Mari kita wakili sistem persamaan (1.1) dalam bentuk
Terdapat sejumlah besar skim kaedah penyingkiran yang disesuaikan untuk pengiraan manual atau mesin bagi matriks jenis umum atau khas.
Kaedah Gaussian boleh ditafsirkan sebagai kaedah di mana matriks pada mulanya dikurangkan kepada bentuk segi tiga atas (gerakan hadapan), dan kemudian kepada bentuk unit (gerakan terbalik). Jelas sekali, jika matriks adalah identiti, maka x t = b r
Oleh itu, biarkan matriks sistem (1.3) ialah segi tiga atas a tj= 0 pada i>j, iaitu semua unsur di bawah pepenjuru utama adalah sifar. Kemudian dari persamaan terakhir kita segera menentukan x p. Menggantikan x n ke dalam persamaan kedua terakhir, kita dapati x a_ x, dsb. Formula am mempunyai bentuk
Pada k > saya kemungkinan a s = 0.
Mari kita kurangkan matriks sistem (1.3) kepada matriks segi tiga atas. Mari kita tolak daripada persamaan kedua sistem (1.3) yang pertama, didarab dengan nombor supaya pekali pada x x akan menjadi sifar. Mari kita lakukan perkara yang sama dengan semua persamaan lain. Akibatnya, semua pekali lajur pertama yang terletak di bawah pepenjuru utama akan menjadi sifar. Kemudian, menggunakan persamaan kedua, kita menukar pekali sepadan lajur kedua kepada sifar. Meneruskan proses ini secara konsisten, kami mengurangkan matriks sistem kepada bentuk segi tiga atas.
Mari kita tuliskan formula am kaedah Gauss. Biarkan pekali disingkirkan daripada lajur (A - 1). Kemudian akan ada persamaan dengan unsur bukan sifar di bawah pepenjuru utama:
Jom perbanyakkan kth baris ke nombor dengan tk = t > k dan tolak
daripada baris mth. Unsur bukan sifar pertama baris ini akan menjadi sifar, dan selebihnya akan berubah mengikut formula
Setelah menjalankan pengiraan menggunakan formula ini untuk semua indeks yang ditunjukkan, kami menukar elemen kepada sifar k-ro lajur di bawah pepenjuru utama. Prosedur yang serupa mengurangkan matriks sistem kepada bentuk segi tiga atas, dan keseluruhan proses pengurangan dipanggil PROSES LANGSUNG KAEDAH GAUSSian. Pengiraan yang tidak diketahui menggunakan formula (1.4) dipanggil kaedah REVERSE.
Pergerakan songsang boleh dibuat secara berbeza jika semua pekali yang terletak di atas pepenjuru utama bertukar kepada sifar. Sebagai contoh, elemen P daripada lajur ke- menjadi sifar jika ej^| darab dengan (-a^V ax t = b | 2l), di mana b^n)- pekali sebelah kanan persamaan ke-i selepas penjelmaan yang ditunjukkan.
Pada beberapa langkah ke hadapan, ia mungkin ternyata bahawa pekali aj*" * 0, tetapi adalah kecil berbanding dengan elemen lain dalam matriks sistem dan, khususnya, kecil berbanding dengan elemen lajur pertama. Membahagikan pekali sistem dengan nilai yang kecil boleh membawa kepada ralat pembundaran yang ketara.
Untuk mengurangkan ralat pembundaran teruskan seperti berikut. Antara elemen lajur pertama A^ setiap matriks perantaraan, pilih elemen modulus (utama) terbesar dan dengan menyusun semula baris ke-i dengan baris yang mengandungi elemen utama, pastikan elemen utama menjadi yang terkemuka. Pengubahsuaian kaedah penghapusan Gaussian ini dipanggil kaedah Gaussian dengan pemilihan unsur utama. Kes kemunculan unsur sifar dielakkan dengan sendirinya.
Untuk melaksanakan kaedah, ia mengambil masa kira-kira P 3/3 operasi seperti pendaraban dan P 3/3 operasi seperti penambahan. Adalah berguna untuk diingat bahawa anggaran bilangan operasi ditentukan terutamanya oleh operasi yang dibelanjakan dalam melaksanakan lejang hadapan kaedah Gaussian. Songsangan kaedah Gaussian memerlukan lebih kurang n 2 operasi. Oleh itu, jika anda perlu menyelesaikan beberapa sistem persamaan algebra linear bentuk Ax = b dengan matriks yang sama dan sisi kanan yang berbeza, maka jumlah bilangan operasi apabila menyelesaikan S sistem akan dinilai saiz(2/3)n 3 + Sn 2 . Dalam kes ini, adalah dinasihatkan untuk melaksanakan algoritma kaedah Gauss dalam bentuk dua subrutin: subrutin pertama harus melaksanakan kemajuan maju algoritma dan mendapatkan matriks segi tiga atas sebagai output, dan subrutin kedua harus, menggunakan matriks yang terhasil. , hitung penyelesaian sistem untuk sebelah kanan sewenang-wenangnya.
Dalam kes ini, sebagai tambahan kepada pematuhan keperluan a kk0 apabila melaksanakan formula (6), keperluan tambahan dikenakan supaya elemen utama (utama) dalam lajur semasa dalam proses transformasi matriks asal mempunyai nilai mutlak maksimum. Ini juga dicapai dengan menyusun semula baris matriks.
Contoh. Untuk menggambarkan kelebihan kaedah Gaussian yang diubah suai, pertimbangkan sistem tertib ketiga:
Pukulan langsung kaedah Gaussian
Kami mengecualikan X 1 daripada persamaan kedua dan ketiga. Untuk melakukan ini, darabkan persamaan pertama dengan 0.3 dan tambahkannya dengan yang kedua, dan kemudian darabkan persamaan pertama dengan (–0.5) dan tambahkannya dengan yang ketiga. Hasilnya kita dapat
(b)
Persamaan kedua tidak digantikan oleh yang ketiga, kerana pengiraan dilakukan dalam rangka kerja aritmetik tepat.
Mendarabkan persamaan kedua dengan 25 dan menambahnya dengan yang ketiga, kita dapat
(V)
Kaedah Gaussian songsang
Kami menjalankan pengiraan bermula dari persamaan terakhir dalam sistem yang terhasil:
Menggantikan penyelesaian yang terhasil ke dalam sistem asal, kami yakin akan kebenarannya.
Sekarang kita akan menukar pekali sistem sedemikian rupa untuk mengekalkan penyelesaian sebelumnya, tetapi semasa pengiraan kita akan menggunakan pembundaran dalam rangka aritmetik titik terapung, mengekalkan lima digit. Sistem berikut akan sepadan dengan ini
(G)
Kaedah langsung untuk sistem ( G) kami akan mengulangi menggunakan teknologi yang serupa dengan sistem asal ( A).
(d)
Selepas penyingkiran X 2, persamaan ketiga akan mengambil bentuk (selebihnya kekal tidak berubah)
15005 X 3 = 15004. (e)
Menjalankan langkah terbalik, kita dapat
Adalah jelas bahawa penyelesaian yang diperolehi dan [–0.35; –1.4; 0.99993] adalah berbeza. Sebabnya ialah nilai kecil unsur utama dalam persamaan transformasi kedua dalam ( d). Untuk menghapuskan ini, kami menyusun semula dalam ( d) baris kedua dan ketiga
(dan)
Untuk sistem ini selepas pengecualian X 2 daripada persamaan ketiga, ia akan mengambil bentuk berikut
6,002 X 3 = 6,002. (h)
Dalam kes ini, melakukan langkah terbalik
kami mendapat penyelesaian kepada sistem ( G) yang betul-betul bertepatan dengan penyelesaian sistem asal.
Menyelesaikan sistem ( G) kami menggunakan kaedah Gaussian yang diubah suai, di mana elemen maksimum dalam lajur semasa harus terletak pada pepenjuru.
Mari kita pertimbangkan gambarajah blok kaedah Gaussian yang diubah suai (Rajah 2.1).
nasi. 2.1. Gambar rajah blok kaedah Gaussian yang diubah suai
Marilah kita menganalisis skema yang dicadangkan menggunakan contoh sistem n=3 (=0,001)
(8)
;
.
(*)
Sekat 1. Memasukkan data awal: n- susunan sistem, A– matriks pekali untuk yang tidak diketahui, b– vektor istilah percuma.
Sekat 2. Kitaran lejang ke hadapan ke-I (untuk k, berbeza dari 1 hingga nilai kedua terakhir, i.e. sebelum ini n–1) memberikan pengecualian daripada pepenjuru utama matriks A unsur a kk=0 terima kasih kepada carian untuk elemen maksimum a kk dalam lajur semasa, dijalankan dalam blok 36 menggunakan gelungII.
Kemudian pengiraan dijalankan menggunakan formula (6) gerakan Gaussian ke hadapan dalam blok kitaran IV dan V.
Mari kita jalankan analisis blok demi blok dalam persekitaran kitaran IV yang dipertimbangkan menggunakan contoh (8).
Sekat 3hlm =k = 1
Memasuki Kitaran II
Sekat 4m =k+1 = 2 hingga n = 3
Sekat 5a 11 = 2 <a 21 = 4 daripada (*)
Sekat 6hlm= 2
Sekat 4m= 2+1 = 3
Sekat 5a 21 = 4 <a 31 = 6 daripada (*)
Sekat 6hlm= 3
Keluar dari kitaran II dan memasuki kitaran III, blok 710 melakukan pilih atur baris matriks A unsur demi unsur
Sekat 7j= 1 (j dari 1 hingga 3)
Sekat 8 r = a 11 = 2 daripada (*)
Sekat 9 a 11 = a 31 = 6
Sekat 10 a 31 = r
Sekat 7 j = 2
Sekat 8 r = a 12 = 1
Sekat 9 a 12 = a 32 = 5
Sekat 10 a 32 = r = 1
Sekat 7j= 3 dan dengan analogi r=a 13 ;a 13 =a 33 ;a 33 =r= −1.
Keluar dari kitaran III dan masuk Sekat 11 dan seterusnya 1213 melakukan penyusunan semula yang serupa bagi nilai-nilai syarat bebas
r=b 1 = 1;b 1 = b 3 = 14;b 3 =r= 1.
Memasuki kitaran IV dengan sistem yang diubah suai
;
;
(**)
untuk pengiraan semula b 2 vektor 
m=k+1 = 1+1 = 2 hingga n= 3
c = a mk / a kk = a 21 / a 11 = 4/6 daripada (**)
b 2 =b 2 –c b 1 = 6 – 4/614 = −20/6 daripada (**)
Memasuki gelung bersarang V untuk mengira semula baris kedua
i = 1 (i dari 1 hingga 3); a 21 = a 21 – Dengan a 11 = 4 – 4/6 6 = 0;
i = 2; a 22 = a 22 – Dengan a 12 = 6 – 4/6 5 = 16/6;
i = 3; a 23 = a 23 – Dengan a 13 = 2 – 4/6 8 = −20/6.
Keluar dari kitaran V dan memasuki kitaran IV
m= 3;c=a 31 /a 11 = 2/6.
Log masuk Sekat 16
b 3 =b 3 –c b 1 = 1 – 2/614 = −22/6.
Keluar dari kitaran IV dan memasuki kitaran V dan masuk Sekat 17
i = 1 (i dari 1 hingga 3); a 31 = a 31 – Dengan a 11 = 2 – 2/6 6 = 0;
i = 2; a 32 = a 32 – Dengan a 12 = 1 – 2/6 5 = −4/6;
i = 3; a 33 = a 33 – Dengan a 13 = −1 – 2/6 8 = −22/6.
Keluar dari kitaran V dengan sistem berubah
;
;
(***)
dan kemasukan baris A dalam kitaran I
k = 2;hlm =k = 2;m =k+1 = 3; pintu masuk ke Sekat 5
| a 22 | < |a 32 | = | 16/6 | > | 4/6 | daripada (***).
Keluar dari kitaran II dan memasuki kitaran III
j = 2 (j dari 2 hingga 3);
r = a kj = a 22 = 16/6; a 22 = a 22 ; a 22 = r= 16/6; daripada (***)
r=a 23 = −20/6;a 23 =a 23 ;a 23 =r= −20/6; daripada (***)
Dalam kes ini, terdapat elemen maksimum pada pepenjuru, jadi pertukaran baris ke-2 dan ke-3 tidak dilakukan.
Keluar dari kitaran III dan memasuki kitaran Ic Sekat 11
r=b 2 ;b 2 = b 2 ;b 2 =r= −20/6.
Ahli percuma b 2 kekal di tempat.
Memasuki Kitaran IV
m=k+1 = 2+1 = 3;
c = a mk / a kk = a 32 / a 22 = (–4/6) / (16/6); daripada (***)
b 3 =b 3 –c b 2 = −22/6 – (–1/4)(–20/6) = −27/6 daripada (***)
Keluar dari kitaran IV dan memasuki kitaran V
i = 2 (i dari 2 hingga 3); a 32 = a 32 – Dengan a 22 = −4/6 – (–1/4) 16/6 = 0;
i= 3;a 33 =a 33 –Dengana 23 = −22/6 – (–1/4)(–20/6) = −27/6.
Keluar dari kitaran V dan keluar dari kitaran I.
Kaedah Gaussian songsang
DALAM Blok 1924 formula (7) dilaksanakan.
DALAM Sekat 19 daripada persamaan terakhir nilai ditemui x n (n= 3)
x 3 =b n / a nn =b 3 / a 33 = (–27/6) / (–27/6) = 1.
Memasuki kitaran VI( Sekat 20), di mana nilai pembolehubah gelung k berbeza daripada n–1 hingga 1 dalam langkah (–1)
Sekat 21s= 0
Memasuki kitaran VII( Sekat 22)
i = k+1 = 2+1 = 3; n = 3; s = s + a ki x i = 0 + a 23 x 3 = −20/6 1 = −20/6.
Keluar daripada kitaran VII Sekat 24 setiap kitaranVI:
k = 2; x 2 = (b k–s)/ a nn = (b 2 – s)/ a 22 = (–20/6 +20/6)/a 22 = 0.
k=k–1 = 2–1 = 1;
i = k + 1 = 2; s = 0 + a 12 x 2 = 5 0 = 0;
i = k + 1 = 3; s = 0 + a 13 x 3 = 8 1 = 8;
x 1 = (b 1 –s)/ a 11 = (14 – 8) / 6 = 1.
Keluar dari kitaran terakhir VII.
DALAM Sekat 25 (kitaran ditinggalkan) penyelesaian yang terhasil bagi vektor SLAE - dipaparkan pada skrin 
mereka. x i ,i=1, ...,n. Dalam kes kami (1; 0; 1).
Mari kita pertimbangkan salah satu kaedah yang paling biasa untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear - kaedah Gauss. Kaedah ini (juga dipanggil kaedah penghapusan berurutan yang tidak diketahui) telah diketahui dalam pelbagai versi selama lebih daripada 2000 tahun.
Pengiraan menggunakan kaedah Gaussian terdiri daripada dua langkah utama, dipanggil perjalanan ke hadapan dan perjalanan ke belakang (penggantian ke belakang). Pendekatan langsung kaedah Gauss terdiri daripada menghapuskan yang tidak diketahui secara berurutan daripada sistem (5.1) untuk mengubahnya kepada sistem yang setara dengan matriks segi tiga atas. Pengiraan nilai yang tidak diketahui dijalankan pada peringkat terbalik.
1. Skim satu bahagian.
Mari kita pertimbangkan dahulu versi paling mudah bagi kaedah Gaussian, yang dipanggil skema pembahagian tunggal.
Langkah ke hadapan terdiri daripada langkah penyingkiran.
langkah pertama. Tujuan langkah ini adalah untuk menghapuskan yang tidak diketahui daripada persamaan dengan nombor Katakan bahawa pekali Kami akan memanggilnya elemen utama (atau mendahului) langkah pertama.
Mari cari kuantiti
dipanggil pengganda langkah pertama. Mari kita tolak secara berurutan daripada persamaan kedua, ketiga, sistem (5.1) persamaan pertama, didarab dengan masing-masing Ini akan membolehkan kita bertukar menjadi
pekali sifar dalam semua persamaan kecuali yang pertama. Akibatnya, kami memperoleh sistem yang setara
di mana ia dikira menggunakan formula
langkah ke-2. Tujuan langkah ini adalah untuk menghapuskan yang tidak diketahui daripada persamaan dengan nombor Biarkan di mana pekali dipanggil elemen utama (atau mendahului) langkah. Mari kita mengira faktor langkah ke-2
dan tolak secara berurutan daripada persamaan ketiga, keempat, sistem (5.30) persamaan kedua, masing-masing didarab dengan . Akibatnya, kami memperoleh sistem
Di sini pekali dikira menggunakan formula
Langkah-langkah yang selebihnya dilakukan dengan cara yang sama. Mari kita huraikan langkah seterusnya.
langkah kth. Dengan mengandaikan bahawa elemen utama (terutama) langkah adalah bukan sifar, kami mengira pengganda langkah
dan tolak secara berurutan daripada persamaan sistem yang diperoleh pada langkah sebelumnya persamaan didarab dengan
Selepas langkah penyingkiran kita memperoleh sistem persamaan
yang matriksnya adalah segi tiga atas. Ini melengkapkan pengiraan hadapan.
Pergerakan terbalik. Daripada persamaan terakhir sistem (5.33) kita dapati Menggantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan kedua-dua, kita memperolehi penggantian terbalik, kemudian kita mencari secara berturut-turut di sini menggunakan formula
Kerumitan kaedah. Mari kita anggarkan bilangan operasi aritmetik yang diperlukan untuk melaksanakan skema pembahagian tunggal.
Pengiraan langkah pertama penghapusan mengikut formula (5.29), (5.31) memerlukan pembahagian, pendaraban dan penolakan, iaitu jumlah bilangan operasi aritmetik adalah Begitu juga, operasi diperlukan pada langkah, dan operasi pada langkah.
Sekarang mari kita kira kira-kira jumlah operasi aritmetik ke hadapan, dengan mengambil kira dimensi sistem adalah cukup besar:
Seperti yang mudah dilihat, untuk melaksanakan lejang songsang mengikut formula (5.34) anda memerlukan sejumlah operasi, yang mana untuk operasi besar boleh diabaikan berbanding dengan bilangan operasi lejang hadapan.
Oleh itu, untuk melaksanakan kaedah Gaussian, kira-kira operasi aritmetik diperlukan, dan majoriti besar operasi ini dilakukan pada peringkat hadapan.
Contoh 5.7. Menggunakan kaedah Gaussian kami menyelesaikan sistem
Pergerakan langsung. langkah pertama. Mari kita hitung faktor Menolak daripada persamaan kedua, ketiga dan keempat sistem (5.35) persamaan pertama didarab dengan, masing-masing, kita dapat.
langkah ke-2. Mari kita hitung faktor Menolak daripada persamaan ketiga dan keempat sistem (5.36) persamaan kedua didarab dengan, masing-masing, kita tiba di sistem.
langkah ke-3. Dengan mengira faktor dan menolak daripada persamaan keempat sistem (5.37) persamaan ketiga didarab dengan kita mengurangkan sistem kepada bentuk segi tiga:
Pergerakan terbalik. Daripada persamaan terakhir sistem kita dapati dengan menggantikan nilai ke dalam persamaan ketiga, kita dapati
Keputusan pengiraan boleh diringkaskan dalam jadual berikut.
Jadual 5.2 (lihat imbasan)
Keperluan untuk memilih elemen utama. Ambil perhatian bahawa pengiraan faktor, serta penggantian terbalik, memerlukan pembahagian dengan elemen utama Oleh itu, jika salah satu elemen utama adalah sama dengan sifar, maka skema pembahagian tunggal tidak boleh dilaksanakan. Akal sehat menentukan bahawa dalam keadaan di mana semua elemen utama berbeza daripada sifar, tetapi di antara mereka terdapat yang hampir kepada sifar, peningkatan kesilapan yang tidak terkawal adalah mungkin.
Contoh 5.8. Menggunakan kaedah Gauss, kami menyelesaikan sistem persamaan
pada komputer perpuluhan -bit.
Pergerakan langsung. langkah pertama. Kami mengira faktor dan mengubah sistem kepada bentuk
Semua pengiraan dalam langkah ini dilakukan tanpa pembundaran.
langkah ke-2. Selepas mengira pengganda, persamaan terakhir sistem mesti ditukar kepada bentuk di mana Walau bagaimanapun, pada komputer yang digunakan, persamaan akan diperolehi
Sesungguhnya, pekali ditentukan dengan tepat, kerana apabila mengiranya, tidak ada nombor yang mantissasnya mempunyai lebih daripada 6 digit. Pada masa yang sama, apabila mengira, mendarab pekali 3.0001 dengan memberikan nombor 7 digit 105003.5, selepas dibundarkan kepada 6 digit hasilnya ialah 105004. Pengiraan 62) diselesaikan dengan melakukan operasi tolak: . Selepas membundarkan nombor terakhir kepada 6 digit mantissa, kita sampai pada persamaan (5.41).
Pergerakan terbalik. Daripada persamaan (5.41) kita juga dapati 1.00001. Perbandingan dengan nilai sebenar menunjukkan nilai ini diperolehi dengan ketepatan yang sangat tinggi untuk komputer yang digunakan. Pengiraan lanjut memberi
Selepas pembundaran kita ada .
Seperti yang mudah dilihat, nilai yang ditemui dari yang tidak diketahui mempunyai sedikit persamaan dengan nilai sebenar penyelesaian
Apakah sebab ralat yang begitu ketara? Tidak perlu bercakap tentang pengumpulan ralat pembundaran, kerana sejumlah 28 operasi aritmetik telah dilakukan dan hanya dalam 4 kes pembundaran diperlukan. Andaian bahawa sistem berhawa dingin tidak disahkan; pengiraan memberikan nilai dan 100.
Pada hakikatnya, sebabnya ialah penggunaan elemen utama yang kecil dalam langkah Akibatnya adalah penampilan yang besar
pengganda dan peningkatan ketara dalam pekali dalam persamaan terakhir sistem.
Oleh itu, versi kaedah Gauss (skim pembahagian tunggal) di atas ternyata tidak betul dan, oleh itu, tidak sesuai untuk pengiraan komputer. Kaedah ini boleh menyebabkan hentian kecemasan (jika atas sebab tertentu dan pengiraan yang menggunakannya mungkin menjadi tidak stabil.
2. Kaedah Gaussian dengan pemilihan elemen utama mengikut lajur (skim pemilihan separa).
Penerangan kaedah. Pada langkah ke hadapan, pekali persamaan sistem dengan nombor ditukar mengikut formula
Secara intuitif jelas bahawa untuk mengelakkan peningkatan yang kuat dalam pekali sistem dan ralat yang berkaitan, pengganda besar tidak seharusnya dibenarkan muncul
Dalam kaedah Gaussian dengan pemilihan elemen utama mengikut lajur, ia dijamin bahawa untuk semua k Perbezaan antara versi kaedah Gaussian ini dan skema pembahagian tunggal ialah pada langkah penyingkiran pekali a, yang mempunyai maksimum. nilai mutlak, dipilih sebagai elemen utama. untuk yang tidak diketahui dalam persamaan dengan nombor Kemudian persamaan dengan nombor yang sepadan dengan pekali yang dipilih ditukar dengan persamaan sistem supaya elemen utama mengambil tempat pekali
Selepas pilih atur ini, pengecualian yang tidak diketahui dijalankan, seperti dalam skema pembahagian tunggal.
Contoh 5.9. Mari kita selesaikan sistem persamaan (5.39) menggunakan kaedah Gaussian dengan pemilihan elemen utama mengikut lajur pada komputer perpuluhan -bit.
Pergerakan langsung. langkah pertama. Elemen maksimum matriks dalam lajur pertama berada di baris pertama, jadi penyusunan semula persamaan tidak perlu. Di sini langkah pertama dijalankan sama seperti dalam contoh 5.8.
langkah ke-2. Antara unsur-unsur matriks sistem (5.40), yang maksimum tergolong dalam persamaan ketiga. Menukar persamaan kedua dan ketiga, kami memperoleh sistem
Selepas pengiraan, persamaan terakhir sistem ditukar kepada bentuk
Pergerakan terbalik. Daripada persamaan terakhir kita dapati Selanjutnya, kita ada Dalam kes ini, jawapannya ternyata tepat.
Ambil perhatian bahawa kerja tambahan untuk memilih elemen utama dalam skema pemilihan separa memerlukan urutan tindakan, yang secara praktikalnya tidak menjejaskan kerumitan keseluruhan kaedah.
Kestabilan pengiraan skim pemilihan separa. Kajian terperinci tentang kaedah Gauss menunjukkan bahawa sebab sebenar ketidakstabilan skema pembahagian tunggal adalah kemungkinan pertumbuhan tanpa had unsur-unsur matriks perantaraan dalam proses gerakan ke hadapan. Memandangkan pada langkah 1 skim pemilihan separa, anggaran berikut adalah sah untuk elemen yang dikira menggunakan formula (5.42): Oleh itu, nilai mutlak maksimum unsur matriks meningkat pada satu langkah tidak lebih daripada 2 kali ganda dan paling tidak menguntungkan. kes, langkah ke hadapan akan memberikan pekali pertumbuhan
Jaminan bahawa pertumbuhan unsur matriks adalah terhad menjadikan skim pemilihan separa stabil dari segi pengiraan. Selain itu, anggaran ralat berikut ternyata sah untuknya:
Berikut ialah penyelesaian berkomputer komputer kepada sistem; kesilapan relatifnya; nombor keadaan matriks em - epsilon mesin; akhirnya, beberapa fungsi berkembang secara perlahan bergantung pada susunan sistem (seperti fungsi kuasa dengan eksponen kecil), pekali pertumbuhan.
Kehadiran pengganda dalam anggaran (5.43) menunjukkan bahawa, jika besar, skim pilihan separa mungkin berubah menjadi tidak bersyarat dan kehilangan ketepatan yang ketara adalah mungkin. Walau bagaimanapun, amalan pengiraan matriks menunjukkan bahawa pertumbuhan unsur matriks yang ketara jarang berlaku. Dalam kebanyakan kes, nilai sebenar pekali pertumbuhan tidak melebihi 8-10. Sekiranya sistem dikondisikan dengan baik, maka ralat penyelesaian yang dikira adalah, sebagai peraturan, kecil.
Kadangkala untuk menyemak kualiti penyelesaian anggaran x
Mereka mengira percanggahan dan cuba menilai tahap kedekatan penyelesaian anggaran dengan penyelesaian yang tepat dengan seberapa kecil percanggahan itu. Kaedah ini tidak boleh dipercayai berkenaan dengan skim pilihan separa, kerana diketahui bahawa ia dijamin memberikan kegagalan kecil. Lebih tepat lagi, kenyataan ini boleh dirumuskan seperti berikut: anggaran adalah adil
di mana adalah sama seperti dalam anggaran (5.43). Ambil perhatian bahawa ketaksamaan (5.44) tidak termasuk nombor syarat.
3. Kaedah Gaussian dengan sampel elemen utama di seluruh matriks (skim pemilihan penuh).
Skim ini membenarkan pelanggaran peraturan semula jadi untuk menghapuskan perkara yang tidak diketahui.
Pada langkah pertama kaedah, antara elemen, unsur dengan nilai mutlak maksimum ditentukan Persamaan pertama sistem dan persamaan dengan nombor ditukar. Seterusnya, x yang tidak diketahui dikecualikan secara standard daripada semua persamaan kecuali yang pertama. (yang jauh lebih rendah daripada nilai yang sepadan untuk skim pemilihan separa). Kami menekankan bahawa matriks masih belum ditemui yang mana pilihan yang lengkap akan memberikan nilai Oleh itu, untuk sistem yang dikondisikan dengan baik, versi kaedah Gaussian ini dikondisikan dengan baik.
Walau bagaimanapun, jaminan syarat yang baik dicapai di sini dengan kos kos yang ketara untuk pemilihan elemen utama. Untuk melakukan ini, sebagai tambahan kepada operasi aritmetik, adalah perlu untuk melakukan kira-kira operasi perbandingan, yang boleh melambatkan proses menyelesaikan masalah pada komputer dengan ketara. Oleh itu, dalam kebanyakan kes, dalam amalan, keutamaan masih diberikan kepada skim pilihan separa. Seperti yang telah dinyatakan, situasi di mana peningkatan ketara dalam unsur berlaku apabila menggunakan versi kaedah Gaussian ini amat jarang berlaku. Selain itu, situasi ini boleh dikenal pasti dengan mudah menggunakan kaedah yang berkesan untuk memantau pertumbuhan elemen matriks yang tertanam dalam program moden.
4. Kes apabila pemilihan elemen utama tidak diperlukan.
Adalah diketahui bahawa untuk beberapa kelas matriks, apabila menggunakan skema pembahagian tunggal, elemen utama dijamin terletak pada pepenjuru utama dan oleh itu tidak perlu menggunakan pemilihan separa. Ini berlaku, sebagai contoh, untuk sistem dengan matriks pasti positif, dan juga untuk matriks dengan sifat dominasi pepenjuru berikut:
Matriks yang memenuhi syarat (5.45) adalah sedemikian rupa sehingga dalam setiap baris modulus unsur yang terletak pada pepenjuru utama adalah lebih besar daripada jumlah moduli semua unsur baris yang lain.
5. Penskalaan.
Sebelum memulakan penyelesaian, adalah dinasihatkan untuk menskalakan sistem supaya pekalinya berada pada urutan perpaduan.
Terdapat dua cara semula jadi untuk menskalakan sistem Yang pertama adalah untuk mendarab setiap persamaan dengan beberapa faktor penskalaan. menukar unit ukuran). Dalam situasi kehidupan sebenar, paling kerap penskalaan boleh dicapai tanpa kesukaran yang ketara. Walau bagaimanapun, kami menekankan bahawa dalam kes umum kaedah penskalaan yang memuaskan masih belum ditemui.
Dalam amalan, penskalaan biasanya dilakukan dengan membahagikan setiap persamaan dengan pekali terbesar dalam magnitud. Ini adalah kaedah yang benar-benar memuaskan untuk kebanyakan masalah kehidupan sebenar.
Salah satu cara paling mudah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ialah teknik berdasarkan pengiraan penentu ( Peraturan Cramer). Kelebihannya ialah ia membolehkan anda merekodkan penyelesaian dengan segera, terutamanya dalam kes di mana pekali sistem bukan nombor, tetapi beberapa parameter. Kelemahannya ialah kerumitan pengiraan dalam kes sejumlah besar persamaan, lebih-lebih lagi, peraturan Cramer tidak terpakai secara langsung kepada sistem di mana bilangan persamaan tidak bertepatan dengan bilangan yang tidak diketahui. Dalam kes sedemikian, ia biasanya digunakan Kaedah Gaussian.
Sistem persamaan linear yang mempunyai set penyelesaian yang sama dipanggil bersamaan. Jelas sekali, set penyelesaian sistem linear tidak akan berubah jika mana-mana persamaan ditukar, atau jika salah satu persamaan didarab dengan beberapa nombor bukan sifar, atau jika satu persamaan ditambah kepada persamaan yang lain.
Kaedah Gauss (kaedah penghapusan berurutan yang tidak diketahui) ialah dengan bantuan transformasi asas sistem dikurangkan kepada sistem yang setara dengan jenis langkah. Pertama, menggunakan persamaan 1, kita hapuskan x 1 daripada semua persamaan sistem berikutnya. Kemudian, menggunakan persamaan ke-2, kita hapuskan x 2 daripada persamaan ke-3 dan semua persamaan seterusnya. Proses ini, dipanggil kaedah Gaussian langsung, berterusan sehingga hanya tinggal satu yang tidak diketahui di sebelah kiri persamaan terakhir x n. Selepas ini selesai songsang kaedah Gaussian– menyelesaikan persamaan terakhir, kita dapati x n; selepas itu, menggunakan nilai ini, daripada persamaan kedua-dua kita mengira x n–1, dsb. Kami mencari yang terakhir x 1 daripada persamaan pertama.
Adalah mudah untuk menjalankan transformasi Gaussian dengan melakukan transformasi bukan dengan persamaan itu sendiri, tetapi dengan matriks pekalinya. Pertimbangkan matriks:
dipanggil matriks lanjutan sistem, kerana, sebagai tambahan kepada matriks utama sistem, ia termasuk lajur istilah bebas. Kaedah Gaussian adalah berdasarkan kepada mengurangkan matriks utama sistem kepada bentuk segi tiga (atau bentuk trapezoid dalam kes sistem bukan segi empat sama) menggunakan transformasi baris asas (!) bagi matriks lanjutan sistem.
Contoh 5.1. Selesaikan sistem menggunakan kaedah Gaussian:
Penyelesaian. Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan baris pertama, selepas itu kita akan menetapkan semula elemen yang tinggal:
kita mendapat sifar dalam baris ke-2, ke-3 dan ke-4 lajur pertama:
Sekarang kita memerlukan semua elemen dalam lajur kedua di bawah baris ke-2 untuk sama dengan sifar. Untuk melakukan ini, anda boleh mendarabkan baris kedua dengan –4/7 dan menambahnya pada baris ke-3. Walau bagaimanapun, untuk tidak berurusan dengan pecahan, mari kita buat unit di baris ke-2 lajur kedua dan hanya
Sekarang, untuk mendapatkan matriks segi tiga, anda perlu menetapkan semula elemen baris keempat lajur ke-3 untuk melakukan ini, anda boleh mendarabkan baris ketiga dengan 8/54 dan menambahnya kepada yang keempat. Walau bagaimanapun, untuk tidak berurusan dengan pecahan, kami akan menukar baris ke-3 dan ke-4 serta lajur ke-3 dan ke-4 dan hanya selepas itu kami akan menetapkan semula elemen yang ditentukan. Ambil perhatian bahawa apabila menyusun semula lajur, pembolehubah yang sepadan bertukar tempat dan ini mesti diingat; transformasi asas lain dengan lajur (penambahan dan pendaraban dengan nombor) tidak boleh dilakukan!
Matriks ringkas terakhir sepadan dengan sistem persamaan yang setara dengan yang asal:
Dari sini, menggunakan songsangan kaedah Gaussian, kita dapati daripada persamaan keempat x 3 = –1; daripada yang ketiga x 4 = –2, daripada yang kedua x 2 = 2 dan daripada persamaan pertama x 1 = 1. Dalam bentuk matriks, jawapan ditulis sebagai
Kami mempertimbangkan kes apabila sistem adalah pasti, i.e. apabila hanya ada satu penyelesaian. Mari lihat apa yang berlaku jika sistem tidak konsisten atau tidak pasti.
Contoh 5.2. Terokai sistem menggunakan kaedah Gaussian:
Penyelesaian. Kami menulis dan mengubah matriks lanjutan sistem
Kami menulis sistem persamaan yang dipermudahkan:
Di sini, dalam persamaan terakhir ternyata 0=4, i.e. percanggahan. Akibatnya, sistem tidak mempunyai penyelesaian, i.e. dia tidak serasi. à
Contoh 5.3. Teroka dan selesaikan sistem menggunakan kaedah Gaussian:
Penyelesaian. Kami menulis dan mengubah matriks lanjutan sistem:
Hasil daripada transformasi, baris terakhir hanya mengandungi sifar. Ini bermakna bilangan persamaan telah berkurangan sebanyak satu:
Oleh itu, selepas pemudahan, terdapat dua persamaan yang tinggal, dan empat yang tidak diketahui, i.e. dua "tambahan" yang tidak diketahui. Biarkan mereka "berlebihan", atau, seperti yang mereka katakan, pembolehubah bebas, akan x 3 dan x 4 . Kemudian
Percaya x 3 = 2a Dan x 4 = b, kita mendapatkan x 2 = 1–a Dan x 1 = 2b–a; atau dalam bentuk matriks
Penyelesaian yang ditulis dengan cara ini dipanggil umum, kerana, memberikan parameter a Dan b nilai yang berbeza, semua kemungkinan penyelesaian sistem boleh diterangkan. a
Kaedah Gauss sesuai untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear (SLAE). Ia mempunyai beberapa kelebihan berbanding kaedah lain:
- pertama, tidak perlu terlebih dahulu memeriksa sistem persamaan untuk ketekalan;
- kedua, kaedah Gauss boleh menyelesaikan bukan sahaja SLAE di mana bilangan persamaan bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan matriks utama sistem adalah bukan tunggal, tetapi juga sistem persamaan di mana bilangan persamaan tidak bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui atau penentu matriks utama adalah sama dengan sifar;
- ketiga, kaedah Gaussian membawa kepada keputusan dengan bilangan operasi pengiraan yang agak kecil.
Gambaran ringkas artikel.
Pertama, kami memberikan definisi yang diperlukan dan memperkenalkan notasi.
Seterusnya, kami akan menerangkan algoritma kaedah Gauss untuk kes paling mudah, iaitu, untuk sistem persamaan algebra linear, bilangan persamaan yang bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan penentu matriks utama sistem ialah tidak sama dengan sifar. Apabila menyelesaikan sistem persamaan sedemikian, intipati kaedah Gauss paling jelas kelihatan, iaitu penghapusan berurutan bagi pembolehubah yang tidak diketahui. Oleh itu, kaedah Gaussian juga dipanggil kaedah penghapusan berurutan yang tidak diketahui. Kami akan menunjukkan penyelesaian terperinci beberapa contoh.
Sebagai kesimpulan, kami akan mempertimbangkan penyelesaian dengan kaedah Gauss bagi sistem persamaan algebra linear, matriks utamanya sama ada segi empat tepat atau tunggal. Penyelesaian kepada sistem sedemikian mempunyai beberapa ciri, yang akan kami periksa secara terperinci menggunakan contoh.
Navigasi halaman.
Definisi dan tatatanda asas.
Pertimbangkan sistem persamaan linear p dengan n tidak diketahui (p boleh sama dengan n):
Di mana pembolehubah yang tidak diketahui, adalah nombor (nyata atau kompleks), dan merupakan istilah bebas.
Jika 
, maka sistem persamaan algebra linear dipanggil homogen, jika tidak - heterogen.
Set nilai pembolehubah yang tidak diketahui yang mana semua persamaan sistem menjadi identiti dipanggil keputusan SLAU.
Jika terdapat sekurang-kurangnya satu penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear, maka ia dipanggil sendi, jika tidak - tidak serasi.
Jika SLAE mempunyai penyelesaian yang unik, maka ia dipanggil pasti. Jika terdapat lebih daripada satu penyelesaian, maka sistem itu dipanggil tidak pasti.
Mereka mengatakan bahawa sistem itu ditulis dalam borang koordinat, jika ia mempunyai borang
.
Sistem ini dalam bentuk matriks rekod mempunyai borang di mana 
- matriks utama SLAE, - matriks lajur pembolehubah yang tidak diketahui, - matriks sebutan bebas.
Jika kita menambah lajur matriks sebutan bebas kepada matriks A sebagai lajur (n+1), kita mendapat apa yang dipanggil matriks lanjutan sistem persamaan linear. Biasanya, matriks lanjutan dilambangkan dengan huruf T, dan lajur istilah bebas dipisahkan oleh garis menegak dari lajur yang tinggal, iaitu, 
Matriks persegi A dipanggil merosot, jika penentunya ialah sifar. Jika , maka matriks A dipanggil tidak merosot.
Perkara berikut perlu diambil perhatian.
Jika anda melakukan tindakan berikut dengan sistem persamaan algebra linear
- menukar dua persamaan,
- darab kedua-dua belah mana-mana persamaan dengan nombor nyata (atau kompleks) sembarangan dan bukan sifar k,
- kepada kedua-dua belah mana-mana persamaan tambah bahagian yang sepadan bagi persamaan lain, didarab dengan nombor arbitrari k,
maka anda mendapat sistem yang setara yang mempunyai penyelesaian yang sama (atau, seperti yang asal, tidak mempunyai penyelesaian).
Untuk matriks lanjutan sistem persamaan algebra linear, tindakan ini bermakna menjalankan transformasi asas dengan baris:
- bertukar dua baris,
- mendarab semua unsur mana-mana baris matriks T dengan nombor bukan sifar k,
- menambah unsur-unsur mana-mana baris matriks unsur sepadan baris lain, didarab dengan nombor arbitrari k.
Sekarang kita boleh meneruskan penerangan kaedah Gauss.
Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear, di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui dan matriks utama sistem adalah bukan tunggal, menggunakan kaedah Gauss.
Apakah yang akan kita lakukan di sekolah jika kita diberi tugas untuk mencari penyelesaian kepada sistem persamaan? 
.
Ada yang akan berbuat demikian.
Ambil perhatian bahawa dengan menambah sebelah kiri yang pertama ke sebelah kiri persamaan kedua, dan sebelah kanan ke sebelah kanan, anda boleh menyingkirkan pembolehubah yang tidak diketahui x 2 dan x 3 dan segera mencari x 1: 
Kami menggantikan nilai yang ditemui x 1 =1 ke dalam persamaan pertama dan ketiga sistem: 
Jika kita mendarab kedua-dua belah persamaan ketiga sistem dengan -1 dan menambahnya ke bahagian yang sepadan dengan persamaan pertama, kita menyingkirkan pembolehubah yang tidak diketahui x 3 dan boleh mencari x 2: 
Kami menggantikan nilai yang terhasil x 2 = 2 ke dalam persamaan ketiga dan cari pembolehubah tidak diketahui yang tinggal x 3: 
Orang lain akan melakukan secara berbeza.
Mari kita selesaikan persamaan pertama sistem berkenaan dengan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 dan gantikan ungkapan yang terhasil ke dalam persamaan kedua dan ketiga sistem untuk mengecualikan pembolehubah ini daripadanya: 
Sekarang mari kita selesaikan persamaan kedua sistem untuk x 2 dan gantikan hasil yang diperoleh ke dalam persamaan ketiga untuk menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui x 2 daripadanya: 
Daripada persamaan ketiga sistem itu jelas bahawa x 3 =3. Daripada persamaan kedua kita dapati 
, dan daripada persamaan pertama kita dapat .
Penyelesaian biasa, bukan?
Perkara yang paling menarik di sini ialah kaedah penyelesaian kedua pada asasnya ialah kaedah penghapusan berurutan yang tidak diketahui, iaitu kaedah Gaussian. Apabila kami menyatakan pembolehubah yang tidak diketahui (pertama x 1, pada peringkat seterusnya x 2) dan menggantikannya ke dalam persamaan sistem yang tinggal, kami dengan itu mengecualikan mereka. Kami menjalankan penyingkiran sehingga hanya tinggal satu pembolehubah yang tidak diketahui dalam persamaan terakhir. Proses menghapuskan yang tidak diketahui secara berurutan dipanggil kaedah Gaussian langsung. Selepas melengkapkan langkah ke hadapan, kita mempunyai peluang untuk mengira pembolehubah tidak diketahui yang terdapat dalam persamaan terakhir. Dengan bantuannya, kita mencari pembolehubah yang tidak diketahui seterusnya daripada persamaan kedua, dan seterusnya. Proses mencari pembolehubah yang tidak diketahui secara berurutan semasa bergerak dari persamaan terakhir kepada yang pertama dipanggil songsang kaedah Gaussian.
Perlu diingat bahawa apabila kita menyatakan x 1 dalam sebutan x 2 dan x 3 dalam persamaan pertama, dan kemudian menggantikan ungkapan yang terhasil ke dalam persamaan kedua dan ketiga, tindakan berikut membawa kepada keputusan yang sama:
Malah, prosedur sedemikian juga memungkinkan untuk menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 daripada persamaan kedua dan ketiga sistem: 
Nuansa dengan penghapusan pembolehubah yang tidak diketahui menggunakan kaedah Gaussian timbul apabila persamaan sistem tidak mengandungi beberapa pembolehubah.
Sebagai contoh, dalam SLAU 
dalam persamaan pertama tiada pembolehubah yang tidak diketahui x 1 (dengan kata lain, pekali di hadapannya ialah sifar). Oleh itu, kita tidak boleh menyelesaikan persamaan pertama sistem untuk x 1 untuk menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui ini daripada persamaan yang tinggal. Jalan keluar dari situasi ini adalah dengan menukar persamaan sistem. Oleh kerana kita sedang mempertimbangkan sistem persamaan linear yang penentu matriks utamanya berbeza daripada sifar, sentiasa ada persamaan di mana pembolehubah yang kita perlukan hadir, dan kita boleh menyusun semula persamaan ini kepada kedudukan yang kita perlukan. Untuk contoh kami, sudah cukup untuk menukar persamaan pertama dan kedua sistem 
, maka anda boleh menyelesaikan persamaan pertama untuk x 1 dan mengecualikannya daripada baki persamaan sistem (walaupun x 1 tidak lagi terdapat dalam persamaan kedua).
Kami harap anda mendapat intipatinya.
Mari kita huraikan Algoritma kaedah Gaussian.
Katakan kita perlu menyelesaikan sistem n persamaan algebra linear dengan n pembolehubah bentuk yang tidak diketahui 
, dan biarkan penentu matriks utamanya berbeza daripada sifar.
Kita akan menganggap bahawa , kerana kita sentiasa boleh mencapai ini dengan menukar persamaan sistem. Mari kita hapuskan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 daripada semua persamaan sistem, bermula dengan yang kedua. Untuk melakukan ini, kepada persamaan kedua sistem kita menambah yang pertama, didarab dengan , kepada persamaan ketiga kita menambah yang pertama, didarab dengan , dan seterusnya, ke persamaan ke-n kita menambah yang pertama, didarab dengan . Sistem persamaan selepas penjelmaan sedemikian akan mengambil bentuk 
di mana dan 
.
Kami akan mencapai keputusan yang sama jika kami telah menyatakan x 1 dari segi pembolehubah lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan menggantikan ungkapan yang terhasil ke dalam semua persamaan lain. Oleh itu, pembolehubah x 1 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari yang kedua.
Seterusnya, kami meneruskan dengan cara yang sama, tetapi hanya dengan sebahagian daripada sistem yang terhasil, yang ditandakan dalam rajah 
Untuk melakukan ini, kepada persamaan ketiga sistem kita menambah kedua, didarab dengan , kepada persamaan keempat kita menambah kedua, didarab dengan , dan seterusnya, ke persamaan ke-n kita menambah kedua, didarab dengan . Sistem persamaan selepas penjelmaan sedemikian akan mengambil bentuk 
di mana dan 
. Oleh itu, pembolehubah x 2 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari yang ketiga.
Seterusnya, kami meneruskan untuk menghapuskan x 3 yang tidak diketahui, sementara kami bertindak sama dengan bahagian sistem yang ditandakan dalam rajah 
Jadi kami meneruskan perkembangan langsung kaedah Gaussian sehingga sistem mengambil bentuk 
Dari saat ini kita mulakan kebalikan kaedah Gaussian: kita mengira x n daripada persamaan terakhir sebagai , menggunakan nilai yang diperolehi x n kita dapati x n-1 daripada persamaan kedua, dan seterusnya, kita dapati x 1 daripada persamaan pertama .
Mari kita lihat algoritma menggunakan contoh.
Contoh.
Kaedah Gauss.
Penyelesaian.
Koefisien a 11 adalah bukan sifar, jadi mari kita teruskan ke janjang langsung kaedah Gaussian, iaitu, dengan mengecualikan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 daripada semua persamaan sistem kecuali yang pertama. Untuk melakukan ini, ke sisi kiri dan kanan persamaan kedua, ketiga dan keempat, tambahkan sisi kiri dan kanan persamaan pertama, masing-masing didarab dengan . 
Dan: 
Pembolehubah yang tidak diketahui x 1 telah dihapuskan, mari kita teruskan untuk menghapuskan x 2 . Di sebelah kiri dan kanan persamaan ketiga dan keempat sistem kita menambah sisi kiri dan kanan persamaan kedua, didarab dengan masing-masing 
Dan 
:
Untuk melengkapkan janjang hadapan kaedah Gaussian, kita perlu menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui x 3 daripada persamaan terakhir sistem. Mari kita tambah pada sisi kiri dan kanan persamaan keempat, masing-masing, sisi kiri dan kanan persamaan ketiga, didarab dengan 
:
Anda boleh memulakan sebaliknya kaedah Gaussian.
Daripada persamaan terakhir yang kita ada 
,
daripada persamaan ketiga kita dapat,
dari yang kedua,
daripada yang pertama.
Untuk menyemak, anda boleh menggantikan nilai yang diperoleh daripada pembolehubah yang tidak diketahui ke dalam sistem persamaan asal. Semua persamaan bertukar menjadi identiti, yang menunjukkan bahawa penyelesaian menggunakan kaedah Gauss ditemui dengan betul.
Jawapan:
Sekarang mari kita berikan penyelesaian kepada contoh yang sama menggunakan kaedah Gaussian dalam tatatanda matriks.
Contoh.
Cari penyelesaian kepada sistem persamaan Kaedah Gauss.
Penyelesaian.
Matriks lanjutan sistem mempunyai bentuk 
. Di bahagian atas setiap lajur adalah pembolehubah yang tidak diketahui yang sepadan dengan elemen matriks.
Pendekatan langsung kaedah Gaussian di sini melibatkan pengurangan matriks lanjutan sistem kepada bentuk trapezoid menggunakan transformasi asas. Proses ini serupa dengan penghapusan pembolehubah tidak diketahui yang kami lakukan dengan sistem dalam bentuk koordinat. Sekarang anda akan melihat ini.
Mari kita ubah matriks supaya semua elemen dalam lajur pertama, bermula dari kedua, menjadi sifar. Untuk melakukan ini, kepada unsur-unsur baris kedua, ketiga dan keempat kita menambah unsur-unsur yang sepadan bagi baris pertama didarab dengan , dan sewajarnya: 
Seterusnya, kami mengubah matriks yang terhasil supaya dalam lajur kedua semua elemen, bermula dari yang ketiga, menjadi sifar. Ini akan sepadan dengan menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui x 2 . Untuk melakukan ini, kepada elemen baris ketiga dan keempat kami menambah elemen yang sepadan dari baris pertama matriks, didarab dengan masing-masing Dan :
Ia kekal untuk mengecualikan pembolehubah yang tidak diketahui x 3 daripada persamaan terakhir sistem. Untuk melakukan ini, kepada unsur-unsur baris terakhir matriks yang terhasil kita menambah unsur-unsur yang sepadan dari baris kedua terakhir, didarab dengan :
Perlu diingatkan bahawa matriks ini sepadan dengan sistem persamaan linear 
yang diperoleh lebih awal selepas bergerak ke hadapan.
Sudah tiba masanya untuk berpatah balik. Dalam tatatanda matriks, songsangan kaedah Gaussian melibatkan mengubah matriks yang terhasil supaya matriks ditandakan dalam rajah. 
menjadi pepenjuru, iaitu, mengambil bentuk 
mana ada beberapa nombor.
Transformasi ini serupa dengan transformasi ke hadapan kaedah Gaussian, tetapi dilakukan bukan dari baris pertama hingga yang terakhir, tetapi dari yang terakhir hingga yang pertama.
Tambahkan pada elemen baris ketiga, kedua dan pertama elemen sepadan baris terakhir, didarab dengan 
, dan seterusnya 
masing-masing: 
Sekarang tambahkan pada elemen baris kedua dan pertama elemen yang sepadan bagi baris ketiga, masing-masing didarab dengan dan dengan: 
Pada langkah terakhir kaedah Gaussian terbalik, kepada unsur-unsur baris pertama kita menambah unsur-unsur yang sepadan bagi baris kedua, didarab dengan: 
Matriks yang terhasil sepadan dengan sistem persamaan 
, dari mana kita dapati pembolehubah yang tidak diketahui.
Jawapan:
CATATAN.
Apabila menggunakan kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear, pengiraan anggaran harus dielakkan, kerana ini boleh membawa kepada keputusan yang salah sama sekali. Kami mengesyorkan supaya tidak membundarkan perpuluhan. Adalah lebih baik untuk beralih daripada pecahan perpuluhan kepada pecahan biasa.
Contoh.
Selesaikan sistem tiga persamaan menggunakan kaedah Gauss 
.
Penyelesaian.
Ambil perhatian bahawa dalam contoh ini pembolehubah yang tidak diketahui mempunyai sebutan yang berbeza (bukan x 1, x 2, x 3, tetapi x, y, z). Mari kita beralih kepada pecahan biasa: 
Mari kita mengecualikan x yang tidak diketahui daripada persamaan kedua dan ketiga sistem: 
Dalam sistem yang terhasil, pembolehubah yang tidak diketahui y tiada dalam persamaan kedua, tetapi y hadir dalam persamaan ketiga, oleh itu, mari kita menukar persamaan kedua dan ketiga: 
Ini melengkapkan perkembangan langsung kaedah Gauss (tidak perlu mengecualikan y daripada persamaan ketiga, kerana pembolehubah yang tidak diketahui ini tidak lagi wujud).
Mari kita mulakan langkah terbalik.
Daripada persamaan terakhir kita dapati 
,
daripada yang terakhir 
daripada persamaan pertama yang kita ada 
Jawapan:
X = 10, y = 5, z = -20.
Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear di mana bilangan persamaan tidak bertepatan dengan bilangan yang tidak diketahui atau matriks utama sistem adalah tunggal, menggunakan kaedah Gauss.
Sistem persamaan, matriks utamanya adalah segi empat tepat atau persegi tunggal, mungkin tidak mempunyai penyelesaian, mungkin mempunyai penyelesaian tunggal, atau mungkin mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.
Sekarang kita akan memahami bagaimana kaedah Gauss membolehkan kita mewujudkan keserasian atau ketidakkonsistenan sistem persamaan linear, dan dalam kes keserasiannya, tentukan semua penyelesaian (atau satu penyelesaian tunggal).
Pada dasarnya, proses menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui dalam kes SLAE tersebut tetap sama. Walau bagaimanapun, adalah wajar untuk menerangkan secara terperinci tentang beberapa situasi yang mungkin timbul.
Mari kita beralih ke peringkat yang paling penting.
Jadi, mari kita anggap bahawa sistem persamaan algebra linear, selepas melengkapkan janjang hadapan kaedah Gauss, mengambil bentuk 
dan tiada satu persamaan pun dikurangkan kepada (dalam kes ini kita akan membuat kesimpulan bahawa sistem itu tidak serasi). Soalan logik timbul: "Apa yang perlu dilakukan seterusnya"?
Mari kita tuliskan pembolehubah yang tidak diketahui yang datang dahulu dalam semua persamaan sistem yang terhasil: 
Dalam contoh kami ini ialah x 1, x 4 dan x 5. Di sebelah kiri persamaan sistem kita hanya tinggalkan istilah yang mengandungi pembolehubah tidak diketahui bertulis x 1, x 4 dan x 5, sebutan yang selebihnya dipindahkan ke sebelah kanan persamaan dengan tanda yang bertentangan: 
Mari kita berikan pembolehubah yang tidak diketahui yang berada di sebelah kanan persamaan nilai arbitrari, di mana 
- nombor sewenang-wenangnya: 
Selepas ini, bahagian kanan semua persamaan SLAE kami mengandungi nombor dan kami boleh meneruskan ke belakang kaedah Gaussian.
Dari persamaan terakhir sistem yang kita ada, dari persamaan kedua terakhir yang kita dapati, dari persamaan pertama kita dapat 
Penyelesaian kepada sistem persamaan ialah satu set nilai pembolehubah yang tidak diketahui 
Memberi Nombor nilai yang berbeza, kita akan memperoleh penyelesaian yang berbeza kepada sistem persamaan. Iaitu, sistem persamaan kita mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.
Jawapan:
di mana - nombor sewenang-wenangnya.
Untuk menyatukan bahan, kami akan menganalisis secara terperinci penyelesaian beberapa lagi contoh.
Contoh.
Selesaikan sistem homogen persamaan algebra linear 
Kaedah Gauss.
Penyelesaian.
Mari kita mengecualikan pembolehubah yang tidak diketahui x daripada persamaan kedua dan ketiga sistem. Untuk melakukan ini, ke sisi kiri dan kanan persamaan kedua, kami menambah, masing-masing, sisi kiri dan kanan persamaan pertama, didarab dengan , dan ke sisi kiri dan kanan persamaan ketiga, kami menambah kiri dan sisi kanan persamaan pertama, didarab dengan: 
Sekarang mari kita mengecualikan y daripada persamaan ketiga sistem persamaan yang terhasil: 
SLAE yang terhasil adalah setara dengan sistem 
.
Kami meninggalkan di sebelah kiri persamaan sistem hanya istilah yang mengandungi pembolehubah yang tidak diketahui x dan y, dan gerakkan istilah dengan pembolehubah yang tidak diketahui z ke sebelah kanan: 