Антидериватив и неговите својства. Антидериват на функцијата

Видовме дека дериватот има бројни употреби: изводот е брзина на движење (или, поопшто, брзина на кој било процес); дериват е наклонтангента на графикот на функцијата; користејќи го дериватот, можете да ја испитате функцијата за монотоност и екстремност; дериватот помага во решавањето на проблемите за оптимизација.

Но во вистински животТреба да се решат и инверзни проблеми: на пример, заедно со проблемот со наоѓање на брзината според познат закон за движење, постои и проблем со враќање на законот за движење според позната брзина. Да разгледаме еден од овие проблеми.

Пример 1.Се движи во права линија материјална точка, брзината на неговото движење во времето t е дадена со формулата u = tg. Најдете го законот за движење.

Решение.Нека s = s(t) е посакуваниот закон на движење. Познато е дека s"(t) = u"(t). Ова значи дека за да го решите проблемот треба да изберете функција s = s(t), чиј извод е еднаков на tg. Тоа не е тешко да се погоди

Веднаш да забележиме дека примерот е решен правилно, но нецелосно. Откривме дека, всушност, проблемот има бесконечно многу решенија: која било функција на формата произволна константа може да послужи како закон за движење, бидејќи

За да ја направиме задачата поконкретна, требаше да ја поправиме почетната ситуација: означете ја координатата на подвижна точка во одреден момент во времето, на пример, на t=0. Ако, да речеме, s(0) = s 0, тогаш од еднаквоста добиваме s(0) = 0 + C, т.е. S 0 = C. Сега законот на движење е уникатно дефиниран:
Во математиката се доделуваат реципрочни операции различни имиња, излезе со посебни ознаки: на пример, квадрат (x 2) и извлекување квадратен коренсинус(sinх) и лаксин(arcsin x), итн. Процесот на пронаоѓање на дериватот во однос на дадена функцијасе нарекува диференцијација, а инверзната операција, т.е. процесот на пронаоѓање на функција од даден извод – интеграција.
Самиот поим „дериват“ може да се оправда „во секојдневна смисла“: функцијата y - f(x) „произведува во постоење“ нова карактеристика y"= f"(x) Функцијата y = f(x) делува како „родител“, но математичарите, нормално, не ја нарекуваат „родител“ или „производител“, велат дека е, во однос на функцијата y"=f"(x), примарната слика или, накратко, антидериватот.

Дефиниција 1.Функцијата y = F(x) се нарекува антидериват за функцијата y = f(x) на даден интервал X ако за сите x од X важи еднаквоста F"(x)=f(x).

Во пракса, интервалот X обично не е одреден, туку се подразбира (како природен домен на дефиниција на функцијата).

Еве неколку примери:

1) Функцијата y = x 2 е антидериват за функцијата y = 2x, бидејќи за сите x еднаквоста (x 2)" = 2x е точно.
2) функцијата y - x 3 е антидериват за функцијата y-3x 2, бидејќи за сите x еднаквоста (x 3)" = 3x 2 е точно.
3) Функцијата y-sinх е антидериват за функцијата y = cosx, бидејќи за сите x еднаквоста (sinx)" = cosx е точно.
4) Функцијата е антидериват за функција на интервалот бидејќи за сите x > 0 еднаквоста е точно
Генерално, знаејќи ги формулите за пронаоѓање деривати, не е тешко да се состави табела со формули за пронаоѓање на антидеривати.

Се надеваме дека разбирате како е составена оваа табела: изводот на функцијата, кој е запишан во втората колона, е еднаков на функцијата што е напишана во соодветниот ред од првата колона (проверете, не бидете мрзливи, тоа е многу корисно). На пример, за функцијата y = x 5, антидериватот, како што ќе утврдите, е функцијата (видете го четвртиот ред од табелата).

Белешки: 1. Подолу ќе ја докажеме теоремата дека ако y = F(x) е антидериват за функцијата y = f(x), тогаш функцијата y = f(x) има бесконечно многу антидеривати и сите имаат форма y = F(x) + C. Затоа, би било поправилно да се додаде терминот C насекаде во втората колона од табелата, каде што C е произволен реален број.
2. Заради краткост, понекогаш наместо фразата „функцијата y = F(x) е антидериват на функцијата y = f(x),“ велат дека F(x) е антидериват на f(x) .“

2. Правила за наоѓање антидеривати

При пронаоѓање на антидеривати, како и при пронаоѓање на деривати, не се користат само формули (тие се наведени во табелата на стр. 196), туку и некои правила. Тие се директно поврзани со соодветните правила за пресметување на деривати.

Знаеме дека изводот на збирот е еднаков на збирот на неговите деривати. Ова правило го генерира соодветното правило за пронаоѓање на антидеривати.

Правило 1.Антидеривативот на збирот е еднаков на збирот на антидериватите.

Ви го привлекуваме вниманието на малку „леснотијата“ на оваа формулација. Всушност, треба да се формулира теоремата: ако функциите y = f(x) и y = g(x) имаат антидеривати на интервалот X, соодветно y-F(x) и y-G(x), тогаш збирот на функциите y = f(x)+g(x) има антидериват на интервалот X, а овој антидериват е функцијата y = F(x)+G(x). Но, обично, кога се формулираат правила (а не теореми), тие оставаат само клучни зборови- ова го прави поудобно да се применува правилото во пракса

Пример 2.Најдете го антидериватот за функцијата y = 2x + cos x.

Решение.Антидериватот за 2x е x"; антидериватот за кокс е sin x. Тоа значи дека антидеривативот за функцијата y = 2x + cos x ќе биде функцијата y = x 2 + sin x (и воопшто која било функција од формата Y = x 1 + sinx + C) .
Ние го знаеме тоа постојан факторможе да се извади од дериватниот знак. Ова правило го генерира соодветното правило за пронаоѓање на антидеривати.

Правило 2.Константниот фактор може да се извади од знакот на антидериватот.

Пример 3.

Решение.а) Антидериватот за sin x е -soz x; Тоа значи дека за функцијата y = 5 sin x антидеривативната функција ќе биде функцијата y = -5 cos x.

б) Антидериватот за cos x е sin x; Ова значи дека антидериватот на функцијата е функцијата
в) Антидеривативот за x 3 е антидериват за x, антидериватот за функцијата y = 1 е функцијата y = x. Користејќи ги првото и второто правило за наоѓање антидеривати, откриваме дека антидериватот за функцијата y = 12x 3 + 8x-1 е функцијата
Коментар.Како што е познато, дериватот на производот не е еднаков на производот на дериватите (правилото за диференцирање производ е покомплексно) а дериватот на количникот не е еднаков на количникот на дериватите. Според тоа, не постојат правила за наоѓање на антидериватот на производот или антидериватот на количникот на две функции. Внимавај!
Дозволете ни да добиеме друго правило за наоѓање антидеривати. Знаеме дека изводот на функцијата y = f(kx+m) се пресметува со формулата

Ова правило го генерира соодветното правило за пронаоѓање на антидеривати.
Правило 3.Ако y = F(x) е антидериват за функцијата y = f(x), тогаш антидериватот за функцијата y=f(kx+m) е функцијата

Навистина,

Тоа значи дека е антидериват за функцијата y = f(kx+m).
Значењето на третото правило е следново. Ако знаете дека антидериватот на функцијата y = f(x) е функцијата y = F(x), и треба да го најдете антидериватот на функцијата y = f(kx+m), тогаш постапете вака: земете истата функција F, но наместо аргументот x, заменете го изразот kx+m; дополнително, не заборавајте да напишете „корективен фактор“ пред знакот за функција
Пример 4.Најдете антидеривати за дадени функции:

Решение, а) Антидериватот за sin x е -soz x; Тоа значи дека за функцијата y = sin2x антидериватот ќе биде функцијата
б) Антидериватот за cos x е sin x; Ова значи дека антидериватот на функцијата е функцијата

в) Антидериватот за x 7 значи дека за функцијата y = (4-5x) 7 антидериватот ќе биде функцијата

3. Неопределен интеграл

Погоре веќе забележавме дека проблемот со наоѓање антидериват за дадена функција y = f(x) има повеќе од едно решение. Ајде да разговараме за ова прашање подетално.

Доказ. 1. Нека y = F(x) е антидериват за функцијата y = f(x) на интервалот X. Тоа значи дека за сите x од X важи еднаквоста x"(x) = f(x). Најдете го изводот на која било функција од формата y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Значи, (F(x)+C) = f(x). Ова значи дека y = F(x) + C е антидериват за функцијата y = f(x).
Така, докажавме дека ако функцијата y = f(x) има антидериват y=F(x), тогаш функцијата (f = f(x) има бесконечно многу антидеривати, на пример, која било функција од формата y = F(x) +C е антидериват.
2. Сега да го докажеме тоа одреден типфункции, целиот сет на антидеривати е исцрпен.

Нека y=F 1 (x) и y=F(x) се два антидеривати за функцијата Y = f(x) на интервалот X. Тоа значи дека за сите x од интервалот X важат следните односи: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

Да ја разгледаме функцијата y = F 1 (x) -.F(x) и да го најдеме нејзиниот извод: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
Познато е дека ако изводот на функција на интервал X е идентично еднаков на нула, тогаш функцијата е константна на интервалот X (види теорема 3 од § 35). Ова значи дека F 1 (x) - F (x) = C, т.е. Fx) = F(x)+C.

Теоремата е докажана.

Пример 5.Даден е законот за промена на брзината со времето: v = -5sin2t. Најдете го законот за движење s = s(t), ако се знае дека во времето t=0 координатата на точката била еднаква на бројот 1,5 (т.е. s(t) = 1,5).

Решение.Бидејќи брзината е извод на координатата во функција на времето, прво треба да го најдеме антидериватот на брзината, т.е. антидериват за функцијата v = -5sin2t. Еден од таквите антидеривати е функцијата , а множеството од сите антидеривати има форма:

Да најде специфично значењеконстанта C, ајде да користиме почетни услови, според кој, s(0) = 1,5. Заменувајќи ги вредностите t=0, S = 1,5 во формулата (1), добиваме:

Заменувајќи ја пронајдената вредност на C во формулата (1), го добиваме законот за движење што нè интересира:

Дефиниција 2.Ако функцијата y = f(x) има антидериват y = F(x) на интервал X, тогаш множеството од сите антидеривати, т.е. множеството функции од формата y = F(x) + C се нарекува неопределен интеграл на функцијата y = f(x) и се означува со:

(читај:" неопределен интегралеф од х де х“).
Во следниот пасус ќе дознаеме што е скриено значењепосочената ознака.
Врз основа на табелата со антидеривати достапни во овој дел, ќе составиме табела со главните неопределени интеграли:

Врз основа на горенаведените три правила за пронаоѓање на антидеривати, можеме да ги формулираме соодветните правила за интеграција.

Правило 1.Интеграл од збирот на функции еднаков на збиротинтеграли на овие функции:

Правило 2.Константниот фактор може да се извади од интегралниот знак:

Правило 3.Ако

Пример 6.Најдете неопределени интеграли:

Решение, а) Користејќи ги првите и вторите правила на интеграција, добиваме:

Сега да ги користиме третата и четвртата формула за интеграција:

Како резултат добиваме:

б) Користејќи го третото правило за интеграција и формулата 8, добиваме:

в) За непосредна локацијаЗа даден интеграл немаме ниту соодветна формула ниту соодветно правило. Во такви случаи, претходно извршена идентитетски трансформацииизраз содржан под знакот интегрален.

Ајде да ги искористиме тригонометриска формулаНамалување на степенот:

Потоа наоѓаме последователно:

А.Г. Мордкович Алгебра 10 одделение

Календарско-тематско планирање по математика, Видеопо математика онлајн, Математика на училиште

Цел:

Формирање на концептот на антидериват.
Подготовка за согледување на интегралот.
Формирање на компјутерски вештини.
Негување чувство за убавина (способност да се види убавината во необичното).

Математичката анализа е збир на гранки на математиката посветени на проучување на функциите и нивните генерализации со методи на диференцијално и интегрално сметање.

Досега ја проучувавме гранката на математичката анализа наречена диференцијална пресметка, чија суштина е проучување на функција во „мало“.

Оние. проучување на функција во доволно мали соседства на секоја дефинициона точка. Една од операциите диференцијација - наоѓањеизвод (диференцијал) и примена за проучување на функции.

Не помалку важно е инверзен проблем. Ако е познато однесувањето на функцијата во близина на секоја точка од нејзината дефиниција, тогаш како може да се реконструира функцијата во целина, т.е. низ целиот опсег на неговата дефиниција. Овој проблем е предмет на проучување на таканаречениот интегрален калкулус.

Интеграцијата е инверзна акција на диференцијација. Или враќање на функцијата f(x) од даден извод f`(x). Латински збор„Интегро“ значи реставрација.

Пример бр. 1.

Нека (x)`=3x 2.
Ајде да најдеме f(x).

Решение:

Врз основа на правилото за диференцијација, не е тешко да се погоди дека f(x) = x 3, бидејќи (x 3)` = 3x 2
Сепак, можете лесно да забележите дека f(x) не се наоѓа единствено.
Како f(x) можеме да земеме
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3, итн.

Бидејќи дериватот на секој од нив е еднаков на 3x 2. (Дериватот на константата е 0). Сите овие функции се разликуваат една од друга со постојан термин. Затоа заедничка одлуказадачата може да се напише во форма f(x)= x 3 +C, каде што C е секој константен реален број.

Се повикува која било од пронајдените функции f(x). ПРИМОДИУМза функцијата F`(x)= 3x 2

Дефиниција. Функцијата F(x) се нарекува антидериват за функција f(x) на даден интервал J ако за сите x од овој интервал F`(x)= f(x). Значи, функцијата F(x)=x 3 е антидериват за f(x)=3x 2 на (- ∞ ; ∞).
Бидејќи за сите x ~R еднаквоста е вистина: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Како што веќе забележавме, оваа функцијаТоа има бесконечно множествоантидеривати (види пример бр. 1).

Пример бр. 2. Функцијата F(x)=x е антидериват за сите f(x)= 1/x на интервалот (0; +), бидејќи за сите x од овој интервал, важи еднаквоста.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Пример бр. 3. Функцијата F(x)=tg3x е антидериват за f(x)=3/cos3x на интервалот (-n/ 2; P/ 2),
бидејќи F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Пример бр. 4. Функцијата F(x)=3sin4x+1/x-2 е антидериват за f(x)=12cos4x-1/x 2 на интервалот (0;∞)
бидејќи F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Предавање 2.

Тема: Антидериватив. Главното својство на антидеривативната функција.

Кога го проучуваме антидериватот, ќе се потпреме на следната изјава. Знак на постојаност на функција: Ако на интервалот J изводот Ψ(x) на функцијата е еднаков на 0, тогаш на овој интервал функцијата Ψ(x) е константна.

Оваа изјава може да се демонстрира геометриски.

Познато е дека Ψ`(x)=tgα, γde α е аголот на наклонетост на тангентата на графикот на функцијата Ψ(x) во точката со апсциса x 0. Ако Ψ`(υ)=0 во која било точка од интервалот J, тогаш tanα=0 δ за која било тангента на графикот на функцијата Ψ(x). Ова значи дека тангентата на графикот на функцијата во која било точка е паралелна со оската на апсцисата. Затоа на одреден интервалграфикот на функцијата Ψ(x) се совпаѓа со правата отсечка y=C.

Значи, функцијата f(x)=c е константна на интервалот J ако f`(x)=0 на овој интервал.

Навистина, за произволни x 1 и x 2 од интервалот J, користејќи ја теоремата за средната вредност на функцијата, можеме да напишеме:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), бидејќи f`(c)=0, потоа f(x 2)= f(x 1)

Теорема: (Главното својство на антидеривативната функција)

Ако F(x) е еден од антидериватите за функцијата f(x) на интервалот J, тогаш множеството од сите антидеривати на оваа функција има форма: F(x)+C, каде што C е секој реален број.

Доказ:

Нека F`(x) = f (x), потоа (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), за x Є J.
Да претпоставиме дека постои Φ(x) - друг антидериват за f (x) на интервалот J, т.е. Φ`(x) = f (x),
тогаш (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, за x Є J.
Ова значи дека Φ(x) - F(x) е константна на интервалот J.
Затоа, Φ(x) - F(x) = C.
Од каде Φ(x)= F(x)+C.
Ова значи дека ако F(x) е антидериват за функција f (x) на интервалот J, тогаш множеството од сите антидеривати на оваа функција има форма: F(x)+C, каде што C е секој реален број.
Следствено, кои било два антидеривати на дадена функција се разликуваат еден од друг со константен член.

Пример: Најдете го множеството антидеривати на функцијата f (x) = cos x. Нацртајте графикони на првите три.

Решение: Sin x е еден од антидериватите за функцијата f (x) = cos x
F(x) = Sin x+C – множество од сите антидеривати.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Геометриска илустрација:Графикот на кој било антидериват F(x)+C може да се добие од графикот на антидериватот F(x) со помош на паралелен пренос на r (0;c).

Пример: За функцијата f (x) = 2x, најдете антидериват чиј график поминува низ t.M (1;4)

Решение: F(x)=x 2 +C – множество од сите антидеривати, F(1)=4 - според условите на задачата.
Затоа, 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Дефиниција на антидериват.

Антидериват на функција f(x) на интервалот (a; b) е функција F(x) таква што важи еднаквоста за кој било x од дадениот интервал.

Ако се земе предвид фактот дека изводот на константата C е еднаков на нула, тогаш еднаквоста е вистинита . Така, функцијата f(x) има множество од антидеривати F(x)+C, за произволна константа C, и овие антидеривати се разликуваат едни од други по произволна константна вредност.

Дефиниција на неопределен интеграл.

Целото множество антидеривати на функцијата f(x) се нарекува неопределен интеграл на оваа функција и се означува .

Изразот се нарекува интегранд, и f(x) - интегранд функција. Интеграндот го претставува диференцијалот на функцијата f(x) .

Дејството на пронаоѓање на непозната функција со оглед на нејзиниот диференцијал се нарекува неизвеснаинтеграција, бидејќи резултатот од интеграцијата не е една функција F(x), туку множество од неговите антидеривати F(x)+C.

Врз основа на својствата на дериватот, може да се формулира и докаже својства на неопределен интеграл(својства на антидериват).

За појаснување се дадени средни еднаквости на првото и второто својство на неопределен интеграл.

За да се докаже третата и четвртата особина, доволно е да се најдат дериватите на десната страна на еднаквостите:

Овие деривати се еднакви на интеградите, што е доказ поради првото својство. Се користи и во последните транзиции.

Така, проблемот на интеграција е обратен од проблемот на диференцијација, и постои многу тесна врска помеѓу овие проблеми:

првото својство овозможува да се провери интеграцијата. За да се провери исправноста на извршената интеграција, доволно е да се пресмета дериватот на добиениот резултат. Ако функцијата добиена како резултат на диференцијација се покаже дека е еднаква на интеграндот, тоа ќе значи дека интеграцијата е извршена правилно;
второто својство на неопределениот интеграл овозможува да се најде неговиот антидериват од познат диференцијал на функцијата. Врз основа на овој имот директна пресметканеопределени интеграли.

Ајде да погледнеме на пример.

Пример.

Најдете го антидериватот на функцијата чија вредност е еднаква на x = 1.

Решение.

Знаеме од диференцијална пресметка, Што (само погледнете ја табелата со деривати на основното елементарни функции). Така, . Со вториот имот . Односно, имаме многу антидеривати. За x = 1 ја добиваме вредноста . Според условот, оваа вредност мора да биде еднаква на еден, затоа, C = 1. Посакуваниот антидериват ќе има форма.

Пример.

Најдете го неопределен интеграл и проверете го резултатот со диференцијација.

Решение.

Според синусната формула двоен аголод тригонометријата , Затоа

Претходно, според дадена функција, водена од различни формулии правила, го најде неговиот дериват. Дериватот има бројни употреби: тоа е брзината на движење (или, поопшто, брзината на кој било процес); аголниот коефициент на тангентата на графикот на функцијата; користејќи го дериватот, можете да ја испитате функцијата за монотоност и екстремност; помага да се решат проблемите со оптимизација.

Но, заедно со проблемот за наоѓање на брзината според познат закон за движење, постои и инверзен проблем - проблемот на враќање на законот за движење според позната брзина. Да разгледаме еден од овие проблеми.

Пример 1.Материјалната точка се движи права линија, нејзината брзина во времето t е дадена со формулата v=gt. Најдете го законот за движење.
Решение. Нека s = s(t) е посакуваниот закон на движење. Познато е дека s"(t) = v(t). Тоа значи дека за да се реши проблемот треба да се избере функција s = s(t), чиј извод е еднаков на gt. Не е тешко да се погоди дека $s(t) = \frac(gt^ 2)(2) $.Всушност
$s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \десно)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt$
Одговор: $s(t) = \frac(gt^2)(2) $

Веднаш да забележиме дека примерот е решен правилно, но нецелосно. Добивме $s(t) = \frac(gt^2)(2) $. Всушност, проблемот има бесконечно многу решенија: која било функција од формата $s(t) = \frac(gt^2)(2) + C$, каде што C е произволна константа, може да послужи како закон за движење, бидејќи $\лево (\frac(gt^2)(2) +C \десно)" = gt $

За да го направиме проблемот поконкретен, моравме да ја поправиме почетната ситуација: да ја означиме координатата на подвижна точка во одреден момент во времето, на пример во t = 0. Ако, да речеме, s(0) = s 0, тогаш од еднаквост s(t) = (gt 2)/2 + C добиваме: s(0) = 0 + C, т.е. C = s 0. Сега законот за движење е уникатно дефиниран: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

Во математиката, заемно инверзните операции добиваат различни имиња, се измислуваат посебни ознаки, на пример: квадрат (x 2) и квадратен корен ($\sqrt(x) $), синус (sin x) и лак (arcsin x) и сл.Процесот на пронаоѓање на изводот на дадена функција се нарекува диференцијација, а инверзната операција, односно процесот на наоѓање функција од даден извод е интеграција.

Самиот поим „дериват“ може да се оправда „во секојдневна смисла“: функцијата y = f(x) „раѓа“ нова функција y" = f"(x). Функцијата y = f(x) делува како „родител“, но математичарите, природно, не ја нарекуваат „родител“ или „производител“; тие велат дека е, во однос на функцијата y" = f"( x) , примарна слика или примитивна.

Дефиниција.Функцијата y = F(x) се нарекува антидериват за функцијата y = f(x) на интервалот X ако еднаквоста F"(x) = f(x) важи за $x \во X$

Да дадеме примери.
1) Функцијата y = x 2 е антидериват за функцијата y = 2x, бидејќи за секој x еднаквоста (x 2)" = 2x е точно
2) Функцијата y = x 3 е антидериват за функцијата y = 3x 2, бидејќи за секој x еднаквоста (x 3)" = 3x 2 е точно
3) Функцијата y = sin(x) е антидериват за функцијата y = cos(x), бидејќи за секој x еднаквоста (sin(x))" = cos(x) е точно

Кога се наоѓаат антидеривати, како и деривати, не се користат само формули, туку и некои правила. Тие се директно поврзани со соодветните правила за пресметување на деривати.

Правило 1.Антидеривативот на збирот е еднаков на збирот на антидериватите.

Знаеме дека константниот фактор може да се извади од знакот на дериватот. Ова правило го генерира соодветното правило за пронаоѓање на антидеривати.

Правило 2.Ако F(x) е антидериват за f(x), тогаш kF(x) е антидериват за kf(x).

Теорема 1.Ако y = F(x) е антидериват за функцијата y = f(x), тогаш антидериватот за функцијата y = f(kx + m) е функцијата $y=\frac(1)(k)F (kx+m) $

Теорема 2.Ако y = F(x) е антидериват за функцијата y = f(x) на интервалот X, тогаш функцијата y = f(x) има бесконечно многу антидеривати и сите тие имаат форма y = F(x) + В.

Методи на интеграција

Метод на замена на променлива (метод на замена)

Методот на интеграција со замена вклучува воведување на нов интеграциска променлива(односно замени). Во овој случај, дадениот интеграл се сведува на нов интеграл, кој е табеларен или редуциран на него. Заеднички методинема избор на замени. Способноста правилно да се одреди супституцијата се стекнува со вежбање.
Нека биде неопходно да се пресмета интегралот $\textstyle \int F(x)dx $. Да ја направиме замената $x= \varphi(t) $ каде што $\varphi(t) $ е функција која има континуиран извод.
Потоа $dx = \varphi " (t) \cdot dt $ и врз основа на својството на непроменливост на формулата за интеграција за неопределен интеграл, ја добиваме формулата за интеграција со замена:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt $

Интеграција на изрази од формата $\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx $

Ако m е непарен, m > 0, тогаш попогодно е да се направи замена sin x = t.
Ако n е непарен, n > 0, тогаш попогодно е да се направи замена cos x = t.
Ако n и m се парни, тогаш попогодно е да се направи замена tg x = t.

Интеграција по делови

Интеграција по делови - апликација следната формулаза интеграција:
$\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
или:
$\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

Табела на неопределени интеграли (антидеривати) на некои функции

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \нек 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$

Една од операциите на диференцијација е наоѓање на изводот (диференцијал) и негова примена во проучувањето на функциите.

Не помалку важен е и обратниот проблем. Ако е познато однесувањето на функцијата во близина на секоја точка од нејзината дефиниција, тогаш како може да се реконструира функцијата во целина, т.е. низ целиот опсег на неговата дефиниција. Овој проблем е предмет на проучување на таканаречениот интегрален калкулус.

Интеграцијата е инверзна акција на диференцијација. Или враќање на функцијата f(x) од даден извод f`(x). Латинскиот збор „интегро“ значи реставрација.

Пример бр. 1.

Нека (f(x))' = 3x 2. Ајде да најдеме f(x).

Решение:

Врз основа на правилото за диференцијација, не е тешко да се погоди дека f(x) = x 3, бидејќи

(x 3)’ = 3x 2 Сепак, можете лесно да забележите дека f(x) не се наоѓа единствено. Како f(x), можете да земете f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3, итн.

Бидејќи дериватот на секој од нив е 3x2. (Дериватот на константата е 0). Сите овие функции се разликуваат една од друга со постојан термин. Според тоа, општото решение на проблемот може да се запише како f(x) = x 3 + C, каде што C е секој константен реален број.

Се повикува која било од пронајдените функции f(x). антидериватза функцијата F`(x)= 3x 2

Дефиниција.

Функцијата F(x) се нарекува антидериват за функција f(x) на даден интервал J ако за сите x од овој интервал F`(x)= f(x). Значи, функцијата F(x)=x 3 е антидериват за f(x)=3x 2 на (- ∞ ; ∞). Бидејќи за сите x ~R еднаквоста е вистина: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Како што веќе забележавме, оваа функција има бесконечен број на антидеривати.

Пример бр. 2.

Функцијата е антидериват за сите на интервалот (0; +∞), бидејќи за сите h од овој интервал, важи еднаквоста.

Задачата на интеграцијата е да се најдат сите негови антидеривати за дадена функција. При решавање на овој проблем важна улогаследнава изјава игра:

Знак на постојаност на функцијата. Ако F"(x) = 0 на некој интервал I, тогаш функцијата F е константна на овој интервал.

Доказ.

Дозволете ни да поправиме некои x 0 од интервалот I. Потоа за кој било број x од таков интервал, врз основа на формулата Лагранж, можеме да означиме број c содржан помеѓу x и x 0 така што

F(x) - F(x 0) = F"(c) (x-x 0).

По услов, F' (c) = 0, бидејќи c ∈1, значи,

F(x) - F(x 0) = 0.

Значи, за сите x од интервалот I

односно функцијата F складира константна вредност.

Сите антидеривативни функции f може да се напишат со помош на една формула, која се нарекува општа форма на антидеривати за функцијатаѓ. Следната теорема е вистинита ( главното својство на антидериватите):

Теорема. Секој антидериват за функција f на интервалот I може да се запише во форма

F(x) + C, (1) каде што F (x) е еден од антидериватите за функцијата f (x) на интервалот I, а C е произволна константа.

Да ја објасниме оваа изјава, во која накратко се формулирани две својства на антидериватот:

Каков број и да ставиме во изразот (1) наместо C, го добиваме антидериватот за f на интервалот I;
без разлика каков антидериват Ф за f на интервалот I се зема, можно е да се избере број C таков што за сите x од интервалот I еднаквоста

Доказ.

По услов, функцијата F е антидериват за f на интервалот I. Затоа, F"(x)= f (x) за било кој x∈1, затоа (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), т.е. F(x) + C е антидериват за функцијата f.
Нека Ф (x) е еден од антидериватите за функцијата f на истиот интервал I, т.е. Ф "(x) = f (х) за сите x∈I.

Тогаш (Ф(x) - F (x))" = Ф"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.

Од тука следува в. моќта на знакот на постојаност на функцијата, дека разликата Ф(х) - F(х) е функција која зема одредена константна вредност C на интервалот I.

Така, за сите x од интервалот I е точно еднаквоста Ф(x) - F(x)=С, што требаше да се докаже. Може да се даде главното својство на антидериватот геометриско значење: графиконите на кои било два антидеривати за функцијата f се добиваат еден од друг паралелен трансферпо оската Ој

Прашања за белешки

Функцијата F(x) е антидериват на функцијата f(x). Најдете F(1) ако f(x)=9x2 - 6x + 1 и F(-1) = 2.

Најдете ги сите антидеривати за функцијата

За функцијата (x) = cos2 * sin2x, пронајдете го антидериватот на F(x) ако F(0) = 0.

За функција, најдете антидериват чиј график минува низ точката