Процесот на решавање интеграли во науката наречена математика се нарекува интеграција. Користејќи интеграција, можеме да најдеме некои физичките величини: Површина, волумен, маса на тела и многу повеќе.
Интегралите можат да бидат неопределени или дефинитивни. Да ја разгледаме формата на одреден интеграл и да се обидеме да ја разбереме физичко значење. Тој е претставен во оваа форма: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Карактеристична карактеристикапишување определен интеграл на неопределен интеграл е дека постојат граници на интеграција на a и b. Сега ќе откриеме зошто се потребни и што навистина значи. определен интеграл. ВО геометриска смислатаков интеграл еднаква на површинафигура ограничена со кривата F (x), линиите А и Б и оската на волот.
Од Сл. 1 јасно е дека дефинитивниот интеграл е истата област што е засенчена сиво. Ајде да го провериме ова со едноставен пример. Ајде да ја најдеме областа на сликата на сликата подолу користејќи интеграција, а потоа да ја пресметаме на вообичаен начин на множење на должината со ширина.
Од Сл. 2 јасно е дека $ y = f (x) = 3 $, $ a = 1, b = 2 $. Сега ги заменуваме во дефиницијата на интегралот, го добиваме тој $ $ s = \ int _a ^b f (x) dx = \ int _1 ^2 3 dx = $ $ $ $ = (3x) \ big | _1 ^2 = (3 \ cdot 2)-(3 \ cdot 1) = $ $ $ $ = 6-3 = 3 \ текст (единици)^2 $ $ Ајде да ја направиме проверката на вообичаен начин. Во нашиот случај, должина = 3, ширина на сликата = 1. $ $ s = \ текст (должина) \ cdot \ текст (ширина) = 3 \ cdot 1 = 3 \ текст (единици)^2 $ $ како што можете Погледнете, сè одговара совршено.
Се поставува прашањето: Како да се решат неопределени интеграли и кое е нивното значење? Решавањето на вакви интеграли е пронаоѓање на антидеривативни функции. Овој процес спротивно на битиетодериват. За да го пронајдете антидериватот, можете да ја искористите нашата помош за решавање проблеми во математиката или треба самостојно да ги запаметите својствата на интегралите и табелата за интеграција на наједноставните елементарни функции. Наодот изгледа вака: $ $ \ int f (x) dx = f (x) + c \ текст (каде) f (x) $ е антидериватив на $ f (x), c = const $.
За да го решите интегралот, треба да ја интегрирате функцијата $ f (x) $ преку променлива. Ако функцијата е табеларна, тогаш одговорот е напишан во соодветна форма. Ако не, тогаш процесот се сведува на добивање функција на масаОд функцијата $ f (x) $ преку незгодни математички трансформации. За ова постои различни методии својства што ќе ги разгледаме понатаму.
Значи, сега да создадеме алгоритам за решавање интеграли за кукли?
Алгоритам за пресметување на интегралите
- Ајде да го дознаеме дефинитивниот интеграл или не.
- Ако е недефинирано, тогаш треба да најдете антидеривативна функција$ F(x) $ од интеграндот $ f(x) $ користејќи математички трансформации кои водат до табеларна форма на функцијата $ f(x) $.
- Ако е дефинирано, тогаш треба да го извршите чекорот 2, а потоа да ги замените границите $ a $ и $ b $ во функцијата антидериватив $ F(x) $. Која формула да ја користите за да го направите ова ќе дознаете во написот „Формула Њутн-Лајбниц“.
Примери на решенија
Значи, научивте како да решавате интеграли за кукли, средени се примери за решавање интеграли. Научивме нивното физичко и геометриско значење. Методите на решение ќе бидат опишани во други статии.
Претходно ние дадена функција, водени од различни формулии правила, го пронајдоа својот дериват. Дериватот има бројни употреби: тоа е брзината на движење (или, поопшто, брзината на кој било процес); наклонтангента на графиконот на функција; користејќи го дериватот, можете да ја испитате функцијата за монотоност и екстремност; Помага во решавање на проблемите со оптимизација.
Но, заедно со проблемот со наоѓање брзина според познатиот закон за движење, постои и инверзен проблем- проблемот на враќање на законот за движење од позната брзина. Да разгледаме еден од овие проблеми.
Пример 1.Материјалната точка се движи права линија, нејзината брзина во времето t е дадена со формулата v=gt. Најдете го законот за движење.
Решение. Нека S = S (T) биде посакуваниот закон за движење. Познато е дека s"(t) = v(t). Тоа значи дека за да се реши проблемот треба да се избере функција s = s(t), чиј извод е еднаков на gt. Не е тешко да се погоди тоа \ (s (t) = \ frac (gt^ 2) (2) \). Всушност
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \десно)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Одговор: \ (s (t) = \ frac (gt^2) (2) \)
Веднаш да забележиме дека примерот е решен правилно, но нецелосно. Добивме \ (s (t) = \ frac (gt^2) (2) \). Всушност, проблемот има бесконечно многу решенија: која било функција од формата \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), каде што C е произволна константа, може да послужи како закон за движење, бидејќи \(\лево (\frac(gt^2)(2) +C \десно)" = gt \)
За да го направиме проблемот поконкретен, моравме да ја поправиме почетната ситуација: да ја означиме координатата на подвижна точка во одреден момент во времето, на пример во t = 0. Ако, да речеме, s(0) = s 0, тогаш од еднаквост s(t) = (gt 2)/2 + C добиваме: s(0) = 0 + C, т.е. C = s 0. Сега законот за движење е уникатно дефиниран: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
Во математиката се доделуваат реципрочни операции различни имиња, излезе со посебни ознаки, на пример: квадрат (x 2) и квадратен корен (\(\sqrt(x)\)), синус (sin x) и arcsine (arcsin x) итн. Процесот на наоѓање на изводот Во однос на дадена функција се нарекува диференцијација, а инверзната операција, односно процесот на наоѓање функција од даден извод е интеграција.
Самиот термин „дериват“ може да се оправда „во секојдневниот живот“: функцијата y = f(x) „произведува“ нова карактеристика y" = f"(x). Функцијата y = f(x) делува како „родител“, но математичарите, природно, не ја нарекуваат „родител“ или „производител“; тие велат дека е, во однос на функцијата y" = f"( x), примарна слика или примитивна.
Дефиниција.Функцијата y = F(x) се нарекува антидериват за функцијата y = f(x) на интервалот X ако еднаквоста F"(x) = f(x) важи за \(x \во X\)
Во пракса, интервалот X обично не е одреден, туку се подразбира (како природен домен на дефиниција на функцијата).
Да дадеме примери.
1) Функцијата y = x 2 е антидериват за функцијата y = 2x, бидејќи за секој x еднаквоста (x 2)" = 2x е точно
2) Функцијата y = x 3 е антидериват за функцијата y = 3x 2, бидејќи за секој x еднаквоста (x 3)" = 3x 2 е точно
3) Функцијата y = sin(x) е антидериват за функцијата y = cos(x), бидејќи за секој x еднаквоста (sin(x))" = cos(x) е точно
Кога се наоѓаат антидеривати, како и деривати, не се користат само формули, туку и некои правила. Тие се директно поврзани со соодветните правила за пресметување на деривати.
Знаеме дека изводот на збирот е еднаков на збирот на неговите деривати. Ова правило го генерира соодветното правило за пронаоѓање на антидеривати.
Правило 1.Антидеривативот на збирот е еднаков на збирот на антидериватите.
Ние го знаеме тоа постојан факторможе да се извади од деривативниот знак. Ова правило го генерира соодветното правило за пронаоѓање на антидеривати.
Правило 2.Ако F(x) е антидериват за f(x), тогаш kF(x) е антидериват за kf(x).
Теорема 1.Ако y = F(x) е антидериват за функцијата y = f(x), тогаш антидериватот за функцијата y = f(kx + m) е функцијата \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
Теорема 2.Ако y = F(x) е антидериват за функцијата y = f(x) на интервалот X, тогаш функцијата y = f(x) има бесконечно многу антидеривати и сите тие имаат форма y = F(x) + В.
Методи на интеграција
Метод на замена на променлива (метод на замена)
Методот на интеграција со замена вклучува воведување на нова интеграциска променлива (односно замена). Во овој случај, дадениот интеграл се сведува на нов интеграл, кој е табеларен или редуциран на него. Вообичаени методинема избор на замени. Способноста правилно да се одреди супституцијата се стекнува со вежбање.
Нека биде неопходно да се пресмета интегралот \(\textstyle \int F(x)dx \). Да ја направиме замената \(x= \varphi(t) \) каде што \(\varphi(t) \) е функција која има континуиран извод.
Потоа \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) и врз основа на својството на непроменливост на формулата за интеграција за неопределен интеграл, ја добиваме формулата за интеграција со замена:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Интеграција на изрази од формата \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Ако m е непарен, m > 0, тогаш попогодно е да се направи замена sin x = t.
Ако n е непарен, n > 0, тогаш попогодно е да се направи замена cos x = t.
Ако n и m се парни, тогаш попогодно е да се направи замена tg x = t.
Интеграција по делови
Интеграција по делови - со примена на следнава формула за интеграција:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
или:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Табела на неопределени интеграли (антидеривати) на некои функции
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \нек 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$Наоѓањето на неопределен интеграл (збир на антидеривати или „антидеривати“) значи реконструкција на функција од познатиот извод на оваа функција. Обновен сет на антидеривати Ф(x) + СО за функција ѓ(x) ја зема предвид постојаната интеграција В. Според брзината на движење материјална точка(дериват) може да се врати законот за движење на оваа точка (антидериватив); според забрзувањето на движењето на точката - нејзината брзина и законот на движење. Како што можете да видите, интеграцијата е широко поле за активностите на Шерлок Холмс од физиката. И во економијата, многу концепти се претставени преку функции и нивните деривати, и затоа, на пример, можно е да се врати обемот на производи произведени во соодветното време користејќи ја продуктивноста на трудот во одреден момент во времето (дериват).
Пронаоѓањето на неопределен интеграл бара прилично мал број основни формули за интеграција. Но, процесот на негово пронаоѓање е многу потежок од само примена на овие формули. Целата сложеност не се однесува на интеграцијата, туку на доведување на интеграбилниот израз во форма што овозможува да се најде неопределен интеграл користејќи ги основните формули споменати погоре. Ова значи дека за да започнете со практиката на интеграција, треба да го активирате она што сте го научиле средно школовештини за трансформација на изразување.
Willе научиме да најдеме интеграли користејќи својства и табела на неопределени интегралиод лекција за основните поими на оваа тема (се отвора во нов прозорец).
Постојат неколку методи за пронаоѓање на интегралот, од кои Метод на променлива заменаИ Интеграција со метод на делови- задолжителен џентлменски комплет за сите кои успешно положиле виша математика. Сепак, покорисно и попријатно е да се започне со совладување на интеграцијата користејќи го методот на проширување, заснован на следните две теореми за својствата на неопределен интеграл, што ги повторуваме овде за погодност.
Теорема 3.Константниот фактор во интеграндот може да се извади од знакот на неопределен интеграл, т.е.
Теорема 4.Неопределен интеграл на алгебарска сума конечен бројфункциите се еднакви алгебарски збирНеопределени интеграли на овие функции, т.е.
(2)
Дополнително, следново правило може да биде корисно при интеграцијата: ако изразот на интеграндот содржи константен фактор, тогаш изразот на антидериватот се множи со инверзната на константниот фактор, т.е.
(3)
Бидејќи оваа лекција е воведна лекција за решавање на проблемите за интеграција, важно е да се забележат две работи кои или веќе почетна фаза, или малку подоцна може да ве изненадат. Изненадувањето се должи на фактот што интеграцијата е инверзна операција на диференцијацијата и неопределениот интеграл со право може да се нарече „антидериватив“.
Првото нешто што не треба да ве изненади при интегрирањето.Во табелата на интеграли има формули кои немаат аналози меѓу формулите за деривативни табели . Ова следните формули:
Сепак, можете да бидете сигурни дека дериватите на изразите на десните страни на овие формули се совпаѓаат со соодветните интегранти.
Втората работа што не треба да изненадува при интегрирањето. Иако изводот на која било елементарна функција е исто така елементарна функција, неопределените интеграли на некои елементарни функции веќе не се елементарни функции . Примери за такви интеграли може да бидат следниве:
За да се развијат техники за интеграција, ќе бидат корисни следните вештини: намалување на дропки, делење полином во броителот на дропка со моном во именителот (да се добие збир на неопределени интеграли), претворање на корените во моќи, множење на моном со Полином, подигнување на моќ. Овие вештини се потребни за трансформации на интеградот, што треба да резултира со збир од интегралите присутни во табелата со интеграли.
Наоѓање на неопределени интеграли заедно
Пример 1.Најдете го неопределен интеграл
.
Решение. Во именителот на интеграндот гледаме полином во кој x е квадрат. Ова е речиси сигурен знак дека можете да го примените интегралот на табелата 21 (со резултат на арктангенс). Го вадиме факторот два од именителот (постои такво својство на интегралот - константниот фактор може да се извади надвор од знакот на интегралот; тој беше споменат погоре како теорема 3). Резултатот од сето ова:
Сега именителот е збир на квадрати, што значи дека можеме да го примениме споменатиот табеларен интеграл. Конечно го добиваме одговорот:
.
Пример 2.Најдете го неопределен интеграл
Решение. Повторно ја применуваме теоремата 3 - својството на интегралот, врз основа на кое константниот фактор може да се извади од знакот на интегралот:
Ја применуваме формулата 7 од табелата со интеграли (променлива до моќност) на функцијата интегранд:
.
Ги намалуваме добиените дропки и го имаме конечниот одговор:
Пример 3.Најдете го неопределен интеграл
Решение. Применувајќи ја прво теорема 4, а потоа теорема 3 на својствата, го наоѓаме овој интеграл како збир од три интеграли:
Сите три добиени интеграли се табеларни. Ја користиме формулата (7) од табелата со интеграли за n = 1/2, n= 2 и n= 1/5, а потоа
ги комбинира сите три произволни константи кои беа воведени при наоѓање на трите интеграли. Затоа, во слични ситуации, треба да се воведе само една произволна константа на интеграција.
Пример 4.Најдете го неопределен интеграл
Решение. Кога именителот на интеграндот содржи моном, можеме да го поделиме броителот со именителот член по член. Оригиналниот интеграл се претвори во збир од два интеграли:
.
За да го примениме интегралот на табелата, ги трансформираме корените во моќи и еве го конечниот одговор:
Продолжуваме заедно да наоѓаме неопределени интеграли
Пример 7.Најдете го неопределен интеграл
Решение. Ако го трансформираме интеграндот со квадратирање на биномот и делење на броителот со именителот член по член, тогаш оригиналниот интеграл станува збир од три интеграли.
Презентиран е преглед на методи за пресметување на неопределени интеграли. Се разгледуваат главните методи на интеграција, кои вклучуваат интегрирање на збирот и разликата, ставање на константа надвор од интегралниот знак, замена на променлива и интегрирање по делови. Исто така се смета специјални методии техники за интегрирање на дропки, корени, тригонометриски и експоненцијални функции.
Антидериватив и неопределен интеграл
Антидериват F(x) на функција f(x) е функција чиј извод е еднаков на f(x):
F′(x) = f(x), x ∈ Δ,
Каде Δ
- периодот во кој се врши дадена равенка.
Множеството од сите антидеривати се нарекува неопределен интеграл:
,
каде што C е константа независна од променливата x.
Основни формули и методи на интеграција
Табела на интеграли
Конечна целпресметување на неопределени интеграли - со помош на трансформации даден интеграл сведете го на израз кој содржи наједноставни или табеларни интеграли.
Види Табела со интеграли >>>
Правило за интегрирање на суми (разлики)
Поместување на константата надвор од интегралниот знак
Нека c е константа независна од x. Потоа може да се извади од интегралниот знак:
Замена на променлива
Нека x е функција од променливата t, x = φ(t), тогаш
.
Или обратно, t = φ(x) ,
.
Користејќи промена на променливата, не само што можете да пресметате едноставни интеграли, туку и да ја поедноставите пресметката на посложените.
Правило за интеграција по делови
Интеграција на дропки (рационални функции)
Да ја воведеме ознаката. Нека P k (x), Q m (x), R n (x) означуваат полиноми со степени k, m, n, соодветно, во однос на променливата x.
Да разгледаме интеграл кој се состои од дропка полиноми (т.н рационална функција):
Ако k ≥ n, тогаш прво треба да го изберете целиот дел од дропката:
.
Интегралот на полиномот S k-n (x) се пресметува со помош на табелата со интеграли.
Интегралот останува:
, каде што м< n
.
За да се пресмета, интеграндот мора да се разложи на едноставни фракции.
За да го направите ова, треба да ги најдете корените на равенката:
Q n (x) = 0 .
Користејќи ги добиените корени, треба да го претставите именителот како производ на фактори:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Овде s е коефициентот за x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....
После ова, разложете ја дропот во наједноставна форма:
Интегрирајќи, добиваме израз кој се состои од повеќе едноставни интеграли.
Интеграли на формата
се сведуваат на табеларна замена t = x - a.
Размислете за интегралот:
Ајде да го трансформираме броителот:
.
Заменувајќи се во интеграндот, добиваме израз кој вклучува два интеграли:
,
.
Првиот, со замена t = x 2 + ex + f, се сведува на табеларен.
Второ, според формулата за намалување:
се сведува на интегралот
Да го намалиме неговиот именител на збир на квадрати:
.
Потоа со замена, интегралот
е исто така табеларно.
Интеграција на ирационални функции
Да ја воведеме ознаката. Нека R(u 1, u 2, ..., u n) значи рационална функција од променливите u 1, u 2, ..., u n. Тоа е
,
каде што P, Q се полиноми во променливите u 1, u 2, ..., u n.
Дробна линеарна ирационалност
Да ги разгледаме интегралите на формата:
,
Каде - рационални броеви, m 1 , n 1 , ..., m s , n s - цели броеви.
Нека n - заеднички именителброеви r 1, ..., r s.
Тогаш интегралот се сведува на интеграл на рационални функции со замена:
.
Интеграли од диференцијални биноми
Размислете за интегралот:
,
каде m, n, p се рационални броеви, a, b - реални броеви.
Ваквите интеграли се сведуваат на интеграли на рационални функции во три случаи.
1) Ако p е цел број. Замена x = t N, каде што N е заеднички именител на дропките m и n.
2) Ако - цел број. Замена a x n + b = t M, каде што M е именителот на бројот p.
3) Ако - цел број. Замена a + b x - n = t M, каде што M е именителот на бројот p.
Ако ниту еден од трите броеви не е цел број, тогаш, според теоремата на Чебишев, интегралите од овој тип не можат да се изразат со конечна комбинација на елементарни функции.
Во некои случаи, прво е корисно да се намали интегралот на попогодни вредности m и p. Ова може да се направи со помош на формули за намалување:
;
.
Интеграли што го содржат квадратниот корен на квадратен трином
Овде ги разгледуваме интегралите на формата:
,
Ојлер замени
Ваквите интеграли може да се сведат на интеграли на рационални функции на една од трите Ојлерови замени:
, за > 0;
, за c > 0 ;
, каде што x 1 е коренот на равенката a x 2 + b x + c = 0. Ако оваа равенка има вистински корени.
Тригонометриски и хиперболични замени
Директни методи
Во повеќето случаи, замените на Ојлер резултираат со подолги пресметки од директните методи. Користејќи директни методи, интегралот се сведува на една од формите наведени подолу.
Тип I
Интеграл на формата:
,
каде што P n (x) е полином со степен n.
Ваквите интеграли се наоѓаат со методот неизвесни коефициенти, користејќи го идентитетот:
Диференцирање на оваа равенка и изедначување на левата и десната страна, ги наоѓаме коефициентите A i.
Тип II
Интеграл на формата:
,
каде што P m (x) е полином со степен m.
Замена t = (x - α) -1овој интеграл се сведува на претходниот тип. Ако m ≥ n, тогаш дропката треба да има цел број.
III тип
Третиот и најкомплексен тип:
.
Тука треба да направите замена:
.
После тоа интегралот ќе добие форма:
.
Потоа, константите α, β мора да бидат избрани така што коефициентите за t стануваат нула:
B = 0, B 1 = 0.
Тогаш интегралот се распаѓа на збир на интеграли од два вида:
;
,
кои се интегрирани, соодветно, со замени:
z 2 = A 1 t 2 + C 1 ;
y 2 = A 1 + C 1 t -2.
Општ случај
Интеграција на трансцендентални (тригонометриски и експоненцијални) функции
Однапред да забележиме дека оние методи кои се применливи за тригонометриски функции, исто така применливо за хиперболични функции. Поради оваа причина, нема да ја разгледуваме интеграцијата на хиперболичните функции одделно.
Интеграција на рационални тригонометриски функции на cos x и sin x
Да ги разгледаме интегралите на тригонометриските функции на формата:
,
каде што R е рационална функција. Ова може да вклучува и тангенти и котангенти, кои треба да се конвертираат со помош на синуси и косинуси.
Кога интегрирате такви функции, корисно е да се имаат предвид три правила:
1) ако R( cos x, sin x)помножено со -1 од промената на знакот пред една од величините cos xили грев х, тогаш корисно е другиот од нив да се означи со т.
2) ако R( cos x, sin x)не се менува поради промена на знакот во исто време претходно cos xИ грев х, тогаш е корисно да се стави tg x = tили креветче x = т.
3) замената во сите случаи доведува до интеграл на рационална дропка. За жал, оваа замена резултира со подолги пресметки од претходните, доколку е применливо.
Производ на моќни функции на cos x и sin x
Да ги разгледаме интегралите на формата:
Ако m и n се рационални броеви, тогаш една од замените t = грев хили t = cos xинтегралот се сведува на интеграл на диференцијалниот бином.
Ако m и n се цели броеви, тогаш интегралите се пресметуваат со интеграција по делови. Ова ги произведува следниве формули за намалување:
;
;
;
.
Интеграција по делови
Примена на формулата на Ојлер
Ако интеграндот е линеарен во однос на една од функциите
cos секираили синакс, тогаш е погодно да се примени формулата на Ојлер:
e iax = cos секира + isin секира(каде јас 2 = - 1
),
Заменување на оваа функција со e iaxи истакнување на вистинската (при замена cos секира) или имагинарен дел (при замена синакс) од добиениот резултат.
Референци:
Н.М. Гинтер, Р.О. Кузмин, Збирка проблеми на виша математика, „Лан“, 2003 година.
Решавање интеграли - лесна задача, но само за неколку избрани. Оваа статија е за оние кои сакаат да научат да ги разбираат интегралите, но не знаат ништо или скоро ништо за нив. Интегрално... Зошто е потребно? Како да го пресметате? Она што е сигурно и неопределен интеграл s? Ако единствената употреба за која знаете за интегралот е да користите кука за капчиња во облик на интегрална икона за да добиете нешто корисно од тешко достапни места, тогаш добредојде! Откријте како да ги решите интегралите и зошто не можете да направите без тоа.
Го проучуваме концептот на „интегрален“
Интеграцијата беше позната уште одназад Антички Египет. Се разбира не во модерна форма, но сепак. Оттогаш, математичарите напишаа многу книги на оваа тема. Особено се истакнаа Њутн И Лајбниц , но суштината на нештата не е променета. Како да ги разберете интегралите од нула? Нема шанси! За да ја разберете оваа тема, сепак ќе ви треба Основно знаењеосновите математичка анализа. Токму овие основни информации ќе ги најдете на нашиот блог.
Неопределен интеграл
Да имаме некоја функција f(x) .
Неопределена интегрална функција f(x) оваа функција се нарекува F(x) , чиј извод е еднаков на функцијата f(x) .
Со други зборови, интегралот е дериват обратно или антидериват. Патем, прочитајте за тоа како во нашата статија.
Антидеривативот постои за секого континуирани функции. Исто така, константен знак често се додава на антидеривативот, бидејќи дериватите на функциите кои се разликуваат со константа се совпаѓаат. Процесот на пронаоѓање на интегралот се нарекува интеграција.
Едноставен пример:
За да не се пресметуваат постојано антидеривати на елементарните функции, погодно е да се стават во табела и да се користат готови вредности:
Дефинитивен интеграл
Кога се занимаваме со концептот на интеграл, имаме работа со бесконечно мали величини. Интегралот ќе помогне да се пресмета површината на фигурата, масата на нехомогеното тело, поминатото растојание на нерамномерно движењепатека и многу повеќе. Треба да се запомни дека интегралот е бесконечен збир големо количествобесконечно мали термини.
Како пример, замислете график на некоја функција. Како да ја пронајдете областа на фигура, ограничен со распоредфункции?
Користење на интеграл! Ајде да го скршиме заоблен трапез, ограничени со координативните оски и графиконот на функцијата, во бесконечно мали сегменти. На овој начин фигурата ќе се подели на тенки колони. Збирот на областите на колоните ќе биде областа на трапезоидот. Но, запомнете дека таквата пресметка ќе даде Приближен резултат. Сепак, колку е помал и потесен сегментите, толку е поточна пресметката. Ако ги намалиме до тој степен што должината се стреми кон нула, тогаш збирот на површините на сегментите ќе се стреми кон плоштината на сликата. Ова е дефинитивен интеграл, кој е напишан вака:
Точките a и b се нарекуваат граници на интеграција.
Бари Алибасов и групата „Интеграл“
Патем! За нашите читатели сега има попуст од 10%.
Правила за пресметување интеграли за кукли
Својства на неопределен интеграл
Како да се реши неопределен интеграл? Овде ќе ги разгледаме својствата на неопределениот интеграл, што ќе биде корисно при решавање на примери.
- Дериватот на интегралот е еднаков на интегралот:
- Константата може да се извади од под интегралниот знак:
- Интеграл на сумата еднаков на збиротинтеграли. Ова важи и за разликата:
Својства на определен интеграл
- Линеарност:
- Знакот на интегралот се менува ако се заменат границите на интеграцијата:
- На било којпоени а, бИ Со:
Веќе дознавме дека определен интеграл е граница на збир. Но, како да се добие специфично значењепри решавање на пример? За ова постои формулата Њутн-Лајбниц:
Примери за решавање интеграли
Подолу ќе разгледаме неколку примери за наоѓање неопределени интеграли. Ве покануваме сами да ги откриете сложеноста на решението, и ако нешто не е јасно, поставувајте прашања во коментарите.
За да го засилите материјалот, погледнете видео за тоа како се решаваат интегралите во пракса. Не очајувајте ако интегралот не се даде веднаш. Прашај и ќе ти кажат се што знаат за пресметување интеграли. Со наша помош, било тројно или линиски интегрална затворена површина ќе можете да го направите тоа.