Најдете ја плоштината на рамна фигура ограничена со графиконите. Примери

Во оваа статија ќе научите како да ја пронајдете областа на фигура ограничена со линии користејќи интегрални пресметки. Формулирањето на ваков проблем за прв пат се среќаваме во средно училиште, кога штотуку го завршивме изучувањето на определените интеграли и време е да започнеме со геометриско толкување на стекнатото знаење во пракса.

Значи, што е потребно за успешно решавање на проблемот со наоѓање на површината на фигурата со помош на интеграли:

Способност да се направат компетентни цртежи;
Способност за решавање на определен интеграл со помош на добро познатата формула Њутн-Лајбниц;
Способноста да се „види“ попрофитабилна опција за решение - т.е. разберете како ќе биде попогодно да се изврши интеграција во еден или друг случај? По x-оската (OX) или y-оската (OY)?
Па, каде би биле ние без точни пресметки?) Ова вклучува разбирање како да се реши тој друг тип на интеграли и точни нумерички пресметки.

Алгоритам за решавање на проблемот со пресметување на плоштината на фигура ограничена со линии:

1. Градиме цртеж. Препорачливо е да го направите ова на кариран лист хартија, во голем обем. Името на оваа функција го потпишуваме со молив над секој графикон. Потпишувањето на графиконите се врши исклучиво за погодност за понатамошни пресметки. Откако ќе добиете графикон на саканата фигура, во повеќето случаи веднаш ќе биде јасно кои граници на интеграција ќе се користат. Така, проблемот го решаваме графички. Сепак, се случува вредностите на границите да бидат фракционо или ирационални. Затоа, можете да направите дополнителни пресметки, одете на чекор два.

2. Ако границите на интеграција не се експлицитно наведени, тогаш ги наоѓаме точките на пресек на графиците меѓу себе и гледаме дали нашето графичко решение се поклопува со аналитичкото.

3. Следно, треба да го анализирате цртежот. Во зависност од тоа како се распоредени графиконите на функциите, постојат различни пристапи за наоѓање на плоштината на фигурата. Ајде да погледнеме различни примери за наоѓање на плоштина на фигура користејќи интеграли.

3.1. Најкласичната и наједноставната верзија на проблемот е кога треба да ја пронајдете областа на заоблен трапез. Што е заоблен трапез? Ова е рамна фигура ограничена со x-оската (y = 0), правите x = a, x = b и која било крива континуирана во интервалот од a до b. Покрај тоа, оваа бројка е не-негативна и се наоѓа не под оската x. Во овој случај, површината на криволинеарниот трапез е нумерички еднаква на одреден интеграл, пресметан со формулата Њутн-Лајбниц:

Пример 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Со кои линии е ограничена фигурата? Имаме парабола y = x2 - 3x + 3, која се наоѓа над оската OX, таа е ненегативна, бидејќи сите точки на оваа парабола имаат позитивни вредности. Следно, дадени се правите x = 1 и x = 3, кои се движат паралелно со оската на оп-засилувачот и се гранични линии на сликата лево и десно. Па, y = 0, што е и x-оската, која ја ограничува фигурата одоздола. Добиената фигура е засенчена, како што може да се види од сликата лево. Во овој случај, можете веднаш да започнете со решавање на проблемот. Пред нас е едноставен пример на заоблен трапез, кој потоа го решаваме користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц.

3.2. Во претходниот став 3.1, го испитавме случајот кога закривен трапез се наоѓа над оската x. Сега разгледајте го случајот кога условите на проблемот се исти, освен што функцијата лежи под оската x. Се додава минус на стандардната формула Њутн-Лајбниц. Подолу ќе разгледаме како да решиме таков проблем.

Пример 2. Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линиите y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Во овој пример имаме парабола y = x2 + 6x + 2, која потекнува од под оската OX, прави x = -4, x = -1, y = 0. Овде y = 0 ја ограничува посакуваната бројка одозгора. Правите x = -4 и x = -1 се границите во кои ќе се пресметува определениот интеграл. Принципот на решавање на проблемот со наоѓање на површината на фигурата речиси целосно се совпаѓа со примерот број 1. Единствената разлика е во тоа што дадената функција не е позитивна, а исто така е континуирана на интервалот [-4; -1]. Што сакаш да кажеш дека не е позитивно? Како што може да се види од сликата, фигурата што се наоѓа во дадените x има исклучиво „негативни“ координати, што е она што треба да го видиме и запомниме при решавањето на проблемот. Ја бараме областа на фигурата користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц, само со знак минус на почетокот.

Статијата не е завршена.

Почнуваме да го разгледуваме вистинскиот процес на пресметување на двојниот интеграл и да се запознаеме со неговото геометриско значење.

Двојниот интеграл е нумерички еднаков на плоштината на рамнината (регионот на интеграција). Ова е наједноставниот облик на двоен интеграл, кога функцијата на две променливи е еднаква на една: .

Прво, да го разгледаме проблемот во општа форма. Сега ќе бидете прилично изненадени колку е навистина сè едноставно! Да ја пресметаме плоштината на рамна фигура ограничена со линии. За определеност, претпоставуваме дека на сегментот . Областа на оваа бројка е нумерички еднаква на:

Ајде да ја прикажеме областа на цртежот:

Ајде да го избереме првиот начин да ја поминеме областа:

Така:

И веднаш важен технички трик: повторените интеграли може да се пресметаат одделно. Прво внатрешниот интеграл, потоа надворешниот интеграл. Силно го препорачувам овој метод на почетници во оваа тема.

1) Да го пресметаме внатрешниот интеграл, а интеграцијата се врши преку променливата „y“:

Неопределениот интеграл овде е наједноставен, а потоа се користи баналната формула Њутн-Лајбниц, со единствена разлика што границите на интеграцијата не се броевите, туку функциите. Прво, ја заменивме горната граница во „y“ (антидеривативна функција), потоа долната граница

2) Резултатот добиен во првиот став мора да се замени во надворешниот интеграл:

Покомпактен приказ на целото решение изгледа вака:

Резултирачката формула е токму работната формула за пресметување на плоштината на рамнината со помош на „обичниот“ дефинитивен интеграл! Видете ја лекцијата Пресметување област со помош на одреден интеграл, тука е на секој чекор!

Односно, проблемот со пресметување на плоштината со користење на двоен интеграл не многу различниод проблемот за наоѓање на плоштината со користење на определен интеграл! Всушност, тоа е иста работа!

Според тоа, не треба да се појават никакви тешкотии! Нема да разгледам многу примери, бидејќи вие, всушност, постојано сте се сретнале со оваа задача.

Пример 9

Решение: Ајде да ја прикажеме областа на цртежот:

Дозволете ни да го избереме следниов редослед на поминување на областа:

Овде и понатаму нема да се задржувам на тоа како да се помине областа, бидејќи во првиот пасус беа дадени многу детални објаснувања.

Така:

Како што веќе забележав, за почетниците е подобро да ги пресметуваат повторените интеграли одделно, и јас ќе се задржам на истиот метод:

1) Прво, користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц, се занимаваме со внатрешниот интеграл:

2) Резултатот добиен во првиот чекор се заменува во надворешниот интеграл:

Точка 2 всушност е наоѓање на плоштината на рамнината со помош на дефинитивен интеграл.

Одговор:

Ова е толку глупава и наивна задача.

Интересен пример за независно решение:

Пример 10

Користејќи двоен интеграл, пресметајте ја плоштината на рамна фигура ограничена со линиите,

Приближен пример за конечно решение на крајот од часот.

Во Примерите 9-10, многу попрофитабилно е да се користи првиот метод за минување низ областа; љубопитните читатели, патем, можат да го променат редоследот на поминување и да ги пресметаат областите користејќи го вториот метод. Ако не направите грешка, тогаш, природно, ќе ги добиете истите вредности на областа.

Но, во некои случаи, вториот метод за минување низ областа е поефективен, а на крајот од курсот на младиот нерд, да погледнеме уште неколку примери на оваа тема:

Пример 11

Користејќи двоен интеграл, пресметајте ја плоштината на рамна фигура ограничена со линии,

Решение: со нетрпение очекуваме две параболи со чудење што лежат на нивните страни. Нема потреба од насмевка, слични работи се случуваат доста често во повеќе интеграли.

Кој е најлесниот начин да се направи цртеж?

Ајде да замислиме парабола во форма на две функции:
– горната гранка и – долната гранка.

Слично на тоа, замислете парабола во форма на горниот и долниот дел гранки.

Следно, правилата за исцртување на графикони во точка, што резултира со таква бизарна фигура:

Ја пресметуваме плоштината на фигурата користејќи го двојниот интеграл според формулата:

Што ќе се случи ако го избереме првиот метод на минување низ областа? Прво, оваа област ќе треба да се подели на два дела. И второ, ќе ја набљудуваме оваа тажна слика: . Интегралите, се разбира, не се од суперкомплицирано ниво, но... има една стара математичка изрека: на оние кои се блиску до корените не им треба тест.

Затоа, од недоразбирањето дадено во условот, ги изразуваме инверзните функции:

Инверзните функции во овој пример ја имаат предноста што ја специфицираат целата парабола одеднаш без никакви лисја, желади, гранки и корени.

Според вториот метод, преминувањето на областа ќе биде како што следува:

Така:

Како што велат, почувствувајте ја разликата.

1) Се занимаваме со внатрешниот интеграл:

Резултатот го заменуваме во надворешниот интеграл:

Интеграцијата преку променливата „y“ не треба да биде збунувачка; ако има буква „zy“, би било одлично да се интегрира над неа. Иако секој што го прочитал вториот пасус од лекцијата Како да се пресмета волуменот на телото на ротација повеќе не доживува ни најмала непријатност при интеграцијата со методот „Y“.

Обрнете внимание и на првиот чекор: интеграндот е парен, а интервалот на интеграција е симетричен околу нула. Затоа, сегментот може да се преполови, а резултатот да се удвои. Оваа техника е детално коментирана на часот Ефективни методи за пресметување на определен интеграл.

Што да се додаде…. Сите!

Одговор:

За да ја тестирате вашата техника на интеграција, можете да се обидете да пресметате . Одговорот треба да биде сосема ист.

Пример 12

Користејќи двоен интеграл, пресметајте ја плоштината на рамна фигура ограничена со линии

Ова е пример за да го решите сами. Интересно е да се забележи дека ако се обидете да го користите првиот метод на минување низ областа, фигурата повеќе нема да мора да се дели на два, туку на три дела! И, соодветно, добиваме три пара повторени интеграли. Понекогаш тоа се случува.

Мастер класата заврши, и време е да се премине на велемајсторско ниво - Како да се пресмета двоен интеграл? Примери на решенија. Ќе се обидам да не бидам толку манијакален во втората статија =)

Ти посакувам успех!

Решенија и одговори:

Пример 2:Решение: Ајде да ја отсликаме областа на цртежот:

Дозволете ни да го избереме следниов редослед на поминување на областа:

Така:
Ајде да продолжиме со инверзните функции:

Така:
Одговор:

Пример 4:Решение: Ајде да преминеме на директни функции:

Ајде да го направиме цртежот:

Ајде да го промениме редоследот на минување низ областа:

Одговор:

А)

Решение.

Првата и најважна точка во одлуката е цртањето.

Ајде да го направиме цртежот:

Равенката y=0ја поставува оската „x“;

- x=-2И x=1- директно, паралелно со оската ОУ;

- y=x 2 +2 -парабола, чии гранки се насочени нагоре, со темето во точката (0;2).

Коментар. За да се конструира парабола, доволно е да се пронајдат точките на нејзиното вкрстување со координатните оски, т.е. ставање x=0најдете го пресекот со оската ОУи решавајќи ја соодветната квадратна равенка, најди го пресекот со оската О .

Темето на параболата може да се најде со помош на формулите:

Можете исто така да изградите линии точка по точка.

На интервалот [-2;1] графикот на функцијата y=x 2 +2се наоѓа над оската Вол, Затоа:

Одговор: С=9 квадратни единици

Откако ќе заврши задачата, секогаш е корисно да го погледнете цртежот и да откриете дали одговорот е реален. Во овој случај, „со око“ го броиме бројот на ќелии на цртежот - добро, ќе има околу 9, се чини дека е точно. Апсолутно е јасно дека ако го добиеме, да речеме, одговорот: 20 квадратни единици, тогаш очигледно е дека некаде е направена грешка - 20 ќелии очигледно не се вклопуваат во дотичната фигура, најмногу десетина. Ако одговорот е негативен, тогаш и задачата е погрешно решена.

Што да направите ако под оската се наоѓа заоблен трапез О?

б) Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линиите y=-e x , x=1и координатни оски.

Решение.

Ајде да направиме цртеж.

Ако закривен трапез е целосно лоциран под оската О , тогаш неговата површина може да се најде со помош на формулата:

Одговор: S=(е-1)кв. единици“ 1,72 кв. единици

Внимание! Двата типа на задачи не треба да се мешаат:

1) Ако од вас се бара да решите едноставно одреден интеграл без никакво геометриско значење, тогаш тој може да биде негативен.

2) Ако од вас е побарано да ја пронајдете плоштината на фигурата користејќи дефинитивен интеграл, тогаш областа е секогаш позитивна! Затоа минусот се појавува во формулата која штотуку беше дискутирана.

Во пракса, најчесто фигурата се наоѓа и во горната и во долната полурамнина.

в) Најдете ја плоштината на рамна фигура ограничена со линии y=2x-x 2, y=-x.

Решение.

Прво треба да го завршите цртежот. Општо земено, кога конструираме цртеж во проблеми со областа, најмногу нè интересираат точките на пресек на правите. Да ги најдеме пресечните точки на параболата и директно Ова може да се направи на два начина. Првиот метод е аналитички.

Ја решаваме равенката:

Ова значи дека долната граница на интеграција a=0, горната граница на интеграција b=3 .

Ги градиме дадените прави: 1. Парабола - теме во точката (1;1); пресек на оски О -поени (0;0) и (0;2). 2. Права - симетрала на 2-ри и 4-ти координатни агли. И сега Внимание! Ако на сегментот [ а;б] некоја континуирана функција f(x)поголема или еднаква на некоја континуирана функција g(x), тогаш областа на соодветната фигура може да се најде со помош на формулата: .

И не е важно каде се наоѓа фигурата - над оската или под оската, туку она што е важно е кој график е ПОВИСОК (во однос на друг график), а кој е ПОДОЛ. Во примерот што се разгледува, очигледно е дека на отсечката параболата се наоѓа над права линија, и затоа е потребно да се одземе од

Можете да конструирате линии точка по точка, а границите на интеграцијата стануваат јасни „сами“. Сепак, аналитичкиот метод за наоѓање граници сепак понекогаш треба да се користи ако, на пример, графикот е доволно голем, или деталната конструкција не ги открива границите на интеграцијата (тие можат да бидат фракциони или ирационални).

Посакуваната бројка е ограничена со парабола горе и права линија долу.

На сегментот , според соодветната формула:

Одговор: С=4,5 квадратни единици

Како да вметнете математички формули на веб-локација?

Ако некогаш треба да додадете една или две математички формули на веб-страница, тогаш најлесниот начин да го направите тоа е како што е опишано во статијата: математичките формули лесно се вметнуваат на страницата во форма на слики кои автоматски се генерираат од Wolfram Alpha . Покрај едноставноста, овој универзален метод ќе помогне да се подобри видливоста на страницата во пребарувачите. Работи долго време (и, мислам, ќе работи засекогаш), но веќе е морално застарен.

Ако редовно користите математички формули на вашиот сајт, тогаш ви препорачувам да користите MathJax - специјална библиотека JavaScript која прикажува математичка нотација во веб-прелистувачите користејќи ознака MathML, LaTeX или ASCIIMathML.

Постојат два начина да започнете со користење на MathJax: (1) со користење на едноставен код, можете брзо да поврзете MathJax скрипта на вашата веб-локација, која автоматски ќе се вчита од оддалечен сервер во вистинско време (список на сервери); (2) преземете ја скриптата MathJax од оддалечен сервер на вашиот сервер и поврзете ја на сите страници на вашата страница. Вториот метод - покомплексен и одзема многу време - ќе го забрза вчитувањето на страниците на вашата страница, и ако матичниот сервер MathJax поради некоја причина привремено стане недостапен, тоа нема да влијае на вашата веб-страница на кој било начин. И покрај овие предности, го избрав првиот метод бидејќи е поедноставен, побрз и не бара технички вештини. Следете го мојот пример и за само 5 минути ќе можете да ги користите сите карактеристики на MathJax на вашата страница.

Можете да ја поврзете скриптата за библиотека MathJax од оддалечен сервер користејќи две опции за код земени од главната веб-локација на MathJax или на страницата со документација:

Една од овие опции за код треба да се копира и залепи во кодот на вашата веб-страница, по можност помеѓу ознаките и или веднаш по ознаката. Според првата опција, MathJax се вчитува побрзо и помалку ја успорува страницата. Но, втората опција автоматски ги следи и вчитува најновите верзии на MathJax. Ако го вметнете првиот код, тој ќе треба периодично да се ажурира. Ако го вметнете вториот код, страниците ќе се вчитуваат побавно, но нема да треба постојано да ги следите ажурирањата на MathJax.

Најлесен начин за поврзување на MathJax е во Blogger или WordPress: во контролната табла на страницата, додајте графичка контрола дизајнирана за вметнување JavaScript код од трета страна, копирајте ја првата или втората верзија на кодот за преземање претставен погоре во него и поставете го додатокот поблиску до почетокот на шаблонот (патем, ова воопшто не е потребно, бидејќи скриптата MathJax се вчитува асинхроно). Тоа е се. Сега научете ја синтаксата за обележување на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и подготвени сте да вметнете математички формули во веб-страниците на вашата страница.

Секој фрактал е конструиран според одредено правило, кое постојано се применува неограничен број пати. Секое такво време се нарекува итерација.

Итеративниот алгоритам за конструирање на сунѓер Менгер е прилично едноставен: оригиналната коцка со страна 1 е поделена со рамнини паралелни на нејзините лица на 27 еднакви коцки. Од него се отстрануваат една централна коцка и 6 коцки во непосредна близина на неа по лицата. Резултатот е сет кој се состои од преостанатите 20 помали коцки. Правејќи го истото со секоја од овие коцки, добиваме сет составен од 400 помали коцки. Продолжувајќи го овој процес бескрајно, добиваме сунѓер Менгер.

Всушност, за да ја пронајдете плоштината на фигурата, не ви треба толку многу знаење за неопределениот и определениот интеграл. Задачата „пресметајте ја плоштината користејќи дефинитивен интеграл“ секогаш вклучува конструирање цртеж, така што вашето знаење и вештини за конструирање цртежи ќе бидат многу погорливо прашање. Во овој поглед, корисно е да ја освежите вашата меморија на графиконите на основните елементарни функции и, барем, да можете да конструирате права линија и хипербола.

Заоблен трапез е рамна фигура ограничена со оска, прави линии и графикот на функцијата континуиран на отсечка која не го менува знакот на овој интервал. Нека се лоцира оваа бројка не помалку x-оска:

Тогаш површината на криволинеарниот трапез е нумерички еднаква на дефинитивниот интеграл. Секој дефинитивен интеграл (што постои) има многу добро геометриско значење.

Од геометриска гледна точка, дефинитивниот интеграл е ПЛОШТИНА.

Односно, одреден интеграл (ако постои) геометриски одговара на површината на одредена фигура. На пример, разгледајте го дефинитивниот интеграл. Интеграндот дефинира крива на рамнината која се наоѓа над оската (оние кои сакаат можат да направат цртеж), а самиот дефинитивен интеграл е нумерички еднаков на плоштината на соодветниот криволинеарен трапез.

Пример 1

Ова е типична изјава за задача. Првата и најважна точка во одлуката е цртањето. Покрај тоа, цртежот мора да биде ПРАВИЛНО конструиран.

При конструирање на цртеж, го препорачувам следниов редослед: прво, подобро е да се конструираат сите прави линии (ако ги има) и само тогаш - параболи, хиперболи и графикони на други функции. Попрофитабилно е да се конструираат графикони на функции точка по точка.

Во овој проблем, решението може да изгледа вака.
Ајде да го нацртаме цртежот (забележете дека равенката ја дефинира оската):

На сегментот, графикот на функцијата се наоѓа над оската, затоа:

Одговор:

Пример 3

Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линии и координатни оски.

Решение: Ајде да направиме цртеж:

Ако закривениот трапез се наоѓа под оската (или барем не повисокодадена оска), тогаш нејзината површина може да се најде со помош на формулата:

Во овој случај:

Внимание! Двата типа на задачи не треба да се мешаат:

Во пракса, најчесто фигурата се наоѓа и во горната и во долната полурамнина и затоа, од наједноставните училишни проблеми преминуваме на позначајни примери.

Пример 4

Најдете ја плоштината на рамна фигура ограничена со линиите, .

Решение: Прво треба да го завршите цртежот. Општо земено, кога конструираме цртеж во проблеми со областа, најмногу нè интересираат точките на пресек на правите. Да ги најдеме пресечните точки на параболата и правата линија. Ова може да се направи на два начина. Првиот метод е аналитички. Ја решаваме равенката:

Ова значи дека долната граница на интеграција е, горната граница на интеграцијата е.

Подобро е, ако е можно, да не го користите овој метод.

Многу е попрофитабилно и побрзо да се конструираат линии точка по точка, а границите на интеграцијата стануваат јасни „сами“. Сепак, аналитичкиот метод за наоѓање граници сепак понекогаш треба да се користи ако, на пример, графикот е доволно голем, или деталната конструкција не ги открива границите на интеграцијата (тие можат да бидат фракциони или ирационални). И ние исто така ќе разгледаме таков пример.

Да се вратиме на нашата задача: порационално е прво да се конструира права линија, а дури потоа парабола. Ајде да го направиме цртежот:

И сега работната формула: Ако на сегмент некоја континуирана функција е поголема или еднаква на некоја континуирана функција, тогаш површината на фигурата ограничена со графиконите на овие функции и прави линии може да се најде со формулата:

Овде веќе не треба да размислувате каде се наоѓа фигурата - над оската или под оската, и, грубо кажано, важно е кој графикон е ПОВИСОК (во однос на друг графикон), а кој е ПОДОЛ.

Во примерот што се разгледува, очигледно е дека на отсечката параболата се наоѓа над права линија, и затоа е потребно да се одземе од

Завршеното решение може да изгледа вака:

Посакуваната бројка е ограничена со парабола горе и права линија долу.
На сегментот, според соодветната формула:

Одговор:

Пример 4

Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линиите , , , .

Решение: Прво, ајде да направиме цртеж:

Фигурата чија површина треба да ја најдеме е засенчена во сино (внимателно погледнете ја состојбата - како е ограничена фигурата!). Но, во пракса, поради невнимание, често се појавува „пропуст“ што треба да ја пронајдете областа на фигурата што е засенчена во зелено!

Овој пример е корисен и по тоа што ја пресметува плоштината на фигурата користејќи два дефинитивни интеграли.

Навистина:

1) На отсечката над оската има график на права линија;

2) На отсечката над оската има график на хипербола.

Сосема е очигледно дека областите може (и треба) да се додадат, затоа: