Час „Експонент со рационален експонент.

Моќ со рационален експонент

Касијанова Т.Г.,

наставник по математика

Презентираниот материјал ќе биде корисен за наставниците по математика при изучување на темата „Експонент со рационален експонент“.

Целта на презентираниот материјал: да се открие моето искуство за спроведување на час на тема „Степен со рационален експонент“ од работната програма на дисциплината „Математика“.

Методологијата за спроведување на лекцијата одговара на нејзиниот тип - лекција за проучување и првично консолидирање на нови знаења. Основните знаења и вештини беа ажурирани врз основа на претходно стекнато искуство; примарно меморирање, консолидација и примена на нови информации. Консолидација и примена на нов материјал се одвиваше во форма на решавање проблеми што ги тестирав со различна сложеност, давајќи позитивен резултат во совладувањето на темата.

На почетокот на часот на учениците им ги поставив следните цели: образовни, развојни, образовни. Во текот на часот користев различни методи на активност: фронтален, индивидуален, пар, независен, тест. Задачите беа диференцирани и овозможија да се идентификува, во секоја фаза од часот, степенот на стекнување знаење. Обемот и сложеноста на задачите одговараат на возрасните карактеристики на учениците. Од моето искуство, домашните задачи, слични на проблемите решени во училницата, ви овозможуваат сигурно да ги консолидирате стекнатите знаења и вештини. На крајот од часот се реализираше размислување и се оценуваше работата на поединечни ученици.

Целите беа постигнати. Студентите го проучуваа концептот и својствата на степенот со рационален експонент и научија да ги користат овие својства при решавање на практични проблеми. За самостојна работа, оценките се објавуваат на следниот час.

Верувам дека методологијата што ја користам за настава по математика може да ја користат и наставниците по математика.

Тема на часот: Моќ со рационален експонент

Целта на лекцијата:

Идентификување на степенот на совладување на студентите со комплекс на знаења и вештини и врз основа на тоа, примена на одредени решенија за подобрување на образовниот процес.

Цели на лекцијата:

Образовни:да формира нови знаења кај студентите за основните поими, правила, закони за определување степени со рационален показател, способност за самостојно примена на знаењата во стандардни услови, во изменети и нестандардни услови;

развивање:размислуваат логично и реализираат креативни способности;

подигање:развијте интерес за математиката, надополнете го вашиот вокабулар со нови поими и добијте дополнителни информации за светот околу вас. Негувајте трпение, упорност и способност да ги надминете тешкотиите.

Време на организирање

Ажурирање на референтното знаење

Кога се множат силите со исти основи, експонентите се собираат, но основата останува иста:

На пример,

2. При делење на степени со исти основи, експонентите на степените се одземаат, но основата останува иста:

На пример,

3. При подигање на степен до моќ, експонентите се множат, но основата останува иста:

На пример,

4. Степенот на производот е еднаков на производот од степените на факторите:

На пример,

5. Степенот на количникот е еднаков на количникот на степените на дивидендата и делителот:

На пример,

Вежби со решенија

Најдете го значењето на изразот:

Решение:

Во овој случај, ниту едно од својствата на степенот со природен експонент не може да се примени експлицитно, бидејќи сите степени имаат различни основи. Ајде да напишеме некои моќи во друга форма:

(степенот на производот е еднаков на производот од степените на факторите);

(кога се множат силите со исти основи, експонентите се собираат, но основата останува иста; при подигање на степен до моќ, експонентите се множат, но основата останува иста).

Тогаш добиваме:

Во овој пример, беа користени првите четири својства на степен со природен експонент.

Аритметички квадратен корен
е ненегативен број чиј квадрат е еднаков наа,
. На
- изразување
не е дефинирано, бидејќи не постои реален број чиј квадрат е еднаков на негативен броја.

Математички диктат(8-10 мин.)

Опција

II. Опција

1.Најдете ја вредноста на изразот

А)

б)

1.Најдете ја вредноста на изразот

А)

б)

2.Пресметај

А)

б)

ВО)

2.Пресметај

А)

б)

Самотестирање(на таблата со ревер):

Матрица за одговор:

№ опција/задача

Проблем 1

Проблем 2

Опција 1

а) 2

б) 2

а) 0,5

б)

Опција 2

а) 1.5

б)

А)

б)

во 4

II Формирање на нови знаења

Ајде да размислиме какво значење има изразот, каде - позитивен број– дробен број и m-цел број, n-природен (n›1)

Дефиниција: моќност на a›0 со рационален експонентр = , м- цела, n-природно ( n›1) се повикува бројот.

Значи:

На пример:

Белешки:

1. За секој позитивен a и секој рационален r број позитивно.

2. Кога
рационална моќ на бројане е определено.

Изрази како
нема смисла.

3.Ако фракционо позитивен број е
.

Ако фракционо тогаш негативен број -нема смисла.

На пример: - нема смисла.

Да ги разгледаме својствата на степенот со рационален експонент.

Нека a >0, b>0; r, s - кои било рационални броеви. Тогаш степенот со кој било рационален експонент ги има следните својства:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Консолидација. Формирање на нови вештини и способности.

Картичките со задачи работат во мали групи во форма на тест.

Во оваа статија ќе дознаеме што е тоа степен на. Овде ќе дадеме дефиниции за моќноста на бројот, додека детално ќе ги разгледаме сите можни експоненти, почнувајќи од природниот експонент, а завршувајќи со ирационалниот. Во материјалот ќе најдете многу примери на степени, кои ги покриваат сите суптилности што се појавуваат.

Навигација на страница.

Моќ со природен експонент, квадрат на број, коцка од број

Да почнеме со. Гледајќи напред, да речеме дека дефиницијата за моќта на број a со природен експонент n е дадена за a, што ќе го наречеме основа на степен, и n, кои ќе ги наречеме експонент. Исто така, забележуваме дека степенот со природен експонент се одредува преку производ, така што за да го разберете материјалот подолу, треба да имате разбирање за множење на броеви.

Дефиниција.

Моќност на број со природен експонент nе израз на формата a n, чија вредност е еднаква на производот од n фактори, од кои секој е еднаков на a, односно .
Конкретно, моќноста на бројот a со експонент 1 е самиот број a, односно a 1 =a.

Вреди да се спомене веднаш за правилата за читање степени. Универзалниот начин за читање на ознаката a n е: „а до силата на n“. Во некои случаи, следните опции се исто така прифатливи: „а до n-та сила“ и „n-та сила од а“. На пример, да ја земеме моќноста 8 12, ова е „осум на сила од дванаесет“, или „осум до дванаесетта сила“ или „дванаесетта сила од осум“.

Втората сила на бројот, како и третата сила на бројот, имаат свои имиња. Се нарекува втората моќност на бројот квадрат на бројот, на пример, 7 2 се чита како „седум квадрат“ или „квадрат на бројот седум“. Третата сила на бројот се нарекува коцкани броеви, на пример, 5 3 може да се чита како „пет коцки“ или може да се каже „коцка од бројот 5“.

Време е да се донесе примери на степени со природни експоненти. Да почнеме со степенот 5 7, овде 5 е основата на степенот, а 7 е експонент. Да дадеме уште еден пример: 4,32 е основата, а природниот број 9 е експонентот (4,32) 9 .

Ве молиме имајте предвид дека во последниот пример, основата на моќта 4.32 е напишана во загради: за да избегнеме несовпаѓања, ќе ги ставиме во загради сите основи на моќта што се различни од природните броеви. Како пример, ги даваме следните степени со природни експоненти , нивните основи не се природни броеви, па затоа се пишуваат во загради. Па, за целосна јасност, во овој момент ќе ја прикажеме разликата содржана во записите од формата (−2) 3 и −2 3. Изразот (−2) 3 е моќност од −2 со природен експонент 3, а изразот −2 3 (може да се напише како −(2 3) ) одговара на бројот, вредноста на моќта 2 3 .

Забележете дека постои ознака за моќта на бројот a со експонент n од формата a^n. Освен тоа, ако n е природен број со повеќе вредности, тогаш експонентот се зема во загради. На пример, 4^9 е уште една нотација за моќта на 4 9 . И еве уште неколку примери за пишување степени користејќи го симболот „^“: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Во продолжение, првенствено ќе користиме означување на степенот на формата a n.

Еден од проблемите обратно за подигање до моќ со природен експонент е проблемот со наоѓање на основата на моќноста од позната вредност на моќноста и познат експонент. Оваа задача води до.

Познато е дека множеството рационални броеви се состои од цели броеви и дропки, а секоја дропка може да се претстави како позитивна или негативна обична дропка. Дефиниравме степен со цел број експонент во претходниот пасус, затоа, за да ја комплетираме дефиницијата за степен со рационален експонент, треба да му дадеме значење на степенот на бројот a со дробен експонент m/n, каде што m е цел број, а n е природен број. Ајде да го направиме тоа.

Да разгледаме степен со фракционен експонент на формата . За имотот моќ-на-моќ да остане валиден, еднаквоста мора да важи . Ако ја земеме предвид добиената еднаквост и како го определивме , тогаш логично е да се прифати под услов за дадени m, n и a изразот да има смисла.

Лесно е да се провери дали се валидни сите својства на степен со цел број експонент (ова е направено во делот својства на степен со рационален експонент).

Горенаведеното размислување ни овозможува да го направиме следново заклучок: ако се дадени m, n и a изразот има смисла, тогаш моќта на a со фракционо експонент m/n се нарекува n-ти корен на a со моќ од m.

Оваа изјава нè приближува до дефиницијата за степен со фракционен експонент. Останува само да се опише во што m, n и a изразот има смисла. Во зависност од ограничувањата поставени на m, n и a, постојат два главни пристапи.

Најлесен начин е да се наметне ограничување на a со земање a≥0 за позитивно m и a>0 за негативно m (бидејќи за m≤0 степенот 0 од m не е дефиниран). Потоа ја добиваме следната дефиниција за степен со фракционо експонент.

Дефиниција.

Моќност на позитивен број a со дробен експонент m/n, каде што m е цел број, а n е природен број, се нарекува n-ти корен од бројот a до моќта m, односно .

Дробната моќност на нула се одредува и со единственото предупредување дека индикаторот мора да биде позитивен.

Дефиниција.

Моќност на нула со фракционо позитивен експонент m/n, каде што m е позитивен цел број, а n е природен број, се дефинира како .
Кога степенот не е одреден, односно степенот на бројот нула со фракционо негативен експонент нема смисла.

Треба да се забележи дека со оваа дефиниција за степен со фракционо експонент, постои едно предупредување: за некои негативни a и некои m и n, изразот има смисла, а овие случаи ги отфрливме со воведување на условот a≥0. На пример, записите имаат смисла или , а дефиницијата дадена погоре нè принудува да кажеме дека силите со фракционо експонент на формата немаат смисла, бидејќи основата не треба да биде негативна.

Друг пристап за одредување степен со фракционо експонент m/n е одделно да се разгледаат парните и непарните експоненти на коренот. Овој пристап бара дополнителен услов: моќноста на бројот a, чијшто показател е , се смета за моќност на бројот a, чијшто експонент е соодветната нередуцирана дропка (подолу ќе ја објасниме важноста на овој услов ). Односно, ако m/n е несводлива дропка, тогаш за кој било природен број k степенот прво се заменува со .

За парен n и позитивен m, изразот има смисла за секој ненегативен a (парен корен на негативен број нема смисла за негативен m, бројот a сепак мора да биде различен од нула (во спротивно ќе има поделба). со нула). И за непарни n и позитивни m, бројот a може да биде кој било (коренот на непарниот степен е дефиниран за секој реален број), а за негативен m, бројот a мора да биде ненула (така да нема делење со нула).

Горенаведеното расудување нè води до оваа дефиниција за степен со фракционен експонент.

Дефиниција.

Нека m/n е нередуцирана дропка, m цел број, а n природен број. За која било редуцирана дропка, степенот се заменува со . Моќта на број со нередуциран дробен експонент m/n е за

Дозволете ни да објасниме зошто степенот со редуциран фракционо експонент прво се заменува со степен со нередуциран експонент. Ако едноставно го дефиниравме степенот како , и не направивме резерва за несведливоста на дропката m/n, тогаш ќе се соочиме со ситуации слични на следната: бидејќи 6/10 = 3/5, тогаш еднаквоста мора да важи , Но , А.

Видео лекцијата „Експонент со рационален експонент“ содржи визуелен едукативен материјал за одржување на час на оваа тема. Видео лекцијата содржи информации за концептот на степен со рационален експонент, својства на такви степени, како и примери кои ја опишуваат употребата на едукативен материјал за решавање на практични проблеми. Целта на овој видео-час е јасно и јасно да се претстави едукативниот материјал, да се олесни неговиот развој и меморирање од страна на учениците и да се развие способноста за решавање проблеми користејќи ги научените концепти.

Главните предности на видео лекцијата се способноста за визуелно извршување на трансформации и пресметки, можноста за користење ефекти на анимација за подобрување на ефикасноста на учењето. Гласовната придружба помага да се развие правилен математички говор, а исто така овозможува да се замени објаснувањето на наставникот, ослободувајќи го да изврши индивидуална работа.

Видео лекцијата започнува со воведување на темата. При поврзување на студијата на нова тема со претходно изучен материјал, се предлага да се запамети дека n √a инаку се означува со 1/n за природно n и позитивно a. Оваа n-root репрезентација се прикажува на екранот. Следно, предлагаме да разгледаме што значи изразот a m/n, во кој a е позитивен број, а m/n е дропка. Дадена е дефиниција за степен со рационален експонент како m/n = n √a m, означено во рамката. Забележано е дека n може да биде природен број, а m може да биде цел број.

По дефинирањето на степенот со рационален експонент, неговото значење се открива преку примери: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Исто така, покажува пример во кој моќта претставена со децимала се претвора во дропка која треба да се претстави како корен: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 и пример со негативна моќност: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Особеноста на посебниот случај кога основата на степенот е нула е означена посебно. Забележано е дека овој степен има смисла само со позитивен фракционо експонент. Во овој случај, неговата вредност е нула: 0 m/n =0.

Забележана е уште една карактеристика на степенот со рационален експонент - дека степенот со дробен експонент не може да се смета со фракционен експонент. Дадени се примери за погрешно означување на степени: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Следно, во видео лекцијата разговараме за својствата на степенот со рационален експонент. Забележано е дека својствата на степен со цел број експонент ќе важат и за степен со рационален експонент. Се предлага да се потсетиме на списокот на својства кои исто така важат во овој случај:

Кога се множат силите со исти основи, нивните експоненти се собираат: a p a q =a p+q.
Поделбата на степени со исти основи се сведува на степен со дадена основа и разликата во експонентите: a p:a q =a p-q.
Ако го подигнеме степенот до одредена моќност, тогаш завршуваме со степен со дадена основа и производ од експоненти: (a p) q =a pq.

Сите овие својства важат за моќи со рационални експоненти p, q и позитивна основа a>0. Исто така, трансформациите на степени при отворање на загради остануваат точни:

(ab) p =a p b p - подигање до одредена моќност со рационален експонент, производот од два броја се сведува на производ од броеви, од кои секој е подигнат до дадена моќност.
(a/b) p =a p /b p - подигањето на дропка на моќ со рационален показател се сведува на дропка чиј броител и именител се подигнат на дадена моќност.

Видео туторијалот дискутира за решавање примери кои ги користат разгледаните својства на моќите со рационален експонент. Првиот пример бара од вас да ја пронајдете вредноста на изразот што содржи променливи x во фракциона моќност: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). И покрај сложеноста на изразот, со користење на својствата на моќите може да се реши прилично едноставно. Решавањето на проблемот започнува со поедноставување на изразот, кој го користи правилото за подигање на моќност со рационален експонент на моќност, како и множење на моќи со иста основа. По замена на дадената вредност x=8 во поедноставен израз x 1/3 +48, лесно е да се добие вредноста - 50.

Во вториот пример, треба да намалите дропка чиј броител и именител содржат моќи со рационален експонент. Користејќи ги својствата на степенот, од разликата го извлекуваме факторот x 1/3, кој потоа се намалува во броителот и именителот, а со помош на формулата за разликата на квадратите, броителот се факторизира, што дава дополнителни намалувања на идентични фактори во броителот и именителот. Резултатот од таквите трансформации е кратката дропка x 1/4 +3.

Видео лекцијата „Експонент со рационален експонент“ може да се користи наместо наставникот да објаснува нова тема на часот. Овој прирачник содржи и доволно целосни информации за студентот самостојно да учи. Материјалот може да биде корисен и за учење на далечина.

Од целобројни експоненти на бројот a, се сугерира преминот кон рационални експоненти. Подолу ќе дефинираме степен со рационален експонент и тоа ќе го направиме на таков начин што ќе се зачуваат сите својства на степен со цел број експонент. Ова е неопходно бидејќи цели броеви се дел од рационалните броеви.

Познато е дека множеството рационални броеви се состои од цели броеви и дропки, а секоја дропка може да се претстави како позитивна или негативна обична дропка. Дефиниравме степен со цел број експонент во претходниот став, затоа, за да ја комплетираме дефиницијата за степен со рационален експонент, треба да му дадеме значење на степенот на бројот асо фракционо индикатор m/n, Каде ме цел број, и n- природно. Ајде да го направиме тоа.

Да разгледаме степен со фракционен експонент на формата . За имотот моќ-на-моќ да остане валиден, еднаквоста мора да важи . Ако ја земеме предвид добиената еднаквост и како го определивме n-тиот корен на степенот, тогаш логично е да се прифати, под услов со оглед на даденото м, nИ аизразот има смисла.

Горенаведеното размислување ни овозможува да го направиме следново заклучок: ако се дадени податоци м, nИ аизразот има смисла, потоа моќта на бројот асо фракционо индикатор m/nнаречен корен nти степен на адо одреден степен м.

Оваа изјава нè приближува до дефиницијата за степен со фракционен експонент. Останува само да се опише што м, nИ аизразот има смисла. Во зависност од наметнатите ограничувања на м, nИ аПостојат два главни пристапи.

1. Најлесен начин е да се наметне ограничување на а, откако прифати a≥0за позитивно мИ a>0за негативно м(од кога m≤0степен 0 mне е определено). Потоа ја добиваме следната дефиниција за степен со фракционо експонент.

Дефиниција.

Моќ на позитивен број асо фракционо индикатор m/n , Каде м- целина и n– природен број, наречен корен n-ти од бројот адо одреден степен м, тоа е, .

Дефиниција.

Моќта на нула со фракционо позитивен експонент m/n , Каде ме позитивен цел број, и n– природен број, дефиниран како .
Кога степенот не е одреден, односно степенот на бројот нула со фракционо негативен експонент нема смисла.

Треба да се забележи дека со оваа дефиниција за степен со фракционен експонент, постои едно предупредување: за некои негативни аи некои мИ nизразот има смисла, но ние ги отфрливме овие случаи со воведување на условот a≥0. На пример, записите имаат смисла или , а дефиницијата дадена погоре нè принудува да кажеме дека силите со фракционо експонент на формата немаат смисла, бидејќи основата не треба да биде негативна.

2. Друг пристап за одредување на степенот со фракционен експонент m/nсе состои во одделно разгледување парни и непарни експоненти на коренот. Овој пристап бара дополнителен услов: моќноста на бројот а, чиј експонент е редуцирана обична дропка, се смета за моќност на бројот а, чиј индикатор е соодветната нередуцирана дропка (важноста на оваа состојба ќе биде објаснета подолу). Тоа е, ако m/nе несводлива дропка, тогаш за кој било природен број кстепенот прелиминарно се заменува со .

За дури nи позитивни мизразот има смисла за секое ненегативно а(парен корен од негативен број нема значење), за негативен мброј асепак мора да се разликува од нула (во спротивно ќе има поделба со нула). И за чудно nи позитивни мброј аможе да биде било кој (непарен корен е дефиниран за секој реален број), а за негативен мброј амора да биде не-нула (за да нема поделба со нула).

Горенаведеното расудување нè води до оваа дефиниција за степен со фракционен експонент.

Дефиниција.

Нека m/n– несводлива дропка, м- целина и n- природен број. За која било редуцирана дропка, степенот се заменува со . Степен на асо нередуциран дробен експонент m/n- тоа е за

o кој било реален број а, целосно позитивно ми чудно природно n, На пример, ;

o кој било реален број што не е нула а, негативен цел број ми чудно n, На пример, ;

o кој било ненегативен број а, целосно позитивно ми дури n, На пример, ;

o секое позитивно а, негативен цел број ми дури n, На пример, ;

o во други случаи, степенот со фракционо индикатор не е одреден, како на пример степените не се дефинирани .а не му придаваме никакво значење на записот ја дефинираме моќноста на бројот нула за позитивните дробни експоненти m/nКако , за негативни фракциони експоненти моќта на бројот нула не е одредена.

Како заклучок на оваа точка, да привлечеме внимание на фактот дека фракциониот експонент може да се напише како децимална дропка или мешан број, на пример, . За да ги пресметате вредностите на изразите од овој тип, треба да го напишете експонентот во форма на обична дропка, а потоа да ја користите дефиницијата на експонентот со фракционо експонент. За горенаведените примери имаме И

Прво ниво

Степен и неговите својства. Сеопфатен водич (2019)

Зошто се потребни дипломи? Каде ќе ви требаат? Зошто треба да одвоите време да ги проучувате?

За да дознаете сè за дипломите, за што се потребни и како да го користите вашето знаење во секојдневниот живот, прочитајте ја оваа статија.

И, се разбира, познавањето на дипломите ќе ве приближи до успешно полагање на Единствениот државен испит или унифициран државен испит и до влезот на универзитетот од вашите соништа.

Ајде да одиме... (Ајде да одиме!)

Важна забелешка! Ако видите gobbledygook наместо формули, исчистете го кешот. За да го направите ова, притиснете CTRL + F5 (на Windows) или Cmd + R (на Mac).

ПРВО НИВО

Експоненцијата е математичка операција исто како собирање, одземање, множење или делење.

Сега ќе објаснам сè на човечки јазик користејќи многу едноставни примери. Внимавај. Примерите се елементарни, но објаснуваат важни работи.

Да почнеме со додавање.

Тука нема што да се објаснува. Веќе знаете сè: ние сме осуммина. Секој има две шишиња кола. Колку кола има? Така е - 16 шишиња.

Сега множење.

Истиот пример со кола може да се напише поинаку: . Математичарите се лукави и мрзливи луѓе. Тие прво забележуваат некои шаблони, а потоа смислуваат начин да ги „набројат“ побрзо. Во нашиот случај, забележаа дека секој од осумте луѓе има ист број шишиња кола и смислија техника наречена множење. Се согласувам, се смета дека е полесно и побрзо отколку.

Значи, за да броите побрзо, полесно и без грешки, само треба да запомните табела за множење. Секако, сè можете побавно, потешко и со грешки! Но…

Еве ја табелата за множење. Повторете.

И уште една поубава:

Кои други паметни трикови за броење смислиле мрзливите математичари? Десно - подигање на број на моќ.

Подигнување на број на моќ

Ако треба да помножите број сам по себе пет пати, тогаш математичарите велат дека треба да го подигнете тој број на петти степен. На пример,. Математичарите паметат дека два до петта сила е ... И тие ги решаваат таквите проблеми во нивните глави - побрзо, полесно и без грешки.

Сè што треба да направите е запомнете што е означено во боја во табелата со моќности на броеви. Верувај ми, ова ќе ти го олесни животот многу.

Патем, зошто се вика втор степен? квадратбројки, а третиот - коцка? Што значи тоа? Многу добро прашање. Сега ќе имате и квадрати и коцки.

Пример број 1 од реалниот живот

Да почнеме со квадратот или втората моќност на бројот.

Замислете квадрат базен со димензии еден метар на еден метар. Базенот е на вашата дача. Топло е и навистина сакам да пливам. Но... базенот нема дно! Треба да го покриете дното на базенот со плочки. Колку плочки ви требаат? За да го одредите ова, треба да ја знаете долната површина на базенот.

Можете едноставно да пресметате со покажување на прстот дека дното на базенот се состои од метар по метар коцки. Ако имате плочки еден метар по еден метар, ќе ви требаат парчиња. Лесно е... Ама каде сте виделе вакви плочки? Плочката најверојатно ќе биде цм по см, а потоа ќе ве измачуваат „броејќи со прст“. Потоа треба да се множите. Така, на едната страна од дното на базенот ќе поставиме плочки (парчиња), а од другата, исто така, плочки. Помножете се со и добивате плочки ().

Дали забележавте дека за да ја одредиме површината на дното на базенот го помноживме истиот број сам по себе? Што значи тоа? Бидејќи го множиме истиот број, можеме да ја користиме техниката „експоненција“. (Се разбира, кога имате само два броја, сепак треба да ги помножите или да ги подигнете на јачина. Но, ако имате многу од нив, тогаш нивното подигање на јачина е многу полесно и исто така има помалку грешки во пресметките За Единствениот државен испит, ова е многу важно).
Значи, триесет до втората моќ ќе биде (). Или можеме да кажеме дека ќе биде триесет квадрат. Со други зборови, вториот степен на број секогаш може да се претстави како квадрат. И обратно, ако видите квадрат, тој СЕКОГАШ е втор степен на некој број. Квадрат е слика на вториот степен на број.

Пример број 2 од реалниот живот

Еве една задача за вас: избројте колку квадрати има на шаховската табла користејќи го квадратот на бројот... На едната страна од ќелиите и на другата страна исто така. За да го пресметате нивниот број, треба да помножите осум со осум или... ако забележите дека шаховска табла е квадрат со страна, тогаш можете да квадратите осум. Ќе добиете клетки. () Значи?

Пример број 3 од реалниот живот

Сега коцката или третата сила на некој број. Истиот базен. Но, сега треба да откриете колку вода ќе треба да се истури во овој базен. Треба да ја пресметате јачината на звукот. (Волуменот и течностите, инаку, се мерат во кубни метри. Неочекувано, нели?) Нацртајте базен: дното е со големина од еден метар и длабок метар и обидете се да пресметате колку коцки со големина од метар на метар ќе се вклопуваат во вашиот базен.

Само покажете со прстот и избројте! Еден, два, три, четири...дваесет и два, дваесет и три...Колку добивте? Не е изгубено? Дали е тешко да се брои со прст? Па тоа! Земете пример од математичарите. Тие се мрзливи, па забележале дека за да се пресмета волуменот на базенот, треба да се помножат неговата должина, ширина и висина една со друга. Во нашиот случај, волуменот на базенот ќе биде еднаков на коцки... Полесно, нели?

Сега замислете колку се мрзливи и лукави математичарите ако го поедностават и ова. Сè сведовме на една акција. Забележале дека должината, ширината и висината се еднакви и дека истиот број се множи сам по себе... Што значи ова? Ова значи дека можете да ги искористите предностите на степенот. Значи, она што некогаш сте го избројале со прстот, тие го прават во една акција: три коцки се еднакви. Се пишува вака: .

Останува само запомнете ја табелата со степени. Освен, се разбира, ако не сте мрзливи и лукави како математичари. Ако сакате да работите напорно и да правите грешки, можете да продолжите да броите со прст.

Па, за конечно да ве убедам дека дипломите ги измислиле откажувачите и итрите за да си ги решат животните проблеми, а не да ви создаваат проблеми, еве уште неколку примери од животот.

Пример број 4 од реалниот живот

Имате милион рубли. На почетокот на секоја година, за секој милион што ќе го заработите, заработувате уште еден милион. Односно, на секој милион имате двојки на почетокот на секоја година. Колку пари ќе имате за години? Ако сега седите и „броите со прст“, тогаш сте многу трудољубива личност и... глупав. Но, најверојатно ќе дадете одговор за неколку секунди, бидејќи сте паметни! Значи, во првата година - два помножени со два... во втората година - што се случи, со уште две, во третата година... Стоп! Забележавте дека бројот се множи сам по себе пати. Значи два до петта сила е милион! Сега замислете дека имате натпревар и оној што може најбрзо да брои ќе ги добие овие милиони... Вреди да се потсетиме на моќта на бројките, не мислите?

Пример број 5 од реалниот живот

Имаш милион. На почетокот на секоја година, за секој милион што ќе го заработите, заработувате уште два. Одлично нели? Секој милион е тројно зголемен. Колку пари ќе имате за една година? Ајде да броиме. Првата година - помножете се со, потоа резултатот со друга... Веќе е досадно, бидејќи веќе сте разбрале сè: три се множат сами по себе пати. Значи на четвртата сила е еднаква на милион. Треба само да запомните дека три до четврта моќ е или.

Сега знаете дека со подигање број на моќ ќе си го олесните животот многу. Ајде дополнително да погледнеме што можете да направите со дипломите и што треба да знаете за нив.

Поими и поими... за да не се мешаме

Значи, прво, ајде да ги дефинираме концептите. Што мислиш, што е експонент? Тоа е многу едноставно - тоа е бројот што е „на врвот“ на моќта на бројот. Не научно, но јасно и лесно за паметење...

Па, во исто време, што таков степен основа? Уште поедноставно - ова е бројот што се наоѓа подолу, во основата.

Еве еден цртеж за добра мерка.

Па, генерално, за да се генерализира и подобро да се запамети... Степенот со основа „ ” и експонент „ ” се чита како „до степен“ и се пишува вака:

Моќност на број со природен експонент

Веројатно веќе погодивте: бидејќи експонентот е природен број. Да, но што е тоа природен број? Основно! Природни броеви се оние броеви што се користат при броењето при наведување на предмети: еден, два, три... Кога броиме предмети, не велиме: „минус пет“, „минус шест“, „минус седум“. Исто така, не велиме: „една третина“ или „нула точка пет“. Ова не се природни броеви. Кои бројки мислите дека се овие?

Се однесуваат на броеви како „минус пет“, „минус шест“, „минус седум“. цели броеви.Општо земено, цели броеви ги вклучуваат сите природни броеви, броеви спротивни на природните броеви (односно земени со знак минус) и бројот. Нулата е лесно да се разбере - тоа е кога нема ништо. Што значат негативни („минус“) броеви? Но, тие беа измислени првенствено за да се наведат долгови: ако имате салдо на телефонот во рубли, тоа значи дека му должите на операторот рубли.

Сите дропки се рационални броеви. Како се појавија, мислиш? Многу едноставно. Пред неколку илјади години, нашите предци открија дека им недостасуваат природни броеви за мерење на должина, тежина, површина итн. И тие дојдоа до рационални броеви... Интересно, нели?

Има и ирационални броеви. Кои се овие бројки? Накратко, тоа е бесконечна децимална дропка. На пример, ако го поделите обемот на кругот со неговиот дијаметар, ќе добиете ирационален број.

Резиме:

Дозволете ни да го дефинираме концептот на степен чиј експонент е природен број (т.е. цел број и позитивен).

Секој број до првата моќност е еднаков на самиот себе:
Да се квадрира број значи да се помножи сам со себе:
Да се коцка број значи да се помножи со себе три пати:

Дефиниција.Подигнувањето на број до природна моќ значи множење на бројот сам по себе:
.

Својства на степени

Од каде потекнуваат овие имоти? Сега ќе ти покажам.

Ајде да видиме: што е тоа И ?

А-приоритет:

Колку множители има вкупно?

Многу е едноставно: додадовме множители на факторите, а резултатот е множители.

Но, по дефиниција, ова е моќ на број со експонент, односно: , што требаше да се докаже.

Пример: Поедноставете го изразот.

Решение:

Пример:Поедноставете го изразот.

Решение:Важно е да се напомене дека во нашето владеење Задолжителномора да има исти причини!
Затоа, ги комбинираме моќите со основата, но таа останува посебен фактор:

само за производ на моќите!

Во никој случај не можете да го напишете тоа.

2. тоа е тоа та моќ на број

Исто како и со претходното својство, да се свртиме кон дефиницијата за степен:

Излегува дека изразот се множи сам по себе пати, односно, според дефиницијата, ова е та сила на бројот:

Во суштина, ова може да се нарече „вадење на индикаторот од загради“. Но, никогаш не можете да го направите ова во целост:

Да се потсетиме на скратените формули за множење: колку пати сакавме да пишуваме?

Но, сепак, ова не е вистина.

Моќ со негативна основа

До овој момент разговаравме само каков треба да биде експонентот.

Но, што треба да биде основата?

Во овластувањата на природен индикаторосновата може да биде кој било број. Навистина, можеме да ги помножиме сите броеви еден со друг, без разлика дали се позитивни, негативни или парни.

Ајде да размислиме кои знаци ("" или "") ќе имаат моќ на позитивни и негативни броеви?

На пример, дали бројот е позитивен или негативен? А? ? Со првиот, сè е јасно: без разлика колку позитивни броеви ќе помножиме еден со друг, резултатот ќе биде позитивен.

Но, негативните се малку поинтересни. Се сеќаваме на едноставното правило од 6-то одделение: „минус за минус дава плус“. Тоа е, или. Но, ако се помножиме со, тоа функционира.

Одредете сами каков знак ќе имаат следните изрази:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Дали се снајде?

Еве ги одговорите: Во првите четири примери, се надевам дека сè е јасно? Едноставно ги гледаме основата и експонентот и го применуваме соодветното правило.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Па, освен кога основата е нула. Основата не е еднаква, нели? Очигледно не, бидејќи (бидејќи).

Пример 6) веќе не е толку едноставен!

6 примери за вежбање

Анализа на решението 6 примери

Ако ја игнорираме осмата сила, што гледаме овде? Да се потсетиме на програмата за 7-мо одделение. Па, се сеќаваш ли? Ова е формулата за скратено множење, имено разликата на квадратите! Добиваме:

Но, како да се направи тоа? Излегува дека е многу лесно: парниот степен на именителот ни помага овде.

Магично термините ги сменија местата. Овој „феномен“ се однесува на кој било израз до рамномерен степен: лесно можеме да ги смениме знаците во загради.

Но, важно е да се запамети: сите знаци се менуваат во исто време!

Да се вратиме на примерот:

И повторно формулата:

Целиги нарекуваме природните броеви, нивните спротивности (односно земени со знакот „“) и бројот.

позитивен цел број, и не се разликува од природното, тогаш сè изгледа токму како во претходниот дел.

Сега да ги погледнеме новите случаи. Да почнеме со индикатор еднаков на.

Секој број со нулта моќност е еднаков на еден:

Како и секогаш, да се запрашаме: зошто е тоа така?

Ајде да разгледаме одреден степен со основа. Земете, на пример, и множете се со:

Значи, го помноживме бројот со, и го добивме истото како што беше - . Со кој број треба да се помножи за ништо да не се промени? Така е, на. Средства.

Можеме да го сториме истото со произволен број:

Да го повториме правилото:

Секој број со нулта моќност е еднаков на еден.

Но, постојат исклучоци од многу правила. И тука е исто така - ова е број (како основа).

Од една страна, мора да биде еднаков на кој било степен - колку и да помножите нула само по себе, сепак ќе добиете нула, ова е јасно. Но, од друга страна, како и секој број со нулта моќност, тој мора да биде еднаков. Значи, колку од ова е вистина? Математичарите решија да не се мешаат и одбија да ја подигнат нулата на нулта моќност. Тоа е, сега не само што не можеме да делиме со нула, туку и да ја подигнеме на нулта моќност.

Ајде да продолжиме. Покрај природните броеви и броеви, цели броеви вклучуваат и негативни броеви. За да разбереме што е негативна моќност, ајде да сториме како минатиот пат: помножете некој нормален број со истиот број до негативна моќност:

Оттука е лесно да се изрази она што го барате:

Сега да го прошириме добиеното правило до произволен степен:

Значи, ајде да формулираме правило:

Број со негативна моќност е реципроцитет на истиот број со позитивна моќност. Но во исто време Основата не може да биде нула:(бидејќи не можете да делите со).

Да резимираме:

I. Изразот не е дефиниран во случајот. Ако тогаш.

II. Секој број со нулта моќност е еднаков на еден: .

III. Број кој не е еднаков на нула на негативна моќност е инверзна на истиот број на позитивна моќност: .

Задачи за независно решение:

Па, како и обично, примери за независни решенија:

Анализа на проблеми за независно решение:

Знам, знам, бројките се страшни, но на обединет државен испит треба да бидете подготвени на се! Решете ги овие примери или анализирајте ги нивните решенија ако не сте можеле да ги решите и ќе научите лесно да се справувате со нив на испитот!

Ајде да продолжиме да го шириме опсегот на броеви „погодни“ како експонент.

Сега да размислиме рационални броеви.Кои броеви се нарекуваат рационални?

Одговор: се што може да се претстави како дропка, каде и се цели броеви, и.

Да се разбере што е тоа "фракционо степен", разгледајте ја дропката:

Ајде да ги подигнеме двете страни на равенката на моќност:

Сега да се потсетиме на правилото за "степен до степен":

Која бројка мора да се подигне на моќ за да се добие?

Оваа формулација е дефиниција за коренот на тиот степен.

Дозволете ми да ве потсетам: коренот на та сила на број () е број што, кога ќе се подигне на моќ, е еднаков на.

Односно, коренот на та моќ е инверзната операција на подигање до моќност: .

Излегува дека. Очигледно, овој посебен случај може да се прошири: .

Сега го додаваме броителот: што е тоа? Одговорот е лесно да се добие користејќи го правилото моќ-на-моќ:

Но, дали основата може да биде кој било број? На крајот на краиштата, коренот не може да се извлече од сите броеви.

Никој!

Да се потсетиме на правилото: секој број подигнат до парен број е позитивен број. Тоа е, невозможно е да се извлечат дури и корени од негативни броеви!

Тоа значи дека таквите броеви не можат да се подигнат на фракциона сила со парен именител, односно изразот нема смисла.

Што е со изразот?

Но, тука се појавува проблем.

Бројот може да се претстави во форма на други, скратливи фракции, на пример, или.

И излегува дека постои, но не постои, но ова се само два различни записи со ист број.

Или друг пример: еднаш, тогаш можете да го запишете. Но, ако го запишеме индикаторот поинаку, повторно ќе влеземе во неволја: (односно, добивме сосема поинаков резултат!).

За да избегнеме такви парадокси, размислуваме само позитивен базен експонент со дробен експонент.

Па ако:

- природен број;
- цел број;

Примери:

Рационалните експоненти се многу корисни за трансформација на изрази со корени, на пример:

5 примери за вежбање

Анализа на 5 примери за обука

Па, сега доаѓа најтешкиот дел. Сега ќе го сфатиме степен со ирационален експонент.

Сите правила и својства на степените овде се сосема исти како за степен со рационален експонент, со исклучок

На крајот на краиштата, по дефиниција, ирационалните броеви се броеви кои не можат да се претстават како дропка, каде што и се цели броеви (односно, ирационалните броеви се сите реални броеви освен рационалните).

Кога студиравме степени со природни, целобројни и рационални експоненти, секој пат кога создававме одредена „слика“, „аналогија“ или опис со попознати термини.

На пример, степен со природен експонент е број помножен со себе неколку пати;

...број до нултата моќност- ова е, како што беше, број помножен сам по себе еднаш, односно тие сè уште не почнале да го множат, што значи дека самиот број сè уште не се ни појавил - затоа резултатот е само одреден „празен број“ , имено број;

...негативен цел број- како да се случил некој „обратен процес“, односно бројот не се множел сам по себе, туку се делел.

Патем, во науката често се користи степен со сложен експонент, односно експонентот не е ни реален број.

Но, на училиште не размислуваме за такви тешкотии, ќе имате можност да ги разберете овие нови концепти во институтот.

КАДЕ СМЕ СИГУРНИ ДЕКА ЌЕ ОДИШ! (ако научиш да решаваш вакви примери :))

На пример:

Одлучете сами:

Анализа на решенија:

1. Да почнеме со вообичаеното правило за подигање на моќ на моќ:

Сега погледнете го индикаторот. Не те потсетува на ништо? Да се потсетиме на формулата за скратено множење на разликата на квадратите:

Во овој случај,

Излегува дека:

Одговор: .

2. Дропките во експоненти ги намалуваме на иста форма: или двете децимали или обичните. Добиваме, на пример:

Одговор: 16

3. Ништо посебно, ги користиме вообичаените својства на степените:

НАПРЕДНО НИВО

Одредување на степен

Степенот е израз на формата: , каде што:

— степен база;
- експонент.

Степен со природен индикатор (n = 1, 2, 3,...)

Подигнувањето на број до природната моќност n значи множење на бројот сам по себе пати:

Степен со цел број експонент (0, ±1, ±2,...)

Ако експонентот е позитивен цел бројброј:

Градба до нулта степен:

Изразот е неопределен, затоа што, од една страна, до кој било степен е ова, а од друга страна, кој било број до ти степен е ова.

Ако експонентот е негативен цел бројброј:

(бидејќи не можете да делите со).

Уште еднаш за нули: изразот не е дефиниран во случајот. Ако тогаш.

Примери:

Моќ со рационален експонент

- природен број;
- цел број;

Примери:

Својства на степени

За да го олесниме решавањето на проблемите, ајде да се обидеме да разбереме: од каде потекнуваат овие својства? Да ги докажеме.

Ајде да видиме: што е и?

А-приоритет:

Значи, на десната страна на овој израз го добиваме следниот производ:

Но по дефиниција тоа е моќ на број со експонент, односно:

Q.E.D.

Пример : Поедноставете го изразот.

Решение : .

Пример : Поедноставете го изразот.

Решение : Важно е да се напомене дека во нашето владеење Задолжителномора да има исти причини. Затоа, ги комбинираме моќите со основата, но таа останува посебен фактор:

Друга важна забелешка: ова правило - само за производ на моќи!

Во никој случај не можете да го напишете тоа.

Исто како и со претходното својство, да се свртиме кон дефиницијата за степен:

Ајде да ја прегрупираме оваа работа вака:

Излегува дека изразот се множи сам по себе пати, односно, според дефиницијата, ова е та сила на бројот:

Во суштина, ова може да се нарече „вадење на индикаторот од загради“. Но, никогаш не можете да го направите ова вкупно: !

Да се потсетиме на скратените формули за множење: колку пати сакавме да пишуваме? Но, сепак, ова не е вистина.

Моќ со негативна основа.

До овој момент разговаравме само како треба да биде индексстепени. Но, што треба да биде основата? Во овластувањата на природно индикатор основата може да биде кој било број .

Навистина, можеме да ги помножиме сите броеви еден со друг, без разлика дали се позитивни, негативни или парни. Ајде да размислиме кои знаци ("" или "") ќе имаат моќ на позитивни и негативни броеви?

На пример, дали бројот е позитивен или негативен? А? ?

Со првиот, сè е јасно: без разлика колку позитивни броеви ќе помножиме еден со друг, резултатот ќе биде позитивен.

Но, негативните се малку поинтересни. Се сеќаваме на едноставното правило од 6-то одделение: „минус за минус дава плус“. Тоа е, или. Но, ако се помножиме со (), добиваме - .

И така натаму бесконечно: со секое следно множење знакот ќе се менува. Може да се формулираат следниве едноставни правила:

дуристепен, - број позитивен.
Негативниот број е зголемен на чудностепен, - број негативен.
Позитивен број до кој било степен е позитивен број.
Нула на која било моќност е еднаква на нула.

Одредете сами каков знак ќе имаат следните изрази:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Дали се снајде? Еве ги одговорите:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Во првите четири примери, се надевам дека сè е јасно? Едноставно ги гледаме основата и експонентот и го применуваме соодветното правило.

Во примерот 5) сè исто така не е толку страшно како што изгледа: на крајот на краиштата, не е важно на што е еднаква основата - степенот е рамномерен, што значи дека резултатот секогаш ќе биде позитивен. Па, освен кога основата е нула. Основата не е еднаква, нели? Очигледно не, бидејќи (бидејќи).

Пример 6) веќе не е толку едноставен. Овде треба да откриете што е помалку: или? Ако се сеќаваме на тоа, станува јасно дека, што значи дека основата е помала од нула. Тоа е, го применуваме правилото 2: резултатот ќе биде негативен.

И повторно ја користиме дефиницијата за степен:

Сè е како и обично - ја запишуваме дефиницијата за степени и ги делиме еден со друг, ги делиме во парови и добиваме:

Пред да го разгледаме последното правило, да решиме неколку примери.

Пресметајте ги изразите:

Решенија :

Ако ја игнорираме осмата сила, што гледаме овде? Да се потсетиме на програмата за 7 одделение. Па, се сеќаваш ли? Ова е формулата за скратено множење, имено разликата на квадратите!

Добиваме:

Ајде внимателно да го разгледаме именителот. Изгледа многу како еден од факторите за броење, но што не е во ред? Редоследот на термините е погрешен. Ако тие беа обратни, правилото 3 може да се примени, но како? Излегува дека е многу лесно: парниот степен на именителот ни помага овде.

Ако го помножиш со, ништо не се менува, нели? Но, сега излегува вака:

Магично термините ги сменија местата. Овој „феномен“ се однесува на кој било израз до рамномерен степен: лесно можеме да ги смениме знаците во загради. Но, важно е да се запамети: Сите знаци се менуваат во исто време!Не можете да го замените со менување само на еден недостаток што не ни се допаѓа!

Да се вратиме на примерот:

И повторно формулата:

Па сега последното правило:

Како ќе докажеме? Се разбира, како и обично: да го прошириме концептот на степен и да го поедноставиме:

Па, сега да ги отвориме заградите. Колку букви има вкупно? пати по множители - на што ве потсетува ова? Ова не е ништо повеќе од дефиниција за операција множење: Таму имаше само множители. Тоа е, ова, по дефиниција, е моќ на број со експонент:

Пример:

Степен со ирационален експонент

Покрај информациите за степените за просечното ниво, степенот ќе го анализираме со ирационален експонент. Сите правила и својства на степените овде се сосема исти како и за степен со рационален експонент, со исклучок - на крајот на краиштата, по дефиниција, ирационалните броеви се броеви што не можат да се претстават како дропка, каде што и се цели броеви (т.е. , ирационалните броеви се сите реални броеви освен рационалните броеви).

Кога студиравме степени со природни, целобројни и рационални експоненти, секој пат кога создававме одредена „слика“, „аналогија“ или опис со попознати термини. На пример, степен со природен експонент е број помножен со себе неколку пати; број до нулта моќ е, како што беше, број помножен сам по себе еднаш, односно сè уште не почнале да го множат, што значи дека самиот број сè уште не се ни појавил - затоа резултатот е само одреден „празен број“, имено број; степен со цел број негативен експонент - како да се случил некој „обратен процес“, односно бројот не се множел сам по себе, туку се делел.

Исклучително е тешко да се замисли степен со ирационален експонент (исто како што е тешко да се замисли 4-димензионален простор). Тоа е прилично чисто математички објект што математичарите го создадоа за да го прошират концептот на степен на целиот простор на броеви.

Патем, во науката често се користи степен со сложен експонент, односно експонентот не е ни реален број. Но, на училиште не размислуваме за такви тешкотии, ќе имате можност да ги разберете овие нови концепти во институтот.

Значи, што правиме ако видиме ирационален експонент? Се трудиме да се ослободиме од него! :)

На пример:

Одлучете сами:

Одговори:

Да се потсетиме на формулата за разлика во квадратите. Одговор:.
Ги сведуваме дропките на иста форма: или двете децимали или обичните. Добиваме, на пример: .
Ништо посебно, ги користиме вообичаените својства на степените:

РЕЗИМЕ НА ДЕЛ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Степеннаречен израз на формата: , каде што:

Степен со цел број експонент

степен чиј експонент е природен број (т.е. цел број и позитивен).

Моќ со рационален експонент

степен, чиј експонент е негативни и дробни броеви.

Степен со ирационален експонент

степен чиј експонент е бесконечна децимална дропка или корен.

Својства на степени

Карактеристики на степени.

Негативниот број е зголемен на дуристепен, - број позитивен.
Негативниот број е зголемен на чудностепен, - број негативен.
Позитивен број до кој било степен е позитивен број.
Нулата е еднаква на која било моќност.
Секој број на нулта моќност е еднаков.

СЕГА ГО ИМАШ ЗБОРОТ...

Како ви се допаѓа статијата? Напишете подолу во коментар дали ви се допадна или не.

Кажете ни за вашето искуство со користење на својствата на степенот.

Можеби имате прашања. Или предлози.

Напишете во коментарите.

И со среќа на вашите испити!