Методи за решавање на тригонометриски равенки

Вовед 2

Методи за решавање на тригонометриски равенки 5

Алгебарски 5

Решавање равенки со помош на условот за еднаквост на истоимените тригонометриски функции 7

Факторизација 8

Намалување на хомогена равенка 10

Воведување на помошен агол 11

Претворете го производот во збир 14

Универзална замена 14

Заклучок 17

Вовед

До десетто одделение, редоследот на дејствијата на многу вежби што водат до целта, по правило, е јасно дефиниран. На пример, линеарни и квадратни равенки и неравенки, фракциони равенкии равенки сведени на квадратни итн. Без детално испитување на принципот на решавање на секој од споменатите примери, ги забележуваме општите работи кои се неопходни за нивно успешно решавање.

Во повеќето случаи, треба да утврдите каков тип на задача е задачата, да се сеќавате на редоследот на дејства што водат до целта и да ги извршите овие дејства. Очигледно, успехот или неуспехот на студентот во совладување техники за решавање равенки зависи главно од тоа колку добро е во состојба правилно да го одреди типот на равенката и да ја запомни низата од сите фази на неговото решение. Секако, се претпоставува дека ученикот има вештини да врши идентични трансформации и пресметки.

Сосема поинаква ситуација се јавува кога ученикот ќе наиде на тригонометриски равенки. Покрај тоа, не е тешко да се утврди фактот дека равенката е тригонометриска. Потешкотии се јавуваат при наоѓање на редоследот на дејствијата што би довеле до позитивен резултат. И тука студентот се соочува со два проблеми. Од страна на изгледравенките тешко се одредуваат тип. И без да се знае типот, речиси е невозможно да се избере потребната формулаод неколку десетици достапни.

Да им помогне на учениците да најдат вистинскиот патво комплексен лавиринт од тригонометриски равенки, тие прво се воведуваат во равенки кои, по воведувањето на нова променлива, се сведуваат на квадратни равенки. Потоа решаваат хомогени равенки и оние што се сведуваат на нив. Сè завршува, како по правило, со равенки, за да се решат, неопходно е да се факторизира левата страна, а потоа да се изедначи секој од факторите на нула.

Сфаќајќи дека десетина и пол равенки дискутирани на лекциите очигледно не се доволни за да го наведат ученикот на независно патување низ тригонометриското „море“, наставникот додава уште неколку свои препораки.

За да решите тригонометриска равенка, треба да се обидете:

Доведете ги сите функции вклучени во равенката до „исти агли“;

Намалете ја равенката на „идентични функции“;

Факторирајте ја левата страна на равенката итн.

Но, и покрај тоа што ги знаат основните типови на тригонометриски равенки и неколку принципи за наоѓање на нивните решенија, многу студенти сè уште се наоѓаат запнати од секоја равенка што е малку поинаква од оние решени претходно. Останува нејасно кон што треба да се стремиме кога се има оваа или онаа равенка, зошто во еден случај е неопходно да се применат формулите двоен агол, во друга - половина, а во третата - формули за додавањеитн.

Дефиниција 1.Тригонометриска равенка е равенка во која непознатата е содржана под знакот на тригонометриски функции.

Дефиниција 2.Тие велат дека во тригонометриска равенка еднакви агли, ако сите тригонометриски функции вклучени во него имаат еднакви аргументи. За тригонометриската равенка се вели дека има идентични функции ако содржи само една од тригонометриските функции.

Дефиниција 3.Моќта на моном кој содржи тригонометриски функции е збирот на експонентите на моќите на тригонометриските функции вклучени во него.

Дефиниција 4.Равенката се нарекува хомогена ако сите мономи вклучени во неа имаат ист степен. Овој степен се нарекува редослед на равенката.

Дефиниција 5.Тригонометриска равенка која содржи само функции гревИ cos, се нарекува хомогена ако имаат сите мономи во однос на тригонометриските функции истиот степен, а и самите тригонометриски функции имаат еднакви аглии бројот на мономи на 1 повеќе редравенки

Методи за решавање на тригонометриски равенки.

Решавањето на тригонометриските равенки се состои од две фази: трансформирање на равенката за да се добие наједноставната форма и решавање на добиената наједноставна тригонометриска равенка. Постојат седум основни методи за решавање на тригонометриски равенки.

Јас. Алгебарски метод.Овој метод е добро познат од алгебрата. (Метод на замена и замена на променливата).

Решавајте равенки.

1)

Да ја воведеме ознаката x=2 грев3 т, добиваме

Решавајќи ја оваа равенка, добиваме:
или

тие. може да се запише

При снимање на добиеното решение поради присуството на знаци степен
нема смисла да се запишува.

Одговор:

Да означиме

Добиваме квадратна равенка
. Нејзините корени се броеви
И
. Затоа, оваа равенка се сведува на наједноставните тригонометриски равенки
И
. Решавајќи ги, го откриваме тоа
или
.

Одговор:
;
.

Да означиме

не го задоволува условот

Средства

Одговор:

Ајде да ја трансформираме левата страна на равенката:

Така, оваа почетна равенка може да се запише како:

, т.е.

Имајќи назначено
, добиваме
Решавајќи ја оваа квадратна равенка имаме:

не го задоволува условот

Го запишуваме решението на првобитната равенка:

Одговор:

Замена
ја намалува оваа равенка на квадратна равенка
. Нејзините корени се броеви
И
. Бидејќи
, Тоа дадена равенканема корени.

Одговор: нема корени.

II. Решавање равенки со помош на условот за еднаквост на истоимените тригонометриски функции.

А)
, Ако

б)
, Ако

V)
, Ако

Користејќи ги овие услови, размислете за решавање на следните равенки:

6)

Користејќи го кажаното во делот а) откриваме дека равенката има решение ако и само ако
.

Решавајќи ја оваа равенка, наоѓаме
.

Имаме две групи решенија:

.

7) Реши ја равенката:
.

Користејќи го условот од точка б) заклучуваме дека
.

Решавајќи ги овие квадратни равенки, добиваме:

.

8) Реши ја равенката
.

Од дадена равенказаклучуваме дека . Решавајќи ја оваа квадратна равенка, го наоѓаме тоа

.

III. Факторизација.

Овој метод го разгледуваме со примери.

9) Реши ја равенката
.

Решение. Да ги преместиме сите членови на равенката налево: .

Да го трансформираме и факторизираме изразот од левата страна на равенката:
.

.

.

1)
2)

Бидејќи
И
не ја прифаќајте вредноста нула

во исто време, потоа ги делиме двата дела

равенки за
,

Одговор:

10) Решете ја равенката:

Решение.

или

Одговор:

11) Реши ја равенката

Решение:

1)
2)
3)

,

Одговор:

IV. Намалување на хомогена равенка.

Да се ​​реши хомогена равенканеопходно:

Поместете ги сите негови членови на левата страна;

Извадете го сето тоа заеднички факторинадвор од заградите;

Изедначете ги сите фактори и загради на нула;

Заградите еднакви на нула даваат хомогена равенка од помал степен, која треба да се подели со
(или
) во виш степен;

Решете ја добиената алгебарска равенка за
.

Ајде да погледнеме примери:

12) Реши ја равенката:

Решение.

Ајде да ги поделиме двете страни на равенката со
,

Воведување ознаки
, име

корените на оваа равенка:

па оттука 1)
2)

Одговор:

13) Решете ја равенката:

Решение. Користење на формули со двоен агол и основни тригонометриски идентитет, ја намалуваме оваа равенка на половина аргумент:

По намалувањето на сличните термини имаме:

Поделувајќи ја хомогената последна равенка со
, добиваме

ќе укажам
, добиваме квадратна равенка
, чии корени се броеви

Така

Изразување
оди на нула во
, т.е. на
,
.

Решението на равенката што ја добивме не ги вклучува овие бројки.

Одговор:
, .

В. Воведување на помошен агол.

Размислете за равенка на формата

Каде а, б, в- коефициенти, x- непознато.

Ајде да ги поделиме двете страни на оваа равенка со

Сега коефициентите на равенката имаат својства на синус и косинус, имено: модулот на секој од нив не надминува еден, а збирот на нивните квадрати е еднаков на 1.

Потоа можеме да ги назначиме соодветно
(Тука - помошен агол) и нашата равенка има форма: .

Потоа

И неговата одлука

Забележете дека воведените ознаки се меѓусебно заменливи.

14) Решете ја равенката:

Решение. Еве
, па ги делиме двете страни на равенката со

Одговор:

15) Реши ја равенката

Решение. Бидејќи
, тогаш оваа равенка е еквивалентна на равенката

Бидејќи
, тогаш постои агол таков што
,
(тие.
).

Ние имаме

Бидејќи
, тогаш конечно добиваме:

.

Забележете дека равенките на формата имаат решение ако и само ако

16) Решете ја равенката:

За да ја решиме оваа равенка, групираме тригонометриски функции со исти аргументи

Поделете ги двете страни на равенката со две

Ајде да го трансформираме збирот на тригонометриските функции во производ:

Одговор:

VI. Конвертирање на производ во сума.

Соодветните формули се користат овде.

17) Решете ја равенката:

Решение. Ајде да ја трансформираме левата страна во збир:

VII.Универзална замена.

,

овие формули се вистинити за секого

Замена
наречена универзална.

18) Решете ја равенката:

Решение: Замени и
на нивното изразување преку
и означуваат
.

Добиваме рационална равенка
, кој се претвора во квадрат
.

Корените на оваа равенка се броевите
.

Затоа, проблемот се сведе на решавање на две равенки
.

Го наоѓаме тоа
.

Прикажи ја вредноста
не ја задоволува оригиналната равенка, која се потврдува со проверка - замена на дадената вредност тво првобитната равенка.

Одговор:
.

Коментар. Равенката 18 можеше да се реши на друг начин.

Ајде да ги поделиме двете страни на оваа равенка со 5 (т.е. со
):
.

Бидејќи
, тогаш постои таков број
, Што
И
. Затоа, равенката има форма:
или
. Од тука го откриваме тоа
Каде
.

19) Реши ја равенката
.

Решение. Бидејќи функциите
И
имаат највисока вредност, еднакво на 1, тогаш нивниот збир е 2 ако
И
, истовремено, т.е
.

Одговор:
.

При решавањето на оваа равенка се користеше границата на функциите и.

Заклучок.

Кога работите на тема „Решавање тригонометриски равенки“, корисно е секој наставник да ги следи следните препораки:

Систематизирај методи за решавање тригонометриски равенки.

Изберете ги сами чекорите за да извршите анализа на равенката и знаците за препорачливоста за користење на одреден метод на решение.

Размислете за начини за самостојно следење на вашите активности при спроведувањето на методот.

Научете да составувате „свои“ равенки за секој од методите што се проучуваат.

Додаток бр.1

Решаваат хомогени или сведени на хомогени равенки.

1.	Реп.
	Реп.
	Реп.
5.	Реп.
	Реп.
7.	Реп.
	Реп.

Препис

1 I. V. Yakovlev Материјали за математика MathUs.ru Системи на тригонометриски равенки Во оваа статија ги разгледуваме тригонометриските системи на две равенки со две непознати. Ние веднаш ќе ги проучуваме методите за решавање на такви системи и разни специјални техники конкретни примери. Може да се случи една од равенките на системот да содржи тригонометриски функции на непознатите x и y, додека другата равенка е линеарна во x и y. Во овој случај, ние дејствуваме на очигледен начин: изразуваме една од непознатите од линеарна равенка и ја заменуваме со друга равенка на системот. Задача 1. Решете го системот: x + y =, sin x + sin y = 1. Решение. Од првата равенка го изразуваме y преку x: и ја заменуваме со втората равенка: y = x, sin x + sin x) = 1 sin x = 1 sin x = 1. Резултатот е наједноставната тригонометриска равенка за x. Неговите решенија ги запишуваме во форма на две серии: x 1 = 6 + n, x = n n Z). Останува да се најдат соодветните вредности на y: y 1 = x 1 = 5 6 n, y = x = 6 n. Како и секогаш со систем на равенки, одговорот е даден како листа на парови x; y). 6 + n; 5) 5 6 n, 6 + n;) 6 n, n Z. Забележете дека x и y се поврзани еден со друг преку целобројниот параметар n. Имено, ако +n се појавува во изразот за x, тогаш автоматски се појавува n во изразот за y и со истиот n. Ова е последица на „тврдата“ врска помеѓу x и y, дадена со равенката x + y =. Задача. Решете го системот: cos x + cos y = 1, x y =. Решение. Овде има смисла прво да се трансформира првата равенка на системот: 1 + cos x cos y = 1 cos x + cos y = 1 cosx + y) cosx y) = 1. 1

2 Така, нашиот систем е еквивалентен на следниот систем: cosx + y) cosx y) = 1, x y =. Заменете го x y = во првата равенка: cosx + y) cos = 1 cosx + y) = 1 x + y = n n Z). Како резултат на тоа, доаѓаме до системот: x + y = n, x y =. Ги собираме овие равенки, делиме со и наоѓаме x; одземете го вториот од првата равенка, делете со и најдете y: x = + n, y = + n n Z). +n; + n), n Z. Во некои случаи тригонометриски системможе да се сведе на систем од алгебарски равенки со соодветна промена на променливите. Задача. Решете го системот: sin x + cos y = 1, sin x cos y = 1. Решение. Замената u = sin x, v = cos y води до алгебарски систем за u и v: u + v = 1, u v = 1. Можете лесно да го решите овој систем сами. Решението е единствено: u = 1, v = 0. Обратната замена води до две наједноставни тригонометриски равенки: sin x = 1, cos y = 0, од ​​каде + k; + n), k, n Z. x = + k, y = + n k, n Z). Сега записот за одговор содржи два целобројни параметри k и n. За разлика од претходните задачие дека во овој систем не постои „цврста“ врска помеѓу x и y, на пример, во форма на линеарна равенка), затоа x и y се многу повеќе во поголема меранезависни еден од друг.

3 В во овој случајБи било грешка да се користи само еден целоброен параметар n, пишувајќи го одговорот како + n;) + n. Ова би довело до губење на бесконечен број од 5 решенија на системот. На пример, решението би се изгубило ;) што произлегува од k = 1 и n = 0. Задача 4. Решете го системот: sin x + sin y = 1, cos x + cos y =. Решение. Прво ја трансформираме втората равенка: 1 sin x + 1 sin y) = sin x + 4 sin y = 1. Сега ја правиме замената: u = sin x, v = sin y. Го добиваме системот: u + v = 1, u + 4v = 1. Решенијата на овој систем се два пара: u 1 = 0, v 1 = 1/ и u = /, v = 1/6. Останува само да се направи обратна замена: sin x = 0, sin x = sin y = 1 или, sin y = 1 6, и да се запише одговорот. k; 1) n 6 + n), 1) k arcsin + k; 1)n arcsin 16 + n), k, n Z. Задача 5. Решете го системот: cos x + cos y = 1, sin x sin y = 4. Решение. Овде, за да добиете алгебарски систем, треба да работите уште повеќе. Првата равенка на нашиот систем ја пишуваме во форма: Во втората равенка имаме: cos x + y cos x y = 1. = sin x sin y = cosx y) cosx + y) = = cos x y 1 Така, оригиналот системот е еквивалентен на системот: cos x + y cos x y = 1, cos x y cos x + y = 4. cos x + y) 1 = cos x y cos x + y.

4 Ја правиме замената u = cos x y, v = cos x + y и добиваме алгебарски систем: uv = 1, u v = 4. Решенијата на овој систем се два пара: u 1 = 1, v 1 = 1/ и u = 1, v = 1/. Првиот пар го дава системот: x y = 1, = k, Оттука cos x y cos x + y Вториот пар го дава системот: cos x y cos x + y = 1 x + y x = ± + n + k), y = 1 , = 1 = ± + n k, n Z). = ± + n k). x y = + k, x + y = ± + n k, n Z). Оттука x = ± + n + k), y = ± + n k). ±) + n + k); ± + n k), ± + n + k); ±) + n k), k, n Z. Сепак, не е секогаш можно да се сведе систем од тригонометриски равенки на систем од алгебарски равенки. Во некои случаи, неопходно е да се користат различни специјални техники. Понекогаш е можно да се поедностави системот со додавање или одземање равенки. Задача 6. Решете го системот: sin x cos y = 4, cos x sin y = 1 4. Решение. Со собирање и одземање на овие равенки, добиваме еквивалентен систем: sinx + y) = 1, sinx y) = 1. И овој систем, пак, е еквивалентен на комбинација од два системи: x + y = + k, x + y = x y = + k, или 6 + n x y = n k, n Z). 4

5 Оттука x = + k + n), x = + k + n), y = или + k n) y = + k n) k + n);)) 6 + k n), + k + n); + k n), k, n Z. 6 Понекогаш може да дојдете до решение со множење на равенките една со друга. Задача 7. Решете го системот: tg x = sin y, ctg x = cos y. Решение. Да се ​​потсетиме дека множењето на равенките на системот едно со друго значи да се напише равенка од формата „производот од левата страна е еднаков на производот од десната страна“. Резултирачката равенка ќе биде последица на оригиналниот систем, односно сите решенија на оригиналниот систем ја задоволуваат добиената равенка). Во овој случај, множењето на равенките на системот води до равенката: 1 = sin y cos y = sin y, од каде y = /4 + n n Z). Незгодно е да се замени y во оваа форма во системот, подобро е да се подели на две серии: y 1 = 4 + n. Заменете го y 1 во првата равенка на системот: y = 4 + n. tan x = sin y 1 = 1 x 1 = 4 + k k Z). Лесно е да се види дека замената на y 1 во втората равенка на системот ќе доведе до истиот резултат. Сега го заменуваме y: tan x = sin y = 1 x = 4 + k k Z). 4 + k;) 4 + n, 4) + k; 4 + n, k, n Z. Понекогаш делењето на равенките една со друга доведува до резултат. Задача 8. Решете го системот: cos x + cos y = 1, sin x + sin y =. Решение. Да трансформираме: cos x + y sin x + y cos x y cos x y = 1, =. 5

6 Привремено да ја воведеме следната нотација: α = x + y, β = x y. Тогаш добиениот систем ќе се препише во форма: cos α cos β = 1, sin α cos β =. Јасно е дека cos β 0. Потоа, делејќи ја втората равенка со првата, доаѓаме до равенката tg α =, која е последица на системот. Имаме: α = + n n Z), и повторно, со цел понатамошна замена во системот), ни е погодно да го поделиме добиеното множество во две серии: α 1 = + n, α = 4 + n. Со замена на α 1 во која било од равенките на системот се доаѓа до равенката: cos β = 1 β 1 = k k Z). Слично, со замена на α во која било од равенките на системот се добива равенката: cos β = 1 β = + k k Z). Значи, имаме: односно, каде α 1 = + n, β 1 = k или α = 4 + n, β = + k, x + y = + n, x + y = 4 x y или + n, = k x y = + k, x = + n + k), x = 7 + n + k), y = или + n k) y = + n k). + n + k);) 7 + n k), + n + k);) + n k), k, n Z. Во некои случаи, основниот тригонометриски идентитет доаѓа на помош. Задача 9. Решете го системот: sin x = 1 sin y, cos x = cos y. Решение. Да ги квадратиме двете страни на секоја равенка: sin x = 1 sin y), cos x = cos y. 6

7 Да ги додадеме добиените равенки: = 1 sin y) + cos y = 1 sin y + sin y + cos y = sin y, од каде sin y = 0 и y = n n Z). Ова е последица на оригиналниот систем; односно за кој било пар x; y), што е решение на системот, вториот број од овој пар ќе има форма n со некој цел број n. Ние го делиме y во две серии: y 1 = n, y = + n. Го заменуваме y 1 во оригиналниот систем: sin x = 1 sin y1 = 1, cos x = cos y1 = 1 Решението за овој систем е серијата sin x = 1, cos x = 1. x 1 = 4 + k k Z ). Ве молиме имајте предвид дека сега нема да биде доволно да се замени y 1 во една од равенките на системот. Заменувањето на y 1 во првата и втората равенка на системот води до систем од два различни равенкиво однос на x.) Слично, го заменуваме y во оригиналниот систем: Оттука sin x = 1 sin y = 1, cos x = cos y = 1 x = 4 + k k Z).)) 4 + k; n, + k; + n, k, n Z. 4 sin x = 1, cos x = 1. Понекогаш, во текот на трансформациите, можно е да се добие едноставна врска помеѓу непознати и од оваа врска да се изрази една непозната во однос на друга. Задача 10. Решете го системот: 5 cos x cos y =, sin x siny x) + cos y = 1. Решение. Во втората равенка на системот, го трансформираме двојниот производ на синусите во разлика на косинусите: cosx y) cos y + cos y = 1 cosx y) = 1 x y = n n Z). Од тука го изразуваме y во однос на x: y = x + n, 7

8 и заменете го во првата равенка на системот: 5 cos x cos x = 5 cos x cos x 1) = cos x 5 cos x + = 0. Остатокот е тривијален. Добиваме: cos x = 1, од каде x = ± Останува да се најде y од релацијата добиена погоре: + k k Z). y = ± + 4k + n. ± + k; ± + 4k + n), k, n Z. Се разбира, разгледаните проблеми не ја опфаќаат целата разновидност на системи на тригонометриски равенки. Во секое време тешка ситуацијабара генијалност, која се развива само со практика на решавање различни задачи. Сите одговори претпоставуваат дека k, n Z. Задачи 1. Решете го системот: x + y =, cos x cos y = 1. б) x + y =, sin x sin y = 1. + n; n), + n; 4 n) ; б) n; n). Решете го системот: x + y = 4, tg x tan y = 1 б) 6. x y = 5, sin x = sin y. арктан 1 + n; arctg 1 n), arctg 1 + n; arctg 1 n) ; б) + n; 6 + n). Решете го системот: sin x + sin y = 1, x y = 4 b). x + y =, грев x sin y = n; 6 + n); б) 6 + n; 6 n) 8

9 4. Решете го системот: sin x + cos y = 0, sin x + cos y = 1. б) sin x + cos y = 1, sin x cos y =. 1) k 6 + k; ± + n), 1) k k; ± + n) ; б) 1) k 4 + k; + n) 5. Решете го системот: cos x + cos y = 1, tan x + tan y =, sin x sin y = б) 4. ctg x + ctg y = 9 5. ± + k; n) ; б) арктан 5 + k; арктан 1 + n), арктан 1 + k; арктан 5 + n) 6. Решете го системот: sin x + cos y = 1, cos x cos y = 1. б) sin x + cos x = + sin y + cos y, sin x + sin y = 0. 1 ) k 6 + k; ± + n) ; б) 4 ± 4 + k; 5 4 ± 4 + n) 7. Решете го системот: sin x + sin y =, cos x cos y = 1. 1) k 4 + k + n); 1) k 4 + k n)), 1) k k + n + 1); 1)k k n 1)) 8. Решете го системот: sin x sin y = 1 4, tg x tan y =, cos x cos y = б) 4. sin x sin y = 4. ± 6 + k + n); ± 6 + k n)) ; б) ± + k + n); ± + k n)) 9. Решете го системот: 4 sin x cos y = 1, tg x = tan y. б) sin x = cos x cos y, cos x = sin x sin y)k n k) ; 1) k 1 + n + k)) ; б)) 4 + k ; 4 + k + n 9

10 10. Решете го системот: cos x = tan cos y = tan y +), 4 x +). 4к; n), 4 + k; 4 + n), + k; + n) 11. Решете го системот:) tan 4 + x = cos y,) tan 4 x = sin y. k; 4 + n), + k; 4 + n) 1. Решете го системот: sin x + sin y = 1, cos x cos y =. 6 + n + k); n k)), 6 + n + k); n k)) 1. Решете го системот: tg x + tan y =, cos x cos y = n + k); 4 + n k)) 14. Решете го системот: sin x = sin y, cos x = cos y. 6 + k; 4 + n), 6 + k; 4 + n), k; 4 + n), k; 4 + n) 15. Решете го системот: 6 cos x + 4 cos y = 5, sin x + sin y = 0. arccos 4 + k; arccos n), arccos 4 + k; arccos n) 16. Решете го системот: 4 tg x = tg y, sin x cosx y) = sin y. б) cot x + sin y = sin x, sin x sinx + y) = cos y. k; n); б)) 4 + k ; n, + k; + n) 10

11 17. „Физтех“, 010) Решете го системот равенки 5 sin x cos y =, sin y + cos x =. 4 + k, 6 + n); k, n Z 18. Московски државен универзитет, копија. за странци gr-n, 01) Решете го системот равенки: 4 + cos x = 7 sin y, y x = y 4. + n; 6 + n), + n; n), + n; 6 n), + n; 5 6 n), n Z 19. MGU, VMK, 005) Најдете ги сите решенија на системот гревови равенки x + y) = 1, xy = 9. xn, 4 + n) xn, каде што xn = 8 + n ± n) 6, n Z, n, 1, 0, 1 0. Московскиот државен универзитет, географски. f-t, 005) Решете го системот равенки 1 sin x sin y =, 6 sin x + cos y =. 1) n n, k), k, n Z 1. Московскиот државен универзитет, Државен факултет. контрола, 005) Решете го системот на равенки sin x sin 1 = 0, cos x cos 1 = n, n Z. MIPT, 199) Решете го системот равенки 10 cos x = 7 cos x cos y, sin x = cos x sin y. arccos + n, 1)k arcsin 5); 6 + k arccos + n, 1)k+1 arcsin 5), 6 + k k, n Z 11

12 . MIPT, 199) Решете го системот равенки tg x 4 ctg x = tg y, 4 sin x = sin x cos y. арктан 4 + n, arccos 4 + k); + arctan 4 + n, + arccos 4 + k), k, n Z 4. MIPT, 1996) Решете го системот на равенки sin x = sin y, cos y + cos x sin x = 4. ± 6 + n, 1 )к к ) ; k, n Z 5. MIPT, 1996) Решете го системот на равенки sin x +) = sin y cos y, 4 sin y + sin x = 4 + sin x. 1) n1 + n, 4 + 1)k4 + k); k, n Z 6. MIPT, 1997) Решете го системот равенки 9 cos x cos y 5 sin x sin y = 6, 7 cos x cos y sin x sin y = 4. ± n + k, ± 6 + n + и) ; k, n Z 1

I. V. Yakovlev Материјали по математика MathUs.ru Минимакс задачи во тригонометријата Овој лист ги разгледува равенките за чие решавање се користат проценки на десната и левата страна. Да се ​​стане

I. V. Yakovlev Материјали за математика MathUs.ru Тригонометриски равенкисо модул Овој леток е посветен на тригонометриски равенки, во кои тригонометриските функции од непозната количина содржат

Практична работа: Решавање тригонометриски равенки разни видовиРазвивач: И. А. Кочеткова, Ж. И. Тимошко Цел на работа: 1) Повторете тригонометриски формули двоен аргумент, формули за додавање,

I V Јаковлев Материјали за математика MathUsru Тригонометриски неравенки Се претпоставува дека читателот може да го реши наједноставниот тригонометриски неравенкиПродолжуваме кон повеќе сложени задачиЗадача

I. V. Yakovlev Материјали за математика MathUs.ru Тригонометриски трансформации и пресметки Проблемите поврзани со тригонометриските трансформации и пресметки, по правило, не се комплицирани и затоа се ретки

Содржина I V Јаковлев Материјали по математика MathUsru Ирационални равенкии системи 1 Сметководство за покуќнина 1 Еквивалентни трансформации 3 Промена на променлива 6 4 Множење со конјугат 7 5 Системи на равенки

I. V. Yakovlev Материјали за математика MathUs.ru Наједноставните тригонометриски равенки Почнуваме да ги проучуваме тригонометриските равенки централна темацелиот тригонометриски пресек. Нека а

Агенција за администрација за образование Територијата КраснојарскКраснојарск Државниот универзитетУчилиште за природни науки за кореспонденција на Државниот универзитет во Краснојарск Математика: Модул за одделение 0 Образовно-методолошки дел/ Комп:

Инваријантност и проблеми со параметрите на G.I Фалин, А.И. Московскиот државен универзитет Фалин Ломоносов http://mech.math.msu.su/ falin 1 Вовед Б модерна математика важна улогаго игра концептот на непроменливост, т.е. непроменливост

I. V. Yakovlev Материјали по математика MthUs.ru Проучување на тригонометриски функции Потсетиме дека функцијата fx) се нарекува периодична ако има број T 0 таков што за кој било x од доменот на дефиниција

Тема 14 „Алгебарските равенки и системи не се линеарни равенки» Полином со степен n е полином од формата P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, каде што a 0, a 1, a n-1, a n дадени бројки, а 0,

I. V. Yakovlev Материјали за математика MathUs.ru Проблеми за обука Симетрија во задачи со параметри 1. (MSU, Факултет за почва, 001) За кои вредности на b равенката има точно еден корен? tan b = лог

Министерство за наука и образование Руска ФедерацијаМосковскиот државен универзитет за геодезија и картографија T. M. Koroleva, E. G. Markaryan, Yu. M. Neiman ПРИРАЧНИК ЗА МАТЕМАТИКА ЗА АПЛИКАНТИ

Час по алгебра во 10 одделение Тема на часот: Методи на решавање тригонометриски равенки Цел на часот: Генерализација и систематизација на знаењата на учениците за темата. Цели на часот: 1) Образовни - Прошири и продлабочи

Примери на тест решенија Л.И. Терехина, И.И. Поправете 1 Тест 1 Линеарна алгебраОдлучи матрична равенка((3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 (1 0 = 3 2 3 Прво да ги помножиме матриците со

ИНТЕГРИРАЊЕ НА ТРИГОНОМЕТРИСКИ ФУНКЦИИ Интегрирање на производот на синусите и косинусите од различни аргументи Тригонометриски формули k m [ (m k (m k ], (k m [ (m k (m k ], (k m [ (m k (m k

Министерство за образование и наука на Руската Федерација Москва Институт за физика и технологија(државен универзитет) Вонредно физичко и техничко училиштеМАТЕМАТИКА Идентични трансформации. Решение

Ирационални равенки и неравенки Содржина Ирационални равенки Метод на подигање на двете страни на равенката на иста моќност Доделување Доделување Доделување Замена на ирационална равенка со мешана

Министерство за образование на Република Белорусија Молодечно држава политехничко училиштеПрактична работа: Решавање на тригонометриски равенки сведени на наједноставни. Развивач: И.

МИНИСТЕРСТВО ЗА ОБРАЗОВАНИЕ И НАУКА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЈА ДРЖАВЕН УНИВЕРЗИТЕТ ТОМСК Факултет за применета математика и кибернетика Катедра за теорија на веројатност и математичка статистикаГРАНИЦИ Методички

10 одделение, основно ниво наЗадача 1 Опција 0 (демонстрација, со решенија) Кореспонденција математичко училиште 009/010 академска година 1 Изрази го изразот како полином стандарден погледи најди го

Предавања „НЕДЕФИНИТЕН ИНТЕГРАЛ“ Составувач: VPBelkin Предавање Неопределен интегралОсновни поими Својства на неопределен интеграл 3 Основна табела на антидеривати 3 4 Типични примери 3 5 Протозои

4. Тригонометрија Сега сè е подготвено да даде строги дефиниции за тригонометриските функции. На прв поглед веројатно ќе изгледаат прилично чудно; сепак ќе покажеме дека одредени

Тема ГРАНИЦИ НА ФУНКЦИИТЕ Бројот A се нарекува граница на функцијата y = f), со x склона кон бесконечност, ако за кој било број ε>, колку и да е мал, има позитивен број s таков што за сите >S,

Федерална агенцијаДржава по образование образовна институцијаповисоко стручно образованиедржава Ухта Технички универзитет(USTU) ГРАНИЧНА ФУНКЦИЈА Методолошки

НЕ ДЕМИДОВ ОСНОВИ НА ТРИГОНОМЕТРИЈАТА Студиски водич за странски државјаниМинистерство за образование и наука на Руската Федерација Сојузна државна едукација организација финансирана од државатаповисоко стручно лице

Тема 1 Реални бројкии дејствија на нив 4 часа 11 Развој на концептот број 1 Првично, бројките беа разбрани само цели броеви, кои се доволни за броење поединечни ставкиЕден куп

Решавање тригонометриски равенки Решавање тригонометриски равенки Цели: Да се ​​запознаат со видовите тригонометриски равенки Да се ​​запознаат со начините за решавање на равенките. Развијте вештини за примена

I. V. Yakovlev Материјали по математика MathUs.ru Симетријата во проблеми со параметри Симетријата е една од клучни концептиматематика и физика. Дали знаеш геометриска симетријафигури и општо различни

Тест. Дадени матрици A, B и D. Најдете AB 9D ако: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Множете ги матриците A 3 и B 3. Резултатот ќе да биде C со големина 3 3, составена од елементи

Предавање 13: Класификација на квадрици на рамнината на Урал федерален универзитет, Институт за математика и Компјутерски науки, Катедра за алгебра и дискретна математика Воведни забелешки Во претходните три

Класа. Моќ со произволен реален експонент, неговите својства. Функција за напојување, неговите својства, графикони.. Потсетете се на својствата на степенот в рационален индикатор. а а а а а за природно време

Одделение 8.3, Математика (учебник Макаричев) 2016-2017 учебна година Тема на модул 5 “ Квадратен корен. Степен со цел број индикатор“ Тестот ги тестира теоретските и практичните делови. ТЕМА Знај Биди умее да знаеш

Катедра за виша математика на ВСТУ-ВГАСУ, доц. Седаев А.А. 06 ПРОИЗВОДЕН?.. од нула?.. ЗА ЧАЈ Н И К О В?... ОВА НЕ Е ЕДНОСТАВНО Почитуван читателу. Доколку наидете на потреба да најдете

Министерство за образование и наука на Руската Федерација НАЦИОНАЛНО ИСТРАЖУВАЧКИ ДРЖАВЕН ГРАЃАНСКИ УНИВЕРЗИТЕТ МОСКВА применета механикаи математичари ОБИЧНИ ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ

Тема: Трансформација тригонометриски изразиЗемајќи го предвид ОДЗ во тригонометриските равенки Подготовка за обединет државен испит (задача 9; ; 8) Дефиниција: Доменот на дефиниција на равенката f g или регионот прифатливи вредности

Москва воздухопловниот институт(Национално истражувачки универзитет) Оддел " Виша математика„Ограничува деривати Функции на неколку променливи Насокии контролни опции

Поглавје 4 Граница на функција 4 1 ПОИМ НА ГРАНИЦА НА ФУНКЦИЈА Ова поглавје се фокусира на концептот на граница на функцијата. Се одредува колкава е границата на функцијата во бесконечност, а потоа границата во точка, граници

Тема 7 Матричен ранг Основна минор теорема за ранг на матрицата и нејзините последици Системи од m линеарни равенки со непознати теорема Кронекер-Капели Основен системрешенија хомоген системлинеарна

Тема 1-8: Комплексни броеви А. Ја.

ОСНОВНИ КОНЦЕПТИ НА МАТЕМАТИЧКАТА АНАЛИЗА Концепти кои можат да се опишат, но не можат строго да се дефинираат, бидејќи секој обид да се даде строга дефиниција неизбежно ќе се сведе на замена на дефинираниот концепт со него.

Метод на раздвојување на променливи (метод Фурие) Општи принципиметод на раздвојување на променливи За наједноставната парцијална диференцијална равенка, раздвојување на променливи е барање решенија на формата само во т. u(x,t

64 Алгебра 7 одделение (5 часа неделно, 175 часа) Алгебарска компонента (3 часа неделно) 105 часа и Геометриска компонента (2 часа неделно) 70 часа Искористени наставни помагала: 1. Арефиева, И. Г. Алгебра: учебник. додаток

Министерство за образование на Руската Федерација Руски државен универзитет за нафта и гас именуван по И.М. Губкин VI Иванов Насоки за изучување на темата „ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ РАВЕНКИ“ (за студенти

Практична лекцијаТема: Функција Домен на дефиниција и множество вредности на функција Цел: Развивање вештини за пронаоѓање на доменот на дефинирање на функции и пресметување парцијални вредности на функции Да се ​​заврши

РЕШЕНИЈА НА ЗАДАЧИТЕ ОД ОПЦИЈА 0 Да ве потсетиме дека решенијата на задачите само од делот се доставуваат на тестирање.Решенијата на задачите од деловите се изведуваат во нацрти и на никаков начин не влијаат на оценувањето.При завршување на задачите од дел

57(07) Д Д.Г. Демјанов НЕОПРЕДЕЛЕН ИНТЕГРАЛ Едукативен и референтен прирачник Chelyabinsk 00 UDC 57 (0765) Demyanov DG Неопределен интеграл: едукативен и референтен прирачник / Изменето од СА Уфимцев Чељабинск: Издавачка куќа

Phystech 0, 0 class, решенија на тикетот cos x cosx Реши ја равенката = cos x sin x Одговор x = k 6 +, x = + k 6, x = + k, k Ζ Решение Постојат два можни случаи cos x cos x sin x sin x a) cos x 0 Тогаш = = tan x = x =

ТРИГОНОМЕТРИСКИ ФОРМУЛИ Успехот во решавањето на тригонометриските равенки и неравенки, докажувањето на тригонометриските идентитети и решавањето на пресметковните проблеми во голема мера се определува со познавање на основните

Лекција 14 Сложени броеви. LODU со постојани коефициенти. 14.1 Сложени броеви Комплексен бројсе нарекува израз на формата z = x+iy, каде што x R. Постои кореспонденција еден на еден помеѓу множеството

Прашање: Кои броеви се нарекуваат природни броеви? Одговор. Како се нарекуваат броевите при собирање? Формулирајте согласка

А.А.КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНИ БРОЕВИ ПСКОВ ББК 57 К45 Објавено со одлука на Катедрата за алгебра и геометрија и на Редакциско-издавачкиот совет на ПСПИ на име С.М.Киров Рецензент: Медведева ИН, кандидат по физика и математика, вонреден професор.

Предавање Диференцијални равенки-ти ред (DU-) Општа формаќе се запише диференцијалната равенка од редот n: (n) F, = 0 () Равенката од редот (n =) ќе има форма F(,) = 0 Слични равенки

ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ РАВЕНКИ Хабаровск 01 ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЈА ЗА ОБРАЗОВАНИЕ Државна буџетска образовна институција за високо професионално образование „Пацифичка држава

Министерство за образование и наука на Руската Федерација Санкт Петербург Државен универзитет за архитектура и градежништво V B SMIRNOVA, L E MOROZOVA ОБИЧНИ ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ РАВЕНКИ Образовни

МАТЕМАТИКА, час Одговори и критериуми, април Опција/задачи ОДГОВОРИ B B B4 B B7 C 4 7 4 arccos 7 44,7 9 8 + n, n, 4 8 7 4,4,8 4 4, 4, 9, 4 (;) ( дневник ;) + n, 8 49 8,7 (4;) (; +), 8 9, 4 8 + 7

Проблемски услови 1 Општинска сцена 8 одделение 1. На таблата се пишуваат два броја. Еден од нив е зголемен за 6 пати, а другиот е намален за 2015 година, додека збирот на бројките не се менува. Најдете барем еден пар од нив

Неопределен интеграл Вовед Дефиниција Функцијата F() се нарекува антидериват за дадена функција f() ако F() f(), или, што е исто, df f d Оваа функција f() може да има различни антидеривати,

Московски институт за физика и технологија Ирационални равенки и нееднаквости Алатникза подготовка за олимпијадите Составил: Паркевич Егор Вадимович Москва 04 Вовед Во ова дело ќе разгледаме

ОСНОВИ НА ВЕКТОРСКИ КАЛКУЛУСИ Се нарекува вектор квантитативна карактеристика, кој има не само нумеричка вредност, но и насока.Понекогаш велат дека векторот е насочен сегмент Векторски систем

Експоненцијални равенки. Методи на решение. Дубова Марија Игоревна 7 78-57 Експоненцијална равенка е онаа што содржи променлива само во експонентот. Ајде да погледнеме неколку видови експоненцијални равенки,

MAV(S)OU "TsO 1" Математика 1 одделение ТЕСТ Тригонометрија 1, Табели, тест трудови, тестови Наставник Немова Н.М. Прва квалификација 15 учебна година Објаснувачка белешка. На дидактички материјалнаменети

Антидеривативен и неопределен интеграл Основни поими и формули 1. Дефиниција на антидериватив и неопределен интеграл. Дефиниција. Функцијата F(x) се нарекува антидериват за функцијата f(x) на интервалот

ПРАКТИЧЕН ЧАС Интегрирање рационални дропки Рационална дропка е дропка од формата P Q, каде што P и Q се полиноми Рационална дропкасе нарекува точен ако степенот на полиномот P е помал од степенот

I. V. Yakovlev Материјали за математика MthUs.ru Статијата е напишана во соработка со A. G. Malkova Наједноставните тригонометриски равенки. Претходната статија беше посветена на главната идеја за решавање на наједноставните тригонометриски проблеми

Тема Неопределен интеграл Основни методи на интеграција Интеграција по делови Нека u и v се две диференцијабилни функции од ист аргумент Познато е дека d(u v) udv vdu (77) Земете од двете

Министерство за образование и наука на Руската Федерација Московски институт за физика и технологија (државен универзитет) Дописно училиште за физика и технологија МАТЕМАТИКА Квадратни равенки Задача за осмоодделенци

Едностепени задачи со цели броеви (формални) страница 1 06.09.2012 1) Решете ја неравенката: x 7 17. 2) Помножете 612 со 100000. 3) Која е разликата помеѓу броевите 661 и 752? 4) Спореди ги изразите: 54 6 и 7.

ПРЕДАВАЊЕ N Диференцијални равенки од повисоки редови, методи на решавање Проблем на Коши Линеарни диференцијални равенки од повисоки редови Хомогени линеарни равенки Диференцијални равенки од повисоки редови,

Лекции 54-55. Системи на тригонометриски равенки (опционално)

09.07.2015 9097 895

Цел: сметаат најмногу типични системитригонометриски равенки и методи за нивно решавање.

I. Комуницирање на темата и целта на часовите

II. Повторување и консолидација на опфатениот материјал

1. Одговори на прашања за домашна работа(анализа на нерешени проблеми).

2. Следење на асимилација на материјалот (самостојна работа).

Опција 1

Решете ја неравенството:

Опција 2

Решете ја неравенството:

III. Учење нов материјал

Во испитите, системите на тригонометриски равенки се многу поретки од тригонометриските равенки и неравенки. Не постои јасна класификација на системите на тригонометриски равенки. Затоа, ние условно ќе ги поделиме во групи и ќе разгледаме начини за решавање на овие проблеми.

1. Наједноставните системи на равенки

Тие вклучуваат системи во кои или една од равенките е линеарна, или равенките на системот можат да се решат независно една од друга.

Пример 1

Да го решиме системот на равенки

Бидејќи првата равенка е линеарна, ние ја изразуваме променливата од неаи заменете го во втората равенка:Ја користиме формулата за редукција и главниот тригонометриски идентитет. Ја добиваме равенкатаили Ајде да воведеме нова променливат = грев u. Имаме квадратна равенка 3 t 2 - 7 t + 2 = 0, чии корени t 1 = 1/3 и t 2 = 2 (не е погодно затоа штогрев y ≤ 1). Да се ​​вратиме на старата непозната и да ја добиеме равенкатагрешни = 1/3, чие решениеСега е лесно да се најде непознатото:Значи, системот на равенки има решенијакаде n ∈ Z.

Пример 2

Да го решиме системот на равенки

Равенките на системот се независни. Затоа, можеме да ги запишеме решенијата на секоја равенка. Добиваме:Ги собираме и одземаме равенките на овој систем на линеарни равенки по член и наоѓаме:каде

Имајте предвид дека поради независноста на равенките, при наоѓање x - y и x + y, мора да се наведат различни цели броеви n и k. Ако наместо к исто така беше доставен n , тогаш решенијата би изгледале вака:Во овој случај ќе се изгуби бесконечно множествоодлуки и дополнително би имало поврзаност помеѓу променливите x и y: x = 3y (што не е случај во реалноста). На пример, лесно е да се провери тоа овој системима решение x = 5π и y = n (во согласност со добиените формули), кои кога k = n невозможно да се најде. Затоа бидете внимателни.

2. Тип системи

Ваквите системи се сведуваат на наједноставни со собирање и одземање равенки. Во овој случај добиваме системиили Ајде да забележиме очигледно ограничување:И Самото решение на таквите системи не претставува никакви тешкотии.

Пример 3

Да го решиме системот на равенки

Ајде прво да ја трансформираме втората равенка на системот користејќи ја еднаквостаДобиваме: Ајде да ја замениме првата равенка со броителот на оваа дропка:и изразуваат Сега имаме систем на равенкиАјде да ги собереме и одземеме овие равенки. Ние имаме: илиДозволете ни да ги запишеме решенијата за овој наједноставен систем:Со собирање и одземање на овие линеарни равенки, наоѓаме:

3. Тип системи

Таквите системи може да се сметаат за наједноставни и соодветно решени. Сепак, постои уште еден начин да се реши: претворете го збирот на тригонометриските функции во производ и користете ја преостанатата равенка.

Пример 4

Да го решиме системот на равенки

Прво, ја трансформираме првата равенка користејќи ја формулата за збир на синусите на аглите. Добиваме:Користејќи ја втората равенка, имаме:каде Да ги запишеме решенијата на оваа равенка:Земајќи ја предвид втората равенка на овој систем, добиваме систем на линеарни равенкиОд овој систем наоѓаме Удобно е да се напишат такви решенија во повеќе рационална форма. За горните знаци имаме:за пониски знаци -

4. Тип системи

Пред сè, потребно е да се добие равенка која содржи само една непозната. За да го направите ова, на пример, да изразиме од една равенка sin y, од друг - cos u. Ајде да ги квадрираме овие соодноси и да ги собереме. Тогаш добиваме тригонометриска равенка која ја содржи непознатата x. Ајде да ја решиме оваа равенка. Потоа, користејќи која било равенка од овој систем, добиваме равенка за наоѓање на непознатата y.

Пример 5

Да го решиме системот на равенки

Дозволете ни да го напишеме системот во формаДа ја квадратиме секоја равенка на системот и да добиеме:Да ги собереме равенките на овој систем:или Користејќи го основниот тригонометриски идентитет, ја запишуваме равенката во формаили Решенија на оваа равенка cos x = 1/2 (тогаш ) и cos x = 1/4 (од каде ), каде што n, k ∈ Z . Со оглед на поврзаноста меѓу непознатите cos y = 1 – 3 cos x, добиваме: за cos x = 1/2 cos y = -1/2; за cos x = 1/4 cos y = 1/4. Мора да се запомни дека при решавање на систем на равенки, се вршеше квадрат и оваа операција може да доведе до појава на надворешни корени. Затоа, потребно е да се земе предвид првата равенка на овој систем, од која произлегува дека количинитегрев х и грев y мора да го има истиот знак.

Земајќи го ова предвид, добиваме решенија за овој систем на равенкиИ каде n, m, k, l ∈ Z . Во овој случај, за непознати x и y, истовремено се избираат горните или долните знаци.

Во посебен случајсистемот може да се реши со претворање на збирот (или разликата) на тригонометриските функции во производ и потоа со делење на равенките член по член.

Пример 6

Да го решиме системот на равенки

Во секоја равенка, збирот и разликата на функциите ги трансформираме во производ и секоја равенка ја делиме со 2. Добиваме:Бидејќи ниту еден фактор на левите страни на равенките еднаква на нула, потоа равенките ги делиме едни на други по член по член (на пример, вториот со првиот). Добиваме:каде Да ја замениме пронајдената вредностна пример, во првата равенка:Да го земеме предвид тоа Потоа каде

Добивме систем на линеарни равенкиСо собирање и одземање на равенките на овој систем, наоѓамеИ каде n, k ∈ Z.

5. Системи решени со замена на непознати

Ако системот содржи само две тригонометриски функции или може да се сведе на оваа форма, тогаш е погодно да се користи замена на непознати.

Пример 7

Да го решиме системот на равенки

Бидејќи овој систем вклучува само две тригонометриски функции, воведуваме нови променливи a = tan x и b = грев u. Добиваме систем на алгебарски равенкиОд првата равенка изразуваме a =б + 3 и заменете го во вториот:или Корените на оваа квадратна равенка b 1 = 1 и b 2 = -4. Соодветните вредности се a1 = 4 и a2 = -1. Да се ​​вратиме на старите непознати. Добиваме два системи на едноставни тригонометриски равенки:

а) нејзината одлука каде n, k ∈ Z.

б) нема решенија, бидејќи sin y ≥ -1.

Пример 8

Да го решиме системот на равенки

Да ја трансформираме втората равенка на системот така што таа ги содржи само функциите sin x и cos u. За да го направите ова, ги користиме формулите за намалување. Добиваме:(каде ) И (Тогаш ). Втората равенка на системот има форма:или Добивме систем на тригонометриски равенкиАјде да воведеме нови променливи a = sin x и b = cos u. Имаме симетричен систем на равенки единствена одлукакои a = b = 1/2. Да се ​​вратиме на старите непознати и да добиеме наједноставниот системтригонометриски равенкичие решение каде n, k ∈ Z.

6. Системи за кои се важни карактеристиките на равенките

Речиси при решавање на кој било систем на равенки, се користи една или друга од неговите карактеристики. Конкретно, еден од најпознатите општи техникисистемски решенија - идентитетски трансформации, овозможувајќи ни да добиеме равенка која содржи само една непозната. Изборот на трансформации, се разбира, се одредува според спецификите на системските равенки.

Пример 9

Ајде да го решиме системот

Да обрнеме внимание на левата страна на равенките, на пример доКористејќи формули за редукција, ја правиме функција со аргумент π/4 + x. Добиваме:Тогаш системот на равенки изгледа вака:За да ја елиминираме променливата x, ги множиме равенките по член и добиваме:или 1 = грев 3 2у, од каде грев 2у = 1. Наоѓаме И Удобно е да се разгледаат одделно случаите на парни и непарни вредности n. За парен n (n = 2 k, каде k ∈ Z) Тогаш од првата равенка на овој систем добиваме:каде m ∈ Z. За чудни Тогаш од првата равенка имаме:Значи, овој систем има решенија

Како и во случајот со равенките, често има системи на равенки во кои ограничената природа на синусните и косинусните функции игра значајна улога.

Пример 10

Да го решиме системот на равенки

Како прво, ја трансформираме првата равенка на системот:или или или или Земајќи ја предвид ограничената природа на синусната функција, го гледаме тоа лева странаравенката не е помала од 2, а десната страна не е поголема од 2. Затоа, таквата равенка е еквивалентна на условитегрев 2 2x = 1 и грев 2 y = 1.

Втората равенка на системот ја пишуваме во форма sin 2 y = 1 - cos 2 z или sin 2 y = sin 2 z, а потоа sin 2 z = 1. Добивме систем од едноставни тригонометриски равенкиКористејќи ја формулата за намалување на степенот, го запишуваме системот во формаили Потоа

Се разбира, при решавање на други системи на тригонометриски равенки, потребно е да се обрне внимание и на карактеристиките на овие равенки.

Преземете материјал

Погледнете ја датотеката за преземање за целосниот текст на материјалот.
Страницата содржи само фрагмент од материјалот.

Здраво, Драги пријатели! Денес ќе ја разгледаме задачата од дел В. Ова е систем од две равенки. Равенките се прилично чудни. Тука има синус и косинус, а има и корени. Потребна е способност за решавање на квадратни и едноставни проблеми. Во презентираната задача тие детални решенијане се претставени, веќе треба да можете да го направите ова. Користејќи ги дадените врски, можете да ја видите релевантната теорија и практични задачи.

Главната тешкотија во слични примерие дека е потребно да се споредат добиените решенија со пронајдениот домен на дефиниција, тука лесно може да се направи грешка поради невнимание.

Решението на системот е секогаш пар(и) од броеви x и y, напишани како (x;y).Не заборавајте да проверите откако ќе го добиете одговорот.Ви се претставени три начини, не, не начини, туку три патеки на расудување по кои можете да одите. Мене лично третиот ми е најблизок. Ајде да почнеме:

Решете го системот на равенки:

ПРВ ПАТ!

Да го најдеме доменот на дефиниција на равенката. Познато е дека радикалниот израз има ненегативно значење:

Размислете за првата равенка:

1. Тоа е еднакво на нула при x = 2 или на x = 4, но 4 радијани не припаѓаат на дефиницијата за изразот (3).

*Аголот од 4 радијани (229,188 0) лежи во третата четвртина, во која синусната вредност е негативна. Затоа

Останува само коренот x = 2.

Размислете за втората равенка за x = 2.

При оваа вредност на x, изразот 2 – y – y 2 мора да биде еднаков на нула, бидејќи

Да решиме 2 – y – y 2 = 0, добиваме y = – 2 или y = 1.

Забележете дека за y = – 2 коренот на cos y нема решение.

*Аголот од –2 радијани (– 114,549 0) лежи во третата четвртина, а во него косинусната вредност е негативна.

Затоа, останува само y = 1.

Така, решението на системот ќе биде парот (2;1).

2. Првата равенка е исто така еднаква на нула при cos y = 0, односно во

Но, земајќи го предвид пронајдениот домен на дефиниција (2), добиваме:

Размислете за втората равенка за ова y.

Изразот 2 – y – y 2 со y = – Pi/2 не е еднаков на нула, што значи дека за да има решение треба да се исполни следниот услов:

Ние одлучуваме:

Земајќи го предвид пронајдениот домен на дефиницијата (1), го добиваме тоа

Така, решението за системот е уште еден пар:

ВТОР НАЧИН!

Ајде да го најдеме доменот на дефиниција за изразот:

Познато е дека изразот под коренот има ненегативно значење.
Решавајќи ја неравенката 6x – x 2 + 8 ≥ 0, добиваме 2 ≤ x ≤ 4 (2 и 4 се радијани).

Размислете за случајот 1:

Нека x = 2 или x = 4.

Ако x = 4, тогаш sin x< 0. Если х = 2, то sin x > 0.

Ако се земе предвид дека sin x ≠ 0, излегува дека во овој случај во втората равенка на системот 2 – y – y 2 = 0.

Решавајќи ја равенката, наоѓаме дека y = – 2 или y = 1.

Анализирајќи ги добиените вредности, можеме да кажеме дека x = 4 и y = – 2 не се корени, бидејќи добиваме sin x< 0 и cos y < 0 соответственно, а выражение стоящее под корнем должно быть ≥ 0 (то есть числом неотрицательным).

Може да се види дека x = 2 и y = 1 се вклучени во доменот на дефиниција.

Така, решението е парот (2;1).

Да го разгледаме случајот 2:

Нека сега 2< х < 4, тогда 6х – х 2 + 8 > 0. Врз основа на ова, можеме да заклучиме дека во првата равенка cos y мора да биде еднаква на нула.

Решавајќи ја равенката, добиваме:

Во втората равенка, при наоѓање на доменот на дефиниција на изразот:

Добиваме:

2 – y – y 2 ≥ 0

– 2 ≤ y ≤ 1

Од сите одлуки cos равенки y = 0 го задоволува само овој услов:

На дадена вредност y, израз 2 – y – y 2 ≠ 0. Според тоа, во втората равенка sin x ќе биде еднаква на нула, добиваме:

Од сите решенија на оваа равенка, интервалот 2< х < 4 принадлежит только

Ова значи дека решението за системот ќе биде уште еден пар:

*Не го најдовме доменот на дефиниција за сите изрази во системот одеднаш, го погледнавме изразот од првата равенка (2 случаи), а потоа по пат ја утврдивме кореспонденцијата на најдените решенија со воспоставена областдефиниции. Според мое мислење, не е многу погодно, излегува некако збунувачки.

ТРЕТ ПАТ!

Слично е на првото, но има разлики. Исто така, прво се наоѓа областа за дефиниција за изрази. Потоа првата и втората равенка се решаваат посебно, а потоа се наоѓа решението на системот.

Ајде да го најдеме доменот на дефиниција. Познато е дека радикалниот израз има ненегативно значење:

Решавајќи ја неравенката 6x – x 2 + 8 ≥ 0 добиваме 2 ≤ x ≤ 4 (1).

Вредностите 2 и 4 се радијани, 1 радијан како што знаеме ≈ 57,297 0

Во степени приближно можеме да напишеме 114,549 0 ≤ x ≤ 229,188 0.

Решавајќи ја неравенката 2 – y – y 2 ≥ 0 добиваме – 2 ≤ y ≤ 1 (2).

Во степени можеме да запишеме – 114,549 0 ≤ y ≤ 57,297 0 .

Одлучување нееднаквост грев x ≥ 0 го добиваме тоа

Решавајќи ја неравенката cos y ≥ 0 го добиваме тоа

Познато е дека производот е еднаков на нула кога еден од факторите е еднаков на нула (а другите не го губат своето значење).

Размислете за првата равенка:

Средства

Решението за cos y = 0 е:

Решение 6x – x 2 + 8 = 0 се x = 2 и x = 4.

Размислете за втората равенка:

Средства

Решението за sin x = 0 е:

Решението на равенката 2 – y – y 2 = 0 е y = – 2 или y = 1.

Сега, земајќи го предвид доменот на дефиниција, ајде да анализираме

добиени вредности:

Бидејќи 114,549 0 ≤ x ≤ 229,188 0, тогаш овој сегментима само едно решение за равенката sin x = 0, ова е x = Pi.

Бидејќи – 114,549 0 ≤ y ≤ 57,297 0, тогаш овој сегмент содржи само едно решение на равенката cos y = 0, ова е

Размислете за корените x = 2 и x = 4.

Во право!

Така, решението на системот ќе биде два пара броеви:

*Овде, земајќи го предвид пронајдениот домен на дефиниција, ги исклучивме сите добиени вредности што не му припаѓаат и потоа ги поминавме сите опции за можни парови. Следно, проверивме кои од нив се решение за системот.

Препорачувам веднаш на самиот почеток на решавање на равенките, неравенките и нивните системи, доколку има корени, логаритми, тригонометриски функции, задолжително пронајдете го доменот на дефиниција. Има, се разбира, примери каде што е полесно веднаш да се реши, а потоа едноставно да се провери решението, но тоа се релативно малцинство.

Тоа е се. Со среќа!

Употребата на равенки е широко распространета во нашите животи. Тие се користат во многу пресметки, изградба на структури, па дури и спорт. Човекот користел равенки во античко време, и оттогаш нивната употреба само се зголемува. Тригонометриските равенки се сите равенки кои вклучуваат променлива под знакот тригонометриска функција. На пример: \[\sin x= a, \cos x = b\]. Решавањето на тригонометриските равенки се сведува на следните подзадачи:

* решавање на равенката;

* избор на корени.

Одговорот во таквите равенки е напишан како:

степени;

Радијани.

За да се реши овој вид равенка потребно е равенката да се трансформира во една/неколку основни тригонометриски равенки: \[\sin x = a; \cos x = a: \tan x = a; \cot x = a.\] А решението за таквите основни равенки е да се користи табела за конверзија или да се бараат позициите на \[x\] на единечниот круг.

На пример, дадени тригонометриски равенки кои можат да се решат со помош на табела за конверзија, следниот тип:

\[\ tan (x - \pi/4) = 0\]

Одговор: \

\[\ cot2x = 1,732\]

Одговор: x = \[\pi /12 + \pi n\]

\[\sin x = 0,866\]

Одговор: \[ x = \pi/3 \]

Каде можам бесплатно да решам систем на тригонометриски равенки на интернет?

Равенката можете да ја решите на нашата веб-страница https://site. Бесплатно онлајн решавачќе ви овозможи да решавате онлајн равенки од секаква сложеност за неколку секунди. Сè што треба да направите е едноставно да ги внесете вашите податоци во решавачот. Можете исто така да гледате видео инструкции и да научите како да ја решите равенката на нашата веб-страница. И ако сè уште имате прашања, можете да ги поставите во нашата група VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Придружете се на нашата група, ние секогаш сме среќни да ви помогнеме.