Setelah menerima idea umum tentang kesamaan, dan setelah mengenali salah satu jenisnya - kesamaan berangka, anda boleh mula bercakap tentang jenis kesamaan lain yang sangat penting dari sudut pandangan praktikal - persamaan. Dalam artikel ini kita akan melihat apakah persamaan, dan apa yang dipanggil punca persamaan. Di sini kami akan memberikan definisi yang sepadan dan juga hadir pelbagai contoh persamaan dan puncanya.
Navigasi halaman.
Apakah persamaan?
Pengenalan yang disasarkan kepada persamaan biasanya bermula dalam pelajaran matematik dalam gred 2. Pada masa ini berikut diberikan definisi persamaan:
Definisi.
Persamaan ialah kesamaan yang mengandungi nombor yang tidak diketahui yang perlu dicari.
Nombor yang tidak diketahui dalam persamaan biasanya dilambangkan menggunakan huruf Latin kecil, contohnya, p, t, u, dsb., tetapi huruf x, y dan z paling kerap digunakan.
Maka, persamaan ditentukan dari sudut bentuk penulisan. Dalam erti kata lain, kesamaan adalah persamaan apabila ia mematuhi peraturan yang ditetapkan rekod - mengandungi surat yang nilainya perlu dicari.
Mari kita berikan contoh yang pertama dan yang paling awal persamaan mudah. Mari kita mulakan dengan persamaan bentuk x=8, y=3, dsb. Persamaan yang mengandungi tanda aritmetik bersama nombor dan huruf kelihatan lebih rumit, contohnya, x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.
Kepelbagaian persamaan berkembang selepas menjadi biasa dengan - persamaan dengan kurungan mula muncul, contohnya, 2·(x−1)=18 dan x+3·(x+2·(x−2))=3. Huruf yang tidak diketahui dalam persamaan boleh muncul beberapa kali, contohnya, x+3+3·x−2−x=9, juga huruf boleh berada di sebelah kiri persamaan, di sebelah kanannya, atau di kedua-dua belah persamaan, sebagai contoh, x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 atau 3·x−4=2·(x+12) .
Selanjutnya selepas belajar nombor asli berkenalan dengan integer, rasional, nombor nyata berlaku, yang baru dipelajari objek matematik: kuasa, punca, logaritma, dsb., manakala semakin banyak jenis persamaan baharu yang mengandungi perkara ini muncul. Contoh-contohnya boleh dilihat dalam artikel jenis utama persamaan belajar di sekolah.
Dalam darjah 7, bersama-sama dengan huruf, yang bermaksud beberapa nombor tertentu, mula mempertimbangkan huruf yang boleh diambil makna yang berbeza, ia dipanggil pembolehubah (lihat artikel). Pada masa yang sama, perkataan "pembolehubah" diperkenalkan ke dalam takrif persamaan, dan ia menjadi seperti ini:
Definisi.
Persamaan panggil kesamaan yang mengandungi pembolehubah yang nilainya perlu dicari.
Sebagai contoh, persamaan x+3=6·x+7 ialah persamaan dengan pembolehubah x, dan 3·z−1+z=0 ialah persamaan dengan pembolehubah z.
Semasa pelajaran algebra dalam gred 7 yang sama, kita menghadapi persamaan yang mengandungi bukan satu, tetapi dua pembolehubah tidak diketahui yang berbeza. Ia dipanggil persamaan dengan dua pembolehubah. Pada masa hadapan, kehadiran tiga atau lebih pembolehubah dalam persamaan dibenarkan.
Definisi.
Persamaan dengan satu, dua, tiga, dsb. pembolehubah– ini adalah persamaan yang mengandungi dalam penulisannya satu, dua, tiga, ... pembolehubah yang tidak diketahui, masing-masing.
Sebagai contoh, persamaan 3.2 x+0.5=1 ialah persamaan dengan satu pembolehubah x, sebaliknya, persamaan bentuk x−y=3 ialah persamaan dengan dua pembolehubah x dan y. Dan satu lagi contoh: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27. Jelaslah bahawa persamaan tersebut ialah persamaan dengan tiga pembolehubah yang tidak diketahui x, y dan z.
Apakah punca persamaan?
Takrifan persamaan berkait secara langsung dengan takrif punca persamaan ini. Mari kita jalankan beberapa penaakulan yang akan membantu kita memahami apakah punca persamaan itu.
Katakan kita mempunyai persamaan dengan satu huruf (pembolehubah). Jika bukannya huruf yang dimasukkan dalam entri persamaan ini kita menggantikan nombor tertentu, maka persamaan itu menjadi kesamarataan berangka. Selain itu, kesamaan yang terhasil boleh sama ada benar atau salah. Sebagai contoh, jika anda menggantikan nombor 2 dan bukannya huruf a dalam persamaan a+1=5, anda akan mendapat kesamaan berangka yang salah 2+1=5. Jika kita menggantikan nombor 4 dan bukannya a dalam persamaan ini, kita dapat persamaan sebenar 4+1=5 .
Dalam amalan, dalam kebanyakan kes, kepentingan adalah dalam nilai pembolehubah yang penggantian ke dalam persamaan memberikan kesamaan yang betul ini dipanggil akar atau penyelesaian persamaan yang diberikan.
Definisi.
Punca persamaan- ini ialah nilai huruf (pembolehubah), apabila digantikan persamaannya bertukar menjadi kesamaan berangka yang betul.
Perhatikan bahawa punca persamaan dalam satu pembolehubah juga dipanggil penyelesaian persamaan. Dengan kata lain, penyelesaian kepada persamaan dan punca persamaan adalah perkara yang sama.
Mari kita jelaskan definisi ini dengan contoh. Untuk melakukan ini, mari kita kembali kepada persamaan yang ditulis di atas a+1=5. Menurut takrifan punca persamaan yang dinyatakan, nombor 4 ialah punca persamaan ini, kerana apabila menggantikan nombor ini dan bukannya huruf a kita mendapat kesamaan yang betul 4+1=5, dan nombor 2 bukanlah nombor itu. akar, kerana ia sepadan dengan kesamaan yang salah dalam bentuk 2+1= 5 .
Pada ketika ini, beberapa soalan semula jadi timbul: "Adakah mana-mana persamaan mempunyai punca, dan berapa banyak punca yang ada?" persamaan yang diberikan"? Kami akan menjawab mereka.
Terdapat kedua-dua persamaan yang mempunyai punca dan persamaan yang tidak mempunyai punca. Sebagai contoh, persamaan x+1=5 mempunyai punca 4, tetapi persamaan 0 x=5 tidak mempunyai punca, kerana tidak kira nombor apa yang kita gantikan dalam persamaan ini dan bukannya pembolehubah x, kita akan mendapat kesamaan yang salah 0=5 .
Bagi bilangan punca persamaan, ia wujud sebagai persamaan yang mempunyai beberapa nombor akhir punca (satu, dua, tiga, dsb.), dan persamaan yang mempunyai banyak punca tak terhingga. Sebagai contoh, persamaan x−2=4 mempunyai punca tunggal 6, punca-punca persamaan x 2 =9 ialah dua nombor −3 dan 3, persamaan x·(x−1)·(x−2)=0 mempunyai tiga punca 0, 1 dan 2, dan penyelesaian kepada persamaan x=x ialah sebarang nombor, iaitu, ia mempunyai set tak terhingga akar
Beberapa perkataan harus dikatakan tentang notasi yang diterima untuk punca persamaan. Jika persamaan tidak mempunyai punca, maka mereka biasanya menulis "persamaan tidak mempunyai punca," atau menggunakan tanda set kosong∅. Jika persamaan mempunyai punca, maka ia ditulis dipisahkan dengan koma, atau ditulis sebagai elemen set dalam kurungan kerinting. Contohnya, jika punca-punca persamaan ialah nombor −1, 2 dan 4, maka tulis −1, 2, 4 atau (−1, 2, 4). Ia juga dibenarkan untuk menulis punca-punca persamaan dalam bentuk persamaan mudah. Sebagai contoh, jika persamaan termasuk huruf x, dan punca-punca persamaan ini ialah nombor 3 dan 5, maka anda boleh menulis x=3, x=5, dan subskrip x 1 =3, x 2 =5 sering ditambah. kepada pembolehubah, seolah-olah menunjukkan nombor punca persamaan. Set punca tak terhingga bagi persamaan biasanya ditulis dalam bentuk, dan, jika boleh, tatatanda untuk set nombor asli N, integer Z, dan nombor nyata R digunakan. Sebagai contoh, jika punca persamaan dengan pembolehubah x ialah sebarang integer, maka tulis , dan jika punca-punca persamaan dengan pembolehubah y ialah sebarang nombor sebenar daripada 1 hingga 9 termasuk, kemudian tulis .
Untuk persamaan dengan dua, tiga dan jumlah yang besar pembolehubah, sebagai peraturan, istilah "akar persamaan" tidak digunakan dalam kes ini mereka mengatakan "penyelesaian persamaan". Apakah yang dipanggil menyelesaikan persamaan dengan beberapa pembolehubah? Mari kita berikan definisi yang sepadan.
Definisi.
Menyelesaikan persamaan dengan dua, tiga, dsb. pembolehubah dipanggil sepasang, tiga, dsb. nilai pembolehubah, menjadikan persamaan ini menjadi kesamaan berangka yang betul.
Mari kita tunjukkan contoh penjelasan. Pertimbangkan persamaan dengan dua pembolehubah x+y=7. Mari kita gantikan nombor 1 bukannya x, dan nombor 2 bukannya y, dan kita mempunyai kesamaan 1+2=7. Jelas sekali, ia tidak betul, oleh itu, pasangan nilai x=1, y=2 bukanlah penyelesaian kepada persamaan bertulis. Jika kita mengambil sepasang nilai x=4, y=3, maka selepas penggantian ke dalam persamaan kita akan sampai pada kesamaan yang betul 4+3=7, oleh itu, pasangan nilai pembolehubah ini, mengikut definisi, adalah penyelesaian kepada persamaan x+y=7.
Persamaan dengan beberapa pembolehubah, seperti persamaan dengan satu pembolehubah, mungkin tidak mempunyai punca, mungkin mempunyai bilangan punca terhingga, atau mungkin mempunyai bilangan punca tidak terhingga.
Berpasangan, kembar tiga, berempat, dsb. Nilai pembolehubah sering ditulis secara ringkas, menyenaraikan nilainya dipisahkan dengan koma dalam kurungan. Dalam kes ini, nombor yang ditulis dalam kurungan sepadan dengan pembolehubah dalam turutan abjad. Mari kita jelaskan perkara ini dengan kembali kepada persamaan sebelumnya x+y=7. Penyelesaian kepada persamaan ini x=4, y=3 boleh ditulis secara ringkas sebagai (4, 3).
Perhatian terbesar dalam kursus matematik sekolah, algebra dan permulaan analisis diberikan kepada mencari punca persamaan dengan satu pembolehubah. Kami akan membincangkan peraturan proses ini dengan terperinci dalam artikel. menyelesaikan persamaan.
Bibliografi.
- Matematik. 2 kelas Buku teks untuk pendidikan am institusi dengan adj. setiap elektron pembawa. Pada pukul 2 petang Bahagian 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, dsb.] - 3rd ed. - M.: Pendidikan, 2012. - 96 p.: sakit. - (Sekolah Rusia). - ISBN 978-5-09-028297-0.
- Algebra: buku teks untuk darjah 7. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; diedit oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-17. - M.: Pendidikan, 2008. - 240 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algebra: darjah 9: pendidikan. untuk pendidikan am institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; diedit oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16 - M.: Pendidikan, 2009. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Selepas kita mempelajari konsep kesamaan, iaitu salah satu jenisnya - kesamaan berangka, kita boleh beralih kepada yang lain. pandangan penting– persamaan. dalam daripada bahan ini kami akan menerangkan apa itu persamaan dan puncanya, merumus definisi asas dan memberi pelbagai contoh persamaan dan mencari puncanya.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Konsep persamaan
Biasanya konsep persamaan dikaji pada awal-awal lagi kursus sekolah algebra. Kemudian ia ditakrifkan seperti ini:
Definisi 1
Persamaan dipanggil kesamaan dengan nombor yang tidak diketahui yang perlu dicari.
Adalah lazim untuk menetapkan yang tidak diketahui sebagai kecil dengan huruf Latin, contohnya, t, r, m dsb., tetapi selalunya x, y, z digunakan. Dalam erti kata lain, persamaan ditentukan oleh bentuk rakamannya, iaitu persamaan akan menjadi persamaan hanya apabila ia dikurangkan kepada jenis tertentu– ia mesti mengandungi surat, makna yang perlu dicari.
Mari kita berikan beberapa contoh persamaan termudah. Ini boleh menjadi kesamaan bentuk x = 5, y = 6, dsb., serta yang termasuk operasi aritmetik, contohnya, x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 · t = 4, 6: x = 3.
Selepas konsep kurungan dipelajari, konsep persamaan dengan kurungan muncul. Ini termasuk 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3, dsb. Huruf yang perlu dicari boleh muncul lebih daripada sekali, tetapi beberapa kali, seperti , sebagai contoh, dalam persamaan x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10. Juga, tidak diketahui boleh terletak bukan sahaja di sebelah kiri, tetapi juga di sebelah kanan atau di kedua-dua bahagian pada masa yang sama, contohnya, x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 atau 8 x − 9 = 2 (x + 17) .
Selanjutnya, selepas pelajar membiasakan diri dengan konsep integer, nyata, rasional, nombor asli, serta logaritma, punca dan kuasa, persamaan baharu muncul yang merangkumi semua objek ini. Kami telah menumpukan artikel berasingan untuk contoh ungkapan tersebut.
Konsep pembolehubah muncul buat pertama kali dalam kurikulum darjah 7. Ini adalah surat yang boleh diambil makna yang berbeza(untuk butiran lanjut, lihat artikel tentang angka, ungkapan literal dan ungkapan dengan pembolehubah). Berdasarkan konsep ini, kita boleh mentakrifkan semula persamaan:
Definisi 2
Persamaan ialah kesamaan yang melibatkan pembolehubah yang nilainya perlu dikira.
Iaitu, sebagai contoh, ungkapan x + 3 = 6 x + 7 ialah persamaan dengan pembolehubah x, dan 3 y − 1 + y = 0 ialah persamaan dengan pembolehubah y.
Satu persamaan boleh mempunyai lebih daripada satu pembolehubah, tetapi dua atau lebih. Mereka dipanggil, masing-masing, persamaan dengan dua, tiga pembolehubah, dsb. Mari kita tuliskan definisinya:
Definisi 3
Persamaan dengan dua (tiga, empat atau lebih) pembolehubah ialah persamaan yang merangkumi bilangan yang tidak diketahui yang sepadan.
Sebagai contoh, kesamaan bentuk 3, 7 · x + 0, 6 = 1 ialah persamaan dengan satu pembolehubah x, dan x − z = 5 ialah persamaan dengan dua pembolehubah x dan z. Contoh persamaan dengan tiga pembolehubah ialah x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.
Punca persamaan
Apabila kita bercakap tentang persamaan, keperluan segera timbul untuk menentukan konsep puncanya. Mari cuba terangkan maksudnya.
Contoh 1
Kami diberi persamaan tertentu yang merangkumi satu pembolehubah. Jika kita menggantikan nombor untuk huruf yang tidak diketahui, persamaan menjadi kesamaan berangka - benar atau salah. Jadi, jika dalam persamaan a + 1 = 5 kita menggantikan huruf dengan nombor 2, maka kesamaan akan menjadi palsu, dan jika 4, maka kesamaan yang betul akan menjadi 4 + 1 = 5.
Kami lebih berminat dengan nilai-nilai yang dengannya pembolehubah akan berubah menjadi kesamaan sebenar. Mereka dipanggil akar atau penyelesaian. Mari kita tulis definisi.
Definisi 4
Punca persamaan Mereka memanggil nilai pembolehubah yang menukar persamaan yang diberikan kepada kesamaan sebenar.
Akar juga boleh dipanggil penyelesaian, atau sebaliknya - kedua-dua konsep ini bermaksud perkara yang sama.
Contoh 2
Mari kita ambil contoh untuk menjelaskan definisi ini. Di atas kita berikan persamaan a + 1 = 5. Mengikut definisi, akarnya ialah dalam kes ini akan menjadi 4, kerana apabila diganti dan bukannya huruf ia memberikan kesamaan berangka yang betul, dan dua tidak akan menjadi penyelesaian, kerana ia sepadan dengan kesamaan yang salah 2 + 1 = 5.
Berapa banyak punca yang boleh dimiliki oleh satu persamaan? Adakah setiap persamaan mempunyai punca? Jom jawab soalan-soalan ini.
Persamaan yang tidak mempunyai satu punca pun wujud. Contohnya ialah 0 x = 5. Kita boleh menggantikan banyak yang tidak terhingga nombor yang berbeza, tetapi tiada satu pun daripada mereka akan mengubahnya menjadi kesamaan sebenar, kerana pendaraban dengan 0 sentiasa memberikan 0.
Terdapat juga persamaan yang mempunyai beberapa punca. Mereka boleh sama ada terhingga atau tidak terhingga sejumlah besar akar
Contoh 3
Jadi, dalam persamaan x − 2 = 4 hanya terdapat satu punca - enam, dalam x 2 = 9 dua punca - tiga dan tolak tiga, dalam x · (x − 1) · (x − 2) = 0 tiga punca - sifar, satu dan dua, terdapat banyak punca tak terhingga dalam persamaan x=x.
Sekarang mari kita terangkan cara menulis punca persamaan dengan betul. Jika tidak ada, maka kami menulis: "persamaan tidak mempunyai punca." Dalam kes ini, anda juga boleh menunjukkan tanda set kosong ∅. Sekiranya terdapat akar, maka kami menulisnya dipisahkan dengan koma atau menunjukkannya sebagai elemen set, melampirkannya dalam kurungan kerinting. Jadi, jika mana-mana persamaan mempunyai tiga punca - 2, 1 dan 5, maka kita tulis - 2, 1, 5 atau (- 2, 1, 5).
Ia dibenarkan untuk menulis akar dalam bentuk persamaan mudah. Jadi, jika yang tidak diketahui dalam persamaan dilambangkan dengan huruf y, dan akarnya adalah 2 dan 7, maka kita menulis y = 2 dan y = 7. Kadangkala subskrip ditambahkan pada huruf, contohnya, x 1 = 3, x 2 = 5. Dengan cara ini kita menunjuk kepada nombor akar. Jika persamaan mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga, maka kita tulis jawapannya sebagai selang berangka atau kami menggunakan tatatanda yang diterima umum: set nombor asli dilambangkan dengan N, integer dengan Z, dan nombor nyata dengan R. Katakan, jika kita perlu menulis bahawa penyelesaian kepada persamaan akan menjadi sebarang integer, maka kita menulis bahawa x ∈ Z, dan jika sebarang nombor nyata dari satu hingga sembilan, maka y ∈ 1, 9.
Apabila persamaan mempunyai dua, tiga punca atau lebih, maka, sebagai peraturan, kita tidak bercakap tentang akar, tetapi tentang penyelesaian kepada persamaan. Mari kita rumuskan definisi penyelesaian kepada persamaan dengan beberapa pembolehubah.
Definisi 5
Penyelesaian kepada persamaan dengan dua, tiga atau lebih pembolehubah ialah dua, tiga atau lebih nilai pembolehubah yang menukar persamaan yang diberikan kepada kesamaan berangka yang betul.
Mari kita jelaskan definisi dengan contoh.
Contoh 4
Katakan kita mempunyai ungkapan x + y = 7, iaitu persamaan dengan dua pembolehubah. Mari kita gantikan satu daripada yang pertama, dan dua daripada yang kedua. Kami akan mendapat kesamaan yang salah, yang bermaksud bahawa pasangan nilai ini tidak akan menjadi penyelesaian kepada persamaan ini. Jika kita mengambil pasangan 3 dan 4, maka kesamaan itu menjadi benar, yang bermaksud kita telah menemui penyelesaian.
Persamaan sedemikian juga mungkin tidak mempunyai punca atau nombor tidak terhingga daripadanya. Jika kita perlu menulis dua, tiga, empat atau lebih nilai, maka kita menulisnya dipisahkan dengan koma dalam kurungan. Iaitu, dalam contoh di atas, jawapannya akan kelihatan seperti (3, 4).
Dalam amalan, anda paling kerap perlu berurusan dengan persamaan yang mengandungi satu pembolehubah. Kami akan mempertimbangkan algoritma untuk menyelesaikannya secara terperinci dalam artikel yang dikhaskan untuk menyelesaikan persamaan.
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
Dalam algebra, terdapat konsep dua jenis kesamaan - identiti dan persamaan. Identiti ialah kesamaan yang sah untuk sebarang nilai huruf yang disertakan di dalamnya. Persamaan juga adalah kesamaan, tetapi ia hanya boleh dilaksanakan untuk nilai tertentu huruf yang disertakan di dalamnya.
Mengikut keadaan masalah, huruf biasanya tidak sama. Ini bermakna sesetengah daripada mereka boleh mengambil sebarang nilai yang boleh diterima, dipanggil pekali (atau parameter), manakala yang lain - mereka dipanggil tidak diketahui - mengambil nilai yang perlu ditemui dalam proses penyelesaian. Sebagai peraturan, kuantiti yang tidak diketahui dilambangkan dalam persamaan dengan huruf terakhir dalam (x.y.z, dsb.), atau dengan huruf yang sama, tetapi dengan indeks (x 1, x 2, dll.), dan pekali yang diketahui - oleh yang pertama huruf daripada abjad yang sama.
Berdasarkan bilangan yang tidak diketahui, persamaan dengan satu, dua dan beberapa yang tidak diketahui dibezakan. Oleh itu, semua nilai yang tidak diketahui yang mana persamaan yang diselesaikan bertukar menjadi identiti dipanggil penyelesaian persamaan. Sesuatu persamaan boleh dianggap selesai jika semua penyelesaiannya telah dijumpai atau telah dibuktikan bahawa ia tidak mempunyai sebarang. Tugas "selesaikan persamaan" adalah biasa dalam amalan dan bermakna anda perlu mencari punca persamaan.
Definisi: punca-punca persamaan ialah nilai-nilai yang tidak diketahui dari kawasan yang boleh diterima di mana persamaan yang diselesaikan bertukar menjadi identiti.
Algoritma untuk menyelesaikan semua persamaan secara mutlak adalah sama, dan maksudnya ialah menggunakan transformasi matematik ungkapan ini membawa kepada lebih pandangan ringkas.
Persamaan yang mempunyai akar yang sama, dalam algebra dipanggil setara.
Contoh paling mudah: 7x-49=0, punca persamaan x=7;
x-7=0, begitu juga, punca x=7, oleh itu, persamaan adalah setara. (Dalam kes khas persamaan setara mungkin tidak mempunyai akar sama sekali).
Jika punca suatu persamaan serentak merupakan punca persamaan yang lain, persamaan yang lebih mudah diperoleh daripada yang asal melalui penjelmaan, maka yang kedua dipanggil akibat daripada persamaan sebelumnya.
Jika satu daripada dua persamaan adalah akibat daripada yang lain, maka ia dianggap setara. Mereka juga dipanggil setara. Contoh di atas menggambarkan ini.
Menyelesaikan walaupun persamaan paling mudah dalam amalan sering menyebabkan kesukaran. Hasil daripada penyelesaian, anda boleh mendapatkan satu punca persamaan, dua atau lebih, genap nombor tak terhingga- ia bergantung kepada jenis persamaan. Terdapat juga yang tidak mempunyai akar, mereka dipanggil tidak dapat diselesaikan.
Contoh:
1) 15x -20=10; x=2. Ini adalah satu-satunya punca persamaan.
2) 7x - y=0. Persamaan mempunyai bilangan punca yang tidak terhingga, kerana setiap pembolehubah boleh mempunyai bilangan nilai yang tidak terhingga.
3) x 2 = - 16. Nombor yang dinaikkan kepada kuasa kedua sentiasa memberi hasil positif, jadi adalah mustahil untuk mencari punca persamaan. Ini adalah salah satu persamaan yang tidak boleh diselesaikan yang dibincangkan di atas.
Ketepatan penyelesaian diperiksa dengan menggantikan akar yang ditemui dan bukannya huruf dan menyelesaikan contoh yang terhasil. Sekiranya identiti itu berpuas hati, penyelesaiannya adalah betul.