Решение. A= . Да го најдеме r(A). Бидејќи матрицаИ има ред 3x4, тогаш највисок редмалолетниците е еднакво на 3. Покрај тоа, сите малолетници од трет ред се еднакви на нула (проверете сами). Средства, r(A)< 3. Возьмем главный основно малолетно = -5-4 = -9 ≠ 0. Затоа r(A) =2.

Ајде да размислиме матрица СО = .

Мала трета со цел ≠ 0. Значи r(C) = 3.

Бидејќи r(A) ≠ r(C) , тогаш системот е неконзистентен.

Пример 2.Определи ја компатибилноста на систем од равенки

Решете го овој систем ако се покаже дека е конзистентен.

Решение.

A = , C = . Очигледно е дека r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Бидејќи detC = 0, тогаш r(C)< 4. Ајде да размислиме малолетник трето со цел, кој се наоѓа во левата страна горниот аголматрици A и C: = -23 ≠ 0. Значи r(A) = r(C) = 3.

Број непознат во системот n=3. Ова значи дека системот има единствена одлука. Во овој случај, четвртата равенка го претставува збирот на првите три и може да се игнорира.

Според формулите на Крамердобиваме x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Матричен метод. Гаусовиот метод

систем n линеарни равенки Со nнепознатите можат да се решат матричен метод според формулата X = A -1 B (на Δ ≠ 0), што се добива од (2) со множење на двата дела со A -1.

Пример 1. Решете систем од равенки

метод на матрица (во делот 2.2 овој систем беше решен со помош на формулите на Крамер)

Решение. Δ = 10 ≠ 0 A = - недегенерирана матрица.

= (проверете го ова сами правејќи ги потребните пресметки).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x= .

Одговори: .

Од практична гледна точкаматричен метод и формули Крамерсе поврзани со голема количина на пресметки, па се дава предност Гаусовиот метод, кој се состои во последователна елиминација на непознатите. За да го направите ова, системот на равенки се сведува на еквивалентен систем со триаголна продолжена матрица (сите елементи под главната дијагонала се еднакви на нула). Овие дејства се нарекуваат движење напред. Од добиениот триаголен систем, променливите се наоѓаат со помош на последователни замени (обратно).

Пример 2. Решете го системот користејќи го методот Гаус

(Погоре, овој систем беше решен со користење на формулата на Крамер и методот на матрица).

Решение.

Директен потег. Ајде да ја напишеме проширената матрица и да користиме елементарни трансформацииајде да го доведеме до триаголен поглед:

~ ~ ~ ~ .

Добиваме систем

Обратно. Од последната равенка наоѓаме X 3 = -6 и заменете ја оваа вредност во втората равенка:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Одговори: .

2.5. Општо решение на систем од линеарни равенки

Нека е даден систем на линеарни равенки = b i(јас=). Нека r(A) = r(C) = r, т.е. системот е колаборативен. Секој минор од редот r освен нула е основно малолетно.Без губење на општоста, ќе претпоставиме дека основната минор се наоѓа во првите r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) редови и колони од матрицата А. Отфрлање последен м-рравенки на системот, го пишуваме скратениот систем:

што е еквивалентно на оригиналниот. Да ги именуваме непознатите x 1,….x rосновни, и x r +1 ,…, x rослободете и поместете ги поимите што содржат слободни непознати на десната страна од равенките на скратениот систем. Добиваме систем во однос на основните непознати:

кои за секое множество вредности на слободни непознати x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-rима само едно решение x 1 (C 1 ,…, C n-r),…, x r (C 1 ,…, C n-r),пронајден по правилото на Крамер.

Соодветно решениескратениот, а со тоа и оригиналниот систем ја има формата:

X(C 1,…, C n-r) = - општо решение на системот.

Ако во општото решение дадеме некои слободни непознати нумерички вредности, тогаш го добиваме решението линеарен систем, наречен приватен.

Пример. Воспоставете компатибилност и најдете општо решение на системот

Решение. A = , C = .

Значи Како r(A)= r(C) = 2 (видете го ова сами), тогаш оригиналниот систем е конзистентен и има бесконечен број решенија (бидејќи r< 4).

Продолжуваме да се занимаваме со системи на линеарни равенки. Досега разгледувавме системи кои имаат уникатно решение. Таквите системи може да се решат на кој било начин: со метод на замена(„училиште“), според формулите на Крамер, матричен метод, Гаусовиот метод. Меѓутоа, во пракса, уште два случаи се широко распространети:

1) системот е неконзистентен (нема решенија);

2) системот има бесконечно многу решенија.

За овие системи се користи најуниверзалниот од сите методи на решение - Гаусовиот метод. Всушност, методот „училиште“ исто така ќе доведе до одговорот, но во вишата математика вообичаено е да се користи Гаусовиот метод секвенцијална елиминацијанепознат. Оние кои не се запознаени со алгоритмот на Гаусовиот метод, ве молиме прво да ја проучат лекцијата Гаусовиот метод

Самите елементарни матрични трансформации се сосема исти, разликата ќе биде во завршницата на решението. Прво, да погледнеме неколку примери кога системот нема решенија (неконзистентни).

Пример 1

Што веднаш ви привлекува внимание кај овој систем? Бројот на равенки е помал од бројот на променливи. Постои теорема која вели: „Ако бројот на равенки во системот помала количинапроменливи, тогаш системот е или неконзистентен или има бесконечно многу решенија“.И останува само да се дознае.

Почетокот на решението е сосема обичен - ја запишуваме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, ја намалуваме на зачекорен поглед:

(1). На горниот лев чекор треба да добиеме (+1) или (–1). Во првата колона нема такви бројки, така што преуредувањето на редовите нема да даде ништо. Единицата ќе мора сама да се организира, а тоа може да се направи на неколку начини. Ние го направивме ова. На првата линија ја додаваме третата линија, помножена со (–1).

(2). Сега добиваме две нули во првата колона. Во вториот ред ја додаваме првата линија, помножена со 3. Во третата линија ја додаваме првата, помножена со 5.

(3). Откако ќе заврши трансформацијата, секогаш е препорачливо да се види дали е можно да се поедностават добиените жици? Може. Втората линија ја делиме со 2, истовремено добивајќи ја саканата (–1) на вториот чекор. Третата линија поделете ја со (–3).

(4). Додадете втор ред на третиот ред. Веројатно сите ја забележаа лошата линија што произлезе од елементарните трансформации:

. Јасно е дека тоа не може да биде така.

Навистина, дозволете ни да ја преработиме добиената матрица

назад кон системот на линеарни равенки:

Ако како резултат на елементарни трансформации се добие низа од формата , Кадеλ е број различен од нула, тогаш системот е неконзистентен (нема решенија).

Како да го запишете крајот на задачата? Треба да ја запишете фразата:

„Како резултат на елементарни трансформации, добиена е низа од формата, каде λ ≠ 0 " Одговор: „Системот нема решенија (неконзистентни).“

Ве молиме имајте предвид дека во овој случај нема пресврт на Гаусовиот алгоритам, нема решенија и едноставно нема што да се најде.

Пример 2

Решавање на систем од линеарни равенки

Ова е пример за независна одлука. Целосно решениеи одговорот на крајот од часот.

Повторно ве потсетуваме дека вашето решение може да се разликува од нашето решение што го одредува Гаусовиот метод недвосмислен алгоритам, редоследот на дејствата и самите дејства мора да се погодат во секој случај независно.

Друг техничка карактеристикарешенија: елементарните трансформации може да се запрат Наеднаш, штом линија како , каде λ ≠ 0 . Ајде да размислиме условен пример: да претпоставиме дека по првата трансформација се добива матрицата

.

Оваа матрица сè уште не е сведена на ешалонска форма, но нема потреба од дополнителни елементарни трансформации, бидејќи се појави линија на формата, каде што λ ≠ 0 . Веднаш треба да се даде одговор дека системот е некомпатибилен.

Кога системот на линеарни равенки нема решенија, тоа е речиси подарок за ученикот, поради фактот што се добива кратко решение, понекогаш буквално во 2-3 чекори. Но, сè на овој свет е избалансирано, а проблемот во кој системот има бескрајно многу решенија е само подолг.

Пример 3:

Решавање на систем од линеарни равенки

Има 4 равенки и 4 непознати, така што системот може или да има едно решение, или да нема решенија или да има бесконечно многу решенија. Како и да е, Гаусовиот метод во секој случај ќе не доведе до одговорот. Ова е неговата разновидност.

Почетокот е повторно стандарден. Дозволете ни да ја запишеме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во чекор по форма:

Тоа е се, а ти се плашеше.

(1). Ве молиме имајте предвид дека сите броеви во првата колона се деливи со 2, така што 2 е во ред на горниот лев чекор. На вториот ред ја додаваме првата линија помножена со (–4). На третата линија ја додаваме првата линија помножена со (–2). На четвртата линија ја додаваме првата линија, помножена со (–1).

Внимание!Многумина може да бидат искушувани од четвртата линија одземапрва линија. Ова може да се направи, но не е потребно искуството покажува дека веројатноста за грешка во пресметките се зголемува неколку пати. Само додаваме: на четвртата линија ја додаваме првата линија, помножена со (–1) – точно!

(2). Последните три линии се пропорционални, две од нив може да се избришат. Тука повторно треба да покажеме зголемено внимание, но дали линиите се навистина пропорционални? За да бидете на безбедна страна, би било добра идеја да ја помножите втората линија со (–1) и да ја поделите четвртата линија со 2, што ќе резултира со три идентични линии. И само после тоа отстранете две од нив. Како резултат на елементарните трансформации, проширената матрица на системот е сведена на чекор по форма:

Кога пишувате задача во тетратка, препорачливо е да ги направите истите белешки со молив за јасност.

Дозволете ни да го преработиме соодветниот систем на равенки:

Овде не мириса на „обично“ единствено решение за системот. Лоша линија каде λ ≠ 0, исто така бр. Ова значи дека ова е трет преостанат случај - системот има бескрајно многу решенија.

Бесконечно множество решенија на систем е накратко напишано во форма на т.н општо решение на системот.

Општото решение на системот го наоѓаме користејќи го инверзниот на Гаусовиот метод. За системи на равенки со бесконечен бројсе појавуваат нови концепти: „основни променливи“И „слободни променливи“. Прво да дефинираме кои променливи ги имаме основнии кои променливи - бесплатно. Не е неопходно детално да се објаснуваат термините линеарна алгебра, само запомнете дека има и такви основни променливиИ слободни променливи.

Основните променливи секогаш „седат“ строго на чекорите на матрицата. ВО во овој примеросновните променливи се x 1 и x 3 .

Бесплатните променливи се сè преостанатипроменливи кои не добиле чекор. Во нашиот случај има два од нив: x 2 и x 4 – слободни променливи.

Сега ви треба Ситеосновни променливиизразуваат само прекуслободни променливи. Обратна страна на Гаусовиот алгоритам традиционално работи од дното нагоре. Од втората равенка на системот ја изразуваме основната променлива x 3:

Сега погледнете ја првата равенка: . Прво го заменуваме пронајдениот израз во него:

Останува да се изрази основната променлива x 1 преку бесплатни променливи x 2 и x 4:

На крајот го добивме она што ни требаше - Ситеосновни променливи ( x 1 и x 3) изразени само прекуслободни променливи ( x 2 и x 4):

Всушност, општото решение е подготвено:

.

Како правилно да се напише општото решение? Како прво, слободните променливи се запишуваат во општото решение „сами“ и строго на нивните места. ВО во овој случајслободни променливи x 2 и x 4 треба да се напише на втората и четвртата позиција:

.

Добиените изрази за основните променливи и очигледно треба да се напише на првата и третата позиција:

Од општото решение на системот може да се најдат бесконечно многу приватни решенија. Многу е едноставно. Бесплатни променливи x 2 и x 4 се нарекуваат така затоа што можат да се дадат сите конечни вредности. Најпопуларните вредности се нула вредности, бидејќи ова е најлесното делумно решение за добивање.

Замена ( x 2 = 0; x 4 = 0) во општото решение, добиваме едно од конкретните решенија:

, или е одредено решение кое одговара на слободните променливи со вредности ( x 2 = 0; x 4 = 0).

Друг сладок пар се оние, ајде да ги замениме ( x 2 = 1 и x 4 = 1) во општото решение:

, т.е. (-1; 1; 1; 1) - друго одредено решение.

Лесно е да се види дека системот на равенки има бесконечно многу решенијабидејќи можеме да дадеме слободни променливи било којзначења.

Секојконкретното решение мора да задоволува на секојравенка на системот. Ова е основа за „брза“ проверка на исправноста на решението. Земете, на пример, конкретното решение (-1; 1; 1; 1) и заменете го во лева странасекоја равенка од оригиналниот систем:

Сè мора да се собере. И со секое конкретно решение што ќе го добиете, сè треба да се согласува.

Строго кажано, проверката на одредено решение понекогаш е измама, т.е. некое конкретно решение може да ја задоволи секоја равенка на системот, но самото општо решение всушност е погрешно пронајдено. Затоа, пред сè, верификацијата на општото решение е потемелна и посигурна.

Како да го проверите добиеното општо решение ?

Не е тешко, но бара долги трансформации. Треба да земеме изрази основнипроменливи, во овој случај и , и заменете ги во левата страна на секоја равенка на системот.

На левата страна од првата равенка на системот:

Се добива десната страна од почетната прва равенка на системот.

На левата страна од втората равенка на системот:

Се добива десната страна од почетната втора равенка на системот.

И понатаму - на левите делови на третиот и четврта равенкасистеми. Оваа проверка трае подолго, но гарантира 100% исправност на целокупното решение. Покрај тоа, некои задачи бараат проверка на општото решение.

Пример 4:

Решете го системот користејќи го Гаусовиот метод. Најдете го генералното решение и две посебни. Проверете го општото решение.

Ова е пример за да го решите сами. Овде, патем, повторно бројот на равенки е помал од бројот на непознати, што значи дека веднаш е јасно дека системот или ќе биде неконзистентен или ќе има бесконечен број решенија.

Пример 5:

Решавање на систем од линеарни равенки. Ако системот има бесконечно многу решенија, пронајдете две конкретни решенија и проверете го општото решение

Решение:Ајде да ја запишеме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во чекор по форма:

(1). Додадете ја првата линија во втората линија. На третата линија ја додаваме првата линија помножена со 2. Во четвртиот ред ја додаваме првата линија помножена со 3.

(2). На третата линија ја додаваме втората линија, помножена со (–5). На четвртата линија ја додаваме втората линија, помножена со (–7).

(3). Третата и четвртата линија се исти, ние бришеме еден од нив. Ова е таква убавина:

Основните променливи седат на чекорите, затоа - основните променливи.

Има само една бесплатна променлива што не доби чекор овде: .

(4). Обратно движење. Да ги изразиме основните променливи преку слободна променлива:

Од третата равенка:

Да ја разгледаме втората равенка и да го замениме пронајдениот израз во неа:

, , ,

Да ја разгледаме првата равенка и да ги замениме пронајдените изрази и во неа:

Така, општото решение со една слободна променлива x 4:

Уште еднаш, како испадна? Бесплатна променлива x 4 седи сам на своето вистинско четврто место. Резултирачките изрази за основните променливи , , се исто така на место.

Веднаш да го провериме општото решение.

Ние ги заменуваме основните променливи , , во левата страна на секоја равенка на системот:

Се добиваат соодветните десни страни на равенките, со што се наоѓа точното општо решение.

Сега од најденото општо решение добиваме две конкретни решенија. Сите променливи се изразени овде преку една единствена слободна променлива x 4 . Нема потреба да си го трупате мозокот.

Нека x 4 = 0 тогаш – првото конкретно решение.

Нека x 4 = 1 тогаш – друго приватно решение.

Одговор:Заедничка одлука: . Приватни решенија:

И .

Пример 6:

Најдете го општото решение на системот линеарни равенки.

Веќе го проверивме општото решение на одговорот може да му се верува. Вашето решение може да се разликува од нашето решение. Главната работа е дека општите одлуки се совпаѓаат. Многу луѓе веројатно забележале непријатен момент во решенијата: многу често, кога го менувавме методот на Гаус, моравме да чепкаме обични дропки. Во пракса, ова е навистина случај, многу поретки се случаите каде што нема фракции. Бидете подготвени психички и, што е најважно, технички.

Да се ​​задржиме на карактеристиките на решението што не беа пронајдени во решените примери. Општото решение на системот понекогаш може да вклучува константа (или константи).

На пример, општо решение: . Овде една од основните променливи е еднаква на постојан број: . Нема ништо егзотично во ова, се случува. Очигледно, во овој случај, секое конкретно решение ќе содржи петка на првата позиција.

Ретко, но постојат системи во кои број на равенки поголема количинапроменливи. Сепак, Гаусовиот метод работи во најтешки услови. Треба мирно да ја намалите проширената матрица на системот во чекор по чекор користејќи стандарден алгоритам. Таквиот систем може да биде неконзистентен, може да има бесконечно многу решенија и, чудно е доволно, може да има единствено решение.

Дозволете ни да го повториме нашиот совет - за да се чувствувате удобно кога решавате систем користејќи го Гаусовиот метод, треба да бидете добри во решавањето на најмалку десетина системи.

Решенија и одговори:

Пример 2:

Решение:Дозволете ни да ја запишеме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во чекор по форма.

Извршени елементарни трансформации:

(1) Првиот и третиот ред се заменети.

(2) Првиот ред беше додаден на вториот ред, помножен со (–6). Првата линија беше додадена на третата линија, помножена со (–7).

(3) Вториот ред беше додаден на третиот ред, помножен со (–1).

Како резултат на елементарни трансформации, се добива низа од формата, Каде λ ≠ 0 .Ова значи дека системот е неконзистентен.Одговор: нема решенија.

Пример 4:

Решение:Дозволете ни да ја запишеме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во чекор по форма:

Извршени конверзии:

(1). Првиот ред, помножен со 2, беше додаден на вториот ред. Првиот ред, помножен со 3, беше додаден на третиот ред.

Нема единица за вториот чекор , а трансформацијата (2) е насочена кон нејзино добивање.

(2). Третата линија беше додадена на втората линија, помножена со –3.

(3). Втората и третата линија беа заменети (добиениот -1 го преместивме на вториот чекор)

(4). Третата линија беше додадена на втората линија, помножена со 3.

(5). На првите две линии им беше променет знакот (помножен со –1), третата линија беше поделена со 14.

Обратно:

(1). Еве се основните променливи (кои се на чекорите), и – бесплатни променливи (кои не добија чекор).

(2). Да ги изразиме основните променливи во однос на слободните променливи:

Од третата равенка: .

(3). Размислете за втората равенка:, приватни решенија:

Одговор: Заедничка одлука:

Комплексни броеви

Во овој дел ќе го претставиме концептот комплексен број, да се разгледа алгебарски, тригонометрискиИ експоненцијална формакомплексен број. Ќе научиме и како да вршиме операции со сложени броеви: собирање, одземање, множење, делење, степенување и извлекување корен.

Да го совладате сложени броевинема потреба од никого посебно знаењеод курсот виша математика, а материјалот е достапен дури и за учениците од училиштата. Доволно е да можеш да настапуваш алгебарски операциисо „правилни“ броеви и запомнете ја тригонометријата.

Прво, да се потсетиме на „обичните“ Броеви. Во математиката се нарекуваат многу реални броеви и се означени со писмото Р,или R (задебелена). Сите реални броеви седат на познатата нумеричка линија:

Групата реални броеви е многу шарена - тука има цели броеви, дропки и ирационални броеви. Во овој случај, секоја точка на бројната оска нужно одговара на некој реален број.

Како што е јасно од Крамерова теорема, при решавање на систем од линеарни равенки, може да се појават три случаи:

Прв случај: систем на линеарни равенки има единствено решение

(системот е конзистентен и дефинитивен)

Втор случај: систем од линеарни равенки има бесконечен број решенија

(системот е конзистентен и неизвесен)

** ,

тие. коефициентите на непознатите и слободните членови се пропорционални.

Трет случај: системот на линеарни равенки нема решенија

(системот е неконзистентен)

Значи системот млинеарни равенки со nнаречени променливи незаеднички, ако таа нема единствено решение, и зглоб, ако има барем едно решение. Се нарекува симултан систем на равенки кој има само едно решение одредении повеќе од една - неизвесна.

Примери за решавање системи на линеарни равенки со помош на методот Крамер

Нека се даде системот

.

Врз основа на теоремата на Крамер

………….
,

Каде
-

системска одредница. Ги добиваме преостанатите детерминанти со замена на колоната со коефициентите на соодветната променлива (непозната) со слободни членови:

Пример 2.

.

Затоа, системот е дефинитивен. За да го најдеме неговото решение, ги пресметуваме детерминантите

Користејќи ги формулите на Крамер, наоѓаме:

Значи, (1; 0; -1) е единственото решение за системот.

За да ги проверите решенијата на системите на равенки 3 X 3 и 4 X 4, можете да користите онлајн калкулатор, одлучувачки методКрамер.

Ако во системот на линеарни равенки нема променливи во една или повеќе равенки, тогаш во детерминантата соодветните елементи се еднакви на нула! Ова е следниот пример.

Пример 3.Решете систем на линеарни равенки користејќи го методот Крамер:

.

Решение. Ја наоѓаме детерминантата на системот:

Погледнете го внимателно системот на равенки и детерминантата на системот и повторете го одговорот на прашањето во кои случаи еден или повеќе елементи од детерминантата се еднакви на нула. Значи детерминантата не е еднаква на нула, според тоа, системот е дефинитивен. За да го најдеме неговото решение, ги пресметуваме детерминантите за непознатите

Користејќи ги формулите на Крамер, наоѓаме:

Значи, решението на системот е (2; -1; 1).

6. Општ системлинеарна алгебарски равенки. Гаусовиот метод.

Како што се сеќаваме, правилото на Крамер и методот на матрица се несоодветни во случаи кога системот има бесконечно многу решенија или е неконзистентен. Гаусовиот метод – најмоќната и сестрана алатка за наоѓање решенија за кој било систем на линеарни равенки, кои во секој случајќе не доведе до одговорот! Самиот алгоритам на методот функционира исто во сите три случаи. Ако методите Крамер и матрица бараат познавање на детерминантите, тогаш за да го примените Гаусовиот метод ви треба само знаење аритметички операции, што го прави достапен дури и за учениците од училиштата основните часови.

Прво, да систематизираме малку знаење за системите на линеарни равенки. Систем од линеарни равенки може:

1) Имајте уникатно решение.
2) Имајте бесконечно многу решенија.
3) Немате решенија (бидете незаеднички).

Гаусовиот метод е најмоќната и универзална алатка за изнаоѓање решение било којсистеми на линеарни равенки. Како што се сеќаваме, Крамерово правило и метод на матрицасе несоодветни во случаи кога системот има бесконечно многу решенија или е неконзистентен. И методот на секвенцијална елиминација на непознати Како и да еќе не доведе до одговорот! Во оваа лекција, повторно ќе го разгледаме методот Гаус за случајот бр. 1 (единственото решение за системот), статијата е посветена на ситуациите од точките бр. 2-3. Забележувам дека алгоритамот на самиот метод работи исто во сите три случаи.

Да се ​​вратиме на наједноставниот системод часот Како да се реши систем од линеарни равенки?
и да го решите со помош на Гаусовиот метод.

Првиот чекор е да се запише проширена системска матрица:
. Мислам дека секој може да види по кој принцип се напишани коефициентите. Вертикалната лента внатре во матрицата не носи никаква математичко значење– ова е само пробив за леснотија на дизајнирање.

Референца:Ви препорачувам да запомните терминилинеарна алгебра. Системска матрицае матрица составена само од коефициенти за непознати, во овој пример матрицата на системот: . Проширена системска матрица– ова е истата матрица на системот плус колона од слободни термини, во овој случај: . За краткост, која било од матриците може едноставно да се нарече матрица.

Откако ќе се напише проширената системска матрица, неопходно е да се извршат некои дејства со неа, кои се нарекуваат и елементарни трансформации.

Постојат следниве елементарни трансформации:

1) Стринговиматрици може да се преуредина некои места. На пример, во матрицата што се разгледува, можете безболно да ги преуредите првиот и вториот ред:

2) Ако матрицата има (или се појавила) пропорционална (како посебен случај– идентични) линии, потоа следи избришиод матрицата сите овие редови освен еден. Размислете, на пример, матрицата . Во оваа матрица, последните три реда се пропорционални, па доволно е да оставите само еден од нив: .

3) Ако во матрицата се појави нулта ред за време на трансформациите, тогаш треба да биде избриши. Јас нема да цртам, се разбира, нултата линија е линијата во која сите нули.

4) Редот на матрицата може да биде множи (подели)на кој било број не-нула. Размислете, на пример, матрицата . Овде препорачливо е да се подели првата линија со -3, а втората да се помножи со 2: . Оваа акција е многу корисна бидејќи ги поедноставува понатамошните трансформации на матрицата.

5) Оваа трансформација предизвикува најмногу тешкотии, но всушност нема ништо комплицирано. До ред на матрица можеш додадете уште една низа помножена со број, различно од нула. Размислете за нашата матрица на практичен пример: . Прво ќе ја опишам трансформацијата во многу детали. Помножете ја првата линија со -2: , И на вториот ред ја додаваме првата линија помножена со –2: . Сега првата линија може да се подели „назад“ со –2: . Како што можете да видите, линијата што е ДОДАДЕНА ЛИ – не е променет. Секогашсе менува линијата КОЈА СЕ ДОДАВА UT.

Во пракса, се разбира, тие не го пишуваат толку детално, туку го пишуваат накратко:

Уште еднаш: до втората линија ја додаде првата линија помножена со –2. Линијата обично се множи усно или на нацрт, при што процесот на ментална пресметка оди вака:

„Ја препишувам матрицата и ја препишувам првата линија: »

„Прва колона. На дното треба да добијам нула. Затоа, го помножувам оној од врвот со –2: , а првиот го додавам во вториот ред: 2 + (–2) = 0. Резултатот го пишувам во вториот ред: »

„Сега втората колона. На врвот, множам -1 со -2: . Првиот го додавам во вториот ред: 1 + 2 = 3. Резултатот го пишувам во вториот ред: »

„И третата колона. На врвот множам -5 со -2: . Првиот го додавам во вториот ред: –7 + 10 = 3. Резултатот го пишувам во вториот ред: »

Ве молиме размислете внимателно за овој пример и разберете секвенцијален алгоритампресметки, ако го разбирате ова, тогаш Гаусовиот метод е практично „во вашиот џеб“. Но, се разбира, ние допрва ќе работиме на оваа трансформација.

Елементарните трансформации не го менуваат решението на системот на равенки

! ВНИМАНИЕ: сметани манипулации не може да користи, ако ви се понуди задача каде што матриците се дадени „сами“. На пример, со „класична“ операции со матрициВо никој случај не треба да преуредите нешто во матриците!

Да се ​​вратиме на нашиот систем. Практично се зема на парчиња.

Дозволете ни да ја запишеме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја намалиме на зачекорен поглед:

(1) Првиот ред беше додаден на вториот ред, помножен со –2. И повторно: зошто го множиме првиот ред со –2? Со цел да се добие нула на дното, што значи да се ослободиме од една променлива во втората линија.

(2) Поделете ја втората линија со 3.

Целта на елементарните трансформации – намалете ја матрицата во форма на чекор: . Во дизајнот на задачата, тие само ги означуваат „скалите“ со едноставен молив, а исто така ги заокружуваат броевите што се наоѓаат на „чекорите“. Самиот термин „зачекорен поглед“ не е целосно теоретски, во научни и едукативна литературачесто се нарекува трапезоиден погледили триаголен поглед.

Како резултат на елементарни трансформации, добивме еквиваленторигинален систем на равенки:

Сега системот треба да се „одвитка“. обратна насока– од дното кон врвот, овој процес се нарекува инверзна на Гаусовиот метод.

Во долната равенка веќе ја имаме завршен резултат: .

Ајде да ја разгледаме првата равенка на системот и да ја замениме веќе позната вредност"Y":

Да ја разгледаме најчестата ситуација кога Гаусовиот метод бара решавање систем од трилинеарни равенки со три непознати.

Пример 1

Решете го системот на равенки користејќи го методот Гаус:

Ајде да ја напишеме проширената матрица на системот:

Сега веднаш ќе го нацртам резултатот до кој ќе дојдеме за време на решението:

И повторувам, нашата цел е да ја доведеме матрицата во чекор напред користејќи елементарни трансформации. Каде да се започне?

Прво, погледнете го горниот лев број:

Речиси секогаш треба да биде тука единица. Општо земено, -1 (а понекогаш и други броеви) ќе го направат тоа, но некако традиционално се случувало еден обично да се става таму. Како да се организира единица? Ја гледаме првата колона - имаме завршена единица! Трансформација прва: заменете ја првата и третата линија:

Сега првата линија ќе остане непроменета до крајот на решението. Сега добро.

Единицата во горниот лев агол е организирана. Сега треба да добиете нули на овие места:

Добиваме нули користејќи „тешка“ трансформација. Прво се занимаваме со втората линија (2, –1, 3, 13). Што треба да се направи за да се добие нула на првата позиција? Мора да на вториот ред додадете го првиот ред помножен со –2. Ментално или на нацрт, помножете ја првата линија со –2: (–2, –4, 2, –18). И ние постојано вршиме (повторно ментално или на нацрт) дополнување, на вториот ред ја додаваме првата линија, веќе помножена со –2:

Резултатот го пишуваме во втората линија:

Со третата линија се справуваме на ист начин (3, 2, -5, -1). За да добиете нула на првата позиција, ви треба на третата линија додадете ја првата линија помножена со –3. Ментално или на нацрт, помножете ја првата линија со –3: (–3, –6, 3, –27). И на третиот ред ја додаваме првата линија помножена со –3:

Резултатот го пишуваме во третата линија:

Во пракса, овие дејства обично се изведуваат усно и се запишуваат во еден чекор:

Нема потреба да броите сè одеднаш и во исто време. Редоследот на пресметките и „запишувањето“ на резултатите конзистентнаи обично е вака: прво го препишуваме првиот ред, и полека се дувнеме - ДОСЛЕДНО и ВНИМАТЕЛНО:


И јас веќе разговарав за менталниот процес на самите пресметки погоре.

Во овој пример, ова е лесно да се направи, ние ја делиме втората линија со –5 (бидејќи сите броеви таму се деливи со 5 без остаток). Во исто време, третата линија ја делиме со –2, бидејќи што помал број, толку е поедноставно решението:

На завршна фазаелементарни трансформации треба да добиете уште една нула овде:

За ова на третата линија ја додаваме втората линија помножена со –2:


Обидете се сами да ја сфатите оваа акција - ментално помножете ја втората линија со –2 и изведете собирање.

Последното извршено дејство е фризурата на резултатот, поделете ја третата линија со 3.

Како резултат на елементарни трансформации, беше добиен еквивалентен систем на линеарни равенки:

Кул.

Сега на сцена стапува обратното од Гаусовиот метод. Равенките се „одмотуваат“ од дното кон врвот.

Во третата равенка веќе имаме подготвен резултат:

Да ја погледнеме втората равенка: . Значењето на „зет“ е веќе познато, така што:

И конечно, првата равенка: . „Игрек“ и „зет“ се познати, се работи само за ситници:

Одговори:

Како што веќе беше забележано неколку пати, за секој систем на равенки е можно и неопходно да се провери пронајденото решение, за среќа, тоа е лесно и брзо.

Пример 2

Ова е пример за независно решение, примерок од финалниот дизајн и одговор на крајот од лекцијата.

Треба да се напомене дека вашиот напредокот на одлукатаможеби не се совпаѓа со мојот процес на одлучување, а тоа е карактеристика на Гаусовиот метод. Но, одговорите мора да бидат исти!

Пример 3

Решете систем на линеарни равенки со помош на методот Гаус

Дозволете ни да ја запишеме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во чекор по форма:

Го гледаме горниот лев „чекор“. Таму треба да имаме еден. Проблемот е што воопшто нема единици во првата колона, така што преуредувањето на редовите нема да реши ништо. Во такви случаи, единицата мора да се организира со помош на елементарна трансформација. Ова обично може да се направи на неколку начини. Го направив ова:
(1) На првата линија ја додаваме втората линија, помножена со –1. Односно, ментално го помноживме вториот ред со –1 и ги додадовме првиот и вториот ред, додека вториот ред не се промени.

Сега горе лево има „минус еден“, што доста ни одговара. Секој што сака да добие +1 може да изврши дополнително движење: помножете ја првата линија со –1 (променете го неговиот знак).

(2) Првиот ред помножен со 5 беше додаден на вториот ред Првиот ред помножен со 3 беше додаден на третиот ред.

(3) Првата линија беше помножена со –1, во принцип, ова е за убавина. Променет е и знакот на третата линија и тој е поместен на второто место, така што на вториот „скалило“ ја имаме потребната единица.

(4) Вториот ред е додаден на третиот ред, помножен со 2.

(5) Третата линија беше поделена со 3.

Лош знак што укажува на грешка во пресметките (поретко, печатна грешка) е „лоша“ крајна линија. Тоа е, ако добиеме нешто како , подолу, и, соодветно, , тогаш со висок степен на веројатност можеме да кажеме дека е направена грешка при елементарни трансформации.

Наплаќаме обратно, при дизајнирањето на примерите тие често не го препишуваат самиот систем, туку равенките се „земени директно од дадената матрица“. Обратниот удар, ве потсетувам, работи од дното кон врвот. Да, еве подарок:

Одговори: .

Пример 4

Решете систем на линеарни равенки со помош на методот Гаус

Ова ти е пример сам да го решиш, нешто е покомплицирано. Во ред е ако некој се збуни. Целосно решение и дизајн на примерок на крајот од лекцијата. Вашето решение може да се разликува од моето решение.

Во последниот дел ќе разгледаме некои карактеристики на Гаусовиот алгоритам.
Првата карактеристика е дека понекогаш недостасуваат некои променливи во системските равенки, на пример:

Како правилно да се напише проширената системска матрица? Веќе зборував за оваа точка на час. Правило на Крамер. Матричен метод. Во проширената матрица на системот, ставаме нули наместо променливите што недостасуваат:

Патем, тоа е убаво лесен пример, бидејќи веќе има една нула во првата колона и има помалку елементарни конверзии за извршување.

Втората карактеристика е ова. Во сите разгледани примери, ставивме или –1 или +1 на „чекорите“. Дали може да има други бројки таму? Во некои случаи можат. Размислете за системот: .

Овде на горниот лев „чекор“ имаме два. Но, го забележуваме фактот дека сите броеви во првата колона се деливи со 2 без остаток - а другиот е два и шест. И двајцата горе лево ќе ни одговараат! Во првиот чекор, треба да ги извршите следните трансформации: додадете ја првата линија помножена со –1 во втората линија; на третата линија додадете ја првата линија помножена со –3. На овој начин ќе ги добиеме бараните нули во првата колона.

Или друг конвенционален пример: . Тука ни одговараат и трите на вториот „чекор“, бидејќи 12 (местото каде што треба да добиеме нула) се дели со 3 без остаток. Неопходно е да се изврши следнава трансформација: додадете ја втората линија во третата линија, помножена со -4, како резултат на што ќе се добие нулата што ни треба.

Методот на Гаус е универзален, но има една особеност. Можете самоуверено да научите да решавате системи користејќи други методи (метод на Крамер, метод на матрица) буквално прв пат - тие имаат многу строг алгоритам. Но, за да се чувствувате сигурни во Гаусовиот метод, треба да се подобрите во тоа и да решите најмалку 5-10 системи. Затоа, на почетокот може да има забуна и грешки во пресметките, и нема ништо необично или трагично во ова.

Дождливо есенско време надвор од прозорецот.... Затоа, за сите што сакаат повеќе комплексен примерза независно решение:

Пример 5

Решете со Гаусовиот метод систем од четирилинеарни равенки со четири непознати.

Ваквата задача не е толку ретка во пракса. Мислам дека дури и чајник кој темелно ја проучувал оваа страница ќе го разбере алгоритмот за интуитивно решавање на таков систем. Во основа, сè е исто - има само повеќе акции.

Случаите кога системот нема решенија (неконзистентни) или има бесконечно многу решенија се дискутирани на лекцијата Некомпатибилни системии системи со општа одлука . Таму можете да го поправите разгледуваниот алгоритам на Гаусовиот метод.

Ти посакувам успех!

Решенија и одговори:

Пример 2: Решение: Ајде да ја запишеме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во чекор напред.


Извршени елементарни трансформации:
(1) Првиот ред беше додаден на вториот ред, помножен со –2. Првата линија беше додадена на третата линија, помножена со –1. Внимание!Овде може да бидете во искушение да го одземете првиот од третиот ред. Силно препорачувам да не го одземате - ризикот од грешка значително се зголемува. Само преклопете го!
(2) Знакот на вториот ред е сменет (помножено со –1). Вториот и третиот ред се заменети. Забелешка, дека на „скалите“ се задоволуваме не само со еден, туку и со –1, што е уште позгодно.
(3) Вториот ред е додаден на третиот ред, помножен со 5.
(4) Знакот на вториот ред е сменет (помножено со –1). Третата линија беше поделена со 14.

Обратно:

Одговори: .

Пример 4: Решение: Ајде да ја запишеме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во чекор по форма:

Извршени конверзии:
(1) На првиот ред е додаден втор ред. Така, саканата единица е организирана на горниот лев „чекор“.
(2) Првиот ред помножен со 7 беше додаден на вториот ред Првиот ред помножен со 6 беше додаден на третиот ред.

Со вториот „чекор“ сè станува полошо, „кандидати“ за него се броевите 17 и 23, а ни треба или еден или –1. Трансформациите (3) и (4) ќе бидат насочени кон добивање на саканата единица

(3) Вториот ред беше додаден на третиот ред, помножен со –1.
(4) Третиот ред беше додаден на вториот ред, помножен со –3.
Потребната ставка на вториот чекор е примена. .
(5) Вториот ред е додаден на третиот ред, помножен со 6.

Како дел од часовите Гаусовиот методИ Некомпатибилни системи/системи со заедничко решениесметавме хетерогени системилинеарни равенки, Каде слободен член(што обично е десно) барем еденод равенките се разликуваше од нула.
И сега, по добро загревање со матрица ранг, ќе продолжиме да ја полираме техниката елементарни трансформациина хомоген системлинеарни равенки.
Врз основа на првите параграфи, материјалот може да изгледа здодевен и просечен, но овој впечаток е измамен. Покрај понатамошниот развој техникиќе има многу нови информации, затоа обидете се да не ги занемарите примерите во оваа статија.

СИСТЕМИ НА ЛИНЕАРНИ РАВЕНКИ

I. Изјава за проблемот.

II. Компатибилност на хомогени и хетерогени системи.

III. Систем Травенки со Тнепознат. Правило на Крамер.

IV. Матричен метод за решавање системи на равенки.

V. Гаусовиот метод.

I. Изјава за проблемот.

Систем на равенки на формата

наречен систем млинеарни равенки со nнепознат
. Коефициентите на равенките на овој систем се запишуваат во форма на матрица

кој се нарекува матрица на системот (1).

Се формираат броевите од десната страна на равенките колона за слободни членови {Б}:

.

Ако колона ( Б}={0 ), тогаш се повикува системот на равенки хомогена. ВО во спротивно, Кога ( Б}≠{0 ) - систем хетерогени.

Систем од линеарни равенки (1) може да се запише во форма на матрица

[А]{x}={Б}. (2)

Еве - колона непознати.

Решавањето на системот равенки (1) значи наоѓање на множеството n броеви
така што при замена во системот (1) наместо во непознатите
Секоја равенка на системот се претвора во идентитет. Броеви
се нарекуваат решение на систем од равенки.

Систем од линеарни равенки може да има едно решение

,

може да има безброј решенија

или воопшто немаат решенија

.

Се нарекуваат системи со равенки кои немаат решенија некомпатибилни. Ако системот на равенки има барем едно решение, тогаш тој се нарекува зглоб. Системот на равенки се нарекува одредени, доколку има единствено решение, и неизвесна, ако има бесконечно многу решенија.

II. Компатибилност на хомогени и хетерогени системи.

Условот за компатибилност за системот на линеарни равенки (1) е формулиран во Теорема Кронекер-Капели: систем на линеарни равенки има барем едно решение ако и само ако рангирањето на системската матрица е еднакво на рангирањето на продолжената матрица:
.

Проширена системска матрица е матрица добиена од системската матрица со додавање колона со слободни термини на неа десно:

.

Ако Rg АА* , тогаш системот на равенки е неконзистентен.

Хомогените системи на линеарни равенки, во согласност со теоремата Кронекер-Капели, се секогаш конзистентни. Да го разгледаме случајот на хомоген систем во кој бројот на равенки е еднаков на бројот на непознати, т.е. t=p. Ако детерминантата на матрицата на таков систем не е еднаква на нула, т.е.
, хомоген систем има единствено решение, кое е тривијално (нула). Хомогените системи имаат бесконечен број решенија ако меѓу равенките на системот има линеарно зависни, т.е.
.

Пример.Размислете за хомоген систем од три линеарни равенки со три непознати:

и да го испита прашањето за бројот на неговите решенија. Секоја од равенките може да се смета за равенка на рамнина што минува низ потеклото на координатите ( Д=0 ). Системот на равенки има единствено решение кога сите три рамнини се сечат во една точка. Згора на тоа, нивните нормални вектори се некомпланарни, и затоа условот е задоволен

.

Решението на системот во овој случај x=0, y=0, z=0 .

Ако барем две од трите рамнини, на пример, првата и втората, се паралелни, т.е. , тогаш детерминантата на системската матрица е еднаква на нула, а системот има бесконечен број решенија. Згора на тоа, решенијата ќе бидат координатите x, y, zсите точки лежат на линија

Ако сите три рамнини се совпаѓаат, тогаш системот на равенки ќе се сведе на една равенка

,

а решението ќе бидат координатите на сите точки што лежат во оваа рамнина.

При проучување на нехомогени системи на линеарни равенки, прашањето за компатибилност се решава со помош на теоремата Кронекер-Капели. Ако бројот на равенки во таков систем е еднаков на бројот на непознати, тогаш системот има единствено решение ако нејзината детерминанта не е еднаква на нула. Во спротивно, системот е или неконзистентен или има бесконечен број решенија.

Пример. Проучуваме нехомоген систем од две равенки со две непознати

.

Равенките на системот може да се сметаат како равенки на две прави на рамнина. Системот е неконзистентен кога линиите се паралелни, т.е.
,
. Во овој случај, рангирањето на системската матрица е 1:

Rg А=1 , бидејќи
,

и рангот на продолжената матрица
е еднакво на два, бидејќи за него може да се избере минор од втор ред што ја содржи третата колона како основен мол.

Во предметот што се разгледува, Рг АА * .

Ако линиите се совпаѓаат, т.е. , тогаш системот на равенки има бесконечен број решенија: координати на точки на права линија
. Во овој случај, Rg А= Rg А * =1.

Системот има единствено решение кога линиите не се паралелни, т.е.
. Решението за овој систем се координатите на точката на пресек на правите

III. СистемТ равенки соТ непознат. Правило на Крамер.

Да го разгледаме наједноставниот случај кога бројот на равенки на системот е еднаков на бројот на непознати, т.е. м= n. Ако детерминантата на системската матрица е ненула, решението за системот може да се најде со користење на правилото на Крамер:

(3)

Еве
- детерминанта на системската матрица,

е детерминанта на матрицата добиена од [ А] замена јасколона до колоната слободни членови:

.

Пример. Решете го системот на равенки со помош на Крамеровиот метод.

Решение :

1) најдете ја детерминантата на системот

2) најдете помошни детерминанти

3) најдете решение за системот користејќи го правилото на Крамер:

Резултатот од решението може да се провери со замена во системот на равенки

Се добиваат точни идентитети.

IV. Матричен метод за решавање системи на равенки.

Да го напишеме системот на линеарни равенки во форма на матрица (2)

[А]{x}={Б}

и помножете ја десната и левата страна на релацијата (2) лево со матрицата [ А -1 ], инверзна на матрицата на системот:

[А -1 ][А]{x}=[А -1 ]{Б}. (2)

По дефиниција на инверзната матрица, производот [ А -1 ][А]=[Е], а според својствата на матрицата за идентитет [ Е]{x}={x). Потоа од релацијата (2") добиваме

{x}=[А -1 ]{Б}. (4)

Релацијата (4) лежи во основата на методот на матрица за решавање системи на линеарни равенки: неопходно е да се најде матрицата инверзна на матрицата на системот и да се помножи векторот на колоната на десните делови на системот со неа лево.

Пример. Дозволете ни да го решиме системот на равенки разгледан во претходниот пример користејќи го методот на матрица.

Системска матрица
нејзината детерминанта дет А==183 .

Колона од десната страна
.

Да се ​​најде матрицата [ А -1 ], најдете ја матрицата прикачена на [ А]:

или

Формулата за пресметување на инверзната матрица вклучува
, Потоа

Сега можеме да најдеме решение за системот

Потоа конечно добиваме .

V. Гаусовиот метод.

Со голем број на непознати, решавањето на систем од равенки со користење на методот Крамер или методот на матрица вклучува пресметување на детерминанти од висок ред или инвертирање на големи матрици. Овие процедури се многу трудоинтензивни дури и за современите компјутери. Затоа, за решавање на системи од голем број равенки, често се користи методот на Гаус.

Гаусовиот метод се состои од секвенцијално елиминирање на непознатите преку елементарни трансформации на проширената матрица на системот. Трансформациите на елементарната матрица вклучуваат пермутација на редови, собирање редови, множење на редови со други броеви освен нула. Како резултат на трансформациите, можно е да се намали матрицата на системот на горна триаголна, на чија главна дијагонала има едно, а под главната дијагонала има нули. Ова е директен пристап на Гаусовиот метод. Обратна страна на методот се состои во директно одредување на непознатите, почнувајќи од последната.

Дозволете ни да го илустрираме Гаусовиот метод користејќи го примерот за решавање на систем од равенки

На првиот чекор од ударот напред, се обезбедува дека коефициентот
трансформираниот систем стана еднаков 1 , и коефициентите
И
се претвори во нула. За да го направите ова, помножете ја првата равенка со 1/10 , помножете ја втората равенка со 10 и додадете ја на првата, помножете ја третата равенка со -10/2 и додадете го на првиот. По овие трансформации добиваме

На вториот чекор, обезбедуваме дека по трансформациите коефициентот
станаа еднакви 1 , и коефициентот
. За да го направите ова, поделете ја втората равенка со 42 , и помножете ја третата равенка со -42/27 и додадете го со вториот. Добиваме систем на равенки

На третиот чекор треба да го добиеме коефициентот
. За да го направите ова, поделете ја третата равенка со (37 - 84/27) ; добиваме

Тука завршува директната прогресија на методот на Гаус, бидејќи матрицата на системот се сведува на горната триаголна:

Извршувајќи го обратниот потег, ги наоѓаме непознатите

Ако проблемот има помалку од три променливи, тоа не е проблем; ако е повеќе од осум, тоа е нерешливо. Енон.

Проблемите со параметрите се наоѓаат во сите верзии на Единствениот државен испит, бидејќи нивното решавање најјасно открива колку е длабоко и неформално знаењето на матурантот. Тешкотиите со кои се среќаваат учениците при извршувањето на таквите задачи се предизвикани не само од нивната релативна сложеност, туку и од фактот што на нив не им се посветува доволно внимание во учебниците. Во верзиите на KIM по математика, постојат два вида задачи со параметри. Првиот: „за секоја вредност на параметарот, решете ја равенката, нееднаквоста или системот“. Вториот: „најдете ги сите вредности на параметарот, за секоја од нив решенијата на нееднаквоста, равенката или системот ги задоволуваат дадените услови“. Според тоа, одговорите во проблемите од овие два вида се разликуваат по суштина. Во првиот случај, одговорот ги наведува сите можни вредности на параметарот и за секоја од овие вредности се напишани решенијата на равенката. Вториот ги наведува сите вредности на параметрите на кои се исполнети условите на проблемот. Запишувањето на одговорот е суштинска фаза на решението, многу е важно да не се заборави да се рефлектираат сите фази на решението во одговорот. Учениците треба да обрнат внимание на ова.
Додатокот на лекцијата содржи дополнителен материјал на тема „Решавање системи на линеарни равенки со параметри“, кој ќе помогне во подготовката на учениците за финалната сертификација.

Цели на лекцијата:

• систематизација на знаењето на учениците;
• развивање на способност за користење графички прикази при решавање системи на равенки;
• развивање на способност за решавање системи на линеарни равенки кои содржат параметри;
• спроведување на оперативна контрола и самоконтрола на учениците;
• развој на истражувачка и когнитивна активност на ученици, способност да се проценат добиените резултати.

Лекцијата трае два часа.

За време на часовите

1. Време на организирање

Комуницирајте ја темата, целите и задачите на лекцијата.

1. Ажурирање на основните знаења на учениците

Проверка на домашната задача. Како домашна задача, од учениците беше побарано да го решат секој од трите системи на линеарни равенки

а) б) V)

графички и аналитички; извлече заклучок за бројот на добиени решенија за секој случај

Заклучоците направени од учениците се слушаат и анализираат. Резултатите од работата под водство на наставникот се сумирани во тетратки.

Општо земено, систем од две линеарни равенки со две непознати може да се претстави како: .

Решавањето на даден систем на равенки графички значи пронаоѓање на координатите на пресечните точки на графиците на овие равенки или докажување дека ги нема. Графикот на секоја равенка на овој систем на рамнина е одредена права линија.

Постојат три можни случаи на заемно распоредување на две прави линии на рамнина:

<Рисунок1>;

<Рисунок2>;

<Рисунок3>.

За секој случај корисно е да се направи цртеж.

1. Учење нов материјал

Денес во лекцијата ќе научиме како да решаваме системи на линеарни равенки кои содржат параметри. Параметарот ќе го наречеме независна променлива, чија вредност во проблемот се смета за даден фиксен или произволен реален број, или број што припаѓа на однапред одредено множество. Решавањето на систем од равенки со параметар значи воспоставување на кореспонденција која овозможува која било вредност на параметарот да го најде соодветниот сет на решенија на системот.

Решението на проблем со параметар зависи од прашањето поставено во него. Ако едноставно треба да решите систем на равенки за различни вредности на параметар или да го проучите, тогаш треба да дадете потврден одговор за која било вредност на параметарот или за вредноста на параметар што припаѓа на множество претходно наведено во проблемот. Доколку е неопходно да се најдат вредности на параметрите кои задоволуваат одредени услови, тогаш не е потребна целосна студија, а решението на системот е ограничено на наоѓање на овие специфични вредности на параметрите.

Пример 1.За секоја вредност на параметарот, го решаваме системот на равенки

Решение.

1. Системот има единствено решение ако

Во овој случај имаме

1. Ако a = 0, тогаш системот ја зема формата

Системот е неконзистентен, т.е. нема решенија.

1. Ако тогаш системот е напишан во форма

Очигледно, во овој случај системот има бесконечно многу решенија од формата x = t; каде t е кој било реален број.

Одговор:

Пример 2.

• има уникатно решение;
• има многу решенија;
• нема решенија?

Решение.

Одговор:

Пример 3.Дозволете ни да го најдеме збирот на параметрите a и b за кои системот

има безброј решенија.

Решение.Системот има бесконечно многу решенија ако

Тоа е, ако a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 =48.

Одговор: 48.

1. Консолидирање на наученото додека се решаваат проблемите

1. Бр. 15.24 (а) . За секоја вредност на параметарот, решете го системот на равенки

1. Бр. 15.25(а) За секоја вредност на параметарот, решете го системот на равенки

1. Со кои вредности на параметарот a прави системот на равенки

а) нема решенија; б) има бесконечно многу решенија.

Одговор: за a = 2 нема решенија, за a = -2 има бесконечен број решенија

1. Практична работа во групи

Класот е поделен во групи од 4-5 лица. Секоја група вклучува ученици со различни нивоа на математичка подготовка. Секоја група добива картичка со задачи. Можете да ги поканите сите групи да решат еден систем на равенки и да го формализираат решението. Групата која прва правилно ја заврши задачата го презентира своето решение; останатите го предаваат решението на наставникот.

Картичка.Решавање систем на линеарни равенки

за сите вредности на параметарот a.

Одговор: кога системот има уникатно решение ; кога нема решенија; за a = -1 има бесконечно многу решенија на формата, (t; 1- t) каде што t R

Ако класата е силна, на групите може да им се понудат различни системи на равенки, чиј список е во Додаток 1. Потоа секоја група го презентира своето решение пред одделението.

Извештај на групата која прва правилно ја заврши задачата

Учесниците го изразуваат и објаснуваат своето решение и одговараат на прашања поставени од претставници на други групи.

1. Самостојна работа

Опција 1

Опција 2

1. Резиме на лекција

Решавањето системи на линеарни равенки со параметри може да се спореди со студија која вклучува три основни услови. Наставникот ги повикува учениците да ги формулираат.

Кога одлучувате, запомнете:

1. За да може еден систем да има единствено решение, потребно е линиите што одговараат на равенката на системот да се сечат, т.е. условот мора да биде исполнет;
2. за да нема решенија, линиите мора да бидат паралелни, т.е. условот бил исполнет
3. и, конечно, за еден систем да има бесконечно многу решенија, линиите мора да се совпаѓаат, т.е. условот бил исполнет.

Наставникот ја оценува работата на часот во целина и им доделува оценки за часот на поединечни ученици. По проверка на својата самостојна работа, секој ученик ќе добие оценка за часот.

1. Домашна работа

Со кои вредности на параметарот b работи системот на равенки

• има бесконечно многу решенија;
• нема решенија?

Графиконите на функциите y = 4x + b и y = kx + 6 се симетрични во однос на ординатата.

• Најдете b и k,
• најдете ги координатите на пресечната точка на овие графикони.

Решете го системот на равенки за сите вредности на m и n.

Решете систем на линеарни равенки за сите вредности на параметарот a (која било вредност по ваш избор).

Литература

1. Алгебра и почетоците на математичката анализа: учебник. за 11 одделение општо образование институции: основни и профил. нивоа / С. М. Николски, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин - М.: Образование, 2008 година.
2. Математика: 9-то одделение: Подготовка за државна завршна сертификација / M. N. Korchagina, V. V. Korchagin - M.: Eksmo, 2008 г.
3. Се подготвуваме за универзитет. Математика. Дел 2. Учебник за подготовка за обединет државен испит, учество во централизирано тестирање и полагање влезни тестови на Државниот технички универзитет Кубан / Кубан. држава технологија. Универзитетот; Институт за модерна технологија. и економ.; Составиле: С. Н. Горшкова, Л. М. Данович, Н. А. Наумова, А.В. Мартиненко, И.А. Палшчикова. – Краснодар, 2006 година.
4. Збирка задачи по математика за подготвителни курсеви за TUSUR: Учебник / Z. M. Goldshtein, G. A. Kornievskaya, G. A. Korotchenko, S. N. Кудинова. – Томск: Томск. држава Универзитет за контролни системи и радиоелектроника, 1998 година.
5. Математика: интензивен курс за подготовка за испит / О. Ју Черкасов, А. Г. Јакушев. - М.: Ролф, Ирис-прес, 1998 година.