Наставник по математика
Општинска образовна установа „Гимназија бр. 5 Белгород“
Тема на часот: Рационални равенки.
Одделение: 10-то одделение.
UMK : Алгебра и почетоците на анализа: учебник. За 10 кл. општо образование институции/[С.М.Николски, М.К. Потапов].-5. изд., дополнително-М.: Образование, 2006.-432 стр. стр.65-74., 45-47.
Цели на лекцијата:
Образовни: систематизираат и сумираат информации за рационални изрази познати од основно училиште; покажуваат решенија рационални равенки;
Образовни: проширување и продлабочување на учењето разни видовирационални равенки со користење на различни методи.
Образовни: покажете го значењето на темата што се изучува во делот математика.
Тип на лекција: лекција-предавање.
Структура на лекцијата:
- Поставување на целта на часот (1 мин).
- Подготовка за изучување на нов материјал (2 мин).
- 3.Вовед во нов материјал (38 мин).
- 4. Резиме на лекцијата (2 мин.)
- 5. Домашна работа (2 мин.)
Опрема за лекција: интерактивна табла, проектор, компјутер.
За време на часовите:
Планирајте.
1. Рационални изрази.
2. Рационални равенки.
3. Системи на рационални равенки.
Јас. Повторување.
Алгебрата произлезе од решението практични проблемикористејќи равенки. Целите на алгебрата останаа непроменети илјадници години - равенките беа решени: прво линеарни, потоа квадратни, а потоа уште повеќе равенки повисоки степени. Но, формата во која беа претставени алгебарските резултати се промени непрепознатливо.
Равенката е најчестиот облик на математички проблем. Доктрината за равенки е главната содржина училишен курсалгебра. За да решавате равенки, треба да бидете способни да вршите операции на мономи, полиноми, алгебарски дропки, да знаете да размножувате, отворате загради итн. Треба да го поставите вашето знаење во ред. Прегледот ќе го започнеме со концептот на „рационални изрази“. Извештај на ученикот за рационални изрази познати од основно училиште. Така, проучувањето на равенките е невозможно без проучување на законите на дејствување.
II. Главен дел.
Главната работа во концептот на равенката е формулирањето на прашањето за неговото решение. Равенката чија лева и десна страна се рационални изрази за x се нарекува рационална равенка со непозната x.
На пример, равенките 5x 6 - 9x 5 + 4x - 3x + 1 = 0, се рационални.
Коренот (или решението) на равенката со непозната x е број кој, кога ќе се замени во равенката наместо x, произведува вистинска нумеричка еднаквост.
Решавањето на равенката значи да се најдат сите нејзини корени или да се покаже дека ги нема. Кога решавате рационални равенки, треба да ги помножите и поделите двете страни на равенката со не еднаква на нулаброј, префрлајте ги членовите на равенката од еден дел во друг, применувајте ги правилата за собирање и одземање алгебарски дропки. Резултатот ќе биде равенка еквивалентна на претходната, односно равенка која има исти корени, и само нив.
Ајде да наведеме стандардни равенкикои ги проучувавме. Одговори на учениците (линеарна равенка, квадратна равенка, наједноставна равенка за моќност X n =а). Претворањето на равенките во една од стандардните е главниот чекор во решавањето на равенката. Невозможно е целосно да се алгоритмизира процесот на конверзија, но корисно е да се запамети некои техники вообичаени за сите видови равенки.
1) Равенката од формата A(x) B(x) = O, каде што A(x) и B(x) се полиноми во однос на x, се викаравенка во распаѓање.
Множеството од сите корени на равенката во распаѓање е спој на множествата на сите корени на две равенки A(x)=0 и B(x)=0. Методот на факторизација се применува за равенки од формата A(x) = 0. Суштината на овој метод: треба да ја решите равенката A(x)=0, каде A(x)=A 1 (x)A 2 (x)A 3 (Х). Равенката A(x)=0 се заменува со множеството едноставни равенки: А 1 (x)=0.A 2 (x)=0.A 3 (x)=0. Најдете ги корените на равенките од ова множество и направете проверка. Методот на факторизација се користи главно за рационални и тригонометриски равенки.
ПРИМЕР 1.
Да ја решиме равенката (x 2 - 5x + 6) (x 2 + x - 2) = 0.
Равенката се распаѓа на две равенки.
x 2 - 5x + 6 = 0 x 1 = 2 и x 2 = 3
x 2 + x - 2 = 0. x 3 = -2 и x 4 = 1
Ова значи дека првобитната равенка има корени x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = -2, x 4 =1.
Одговори. -2; 1; 2; 3.
ПРИМЕР. Да ја решиме равенката x 3 -7x+6=0.
x 3 -x-6x+6=0
x(x 2 -1)-6(x-1)=0
x(x-1)(x+1)-6(x-1)=0
(x-1) (x(x+1)-6)=0
(x-1) (x 2 +x-6)=0
x-1=0, x 1 =1; x 2 + x-6 = 0, x 2 = 2, x 3 = -3.
Одговор: 1;2;-3.
2).Равенка на формата, каде A(x) и B(x) се полиномиво однос на x.
ПРИМЕР 2.
Да ја решиме равенката
Прво да ја решиме равенката
x 2 + 4x - 21 = 0. x 1 = 3 и x 2 = -7
Заменувајќи ги овие броеви во именителот на левата страна на првобитната равенка, добиваме
x 1 2 - x 1 -6 = 9-3-6 = 0,
x 2 2 - x 2 - 6 = 49 + 7 - 6 = 50 ≠0.
Ова покажува дека бројот x 1 = 3 не е коренот на првобитната равенка, туку бројот x 2 =- 7 е коренот на оваа равенка.
Одговори. -7.
3).Равенка на формата
каде A(x), B(x), C(x) и D(x) се полиноми во однос на x, обично решени според следново правило.
Равенката A(x) D(x) - C(x)·B(x) = 0 е решена и од нејзините корени се избираат оние што не прават именителот на равенката да исчезне.
ПРИМЕР 3.
Да ја решиме равенката
Да ја решиме равенката
x 2 - 5x + 6 - (2x + 3) (x - 3) = 0.
x 2 + 2x - 15 = 0
x 1 = -5 и x 2 = 3.
Број x 1 не исчезнува именителот x - 3, туку бројот x 2 конвертира. Според тоа, равенката има еден корен = -5.
Одговори. -5.
Наоѓањето на корените на рационалната равенка често помага со замена на непознатото. Способноста за успешно воведување нова променлива - важен елемент математичка култура. Успешниот избор на нова променлива ја прави структурата на равенката потранспарентна.
ПРИМЕР 4.
Да ја решиме равенката x 8 + 4x 6 -10x 4 + 4x 2 + 1 = 0.
Број x 0 = 0 не е корен на равенката, така што равенката е еквивалентна на равенката
x 4 + 4x 2 - 10 + + =0
Да означиме t =, потоа x 4 + =t 2 -2,
добиваме t 2 + 4t - 12 = 0, x 1 = 2 и x 2 = -6.
Затоа, ги наоѓаме корените на равенката со комбинирање на сите корени на двете равенки:=2 и =-6,
Првата равенка има два корени -1 и 1, но втората равенка нема вистински корени, значи равенката има само два корени: -1 и 1. Одговори. -1; 1.
4). Симетрични равенки.
Полином во неколку променливи се нарекува симетричен полином ако неговата форма не се менува со некоја пермутација на овие променливи.
На пример, полиномите x + y, a 2 + b 2 - 1, zt и 5a 3 + 6ab + 5b 3 - симетрични полиноми во две променливи, полиноми x + y + z, a 3 + б 3 + в 3 , - симетрични полиноми во три променливи.
Во исто време, полиномите x - y, a 2 –b 2 и a 3 + ab – b 3 - несиметрични полиноми.
Равенка ax 4 +bx 3 +cx 2 +bx+a=0, каде што a R/ ,b R, c R се нарекува симетрична равенка од четврти степен. За да ја решите оваа равенка ви треба:
1).Поделете ги двете страни на равенката со x 2 и групирајте ги добиените изрази:.
2).Воведување на променливаравенката се сведува на квадратна.
Пример.
Решете ја равенката x 4 +5x 3 +4x 2 -5x+1=0.
Бројот 0 не е коренот на равенката. Поделете ги двете страни на равенката со x 2 ≠0.
Одговори. .
Системи на рационални равенки.
Системи на равенки се појавуваат кога се решаваат проблеми во кои се непознати неколку величини. Овие величини се поврзани со одредена врска, кои се запишуваат во форма на равенки.
Равенката чија лева и десна страна се рационални изрази за x и y се нарекува рационална равенка со две непознати x и y.
Ако треба да ги најдеме сите парови броеви x и y, од кои секој е решение за секоја од дадените равенки со две непознати x и y, тогаш велиме дека треба да решиме систем на равенки со две непознати x и y , и секој таков пар се нарекува решение на овој систем.
Непознатите може да се означат и со други букви. На сличен начин се одредува и систем на равенки во кој бројот на непознати е поголем од две.
Ако секое решение на првиот систем на равенки е решение за вториот систем, а секое решение на вториот систем на равенки е решение за првиот систем, тогаш таквите системи се нарекуваат еквивалентни. Конкретно, два системи кои немаат решенија се сметаат за еквивалентни.
На пример, системите се еквивалентни
1). Метод на замена.
ПРИМЕР 1. Да го решиме системот равенки
Изразувајќи y преку x од првата равенка на системот, ја добиваме равенката:
y = 3x - 1.
Решавање на 5x равенка 2 -4 (3x-1) + 3 (3x-1) 2 =9, најдете ги неговите корени x 1 = 1 и x 2 = . Замена на пронајдените броеви x 1 и x 2 во равенката y = 3x - 1, добиваме y 1 = 2
и y = Следствено, системот има две решенија: (1; 2) и (; )
Одговори. (12), (;)
2). Алгебарски метод на собирање.
ПРИМЕР 2. Да го решиме системот равенки
Оставајќи ја првата равенка на системот непроменета и додавајќи ја првата равенка со втората, добиваме систем еквивалент на системот.
Сите решенија на системот се спој на сите решенија на два системи:
(2; 1), (-2; -1),
Одговори. (2; 1), (-2; -1),.
3). Начин на воведување нови непознати.
ПРИМЕР 3. Да го решиме системот равенки
Означувајќи u = xy, v = x - y, го препишуваме системот во форма
Да ги најдеме неговите решенија: у 1 = 1, v 1 = 0 и u 2 = 5, v 2 = 4. Следствено, сите решенија на системот се спој на сите решенија на два системи:
Откако го решивме секој од овие системи користејќи го методот на замена, ги наоѓаме неговите решенија за системот: (1; 1), (-1; -1), (5; 1), (-1; -5).
Одговори. (1; 1), (-1; -1), (5; 1), (-1; -5).
4). Равенка на формата ах 2 + bxy + su 2 = 0, каде што a, b, c се дадени броеви кои не се нула, се нарекува хомогена равенка во однос на непознатите x и y.
Размислете за систем на равенки во кој постои хомогена равенка.
ПРИМЕР 4. Да го решиме системот равенки
Означување t = , првата равенка на системот ја препишуваме во форма т 2 +4t+3=0.
Равенката има два корени t 1 = -1 и t 2 = -3, затоа сите решенија на системот се спој на сите решенија на два системи:
Откако го решивме секој од овие системи, ги наоѓаме сите решенија на системот:
(2,5; -2,5), (0,5; -0,5), ,(1,5;-0,5).
Одговори. (2,5; -2,5), (0,5; -0,5),,(1,5;-0,5).
При решавање на некои системи помага познавањето на својствата на симетричните полиноми.
Пример.
Да воведеме нови непознати α = x + y и β = xy, потоа x 4 +у 4 = α 4 -4 α 2 β+2 β 2
Затоа, системот може да се препише во форма
Да ја решиме квадратната равенка за β: β 1 =6, β 2 =44.
Затоа, сите решенија на системот се унија
сите решенија на два системи:
Првиот систем има две решенија x 1 = 2, y 1 = 3 и x 2 = 3, y 2 =2, но вториот систем нема валидни решенија. Според тоа, системот има две решенија: (x: 1 ; y 1) и (x 2;y 2)
Одговори. (2; 3), (3; 2).
Денес ги сумиравме резултатите од проучувањето на темата рационални равенки. Разговаравме за општи идеи, општи методи, на кој се заснова целата училишна линија на равенки.
Идентификувани се методи за решавање равенки:
1) метод на факторизација;
2) метод на воведување нови променливи.
Го проширивме нашето разбирање за методите за решавање системи на равенки.
Во следните 4 лекции ќе спроведеме практични вежби. За да го направите ова, треба да научите теоретски материјал, и изберете 2 примери од учебникот за разгледуваните методи за решавање равенки и системи на равенки, во лекција 6 ќе се одржи семинар на оваа тема, за ова треба да подготвите прашања: Њутнова биномна формула, решавање симетрични равенки од степен 3,5 . Последна лекцијана оваа тема - тест.
Литература.
- Алгебра и почетоците на анализата: учебник. За 10 кл. општо образование институции/[С.М.Николски, М.К. Потапов].-5. изд., дополнително-М.: Образование, 2006.-432 стр. стр.65-74., 45-47.
- Математика: обука тематски задачи зголемена сложеностсо одговори за подготовка за Единствен државен испит и други облици на завршни и приемни испити/комп. Ѓ.И.Ковалева, Т.И. Бузулина - Волгоград: Учител, 2009.-494 стр. – стр 62-72,194-199.
- Титаренко А.М. Математика: 9-11 одделение: 6000 задачи и примери/А.М. Титаренко.-М.: Ексмо, 2007.-336 стр.
Има многу да се каже за равенките. Има прашања од оваа област на математиката на кои математичарите сè уште не одговориле. Можеби некои од вас ќе најдат одговори на овие прашања.
Алберт Ајнштајн рекол: „Морам да го поделам моето време меѓу политика и равенки. Сепак, равенките, според мене, се многу поважни. Политиката постои само за во овој момент. И равенките ќе постојат засекогаш“.
Лекциите 2-5 се доделени практична настава. Главниот тип на активност на овие часови е самостојната работа на студентите за консолидирање и продлабочување на теоретскиот материјал презентиран на предавањето. На секоја од нив се повторуваат теоретски прашања и се анкетираат учениците. Врз основа самостојна работаво училницата и дома, се обезбедува повторување и асимилација на теоретски прашања, намерна работада развијат вештини за решавање проблеми различни нивоатешкотии, се спроведува анкета на ученици. Цел: да се консолидира и продлабочи теоретскиот материјал презентиран на предавањето, да се научи да се применува во пракса и да се совладаат алгоритмите за решение типични примерии задачи, за да се осигура дека сите студенти ја совладаат главната содржина на делот што се изучува на ниво на програмски барања.
За семинарот се распределени 6-та и 7-та лекција, а на 6-та лекција се препорачува да се спроведе семинар, а на 7-миот тест.
План за лекција-семинар.
Цел: повторување, продлабочување и генерализирање на опфатениот материјал, разработување на основните методи, методи и техники на решавање математички проблеми, стекнување на нови знаења, обука независна употребазнаење во нестандардни ситуации.
1. На почетокот на часот се организира програмска контрола. Цел на настанот работа-проверкаразвој на вештини и способности за изведување едноставни вежби. Во процесот на фронтално испрашување на ученици кои погрешно го навеле бројот на одговорот, наставникот открива која од задачите предизвикала тешкотии. Следува орално или документацијада се елиминираат грешките. Не повеќе од 10 минути се доделуваат за спроведување на програмирана контрола.
2. Диференцирано истражување на неколку студенти за прашања од теоријата.
3. Историска референцаза појавата и развојот на концептот на равенка (порака на ученикот). Биномната формула на Њутн. Решавање симетрични равенки од трет степен, четврти степен, петти степен.
x 4 -2x 3 -x 2 -2x+1=0
2x 4 +x 3 -11x 2 +x+2=0
x 5 -x 4 -3x 3 -3x 2 -x+1=0
2x 5 +3x 4 -5x 3 -5x 2 +3x+2=0
4. Решавање примери, проверка на подготвеноста на учениците за изведување тест работа– ова е една од главните цели на семинарот.
Спроведување на тестот.
Спроведувањето на тест не значи напуштање на тековното следење на знаењето на учениците. Се даваат оценки на практични и семинарски часови. Ќе бидат тестирани некои типични вежби. Студентите однапред се информирани каков теоретски материјал и вежби ќе бидат презентирани за време на тестот. Дозволете ни да ја претставиме содржината на една од картичките за тестирање на темата што се разгледува.
Ниво 1.
Решете ги равенките: (x+3) 4 +(x 2 +x-6) 2 =2(x-2) 4
X 2 +25 =24
(2x 2 -3x+1) (2x 2 -5x+1)=8x 2
Ниво 2.
Решете ги равенките: x 4 +8x 3 +8x 2 -32x-9=0
8x 3 -12x 2 +x-7=0
Преглед:
За да користите прегледи на презентации, креирајте сметка за себе ( сметка) Google и најавете се:
Во оваа статија ќе ви покажам алгоритми за решавање на седум видови рационални равенки, кој може да се сведе на квадрат со менување на променливите. Во повеќето случаи, трансформациите што доведуваат до замена се многу нетривијални и тешко е самостојно да се погоди за нив.
За секој тип на равенка, ќе објаснам како да направите промена на променливата во неа, а потоа ќе прикажам детално решение во соодветниот видео туторијал.
Имате можност сами да продолжите да ги решавате равенките, а потоа да го проверите вашето решение со видео лекцијата.
Значи, да започнеме.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
Забележете дека на левата страна од равенката има производ од четири загради, а на десната страна има број.
1. Да ги групираме заградите по две, така што збирот на слободните членови е ист.
2. Умножете ги.
3. Да воведеме промена на променливата.
Во нашата равенка, првата заграда ќе ја групираме со третата, а втората со четвртата, бидејќи (-1)+(-4)=(-7)+2:
Во овој момент, замената на променливата станува очигледна:
Ја добиваме равенката 
Одговор: 
2 .
Равенката од овој тип е слична на претходната со една разлика: на десната страна од равенката е производот од бројот и . И тоа е решено на сосема поинаков начин:
1. Заградите ги групираме по две така што производот на слободните членови е ист.
2. Помножете го секој пар загради.
3. Го вадиме x од секој фактор.
4. Поделете ги двете страни на равенката со .
5. Воведуваме промена на променлива.
Во оваа равенка, првата заграда ја групираме со четвртата, а втората со третата, бидејќи:
Забележете дека во секоја заграда коефициентот во и слободниот член се исти. Ајде да земеме фактор од секоја заграда:
Бидејќи x=0 не е корен од првобитната равенка, ги делиме двете страни на равенката со . Добиваме:
Ја добиваме равенката: 
Одговор: 
3
. 
Забележете дека именители на двете дропки се квадратни триноми, за кои водечкиот коефициент и слободниот член се исти. Да го извадиме x од заградата, како во равенката од вториот тип. Добиваме:
Поделете ги броителите и именителот на секоја дропка со x:
Сега можеме да воведеме замена на променлива:
Добиваме равенка за променливата t:
4 .
Забележете дека коефициентите на равенката се симетрични во однос на централниот. Оваа равенка се нарекува повратен .
За да го решите,
1. Поделете ги двете страни на равенката со (Ова можеме да го направиме бидејќи x=0 не е корен од равенката.) Добиваме:
2. Да ги групираме поимите на овој начин:
3. Во секоја група ќе ја ставиме надвор од загради заеднички мултипликатор:
4. Да ја претставиме замената:
5. Изрази го преку т изразот:
Од тука 
Ја добиваме равенката за t:
Одговор:
5. Хомогени равенки.
Равенки кои имаат хомогена структура може да се сретнат при решавање на експоненцијални, логаритамски и тригонометриски равенки, па затоа треба да бидете способни да ги препознаете.
Хомогените равенки ја имаат следната структура:
Во оваа еднаквост, A, B и C се броеви, а квадратот и кругот означуваат идентични изрази. Односно, на левата страна на хомогена равенка има збир на мономи кои имаат истиот степен(В во овој случајстепенот на мономите е 2), а слободен член нема.
За да решите хомогена равенка, поделете ги двете страни со
Внимание! Кога ја делите десната и левата страна на равенката со израз што содржи непозната, може да изгубите корени. Затоа, потребно е да се провери дали корените на изразот со кој ги делиме двете страни на равенката се корени на првобитната равенка.
Ајде да одиме на првиот пат. Ја добиваме равенката:
Сега воведуваме замена на променлива:
Да го поедноставиме изразот и да добиеме биквадратна равенкаво однос на т:
Одговор:или
7
. 
Оваа равенка ја има следната структура:
За да го решите, треба да изберете целосен квадрат на левата страна од равенката.
За да изберете полн квадрат, треба да додадете или одземете двапати од производот. Потоа го добиваме квадратот на збирот или разликата. Ова е клучно за успешна замена на променливата.
Ајде да започнеме со наоѓање двојно поголем производ. Ова ќе биде клучот за замена на променливата. Во нашата равенка, двојно производот е еднаков на
Сега да откриеме што е позгодно за нас - квадратот на збирот или разликата. Ајде прво да го разгледаме збирот на изрази:
Одлично! Овој израз е точно еднаков на двојно поголем производ. Потоа, за да го добиете квадратот на збирот во загради, треба да го соберете и одземете двојниот производ:
Тема III. СИСТЕМИ НА РАЦИОНАЛНИ РАВЕНКИ
Систем е збир на услови кои мора да бидат исполнети истовремено. Овие услови може да се изразат во форма на равенки и неравенки.
Условите вклучени во системот обично се пишуваат во колона и се наредени на левата страна со заграда.
Систем кој се состои од равенки се нарекува систем на равенки.
Систем кој се состои од равенки и неравенки се нарекува мешан систем.
Решавањето на системот значи наоѓање збир на вредности за непознатите што ги задоволува сите негови услови.
Опсегот на системот е заеднички делобласта на дефинирање на условите вклучени во него. Решението на системот, доколку постои, секогаш припаѓа на доменот на неговата дефиниција.
Системот кој има решение се нарекува зглоб.
Систем кој нема решенија се нарекува неконзистентен или неконзистентен.
Поглавје I. РЕШЕНИЕ НА ЛИНЕАРНИ СИСТЕМИ СО МЕТОД НА ПОСЛЕДНИЧКО ЕЛИМИНИРАЊЕ НА НЕПОЗНАТИ (ГАУС МЕТОД)
§ I. Дефиниција на системи на линеарни алгебарски равенки
Цела рационална равенка се нарекува линеарна алгебарска ако двата нејзини дела се состојат од поими чиј степен не е повисок од првиот во однос на непознатите што се одредуваат.
Системот се нарекува линеарен ако содржи само линеарни алгебарски равенки.
(Следно, има програмабилен дел од прирачникот, во кој кога одговарате на прашања или задачи треба да ја затворите десната страна на страницата. На овој дел од страницата се проверува точноста на задачата или одговорот што сте го завршиле. Редоследот на работа со програмабилниот прирачник се одредува со овие примери, поставените прашања или задачите на вашите реакции на нив. Оваа низа не треба да се прекинува.)
Определи дали системите дадени во примерите бр. 1 и бр. 2 се линеарни во однос на x и y.
| Пример бр. 1 Пример бр. 2
Во примерот бр. 3, направете замена што го доведува овој систем до линеарен. Пример бр. 3 | Одговори: Системот е линеарен. Системот не е линеарен.  Ова се членови од 1 степен во однос на x и y (збирот на експонентите за x и y во секој од нив е еднаков на еден). Поимите од десната страна на првата равенка имаат релативно x и y нула степен. Значи  (збирот на експонентите за x и y во секој од нив е нула) Овде ја користевме дефиницијата x 0 ≡ 1 за x ≠0, y 0 ≡ 1 за y ≠0. Втората равенка на системот, како прво, може да се претстави во форма  .Сега левата страна на втората равенка содржи членови од првиот степен во однос на x и y, а десната страна содржи нула. Значи, овој системе линеарна, бидејќи се состои од линеарни равенки. Одете на примерот #2. Одговори: Системот е нелинеарен. 2. Системот е линеарен. А) Точно. Но со замена
овој систем се сведува на линеарен во однос на новите непознати u, v, t. Одете на примерот бр. 3. Б) Не е точно. Равенките на системот не можат да се наречат линеарни, бидејќи левите страни на равенката го содржат збирот на дропки чии степени не се определени. (Можете да го одредите само степенот на полиномот, т.е. аналитичко изразување, во која не се вршат повеќе од две операции на букви и бројки: алгебарско собирање и множење). |
Ја воведовме равенката погоре во § 7. Прво, да се потсетиме што рационално изразување. Ова - алгебарски израз, составена од броеви и променливата x користејќи ги операциите собирање, одземање, множење, делење и степенување со природен показател.
Ако r(x) е рационален израз, тогаш равенката r(x) = 0 се нарекува рационална равенка.
Меѓутоа, во пракса попогодно е да се користи малку пошироко толкување на терминот „рационална равенка“: ова е равенка од формата h(x) = q(x), каде што h(x) и q(x) се рационални изрази.
Досега не можевме да решиме ниту една рационална равенка, туку само една која, како резултат на тоа, разни трансформацииа расудувањето се сведуваше на линеарна равенка. Сега нашите можности се многу поголеми: ќе можеме да решиме рационална равенка што се сведува не само на линеарна
mu, но и на квадратната равенка.
Да се потсетиме како претходно ги решававме рационалните равенки и да се обидеме да формулираме алгоритам за решение.
Пример 1.Решете ја равенката
Решение. Ајде да ја преработиме равенката во форма
Во овој случај, како и обично, го користиме фактот што еднаквостите A = B и A - B = 0 ја изразуваат истата врска помеѓу A и B. Ова ни овозможи да го пренесеме терминот на лева странаравенки со спротивен знак.
Ајде да ја трансформираме левата страна на равенката. Ние имаме
Да се потсетиме на условите на еднаквост дропкинула: ако и само ако две релации се истовремено задоволени:
1) броител на дропката еднаква на нула(a = 0); 2) именителот на дропката е различен од нула).
Изедначувајќи го броителот на дропот од левата страна на равенката (1) на нула, добиваме
Останува да се провери исполнувањето на вториот услов наведен погоре. Релацијата значи за равенката (1) дека . Вредностите x 1 = 2 и x 2 = 0,6 ги задоволуваат наведените односи и затоа служат како корени на равенката (1), а во исто време и корени на дадената равенка.
1) Ајде да ја трансформираме равенката во форма
2) Да ја трансформираме левата страна на оваа равенка:
(истовремено ги смени знаците во броителот и
дропки).
Така, дадена равенказема форма
3) Решете ја равенката x 2 - 6x + 8 = 0. Најдете
4) За пронајдените вредности проверете го исполнувањето на условот 
. Бројот 4 го задоволува овој услов, но бројот 2 не. Ова значи дека 4 е коренот на дадената равенка, а 2 е необичен корен.
ОДГОВОР: 4.
2. Решавање на рационални равенки со воведување нова променлива
Начинот на воведување нова променлива ви е познат, ние сме го користеле повеќе од еднаш. Да покажеме со примери како се користи при решавање на рационални равенки.
Пример 3.Решете ја равенката x 4 + x 2 - 20 = 0.
Решение. Да воведеме нова променлива y = x 2 . Бидејќи x 4 = (x 2) 2 = y 2, дадената равенка може да се препише како
y 2 + y - 20 = 0.
Ова е квадратна равенка, чии корени може да се најдат со користење на познати формули; добиваме y 1 = 4, y 2 = - 5.
Но, y = x 2, што значи дека проблемот е сведена на решавање на две равенки:
x 2 =4; x 2 = -5.
Од првата равенка откриваме дека втората равенка нема корени.
Одговор:.
Равенката од формата ax 4 + bx 2 +c = 0 се нарекува биквадратна равенка („bi“ е два, т.е. еден вид „двојна квадратна“ равенка). Штотуку решената равенка беше прецизно биквадратична. Секоја биквадратна равенка се решава на ист начин како равенката од Пример 3: воведете нова променлива y = x 2, решете ја добиената квадратна равенка во однос на променливата y, а потоа вратете се на променливата x.
Пример 4.Решете ја равенката
Решение. Забележете дека истиот израз x 2 + 3x се појавува двапати овде. Ова значи дека има смисла да се воведе нова променлива y = x 2 + 3x. Ова ќе ви овозможи да ја преработите равенката на поедноставен и изгледа убаво(што, всушност, е и целта да се воведе нов променлива- и поедноставување на снимањето
станува појасна, а структурата на равенката станува појасна):
Сега да го искористиме алгоритмот за решавање на рационална равенка.
1) Да ги преместиме сите поими од равенката во еден дел:
= 0
2) Трансформирајте ја левата страна на равенката
Значи, дадената равенка ја трансформиравме во форма
3) Од равенката - 7y 2 + 29y -4 = 0 наоѓаме (вие и јас веќе решивме доста квадратни равенки, па веројатно не вреди секогаш да даваме детални пресметки во учебникот).
4) Ајде да ги провериме пронајдените корени користејќи го условот 5 (y - 3) (y + 1). Двата корени ја задоволуваат оваа состојба.
Значи, квадратната равенка за новата променлива y е решена: 
Бидејќи y = x 2 + 3x, а y, како што утврдивме, зема две вредности: 4 и , сепак треба да решиме две равенки: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Корените на првата равенка се броевите 1 и - 4, корените на втората равенка се броевите
Во разгледаните примери, методот на воведување нова променлива беше, како што сакаат да кажат математичарите, адекватен на ситуацијата, односно добро соодветствуваше со неа. Зошто? Да, затоа што истиот израз јасно се појавуваше во равенката неколку пати и имаше причина да се означи овој израз ново писмо. Но, тоа не се случува секогаш; понекогаш нова променлива „се појавува“ само за време на процесот на трансформација. Токму тоа ќе се случи во следниот пример.
Пример 5.Решете ја равенката
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Решение. Ние имаме
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) = x 2 -Зx+2.
Тоа значи дека дадената равенка може да се препише во форма
(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24
Сега „се појави“ нова променлива: y = x 2 - 3x.
Со негова помош, равенката може да се преработи во форма y (y + 2) = 24 и потоа y 2 + 2y - 24 = 0. Корените на оваа равенка се броевите 4 и -6.
Враќајќи се на првобитната променлива x, добиваме две равенки x 2 - 3x = 4 и x 2 - 3x = - 6. Од првата равенка наоѓаме x 1 = 4, x 2 = - 1; втората равенка нема корени.
ОДГОВОР: 4, - 1.
Ајде да се запознаеме со рационалните и фракционите рационални равенки, да ја дадеме нивната дефиниција, да дадеме примери, а исто така да ги анализираме најчестите видови проблеми.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Рационална равенка: дефиниција и примери
Запознавањето со рационалните изрази започнува во 8 одделение на училиште. Во тоа време, на часовите по алгебра, учениците сè повеќе почнуваат да се среќаваат со задачи со равенки кои содржат рационални изрази во нивните белешки. Ајде да си ја освежиме меморијата за тоа што е.
Дефиниција 1
Рационална равенкае равенка во која двете страни содржат рационални изрази.
Во различни прирачници можете да најдете друга формулација.
Дефиниција 2
Рационална равенка- ова е равенка, чија лева страна содржи рационален израз, а десната страна содржи нула.
Дефинициите што ги дадовме за рационални равенки се еквивалентни, бидејќи зборуваат за истото. Точноста на нашите зборови се потврдува со фактот дека за какви било рационални изрази ПИ Правенки P = QИ P − Q = 0ќе бидат еквивалентни изрази.
Сега да ги погледнеме примерите.
Пример 1
Рационални равенки:
x = 1, 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3.
Рационалните равенки, исто како и равенките од другите типови, можат да содржат кој било број на променливи од 1 до неколку. Прво ќе погледнеме едноставни примери, во која равенките ќе содржат само една променлива. И тогаш ќе почнеме постепено да ја комплицираме задачата.
Рационалните равенки се поделени на две големи групи: цели броеви и дропки. Ајде да видиме кои равенки ќе важат за секоја од групите.
Дефиниција 3
Рационална равенка ќе биде цел број ако нејзината лева и десна страна содржат цели рационални изрази.
Дефиниција 4
Рационална равенка ќе биде фракционална ако еден или двата нејзини делови содржат дропка.
Дробните рационални равенки нужно содржат делење со променлива или променливата е присутна во именителот. Таква поделба нема при пишувањето на цели равенки.
Пример 2
3 x + 2 = 0И (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– цели рационални равенки. Овде двете страни на равенката се претставени со целобројни изрази.
1 x - 1 = x 3 и x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5се фракционо рационални равенки.
Цели рационални равенки вклучуваат линеарни и квадратни равенки.
Решавање на цели равенки
Решавањето на таквите равенки обично се сведува на нивно претворање во еквивалентни алгебарски равенки. Ова може да се постигне со извршување на еквивалентни трансформации на равенките во согласност со следниот алгоритам:
- прво добиваме нула на десната страна на равенката, за да го направиме ова, треба да го преместиме изразот што се наоѓа на десната страна на равенката на неговата лева страна и да го смениме знакот;
- тогаш изразот од левата страна на равенката го трансформираме во полином стандарден поглед.
Мора да добиеме алгебарска равенка. Оваа равенка ќе биде еквивалентна на оригиналната равенка. Лесните случаи ни овозможуваат да ја намалиме целата равенка на линеарна или квадратна за да го решиме проблемот. ВО општ случајрешаваме алгебарска равенка од степен n.
Пример 3
Неопходно е да се најдат корените на целата равенка 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.
Решение
Да го трансформираме оригиналниот израз за да добиеме еквивалентна алгебарска равенка. За да го направите ова, ќе го пренесеме изразот содржан на десната страна на равенката на левата страна и ќе го замениме знакот со спротивниот. Како резултат добиваме: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.
Сега да го трансформираме изразот што е на левата страна во полином на стандардната форма и да произведеме потребни дејствијасо овој полином:
3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6
Успеавме да го намалиме решението на првобитната равенка до решението квадратна равенкаљубезен x 2 − 5 x − 6 = 0. Дискриминантата на оваа равенка е позитивна: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 .Ова значи дека ќе има два вистински корени. Ајде да ги најдеме користејќи ја формулата за корените на квадратна равенка:
x = - - 5 ± 49 2 1,
x 1 = 5 + 7 2 или x 2 = 5 - 7 2,
x 1 = 6 или x 2 = - 1
Да ја провериме исправноста на корените на равенката што ја најдовме при решението. За ова, ги заменуваме броевите што ги добивме во оригиналната равенка: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3И 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 · (− 1) − 1) − 3. Во првиот случај 63 = 63 , во вториот 0 = 0 . Корени x=6И x = − 1се навистина корените на равенката дадена во условот за пример.
Одговор: 6 , − 1 .
Ајде да погледнеме што значи „степен на цела равенка“. Овој термин често ќе го сретнеме во случаи кога треба да претставиме цела равенка во алгебарска форма. Ајде да го дефинираме концептот.
Дефиниција 5
Степен на целата равенка- ова е степенот алгебарска равенка, што е еквивалентно на оригиналната целобројна равенка.
Ако ги погледнете равенките од примерот погоре, можете да утврдите: степенот на целата оваа равенка е втор.
Ако нашиот курс беше ограничен на решавање равенки од втор степен, тогаш дискусијата за темата можеше да заврши тука. Но, не е толку едноставно. Решавањето равенки од трет степен е полн со тешкотии. А за равенки повисоки од четвртиот степен нема општи формуликорени. Во овој поглед, решавањето на цели равенки од третиот, четвртиот и други степени бара од нас да користиме голем број други техники и методи.
Најчесто користениот пристап за решавање на цели рационални равенки се заснова на методот на факторизација. Алгоритмот на дејства во овој случај е како што следува:
- го поместуваме изразот од десната страна налево, така што нулата останува на десната страна на записот;
- Изразот од левата страна го претставуваме како производ на фактори, а потоа преминуваме на множество од неколку поедноставни равенки.
Најдете го решението на равенката (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) .
Решение
Го поместуваме изразот од десната страна на записот налево со спротивен знак: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Претворањето на левата страна во полином од стандардната форма е несоодветно поради фактот што тоа ќе ни даде алгебарска равенка од четврти степен: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Леснотијата на конверзија не ги оправдува сите тешкотии во решавањето на таквата равенка.
Многу е полесно да се оди на друг начин: да го извадиме заедничкиот фактор од заградите x 2 − 10 x + 13 .Значи, доаѓаме до равенка на формата (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Сега ја заменуваме добиената равенка со множество од две квадратни равенки x 2 − 10 x + 13 = 0И x 2 − 2 x − 1 = 0и пронајдете ги нивните корени преку дискриминаторот: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.
Одговор: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.
На ист начин, можеме да го користиме методот на воведување нова променлива. Овој метод ни овозможува да се префрлиме на еквивалентни равенки со степени пониски од степените во оригиналната цел број равенка.
Пример 5
Дали равенката има корени? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?
Решение
Ако сега се обидеме да намалиме цела рационална равенка на алгебарска, ќе добиеме равенка од степен 4, која нема рационални корени. Затоа, ќе ни биде полесно да одиме на друг начин: воведете нова променлива y, која ќе го замени изразот во равенката x 2 + 3 x.
Сега ќе работиме со целата равенка (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). Да ја поместиме десната страна од равенката налево со спротивен знак и да извршиме неопходни трансформации. Добиваме: y 2 + 4 y + 3 = 0. Да ги најдеме корените на квадратната равенка: y = − 1И y = − 3.
Сега ајде да направиме обратна замена. Добиваме две равенки x 2 + 3 x = − 1И x 2 + 3 · x = − 3 .Ајде да ги преработиме како x 2 + 3 x + 1 = 0 и x 2 + 3 x + 3 = 0. Ја користиме формулата за корените на квадратна равенка за да ги најдеме корените на првата равенка од добиените: - 3 ± 5 2. Дискриминантата на втората равенка е негативна. Ова значи дека втората равенка нема вистински корени.
Одговор:- 3 ± 5 2
Цели равенки високи степенисе среќаваме во задачи доста често. Нема потреба да се плашите од нив. Треба да бидете подготвени да аплицирате нестандарден методнивните решенија, вклучувајќи голем број вештачки трансформации.
Решавање на дробни рационални равенки
Разгледувањето на оваа поттема ќе го започнеме со алгоритам за решавање на фракционо рационални равенки од формата p (x) q (x) = 0, каде што p(x)И q(x)– цели рационални изрази. Решението на други фракционо рационални равенки секогаш може да се сведе на решение на равенките од наведениот тип.
Најчесто користениот метод за решавање на равенките p (x) q (x) = 0 се заснова на следната изјава: нумеричка дропка u v, Каде v- ова е број кој е различен од нула, еднаков на нула само во оние случаи кога броителот на дропката е еднаков на нула. Следејќи ја логиката на горната изјава, можеме да тврдиме дека решението на равенката p (x) q (x) = 0 може да се сведе на исполнување на два услови: p(x)=0И q(x) ≠ 0. Ова е основа за изградба на алгоритам за решавање на фракционо рационални равенки од формата p (x) q (x) = 0:
- најдете го решението на целата рационална равенка p(x)=0;
- проверуваме дали е задоволен условот за корените пронајдени при растворот q(x) ≠ 0.
Ако овој услов е исполнет, тогаш пронајдениот корен.Ако не, тогаш коренот не е решение за проблемот.
Пример 6
Да ги најдеме корените на равенката 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .
Решение
Имаме работа со фракциона рационална равенка од формата p (x) q (x) = 0, во која p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. Да почнеме да ја решаваме линеарната равенка 3 x − 2 = 0. Коренот на оваа равенка ќе биде x = 2 3.
Ајде да го провериме пронајдениот корен за да видиме дали го задоволува условот 5 x 2 − 2 ≠ 0. За да го направите ова, ајде да замениме нумеричка вредноство изразување. Добиваме: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.
Условот е исполнет. Тоа значи дека x = 2 3е коренот на првобитната равенка.
Одговор: 2 3 .
Постои уште една опција за решавање на фракционите рационални равенки p (x) q (x) = 0. Потсетиме дека оваа равенка е еквивалентна на целата равенка p(x)=0во регионот прифатливи вредностипроменлива x од првобитната равенка. Ова ни овозможува да го користиме следниов алгоритам при решавање на равенките p (x) q (x) = 0:
- реши ја равенката p(x)=0;
- најдете опсег на дозволени вредности на променливата x;
- ги земаме корените што лежат во опсегот на дозволените вредности на променливата x како сакани корени на оригиналната фракциона рационална равенка.
Решете ја равенката x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.
Решение
Прво, да ја решиме квадратната равенка x 2 − 2 x − 11 = 0. За да ги пресметаме неговите корени, ја користиме формулата за корени за парен втор коефициент. Добиваме D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12и x = 1 ± 2 3 .
Сега можеме да го најдеме ODZ на променливата x за првобитната равенка. Ова се сите бројки за кои x 2 + 3 x ≠ 0. Тоа е исто како x (x + 3) ≠ 0, од каде x ≠ 0, x ≠ − 3.
Сега да провериме дали корените x = 1 ± 2 3 добиени во првата фаза од решението се во опсегот на дозволените вредности на променливата x. Ги гледаме како влегуваат. Ова значи дека првобитната фракциона рационална равенка има два корени x = 1 ± 2 3.
Одговор: x = 1 ± 2 3
Вториот метод на решение опишан полесно од првиотво случаи кога лесно се наоѓа опсегот на дозволените вредности на променливата x и корените на равенката p(x)=0ирационален. На пример, 7 ± 4 · 26 9. Корените можат да бидат рационални, но со голем броител или именител. На пример, 127 1101 И − 31 59 . Ова заштедува време за проверка на состојбата q(x) ≠ 0: Многу е полесно да се исклучат корените кои не се соодветни според ОДЗ.
Во случаите кога корените на равенката p(x)=0се цели броеви, поцелисходно е да се користи првиот од опишаните алгоритми за решавање равенки од формата p (x) q (x) = 0. Најдете ги корените на целата равенка побрзо p(x)=0, а потоа проверете дали условот е задоволен за нив q(x) ≠ 0, наместо да се најде ODZ, а потоа да се реши равенката p(x)=0на овој ОДЗ. Ова се должи на фактот дека во такви случаи обично е полесно да се провери отколку да се најде ДЗ.
Пример 8
Најдете ги корените на равенката (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.
Решение
Да почнеме со гледање на целата равенка (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0и наоѓање на своите корени. За да го направиме ова, го применуваме методот на решавање равенки преку размножување. Излегува дека првобитната равенка е еквивалентна на множество од четири равенки 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, од кои три се линеарни и едниот е квадратен. Наоѓање корени: од првата равенка x = 1 2, од вториот - x=6, од третиот – x = 7 , x = − 2 , од четвртиот – x = − 1.
Ајде да ги провериме добиените корени. Тешко ни е да го одредиме ODZ во овој случај, бидејќи за ова ќе треба да решиме алгебарска равенка од петти степен. Ќе биде полесно да се провери условот според кој именителот на дропката, кој е на левата страна на равенката, не треба да оди на нула.
Ајде наизменично да ги замениме корените за променливата x во изразот x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112и пресметај ја неговата вредност:
1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + ≠ 122;
6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;
7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;
(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;
(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .
Извршената верификација ни овозможува да утврдиме дека корените на првобитната фракциона рационална равенка се 1 2, 6 и − 2 .
Одговор: 1 2 , 6 , - 2
Пример 9
Најдете ги корените на дробната рационална равенка 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0.
Решение
Да почнеме да работиме со равенката (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. Да ги најдеме неговите корени. Полесно ни е да ја замислиме оваа равенка како комбинација од квадратни и линеарни равенки 5 x 2 − 7 x − 1 = 0И x − 2 = 0.
Ја користиме формулата за корените на квадратната равенка за да ги најдеме корените. Од првата равенка добиваме два корени x = 7 ± 69 10, а од втората x = 2.
Ќе ни биде доста тешко да ја замениме вредноста на корените во првобитната равенка за да ги провериме условите. Ќе биде полесно да се одреди ODZ на променливата x. Во овој случај, ODZ на променливата x се сите броеви освен оние за кои условот е исполнет x 2 + 5 x − 14 = 0. Добиваме: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.
Сега да провериме дали корените што ги најдовме припаѓаат на опсегот на дозволени вредности на променливата x.
Корените x = 7 ± 69 10 припаѓаат, според тоа, тие се корените на првобитната равенка, и x = 2- не припаѓа, затоа, тоа е вонреден корен.
Одговор: x = 7 ± 69 10 .
Да ги испитаме одделно случаите кога броителот на фракционата рационална равенка од формата p (x) q (x) = 0 содржи број. Во такви случаи, ако броителот содржи број различен од нула, тогаш равенката нема да има корени. Ако овој број е еднаков на нула, тогаш коренот на равенката ќе биде кој било број од ODZ.
Пример 10
Решете ја дробната рационална равенка - 3, 2 x 3 + 27 = 0.
Решение
Оваа равенка нема да има корени, бидејќи броителот на дропот од левата страна на равенката содржи број кој не е нула. Тоа значи дека при ниедна вредност од x вредноста на дропот дадена во исказот за проблемот нема да биде еднаква на нула.
Одговор:без корени.
Пример 11
Решете ја равенката 0 x 4 + 5 x 3 = 0.
Решение
Бидејќи броителот на дропката содржи нула, решението на равенката ќе биде која било вредност x од ODZ на променливата x.
Сега да го дефинираме ODZ. Ќе ги вклучи сите вредности на x за кои x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Решенија на равенката x 4 + 5 x 3 = 0се 0 И − 5 , бидејќи оваа равенка е еквивалентна на равенката x 3 (x + 5) = 0, а тоа пак е еквивалентно на комбинација од две равенки x 3 = 0 и x + 5 = 0, каде што се видливи овие корени. Доаѓаме до заклучок дека саканиот опсег на прифатливи вредности е кој било x освен x = 0И x = − 5.
Излегува дека дробната рационална равенка 0 x 4 + 5 x 3 = 0 има бесконечно множестворешенија, кои се кои било броеви освен нула и - 5.
Одговор: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞
Сега да зборуваме за фракционите рационални равенки произволен типи методи за нивно решавање. Тие можат да бидат напишани како r(x) = s(x), Каде r(x)И s(x)– рационални изрази, а барем еден од нив е дробен. Решавањето на такви равенки се сведува на решавање равенки од формата p (x) q (x) = 0.
Веќе знаеме што можеме да добиеме еквивалентна равенкакога се пренесува израз од десната страна на равенката налево со спротивен знак. Ова значи дека равенката r(x) = s(x)е еквивалентно на равенката r (x) − s (x) = 0. Исто така, веќе разговаравме за начините за претворање на рационален израз во рационална дропка. Благодарение на ова, лесно можеме да ја трансформираме равенката r (x) − s (x) = 0во идентична рационална дропка од формата p (x) q (x) .
Така, се движиме од првобитната фракциона рационална равенка r(x) = s(x)до равенка од формата p (x) q (x) = 0, која веќе научивме да ја решаваме.
Треба да се земе предвид дека кога се прават транзиции од r (x) − s (x) = 0до p(x)q(x) = 0 и потоа до p(x)=0можеби нема да го земеме предвид проширувањето на опсегот на дозволените вредности на променливата x.
Сосема е можно дека оригиналната равенка r(x) = s(x)и равенка p(x)=0како резултат на трансформациите тие ќе престанат да бидат еквивалентни. Потоа решението на равенката p(x)=0може да ни даде корени на кои ќе им биде туѓо r(x) = s(x). Во овој поглед, во секој случај потребно е да се изврши верификација користејќи кој било од методите опишани погоре.
За полесно да ја проучувате темата, ги сумиравме сите информации во алгоритам за решавање на фракциона рационална равенка на формата r(x) = s(x):
- го пренесуваме изразот од десната страна со спротивен знак и добиваме нула од десната страна;
- трансформирање на оригиналниот израз во рационална дропка p (x) q (x) , секвенцијално извршувајќи операции со дропки и полиноми;
- реши ја равенката p(x)=0;
- Ние ги идентификуваме надворешните корени со проверка на нивната припадност на ODZ или со замена во оригиналната равенка.
Визуелно, синџирот на дејства ќе изгледа вака:
r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → елиминација НАДВОРЕШНИ КОРЕНИ
Пример 12
Решете ја дробната рационална равенка x x + 1 = 1 x + 1 .
Решение
Да преминеме на равенката x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Да го трансформираме фракциониот рационален израз од левата страна на равенката во формата p (x) q (x) .
За да го направиме тоа ќе мора да донесеме рационални дропкиДо заеднички именители поедностави го изразот:
x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)
За да ги најдеме корените на равенката - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, треба да ја решиме равенката − 2 x − 1 = 0. Добиваме еден корен x = - 1 2.
Сè што треба да направиме е да провериме користејќи некој од методите. Ајде да ги погледнеме и двете.
Ајде да ја замениме добиената вредност во првобитната равенка. Добиваме - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Дојдовме до вистинскиот заклучок нумеричка еднаквост − 1 = − 1 . Тоа значи дека x = − 1 2е коренот на првобитната равенка.
Сега да провериме преку ОДЗ. Дозволете ни да го одредиме опсегот на дозволените вредности на променливата x. Ова ќе биде целото множество броеви, со исклучок на − 1 и 0 (при x = − 1 и x = 0, именителот на дропките исчезнуваат). Коренот што го добивме x = − 1 2припаѓа на ОДЗ. Ова значи дека е коренот на првобитната равенка.
Одговор: − 1 2 .
Пример 13
Најдете ги корените на равенката x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.
Решение
Имаме работа со фракциона рационална равенка. Затоа, ќе постапиме според алгоритмот.
Да го поместиме изразот од десната страна налево со спротивен знак: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0
Ајде да ги извршиме потребните трансформации: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.
Доаѓаме до равенката x = 0. Коренот на оваа равенка е нула.
Ајде да провериме дали овој корен е необичен за првобитната равенка. Ајде да ја замениме вредноста во првобитната равенка: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Како што можете да видите, добиената равенка нема смисла. Ова значи дека 0 е необичен корен, а првобитната фракциона рационална равенка нема корени.
Одговор:без корени.
Ако не сме вклучиле други еквивалентни трансформации во алгоритмот, тоа не значи дека тие не можат да се користат. Алгоритмот е универзален, но тој е дизајниран да помогне, а не да ограничува.
Пример 14
Реши ја равенката 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24
Решение
Најлесен начин е да се реши дадената фракциона рационална равенка според алгоритмот. Но, постои и друг начин. Ајде да го разгледаме.
Одземе 7 од десната и левата страна, добиваме: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.
Од ова можеме да заклучиме дека изразот во именителот на левата страна мора да биде еднаков на бројот реципрочен бројод десната страна, односно 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.
Одземете 3 од двете страни: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. По аналогија, 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, од каде 1 5 - x 2 = 1 3, а потоа 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2
Дозволете ни да извршиме проверка за да утврдиме дали пронајдените корени се корените на првобитната равенка.
Одговор: x = ± 2
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter