ЕКСПОНЕНТАРНИ И ЛОГАРИТАМСКИ ФУНКЦИИ VIII

§ 182 Основни својства на логаритамската функција

Во овој дел ќе ги проучуваме основните својства на логаритамската функција

y = дневник а x (1)

Да се ​​потсетиме дека под А во формулата (1) мислиме на која било фиксна позитивен број, различно од 1.

Имотот 1.Доменот на дефиниција на логаритамска функција е множеството од сите позитивни броеви.

Навистина, нека б е произволен позитивен број. Да покажеме дека изразот е лог а б дефинирани. Како што знаеме, најавите а б не е ништо повеќе од коренот на равенката

и z = b (2)

Ако А И б се позитивни бројки и А =/= 1, тогаш таквата равенка, според својствата 2 и 5 на експоненцијалната функција (види § 179), секогаш има само еден корен. Овој корен е дневник а б . Затоа најавете се а б В во овој случајдефинирани

Сега да покажеме дека ако б < 0, то выражение logа б недефинирано.

Навистина, ако овој израз има смисла, ќе го даде коренот на равенката (2); во овој случај еднаквоста би морала да остане

А дневник а б = б .

Всушност, оваа еднаквост не е задоволена, бидејќи левата страна е позитивна, а десната страна е негативен бројили нула.

Значи изразот дневник а б (А > 0, А =/=1) дефинирано за сите позитивни вредности б , но не е дефинирано за ниту еден негативна вредност б , ниту за б = 0. А тоа значи дека доменот на дефиниција на функцијата y = дневник а x е множество од сите позитивни броеви.

Првото својство на логаритамската функција е докажано. Геометриската интерпретација на ова својство е дека графикот на функцијата y = дневник а x целосно лоциран во десната полурамнина, што одговара само позитивни вредности X (види Сл. 250 и 251).

Имотот 2. Опсегот на варијација на логаритамска функција е множество од сите броеви.

Ова значи дека изразот се логира а x на различни значења X може да земе која било нумеричка вредност.

Нека б - произволно реален број. Да покажеме дека постои бројка X , што ја задоволува состојбата

дневник а x = б . (3)

Ова ќе го докаже имотот 2.

Релацијата (3) значи исто како и релацијата

и b = x .

Број А - позитивно. А степенот на кој било позитивен број со произволен експонент секогаш се одредува. Затоа, изборот како саканата вредност X број а б , ќе го исполниме условот (3).

Имотот 3. На А > 1 логаритамска функција y = дневник а x монотоно се зголемува, а кога 0 < А < 1 - монотоно се намалува.

Нека А > 1 и X 2 > X 1 . Да го докажеме тоа

дневник а x 2 > дневник а x 1 .

За да го докажеме ова, да го претпоставиме спротивното: лог а x 2 < logа x 1 или дневник а x 2 = дневник а x 1 . На А > 1 експоненцијална функција на = А x се зголемува монотоно. Затоа, од дневникот за состојби а x 2 < logа x 1 следува дека А дневник а x 2 < А дневник а x 1, Но А дневник а x 2 = x 2 , А дневник а x 1 = x 1 . Оттука, x 2 < x 1 . И ова е во спротивност со условот според кој x 2 > x 1. Друга претпоставка исто така води кон противречност: лог а x 2 = дневник а x 1 . Во овој случај треба да има А дневник а x 2 < А дневник а x 1 или x 2 = x 1 . Останува да се признае тоа

дневник а x 2 > дневник а x 1 .

Така, докажавме дека кога А > 1 функција на = дневник а x монотоно се зголемува.

Случајот кога А < 1, предлагаем учащимся рассмотреть самостоятельно.

Третото својство на логаритамската функција овозможува едноставно геометриско толкување. На А > 1 функционален график на = дневник а x со раст X се крева повисоко и повисоко (види Сл. 250), и кога А < 1 он с ростом X тоне подолу и пониско (види Сл. 251).

Последица. Ако логаритмите на два броја се на иста позитивна основа освен 1, се еднакви, тогаш самите овие броеви се еднакви.

Со други зборови, од состојбата

дневник а x = дневник a y (а > 0, А =/= 1)

го следи тоа

x = y .

Навистина, ако еден од броевите X И на беше поголема од другата, тогаш поради монотоноста на логаритамската функција една од дневник за броевиа x и дневник a y би имало повеќе од другото. Но, тоа не е вистина. Оттука, x = y .

Имотот 4. На X =1 логаритамска функција на = дневник а x зема вредност еднаква на нула.

Графички тоа значи дека без оглед на А кривина на = дневник а x се вкрстува со оската X кај апсцисата X = 1 (види Сл. 250 и 251).

За докажување на 4-тото својство, доволно е да се забележи дека за секое позитивно А

А 0 = 1.

Затоа најавете се а 1 = 0.

Имотот 5. Нека А > 1. Потоа во X > 1функција на = дневник а xзема позитивно, и на 0< X < 1 - отрицательные значения.

Ако 0 < А < 1, тогаш, напротив, кога X > 1 функција на = дневник а x зема негативни, и кога 0 < X < 1 - позитивни вредности.

Ова својство на логаритамската функција овозможува и едноставно графичко толкување. Нека, на пример, А >1. Потоа тој дел од кривата на = дневник а x , што одговара на вредностите X > 1, лоциран над оската X , и оној дел од оваа крива што одговара на вредностите 0< X < 1, находится ниже оси X (види Сл. 250). Случајот кога а < 1 (рис. 251).

5-тото својство на логаритамската функција е едноставна последица на 3-то и 4-тото својство. Да бидеме конкретни, да го разгледаме случајот кога А > 1. Потоа, според третото својство, функцијата на = дневник а x монотоно ќе се зголемува. Затоа ако X > 1, па најавете се а x > дневник а 1. Но според 4 лог имота 1= 0. Затоа, кога X > 1 дневник а x > 0. Кога X < 1 logа x < logа 1, тоа е дневник а x < 0.

Случајот може да се разгледува слично кога А < 1. Учащимся предлагается разобрать его самостоятельно.

На петте особини на разгледаната логаритамска функција, без доказ ќе додадеме уште едно својство, чија валидност е јасно прикажана на сликите 250 и 251.

Имотот 6.Ако А >1, тогаш кога X -> 0 функционални вредности на = дневник а xсе намалуваат на неодредено време (на -> - ∞ ). Ако 0 < А < 1, тогаш кога X -> 0 функционални вредности на = дневник а xсе зголемуваат на неодредено време (на -> ∞ ).

Вежби

1390. Најдете домени на дефиниција следните функции:

А) y = дневник 2 (1 + X ); г) y = дневник 7 | x |;

б) y = дневник 1/3 ( X 2 + 1); д) y = дневник 3 ( x 2 + x - 2);

V) y = дневник 10 (4 + X 2) е) y = дневник 0,5 (5 x - x 2 - 6);

G) y = дневник 5 (- X ); ж) y = дневник 6 ( x 2 + x + 1).

1391. За какви вредности X во интервалот 0 < X < 2π се дефинираат изразите:

а) дневник 2 (грев X ); в) дневник 4 (tg X );

б) дневник 3 (кос X ); г) дневник 5 (ctg X )?

1392. Што можете да кажете за најголемите и најниски вредностифункции:

А) y = дневник 2 x ; б) y = | дневник 2 x | ?

1393. Врз основа на кое својство на логаритамската функција може да се констатира дека

а) дневник 10 5 > дневник 10 4; б) лог 0,1 5< log 0,1 4?

1394. Кој број е поголем:

а) дневник 2 5 или дневник 2 6; в) дневник 1/3 2 или дневник 1/3 4;

б) дневник 5 1/2 или дневник 5 1/3; г) лог 1/7 4 / 5 или лог 1/7 5 / 6?

1395. Одлучи во врска со X нееднаквости:

а) дневник 2 X > дневник 2 3; г) дневник 1/2 (3 X ) < дневник 1/2 6;

б) дневник 3 X 2 > дневник 3 4; д) дневник 10 ( X 2 - 1) > дневник 10 (4 X + 4);

в) дневник 1/3 X > дневник 1/3 2; д) лог 0,1 (1 - X 2) > дневник 0.1 (2 X + 2).

1396. Што може да се каже за бројот А , Ако

а) дневник а 7 > дневник а 6; в) дневник а 1 / 3 < logа 1 / 2 ;

б) дневник а 5 < logа 4; г) дневник а 5 > 0?

1397. Што може да се каже за бројот А , ако за некои вредности X

дневник а (X 2 + l) > дневник а X ?

1398. Помеѓу кои последователни цели броеви се опфатени логаритми:

а) дневник 2 5; б) дневник 3 8; в) дневник 1/3 7; г) лог 1/2 9?

1399. Кои од овие броеви се позитивни, а кои негативни:

а) дневник 2 5; в) дневник 1/2 5; д) дневник 7 1; е) дневник π/ 3 4;

б) дневник 2 1 / 3; г) дневник 1/3 1/2; д) лог π 3; ж) дневник π/ 4 4?

1) За a > 0, a = 1, функцијата y = a x е дефинирана, различна од

константна. Оваа функција се нарекува експоненцијална функција со основа a.

2) Функцијата од формата y = лога x се нарекува логаритамска, каде што a е даден број,

a > 0, a ≠ 1.

Да ги разгледаме својствата на логаритамската функција.

1) Доменот на дефиниција на логаритамска функција е множеството од сите позитивни броеви.

Оваа изјава произлегува од дефиницијата на логаритамот, бидејќи само за x > 0 изразот лога x има смисла.

2) Множеството вредности на логаритамската функција е претставено со множеството R од сите реални броеви.

Оваа изјава произлегува од фактот дека за кој било број b (b е реален број) постои позитивен број x таков што лога x = b, т.е. равенка Разгледуваме функција од формата Y = логаритам на основата на A, X, каде што A е поголемо од нула, а A не е еднакво на еден.

Доменот на функцијата е множество од позитивни броеви, а доменот на вредности е збир на сите реални броеви.

Јасно е дека функцијата не е ниту парна ниту непарна, бидејќи доменот на дефиниција не е симетричен ниту во однос на оската на ординатите ниту во однос на потеклото.

Y = нула во една точка - кога X = еден.

Графикот на логаритамска функција изгледа вака. Поминува низ точката еден на оската X, тоа е во случај А повеќе од еден,

а кога А е помало од еден и поголем од нула, изгледа вака.

Да ги забележиме интервалите на знакот на постојаност. За A поголемо од еден, Y е позитивен во опсег од еден до плус бесконечност и негативен во опсег од нула до еден.

Ако А е помало од еден, тогаш Y е позитивен во интервалот од нула до еден и негативен во интервалот од еден до плус бесконечност.

Сите овие изјави стануваат очигледни ако го погледнете графикот на оваа функција.

Удобно е да се запамети не овие изјави, туку типот на графикони

кога А е поголемо од еден и кога А е помало од еден, тогаш лесно може да се изведат интервалите на знакот на постојаност.

Да ги забележиме и интервалите на зголемување и намалување. Кога А е поголемо од еден, функцијата се зголемува во целиот домен на дефиниција: од нула до плус бесконечност,

и кога А е поголемо од нула и помало од еден, се намалува низ целиот домен на дефиниција.

Функцијата нема екстреми.

3) Логаритам на бројот b до основата a (b > 0, a > 0, a<>1) е експонентот до кој бројот a мора да се подигне за да се добие бројот b:

Оваа еднаквост, изразувајќи ја дефиницијата на логаритамот, се нарекува основна логаритамски идентитет. Логаб за еднаквост = x значи дека ax = b.

Основниот 10 логаритам има посебна нотација log10 x = log x и се нарекува децимален логаритам. За децимални логаритмиважат еднаквостите: 10log x = x, log 10n = n

Логаритмот до основата e има во математиката големо значење. Бројот e е приближно 2,7. Попрецизен израз: e = 2.718281828459045...

сепак, самиот број e е ирационален. За логаритамот на оваа основа има и специјална ознака loge x = ln x и името природен логаритам. Меѓу својствата на бројот e, особено, може да се забележи следново: тангентата на графикот на функцијата y = ex во точката (0; 1) формира агол од 45° со оската на апсцисата. Логаритмите, како и сите броеви, можат да се собираат, одземаат и трансформираат на секој начин. Но, бидејќи логаритмите не се точно обични броеви, тука има правила, кои се нарекуваат основни својства.

Дефинитивно треба да ги знаете овие правила - без нив не може да се реши ниту еден сериозен проблем. логаритамски проблем. Покрај тоа, има многу малку од нив - можете да научите сè за еден ден

Графиконите (види слика погоре) на функциите y = xn и y =n x се симетрични во однос на симетралата на 1-виот и 3-от квадрант.

Пример 3.4.3. Функцијата f(x) = sin x, x [−π/2, π/2] е растечка и континуирана. Бидејќи f(±π/2) = ±1, тогаш според теоремите 1.1, 3.9, 3.11 постои инверзна функција f−1 : [−1, 1] → [−π/2, π/2], која се зголемува и континуирано. Се нарекува лаксинска функција и се означува лаксин. Затоа, функцијата arcsin доделува на секој број x [−1, 1]

одговара на број од отсечката „−π 2 ,π 2 # , чиј синус е еднаков на x.

					y s6
					−1 с

Графикони (види слика) на функциите y = sin x, x " −π 2 ,π 2 # и y = arcsin x,

x [−1, 1] се симетрични во однос на симетралата на 1-виот и 3-от квадрант.

Коментар. Слично на тоа, континуирана опаѓачка функција y = arccos x, која делува од [-1, 1] во , и континуирана растечка функција y = арктан x, која делува од R

во (−π/2, π/2).

3.5 Експоненцијални, логаритамски и моќни функции

ВО училишна алгебра курс и почна анализа утврдена со степен а r броеви a > 0 s рационален индикатор r, односно на множеството Q

рационални броевиЕкспоненцијалната функција f(r) = ar е дефинирана и некои нејзини својства се разјаснети:

1) a r > 0, r Q,

2) f се зголемува за Q ако a > 1; f се намалува на Q ако a (0, 1),

3) a p · aq = ap+q , p, q Q,

4) (a p )q = ap q , p, q Q,

5) (a · b) p = ap · bp , p Q, a > 0 b > 0.

Да ги докажеме следните изјави.

Лема 3.5.1.

lim a1/n = 1,

lim a−1/n = 1,

тогаш ε > 0 N = N(ε) N: n > N

|a1/n − 1|< ε, |a−1/n − 1| < ε.

Нека n0 N и n0 > N. Потоа

< a1/n 0 <

ε < a− 1/n 0

Затоа, ако δ =

(−δ, δ) T Q

ε < a−1/n 0 < ar < a1/n 0 <

: r (−δ, δ) T Q

фер

нееднаквост |а

− 1| < ε, что завершает доказательство.

Лема 3.5.2. Нека a > 0, (r n ) е конвергентна низа од рационални броеви. Тогаш низата (a r n ) конвергира.

Дозволете ни да покажеме дека нумеричката низа (ar n) е фундаментална. Забележете дека n, m N

|ar n − ar m | = ar m |ar n − r m − 1|.

Бидејќи низата (rn) конвергира, постои рационален број A таков што rn ≤ A, n N. Затоа, n N

ar n ≤ aA = B.

Според Лема 3.5.1 ε > 0 δ = δ(ε) > 0: важи r (−δ, δ)T Q

нееднаквост

|ar − 1|

Од фундаменталноста на низата (rn) добиваме:

N = N(δ) N: n > N, m > N |rn − rm |< δ.

Оттука n > N, m > N

|ar n − ar m | = ar m |ar n −r m − 1|< B ·B ε = ε,

што значи дека низата (ar n) е фундаментална.

Дефиниција 3.5.1. Нека > 0, x 0 R, (r n ) е низа од рационални броеви што конвергираат на x 0 . Да ставиме

секира 0 = lim ar n .

Лема 3.5.3. Дефиницијата 3.5.1 е точна во смисла дека

маскирање ограничување лим a r n не зависи од изборот на низата

рационални броеви (r n ) кои конвергираат на x 0 .

Нека (rn 0), (rn 00) се произволни низи од рационални броеви кои се конвергираат на x0. Според Лема 3.5.2, соодветните

секвенците (ar n0), (ar n00) се спојуваат. Да докажеме дека lim ar n0 =

lim ar n 00 .

Ајде да составиме нова низа(rn) така што

r n = rk 0 ако n = 2k − 1,

rk 00 ако n = 2k, k N.

Јасно е дека конвергира кон бројот x0. Според Лема 3.5.2, низата (ar n ) конвергира. Имајќи предвид дека низите (ar n0), (ar n00) се потсеквенци од низата (ar n), добиваме

lim ar n 0 = lim ar n 00 = lim ar n .

n→∞ n→∞ n→∞

Коментар. Ако x0 =p q е рационален број, тогаш вредноста на

казнената секира 0, пронајдена по дефиниција 3.5.1, се совпаѓа со вредноста на ap/q во претходно познатите училишен курсалгебарска смисла, бидејќи меѓу низите на рационални броеви кои се конвергираат на x0 =p q постојат

низа (rn): rn =p q, n N и ar n = ap/q → ap/q.

Дефиниција 3.5.2. Нека a е некој позитивен број и 6= 1. Функција дефинирана со закон

x R → секира,

наречен експоненцијален со основа a.

Да проучиме некои својства на експоненцијалната функција.

Теорема 3.12. Ако a > 1, тогаш функцијата f(x) = a x се зголемува за R. Ако a (0, 1) тогаш функцијата f(x) = a x се намалува за R.

Да го докажеме првиот дел од изјавата.

Ги поправаме произволните броеви x1 , x2 R така што x1< x2 . По принципу Архимеда существуют рациональные числа r1 , r2 такие, что x1 < r1 < r2 < x2 . Пусть {rn 0 }, {rn 00 } - последовательности рациональных чисел, сходящиеся соответственно к x1 и x2 , причем

rn 0< r1 < r2 < rn 00 , n N.

Според својството 2 на експоненцијалната функција дефинирана на множеството Q од рационални броеви,

арн 0< ar 1 < ar 2 < ar n 00 , n N.

Поминувајќи до границата како n → ∞ во екстремни неравенки и земајќи ја предвид Дефиницијата 3.5.1, добиваме

секира 1 ≤ ar 1< ar 2 ≤ ax 2 .

x1, x2 R: x1< x2 ax 1 < ax 2 ,

што докажува дека функцијата f(x) = ax се зголемува на множеството R ако a > 1.

Случајот a (0, 1) се третира слично.

Теорема 3.13. Експоненцијалната функција f(x) = a x на R зема само позитивни вредности.

За да бидеме конкретни, разгледајте експоненцијална функција со основа a > 1.

Нека x0 е произволен реален број. Според принципот на Архимед, постои цел број n0 таков што n0 ≤ x0< n0 + 1. В силу возрастания функции f(x) = ax , имеем:

секира 0 ≤ 0

Но, според својството 1 на експоненцијалната функција дефинирана на множеството Q од рационални броеви, 0 > 0. Затоа, секира 0 > 0.

Теорема 3.14. Експоненцијалната функција f(x) = a x е континуирана на множеството R од реални броеви.

Функцијата f е монотона на множеството R, затоа има конечни еднострани граници во точката x = 0.

lim a1/n = lim a−1/n = 1,
тогаш f(+0) = f(−0) = 1. Според тоа, постои граница
lim f(x) = 1 = a0,
што значи континуитет на функцијата f во точката x = 0.
Сега поправаме произволна точка x0 6= 0 и произволен број
ε > 0. Забележете дека
|f(x) − f(x0 )| = |секира − секира 0 | = секира 0 |акс−x 0 − 1|.
Бидејќи функцијата f е континуирана во точката x = 0, тогаш
δ = δ(ε) > 0: x R, |x − x0 |< δ |ax
				секира 0
Затоа x R: |x − x0 |< δ |ax − ax 0 | < ax 0 ·			= ε, што докажува
		секира 0

континуитет на функцијата f во произволна точка x0 R.

Теорема 3.15. Ако f(x) = ax , тогаш f(R) = (0, +∞).

Но, како што знаеме, lim an = +					a−n = 0. Според тоа, по теорема
Хајне на граница на функција
лим секира = +					секира = 0.

Со Забелешка 2 до теорема 3.9 f(−∞, +∞) = (0, +∞).

Според теорема 3.11 за континуитет инверзна функцијадо монотона на интервалот, експоненцијалната функција f(x) = ax има инверзна f−1 : (0, +∞) → R, која е континуирана, се зголемува ако a > 1, а се намалува ако a (0, 1) . Се нарекува логаритамска со основа a (a > 0, a 6= 1) и се означува лога : (0, +∞) → R. Ако a = e, логаритамот се нарекува природен и се означува со симболот ln.

Дефиниција 3.5.3. Нека α е некој реален број различен од нула. Функцијата што доделува x α на секој позитивен x се нарекува функција на моќност, а α е нејзиниот експонент.