Нормална равенка на права. Проблемот на одредување на растојанието од точка до права

МАТЕМАТИКА

ЛИНЕАРНА АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА

(стандардна пресметка)

Насоки и контролни задачи

За самостојна работаучениците

планински специјалитети цело времеобука

Составен од М.К. Курчин

Одобрено на состанок на одделот

воспитно-методолошка комисија

специјалитети 130403

Протокол бр.10 од 27.04.2009 година

Се чува електронска копија

во библиотеката на главната зграда

ГУ КузГТУ

КЕМЕРОВО 2010 г

оваа работаслужи за висококвалитетно спроведување на стандардните пресметки од страна на студентите од прва година во првата академски семестарпо тема" линеарна алгебра"И" аналитичка геометрија" Како главен учебник се препорачува „Курчин М.К. додаток / Државен универзитет КузГТУ. – Кемерово, 2004. – 158 стр.“ Имено, според овој учебник, во дадените решенија на проблемите се посочени ставови за самостојна работа. Насоките содржат пример за извршување типична пресметка (од шест задачи) и контролни задачи во износ од 36 опции. На крај методолошки инструкцииДадени се одговори на сите проблеми.

Пример за типична пресметка

Проблем 1. Решете го системот

а) метод секвенцијална елиминацијанепознат;

б) методот на детерминанти; в) метод на матрица.

Решение. а) Треба (§1) да напишеме матрица од коефициентите на системот, да прикачиме на неа колона со слободни членови, одделени за погодност со вертикална лента и да ги извршиме сите трансформации на редовите на оваа продолжена матрица.

Да ја трансформираме проширената матрица на овој систем: . Не се потребни дополнителни трансформации на продолжената матрица.

Значи, доаѓаме до системот на равенки

или

поседување единственото решение X = –1, y = -2, z = 1.

Почетниот систем се покажа како дефинитивен.

б). За нашиот систем (§5 и §6) ги пресметуваме сите потребни детерминанти. Еве:

Сега го наоѓаме.

в) Матрицата на коефициенти за непознатите ќе биде:

. Нејзината детерминанта D = | А| = 2, значи инверзна матрица А- 1 постои (§44 и §45), и

Колонската матрица на слободните членови на системските равенки ќе биде: . Решението на системот ќе биде матрицата:

, т.е.

Проблем 2. Темињата на триаголникот се на точките А(–5; 1; 3), Б(–5; 4; 7) и В(5; -4; -7). Најдете ги координатите на тежиштето на триаголникот, големината на аголот Аи косинусите на насоката на симетралата на овој агол.

Решение. Да се најдат координатите на точка Фе тежиштето на триаголникот, забележете дека ја дели медијаната БДво сооднос 2:1, сметајќи од врвот Б, и точка Дја дели страната АДна половина (§§7-15). Најдете ги координатите на точката Д, за што ги користиме формулите за делење отсечка на половина:

Значи, и период Фдели сегмент БДво врска

Наоѓање на координатите на точката Ф:

И центарот на гравитација на триаголникот е во точката

Со цел да се најде аголот А, ги посочуваме векторите (сл. 1)

(одземете ги почетните координати од крајните координати) и најдете ги нивните должини:

Потоа
,

и самиот агол Аќе изнесува „37,17 степени.

Косинуси на насоката на симетралите на аглите Аможе да се најде на два начина. Ајде да ги погледнеме.

1 начин. Симетрала внатрешен аголтриаголникот се дели спротивната странана делови пропорционални на соседните страни. Врз основа на ова, заклучуваме дека поентата Кдели сегмент НЕво врска

Наоѓање на координатите на точката К:

така, и векторот на симетралата

Неговата должина

Метод 2. Во насоките на векторите ќе ги разгледаме единечни вектори

И .

Ако ги собереме овие вектори, тогаш паралелограмот АМЛНќе биде во исто време ромб, а неговата дијагонала АЛќе биде симетрала на аголот А. Оттука,

Ајде да ја најдеме должината на овој вектор:

Проблем 3. Пресметајте го растојанието од точката К(2; -1; -2) до авион Р, поминувајќи низ точката М 1 (3; -3; -5) и права линија Род точка К.

Решение. Дадената права минува низ точка М 0 (6; 1; 2) паралелно со векторот = (6; 8; –5) (§27, задача 4). Ајде да го најдеме векторот =(–3; –4; –7). Нормален вектор на рамнина Рнормално на векторите и , па можеме да го земеме како нормален вектор векторски производвектори и .

Ориз. 3. До задача 3

За нас е попогодно да го земеме како вектор, векторот е -19 пати пократок, т.е. = (4; -3; 0). Сега да ја запишеме равенката на рамнината што минува низ точката М 1 нормално на векторот:

4(x – 3) – 3(y + 3) = 0, П: 4x – 3y – 21 = 0.

Останува да се пресмета растојанието на точката Код авионот Р:

И запишете ја равенката на нормална пуштена од точка Кдо авионот Р:

Проблем 4. Дадени равенки X – 2на – 1 = 0, X + 3на– 6 = 0 и 3 X – на+ 2 = 0 од двете страни на триаголникот и средината. Напиши равенки за третата страна на триаголникот и неговата висина спуштена на оваа страна.

Решение. Нека равенките на страните

АБ: X – 2на– 1 = 0 и п.н.е.: X + 3на – 6 = 0.

Најдете ги (§28) координатите на темето Б: Б(3; 1).

Теме координати Бсредната равенка не задоволува: 3 3 – 1 – 6 ¹ 0. Нека медијаната е извлечена од темето Ана страна п.н.е.. Најдете ги координатите на темето

Ориз. 4. До задача 4

А: А(–1; –1).

Сега да ги најдеме координатите на точката Ксредна раскрсница А.К.со страната п.н.е.:

К: К(0; 2).

Точка Вдели сегмент Б.К.надворешно во однос на .

Оттука, В(–3; 3).

Вектор , и равенката на страната А.Ц.како минување низ точка А, паралелно со векторот, ќе се запише:

или 2 x + y + 3 = 0.

Висина Б.Х.оди преку врвот Ба како нормален вектор можете да го земете векторот . Тогаш нејзината равенка ќе биде напишана:

–2(x – 3) + 4(y– 1) = 0 или x – 2y – 1 = 0.

Проблем 5. Преку точка ВО(8; -3) нацртајте права линија така што површината на триаголникот формиран од него и координатните оски е еднаква на една квадратна единица.

Решение. Да ја земеме равенката на права линија во форма на равенка на права линија во отсечки, каде што АИ б- вредностите на сегментите отсечени со права линија на координатни оски(§28).

Ориз. 5. До проблемот 5

Проблемот има 2 решенија. Еден директно Л 1 го пресекува првиот координатен агол за кој а > 0, б> 0 и ab> 0. Уште една права линија Л 2 го пресекува третиот координатен агол, за кој а < 0, б < 0 и ab > 0.

Површина на триаголникот и бидејќи имаме во секој случај

Покрај тоа, саканата права линија поминува низ точката ВОа координатите на второто ја задоволуваат равенката на права линија.

Така, според условите на проблемот, го имаме системот

Ајде да го решиме овој систем:

Или

Решението за овој систем ќе биде два пара вредности:

Затоа, потребните прави линии ги имаат следните равенки:

Л 2

Л 1

Ориз. 6. До проблемот 6

или x + 2y – 2 = 0;

или 9 x + 32y – 24 = 0.

Одговор: X + 2на -2 = 0; 9X +32на –24 = 0.

Проблем 6. Од точка Б(4; 0) зракот е насочен под агол лак на права линија x – 2y

Решение. 1). Нека упадниот зрак е насочен во права линија Б.А., па аголот BAC x – 2y Б.А., се добива со ротирање на векторот спротивно од стрелките на часовникот за агол φ. Да ги користиме формулите за пресметување на координатите на вектор добиен со ротирање спротивно од стрелките на часовникот даден векторпод некој агол (§20):

(1)

Како вектор, можете да земете растегнат вектор, т.е. Формулите (1) потоа ќе ја добијат формата:

или со податоци за задачи

Да ја најдеме равенката на правата АБ, поминувајќи низ точката Би има нормален вектор (§28):

4(x – 4) –3(y-0) = 0 или 4 x – 3y = 16.

Наоѓање на координатите на точката А:

За рефлектираниот зрак, нормалниот вектор може да се добие со ротирање на векторот за истиот агол φ, но сега во насока на стрелките на часовникот. Заменувајќи го аголот φ со аголот –φ во формулите за пресметување на координатите на трансформираниот вектор, го добиваме системот:

или со податоци за задачи

За да ги одредите векторските координати како цели броеви, земете го векторот . Тогаш ќе се запише равенката на рефлектираниот зрак:

0(x – 10) – 5(y– 8) = 0 или y = 8.

2). Сега упадниот зрак нека биде насочен во права линија п.н.е., па аголот Б.Ц.А.е еднакво на φ = арктан. Нормален вектор на дадена права x – 2y+ 6 = 0 ќе има и вектор, нормалниот вектор на упадниот зрак е правилен п.н.е., се добива со ротирање на векторот спротивно од стрелките на часовникот за агол π – φ, што е еквивалентно – до изборот на насока – на ротирање на векторот во насока на стрелките на часовникот за агол φ. Но, ова ќе биде само вектор . Равенка на инцидентен зраци п.н.е.ќе се регистрирате: 0( x – 4) – 5(y– 0) = 0 или y= 0. Потоа СО(–6; 0) и за рефлектираниот зрак нормалниот вектор ќе биде . Конечно, равенката на рефлектираниот зрак ќе биде напишана: 4( x + 6) – 3(y– 0) = 0 или 4 x – 3y + 24 = 0.

Одговор: 1) y = 8; 2) 4x – 3y + 24 = 0.

Тест задачи

1. Линеарна алгебра.

Решете го системот линеарни равенкиа) со методот на секвенцијално исклучување на непознати; б) методот на детерминанти; в) метод на матрица.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25. 26. 27.

28. 29. 30.

31. 32. 33.

34. 35. 36.

2. Векторска алгебра.

Темињата на триаголникот се на точките А, ВОИ СО. Најдете ги координатите на центарот на гравитација на триаголникот, косинусите на насоката на симетралата на аголот Аи големината на овој агол.

опција
А	–4;–2;–4	–4; 2; –2	–1; 2; –8	–6; 3; –2	–8; 2; –4	–3; –2; –2
Б	–3; 2; 4	4; –6; 2	–3; –6; 8	–6; 6; 2	–7; 6; 4	4; 2; 2
В	4; 2; 4	–2; 6; 2	3; 6; –1	6; –6; –2	8; –6; –2	–1; 2; 2

опција
А	2; –1; –1	–5; 3; –2	7; 2; 0	–1; 3; –5	–8; 2; –3	5; –6; –4
Б	1; –3; –3	6; –7; –4	–7; –6; –8	1; 7; –1	–4; 6; 4	–5; 5; –6
В	–2; 3; –3	–2; 9; 4	8; 6; 8	1; –7; 6	8; –6; –5	5; 0; 4

опција
А	4; –1; 4	–6; –4; 2	–2; 1; –1	6; –3; –4	4; 5; 0	3; –2; –1
Б	–4;–3;–12	–8; 0; 6	2; –3; 1	–10;–5; 4	5; 9; 8	5; 2; 3
В	5; 3; 12	8; 4; –6	–1; 3; 1	10; 5; 4	–4;–9;–8	–5; 2; –2

опција
А	5; 2; 1	–6;–6;–3	1; –8; –4	–6; 1; –2	–1;–4;–8	–7;–4;–3
Б	–9;–6;–7	–3; 0; 3	–1; 8; 4	–4; 5; 2	1; 4; 8	–3; 4; 5
В	9; 6; 8	6; 6; 3	2; –4; 4	6; –5; 2	0;–2;–6	7; 4; 5

опција
А	4; 2; –7	–1;–4;–8	0;–3;–4	5; –1; 4	–1; –8; 1	3; –3; 1
Б	5; 6; 1	1; 4; 8	3; –3; 0	6; 1; 6	–3; 8; –7	7; 5; 9
В	–4; –6; 7	1; 0; –4	0; 3; 4	–6; 1; –6	3; –4; 8	–7;–5;–10

опција
А	–5;–6;–4	–1; 4; 3	4; –8; –4	3; 1; –2	–2; 2; –6	–8;–1;–4
Б	4; 6; –4	1; –7; –7	5; –4; 4	–4; –3; 2	2; 6; 1	–7; 3; 4
В	–4; –2; 4	–1; 7; 7	–4; 8; –2	4; 3; 0	–2; –7; 6	8; –3; 4

3. Рамнина и права линија во вселената.

1. Пресметајте го растојанието од точката К(–5; 3; –2) до авион Р, поминувајќи низ точката М 0 (3; 2; 4) паралелно со векторот и нормално на рамнината 4 x + y – 3z – 7 = 0, Род точка К.

2. Пресметај растојание од точка К(1; -1; 4) до авион Р, поминувајќи низ точката М 0 (–2; –5; 3) нормално на правата линија и запишете ги равенките на нормалната спуштена на рамнина Род точка К.

3. Пресметај растојание од точка К(–3; 0; 1) до авион Р, поминувајќи низ линијата паралелно со векторот , и запишете ги равенките на нормален спуштен на рамнина Род точка К.

4. Пресметај растојание од точка К(1; 1; 5) до авион Р, поминувајќи низ точката М 0 (2;–1;–3) нормално на две рамнини 5 x – 2y + 12z+ 4 = 0 и 10 x + 7y + 24z Род точка К.

5. Пресметај растојание од точка К(2; 5; 3) до авион Р, поминувајќи низ точката М 0 (–4; 3; –1) паралелни на две прави И , и запишете ги равенките на нормален спуштен на рамнина Род точка К.

6. Пресметај растојание од точка К(4; -1; -2) до авион Р, поминувајќи низ линијата нормално на –4 рамнината x + 7z+ 3 = 0, и запишете ги равенките на нормалната спуштена на рамнина Род точка К.

7. Пресметај растојание од точка К(4; 1; 3) до авион Рпоминувајќи низ две точки М 1 (5; 3; -4) и М 2 (–8; 4; 8) Род точка К.

8. Пресметај растојание од точка К(4; -5; -2) до авион Р И , и запишете ги равенките на нормален спуштен на рамнина Род точка К.

9. Пресметај растојание од точка К(1; -2; 3) до авион Р, поминувајќи низ точката М 0 (4; -3; 1) паралелно со два вектори Род точка К.

10. Пресметај растојание од точка К(1; -1; 0) до авион Р, поминувајќи низ точката М 0 (5; 2; -2) и права линија, и запишете ги равенките на нормална пуштена на рамнина Род точка К.

11. Пресметај растојание од точка К(2; -1; -2) до авион Р, поминувајќи низ точката М 0 (2; -4; 0) паралелно со векторот и нормално на рамнината y + 3z Род точка К.

12. Пресметај растојание од точка К(3; 1; 2) до авион Р, поминувајќи низ точката М 0 (–4; –5; 1) нормално на правата линија и запишете ги равенките на нормалната спуштена на рамнина Род точка К.

13. Пресметај растојание од точка К(2; -3; 4) до авион Р, поминувајќи низ линијата паралелно со векторот , и запишете ги равенките на нормален спуштен на рамнина Род точка К.

14. Пресметај растојание од точка К(–3; 4; –8) до авион Р, поминувајќи низ точката М 0 (–1; 3; –5) нормално на две рамнини 4 x – 2y + 3z– 1 = 0 и 5 x + z+ 9 = 0, и запишете ги равенките на нормалната спуштена на рамнина Род точка К.

15. Пресметај растојание од точка К(7; 2; 5) до авион Р, поминувајќи низ точката М 0 (3; -2; 11) паралелни на две прави И , и запишете ги равенките на нормален спуштен на рамнина Род точка К.

16. Пресметај растојание од точка К(3; 1; 6) до авион Р, поминувајќи низ линијата нормално на рамнината –8 x + 3y + 5z– 1 = 0, и запишете ги равенките на нормалната спуштена на рамнина Род точка К.

17. Пресметај растојание од точка К(3; 6; -6) до авион Рпоминувајќи низ две точки М 1 (2; 4; -5) и М 2 (2; 5; -6) паралелно со векторот , и запишете ги равенките на нормален спуштен на рамнина Род точка К.

18. Пресметај растојание од точка К(–2; –1; 7) до авион Рпоминувајќи низ две паралелни прави И , и запишете ги равенките на нормален спуштен на рамнина Род точка К.

19. Пресметај растојание од точка К(2; 1; 6) до авион Р, поминувајќи низ точката М 0 (–1; –4; 8) паралелно со два вектори И , и запишете ги равенките на нормален спуштен на рамнина Род точка К.

20. Пресметај го растојанието од точка К(1; 3; 1) до авион Р, поминувајќи низ точката М 0 (5;2;-2) и права линија , и запишете ги равенките на нормален спуштен на рамнина Род точка К.

21. Пресметај го растојанието од точка К(6; 3; 3) до авион Р, поминувајќи низ точката М 0 (4; -3; 5) паралелно со векторот и нормално на рамнината 7 x + 4y + 3z– 2 = 0, и запишете ги равенките на нормалната спуштена на рамнина Род точка К.

22. Пресметај растојание од точка К(–3; 5; 3) до авион Р, поминувајќи низ точката М 0 (–3; 1; 2) нормално на правата линија и запишете ги равенките на нормалната спуштена на рамнина Род точка К.

23. Пресметај растојание од точка К(1; -2; 4) до авион Р, поминувајќи низ линијата паралелно со векторот, и запишете ги равенките на нормалната спуштена на рамнина Род точка К.

24. Пресметај растојание од точка К(7; 2; 5) до авион Р, поминувајќи низ точката М x + 3y – 4z+ 8 = 0 и y + z Род точка К.

25. Пресметај растојание од точка К(–1; 4; –3) до авион Р, поминувајќи низ точката М 0 (4; -5; -2) паралелни на две прави И , и запишете ги равенките на нормален спуштен на рамнина Род точка К.

26. Пресметај растојание од точка К(–1; –1; –9) до авион Р, поминувајќи низ линијата нормално на рамнината 3 x + z+ 4 = 0, и запишете ги равенките на нормалната спуштена на рамнина Род точка К.

27. Пресметај растојание од точка К(–6; –1; –4) до авион Рпоминувајќи низ две точки М 1 (-1; 2; -6) и М 2 (4; -1; 2) паралелно со векторот , и запишете ги равенките на нормален спуштен на рамнина Род точка К.

28. Пресметај растојание од точка К(2; 3; -3) до авион Рпоминувајќи низ две паралелни прави И , и запишете ги равенките на нормален спуштен на рамнина Род точка К.

29. Пресметај растојание од точка К(–2; 3; –1) до авион Р, поминувајќи низ точката М 0 (1; -2; 3) паралелни на два вектори и , и запишете ги равенките на нормален спуштен на рамнина Род точка К.

30. Пресметај растојание од точка К(0; -1; -2) до авион Р, поминувајќи низ точката М 0 (3; -3; -5) и директни , и запишете ги равенките на нормален спуштен на рамнина Род точка К.

31. Пресметај растојание од точка К(0; 2; -1) до авион Р, поминувајќи низ точката М 0 (–1; 1; –2) паралелно со векторот и нормално на рамнината 2 x + 5y+ 6 = 0, и запишете ги равенките на нормалната спуштена на рамнина Род точка К.

32. Пресметај растојание од точка К(2; 4; 1) до авион Р, поминувајќи низ точката М 0 (5; 2; -4) нормално на правата линија и запишете ги равенките на нормалната спуштена на рамнина Род точка К.

33. Пресметај растојание од точка К(4; -2; 3) до авион Р, поминувајќи низ линијата паралелно со векторот, и запишете ги равенките на нормалната спуштена на рамнина Род точка К.

34. Пресметај растојание од точка К(7; 2; -4) до авион Р, поминувајќи низ точката М 0 (2; -4; 1) нормално на две рамнини 4 x + 3y – 4z+ 8 = 0 и y + z– 3 = 0, и запишете ги равенките на нормалната спуштена на рамнина Род точка К.

35. Пресметај растојание од точка К(–3; –2; –5) до авион Р, поминувајќи низ точката М 0 (1; 4; -3) паралелни на две прави и , и запишете ги равенките на нормален спуштен на рамнина Род точка К.

36. Пресметај растојание од точка К(2; -4; 1) до авион Р, поминувајќи низ линијата нормално на рамнината 7 x – 4y– 3 = 0, и запишете ги равенките на нормалната спуштена на рамнина Род точка К.

4. Директно во авион.

1. Дадени равенки 2 X + 7на– 4 = 0 и 4 X – 5на+ 30 = 0 од две соседни страни на паралелограм и точка М(–6; 5) пресек на неговите дијагонали. Напиши ги равенките на другите две страни и дијагоналите на паралелограмот.

2. Состави ги равенките на страните и пресметај ги координатите на темињата на ромб, знаејќи едно од неговите темиња А(6; –1), точка О(0; 1) пресек на дијагонали и точка Ф(2; 3) на една од страните.

3. Во правоаголник А БЕ ЦЕ ДЕдадени се равенки X + 3на– 17 = 0 и X + 3на+ 3 = 0 од неговите две страни и равенката X + 7на– 37 = 0 дијагонала. Најдете ги равенките на другите две страни и втората дијагонала на правоаголникот.

4. Со оглед на две СО(–3; 2) и Д(1; 4) соседни темиња на паралелограм А БЕ ЦЕ ДЕи период П(0; –1) пресек на неговите дијагонали. Напиши равенки за сите страни и висината извлечена од темето Ана страна Сонцетопаралелограм.

5. Пресметај ги координатите на темињата и запиши ги равенките на страните на ромбот, ако равенките се познати X – 7на+ 38 = 0 и X – 7на+ 8 = 0 од неговите две страни и равенката X – 2на+ 8 = 0 од една од неговите дијагонали.

6. Дадени се две темиња ВО(3; 7) и СО(–11; –7) триаголник и точка Р(4; 3) пресек на неговите висини. Состави ги равенките на страните и медијаната извлечени од третото теме на триаголникот.

7. Во триаголник ABCдадена: странична равенка АБ: X + на+ 1 = 0 и равенките на две висини: АН: 3X – 8на+ 3 = 0 и VK: 3X + 2на+ 9 = 0. Напиши ја равенката на медијаната извлечена од темето спроти дадената страна.

8. Најдете ги координатите на темињата и креирајте равенки за страните на триаголникот, знаејќи едно од неговите темиња А(1; 3) и равенките 4 X + 7на– 1 = 0 и X – 4на– 13 = 0 две висини. Запишете ја равенката на нејзината трета висина.

9. Дадени равенки X – 2на – 4 = 0, 5X – на+ 7 = 0 и X + на– 1 = 0 од двете страни на триаголникот и медијаната. Напиши равенки за третата страна на триаголникот и неговата висина спуштена на оваа страна.

10. Состави равенки за страните на триаголникот, знаејќи едно од неговите темиња ВО(–1; 5), како и висинските равенки 3 X + на+ 5 = 0 и средна вредност 3 X + 2на+ 4 = 0 извлечено од едно теме.

11. Создадете равенки на страните и пресметајте ги координатите на темињата на ромб, знаејќи едно од неговите темиња ВО(2; 1), точка С(3; 3) пресек на дијагонали и точка Р(1; 2) на една од страните (поминувајќи низ темето ВО).

12. Дадени равенки X + 3на + 7 = 0, 3X – 8на+ 4 = 0 и 4 X – 5на– 6 = 0 од двете страни на триаголникот и медијаната. Напиши равенки за третата страна на триаголникот и неговата висина спуштена на оваа страна.

13. Во правоаголник А БЕ ЦЕ ДЕдадени равенки 4 X – на+ 34 = 0 и 4 X – на– 17 = 0 од неговите две страни и равенката 7 X + 11на– 17 = 0 дијагонала. Најдете ги равенките на другите две страни и втората дијагонала на правоаголникот.

14. Дадени се две темиња СО(–4; –4) и А(3; –3) триаголници и точка П(–1; 5) пресек на неговите висини. Состави ги равенките на страните и медијаната извлечени од третото теме на триаголникот.

15. Со оглед на две Д(4; 1) и А(–2; 3) соседни темиња на паралелограм А БЕ ЦЕ ДЕи период Р(1; 0) пресек на неговите дијагонали. Напиши равенки за сите страни и висината извлечена од темето ВОна страна ЦДпаралелограм.

16. Најдете ги координатите на темињата и креирајте равенки за страните на триаголникот, знаејќи едно од неговите темиња ВО(–3; 4) и равенки X – 5на+ 4 = 0 и 4 X – 3на+ 5 = 0 две висини. Запишете ја равенката на нејзината трета висина.

17. Пресметај ги координатите на темињата и запиши ги равенките на страните на ромбот, ако равенките се познати 13 X – на+ 28 = 0 и 13 X – на– 108 = 0 од неговите две страни и равенката 3 X + 5на– 4 = 0 од една од неговите дијагонали.

18. Создадете равенки за страните на триаголникот, знаејќи едно од неговите темиња СО(5; 2), како и равенки за висина 2 X – на– 2 = 0 и медијани X – на= 0, извлечен од едно теме.

19. Дадени се равенките 2 X + на+ 5 = 0 и 4 X + 7на= 0 од две соседни страни на паралелограм и точка М(1; –2) пресек на неговите дијагонали. Напиши ги равенките на другите две страни и дијагоналите на паралелограмот.

20. Во триаголник ABCдадена: странична равенка Сонцето: 7X – 2на+ 13 = 0 и равенките на две висини: СР: 5X + 2на– 1 = 0 и БР: 3X – 5на– 11 = 0. Напиши ја равенката на медијаната извлечена од темето спроти дадената страна.

21. Во правоаголник А БЕ ЦЕ ДЕдадени се равенки X – на+ 2 = 0 и X – на+ 6 = 0 од неговите две страни и равенката 3 X – 7на+ 26 = 0 дијагонала. Најдете ги равенките на другите две страни и втората дијагонала на правоаголникот.

22. Дадени се две темиња А(–10; 8) и ВО(11; 1) триаголник и точка Н(5; –7) пресек на неговите висини. Состави ги равенките на страните и медијаната извлечени од третото теме на триаголникот.

23. Со оглед на две А(2; -4) и ВО(4; 2) соседни темиња на паралелограм А БЕ ЦЕ ДЕи период О(1; –1) пресек на неговите дијагонали. Напиши равенки за сите страни и висината извлечена од темето СОна страна АДпаралелограм.

24. Најдете ги координатите на темињата и креирајте равенки за страните на триаголникот, знаејќи го еден и неговите темиња СО(–2; –4) и равенките 6 X + 5на– 16 = 0 и X + 2на– 6 = 0 две висини. Запишете ја равенката на нејзината трета висина.

25. Пресметај ги координатите на темињата и запиши ги равенките на страните на ромбот, ако равенките се познати X + 4на+ 9 = 0 и X + 4на– 21 = 0 од неговите две страни и равенката X – на– 1 = 0 од една од неговите дијагонали.

26. Создади равенки за страните на триаголникот, знаејќи едно од неговите темиња А(3; -7), како и равенки за висина 2 X + 3на+ 5 = 0 и медијана X + 3на+ 7 = 0 извлечено од едно теме.

27. Дадени се равенките 3 X – 5на+ 7 = 0 и X + 5на+ 9 = 0 од две соседни страни на паралелограм и точка Р(1; 0) пресек на неговите дијагонали. Напиши ги равенките на другите две страни и дијагоналите на паралелограмот.

28. Во триаголник ABCдадена: странична равенка AC: X – 3на– 10 = 0 и равенки на две висини: AQ: 3 X + на= 0 и ЦМ: X – 5на– 4 = 0. Напиши ја равенката на медијаната извлечена од темето спроти дадената страна.

29. Создадете равенки на страните и пресметајте ги координатите на темињата на ромб, знаејќи едно од неговите темиња Д(–4; 1), точка Н( 2; – 1) пресек на дијагонали и точка Т(–5; –1) на една од страните.

30. Дадени равенки X – на + 4 = 0, 2X + 3на– 17 = 0 и на– 3 = 0 од двете страни на триаголникот и медијаната. Напишете равенка за третата страна на триаголникот и нејзината висина паднала на таа страна.

31. Со оглед на две ВО(–3; 1) и СО(1; –4) соседни темиња на паралелограм А БЕ ЦЕ ДЕи период Н(2; 2) пресек на неговите дијагонали. Напиши равенки за сите страни и висината извлечена од темето Дна страна АБпаралелограм.

32. Најдете ги координатите на темињата и креирајте равенки за страните на триаголникот, знаејќи едно од неговите темиња А(3; –3) и равенките 7 X – 4на+ 2 = 0 и X – 7на+ 11 = 0 две висини. Запишете ја равенката на нејзината трета висина.

33. Пресметај ги координатите на темињата и запиши ги равенките на страните на ромбот, ако равенките се познати X – 8на+ 11 = 0 и X – 8на– 49 = 0 од неговите две страни и равенката 2 X – на– 8 = 0 од една од неговите дијагонали.

34. Состави равенки за страните на триаголникот, знаејќи едно од неговите темиња ВО(–9; –6), како и висинските равенки 4 X + на+ 13 = 0 и медијана 2 X – на+ 5 = 0 извлечено од едно теме.

35. Дадени се равенките 7 X + 4на+ 63 = 0 и 3 X + 10на+ 27 = 0 од две соседни страни на паралелограм и точка К(–2; –5) пресек на неговите дијагонали. Напиши ги равенките на другите две страни и дијагоналите на паралелограмот.

36. Во триаголник ABCдадена: странична равенка АБ: X + на+ 2 = 0 и равенките на две висини: АН: 4X + на+ 11 = 0 и ВД: 6X – на+ 5 = 0. Напиши ја равенката на медијаната извлечена од темето спроти дадената страна.

5. Равенка на права линија во отсечки.

Преку точка СОнацртајте права линија така што површината на триаголникот формиран од него и координатните оски се еднакви на Сквадратни единици.

опција
СО	–8; –9	2; –2	8; 3	–4; 2	1; 2	6; 1	–4; –5	9; –4	–8; 6
С, кв. единици						1,5

опција
СО	4; 3	2; –3	2; –9	–3; 8	6; 6	5; –6	–2; 2	4; 4	–3; 2
С, кв. единици			1,5			7,5			1,5

опција
СО	2; 4	–8; 1	–6; –2	8; –5	1; –4	4; 6	4; –1	6; 8	–2; –6
С, кв. единици

опција
СО	8; –1	–4; 3	–8; –2	5; –4	6; 5	–5; –8	3; 2	8; 3	4; –2
С, кв. единици					7,5

6. Ротирајте вектор за агол.

1. Дадени се равенките на две страни на квадрат: x – 3y+ 8 = 0 и x – 3y– 2 = 0. Запиши равенки за неговите други две страни, под услов точката А(–6, –6) лежи на страната на овој квадрат.

2. Точка Б(1; 4) е темето на квадрат чија дијагонала лежи на линијата 3 x – 4y– 12 = 0. Најдете ги координатите на преостанатите темиња на квадратот.

3. Б правоаголен триаголникна врвот СО(4; -1) остар агол еднакво на арктан 3 и равенство. спротивна нога 2x + y– 2 = 0. Најдете ги координатите на преостанатите темиња на правоаголникот.

4. Со оглед на две спротивни темињаквадрат А(5; 1) и СО(–4; 2). Најдете ги координатите на другите две темиња и запишете ги равенките на дијагоналите на квадратот.

5. Од точка Ф(0; -4) зракот е насочен под агол арктан2 до права линија 2 x – y+ 6 = 0. Најдете ја равенката на рефлектираниот зрак од оваа права.

6. Точка СО(–4, –5) е теме на квадрат, чија една страна лежи на правата x – 2y+ 4 = 0. Најдете ги координатите на преостанатите темиња на квадратот.

7. Најдете ги координатите на темињата на правоаголникот рамнокрак триаголник, знаејќи ја равенката на хипотенузата 2 x – 3y– 5 = 0 и врвот прав агол А(–1; 2).

8. Дадени се равенките на две страни на квадрат x + 2y– 9 = 0 и x + 2y+ 6 = 0. Запишете ги равенките за неговите други две страни, под услов точката Ф(–4; 4) лежи на страната на овој плоштад.

9. Точка СО(2; 5) е темето на квадрат чија дијагонала лежи на линијата 2 x + 3y– 6 = 0. Најдете ги координатите на преостанатите темиња на квадратот.

10. Во правоаголен триаголник на темето А(–9; 5) акутниот агол е еднаков на арктан5 и равенката на спротивниот крак x + 2y+ 4 = 0. Најдете ги координатите на преостанатите темиња на правоаголникот.

11. Дадени се две спротивни темиња на квадрат ВО(–3; 1) и Д(3; 3). Најдете ги координатите на другите две темиња и запишете ги равенките на дијагоналите на квадратот.

12. Од точка Н(–8; 8) под агол арктан4 до права линија 3 x – 2y– 12 = 0 зрак е насочен. Најдете ја равенката на рефлектираниот зрак од оваа линија.

13. Точка Д(–5; 1) е теме на квадрат, чија една страна лежи на правата x + 2y– 7 = 0. Најдете ги координатите на преостанатите темиња на квадратот.

14. Најдете ги координатите на темињата на правоаголен рамнокрак триаголник, знаејќи ја равенката на хипотенузата 2 x + 3y= 0 и темето на прав агол ВО(3; 5).

15. Дадени се равенките на две страни на квадрат 4 x + y+ 33 = 0 и 4 x + y– 18 = 0. Запиши равенки за неговите други две страни, под услов точката Н(–1; 5) лежи на страната на овој плоштад.

16. Точка Д(–8, –5) е темето на квадрат чија дијагонала лежи на линијата 3 x + 5y+ 15 = 0. Најдете ги координатите на преостанатите темиња на квадратот.

17. Во правоаголен триаголник на темето ВО(5; 1) акутниот агол е еднаков на арктан2, а равенката на спротивната страна е 2 x – y+ 6 = 0. Најдете ги координатите на преостанатите темиња на триаголникот.

18. Дадени се две спротивни темиња на квадрат СО(6; 2) и А(–5; 3). Најдете ги координатите на другите две темиња и запишете ги равенките на дијагоналите на квадратот.

19. Од точка Р(1; 4) зракот е насочен под агол на права линија x + 3y– 3 = 0. Најдете ја равенката на рефлектираниот зрак од оваа права.

20. Точка А(2; 4) е темето на квадрат, чија една страна лежи на линијата 7 x + 5y+ 40 = 0. Најдете ги координатите на преостанатите темиња на квадратот.

21. Најдете ги координатите на темињата на правоаголен рамнокрак триаголник, знаејќи ја равенката на хипотенузата 11 x – 5y– 13 = 0 и темето на прав агол СО(6; –4).

22. Дадени се равенките на две страни на квадрат 2 x – 5y– 45 = 0 и 2 x – 5y+ 13 = 0. Запишете ги равенките за неговите други две страни, под услов точката Р(3; –2) лежи на страната на овој квадрат.

23. Точка А(–1, –4) е темето на квадрат чија дијагонала лежи

1. 137 кв. единици 2.10; 20. 3. 4.
,
,
. 5.
И
6.
,
,
. 7.
,
,
,
. 8.
,
,
. 9.1) круг со центар на полот и радиус 6. 2) зрак што излегува од полот, наклонет кон поларната оска под агол . 3) права линија, нормална на поларната оска, отсекувајќи сегмент на неа, броејќи од полот
. 4) права линија сместена во горната полурамнина, паралелна со поларната оска, оддалечена од неа на растојание еднакво на 6. 5) круг со центар
и радиус 3. 6) круг со центар
и радиус 1. 10. елипса
,
,
,
,
. 11. хипербола
.
,
,
. 12. хипербола
. 13. парабола: б) в)
14. а) -7, б) -21, в) -139, г) -2. 15.
. 16.
. 17.
,
,
,
. 18. -2. 19. -2. 20.
. 21.
. 22.
,
. 23.
,
. 24.
,
. 25.
. 26.
. 27. -29. 28.
- десно три. 29.
коцка единици 30. - 6.

31. . 32. . 33. . 34.
. 35.
. 36.
. 37.
И
.. 38.
. 39.
. 40.
. 41.
. 42.
. 43.
. 44.
.

45. 1)
, 2)
, 3)
, 4) , 5)
.

47. ,
. 48.
, Каде
.

49.
,
,
,

. 50. а)
, б)
. 51.
,
,
.

52. а) да, б) не. 53. - кој било број. 54. да. 55. а) проекција на рамнина У
, б) одраз во однос на оската
. 56. Оператор линеарна;

–неговата матрица во основата
.

57.
,
,
.

58. Сопствени вредности:
,
,
, сопствени вектори: за
,
, Каде
; За
,
, Каде
; За
,
Каде
.

ОПЦИЈА бр.23

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА НА РАМНИНА: ЕДНОСТАВНИ ЗАДАЧИ НА АНАЛИТИЧКАТА ГЕОМЕТРИЈА НА РАМНИНА; ПРАВО ВО АВИОН; ЛИНИИ ОД ВТОР РЕД ВО АВИОН

1. Дадени се две соседни темиња на квадрат А(2, 1) и ВО(6, -1). Пресметајте ја неговата површина.

2. Дадени се три темиња А(4, -6), ВО(6, -6), СО(-1, 6) паралелограм ABCД, четврти врв Дспротивно ВО. Одреди ја должината на дијагоналите на овој паралелограм.

3. Најдете ги координатите на точката М 1 , симетрична точка М 2 (0, 1) во однос на линијата што минува низ точките А(8, 2), ВО(5, 0).

4. Дадени се темињата на триаголник А(4, 1), ВО(1, –1), СО(5, 2). Напишете равенка за нејзините висини.

5. Сегмент ограничен со точки А(7, 10) и ВО(13, 13), поделени на три еднакви делови. Определи ги координатите на точките на делење.

6. Дадени се две темиња А(–5, 2) и ВО(3, -2) триаголник ABCи период Н(2, 2) пресек на неговите висини. Запишете ги равенките на страните на овој триаголник.

7. Точка А(–2, 5) е темето на квадрат чија дијагонала лежи на правата
. Запишете ги равенките на страните на овој квадрат.

8. Создадете равенки за страните на триаголникот ABC, ако е дадено едно од темињата А(2, 8) и равенки на две медијани
,
.

Забелешка. Уверете се во поентата А
и период А
. Нека
И
- темињата на триаголникот лоцирани на медијаните И соодветно и бодовите
И
- средни точки на отсечки АБИ ACсоодветно. Следно, треба да ги пронајдете координатите на темињата ВОИ СОтријаголник. Од точките МИ СОлежи на медијаната , Тоа
. Потоа од односот
најдете
; дополнително заменувајќи ја нумеричката вредност
во равенката за , најдете
. Потоа, знаејќи
И
, најдете
според формулата
. Следно, заменувајќи ја нумеричката вредност
во равенката за , најдете . Знаејќи И , од односот
најдете . Конечно, знаејќи ги координатите на сите темиња на триаголникот, пронајдете ги општите равенки на неговите страни.

9. Определи кои прави се одредени во поларните координати со следните равенки (конструирај ги на цртежот):

А)
; б)
; V)
; G)
;

г)
; д)
.

10. Определи која права е одредена со равенката. Најдете ги координатите на неговиот центар, полуоска, ексцентричност. Направете цртеж.

11. Напиши равенка за хиперболата и најди ги координатите на нејзиниот центар и полуоска, ако се знае дека левото теме на хиперболата е во десниот фокус на елипсата: , додека десното теме на хиперболата е на темето на параболата
, ексцентричноста на хиперболата е еднаква на .

12. Направете равенка на права, за секоја точка од која е растојанието од точката А(1, 2) двапати подалеку од права линија
. Определи која е линијата; направи цртеж.

13. Правата е дадена со равенката
В поларен системкоординати

Потребно е: а) да се конструира права користејќи точки почнувајќи од
пред
и давање вредности низ интервалот ;

б) најдете ја равенката на оваа права во Декартов правоаголен координатен систем, во кој потеклото се совпаѓа со полот, а позитивната полуоска се совпаѓа со поларната оска;

в) користејќи ја добиената равенка, определи за која права станува збор.

Детерминанти. Основа во просторот. Векторски координати

14. Пресметај ги детерминантите:

а) според правилото триаголник;

б) проширување во елементи од првиот ред;

в) проширување во елементи од втората колона;

г) намалување во триаголна форма:

А)
, б)
, V)
, Г) .

15. Дадени се вектори: 1 =(3, -2, 1); 2 =(0, -1, 3); 3 =(2, 4, 0); =(-9, 4, 3) во некоја основа. Покажете дека првите три вектори самите формираат основа и најдете ги координатите на векторот во оваа основа.

3. Линеарни операции на вектори. Проекција на вектор на оска. Скаларни, векторски и мешани производи на вектори.

16. Најдете ги координатите на единичниот вектор (орта) , конасочно со векторот =(7, -4, 4).

17. Два вектори =(6, 2, -3) и =(-1, -2, 2) се применуваат на една точка. Најдете координати:

а) ортов И вектори И ;

б) вектор +;

в) вектор , насочен долж симетралата на аголот помеѓу векторите И под услов да
.

18. Најдете ја проекцијата на векторот =(2, 4, 3) на насоката на векторот
.

19. Најдете ја проекцијата на векторот
по оска, компонента со координатни оски
И
агли
и со оска
тап агол .

20. Даден е квадрат А БЕ ЦЕ ДЕ (означувањето на темињата се зема во насока на стрелките на часовникот), чија должина на страната е 8. Точка ЗАсе избира во квадратната рамнина така што
,
. Најдете
.

а) воведе Декартов правоаголен координатен систем
почнувајќи од точка ЗАтака што оската
беше насочен по векторот
, и оската
точка кон локацијата на плоштадот;

б) броење на должината
дијагонали на квадратот, уверете се (со помош на Питагоровата теорема) дека
- правоаголна (
), а со тоа и
;

в) најдете ги координатите на векторот
, најдете ги координатите на векторите
И
(очигледно
), користејќи ја еднаквоста
, најдете ги координатите на векторот
;

г) познавање на координатите на векторите
И
, најдете
, Каде
, И
.

21. Вектори
(0, -2, -4) и
се страните на паралелограмот OASV. Точка N – средината на страната Сонцето. Најдете
.

22. Со оглед на
2,
3,
. Најдете и големината на аголот помеѓу векторите И , Ако
.

23. Пресметај ги координатите на векторскиот производ
и неговата должина
, Ако =(1, 3, 0),
.

24. Дадени се темињата на триаголник ABC: А(1, -1, 2),ВО(2, 1, 0) и СО(6, 3, 4). Најдете ја плоштината на триаголникот и должината на висината испуштена од темето А.

25. Вектор , ортогонално на оската
и вектор
(-3, 4, 1) и се формира со оската
остар агол. Најдете векторски координати , Ако
15.

26. Најдете ја плоштината на паралелограм изграден на вектори
И
, Ако
,
И
.

27. Пресметај го измешаниот производ на вектори
,
(1, -2, 0),
(-1, 0, 2).

28. Во вистинската основа
дадени се вектори:
,
,
. Покажете дека овие три вектори не се компланарни; поставете ја ориентацијата на векторската тројка
.

29. Пресметај го волуменот на пирамида чии темиња А(1, 2, 1), ВО(–2, 3, –3), СО(1, 3, 3), Д(2, 1, -3).

30. Вектор нормално на векторите И . Пресметај
, Ако
,
, 1,
4, а трите се вектори
- лево.

4. Аналитичка геометрија во просторот: рамнина и права линија во просторот; површини од втор ред

31. Направете равенка за рамнина што минува низ точката M 0 (1, 2, -1), паралелна на рамнината
.

32. Направете равенка за рамнина што минува низ точката M 0 (3, 4, 0) и права линија
.

33. Напиши равенка за рамнина што минува низ права
нормално на рамнината
.

34. Направете равенка за рамнина што минува низ точката M 0 (3, 0, 2) нормална на две рамнини
И .

35. Најдете го растојанието од точката M 0 (2, 2, -1) до рамнината.

36. Дадени се темињата на триаголник А(2, 2, -1), ВО(4, 3, 1), СО(2, -3, -2). Составете ги канонските равенки на симетралата на нејзиниот внатрешен агол на темето ВО.

37. На оската
најдете ги координатите на точките лоцирани на растојание од рамнината =2.

38. Состави ги канонските равенки на права што минува низ точката M 0 (1, 2, –1), паралелна на правата,
,
,
.

39. Најдете ги координатите на точката на пресек на правата
и авиони
.

40. Најдете ја проекцијата на точка Р(3, 3, 0) до права линија
,
+1,
.

41. Најдете ги координатите на точка П, симетрична точка Р(3, 3, 4) во однос на авионот
.

42. Најдете ги координатите на точка П, симетрична точка Р(5, 2, 4) во однос на права линија
.

43. Пресметај растојание од точка Р(1, -2, -2) до права линија
.

44. Најдете ги канонските равенки на правата , која поминува низ точката M 0 (5, 1, 7) паралелна со рамнината и ја пресекува правата
.

Забелешка. Користете ја низата на дејства:

а) креирајте равенка на рамнината
, поминувајќи низ точката M 0, паралелно со авионот
;

б) најдете ги координатите на точката M 1 на пресекот на правата со авион
(види проблем 39);

в) составете ги канонските равенки на права што минува низ точките M 0 и M 1.

45. Дадени се координатите на темињата на пирамидата А 1 (–1, 3, 3), А 2 (4, 2, 4), А 3 (2, 0, 1), А 4 (3, 3, 5). Најдете:

агол помеѓу ребрата А 1 А 2 И А 1 А 4 ;

агол на работ А 1 А 4 и работ А 1 А 2 А 3 ;

равенка на права А 1 А 2 ;

равенка на рамнина А 1 А 2 А 3 ;

5) равенка на висината падната од темето А 4 до работ А 1 А 2 А 3 .

46. Конструирај скица на тело ограничено со површини:

А)
,
,
(
).

б)
,
,
.

5. Елементи на линеарна алгебра: системи на линеарни равенки; матрици; линеарен векторски простор; линеарни оператори

47. Решете систем на линеарни равенки со помош на методот Гаус

48. Најдете ги сите реални матрици кои менуваат со матрицата
.

49. Најдете ја матрицата каде

A=
, V=
, C=
.

50. Најдете го ранг на матрици:

А)
; б)
.

51. Даден е систем на линеарни равенки

Докажете ја неговата компатибилност и решете ја на три начини:

а) Гаусовиот метод;

б) со помош на матрична пресметка;

в) според формулите на Крамер.

52. Дали се реални линеарни простори:

а) множеството од сите реални матрици од втор ред на формата
, Каде
;

б) множеството од сите реални матрици од втор ред на формата
, Каде
.

53. Најдете ги сите вредности , за што векторот
линеарно изразена во однос на вектори
, Ако =(1, –2, ), =(-1, -1, -1), =(1, 1, 2), =(2, 4, 6).

54. Откријте дали овој системвектори од линеарно зависна? =(1, 2, 0, 1), =(2, 1, -1, -1), =(1, 2, 2, 2), =(3, 3, -1, 0).

55. Откријте го геометриското значење на дејството на линеарните оператори дадени во обичен простор Охооz, чии матрици се во однос на ортонормалната основа
имаат форма:

А)
; б)
.

56. Во вселената Р 2 сите степени полиноми
љубезен
, Каде
оператор работи вака:
. Докажете дека операторот е линеарна и пронајдете ја нејзината матрица во основата
,
,
.

57. Во обичен простор, линеарниот оператор огледала вектори во однос на права линија
, и линеарниот оператор проектира вектори ортогонално на рамнина
. Најдете матрици на линеарни оператори , ,
во основата
.

58. Најдете ги сопствените вредности и сопствени вектори на линеарна трансформација наведена во одредена основа со матрицата
.

§ 14. Нормална равенка на права. Проблемот на одредување на растојанието од точка до права

Нека во авионот xOyдадена е права линија. Да повлечеме нормална на оваа права низ потеклото на координатите и да ја наречеме нормална. Да означиме

преку Рточката на пресек на нормалата со дадена права и поставете ја позитивната насока на нормалата од точката ЗАдо точка Р.

Ако a е поларниот агол на нормалата, стр- должина на сегментот (сл. 10), тогаш равенката на оваа линија може да се запише во форма

xcosα + y грев α - p = 0;

равенката од овој тип се нарекува нормална.

Нека се даде некоја права и произволна точка

Глупости. 10 М*;да го означиме со d растојанието на точката М*од оваа линија. Отстапување на точката М*од права се нарекува бројот +d , Ако дадена точкаа потеклото на координатите лежи заедно различни страниод дадена линија, и - И,ако дадена точка и потеклото се наоѓаат на иста страна на дадена права. (За точките што лежат на најправата линија, = 0.)

Ако се дадени x* координати, y*поени М*и нормалната равенка на правата xcosα + y гревα -p = 0;тогаш отстапувањето https://pandia.ru/text/79/428/images/image003_21.gif" width="15" height="19"> = X*cosα a + y*грев α - Р.

Така, за да го пронајдете отстапувањето на која било точка M* од дадена права линија, потребно е лева странанормална равенка на оваа права, наместо тековните координати, заменете ги координатите на точката М*.Добиениот број ќе биде еднаков на саканото отстапување.

За да се најде растојанието d од точка до права, доволно е да се пресмета отстапувањето и да се земе неговиот модул: d =

Доколку се дадени општа равенкаправа линија Аx+Bu+С=0, а потоа за да ја доведете во нормална форма, треба да ги помножите сите членови од оваа равенка со нормализирачкиот фактор μ ., дефинирани со формулата

Се избира знакот на нормализирачкиот фактор спротивен знакслободен член на нормализираната равенка.

309. Определи кои од следниве равенки се нормални:

1) x- y-3=0; 2) EN-US style="color:black">x - y-1 = 0;

3) https://pandia.ru/text/79/428/images/image010_3.gif" width="21" height="41 src="> на + 2 = 0; 4) -боја:црна">+боја:црна">- 2 = 0;

5) - X + 2 = 0; 6) X - 2 = 0; 7) на + 2 = 0; 8) - на - 2 = 0.

310. Намалете ја општата равенка на правата во нормална форма во секој од следниве случаи:

1) 4X -3на-10 = 0; 2) x -y+10 = 0;

3) 12X - 5на + 13 = 0; 4) X + 2 = 0; 5) 2X - на -= 0.

311. Дадени се равенките на правите:

1) X-2 = 0; 2) X + 2 = 0; 3) на -3 = 0; 4) на + 3 = 0;

5) x + на-6 = 0; 6) X-на+2 = 0; 7) X + на+2 = 0;

8) x cos b -y грев б - q = 0, q >0; б - акутен агол;

9) x cos b + y sin b + q = 0, q > 0; б - акутен агол.

Одреди го поларниот агол на нормалатаа и сегмент Рза секоја од овие линии; врз основа на добиените вредности на параметритеа И Рнацртајте ги овие линии на цртежот (во последните два случаи, конструирај ја правата линија со броење b = 30° и q = 2).

312. Пресметајте ја количината на отстапувањег и растојанието гточки од права линија во секој од следниве случаи:

1)А(2;-1)) 4X + 3на+10 = 0;

2) ВО(0; - 3), 5X-12на-23=0;

3) Р(-2; 3), 3X -4на -2 = 0;

4) П(л; -2), X-2на -5 = 0.

313. Определи дали лежи точка М(1; -3) и потеклото на координатите на едната или спротивната страна на секоја од следните линии:

1) 2X-на + 5 = 0; 2) X -3на -5 = 0; 3) 3X+2на-1 = 0;

2) X-3на+ 2 = 0; 5) 10X + 24на+15 = 0.

314. Точка А(2; -5) е должината на квадрат, чија една страна лежи на права линија

X - 2на- 7 = 0.

Пресметајте ја плоштината на овој квадрат.

315. Дадени се равенките на две страни на правоаголник

3X -2на - 5 = 0, 2X + 3на + 7 = 0

и еден од неговите врвови А(-2; 1). Пресметајте ја плоштината на овој правоаголник.

316. Докажете дека е исправен

2X+на+3 = 0

вкрстува отсечка ограничена со точки А(-5; 1) и ВО(3; 7).

317. Докажете дека е исправен

2X -3на+6 = 0

не ја пресекува линиската отсечка ограничен со поени М1(- 2; -3) и М2 (1; -2).

318. Последователни темиња на четириаголник се точки А(-3; 5), IN(- 1; -4), C(7;- 1) и Д(2; 9). Определи дали овој четириаголник е конвексен.

319. Последователни темиња на четириаголник се точки А(-1; 6), Б(1; -3), СО(4; 10) и Д(9; 0). Определи дали овој четириаголник е конвексен.

320. Дадени се темињата на триаголник: А(-10; -13), IN(- 2; 3) и СО(2; 1). Пресметај ја должината на нормалната испуштена од теме ВОдо медијаната извлечена од темето СО.

321. Страни AB, СонцетоИ САтријаголник ABCсоодветно се дадени со равенките

X+ 21на - 22 = 0, 5X- 12на+ 7 = 0, 4X - 33на+ 146 = 0.

Пресметајте го растојанието од центарот на гравитација на овој триаголник до страната Сонцето.

322. Пресметај растојание гпомеѓу паралелни прави во секој од следниве случаи:

1) 3X -4на-10 = 0, 2) 5X-12на + 26 = 0,

6X -8на+ 5 = 0; 5X-12на-13 = 0;

3) 4X - 3на+ 15 = 0, 4) 24X-10на + 39 = 0,

8X-6на+ 25 = 0; 12X -2на -26 = 0.

323. Две страни на квадрат лежат на прави линии

5X- 12на - 65 = 0, 5X- 12на + 26 = 0.

Пресметајте ја неговата површина.

324. Докажи дека правата

5X- 2на- 1 = 0

Паралелно со прави линии

5X -2на + 7 = 0, 5X -2на-9 = 0

и го дели растојанието меѓу нив на половина.

325. Дадени се три паралелни прави

10X+15на -3 = 0, 2X+3на + 5 = 0, 2X+3на -9 = 0.

Утврдете дека првиот од нив лежи помеѓу другите две и пресметајте го односот во кој го дели растојанието меѓу нив.

326. Докажи дека преку точка P(2; 7) можете да нацртате две прави линии така што нивните растојанија од точката П(l; 2) беа еднакви на 5. Запишете ги равенките на овие прави.

327. Докажи дека преку точка Р(2; 5) може да се нацртаат две прави линии така што нивните растојанија од точката П(5; 1) беа еднакви на 3. Запишете ги равенките на овие прави.

328. Докажи дека преку точка СО(7; - 2) можно е да се повлече само една права линија така што нејзиното растојание од точката А(4; - 6) беше еднаква на 5. Направете ја неговата равенка.

329. Докажи дека преку точка ВО(4; -5) невозможно е да се повлече права линија така што нејзиното растојание од точката СО (- 2; 3) беше еднакво на 12.

330. Изведете ја равенката локусточки чие отстапување од права линија е 8 X-15на- 25 = 0 е еднакво на -2.

331. Напиши равенки на прави паралелни на правата 3 X-4на- 10 = 0 и се наоѓа на растојание од него г=3.

332. Дадени се две соседни темиња на квадрат А(2; 0) и ВО(-1; 4). Напиши равенки за неговите страни.

333. Точка А(5; -1) е темето на квадрат, чија една страна лежи на правата

4X - 3на - 7 = 0.

Напиши равенки на правите на кои лежат преостанатите страни од овој квадрат.

334. Дадени се равенките на две страни на квадрат

4X -3на + 3 = 0, 4X-3на-17 = 0

и еден од неговите врвови А(2; -3). Напиши равенки за другите две страни на овој квадрат.

335. Дадени се равенките на две страни на квадрат

5X+12на-10 = 0, 5X+12на+29 = 0.

Напиши равенки за неговите други две страни, под услов точката М 1(-3; 5) лежи на страната на овој квадрат.

336. Точки отстапувања Мод директно

5X-12на-13=0 и 3 X -4на-19 = 0

се еднакви на - 3 и - 5, соодветно Определете ги координатите на точката М.

337. Напиши равенка за права што минува низ точка P(-2; 3) на еднакви растојанија од точките А(5; - 1) и ВО(3; 7).

338. Создадете равенка за локусот на точки што се еднакво оддалечени од две паралелни прави:

1) 3X- на+ 7 = 0, 2) X - 2на + 3 = 0, 3) 5X - 2на - 6 = 0,

3X- на- 3 = 0; X -2на + 7 = 0; X-4у + 3 = 0.

339. Запишете ги равенките за симетралите на аглите формирани од две линии кои се пресекуваат:

1) X - 3на + 5 = 0, 2) X - 2на - 3 = 0, 3) 3X + 4на - 1 = 0,

3X-на -2 = 0; 2X + 4на + 7 = 0; 5X+ 12на - 2 = 0.

340. Напиши равенки на прави што минуваат низ точка Р(2; -1) и заедно со прави линии

2X- на + 5 = 0, 3X + 6на - 1 = 0

формираат рамнокрак триаголници.

341. Определи дали лежи точка М(1; -2) и потеклото на координатите во едно, во соседно или вертикални агли, формирана со пресек на две линии:

1) 2X-на -5 = 0, 2) 4X+3на-10 = 0, 3) X - 2на- 1=0,

3X+на+10 = 0; 12X-5на -5 = 0; 3X-на -2 = 0.

342. Определи дали лежат точките М(2; 3) и Н(5; -1) во еден, во соседни или вертикални агли формирани со пресек на две прави:

1) X-3на-5 = 0, 2)2X+7на -5 = 0, 3) 12X+на- 1=0,

2X+9на -2 = 0; X + 3на + 7 = 0; 13X + 2на-5 = 0.

343. Определи дали потеклото лежи внатре или надвор од триаголник чии страни се дадени со равенките

7X -5на-11=0, 8X+ 3на+ 31=0, X + 8на-19 = 0.

344. Определи дали лежи точка М(- 3; 2) внатре или надвор од триаголник чии страни се дадени со равенките

X + на -4 = 0, 3X - 7на + 8 = 0, 4X - на - 31 = 0.

345. Определи кој од аглите, остар или тап, формиран од две прави

3X - 2на + 5 = 0 и 2 X + на - 3 = 0,

го содржи потеклото.

346. Определи кој од аглите, остар или тап, формиран од две прави

3X -5на-4 = 0 и X + 2на + 3 = 0,

содржи точка М(2; - 5).

347. Напишете равенка за симетралата на аголот помеѓу правите 3 X-y- 4= 0 и 2 X+6на+3 = 0, каде што лежи потеклото на координатите.

348.

X-7y+5= 0, 5x+ 5y- 3 = 0,

во непосредна близина на аголот што го содржи потеклото.

349. Напишете равенка за симетралата на аголот меѓу правите X + 2на-11 = 0 и 3 X - 6на- 5 = 0, каде што лежи точката М(1;-3).

350. Напишете равенка за симетралата на аголот меѓу правите

2X - 3на - 5 = 0, 6X - 4на+ 7 = О,

во непосредна близина на аголот што ја содржи точката C (2;-1).

351. Напиши ја равенката на симетралата остар агол, формирана од две прави линии

3x+4y -5 = 0, 5X-12на+3 = 0.

352. Напиши ја равенката на симетралата тап агол, формирана од две прави линии X- 3на+ 5 = 0, 3X- на+15 = 0.