Наоѓање на антидериватот. Решавање на лесни примери

Антидериватив

Дефиниција антидеривативна функција

• Функција y=F(x)се нарекува антидериват на функцијата y=f(x)во даден интервал X,ако за сите X ∈Xеднаквоста важи: F′(x) = f(x)

Може да се чита на два начина:

1. ѓ извод на функција Ф
2. Ф антидериват на функција ѓ

Својство на антидеривати

• Ако F(x)- антидериват на функција f(x)на даден интервал, тогаш функцијата f(x) има бесконечно многу антидеривати и сите овие антидеривати може да се напишат во форма F(x) + C, каде што C е произволна константа.

Геометриска интерпретација

• Графикони на сите антидеривати на дадена функција f(x)се добиваат од графиконот на кој било антидериват паралелни трансферипо оската О на.

Правила за пресметување на антидеривати

1. Антидеривативот на збирот е еднаков на збирот на антидериватите. Ако F(x)- антидериват за f(x), и G(x) е антидериват за g(x), Тоа F(x) + G(x)- антидериват за f(x) + g(x).
2. Постојан мултипликаторможе да се извади од знакот на дериватот. Ако F(x)- антидериват за f(x), И к- постојано, тогаш k·F(x)- антидериват за k f(x).
3. Ако F(x)- антидериват за f(x), И к, б- постојано, и k ≠ 0, Тоа 1/k F(kx + b)- антидериват за f(kx + b).

Запомнете!

Секоја функција F(x) = x 2 + C , каде што C е произволна константа, а само таква функција е антидериват за функцијата f(x) = 2x.

• На пример:

  F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x,бидејќи F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x,бидејќи F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Врска помеѓу графиконите на функцијата и нејзиниот антидериват:

1. Ако графикот на функцијата f(x)>0 F(x)се зголемува во текот на овој интервал.
2. Ако графикот на функцијата f(x)<0 на интервалот, потоа графикот на неговиот антидериват F(x)се намалува во текот на овој интервал.
3. Ако f(x)=0, потоа графикот на неговиот антидериват F(x)во овој момент се менува од зголемување во намалување (или обратно).

За означување на антидериватот се користи знакот на неопределен интеграл, односно интеграл без означување на границите на интеграцијата.

Неопределен интеграл

Дефиниција:

• Неопределен интеграл на функцијата f(x) е изразот F(x) + C, односно множеството од сите антидеривати на дадената функција f(x). Неопределениот интеграл се означува на следниов начин: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x)- наречена интегранд функција;
• f(x) dx- наречен интегранд;
• x- наречена променлива на интеграција;
• F(x)- еден од антидериватите на функцијата f(x);
• СО- произволна константа.

Својства на неопределен интеграл

1. Изводот на неопределен интеграл е еднаков на интеграндот: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Константниот фактор на интеграндот може да се извади од интегралниот знак: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Интегралот на збирот (разликата) на функциите е еднаков на збирот (разликата) на интегралите на овие функции: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. Ако к, бсе константи, и k ≠ 0, тогаш \int f (kx + b) dx = \frac (1) (k) \cdot F (kx + b) + C.

Табела на антидеривати и неопределени интеграли

Функција f(x)	Антидериватив F(x) + C	Неопределени интеграли \int f(x) dx = F(x) + C
0	В	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\не =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e(^x)dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x)dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin\frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)(1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)(1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \не= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

Формула Њутн-Лајбниц

Нека f(x)оваа функција Фнеговиот произволен антидериват.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

Каде F(x)- антидериват за f(x)

Односно интегралот на функцијата f(x)на интервал е еднаков на разликата на антидеривати во точките бИ а.

Површина на заоблен трапез

Кривилинеарен трапез е фигура ограничена со графикот на функција која е ненегативна и континуирана на интервал ѓ, Ox оска и прави линии x = aИ x = b.

Областа на заоблен трапез се наоѓа со помош на формулата Њутн-Лајбниц:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

Претходно, со дадена дадена функција, водена од различни формули и правила, го најдовме нејзиниот дериват. Дериватот има бројни употреби: тоа е брзината на движење (или, поопшто, брзината на кој било процес); аголниот коефициент на тангентата на графикот на функцијата; користејќи го дериватот, можете да ја испитате функцијата за монотоност и екстремност; помага да се решат проблемите со оптимизација.

Но, заедно со проблемот за наоѓање на брзината според познат закон за движење, постои и инверзен проблем - проблемот на враќање на законот за движење според позната брзина. Да разгледаме еден од овие проблеми.

Пример 1.Материјалната точка се движи права линија, нејзината брзина во времето t е дадена со формулата v=gt. Најдете го законот за движење.
Решение. Нека s = s(t) е посакуваниот закон на движење. Познато е дека s"(t) = v(t). Тоа значи дека за да се реши проблемот треба да се избере функција s = s(t), чиј извод е еднаков на gt. Не е тешко да се погоди дека \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \десно)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Одговор: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Веднаш да забележиме дека примерот е решен правилно, но нецелосно. Добивме \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Всушност, проблемот има бесконечно многу решенија: која било функција од формата \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), каде што C е произволна константа, може да послужи како закон за движење, бидејќи \(\лево (\frac(gt^2)(2) +C \десно)" = gt \)

За да го направиме проблемот поконкретен, моравме да ја поправиме почетната ситуација: да ја означиме координатата на подвижна точка во одреден момент во времето, на пример во t = 0. Ако, да речеме, s(0) = s 0, тогаш од еднаквост s(t) = (gt 2)/2 + C добиваме: s(0) = 0 + C, т.е. C = s 0. Сега законот за движење е уникатно дефиниран: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

Во математиката, заемно инверзните операции добиваат различни имиња, се измислуваат посебни ознаки, на пример: квадрат (x 2) и квадратен корен (\(\sqrt(x) \)), синус (sin x) и лак (arcsin x) и сл.Процесот на пронаоѓање на изводот на дадена функција се нарекува диференцијација, а инверзната операција, односно процесот на наоѓање функција од даден извод е интеграција.

Самиот поим „дериват“ може да се оправда „во секојдневна смисла“: функцијата y = f(x) „раѓа“ нова функција y" = f"(x). Функцијата y = f(x) делува како „родител“, но математичарите, природно, не ја нарекуваат „родител“ или „производител“ тие велат дека е, во однос на функцијата y" = f"(; x) , примарна слика или примитивна.

Дефиниција.Функцијата y = F(x) се нарекува антидериват за функцијата y = f(x) на интервалот X ако еднаквоста F"(x) = f(x) важи за \(x \во X\)

Во пракса, интервалот X обично не е одреден, туку се подразбира (како природен домен на дефиниција на функцијата).

Да дадеме примери.
1) Функцијата y = x 2 е антидериват за функцијата y = 2x, бидејќи за секој x еднаквоста (x 2)" = 2x е точно
2) Функцијата y = x 3 е антидериват за функцијата y = 3x 2, бидејќи за секој x еднаквоста (x 3)" = 3x 2 е точно
3) Функцијата y = sin(x) е антидериват за функцијата y = cos(x), бидејќи за секој x еднаквоста (sin(x))" = cos(x) е точно

Кога се наоѓаат антидеривати, како и деривати, не се користат само формули, туку и некои правила. Тие се директно поврзани со соодветните правила за пресметување на деривати.

Знаеме дека изводот на збирот е еднаков на збирот на неговите изводи. Ова правило го генерира соодветното правило за пронаоѓање на антидеривати.

Правило 1.Антидеривативот на збирот е еднаков на збирот на антидериватите.

Знаеме дека константниот фактор може да се извади од знакот на дериватот. Ова правило го генерира соодветното правило за пронаоѓање на антидеривати.

Правило 2.Ако F(x) е антидериват за f(x), тогаш kF(x) е антидериват за kf(x).

Теорема 1.Ако y = F(x) е антидериват за функцијата y = f(x), тогаш антидериватот за функцијата y = f(kx + m) е функцијата \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Теорема 2.Ако y = F(x) е антидериват за функцијата y = f(x) на интервалот X, тогаш функцијата y = f(x) има бесконечно многу антидеривати и сите тие имаат форма y = F(x) + В.

Методи на интеграција

Метод на замена на променлива (метод на замена)

Методот на интеграција со замена вклучува воведување на нова интеграциска променлива (односно замена). Во овој случај, дадениот интеграл се сведува на нов интеграл, кој е табеларен или редуциран на него. Не постојат општи методи за избор на замени. Способноста правилно да се определи замена се стекнува со вежбање.
Нека биде неопходно да се пресмета интегралот \(\textstyle \int F(x)dx \). Да ја направиме замената \(x= \varphi(t) \) каде што \(\varphi(t) \) е функција која има континуиран извод.
Потоа \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) и врз основа на својството на непроменливост на формулата за интеграција за неопределен интеграл, ја добиваме формулата за интеграција со замена:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Интеграција на изрази од формата \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Ако m е непарен, m > 0, тогаш попогодно е да се направи замена sin x = t.
Ако n е непарен, n > 0, тогаш попогодно е да се направи замена cos x = t.
Ако n и m се парни, тогаш попогодно е да се направи замена tg x = t.

Интеграција по делови

Интеграција по делови - со примена на следнава формула за интеграција:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
или:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Табела на неопределени интеграли (антидеривати) на некои функции

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \нек 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$

Оваа лекција е прва во серијата видеа за интеграција. Во него ќе анализираме што е антидериват на функција, а исто така ќе ги проучуваме елементарните методи за пресметување на овие антидеривати.

Всушност, тука нема ништо комплицирано: во суштина сè се сведува на концептот на дериват, со кој веќе треба да сте запознаени.

Веднаш ќе забележам дека бидејќи ова е првата лекција во нашата нова тема, денес нема да има сложени пресметки и формули, но она што ќе го научиме денес ќе биде основа за многу посложени пресметки и конструкции при пресметување сложени интеграли и области. .

Дополнително, кога почнуваме да ги проучуваме интеграциите и интегралите особено, имплицитно претпоставуваме дека студентот веќе е барем запознаен со концептите на деривати и има барем основни вештини за нивно пресметување. Без јасно разбирање за ова, нема апсолутно ништо да се направи во интеграцијата.

Сепак, тука лежи еден од најчестите и најподмолните проблеми. Факт е дека, кога почнуваат да ги пресметуваат нивните први антидеривати, многу студенти ги мешаат со деривати. Како резултат на тоа, за време на испитите и самостојната работа се прават глупави и навредливи грешки.

Затоа, сега нема да дадам јасна дефиниција за антидериват. За возврат, предлагам да видите како се пресметува користејќи едноставен конкретен пример.

Што е антидериват и како се пресметува?

Ја знаеме оваа формула:

\[((\left(((x)^(n)) \десно))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Овој дериват се пресметува едноставно:

\[(f)"\left(x \десно)=((\left(((x)^(3)) \десно))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Ајде внимателно да го погледнеме добиениот израз и да изразиме $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\лево(((x)^(3)) \десно))^(\prime )))(3)\]

Но, можеме да го напишеме вака, според дефиницијата за дериват:

\[((x)^(2))=((\лево(\frac(((x)^(3)))(3) \десно))^(\prime ))\]

И сега внимание: она што штотуку го запишавме е дефиницијата за антидериват. Но, за да го напишете правилно, треба да го напишете следново:

Да го напишеме следниот израз на ист начин:

Ако го генерализираме ова правило, можеме да ја изведеме следната формула:

\[((x)^(n))\до \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Сега можеме да формулираме јасна дефиниција.

Антидериват на функција е функција чиј извод е еднаков на првобитната функција.

Прашања за антидеривативната функција

Се чини дека е прилично едноставна и разбирлива дефиниција. Меѓутоа, откако ќе го слушне, внимателниот студент веднаш ќе има неколку прашања:

1. Да речеме, во ред, оваа формула е точна. Меѓутоа, во овој случај, со $n=1$, имаме проблеми: „нула“ се појавува во именителот и не можеме да делиме со „нула“.
2. Формулата е ограничена само на степени. Како да се пресмета антидериватот, на пример, на синус, косинус и која било друга тригонометрија, како и константи.
3. Егзистенцијално прашање: дали е секогаш можно да се најде антидериват? Ако да, тогаш што е со антидериватот на збирот, разликата, производот итн.?

Веднаш ќе одговорам на последното прашање. За жал, антидериватот, за разлика од дериватот, не секогаш се разгледува. Не постои универзална формула со која од која било почетна конструкција ќе добиеме функција која ќе биде еднаква на оваа слична конструкција. Што се однесува до моќите и константите, сега ќе зборуваме за тоа.

Решавање проблеми со функциите за напојување

\[((x)^(-1))\до \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Како што можете да видите, оваа формула за $((x)^(-1))$ не работи. Се поставува прашањето: што функционира тогаш? Не можеме да броиме $((x)^(-1))$? Секако дека можеме. Прво да се потсетиме на ова:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Сега да размислиме: изводот на која функција е еднаков на $\frac(1)(x)$. Очигледно, секој студент кој барем малку ја проучувал оваа тема ќе се сети дека овој израз е еднаков на изводот на природниот логаритам:

\[((\лево(\ln x \десно))^(\prim ))=\frac(1)(x)\]

Затоа, можеме со сигурност да го напишеме следново:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\до \ln x\]

Треба да ја знаете оваа формула, исто како и дериватот на функцијата за моќност.

Значи она што го знаеме досега:

• За функција за моќност - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• За константа - $=const\to \cdot x$
• Посебен случај на функција за моќност е $\frac(1)(x)\to \ln x$

И ако почнеме да ги множиме и делиме наједноставните функции, како тогаш можеме да го пресметаме антидериватот на производ или количник. За жал, овде не функционираат аналогии со дериват на производ или количник. Не постои стандардна формула. За некои случаи, постојат незгодни специјални формули - ќе се запознаеме со нив во идните видео лекции.

Сепак, запомнете: не постои општа формула слична на формулата за пресметување на изводот на количник и производ.

Решавање на реални проблеми

Задача бр. 1

Ајде да ја пресметаме секоја од функциите на моќност одделно:

\[((x)^(2))\до \frac(((x)^(3)))(3)\]

Враќајќи се на нашиот израз, ја пишуваме општата конструкција:

Проблем бр. 2

Како што веќе реков, прототиповите на дела и детали „до точка“ не се разгледуваат. Сепак, тука можете да направите на следниот начин:

Дропката ја разложивме на збир од две дропки.

Ајде да направиме математика:

Добрата вест е дека знаејќи ги формулите за пресметување на антидеривати, веќе можете да пресметате посложени структури. Сепак, да одиме понатаму и да го прошириме нашето знаење малку повеќе. Факт е дека многу конструкции и изрази, кои, на прв поглед, немаат никаква врска со $((x)^(n))$, може да се претстават како моќ со рационален индикатор, имено:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Сите овие техники можат и треба да се комбинираат. Моќните изрази можат да бидат

• множи (додаваат степени);
• дели (степените се одземаат);
• множете се со константа;
• итн.

Решавање изрази на моќ со рационален експонент

Пример бр. 1

Ајде да го пресметаме секој корен одделно:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4)))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Севкупно, целата наша конструкција може да се напише на следниов начин:

Пример бр. 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \десно))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \десно))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Затоа добиваме:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Севкупно, собирајќи сè во еден израз, можеме да напишеме:

Пример бр. 3

За почеток, забележуваме дека веќе сме пресметале $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Ајде да препишеме:

Се надевам дека нема да изненадам никого ако кажам дека она што штотуку го проучувавме е само наједноставните пресметки на антидеривати, најелементарните конструкции. Ајде сега да погледнеме малку посложени примери, во кои, покрај табеларните антидеривати, ќе треба да ја запомните и училишната програма, имено, скратените формули за множење.

Решавање на посложени примери

Задача бр. 1

Да се ​​потсетиме на формулата за квадратна разлика:

\[((\лево(а-б \десно))^(2))=((а)^(2))-ab+((б)^(2))\]

Ајде да ја преработиме нашата функција:

Сега треба да го најдеме прототипот на таква функција:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\ до \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3)))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\до \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3)))(4)\]

Ајде да ставиме сè заедно во заеднички дизајн:

Проблем бр. 2

Во овој случај, треба да ја прошириме коцката за разлика. Да се ​​потсетиме:

\[((\left(a-b \десно))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((б)^(3))\]

Земајќи го предвид овој факт, можеме да го напишеме вака:

Ајде малку да ја трансформираме нашата функција:

Сметаме како и секогаш - за секој термин посебно:

\[((x)^(-3))\до \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\до \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\до \ln x\]

Дозволете ни да ја запишеме добиената конструкција:

Задача бр.3

На врвот го имаме квадратот на збирот, ајде да го прошириме:

\[\frac(((\лево(x+\sqrt(x) \десно))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\лево(\sqrt(x) \десно))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\до \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2)))(3)\]

Ајде да го напишеме конечното решение:

Сега внимание! Многу важна работа, која е поврзана со лавовскиот дел од грешките и недоразбирањата. Факт е дека досега, броејќи ги антидериватите со помош на деривати и носејќи трансформации, не размислувавме на што е еднаков изводот на константата. Но, изводот на константа е еднаков на „нула“. Ова значи дека можете да ги напишете следниве опции:

1. $((x)^(2))\до \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\до \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Ова е многу важно да се разбере: ако изводот на функцијата е секогаш ист, тогаш истата функција има бесконечен број на антидеривати. Ние едноставно можеме да додадеме какви било константни броеви на нашите антидеривати и да добиеме нови.

Не случајно во објаснувањето на проблемите што штотуку ги решивме, беше напишано „Запишете ја општата форма на антидеривати“. Оние. Веќе однапред се претпоставува дека нема еден од нив, туку цело мноштво. Но, всушност, тие се разликуваат само во константата $C$ на крајот. Затоа, во нашите задачи ќе го исправиме она што не сме го завршиле.

Уште еднаш ги препишуваме нашите конструкции:

Во такви случаи, треба да додадете дека $C$ е константа - $C=const$.

Во нашата втора функција ја добиваме следната конструкција:

И последното:

И сега навистина го добивме она што се бараше од нас во првобитната состојба на проблемот.

Решавање проблеми на пронаоѓање антидеривати со дадена точка

Сега, кога знаеме за константите и особеностите на пишувањето антидеривати, сосема е логично следниот тип на проблем да се појави кога, од множеството на сите антидеривати, се бара да се најде оној и единствениот што би поминал низ дадена точка. . Што е оваа задача?

Факт е дека сите антидеривати на дадена функција се разликуваат само по тоа што се поместени вертикално за одреден број. И ова значи дека без разлика која точка на координатната рамнина ќе ја земеме, еден антидериват дефинитивно ќе помине, а згора на тоа, само еден.

Значи, проблемите што сега ќе ги решиме се формулирани на следниов начин: не само да го најдеме антидериватот, знаејќи ја формулата на оригиналната функција, туку да го избереме токму оној што поминува низ дадената точка, чии координати ќе бидат дадени во задачата. изјава.

Пример бр. 1

Прво, едноставно да го броиме секој член:

\[((x)^(4))\до \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\до \frac(((x)^(4)))(4)\]

Сега ги заменуваме овие изрази во нашата конструкција:

Оваа функција мора да помине низ точката $M\left(-1;4 \right)$. Што значи тоа дека поминува низ точка? Ова значи дека ако наместо $x$ ставиме $-1$ насекаде, и наместо $F\left(x \десно)$ - $-4$, тогаш треба да ја добиеме точната нумеричка еднаквост. Да го направиме ова:

Гледаме дека имаме равенка за $C$, па да се обидеме да ја решиме:

Ајде да го запишеме самото решение што го баравме:

Пример бр. 2

Пред сè, неопходно е да се открие квадратот на разликата користејќи ја скратената формула за множење:

\[((x)^(2))\до \frac(((x)^(3)))(3)\]

Оригиналната конструкција ќе биде напишана на следниов начин:

Сега да најдеме $C$: заменете ги координатите на точката $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Изразуваме $C$:

Останува да се прикаже конечниот израз:

Решавање на тригонометриски задачи

Како последен допир на она што штотуку го дискутиравме, предлагам да разгледаме два посложени проблеми кои вклучуваат тригонометрија. Во нив, на ист начин, ќе треба да најдете антидеривати за сите функции, а потоа од ова множество да го изберете единствениот што минува низ точката $M$ на координатната рамнина.

Гледајќи напред, би сакал да забележам дека техниката што сега ќе ја користиме за да најдеме антидеривати на тригонометриските функции е, всушност, универзална техника за само-тестирање.

Задача бр. 1

Да се ​​потсетиме на следнава формула:

\[((\лево(\текст(tg)x \десно))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos)^(2))x)\]

Врз основа на ова, можеме да напишеме:

Ајде да ги замениме координатите на точката $M$ во нашиот израз:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Ајде да го преработиме изразот земајќи го предвид овој факт:

Проблем бр. 2

Ова ќе биде малку потешко. Сега ќе видите зошто.

Да се ​​потсетиме на оваа формула:

\[((\лево(\текст(ctg)x \десно))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

За да се ослободите од „минусот“, треба да го направите следново:

\[((\лево(-\текст(ctg)x \десно))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Еве го нашиот дизајн

Да ги замениме координатите на точката $M$:

Севкупно, ја запишуваме конечната конструкција:

За тоа сакав да ви кажам денес. Го проучувавме самиот поим антидеривати, како да ги пресметаме од елементарните функции, а исто така и како да најдеме антидериват кој минува низ одредена точка на координатната рамнина.

Се надевам дека оваа лекција ќе ви помогне барем малку да ја разберете оваа сложена тема. Во секој случај, на антидеривати се конструираат неопределени и неопределени интеграли, па затоа е апсолутно неопходно да се пресметаат. Тоа е се за мене. Се гледаме повторно!

Час и презентација на тема: „Антидеривативна функција. График на функција“

Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби! Сите материјали се проверени со антивирусна програма.

Наставни средства и симулатори во онлајн продавницата Integral за 11 одделение
Алгебарски задачи со параметри, оценки 9–11
„Интерактивни задачи за градење во простор за 10 и 11 одделение“

Антидеривативна функција. Вовед

Момци, знаете како да најдете деривати на функции користејќи различни формули и правила. Денес ќе ја проучуваме инверзната операција на пресметување на изводот. Концептот на дериват често се користи во реалниот живот. Да ве потсетам: изводот е брзината на промена на функцијата во одредена точка. Процесите кои вклучуваат движење и брзина се добро опишани во овие термини.

Да го погледнеме овој проблем: „Брзината на објектот што се движи во права линија е опишана со формулата $V=gt$ Потребна е да се врати законот на движење.
Решение.
Добро ја знаеме формулата: $S"=v(t)$, каде што S е законот за движење.
Нашата задача се сведува на наоѓање на функција $S=S(t)$ чиј извод е еднаков на $gt$. Гледајќи внимателно, можете да погодите дека $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$.
Да ја провериме точноста на решението на овој проблем: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
Знаејќи го изводот на функцијата, ја најдовме самата функција, односно ја извршивме инверзната операција.
Но, вреди да се обрне внимание на овој момент. Решението на нашиот проблем бара појаснување ако додадеме кој било број (константа) на пронајдената функција, тогаш вредноста на изводот нема да се промени: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+; c,c=const$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.

Момци, обрнете внимание: нашиот проблем има бесконечен број решенија!
Ако проблемот не наведува почетна или некоја друга состојба, не заборавајте да додадете константа на решението. На пример, нашата задача може да ја специфицира положбата на нашето тело на самиот почеток на движењето. Тогаш не е тешко да се пресмета константата со замена на нула во добиената равенка, ја добиваме вредноста на константата.

Како се нарекува оваа операција?
Инверзната операција на диференцијација се нарекува интеграција.
Наоѓање функција од даден извод – интеграција.
Самата функција ќе се нарече антидериват, односно сликата од која е добиен изводот на функцијата.
Вообичаено е антидериватот да се пишува со голема буква $y=F"(x)=f(x)$.

Дефиниција. Функцијата $y=F(x)$ се нарекува антидериват на функцијата $у=f(x)$ на интервалот X ако за кој било $хϵХ$ важи еднаквоста $F'(x)=f(x)$ .

Ајде да направиме табела на антидеривати за различни функции. Треба да се испечати како потсетник и да се запамети.

Во нашата табела, не беа наведени почетни услови. Ова значи дека треба да се додаде константа на секој израз од десната страна на табелата. Ова правило ќе го разјасниме подоцна.

Правила за пронаоѓање антидеривати

Ајде да запишеме неколку правила кои ќе ни помогнат да најдеме антидеривати. Сите тие се слични на правилата за диференцијација.

Правило 1. Антидеривативот на збирот е еднаков на збирот на антидериватите. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.

Пример.
Најдете го антидериватот за функцијата $y=4x^3+cos(x)$.
Решение.
Антидеривативот на збирот е еднаков на збирот на антидериватите, тогаш треба да го најдеме антидериватот за секоја од претставените функции.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
Тогаш антидериватот на оригиналната функција ќе биде: $y=x^4+sin(x)$ или која било функција од формата $y=x^4+sin(x)+C$.

Правило 2. Ако $F(x)$ е антидериват за $f(x)$, тогаш $k*F(x)$ е антидериват за функцијата $k*f(x)$.(Можеме лесно да го земеме коефициентот како функција).

Пример.
Најдете антидеривати на функции:
а) $y=8sin(x)$.
б) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
в) $y=(3x)^2+4x+5$.
Решение.
а) Антидеривативот на $sin(x)$ е минус $cos(x)$. Тогаш антидериватот на оригиналната функција ќе има форма: $y=-8cos(x)$.

Б) Антидериватот на $cos(x)$ е $sin(x)$. Тогаш антидериватот на оригиналната функција ќе има форма: $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.

В) Антидеривативот за $x^2$ е $\frac(x^3)(3)$. Антидеривативот за x е $\frac(x^2)(2)$. Антидериватот на 1 е x. Тогаш антидериватот на оригиналната функција ќе има форма: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$.

Правило 3. Ако $у=F(x)$ е антидериват за функцијата $y=f(x)$, тогаш антидериватот за функцијата $y=f(kx+m)$ е функцијата $y=\frac(1 )(k)* F(kx+m)$.

Пример.
Најдете антидеривати на следните функции:
а) $y=cos(7x)$.
б) $y=sin(\frac(x)(2))$.
в) $y=(-2x+3)^3$.
г) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Решение.
а) Антидериватот на $cos(x)$ е $sin(x)$. Тогаш антидериватот за функцијата $y=cos(7x)$ ќе биде функцијата $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$.

Б) Антидеривативот на $sin(x)$ е минус $cos(x)$. Тогаш антидериватот за функцијата $y=sin(\frac(x)(2))$ ќе биде функцијата $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.

В) Антидеривативот за $x^3$ е $\frac(x^4)(4)$, потоа антидериватот на оригиналната функција $y=-\frac(1)(2)*\frac(((- 2x+3) ^4)(4)=-\frac((-2x+3))^4)(8)$.

Г) Малку поедноставете го изразот со моќноста $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$.
Антидериватот на експоненцијалната функција е самиот себе експоненцијална функција. Антидериватот на оригиналната функција ќе биде $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.

Теорема. Ако $y=F(x)$ е антидериват за функцијата $y=f(x)$ на интервалот X, тогаш функцијата $y=f(x)$ има бесконечно многу антидеривати, и сите имаат форма $y=F( x)+С$.

Ако во сите примери разгледани погоре беше неопходно да се најде множеството на сите антидеривати, тогаш константата C треба да се додаде насекаде.
За функцијата $y=cos(7x)$ сите антидеривати имаат форма: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
За функцијата $y=(-2x+3)^3$ сите антидеривати имаат форма: $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$.

Пример.
Од страна на дадениот законпромените во брзината на телото со текот на времето $v=-3sin(4t)$ најдете го законот за движење $S=S(t)$, ако во почетен моментвреме телото имаше координати еднаква на 1,75.
Решение.
Бидејќи $v=S’(t)$, треба да го најдеме антидериватот за дадена брзина.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
Во овој проблем е дадено дополнителна состојба- почетниот момент на времето. Ова значи дека $t=0$.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
Тогаш законот за движење е опишан со формулата: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.

Проблеми кои треба да се решаваат самостојно

1. Најдете антидеривати на функции:
а) $y=-10sin(x)$.
б) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
в) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. Најдете антидеривати на следните функции:
а) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
б) $y=sin(8x)$.
в) $y=((7x+4))^4$.
г) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. Според дадениот закон за промена на брзината на телото со текот на времето $v=4cos(6t)$, најдете го законот за движење $S=S(t)$ ако во почетниот момент телото имало координати еднаква на 2.