lanjut supaya beberapa pernyataan baharu tiba-tiba kelihatan jelas secara intuitif kepada semua ahli matematik atas sebab tertentu, dan kemudian mereka boleh diterima sebagai aksiom baharu dengan harapan bahawa dengan bantuan mereka, jawapan kepada beberapa soalan ini boleh diterima.

Sudah tentu, saya tidak dapat memberitahu anda bagaimana semua ini berlaku, terdapat kenyataan yang sangat kompleks, dan anda perlu mendalami teori set, pertama, untuk memahami apa yang mereka nyatakan, dan kedua, untuk memahami bahawa kenyataan ini boleh sememangnya dianggap secara intuitif jelas dan diambil sebagai aksiom. Inilah yang kini ditangani oleh salah satu bidang matematik yang paling misteri - teori set.

Teorem kedua Gorgias

Teorem kedua Gorgias berbunyi seperti ini: jika ada apa-apa, ia tidak dapat diketahui oleh manusia. Sekarang saya akan menunjukkan beberapa contoh pernyataan yang termasuk dalam kategori ini.

Dengan teori set terdapat masalah, adakah kita mempunyai hak untuk bertanya soalan seperti ini: "adakah aksiom pilihan benar?" Jika kita hanya mahu melakukan matematik tanpa memasuki percanggahan, maka kita boleh, pada dasarnya, kedua-duanya menerima aksiom pilihan dan menerima bahawa ia tidak benar. Dalam kedua-dua kes, kita akan dapat membangunkan matematik, memperoleh beberapa keputusan dalam satu kes, yang lain dalam kes lain, tetapi kita tidak akan pernah mencapai percanggahan.

Tetapi sekarang keadaannya berbeza. Terdapat, nampaknya, hasil yang jawapannya jelas wujud, dan jelas ia ditakrifkan dengan jelas, tetapi manusia mungkin tidak pernah mengetahuinya. Contoh paling mudah ialah apa yang dipanggil (3 N+ 1) adalah masalah yang akan saya bincangkan sekarang. Mari kita ambil sebarang nombor asli. Jika genap, maka bahagikan kepada dua. Dan jika ia ganjil, maka darabkannya dengan 3 dan tambah 1. Kami melakukan perkara yang sama dengan nombor yang terhasil, dan seterusnya. Sebagai contoh, jika kita mulakan dengan tiga, kita dapat

Jika kita mulakan dengan tujuh, prosesnya akan mengambil sedikit masa lagi. Sudah bermula dengan beberapa nombor kecil, rantai ini mungkin menjadi agak panjang, tetapi sepanjang masa ia akan berakhir dengan satu. Terdapat hipotesis bahawa tidak kira nombor apa yang kita mulakan, jika kita membina rantai sedemikian, kita akan sentiasa mendapat 1. Inilah yang (3 N+ 1)-masalah - adakah hipotesis ini betul?

Nampaknya saya semua ahli matematik semasa percaya bahawa ia adalah benar. Dan beberapa yang paling melulu cuba membuktikannya. Tetapi tiada apa yang berhasil untuk sesiapa pun. Dan ia tidak keluar selama beberapa dekad. Jadi ini adalah salah satu cabaran yang menarik. Ahli matematik yang serius, sudah tentu, memandang rendah padanya - hanya sebagai teka-teki yang menyeronokkan. Tidak diketahui apa yang akan ada di sana, dan siapa yang perlu tahu apa yang akan ada di sana. Tetapi ahli matematik yang tidak serius masih berminat sama ada hipotesis itu benar atau tidak. Dan sehingga ia terbukti, apa sahaja boleh berlaku di sini. Pertama, adalah jelas bahawa soalan ini mempunyai jawapan yang jelas: ya atau tidak. Sama ada benar bahawa, bermula dari sebarang nombor asli, kita akan meluncur ke arah satu, atau ia tidak benar. Secara intuitif jelas bahawa di sini jawapannya tidak bergantung pada sebarang pilihan aksiom atau pada kehendak manusia. Jadi, ada andaian bahawa manusia tidak akan pernah tahu jawapan kepada soalan ini.

Sudah tentu, jika seseorang membuktikan hipotesis ini, maka kita akan tahu jawapannya. Tetapi apa yang dimaksudkan untuk membuktikan? Ini bermakna dia akan menerangkan kepada kita sebab-sebab mengapa sebarang nombor asli menumpu kepada 1, dan sebab-sebab ini akan jelas kepada kita.

Ia mungkin berlaku bahawa seseorang akan membuktikan bahawa beberapa nombor tujuh puluh tiga digit mempunyai sifat sedemikian yang dengan memulakan rantai ini daripadanya, kita pasti akan menerima sebanyak yang kita suka nombor besar. Atau ia akan membuktikan bahawa rantai ini akan bergelung di tempat lain. Sekali lagi, ini akan menjadi sebab mengapa hipotesis itu tidak betul.

Tetapi sebagai contoh, saya mengalami mimpi ngeri yang begitu dahsyat: bagaimana jika kenyataan ini benar, tetapi tanpa sebab? Benar, tetapi tidak ada sebab untuk kenyataan ini sama sekali yang boleh difahami dan dijelaskan oleh seseorang kepada yang lain. Maka kita tidak akan pernah tahu jawapannya. Kerana yang tinggal hanyalah melalui semua nombor asli dan menguji hipotesis untuk setiap satu. Dan ini, secara semula jadi, di luar kuasa kita. Undang-undang pemuliharaan tenaga tidak membenarkan bilangan operasi yang tidak terhingga dilakukan dalam masa yang terhad. Atau kelajuan cahaya terhingga. Secara umum, undang-undang fizikal tidak membenarkan kita melakukan operasi yang tidak terhingga dalam masa yang terhad dan mengetahui hasilnya.

Banyak masalah yang tidak dapat diselesaikan berkaitan dengan tepat dengan bidang ini, iaitu, pada dasarnya, mereka benar-benar ingin diselesaikan. Sebahagian daripada mereka mungkin akan membuat keputusan. Anda semua mungkin pernah mendengar nama "hipotesis Riemann". Mungkin ada di antara anda yang samar-samar memahami apa yang dikatakan hipotesis ini. Saya secara peribadi memahaminya dengan sangat samar-samar. Tetapi dengan hipotesis Riemann, sekurang-kurangnya ia adalah lebih kurang jelas bahawa ia adalah betul. Semua ahli matematik mempercayainya, dan saya harap ia akan dibuktikan dalam masa terdekat. Dan terdapat beberapa kenyataan yang belum ada yang dapat membuktikan atau menyangkal, malah dalam hipotesis tidak ada kepastian yang mana antara dua jawapan itu betul. Ada kemungkinan bahawa manusia, pada dasarnya, tidak akan pernah menerima jawapan kepada beberapa soalan ini.

Teorem ketiga Gorgias

Teorem ketiga ialah jika sesuatu boleh diketahui, ia tidak boleh dipindah milik kepada jiran seseorang. Ini adalah masalah yang paling mendesak dalam matematik moden dan, mungkin, yang paling dibesar-besarkan. Seseorang telah membuktikan sesuatu, tetapi dia tidak dapat memberitahu bukti ini kepada orang lain. Atau yakinkan orang lain bahawa dia benar-benar membuktikannya. Ia berlaku. Contoh pertama dari kawasan ini dan yang paling terkenal kepada orang ramai ialah masalah empat warna. Tetapi ini bukanlah situasi paling sukar yang timbul di sini. Saya kini akan bercakap sedikit tentang masalah empat warna, dan kemudian saya akan menunjukkan lebih banyak situasi yang lebih gila.

Apakah masalah empat warna? Ini adalah soalan teori graf. Graf hanyalah beberapa bucu yang boleh disambungkan dengan tepi. Jika kita boleh melukis bucu ini pada satah dan menyambungkannya dengan tepi supaya tepi tidak bersilang antara satu sama lain, kita akan mendapat graf yang dipanggil planar. Apakah pewarna graf? Kami melukis bahagian atasnya dalam warna yang berbeza. Jika kita telah melakukan ini sedemikian rupa sehingga bucu yang bersebelahan dengan tepi sentiasa berbeza warna, pewarna itu dipanggil biasa. Saya ingin mewarnakan graf dengan betul, menggunakan sesedikit mungkin warna berbeza. Sebagai contoh, dalam Rajah 5 kita mempunyai tiga bucu yang disambungkan secara berpasangan - yang bermaksud tiada jalan keluar, bucu ini pasti akan mempunyai tiga warna yang berbeza. Tetapi secara umum, empat warna sudah cukup untuk melukis graf ini (dan tiga hilang, anda boleh menyemak).

Selama seratus tahun terdapat masalah: adakah benar mana-mana graf yang boleh dilukis pada satah boleh diwarnakan dalam empat warna? Ada yang percaya dan cuba membuktikan bahawa empat warna sentiasa mencukupi, yang lain tidak percaya dan cuba mengemukakan contoh apabila empat warna tidak mencukupi. Terdapat juga masalah ini: masalahnya sangat mudah untuk dirumuskan. Oleh itu, ramai orang, walaupun ahli matematik yang tidak serius, menerkamnya dan mula mencuba untuk membuktikannya. Dan mereka membentangkan sejumlah besar bukti yang sepatutnya atau yang sepatutnya disangkal. Mereka menghantarnya kepada ahli matematik, menjerit di akhbar: “Hore! Saya telah membuktikan masalah empat warna! - malah menerbitkan buku dengan bukti yang salah. Dalam satu perkataan, terdapat banyak bunyi.

Akhirnya ia dibuktikan oleh K. Appel dan W. Haken. Saya sekarang akan menerangkan secara kasar skema pembuktian kepada anda. Dan pada masa yang sama kita akan melihat mengapa bukti ini tidak dapat disampaikan kepada orang lain. Orang ramai bermula dengan serius mengkaji cara graf planar distrukturkan. Mereka membentangkan senarai beberapa dozen konfigurasi dan membuktikan bahawa setiap graf planar semestinya mengandungi salah satu konfigurasi ini. Ini adalah separuh pertama bukti. Dan separuh kedua buktinya ialah untuk setiap konfigurasi ini kita boleh menyemak sama ada ia berada dalam graf kita, maka ia boleh diwarnakan dalam empat warna.

Lebih tepat lagi, pembuktian selanjutnya diteruskan dengan percanggahan. Mari kita andaikan bahawa graf kita tidak boleh diwarnakan dalam empat warna. Dari separuh masa pertama kita tahu bahawa ia mempunyai beberapa konfigurasi daripada senarai. Selepas ini, penaakulan berikut dijalankan untuk setiap konfigurasi ini. Mari kita anggap bahawa graf kami mengandungi konfigurasi ini. Jom buang. Dengan induksi, apa yang tinggal dicat dalam empat warna. Dan kami menyemak bahawa tidak kira bagaimana kami mewarnakan baki empat warna, kami akan dapat melengkapkan konfigurasi ini.

Contoh paling mudah bagi konfigurasi boleh dicat semula ialah bucu yang disambungkan kepada tiga yang lain sahaja. Adalah jelas bahawa jika graf kita mempunyai bucu sedemikian, maka kita boleh meninggalkan mewarnainya sehingga terakhir. Mari kita warnai semua yang lain, dan kemudian lihat warna apa yang dilampirkan pada puncak ini, dan pilih yang keempat. Untuk konfigurasi lain, alasannya adalah serupa, tetapi lebih kompleks.

Sekarang bagaimana semua ini dilakukan? Adalah mustahil untuk menyemak bahawa setiap sebilangan besar konfigurasi sentiasa disiapkan dengan tangan - ia mengambil masa yang terlalu lama. Dan cek ini telah diamanahkan kepada komputer. Dan dia, setelah melalui sejumlah besar kes, benar-benar mengesahkan bahawa ini benar. Hasilnya adalah bukti masalah empat warna.

Inilah rupa asalnya. Bahagian manusia dalam penaakulan, yang ditulis dalam buku tebal, dan dilampirkan padanya adalah frasa yang pemeriksaan terakhir bahawa segala-galanya mewarna telah diamanahkan kepada komputer, dan juga teks program komputer dipetik. Program ini mengira segala-galanya dan menyemak segala-galanya - sememangnya, semuanya baik-baik saja, dan ini bermakna teorem empat warna telah terbukti.

Segera timbul kekecohan tentang sama ada bukti sedemikian boleh dipercayai. Lagipun kebanyakannya bukti dijalankan oleh komputer, bukan orang. "Bagaimana jika komputer membuat kesilapan?" - kata orang yang berfikiran sempit.

Dan masalah dengan bukti ini benar-benar bermula, tetapi mereka ternyata bukan di bahagian komputer, tetapi di bahagian manusia. Kepincangan ditemui dalam bukti. Jelas bahawa teks dengan panjang sedemikian, yang mengandungi carian yang kompleks, mungkin, tentu saja, mengandungi ralat. Kesilapan ini ditemui, tetapi, mujurlah, ia telah diperbetulkan.

Apa yang tinggal ialah bahagian komputer, yang sejak itu juga telah diuji pada lebih daripada satu komputer, malah menulis semula program, hanya dengan melakukan carian yang sama. Lagipun, jika dikatakan apa sebenarnya yang perlu diulang, maka semua orang boleh menulis program mereka sendiri dan menyemak bahawa hasilnya akan seperti yang sepatutnya. Dan nampaknya saya, sebagai contoh, bahawa penggunaan carian komputer yang besar dalam pembuktian tidak menjadi masalah. kenapa? Tetapi untuk sebab yang sama, yang telah muncul dalam contoh masalah empat warna - bahawa terdapat lebih banyak kepercayaan dalam bukti komputer daripada bukti manusia, tidak kurang. Mereka menjerit bahawa komputer adalah mesin, tetapi bagaimana jika ia rosak di suatu tempat, sesat, mengira sesuatu dengan tidak betul... Tetapi ini tidak boleh berlaku. Kerana jika komputer secara tidak sengaja terhempas di suatu tempat dan ralat berlaku - sifar telah digantikan secara tidak sengaja oleh satu - ini tidak akan membawa kepada hasil yang salah. Ini tidak akan membawa kepada hasil, cuma program akhirnya akan rosak. Apakah operasi biasa yang dilakukan oleh komputer? Mereka mengambil nombor ini dan itu dari daftar ini dan itu dan memindahkan kawalan ke atasnya ke tempat itu dan ini. Sememangnya, jika terdapat perubahan satu bit dalam nombor ini, kawalan dipindahkan ke destinasi yang tidak diketahui beberapa arahan telah ditulis di sana yang tidak lama lagi akan memusnahkan segala-galanya.

Sudah tentu, terdapat ralat dalam menulis program komputer, tetapi ini adalah kesilapan manusia. Seseorang boleh membaca program dan menyemak sama ada ia betul atau tidak. Seseorang juga boleh membaca bukti orang lain dan menyemak sama ada ia betul atau tidak. Tetapi seseorang lebih cenderung melakukan kesilapan daripada komputer. Jika anda membaca bukti orang lain yang cukup panjang dan terdapat ralat di dalamnya, maka ada kemungkinan anda tidak akan menyedarinya. kenapa? Pertama sekali, kerana sejak pengarang bukti sendiri melakukan kesilapan ini, ini bermakna ia adalah wajar dari segi psikologi. Iaitu, dia melakukannya dengan alasan, secara tidak sengaja - ini, pada dasarnya, tempat di mana orang biasa boleh membuat kesilapan sedemikian. Ini bermakna anda boleh melakukan kesilapan yang sama dengan membaca petikan ini dan, dengan itu, tidak menyedarinya. Oleh itu, pengesahan manusia, bukti manusia, adalah kaedah pengesahan yang kurang boleh dipercayai daripada menyemak hasil program komputer dengan menjalankannya semula pada beberapa mesin lain. Yang kedua secara praktikal menjamin bahawa semuanya baik-baik saja, dan yang pertama adalah betapa bertuahnya.

Dan masalah ini - mencari kesilapan dalam teks matematik yang ditulis oleh orang - menjadi semakin sukar, dan kadang-kadang mustahil - ini adalah masalah serius matematik moden. Kita perlu melawannya. Bagaimana - kini tiada siapa yang tahu. Tetapi masalahnya besar dan telah timbul secara bersungguh-sungguh sekarang - terdapat beberapa contoh perkara ini. Di sini mungkin kurang dikenali, tetapi salah satu yang paling moden. Ini adalah hipotesis lama Kepler. Dia bercakap tentang memasukkan bola ruang tiga dimensi.

Mari kita lihat dahulu apa yang berlaku dalam ruang dua dimensi, iaitu, pada satah. Marilah kita mempunyai bulatan yang sama. Apakah cara yang paling padat untuk melukis mereka di atas satah supaya mereka tidak bersilang? Terdapat jawapan - anda perlu meletakkan pusat bulatan pada nod kekisi heksagon. Kenyataan ini tidak sepenuhnya remeh, tetapi ia mudah.

Dan dalam ruang tiga dimensi, bagaimanakah anda akan mengemas bola dengan ketat? Pertama, kami meletakkan bola pada satah seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 6. Kemudian kami meletakkan satu lagi lapisan serupa di atas, menekannya sepanjang jalan, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 7. Kemudian kami meletakkan satu lagi lapisan serupa di atas, dan seterusnya. Secara intuitif jelas bahawa ini adalah cara paling padat untuk mengemas bola dalam ruang tiga dimensi. Kepler berhujah (dan nampaknya menjadi yang pertama merumuskan) bahawa pembungkusan ini mestilah pembungkusan paling padat dalam ruang tiga dimensi.

Ini berlaku pada abad ke-17, dan hipotesis ini telah berdiri sejak itu. Pada awal abad ke-21, buktinya muncul. Dan sesiapa di antara anda boleh mendapatkannya dan membacanya. dah masuk akses terbuka berada di Internet. Ini adalah artikel dua ratus halaman sesuatu. Ia ditulis oleh satu orang, dan juga mengandungi beberapa penaakulan matematik dan pengiraan komputer semata-mata.

Pertama, pengarang menggunakan penaakulan matematik untuk mengurangkan masalah kepada menguji bilangan kes yang terhad. Selepas itu, kadang-kadang menggunakan komputer, ia adalah terhad, tetapi sangat bilangan yang besar memeriksa kes, semuanya sesuai, dan - hore! - Hipotesis Kepler telah terbukti. Dan inilah masalah artikel ini - tiada siapa yang boleh membacanya. Kerana ia berat, kerana di sesetengah tempat ia tidak sepenuhnya jelas bahawa ia benar-benar berlebihan, kerana ia hanya membosankan untuk dibaca. Dua ratus muka surat pengiraan yang membosankan. Seseorang tidak boleh membacanya.

Secara umumnya, semua orang percaya bahawa artikel ini mengandungi bukti teorem ini. Tetapi sebaliknya, belum ada sesiapa pun yang mengesahkan perkara ini secara jujur, khususnya, artikel ini belum diterbitkan dalam mana-mana jurnal semakan rakan sebaya, iaitu tiada ahli matematik yang menghargai diri sendiri bersedia untuk menandatangani pernyataan bahawa "ya, semuanya betul, dan hipotesis Kepler telah terbukti."

Dan ini bukan satu-satunya keadaan; ini juga berlaku dalam bidang matematik yang lain. Baru-baru ini saya menjumpai senarai masalah yang tidak dapat diselesaikan dalam teori set, dalam teori model, dalam kawasan yang berbeza. Dan untuk satu hipotesis terdapat ulasan seperti ini: ia sepatutnya disangkal dalam artikel ini dan itu, tetapi tiada siapa yang mempercayainya.

Inilah keadaannya. Seseorang telah membuktikan sesuatu kenyataan, tetapi dia tidak dapat menyampaikannya kepada orang lain, untuk memberitahunya kepada orang lain.

Contoh yang paling dahsyat ialah, sudah tentu, klasifikasi kumpulan mudah terhingga. Saya tidak akan merumuskan dengan tepat apa itu, apakah kumpulan, apakah kumpulan terhingga, jika anda mahu, anda boleh mengetahui sendiri. Kumpulan terhingga semuanya, dalam erti kata lain, dipasang daripada blok ringkas, yang dipanggil kumpulan ringkas, dan ini tidak lagi boleh dibongkar menjadi blok yang lebih kecil. Terdapat tidak terhingga banyak kumpulan mudah terhingga ini. Senarai lengkap mereka kelihatan seperti ini: ini adalah tujuh belas siri yang tidak berkesudahan, yang mana 26 ditambah pada penghujungnya kumpulan berasingan, yang dibina dalam beberapa cara yang berasingan dan tidak termasuk dalam sebarang siri. Dinyatakan bahawa senarai ini mengandungi semua kumpulan mudah terhingga. Masalahnya sangat diperlukan untuk matematik. Oleh itu, pada tahun 70-an, apabila beberapa idea khas dan harapan untuk menyelesaikannya muncul, beberapa ratus ahli matematik dari negara yang berbeza, dari institut yang berbeza menyerang masalah itu, masing-masing mengambil bahagian mereka sendiri. Terdapat, boleh dikatakan, arkitek projek ini, yang secara kasar membayangkan bagaimana semua ini kemudiannya akan dikumpulkan menjadi satu bukti. Jelas bahawa orang ramai tergesa-gesa dan bersaing. Hasilnya, potongan yang mereka buat berjumlah kira-kira 10,000 halaman majalah, dan itulah yang diterbitkan. Dan terdapat juga artikel yang wujud sama ada sebagai cetakan awal atau sebagai salinan taip. Saya sendiri membaca satu artikel sedemikian pada satu masa ia tidak pernah diterbitkan, walaupun ia termasuk sekeping bukti lengkap ini. Dan 10,000 muka surat ini bertaburan dalam majalah yang berbeza, ditulis orang yang berbeza, dengan tahap kebolehfahaman yang berbeza-beza, dan bagi seorang ahli matematik biasa yang tidak dikaitkan dengan ini dan bukan salah seorang arkitek teori ini, bukan sahaja mustahil untuk membaca kesemua 10,000 muka surat, ia juga amat sukar untuk memahami struktur bukti itu sendiri. Lebih-lebih lagi, beberapa arkitek ini telah meninggal dunia sejak itu.

Mereka mengumumkan bahawa klasifikasi telah selesai, walaupun buktinya hanya wujud dalam bentuk teks yang tidak boleh dibaca oleh sesiapa, dan ini membawa kepada masalah berikut. Ahli matematik baru kurang bersedia untuk masuk ke dalam teori kumpulan terhingga. Semakin sedikit orang yang melakukan ini. Dan mungkin berlaku bahawa dalam 50 tahun tidak akan ada orang di Bumi yang akan dapat memahami apa-apa dalam bukti ini. Akan ada legenda: nenek moyang kita yang hebat dapat membuktikan bahawa semua kumpulan mudah terhingga disenaraikan dalam senarai ini, dan tidak ada yang lain, tetapi kini pengetahuan ini hilang. Keadaan yang agak realistik. Tetapi, mujurlah, saya bukan seorang sahaja yang menganggap situasi ini realistik, jadi mereka melawannya, dan saya mendengar bahawa mereka juga menganjurkan projek khas "Falsafah dan masalah matematik berkaitan dengan bukti pengelasan kumpulan mudah terhingga." Terdapat orang yang cuba membawa bukti ini ke dalam bentuk yang boleh dibaca, dan mungkin suatu hari nanti ia akan benar-benar berjaya. Terdapat orang yang cuba memikirkan apa yang perlu dilakukan dengan semua kesulitan ini. Umat ​​manusia mengingati tugas ini, dan ini bermakna ia akhirnya akan mengatasinya. Namun begitu, mungkin teorem lain yang sama kompleks akan muncul yang boleh dibuktikan, tetapi buktinya tiada siapa yang boleh membaca, tiada siapa yang boleh memberitahu sesiapa.

Teorem empat

Nah, sekarang teorem keempat, yang akan saya ceritakan sedikit kepada anda, mungkin yang paling dahsyat - "walaupun dia boleh memberitahu anda, tiada siapa yang akan berminat." Serpihan tertentu masalah ini telah pun didengari. Orang ramai tidak lagi berminat untuk mengkaji kumpulan terhingga. Semakin sedikit orang yang melakukan ini, dan jisim ilmu yang telah dipelihara dalam bentuk teks tidak lagi diperlukan oleh sesiapa pun, tiada siapa yang tahu membacanya. Ini juga merupakan masalah yang mengancam banyak bidang matematik.

Jelas bahawa beberapa bidang matematik bertuah. Contohnya, teori graf dan kombinatorik yang sama. Untuk mula melakukannya dengan serius, anda perlu tahu sedikit sahaja. Anda telah belajar sedikit, menyelesaikan masalah Olympiad, satu langkah - dan anda berhadapan dengan masalah yang tidak dapat diselesaikan. Ada sesuatu yang perlu diambil - hore, kami akan lakukannya, ia menarik, kami akan usahakan. Tetapi terdapat bidang matematik di mana walaupun untuk merasakan bahawa bidang ini benar-benar indah dan anda ingin mempelajarinya, anda perlu belajar banyak. Dan pada masa yang sama, anda akan belajar banyak perkara indah lain di sepanjang jalan. Tetapi anda tidak boleh terganggu oleh keindahan yang ditemui di sepanjang jalan, dan pada akhirnya anda tiba di sana, di dalam hutan yang sangat liar, anda sudah melihat keindahan di sana, dan walaupun begitu, setelah belajar banyak, anda dapat mempelajari bidang ini. matematik. Dan kesukaran ini adalah masalah untuk kawasan tersebut. Agar bidang matematik berkembang, ia perlu dipraktikkan. Sebilangan orang yang mencukupi harus sangat berminat dengannya sehingga mereka mengatasi semua kesulitan, sampai ke sana dan selepas itu terus melakukannya. Dan kini matematik mencapai tahap kerumitan yang bagi banyak bidang ini menjadi masalah utama.

Saya tidak tahu bagaimana manusia akan menghadapi semua masalah ini, tetapi ia akan menjadi menarik untuk dilihat.

Itu sahaja, sebenarnya.