Што значи рационален број? Минус пред рационален број

Збир на рационални броеви

Множеството рационални броеви се означува и може да се запише на следниов начин:

Излегува дека различни ознаки можат да претставуваат иста дропка, на пример, и , (сите дропки што можат да се добијат една од друга со множење или делење со ист природен број претставуваат ист рационален број). Бидејќи со делење на броителот и именителот на дропка со нивниот најголем заеднички делител, можеме да добиеме единствена нередуцирана претстава на рационален број, можеме да зборуваме за нивното множество како множество ненамалувањедропки со меѓусебно прост броител и природен именител:

Еве го најголемиот заеднички делител на броевите и .

Множеството рационални броеви е природна генерализација на множеството цели броеви. Лесно е да се види дека ако рационалниот број има именител, тогаш тој е цел број. Множеството рационални броеви се наоѓа насекаде густо на бројната оска: помеѓу кои било два различни рационални броја има барем еден рационален број (а со тоа и бесконечно множество рационални броеви). Сепак, излегува дека множеството рационални броеви има бројлива кардиналност (односно, сите негови елементи можат да се пренумерираат). Да забележиме, инаку, дека старите Грци биле убедени во постоењето на броеви кои не можат да се претстават како дропка (на пример, тие докажаа дека не постои рационален број чиј квадрат е 2).

Терминологија

Формална дефиниција

Формално, рационалните броеви се дефинирани како множество од класи на еквивалентност на парови во однос на еквивалентната релација if. Во овој случај, операциите на собирање и множење се дефинирани на следниов начин:

Поврзани дефиниции

Правилни, неправилни и мешани фракции

Точно Дропка чиј броител е помал од неговиот именител се нарекува дропка. Правилните дропки претставуваат рационални броеви модули помали од еден. Се нарекува дропка која не е соодветна погрешнои претставува рационален број поголем или еднаков на еден во модул.

Неправилна дропка може да се претстави како збир на цел број и правилна дропка, т.н. мешана фракција . На пример,. Слична ознака (со недостаток на знакот за собирање), иако се користи во елементарната аритметика, се избегнува во строгата математичка литература поради сличноста на ознаката за мешана дропка со ознаката за производ на цел број и дропка.

Висина на ударот

Висина на заедничка дропка е збир на модулот на броителот и именителот на оваа дропка. Висина на рационален број е збирот на модулот на броителот и именителот на нередуцираната обична дропка што одговара на овој број.

На пример, висината на дропка е . Висината на соодветниот рационален број е еднаква на , бидејќи дропката може да се намали за .

Коментар

Термин дропка (дропка)Понекогаш [ наведете] се користи како синоним за поимот рационален број, а понекогаш и синоним за кој било нецелоброен број. Во вториот случај, дробните и рационалните броеви се различни работи, бидејќи тогаш нецелобројните рационални броеви се само посебен случај на дробни броеви.

Својства

Основни својства

Множеството рационални броеви задоволува шеснаесет основни својства, кои лесно може да се изведат од својствата на цели броеви.

Уредност.За кои било рационални броеви, постои правило кое ви овозможува уникатно да идентификувате една и само една од трите односи меѓу нив: „“, „“ или „“. Ова правило се нарекува правило за нарачкаи се формулира на следниов начин: два позитивни броја и се поврзани со иста врска како два цели броеви и ; два непозитивни броја и се поврзани со иста релација како и два ненегативни броја и ; ако одеднаш не е негативно, туку - негативно, тогаш .
Додавање дропки
Операција за додавање. правило за сумирање износброеви и и се означува со , а процесот на наоѓање таков број се нарекува сумирање. Правилото за сумирање ја има следната форма: .
Операција за множење.За сите рационални броеви постои т.н правило за множење, што ги става во кореспонденција со некој рационален број. Во овој случај, се нарекува самиот број работаброеви и и се означува со , а се нарекува и процесот на наоѓање таков број множење. Правилото за множење ја има следната форма: .
Преодност на релацијата поредок.За која било тројка рационални броеви, и ако е помала и помала, тогаш помала, а ако е еднаква и еднаква, тогаш еднаква.
Коммутативност на собирањето.Менувањето на местата на рационалните поими не го менува збирот.
Асоцијативност на додавање.Редоследот по кој се собираат три рационални броеви не влијае на резултатот.
Присуство на нула.Постои рационален број 0 кој го зачувува секој друг рационален број кога се додава.
Присуство на спротивни броеви.Секој рационален број има спротивен рационален број, кој кога ќе се додаде на дава 0.
Комутативност на множење.Промената на местата на рационалните фактори не го менува производот.
Асоцијативност на множење.Редоследот по кој се множат три рационални броеви не влијае на резултатот.
Достапност на единицата.Постои рационален број 1 кој го зачувува секој друг рационален број кога се множи.
Присуство на реципрочни броеви.Секој рационален број што не е нула има инверзен рационален број, кој кога ќе се помножи со дава 1.
Дистрибутивноста на множењето во однос на собирањето.Операцијата за множење е координирана со операцијата за собирање преку законот за распределба:
Поврзување на релацијата на ред со операцијата собирање.Истиот рационален број може да се додаде на левата и десната страна на рационална неравенка.
Врската помеѓу релацијата за ред и операцијата за множење.Левата и десната страна на рационална неравенка може да се помножат со истиот позитивен рационален број.
Аксиома на Архимед.Без оглед на рационалниот број, може да земете толку многу единици што нивниот збир надминува.

Дополнителни својства

Сите други својства својствени за рационалните броеви не се разликуваат како основни, бидејќи, генерално кажано, тие веќе не се засноваат директно на својствата на цели броеви, туку можат да се докажат врз основа на дадените основни својства или директно со дефиниција на некој математички објект. . Има многу такви дополнителни својства. Има смисла да се наведат само неколку од нив овде.

Пребројливост на множество

За да го процените бројот на рационални броеви, треба да ја пронајдете кардиналноста на нивното множество. Лесно е да се докаже дека множеството рационални броеви може да се изброи. За да го направите ова, доволно е да се даде алгоритам кој набројува рационални броеви, т.е. воспоставува бијекција помеѓу множествата рационални и природни броеви. Пример за таква конструкција е следниот едноставен алгоритам. Составена е бескрајна табела со обични фракции, на секој ред во секоја колона од која се наоѓа дропка. За точност, се претпоставува дека редовите и колоните од оваа табела се нумерирани почнувајќи од еден. Ќелиите на табелата се означени , каде е бројот на редот на табелата во кој се наоѓа ќелијата и е бројот на колоната.

Добиената табела се поминува со помош на „змија“ според следниот формален алгоритам.

Овие правила се пребаруваат од врвот до дното и следната позиција се избира врз основа на првиот натпревар.

Во процесот на таквото преминување, секој нов рационален број се поврзува со друг природен број. Односно, на дропките им се доделува број 1, на дропките се доделува бројот 2, итн. Треба да се напомене дека се нумерирани само нередуцираните дропки. Официјален знак за несведливост е тоа што најголемиот заеднички делител на броителот и именителот на дропката е еднаков на еден.

Следејќи го овој алгоритам, можеме да ги наброиме сите позитивни рационални броеви. Ова значи дека множеството на позитивни рационални броеви може да се брои. Лесно е да се воспостави биекција помеѓу множествата на позитивни и негативни рационални броеви со едноставно доделување на секој рационален број неговата спротивност. Тоа. множеството негативни рационални броеви е исто така изброиво. Нивната унија е исто така избројлива со својството на бројливи множества. Множеството рационални броеви може да се изброи и како спој на бројливо множество со конечно.

Се разбира, постојат и други начини за набројување на рационални броеви. На пример, за ова можете да користите структури како што се дрвото Kalkin-Wilf, дрвото Stern-Broko или серијата Farey.

Изјавата за броење на множеството рационални броеви може да предизвика одредена конфузија, бидејќи на прв поглед се чини дека е многу поопширна од множеството на природни броеви. Всушност, тоа не е така и има доволно природни броеви за да се набројат сите рационални.

Недостаток на рационални броеви

исто така види


	Цели броеви

Рационални броеви

Реални бројки Комплексни броеви Кватерниони

Белешки

Литература

I. Кушнир. Прирачник по математика за ученици. - Киев: АСТАРТА, 1998. - 520 стр.
П.С. Александров. Вовед во теоријата на множествата и општата топологија. - М.: поглавје. ед. физика и математика осветлена. ед. „Наука“, 1977 година
И. Л. Хмелницки. Вовед во теоријата на алгебарските системи

Постарите ученици и студенти по математика веројатно лесно ќе одговорат на ова прашање. Но, за оние кои се далеку од ова по професија, ќе биде потешко. Што е тоа навистина?

Суштина и ознака

Рационални броеви се оние кои можат да се претстават како обична дропка. Во овој сет се вклучени и позитивни, негативни и нула. Броителот на дропката мора да биде цел број, а именителот мора да биде

Ова множество во математиката е означено како Q и се нарекува „поле на рационални броеви“. Ги вклучува сите цели броеви и природни броеви, означени соодветно како Z и N. Самото множество Q е вклучено во множеството R. Токму оваа буква го означува т.н.

Изведба

Како што веќе беше споменато, рационалните броеви се множество кое ги вклучува сите цели и дробни вредности. Тие можат да дојдат во различни форми. Прво, во форма на обична дропка: 5/7, 1/5, 11/15 итн. Се разбира, цели броеви може да се напишат и во слична форма: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2, итн. Второ, друг тип на претставување е децимална дропка со последен дробен дел: 0,01, -15,001006, итн. Ова е можеби една од најчестите форми.

Но, постои и трета - периодична дропка. Овој тип не е многу чест, но сепак се користи. На пример, дропката 10/3 може да се запише како 3,33333... или 3,(3). Во овој случај, различните претстави ќе се сметаат за слични броеви. Дропките кои се еднакви една на друга, исто така ќе се нарекуваат исти, на пример 3/5 и 6/10. Се чини дека стана јасно што се рационални броеви. Но, зошто овој термин се користи за да се однесува на нив?

потеклото на името

Зборот „рационално“ на современиот руски генерално има малку поинакво значење. Тоа е повеќе како „разумно“, „промислено“. Но, математичките термини се блиску до директното значење на ова.На латински, „однос“ е „однос“, „дропка“ или „поделба“. Така, името ја доловува суштината на тоа што се рационални броеви. Сепак, второто значење

не е далеку од вистината.

Акции со нив

Кога решаваме математички задачи, постојано наидуваме на рационални броеви без самите да го знаеме тоа. И тие имаат голем број на интересни својства. Сите тие произлегуваат или од дефиницијата за множество или од акции.

Прво, рационалните броеви имаат својство на релација по ред. Ова значи дека може да има само една врска помеѓу два броја - тие се или еднакви еден на друг, или едниот е поголем или помал од другиот. Тоа е:

или a = b ;или a > b,или а< b.

Дополнително, од ова својство произлегува и транзитивноста на релацијата. Тоа е, ако аповеќе б, бповеќе в, Тоа аповеќе в. На математички јазик изгледа вака:

(а > б) ^ (б > в) => (а > в).

Второ, постојат аритметички операции со рационални броеви, односно собирање, одземање, делење и, се разбира, множење. Во исто време, во процесот на трансформации, може да се идентификуваат и голем број својства.

a + b = b + a (промена на места на поими, комутативност);
0 + a = a + 0 ;
(а + б) + в = а + (б + в) (асоцијативност);
a + (-a) = 0;
ab = ба;
(ab)c = a(bc) (дистрибутивноста);
a x 1 = 1 x a = a;
a x (1 / a) = 1 (во овој случај a не е еднакво на 0);
(a + b)c = ac + ab;
(а > б) ^ (в > 0) => (ac > bc).

Кога зборуваме за обични броеви, а не за цели броеви, работата со нив може да предизвика одредени тешкотии. Така, собирањето и одземањето се можни само ако именителот се еднакви. Ако првично се различни, треба да ја пронајдете заедничката со множење на целата дропка со одредени броеви. Споредбата е исто така најчесто можна само доколку овој услов е исполнет.

Поделбата и множењето на обичните фракции се вршат во согласност со прилично едноставни правила. Намалувањето на заеднички именител не е потребно. Броителите и именителот се множат посебно, а во процесот на извршување на дејството, ако е можно, дропот треба да се намали и поедностави што е можно повеќе.

Што се однесува до поделбата, оваа акција е слична на првата со мала разлика. За втората дропка треба да ја пронајдете инверзната, т.е

„преврти“ го. Така, броителот на првата дропка ќе треба да се помножи со именителот на втората и обратно.

Конечно, друго својство својствено за рационалните броеви се нарекува аксиома на Архимед. Често во литературата се среќава и името „принцип“. Важи за целиот сет на реални броеви, но не секаде. Така, овој принцип не се однесува на некои групи на рационални функции. Во суштина, оваа аксиома значи дека со оглед на постоењето на две величини a и b, секогаш можете да земете доволно a за да го надминете b.

Областа на апликација

Значи, за оние кои научиле или се сетиле што се рационални броеви, станува јасно дека тие се користат насекаде: во сметководството, економијата, статистиката, физиката, хемијата и другите науки. Нормално дека им е место и во математиката. Не секогаш знаејќи дека имаме работа со нив, постојано користиме рационални броеви. Дури и малите деца, кои учат да бројат предмети, сечат јаболко на парчиња или вршат други едноставни дејства, наидуваат на нив. Тие буквално не опкружуваат. А сепак, тие не се доволни за решавање на некои проблеми; особено, користејќи ја Питагоровата теорема како пример, може да се разбере потребата од воведување на концептот

Темата за рационалните броеви е доста обемна. Можете да зборувате за тоа бескрајно и да пишувате цели дела, секој пат кога ќе бидете изненадени од нови функции.

За да избегнеме грешки во иднина, во оваа лекција ќе навлеземе малку подлабоко во темата за рационални броеви, ќе ги собереме потребните информации од неа и ќе продолжиме понатаму.

Содржина на лекцијата

Што е рационален број

Рационален број е број што може да се претстави како дропка, каде а-ова е броителот на дропката, бе именителот на дропката. Згора на тоа бне смее да биде нула бидејќи делењето со нула не е дозволено.

Рационалните броеви ги вклучуваат следните категории на броеви:

цели броеви (на пример −2, −1, 0 1, 2, итн.)

децимални фракции (на пример 0,2, итн.)

бесконечни периодични дропки (на пример 0, (3), итн.)

Секој број во оваа категорија може да се претстави како дропка.

Пример 1.Целиот број 2 може да се претстави како дропка. Ова значи дека бројот 2 се однесува не само на цели броеви, туку и на рационални.

Пример 2.Мешаниот број може да се претстави како дропка. Оваа дропка се добива со претворање на мешан број во неправилна дропка

Ова значи дека мешаниот број е рационален број.

Пример 3.Децималната 0,2 може да се претстави како дропка. Оваа дропка е добиена со претворање на децималната дропка 0,2 во заедничка дропка. Ако имате потешкотии во овој момент, повторете ја темата.

Бидејќи децималната дропка 0,2 може да се претстави како дропка, тоа значи дека припаѓа и на рационални броеви.

Пример 4.Бесконечната периодична дропка 0, (3) може да се претстави како дропка. Оваа дропка се добива со претворање на чиста периодична дропка во обична дропка. Ако имате потешкотии во овој момент, повторете ја темата.

Бидејќи бесконечната периодична дропка 0, (3) може да се претстави како дропка, тоа значи дека припаѓа и на рационални броеви.

Во иднина, сè повеќе ќе ги нарекуваме сите броеви што можат да бидат претставени како дропка со една фраза - рационални броеви.

Рационални броеви на координатната права

Ја гледавме координатната линија кога ги проучувавме негативните броеви. Потсетете се дека ова е права линија на која лежат многу точки. Како што следи:

Оваа слика покажува мал фрагмент од координатната линија од -5 до 5.

Означувањето на цели броеви од формата 2, 0, −3 на координатната линија не е тешко.

Работите се многу поинтересни со другите броеви: со обични дропки, мешани броеви, децимали итн. Овие броеви лежат помеѓу цели броеви и има бесконечно многу од овие броеви.

На пример, да означиме рационален број на координатната линија. Овој број се наоѓа точно помеѓу нула и еден

Ајде да се обидеме да разбереме зошто дропот одеднаш се наоѓа помеѓу нула и еден.

Како што споменавме погоре, меѓу цели броеви лежат други броеви - обични дропки, децимали, мешани броеви итн. На пример, ако зголемите дел од координатната линија од 0 на 1, можете да ја видите следната слика

Може да се види дека помеѓу цели броеви 0 и 1 има и други рационални броеви, кои се познати децимални дропки. Овде можете да ја видите нашата дропка, која се наоѓа на истото место како децималната дропка 0,5. Внимателно испитување на оваа бројка дава одговор на прашањето зошто фракцијата се наоѓа токму таму.

Дропката значи делење 1 со 2. А ако поделиме 1 со 2, добиваме 0,5

Децималната дропка 0,5 може да се маскира како други дропки. Од основното својство на дропка знаеме дека ако броителот и именителот на дропка се помножат или поделат со ист број, тогаш вредноста на дропката не се менува.

Ако броителот и именителот на дропка се помножат со кој било број, на пример со бројот 4, тогаш добиваме нова дропка, а оваа дропка е исто така еднаква на 0,5

Тоа значи дека на координатната линија дропот може да се постави на истото место каде што се наоѓала дропот

Пример 2.Ајде да се обидеме да означиме рационален број на координатата. Овој број се наоѓа точно помеѓу броевите 1 и 2

Вредноста на фракцијата е 1,5

Ако го зголемиме делот на координатната линија од 1 на 2, ќе ја видиме следната слика:

Може да се види дека помеѓу цели броеви 1 и 2 има и други рационални броеви, кои се познати децимални дропки. Овде можете да ја видите нашата дропка, која се наоѓа на истото место како децималната дропка 1,5.

Зголемивме одредени отсечки на координатната линија за да ги видиме преостанатите броеви што лежат на оваа отсечка. Како резултат на тоа, откривме децимални фракции кои имаат една цифра по децималната точка.

Но, ова не беа единствените бројки што лежеа на овие сегменти. На координатната линија лежат бесконечно многу броеви.

Не е тешко да се погоди дека помеѓу децималните дропки кои имаат една цифра по децималната точка, има и други децимали кои имаат две цифри по децималната точка. Со други зборови, стотинки од сегментот.

На пример, да се обидеме да ги видиме броевите што лежат помеѓу децималните дропки 0,1 и 0,2

Друг пример. Децималните дропки кои имаат две цифри по децималната точка и лежат помеѓу нула и рационалниот број 0,1 изгледаат вака:

Пример 3.Да означиме рационален број на координатната права. Овој рационален број ќе биде многу блиску до нула

Вредноста на дропот е 0,02

Ако ја зголемиме отсечката од 0 на 0,1, ќе видиме точно каде се наоѓа рационалниот број

Се гледа дека нашиот рационален број се наоѓа на истото место како децималната дропка 0,02.

Пример 4.Да го означиме рационалниот број 0 на координатната права, (3)

Рационалниот број 0, (3) е бесконечна периодична дропка. Неговиот дробен дел никогаш не завршува, тој е бесконечен

А бидејќи бројот 0,(3) има бесконечен дробен дел, тоа значи дека нема да можеме да го најдеме точното место на координатната линија каде што се наоѓа овој број. Можеме само приближно да го посочиме ова место.

Рационалниот број 0,33333... ќе се наоѓа многу блиску до заедничката децимална дропка 0,3

Оваа бројка не ја покажува точната локација на бројот 0,(3). Ова е само илустрација за да покаже колку периодичната дропка 0.(3) може да биде блиска до правилната децимална дропка 0.3.

Пример 5.Да означиме рационален број на координатната права. Овој рационален број ќе се наоѓа во средината помеѓу броевите 2 и 3

Ова е 2 (два цели броеви) и (една секунда). Дропката се нарекува и „половина“. Затоа, на координатната линија означивме две цели отсечки и уште една половина отсечка.

Ако измешаниот број го претвориме во неправилна дропка, добиваме обична дропка. Оваа дропка на координатната линија ќе се наоѓа на истото место како и дропката

Вредноста на дропот е 2,5

Ако го зголемиме делот на координатната линија од 2 на 3, ќе ја видиме следната слика:

Се гледа дека нашиот рационален број се наоѓа на истото место како децималната дропка 2,5

Минус пред рационален број

Во претходната лекција, наречена, научивме како да делиме цели броеви. И позитивните и негативните броеви би можеле да дејствуваат како дивиденда и делител.

Да го разгледаме наједноставниот израз

(−6) : 2 = −3

Во овој израз, дивидендата (−6) е негативен број.

Сега разгледајте го вториот израз

6: (−2) = −3

Овде делителот (−2) е веќе негативен број. Но и во двата случаи добиваме ист одговор -3.

Имајќи предвид дека секоја поделба може да се напише како дропка, можеме да ги напишеме и примерите дискутирани погоре како дропка:

И бидејќи и во двата случаи вредноста на дропката е иста, минусот или во броителот или во именителот може да се направи заеднички со ставање пред дропката

Затоа, можете да ставите знак за еднаквост помеѓу изразите и и затоа што тие го носат истото значење

Во иднина, кога работиме со дропки, ако наидеме на минус во броителот или именителот, овој минус ќе го направиме заеднички така што ќе го поставиме пред дропката.

Спротивни рационални броеви

Како цел број, рационалниот број има спротивен број.

На пример, за рационален број, спротивниот број е . Се наоѓа на координатната линија симетрично на локацијата во однос на потеклото на координатите. Со други зборови, двата од овие бројки се подеднакво оддалечени од потеклото

Претворање мешани броеви во неправилни дропки

Знаеме дека за да претвориме мешан број во неправилна дропка, треба да го помножиме целиот дел со именителот на дробниот дел и да го додадеме на броителот на дробниот дел. Добиениот број ќе биде броител на новата дропка, но именителот останува ист.

На пример, да конвертираме мешан број во неправилна дропка

Помножете го целиот дел со именителот на дробниот дел и додадете го броителот на дробниот дел:

Да го пресметаме овој израз:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Добиениот број 5 ќе биде броител на новата дропка, но именителот ќе остане ист:

Оваа постапка е целосно напишана на следниов начин:

За да се врати оригиналниот мешан број, доволно е да се одбере целиот дел во дропката

Но, овој метод за претворање на мешан број во неправилна дропка е применлив само ако мешаниот број е позитивен. Овој метод нема да работи за негативен број.

Да ја разгледаме дропот. Да го избереме целиот дел од оваа дропка. Добиваме

За да ја вратите оригиналната дропка, треба да го претворите мешаниот број во неправилна дропка. Но, ако го користиме старото правило, имено, го помножиме целиот дел со именителот на дробниот дел и го додадеме броителот на фракциониот дел на добиениот број, ја добиваме следнава контрадикција:

Добивме дропка, но требаше да добиеме дропка.

Заклучуваме дека мешаниот број е погрешно претворен во неправилна дропка

За правилно претворање на негативен мешан број во неправилна дропка, треба да го помножите целиот дел со именителот на дробниот дел, а од добиениот број одземаброител на дробниот дел. Во овој случај, се ќе ни дојде на свое место

Негативен мешан број е спротивен на мешан број. Ако позитивен мешан број се наоѓа на десната страна и изгледа вака

Во оваа статија ќе започнеме да истражуваме рационални броеви. Овде ќе дадеме дефиниции за рационални броеви, ќе ги дадеме потребните објаснувања и ќе дадеме примери на рационални броеви. После ова, ќе се фокусираме на тоа како да одредиме дали даден број е рационален или не.

Навигација на страницата.

Дефиниција и примери на рационални броеви

Во овој дел ќе дадеме неколку дефиниции за рационални броеви. И покрај разликите во формулацијата, сите овие дефиниции имаат исто значење: рационалните броеви обединуваат цели броеви и дропки, исто како што цели броеви ги обединуваат природните броеви, нивните спротивности и бројот нула. Со други зборови, рационалните броеви генерализираат цели и дробни броеви.

Да почнеме со дефиниции за рационални броеви, што се перцепира најприродно.

Од наведената дефиниција произлегува дека рационален број е:

Секој природен број n. Навистина, можете да претставите кој било природен број како обична дропка, на пример, 3=3/1.
Било кој цел број, особено бројот нула. Всушност, секој цел број може да се напише или како позитивна дропка, како негативна дропка или како нула. На пример, 26=26/1,.
Секоја заедничка дропка (позитивна или негативна). Ова е директно потврдено со дадената дефиниција за рационални броеви.
Било кој мешан број. Навистина, секогаш можете да претставите мешан број како неправилна дропка. На пример, и.
Секоја конечна децимална дропка или бесконечна периодична дропка. Ова се должи на фактот што наведените децимални фракции се претвораат во обични фракции. На пример, и 0,(3)=1/3.

Исто така, јасно е дека секоја бесконечна непериодична децимална дропка НЕ е рационален број, бидејќи не може да се претстави како заедничка дропка.

Сега можеме лесно да дадеме примери на рационални броеви. Броевите 4, 903, 100,321 се рационални броеви бидејќи се природни броеви. Целите броеви 58, −72, 0, −833,333,333 се исто така примери на рационални броеви. Обичните дропки 4/9, 99/3 се исто така примери за рационални броеви. Рационалните броеви се исто така броеви.

Од горенаведените примери е јасно дека има и позитивни и негативни рационални броеви, а рационалниот број нула не е ниту позитивен ниту негативен.

Горенаведената дефиниција за рационални броеви може да се формулира во поконцизна форма.

Дефиниција.

Рационални броевисе броеви кои можат да се напишат како дропка z/n, каде што z е цел број, а n е природен број.

Да докажеме дека оваа дефиниција за рационални броеви е еквивалентна на претходната дефиниција. Знаеме дека правата на дропка можеме да ја сметаме за знак на делење, потоа од својствата на делење цели броеви и правилата за делење цели броеви следува валидноста на следните еднаквости и. Така, тоа е доказот.

Ајде да дадеме примери на рационални броеви врз основа на оваа дефиниција. Броевите −5, 0, 3 и се рационални броеви, бидејќи можат да се напишат како дропки со цел број броител и природен именител на формата и, соодветно.

Дефиницијата за рационални броеви може да се даде во следната формулација.

Дефиниција.

Рационални броевисе броеви кои можат да се напишат како конечна или бесконечна периодична децимална дропка.

Оваа дефиниција е исто така еквивалентна на првата дефиниција, бидејќи секоја обична дропка одговара на конечна или периодична децимална дропка и обратно, а секој цел број може да се поврзе со децимална дропка со нули по децималната точка.

На пример, броевите 5, 0, −13, се примери на рационални броеви затоа што тие можат да се напишат како следните децимални дропки 5.0, 0.0, −13.0, 0.8 и −7, (18).

Да ја завршиме теоријата на оваа точка со следните изјави:

цели броеви и дропки (позитивни и негативни) го сочинуваат множеството рационални броеви;
секој рационален број може да се претстави како дропка со цел број броител и природен именител, а секоја таква дропка претставува одреден рационален број;
секој рационален број може да се претстави како конечна или бесконечна периодична децимална дропка, а секоја таква дропка претставува рационален број.

Дали оваа бројка е рационална?

Во претходниот пасус, дознавме дека секој природен број, кој било цел број, која било обична дропка, кој било мешан број, која било конечна децимална дропка, како и секоја периодична децимална дропка е рационален број. Ова знаење ни овозможува да ги „препознаеме“ рационалните броеви од збир на напишани броеви.

Но, што ако бројот е даден во форма на некои, или како итн., како да се одговори на прашањето дали овој број е рационален? Во многу случаи е многу тешко да се одговори. Дозволете ни да посочиме некои насоки на мислата.

Ако е даден број како нумерички израз кој содржи само рационални броеви и аритметички знаци (+, −, · и:), тогаш вредноста на овој израз е рационален број. Ова произлегува од тоа како се дефинираат операциите со рационални броеви. На пример, по извршувањето на сите операции во изразот, го добиваме рационалниот број 18.

Понекогаш, откако ќе се поедностават изразите и ќе се направат покомплексни, станува возможно да се утврди дали даден број е рационален.

Ајде да одиме понатаму. Бројот 2 е рационален број, бидејќи секој природен број е рационален. Што е со бројот? Дали е тоа рационално? Излегува дека не, тоа не е рационален број, тоа е ирационален број (доказот за овој факт со контрадикција е даден во учебникот за алгебра за 8 одделение, наведен подолу во списокот на референци). Исто така, докажано е дека квадратниот корен на природен број е рационален број само во оние случаи кога под коренот има број кој е совршен квадрат на некој природен број. На пример, и се рационални броеви, бидејќи 81 = 9 2 и 1 024 = 32 2, а броевите и не се рационални, бидејќи броевите 7 и 199 не се совршени квадрати на природни броеви.

Дали бројот е рационален или не? Во овој случај, лесно е да се забележи дека, според тоа, оваа бројка е рационална. Дали бројот е рационален? Докажано е дека k-тиот корен на цел број е рационален број само ако бројот под знакот на коренот е k-та сила на некој цел број. Затоа, тоа не е рационален број, бидејќи не постои цел број чиј петти степен е 121.

Методот со контрадикција овозможува да се докаже дека логаритмите на некои броеви не се рационални броеви поради некоја причина. На пример, да докажеме дека - не е рационален број.

Да го претпоставиме спротивното, односно да речеме дека е рационален број и може да се запише како обична дропка m/n. Потоа ги даваме следните еднаквости: . Последната еднаквост е невозможна, бидејќи на левата страна има чуден број 5 n, а на десната страна е парниот број 2 m. Според тоа, нашата претпоставка е неточна, а со тоа не е рационален број.

Како заклучок, особено вреди да се забележи дека при одредување на рационалноста или ирационалноста на броевите, треба да се воздржите од ненадејни заклучоци.

На пример, не треба веднаш да тврдите дека производот на ирационалните броеви π и e е ирационален број; ова е „навидум очигледно“, но не е докажано. Ова го покренува прашањето: „Зошто производот би бил рационален број? А зошто да не, затоа што можете да дадете пример за ирационални броеви, чиј производ дава рационален број: .

Исто така, не е познато дали броевите и многу други броеви се рационални или не. На пример, постојат ирационални броеви чија ирационална моќ е рационален број. За илустрација, прикажуваме степен на формата, основата на овој степен и експонентот не се рационални броеви, туку , а 3 е рационален број.

Библиографија.

Математика. 6 одделение: воспитно. за општо образование институции / [Н. Ya. Vilenkin и други]. - 22. ed., rev. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 стр.: илуст. ISBN 978-5-346-00897-2.
Алгебра:тетратка за 8 одделение. општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2008. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математика (прирачник за оние кои влегуваат во техничките училишта): Проц. додаток.- М.; Повисоко училиште, 1984.-351 стр., ил.

Цели броеви

Дефиницијата на природните броеви се позитивни цели броеви. Природните броеви се користат за броење предмети и за многу други цели. Ова се бројките:

Ова е природна серија на броеви.
Дали нулата е природен број? Не, нулата не е природен број.
Колку природни броеви има? Има бесконечен број на природни броеви.
Кој е најмалиот природен број? Еден е најмалиот природен број.
Кој е најголемиот природен број? Невозможно е да се определи, бидејќи има бесконечен број на природни броеви.

Збирот на природните броеви е природен број. Значи, собирање на природните броеви a и b:

Производот на природните броеви е природен број. Значи, производот на природните броеви a и b:

c е секогаш природен број.

Разлика на природните броеви Не секогаш постои природен број. Ако минуендот е поголем од подлогата, тогаш разликата на природните броеви е природен број, во спротивно не е.

Количникот на природните броеви не е секогаш природен број. Ако за природните броеви a и b

каде што c е природен број, тоа значи дека a е делив со b. Во овој пример, a е дивиденда, b е делител, c е количник.

Делител на природен број е природен број со кој првиот број се дели со целина.

Секој природен број е делив со еден и со себе.

Простите природни броеви се деливи само со еден и со самите себе. Тука мислиме целосно поделени. Пример, броеви 2; 3; 5; 7 е делив само со едно и со себе. Ова се едноставни природни броеви.

Еден не се смета за прост број.

Броевите кои се поголеми од еден и кои не се прости се нарекуваат композитни броеви. Примери на композитни броеви:

Еден не се смета за композитен број.

Множеството природни броеви се состои од еден, прости броеви и композитни броеви.

Множеството природни броеви се означува со латинската буква N.

Својства на собирање и множење на природните броеви:

комутативно својство на собирање

асоцијативно својство на собирање

(a + b) + c = a + (b + c);

комутативно својство на множење

асоцијативно својство на множење

(ab) c = a (bc);

дистрибутивно својство на множење

A (b + c) = ab + ac;

Цели броеви

Цели броеви се природните броеви, нула и спротивностите на природните броеви.

Спротивно на природните броеви се негативните цели броеви, на пример:

1; -2; -3; -4;...

Множеството цели броеви се означува со латинската буква Z.

Рационални броеви

Рационалните броеви се цели броеви и дропки.

Секој рационален број може да се претстави како периодична дропка. Примери:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Од примерите е јасно дека кој било цел број е периодична дропка со период нула.

Секој рационален број може да се претстави како дропка m/n, каде што m е цел број, а n е природен број. Да го замислиме бројот 3,(6) од претходниот пример како таква дропка.