График на функција на моќност со фракционо негативен експонент. Моќните функции, нивните својства и графикони

На доменот на дефиниција на функцијата моќност y = x p важат следните формули:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Својства на функциите на моќност и нивните графикони

Функција на моќност со експонент еднаков на нула, p = 0

Ако експонентот на функцијата за моќност y = x p е еднаков на нула, p = 0, тогаш функцијата за моќност е дефинирана за сите x ≠ 0 и е константа еднаква на една:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Функција на моќност со природен непарен експонент, p = n = 1, 3, 5, ...

Размислете за функција на моќност y = x p = x n со природен непарен експонент n = 1, 3, 5, ... . Овој индикатор може да се запише и во форма: n = 2k + 1, каде што k = 0, 1, 2, 3, ... е ненегативен цел број. Подолу се дадени својствата и графиконите на таквите функции.

График на функција на моќност y = x n со природен непарен експонент за различни вредности на експонентот n = 1, 3, 5, ....

Домен: -∞ < x < ∞
Повеќе значења: -∞ < y < ∞
Паритет:непарен, y(-x) = - y(x)
Монотон:монотоно се зголемува
Екстреми:Бр
Конвексен:
на -∞< x < 0 выпукла вверх
на 0< x < ∞ выпукла вниз
Точки на флексија: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Ограничувања:
;
Приватни вредности:
на x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
на x = 0, y(0) = 0 n = 0
за x = 1, y (1) = 1 n = 1
Обратна функција:
за n = 1, функцијата е нејзина инверзна: x = y
за n ≠ 1, инверзната функција е коренот на степенот n:

Функција на моќност со природен парен експонент, p = n = 2, 4, 6, ...

Размислете за функција на моќност y = x p = x n со природен парен експонент n = 2, 4, 6, ... . Овој индикатор може да се напише и во форма: n = 2k, каде k = 1, 2, 3, ... - природно. Својствата и графиконите на таквите функции се дадени подолу.

График на функција на моќност y = x n со природен парен експонент за различни вредности на експонентот n = 2, 4, 6, ....

Домен: -∞ < x < ∞
Повеќе значења: 0 ≤ y< ∞
Паритет:парен, y(-x) = y(x)
Монотон:
за x ≤ 0 монотоно се намалува
за x ≥ 0 монотоно се зголемува
Екстреми:минимум, x = 0, y = 0
Конвексен:конвексен надолу
Точки на флексија:Бр
Пресечни точки со координатни оски: x = 0, y = 0
Ограничувања:
;
Приватни вредности:
на x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
на x = 0, y(0) = 0 n = 0
за x = 1, y (1) = 1 n = 1
Обратна функција:
за n = 2, квадратен корен:
за n ≠ 2, корен од степен n:

Функција на моќност со негативен целоброен експонент, p = n = -1, -2, -3, ...

Да ја разгледаме функцијата на моќност y = x p = x n со цел број негативен експонент n = -1, -2, -3, ... . Ако ставиме n = -k, каде што k = 1, 2, 3, ... е природен број, тогаш тој може да се претстави како:

График на функција на моќност y = x n со негативен цел број експонент за различни вредности на експонентот n = -1, -2, -3, ... .

Непарен експонент, n = -1, -3, -5, ...

Подолу се дадени својствата на функцијата y = x n со непарен негативен експонент n = -1, -3, -5, ....

Домен: x ≠ 0
Повеќе значења: y ≠ 0
Паритет:непарен, y(-x) = - y(x)
Монотон:монотоно се намалува
Екстреми:Бр
Конвексен:
на x< 0 : выпукла вверх
за x > 0: конвексен надолу
Точки на флексија:Бр
Пресечни точки со координатни оски:Бр
Знак:
на x< 0, y < 0
за x > 0, y > 0
Ограничувања:
; ; ;
Приватни вредности:
за x = 1, y (1) = 1 n = 1
Обратна функција:
кога n = -1,
на н< -2 ,

Парен експонент, n = -2, -4, -6, ...

Подолу се дадени својствата на функцијата y = x n со парен негативен експонент n = -2, -4, -6, ....

Домен: x ≠ 0
Повеќе значења: y > 0
Паритет:парен, y(-x) = y(x)
Монотон:
на x< 0 : монотонно возрастает
за x > 0: монотоно се намалува
Екстреми:Бр
Конвексен:конвексен надолу
Точки на флексија:Бр
Пресечни точки со координатни оски:Бр
Знак: y > 0
Ограничувања:
; ; ;
Приватни вредности:
за x = 1, y (1) = 1 n = 1
Обратна функција:
на n = -2,
на н< -2 ,

Функција на моќност со рационален (фракционо) експонент

Размислете за моќна функција y = x p со рационален (фракционо) експонент, каде што n е цел број, m > 1 е природен број. Покрај тоа, n, m немаат заеднички делители.

Именителот на фракциониот показател е непарен

Нека е непарен именителот на дробниот показател: m = 3, 5, 7, ... . Во овој случај, функцијата за моќност x p е дефинирана и за позитивните и за негативните вредности на аргументот x. Да ги разгледаме својствата на таквите функции на моќност кога експонентот p е во одредени граници.

P-вредноста е негативна, стр< 0

Нека рационалниот експонент (со непарен именител m = 3, 5, 7, ...) е помал од нула: .

Графикони на функции на моќност со рационален негативен експонент за различни вредности на експонентот, каде што m = 3, 5, 7, ... - непарен.

Непарен броител, n = -1, -3, -5, ...

Ги прикажуваме својствата на функцијата моќност y = x p со рационален негативен експонент, каде што n = -1, -3, -5, ... е непарен негативен цел број, m = 3, 5, 7 ... е непарен природен цел број.

Домен: x ≠ 0
Повеќе значења: y ≠ 0
Паритет:непарен, y(-x) = - y(x)
Монотон:монотоно се намалува
Екстреми:Бр
Конвексен:
на x< 0 : выпукла вверх
за x > 0: конвексен надолу
Точки на флексија:Бр
Пресечни точки со координатни оски:Бр
Знак:
на x< 0, y < 0
за x > 0, y > 0
Ограничувања:
; ; ;
Приватни вредности:
при x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
за x = 1, y (1) = 1 n = 1
Обратна функција:

Парен броител, n = -2, -4, -6, ...

Својства на функцијата моќност y = x p со рационален негативен експонент, каде што n = -2, -4, -6, ... е парен негативен цел број, m = 3, 5, 7 ... е непарен природен цел број .

Домен: x ≠ 0
Повеќе значења: y > 0
Паритет:парен, y(-x) = y(x)
Монотон:
на x< 0 : монотонно возрастает
за x > 0: монотоно се намалува
Екстреми:Бр
Конвексен:конвексен надолу
Точки на флексија:Бр
Пресечни точки со координатни оски:Бр
Знак: y > 0
Ограничувања:
; ; ;
Приватни вредности:
при x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
за x = 1, y (1) = 1 n = 1
Обратна функција:

P-вредноста е позитивна, помала од еден, 0< p < 1

График на функција на моќност со рационален експонент (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Непарен броител, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Домен: -∞ < x < +∞
Повеќе значења: -∞ < y < +∞
Паритет:непарен, y(-x) = - y(x)
Монотон:монотоно се зголемува
Екстреми:Бр
Конвексен:
на x< 0 : выпукла вниз
за x > 0: конвексен нагоре
Точки на флексија: x = 0, y = 0
Пресечни точки со координатни оски: x = 0, y = 0
Знак:
на x< 0, y < 0
за x > 0, y > 0
Ограничувања:
;
Приватни вредности:
при x = -1, y(-1) = -1
на x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y (1) = 1
Обратна функција:

Парен броител, n = 2, 4, 6, ...

Презентирани се својствата на функцијата моќност y = x p со рационален експонент во рамките на 0< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Домен: -∞ < x < +∞
Повеќе значења: 0 ≤ y< +∞
Паритет:парен, y(-x) = y(x)
Монотон:
на x< 0 : монотонно убывает
за x > 0: монотоно се зголемува
Екстреми:минимум на x = 0, y = 0
Конвексен:конвексен нагоре за x ≠ 0
Точки на флексија:Бр
Пресечни точки со координатни оски: x = 0, y = 0
Знак:за x ≠ 0, y > 0
Ограничувања:
;
Приватни вредности:
на x = -1, y(-1) = 1
на x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y (1) = 1
Обратна функција:

Индексот p е поголем од еден, p > 1

График на функција на моќност со рационален експонент (p > 1) за различни вредности на експонентот, каде m = 3, 5, 7, ... - непарен.

Непарен броител, n = 5, 7, 9, ...

Својства на функцијата моќност y = x p со рационален експонент поголем од еден: . Каде што n = 5, 7, 9, ... - непарно природно, m = 3, 5, 7 ... - непарно природно.

Домен: -∞ < x < ∞
Повеќе значења: -∞ < y < ∞
Паритет:непарен, y(-x) = - y(x)
Монотон:монотоно се зголемува
Екстреми:Бр
Конвексен:
на -∞< x < 0 выпукла вверх
на 0< x < ∞ выпукла вниз
Точки на флексија: x = 0, y = 0
Пресечни точки со координатни оски: x = 0, y = 0
Ограничувања:
;
Приватни вредности:
при x = -1, y(-1) = -1
на x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y (1) = 1
Обратна функција:

Парен броител, n = 4, 6, 8, ...

Својства на функцијата моќност y = x p со рационален експонент поголем од еден: . Каде што n = 4, 6, 8, ... - парно природно, m = 3, 5, 7 ... - непарно природно.

Домен: -∞ < x < ∞
Повеќе значења: 0 ≤ y< ∞
Паритет:парен, y(-x) = y(x)
Монотон:
на x< 0 монотонно убывает
за x > 0 монотоно се зголемува
Екстреми:минимум на x = 0, y = 0
Конвексен:конвексен надолу
Точки на флексија:Бр
Пресечни точки со координатни оски: x = 0, y = 0
Ограничувања:
;
Приватни вредности:
на x = -1, y(-1) = 1
на x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y (1) = 1
Обратна функција:

Именителот на фракциониот индикатор е парен

Нека именителот на дробниот показател е парен: m = 2, 4, 6, ... . Во овој случај, функцијата за моќност x p не е дефинирана за негативните вредности на аргументот. Неговите својства се совпаѓаат со својствата на функцијата на моќност со ирационален експонент (видете го следниот дел).

Функција на моќност со ирационален експонент

Размислете за функција на моќност y = x p со ирационален експонент p. Својствата на таквите функции се разликуваат од оние дискутирани погоре со тоа што тие не се дефинирани за негативните вредности на аргументот x. За позитивните вредности на аргументот, својствата зависат само од вредноста на експонентот p и не зависат од тоа дали p е цел број, рационален или ирационален.

y = x p за различни вредности на експонентот p.

Функција на моќност со негативен експонент стр< 0

Домен: x > 0
Повеќе значења: y > 0
Монотон:монотоно се намалува
Конвексен:конвексен надолу
Точки на флексија:Бр
Пресечни точки со координатни оски:Бр
Ограничувања: ;
Приватно значење:За x = 1, y (1) = 1 p = 1

Функција на моќност со позитивен експонент p > 0

Индикатор помал од еден 0< p < 1

Домен: x ≥ 0
Повеќе значења: y ≥ 0
Монотон:монотоно се зголемува
Конвексен:конвексен нагоре
Точки на флексија:Бр
Пресечни точки со координатни оски: x = 0, y = 0
Ограничувања:
Приватни вредности:За x = 0, y(0) = 0 p = 0.
За x = 1, y (1) = 1 p = 1

Индикаторот е поголем од еден p > 1

Домен: x ≥ 0
Повеќе значења: y ≥ 0
Монотон:монотоно се зголемува
Конвексен:конвексен надолу
Точки на флексија:Бр
Пресечни точки со координатни оски: x = 0, y = 0
Ограничувања:
Приватни вредности:За x = 0, y(0) = 0 p = 0.
За x = 1, y (1) = 1 p = 1

Референци:
И.Н. Бронштајн, К.А. Семендјаев, Прирачник за математика за инженери и студенти, „Лан“, 2009 година.

Исто така види:

За да користите прегледи на презентации, креирајте сметка на Google и најавете се на неа: https://accounts.google.com

Наслов на слајд:

Тема на часот: Функција на моќност и нејзиниот график.

Како што алгебристите пишуваат A 2, A 3, ... наместо AA, AAA, ..., така и јас пишувам наместо -1, a -2, a -3, ... Њутн И.

y = x x y y = x 2 x y y = x 3 x y x y Директна парабола Кубна парабола хипербола Познати сме со функциите: Сите овие функции се посебни случаи на функцијата моќност

каде што p е даден реален број Дефиниција: Функција на моќност е функција од формата y = x p. Својствата и графикот на функцијата за моќност зависат од својствата на моќноста со реален експонент, а особено од вредностите од x и p за кои моќта x p има смисла.

Функцијата y=x 2 n е парна, бидејќи (– x) 2 n = x 2 n Функцијата се намалува на интервалот Функцијата се зголемува на интервалот Функција на моќност: Експонент p = 2n – парен природен број y = x 2, y = x 4, y = x 6, y = x 8 , ... 1 0 x y y = x 2

y x - 1 0 1 2 y = x 2 y = x 6 y = x 4 Функција на моќност: Експонент p = 2n – парен природен број y = x 2, y = x 4, y = x 6, y = x 8, . ..

Функцијата y=x 2 n -1 е непарна, бидејќи (– x) 2 n -1 = – x 2 n -1 Функцијата се зголемува на интервалот Функција на моќност: Експонент p = 2n-1 – непарен природен број y = x 3, y = x 5, y = x 7, y = x 9, … 1 0

Функција на моќност: y x ​​- 1 0 1 2 y = x 3 y = x 7 y = x 5 Експонент p = 2n-1 – непарен природен број y = x 3, y = x 5, y = x 7, y = x 9,...

Функцијата y=x- 2 n е парна, бидејќи (– x) -2 n = x -2 n Функцијата се зголемува на интервалот Функцијата се намалува на интервалот Функција моќност: Експонент p = -2n – каде n е природен број y = x -2, y = x -4 , y = x -6 , y = x -8 , … 0 1

1 0 1 2 y = x -4 y = x -2 y = x -6 Функција на моќност: Експонент p = -2n – каде n е природен број y = x -2, y = x -4, y = x - 6, y = x -8, ... y x

Функцијата се намалува на интервалот Функцијата y=x -(2 n -1) е непарна, бидејќи (– x) –(2 n -1) = – x –(2 n -1) Функцијата се намалува на интервалот Функција моќност: Експонент p = -(2n-1) – каде n е природен број y = x - 3, y = x -5, y = x -7, y = x -9, ... 1 0

y = x -1 y = x -3 y = x -5 Функција на моќност: Експонент p = -(2n-1) – каде n е природен број y = x -3, y = x -5, y = x - 7, y = x -9 , … y x - 1 0 1 2

Функција моќност: Експонент p – позитивен реален нецелоброен број y = x 1,3, y = x 0,7, y = x 2,2, y = x 1/3,… 0 1 x y Функцијата се зголемува во текот на интервалот

y = x 0,7 Моќна функција: Експонент p – позитивен реален нецелоброен број y = x 1,3, y = x 0,7, y = x 2,2, y = x 1/3,… y x - 1 0 1 2 y = x 0,5 y = x 0,84

Функција моќност: Експонент p – позитивен реален нецелоброен број y = x 1,3, y = x 0,7, y = x 2,2, y = x 1/3,… y x - 1 0 1 2 y = x 1, 5 y = x 3,1 y = x 2,5

Функција моќност: Експонент p – негативен реален нецелоброен број y= x -1,3, y= x -0,7, y= x -2,2, y = x -1/3,… 0 1 x y Функцијата се намалува за помеѓу

y = x -0,3 y = x -2,3 y = x -3,8 Функција на моќност: Експонент p – негативен реален нецелоброен број y= x -1,3, y= x -0,7, y= x -2,2, y = x -1 /3,… y x - 1 0 1 2 y = x -1,3

На тема: методолошки случувања, презентации и белешки

Користењето на интеграцијата во образовниот процес како начин за развој на аналитички и креативни способности....

Обезбедува референтни податоци за експоненцијалната функција - основни својства, графикони и формули. Разгледани се следните теми: домен на дефиниција, множество вредности, монотоност, инверзна функција, извод, интеграл, проширување на сериите на моќност и претставување со комплексни броеви.

содржина

Својства на експоненцијалната функција

Експоненцијалната функција y = a x ги има следните својства на множеството реални броеви ():
(1.1) дефинирани и континуирани, за , за сите ;
(1.2) за ≠ 1 има многу значења;
(1.3) строго се зголемува на, строго се намалува на,
е константна на ;
(1.4) во ;
во ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Други корисни формули.
.
Формула за претворање во експоненцијална функција со различна база на експоненти:

Кога b = e, го добиваме изразот на експоненцијалната функција преку експоненцијалната:

Приватни вредности

, , , , .

y = a x за различни вредности на основата a.

На сликата се прикажани графикони на експоненцијалната функција
y (x) = секира
за четири вредности степени бази: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и a = 1/8 . Се гледа дека за а > 1 експоненцијалната функција монотоно се зголемува. Колку е поголема основата на степенот a, толку е посилен растот. На 0 < a < 1 експоненцијалната функција монотоно се намалува. Колку е помал експонентот a, толку е посилно намалувањето.

Растечки, опаѓачки

Експоненцијалната функција за е строго монотона и затоа нема екстреми. Неговите главни својства се претставени во табелата.

	y = a x, a > 1	y = секира, 0 < a < 1
Домен	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Опсег на вредности	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Монотон	монотоно се зголемува	монотоно се намалува
Нули, y = 0	Бр	Бр
Пресечни точки со ординатна оска, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Инверзна функција

Инверзната на експоненцијална функција со основа a е логаритам со основата a.

Ако тогаш
.
Ако тогаш
.

Диференцијација на експоненцијална функција

За да се диференцира експоненцијална функција, нејзината основа мора да се сведе на бројот e, да се примени табелата на изводи и правилото за диференцијација на сложена функција.

За да го направите ова, треба да го користите својството на логаритми
и формулата од табелата со деривати:
.

Нека е дадена експоненцијална функција:
.
Го доведуваме до основата e:

Да го примениме правилото за диференцијација на сложените функции. За да го направите ова, воведете ја променливата

Потоа

Од табелата со деривати имаме (променливата x заменете ја со z):
.
Бидејќи е константа, изводот на z во однос на x е еднаков на
.
Според правилото за диференцијација на сложена функција:
.

Извод на експоненцијална функција

.
Извод од n-ти ред:
.
Изведување формули > > >

Пример за диференцирање на експоненцијална функција

Најдете го изводот на функцијата
y = 3 5 x

Решение

Да ја изразиме основата на експоненцијалната функција преку бројот e.
3 = e ln 3
Потоа
.
Внесете променлива
.
Потоа

Од табелата на деривати наоѓаме:
.
Затоа што 5ln 3е константа, тогаш изводот на z во однос на x е еднаков на:
.
Според правилото за диференцијација на сложена функција, имаме:
.

Одговори

Интегрален

Изрази кои користат сложени броеви

Размислете за функцијата комплексен број z:
ѓ (z) = a z
каде z = x + iy; јас 2 = - 1 .
Да ја изразиме сложената константа a во однос на модулот r и аргументот φ:
a = r e i φ
Потоа


.
Аргументот φ не е единствено дефиниран. Генерално
φ = φ 0 + 2 πn,
каде n е цел број. Затоа функцијата f (з)исто така не е јасно. Неговото главно значење често се разгледува
.

Дали сте запознаени со функциите y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/xитн Сите овие функции се посебни случаи на функцијата моќ, т.е. функцијата y=xp, каде што p е даден реален број.
Својствата и графикот на функцијата за моќност значително зависат од својствата на моќта со реален експонент, а особено од вредностите за кои xИ стрстепен има смисла x стр. Да продолжиме со слично разгледување на различни случаи во зависност од
експонент стр.

1. Индекс p=2n-парен природен број.

y=x2n, Каде n- природен број, го има следново

својства:

• домен на дефиниција - сите реални броеви, односно множеството R;
• збир на вредности - не-негативни броеви, т.е. y е поголем или еднаков на 0;
• функција y=x2nдури, затоа што x 2n=(- x) 2n
• функцијата се намалува во интервалот x<0 и зголемување на интервалот x>0.

График на функција y=x2nја има истата форма како, на пример, графикот на функцијата y=x 4.

2. Индикатор p=2n-1- непарен природен број
Во овој случај, функцијата за напојување y=x2n-1, каде што е природен број, ги има следните својства:

• домен на дефиниција - множество R;
• збир на вредности - сет R;
• функција y=x2n-1чудно затоа што (- x) 2n-1=x2n-1;
• функцијата се зголемува на целата реална оска.

График на функција y=x 2n-1 ја има истата форма како, на пример, графикот на функцијата y=x 3 .

3.Индикатор p=-2n, Каде n-природен број.

Во овој случај, функцијата за напојување y=x -2n =1/x 2nги има следните својства:

• домен на дефиниција - множество R, освен x=0;
• збир на вредности - позитивни броеви y>0;
• функција y =1/x2nдури, затоа што 1/(-x)2n=1/x 2n;
• функцијата се зголемува на интервалот x<0 и убывающей на промежутке x>0.

График на функцијата y =1/x2nја има истата форма како, на пример, графикот на функцијата y =1/x 2.