Како да се заменат основата и бројот на логаритам. Логаритам

Денес ќе разговараме за логаритамски формулиа ние ќе дадеме индикативно примери за решенија.

Тие самите имплицираат шеми на решенија според основните својства на логаритмите. Пред да примените логаритамски формули за решавање, да ве потсетиме на сите својства:

Сега, врз основа на овие формули (својства), ќе покажеме примери за решавање логаритми.

Примери за решавање на логаритми врз основа на формули.

Логаритам позитивен број b за основата a (означено со log a b) е експонент на кој мора да се подигне a за да се добие b, со b > 0, a > 0 и 1.

Според дефиниции на дневник a b = x, што е еквивалентно на x = b, па логирај a a x = x.

Логаритми, примери:

дневник 2 8 = 3, бидејќи 2 3 = 8

дневник 7 49 = 2, бидејќи 7 2 = 49

дневник 5 1/5 = -1, бидејќи 5 -1 = 1/5

Децимален логаритам- ова е обичен логаритам, чија основа е 10. Се означува како lg.

дневник 10 100 = 2, бидејќи 10 2 = 100

Природен логаритам- исто така вообичаениот логаритам логаритам, но со основата e (e = 2,71828... - ирационален број). Означено како ln.

Препорачливо е да се запаметат формулите или својствата на логаритмите, бидејќи тие ќе ни бидат потребни подоцна при решавање на логаритми, логаритамски равенкии нееднаквости. Ајде да работиме низ секоја формула повторно со примери.

Основи логаритамски идентитет
а дневник a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Логаритам на производот еднаков на збиротлогаритми
log a (bc) = log a b + log a c
дневник 3 8,1 + дневник 3 10 = дневник 3 (8,1*10) = дневник 3 81 = 4
Логаритмот на количникот е еднаков на разликата на логаритмите
log a (b/c) = log a b - log a c
9 дневник 5 50 /9 лог 5 2 = 9 дневник 5 50- лог 5 2 = 9 лог 5 25 = 9 2 = 81
Својства на моќноста на логаритамскиот број и основата на логаритамот
Експонент на логаритам дневници броеви a b m = mlog a b

Експонент на основата на логаритамот log a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

ако m = n, добиваме log a n b n = log a b

дневник 4 9 = дневник 2 2 3 2 = дневник 2 3
Транзиција кон нова основа
log a b = log c b/log c a,
ако c = b, добиваме log b b = 1

тогаш log a b = 1/log b a

лог 0,8 3*лог 3 1,25 = лог 0,8 3*лог 0,8 1,25/лог 0,8 3 = лог 0,8 1,25 = лог 4/5 5/4 = -1

Како што можете да видите, формулите за логаритми не се толку комплицирани како што изгледаат. Сега, гледајќи во примери за решавање логаритми, можеме да преминеме на логаритамски равенки. Ќе разгледаме примери за решавање на логаритамски равенки подетално во статијата: "". Не пропуштајте!

Ако сè уште имате прашања за решението, напишете ги во коментарите на статијата.

Забелешка: решивме да добиеме поинаков степен на образование и да студираме во странство како опција.

Дадени се главните својства природен логаритам, график, домен на дефиниција, збир на вредности, основни формули, извод, интеграл, проширување во моќна серијаи претставување на функцијата ln x користејќи сложени броеви.

Дефиниција

Природен логаритаме функцијата y = во x, инверзна на експоненцијалот, x = e y, и е логаритам на основата на бројот e: ln x = log e x.

Природниот логаритам е широко користен во математиката бидејќи неговиот дериват ја има наједноставната форма: (ln x)′ = 1/ x.

Врз основа дефиниции, основата на природниот логаритам е бројот д:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

График на функцијата y = во x.

График на природен логаритам (функции y = во x) се добива од експоненцијалниот график огледална сликаво однос на правата y = x.

Природниот логаритам е дефиниран на позитивни вредностипроменлива x. Монотоно се зголемува во својот домен на дефиниција.

На x → 0 границата на природниот логаритам е минус бесконечност (-∞).

Како x → + ∞, границата на природниот логаритам е плус бесконечност (+ ∞). За голем x, логаритмот се зголемува прилично бавно. Било кој функција за напојување x a s позитивен индикаторстепенот а расте побрзо од логаритамот.

Својства на природниот логаритам

Домен на дефиниција, збир на вредности, екстреми, зголемување, намалување

Природниот логаритам е монотоно растечка функција, па затоа нема екстреми. Главните својства на природниот логаритам се претставени во табелата.

ln x вредности

ln 1 = 0

Основни формули за природни логаритми

Формули кои произлегуваат од дефиницијата на инверзната функција:

Главното својство на логаритмите и неговите последици

Формула за замена на основата

Секој логаритам може да се изрази во однос на природни логаритми користејќи ја формулата за замена на основата:

Доказите за овие формули се претставени во делот „Логаритам“.

Инверзна функција

Инверзната на природниот логаритам е експонентот.

Ако тогаш

Ако тогаш.

Извод ln x

Извод на природниот логаритам:
.
Извод на природниот логаритам на модул x:
.
Извод од n-ти ред:
.
Изведување формули > > >

Интегрален

Интегралот се пресметува со интеграција по делови:
.
Значи,

Изрази кои користат сложени броеви

Размислете за функцијата на сложената променлива z:
.
Да ја изразиме сложената променлива zпреку модул ри аргумент φ :
.
Користејќи ги својствата на логаритмот, имаме:
.
Или
.
Аргументот φ не е единствено дефиниран. Ако ставите
, каде што n е цел број,
ќе биде ист број за различни n.

Според тоа, природниот логаритам, како функција на сложена променлива, не е функција со една вредност.

Проширување на серијата на моќност

Кога ќе се изврши проширување:

Референци:
И.Н. Бронштајн, К.А. Семендјаев, Прирачник за математика за инженери и студенти, „Лан“, 2009 година.

Логаритамски изрази, решавање примери. Во оваа статија ќе ги разгледаме проблемите поврзани со решавање на логаритми. Задачите го поставуваат прашањето за пронаоѓање на значењето на изразот. Треба да се напомене дека концептот на логаритам се користи во многу задачи и разбирањето на неговото значење е исклучително важно. Што се однесува до Обединетиот државен испит, логаритамот се користи при решавање на равенки, во применети проблеми, исто така и во задачи поврзани со проучување на функции.

Да дадеме примери за да го разбереме самото значење на логаритамот:

Основен логаритамски идентитет:

Својства на логаритмите кои секогаш мора да се паметат:

*Логаритмот на производот е еднаков на збирот на логаритмите на факторите.

* * *

*Логаритмот на количник (дропка) е еднаков на разликата меѓу логаритмите на факторите.

* * *

*Логаритам на степен еднаков на производотекспонент според логаритамот на неговата основа.

* * *

*Транзиција кон нова основа

* * *

Повеќе својства:

* * *

Пресметката на логаритмите е тесно поврзана со употребата на својствата на експонентите.

Да наведеме некои од нив:

Суштината на овој имотлежи во фактот дека при пренесување на броителот на именителот и обратно, знакот на експонентот се менува во спротивното. На пример:

Последица од овој имот:

* * *

При подигање на моќност на јачина, основата останува иста, но експонентите се множат.

* * *

Како што видовте, самиот концепт на логаритам е едноставен. Главната работа е она што е потребно добра практика, што дава одредена вештина. Секако, потребно е познавање на формулите. Ако вештината за конвертирање на елементарни логаритми не е развиена, тогаш кога решавате едноставни задачи можете лесно да направите грешка.

Вежбајте, прво решавајте ги наједноставните примери од курсот по математика, па преминете на посложените. Во иднина, дефинитивно ќе покажам колку се решаваат „грди“ логаритми овие нема да се појават на обединет државен испит, но тие се од интерес, не ги пропуштајте!

Тоа е се! Со среќа!

Со почит, Александар Крутицких

P.S: Би ви бил благодарен ако ми кажете за страницата на социјалните мрежи.

Како што се развиваше општеството и производството стана покомплексно, се развиваше и математиката. Движење од едноставно до сложено. Од конвенционалното сметководство по методот на собирање и одземање, со нивно се повторува многу пати, дојде до концептот на множење и делење. Намалувањето на повторената операција на множење стана концепт на степенување. Првите табели за зависноста на броевите од основата и бројот на степенување беа составени уште во 8 век од индискиот математичар Варасена. Од нив може да се брои времето на настанување на логаритми.

Историска скица

Заживувањето на Европа во 16 век го поттикнало и развојот на механиката. Т бараше голема количина на пресметкиповрзани со множење и делење повеќецифрени броеви. Античките маси беа од голема услуга. Тие овозможија да се заменат сложените операции со поедноставни - собирање и одземање. Голем чекорВодечката улога ја презеде работата на математичарот Мајкл Штифел, објавена во 1544 година, во која тој ја реализираше идејата на многу математичари. Ова овозможи да се користат табели не само за степени во формата примарни броеви, но и за произволни рационални.

Во 1614 година, Шкотланѓанецот Џон Напиер, развивајќи ги овие идеи, првпат ги воведе нов термин„логаритам на број“. Ново сложени табелиза пресметување на логаритми на синуси и косинуси, како и тангенти. Ова во голема мера ја намали работата на астрономите.

Почнаа да се појавуваат нови табели, кои беа успешно користени од научниците низ целата територија три века. Помина многу време пред новата операција во алгебрата да ја добие својата завршена форма. Беше дадена дефиницијата на логаритамот и беа проучени неговите својства.

Дури во 20 век, со појавата на калкулаторот и компјутерот, човештвото ги напуштило античките маси кои успешно работеле во текот на 13 век.

Денес го нарекуваме логаритам на b за да го засноваме a бројот x кој е моќта на a да направи b. Ова е напишано како формула: x = log a(b).

На пример, log 3(9) би бил еднаков на 2. Ова е очигледно ако ја следите дефиницијата. Ако подигнеме 3 на јачината од 2, добиваме 9.

Така, формулираната дефиниција поставува само едно ограничување: броевите a и b мора да бидат реални.

Видови логаритми

Класичната дефиниција се нарекува реален логаритам и всушност е решение на равенката a x = b. Опцијата a = 1 е гранична и не е од интерес. Внимание: 1 на која било моќност е еднакво на 1.

Реална вредност на логаритамсе дефинира само кога основата и аргументот се поголеми од 0, а основата не смее да биде еднаква на 1.

Посебно место во областа на математикатаиграјте логаритми, кои ќе бидат именувани во зависност од големината на нивната основа:

Правила и ограничувања

Основното својство на логаритмите е правилото: логаритамот на производот е еднаков на логаритамскиот збир. log abp = log a(b) + log a(p).

Како варијанта на оваа изјава ќе има: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), функцијата количник е еднаква на разликата на функциите.

Од претходните две правила лесно се гледа дека: log a(b p) = p * log a(b).

Други својства вклучуваат:

Коментар. Нема потреба да се прави вообичаена грешка - логаритмот на збирот не е еднаков на збирот на логаритми.

За многу векови, операцијата за наоѓање логаритам беше прилично долга задача. Математичарите користеле добро позната формулалогаритамска теорија на полиномско проширување:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), каде што n - природен бројпоголема од 1, што ја одредува точноста на пресметката.

Логаритмите со други основи беа пресметани со помош на теоремата за преминот од една основа во друга и својството на логаритмот на производот.

Бидејќи овој метод е многу трудоинтензивен и при одлучувањето практични проблеми тешко за спроведување, користевме претходно составени табели на логаритми, што значително ја забрза целата работа.

Во некои случаи се користеа специјално дизајнирани логаритамски графикони, кои даваа помала прецизност, но значително го забрзаа пребарувањето саканата вредност. Кривата на функцијата y = log a(x), конструирана преку неколку точки, ви овозможува да користите редовен линијар за да ја пронајдете вредноста на функцијата во која било друга точка. Инженери долго времеЗа овие цели се користеше таканаречена милиметарска хартија.

Во 17 век се појавуваат првите помошни аналогни пресметковни услови кои 19ти вексе здоби со завршен изглед. Најуспешниот уред беше наречен слајд правило. И покрај едноставноста на уредот, неговиот изглед значително го забрза процесот на сите инженерски пресметки, а тоа е тешко да се прецени. Во моментов, малку луѓе се запознаени со овој уред.

Појавата на калкулатори и компјутери ја направи бесмислена употребата на кој било друг уред.

Равенки и неравенки

За решенија различни равенкии неравенки со помош на логаритми, се користат следните формули:

Преместување од една база во друга: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Како последица на претходната опција: log a(b) = 1 / log b(a).

За да се решат нееднаквостите, корисно е да се знае:

Вредноста на логаритамот ќе биде позитивна само ако основата и аргументот се и поголеми или помали од еден; ако е повреден барем еден услов, вредноста на логаритамот ќе биде негативна.
Ако логаритамската функција се примени на десната и левата страна на неравенката, а основата на логаритмот повеќе од еден, тогаш знакот за нееднаквост е зачуван; В во спротивнотој се менува.

Примерок проблеми

Ајде да разгледаме неколку опции за користење на логаритми и нивните својства. Примери со решавање равенки:

Размислете за опцијата за поставување на логаритам во моќност:

Задача 3. Пресметај 25^log 5(3). Решение: во услови на проблемот, записот е сличен на следниот (5^2)^log5(3) или 5^(2 * log 5(3)). Да го напишеме поинаку: 5^log 5(3*2), или квадратот на број како функциски аргумент може да се напише како квадрат на самата функција (5^log 5(3))^2. Користејќи ги својствата на логаритмите, овој израз е еднаков на 3^2. Одговор: како резултат на пресметката добиваме 9.

Практична употреба

Бидејќи е чисто математичка алатка, се чини дека е далеку од тоа вистински животдека логаритмот наеднаш го стекнал големо значењеда опишуваат предмети реалниот свет. Тешко е да се најде наука каде што не се користи. Ова целосно се однесува не само на природните, туку и на хуманитарните полиња на знаење.

Логаритамски зависности

Еве неколку примери на нумерички зависности:

Механика и физика

Историски гледано, механиката и физиката отсекогаш се развивале користејќи математички методиистражување и во исто време служеше како поттик за развој на математиката, вклучувајќи ги и логаритмите. Теоријата на повеќето закони на физиката е напишана на јазикот на математиката. Да дадеме само два примери на описи физички законикористејќи логаритам.

Решете ваков проблем со пресметките сложена големинаКако брзината на ракетата може да се одреди со примена на формулата Циолковски, која ја постави основата за теоријата за истражување на вселената:

V = I * ln (M1/M2), каде

V - конечна брзинаавиони.
I – специфичен импулс на моторот.
М 1 – почетна маса на ракетата.
М 2 – конечна маса.

Друга важен пример - ова се користи во формулата на друг голем научник Макс Планк, која служи за проценка на рамнотежната состојба во термодинамиката.

S = k * ln (Ω), каде

S – термодинамичко својство.
k – Болцманова константа.
Ω е статистичката тежина на различни состојби.

Хемија

Помалку очигледна е употребата на формули во хемијата кои содржат однос на логаритми. Да дадеме само два примери:

Нернстовата равенка, состојбата на редокс потенцијалот на медиумот во однос на активноста на супстанциите и константата на рамнотежата.
Пресметувањето на таквите константи како што се индексот на автолиза и киселоста на растворот, исто така, не може да се направи без нашата функција.

Психологија и биологија

И воопшто не е јасно каква врска има психологијата со тоа. Излегува дека силата на сензација е добро опишана со оваа функција како инверзна врскавредностите на интензитетот на стимулот до помалата вредност на интензитетот.

По горенаведените примери, веќе не е чудно што темата логаритми е широко користена во биологијата. Може да се напишат цели томови за биолошки форми што одговараат на логаритамските спирали.

Други области

Се чини дека постоењето на светот е невозможно без поврзаност со оваа функција и тој владее со сите закони. Особено кога законите на природата се поврзани со геометриска прогресија. Вреди да се свртиме кон веб-страницата MatProfi и има многу такви примери во следните области на активност:

Списокот може да биде бесконечен. Совладувајќи ги основните принципи на оваа функција, можете да се фрлате во светот на бесконечната мудрост.

главните својства.

логакс + логај = лога(x y);
логакс − логај = лога (x: y).

идентични основи

Дневник6 4 + лог6 9.

Сега да ја комплицираме задачата малку.

Примери за решавање логаритми

Што ако основата или аргументот на логаритам е моќност? Тогаш експонентот на овој степен може да се извади од знакот на логаритамот според следниве правила:

Се разбира, сите овие правила имаат смисла ако се набљудува ODZ на логаритамот: a > 0, a ≠ 1, x >

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Транзиција кон нова основа

Нека е даден логаритамскиот логакс. Тогаш за кој било број c таков што c > 0 и c ≠ 1, еднаквоста е точно:

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Исто така види:

Основни својства на логаритмот

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Основни својства на логаритмите

Знаејќи го ова правило, ќе знаете и точна вредностизложувачи и датумот на раѓање на Лав Толстој.

Примери за логаритми

Логаритмски изрази

Пример 1.
А). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Користејќи ги својствата 3.5 пресметуваме

4. Каде .

Пример 2. Најдете x ако

Пример 3. Нека е дадена вредноста на логаритмите

Пресметај log(x) ако

Основни својства на логаритмите

Логаритмите, како и сите броеви, можат да се собираат, одземаат и трансформираат на секој начин. Но, бидејќи логаритмите не се точно редовни броеви, тука има правила, кои се нарекуваат главните својства.

Дефинитивно треба да ги знаете овие правила - без нив не може да се реши ниту еден сериозен проблем. логаритамски проблем. Покрај тоа, има многу малку од нив - можете да научите сè за еден ден. Па ајде да започнеме.

Собирање и одземање логаритми

Размислете за два логаритма со исти основи: логакс и логај. Потоа тие можат да се собираат и одземаат и:

логакс + логај = лога(x y);
логакс − логај = лога (x: y).

Значи, збирот на логаритми е еднаков на логаритмот на производот, а разликата е еднаква на логаритмот на количникот. Забелешка: клучен моментЕве - идентични основи. Ако причините се различни, овие правила не функционираат!

Овие формули ќе ви помогнат да пресметате логаритамски израздури и кога неговите поединечни делови не се бројат (видете ја лекцијата „Што е логаритам“). Погледнете ги примерите и видете:

Бидејќи логаритмите имаат исти основи, ја користиме формулата за збир:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log2 48 − log2 3.

Основите се исти, ја користиме формулата за разлика:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log3 135 − log3 5.

Повторно, основите се исти, така што имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Како што можете да видите, оригиналните изрази се составени од „лоши“ логаритми, кои не се пресметуваат одделно. Но, по трансформациите тие излегуваат доста нормални бројки. Многумина се изградени на овој факт тест трудови. Што е со контролите? слични изразисо сета сериозност (понекогаш практично без никакви промени) се нудат на Единствениот државен испит.

Извлекување на експонентот од логаритамот

Тоа е лесно да се забележи последното правилоги следи првите две. Но, во секој случај, подобро е да се запамети - во некои случаи значително ќе го намали износот на пресметките.

Се разбира, сите овие правила имаат смисла ако се почитува ODZ на логаритмот: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И уште една работа: научете да ги применувате сите формули не само од лево кон десно, туку и обратно , т.е. Можете да ги внесете броевите пред знакот за логаритам во самиот логаритам. Ова е она што најчесто се бара.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log7 496.

Ајде да се ослободиме од степенот во аргументот користејќи ја првата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Забележете дека именителот содржи логаритам, чија основа и аргумент се точни моќи: 16 = 24; 49 = 72. Имаме:

Мислам дека да последен примерпотребно е појаснување. Каде отидоа логаритмите? До последен момент работиме само со именителот.

Формули за логаритам. Логаритми примери решенија.

Ја претставивме основата и аргументот на логаритмот што стои таму во форма на моќности и ги извадивме експонентите - добивме дропка „три ката“.

Сега да ја погледнеме главната фракција. Броителот и именителот го содржат истиот број: log2 7. Бидејќи log2 7 ≠ 0, можеме да ја намалиме дропката - 2/4 ќе остане во именителот. Според правилата на аритметиката, четворката може да се пренесе на броителот, што е направено. Резултатот беше одговорот: 2.

Транзиција кон нова основа

Зборувајќи за правилата за собирање и одземање логаритми, конкретно нагласив дека тие работат само со исти основи. Што ако причините се различни? Што ако тие не се точни моќи со ист број?

На помош доаѓаат формулите за транзиција кон нова основа. Да ги формулираме во форма на теорема:

Нека е даден логаритамскиот логакс. Тогаш за кој било број c таков што c > 0 и c ≠ 1, еднаквоста е точно:

Конкретно, ако поставиме c = x, добиваме:

Од втората формула произлегува дека основата и аргументот на логаритмот може да се заменат, но во овој случај целиот израз е „превртен“, т.е. логаритмот се појавува во именителот.

Овие формули ретко се наоѓаат во конвенционалните нумерички изрази. Можно е да се процени колку се погодни само кога се решаваат логаритамски равенки и неравенки.

Сепак, има проблеми кои не можат да се решат воопшто освен со преселба во нова основа. Ајде да погледнеме неколку од овие:

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log5 16 log2 25.

Забележете дека аргументите на двата логаритма содржат точни моќи. Ајде да ги извадиме индикаторите: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Сега да го „превртиме“ вториот логаритам:

Бидејќи производот не се менува при преуредување фактори, мирно помноживме четири и два, а потоа се занимававме со логаритми.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log9 100 lg 3.

Основата и аргументот на првиот логаритам се точни моќи. Ајде да го запишеме ова и да се ослободиме од индикаторите:

Сега да се ослободиме од децимален логаритам, преместување во нова база:

Основен логаритамски идентитет

Често во процесот на решавање е потребно да се претстави број како логаритам на дадена основа. Во овој случај, следните формули ќе ни помогнат:

Во првиот случај, бројот n станува експонент во аргументот. Бројот n може да биде апсолутно се, бидејќи е само логаритамска вредност.

Втората формула е всушност парафразирана дефиниција. Така се вика: .

Всушност, што ќе се случи ако бројот b се подигне до таква моќ што бројот b на оваа моќност го дава бројот a? Така е: резултатот е ист број a. Прочитајте го овој пасус повторно внимателно - многу луѓе се заглавуваат на него.

Како формули за преместување во нова основа, основниот логаритамски идентитет понекогаш е единственото можно решение.

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Забележете дека log25 64 = log5 8 - едноставно го зеде квадратот од основата и аргументот на логаритамот. Разгледување на правилата за множење на силите со истата основа, добиваме:

Ако некој не знае, ова беше вистинска задача од Единствениот државен испит :)

Логаритамска единица и логаритамска нула

Како заклучок, ќе дадам два идентитети кои тешко можат да се наречат својства - напротив, тие се последици од дефиницијата на логаритамот. Тие постојано се појавуваат во проблеми и изненадувачки им создаваат проблеми дури и на „напредните“ студенти.

логаа = 1 е. Запомнете еднаш засекогаш: логаритамот на која било основа a од самата основа е еднаков на еден.
лога 1 = 0 е. Основата a може да биде што било, но ако аргументот содржи еден - логаритам еднаква на нула! Бидејќи a0 = 1 е директна последица на дефиницијата.

Тоа се сите својства. Задолжително вежбајте да ги применувате во пракса! Преземете го мамечкиот лист на почетокот на лекцијата, испечатете го и решете ги проблемите.

Исто така види:

Логаритмот од b до основата a го означува изразот. Да се пресмета логаритамот значи да се најде моќта x () при која е задоволена еднаквоста

Основни својства на логаритмот

Неопходно е да се знаат горенаведените својства, бидејќи скоро сите проблеми и примери поврзани со логаритми се решаваат врз основа на нив. Остатокот од егзотичните својства може да се изведат преку математички манипулации со овие формули

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

При пресметување на формулата за збир и разлика на логаритми (3.4) се среќавате доста често. Останатите се малку сложени, но во голем број задачи тие се неопходни за поедноставување на сложените изрази и пресметување на нивните вредности.

Вообичаени случаи на логаритми

Некои од вообичаените логаритми се оние кај кои основата е дури десет, експоненцијална или два.
Логаритмот до основата десет обично се нарекува децимален логаритам и едноставно се означува со lg(x).

Од снимката се гледа дека во снимката не се пишуваат основите. На пример

Природен логаритам е логаритам чија основа е експонент (означен со ln(x)).

Експонентот е 2,718281828…. За да го запомните експонентот, можете да го проучите правилото: експонентот е еднаков на 2,7 и двапати од годината на раѓање на Лав Николаевич Толстој. Знаејќи го ова правило, ќе ја знаете и точната вредност на експонентот и датумот на раѓање на Лав Толстој.

И уште еден важен логаритам за основата два е означен со

Изводот на логаритамот на функцијата е еднаков на еден поделен со променливата

Интегрален или антидеривативен логаритамопределена со зависност

Дадениот материјал е доволен за да решите широка класа на проблеми поврзани со логаритми и логаритми. За да ви помогнам да го разберете материјалот, ќе дадам само неколку вообичаени примери од училишна наставна програмаи универзитетите.

Примери за логаритми

Логаритмски изрази

Пример 1.
А). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Користејќи ги својствата 3.5 пресметуваме

2.
По својството на разлика на логаритми имаме

3.
Користејќи ги својствата 3.5 наоѓаме

4. Каде .

Според изгледот сложено изразувањекористењето на голем број правила е поедноставено за да се формира

Наоѓање логаритамски вредности

Пример 2. Најдете x ако

Решение. За пресметка, ги применуваме на последниот член 5 и 13 својства

Го ставивме на рекорд и тагуваме

Бидејќи основите се еднакви, ги изедначуваме изразите

Логаритми. Прво ниво.

Нека е дадена вредноста на логаритмите

Пресметај log(x) ако

Решение: Да земеме логаритам на променливата за да го запишеме логаритамот преку збирот на нејзините членови

Ова е само почеток на нашето запознавање со логаритмите и нивните својства. Вежбајте пресметки, збогатете ги вашите практични вештини - наскоро ќе ви треба знаењето што ќе го стекнете за да ги решите логаритамските равенки. Откако ги проучувавме основните методи за решавање на такви равенки, ние ќе го прошириме вашето знаење за друго не помалку важна тема- логаритамски неравенки...

Основни својства на логаритмите

Логаритмите, како и сите броеви, можат да се собираат, одземаат и трансформираат на секој начин. Но, бидејќи логаритмите не се баш обични броеви, тука постојат правила, кои се нарекуваат главните својства.

Дефинитивно треба да ги знаете овие правила - без нив не може да се реши ниту еден сериозен логаритамски проблем. Покрај тоа, има многу малку од нив - можете да научите сè за еден ден. Па ајде да започнеме.

Собирање и одземање логаритми

Размислете за два логаритма со исти основи: логакс и логај. Потоа тие можат да се собираат и одземаат и:

логакс + логај = лога(x y);
логакс − логај = лога (x: y).

Значи, збирот на логаритми е еднаков на логаритмот на производот, а разликата е еднаква на логаритмот на количникот. Ве молиме запомнете: клучната точка овде е идентични основи. Ако причините се различни, овие правила не функционираат!

Овие формули ќе ви помогнат да пресметате логаритамски израз дури и кога неговите поединечни делови не се разгледуваат (видете ја лекцијата „Што е логаритам“). Погледнете ги примерите и видете:

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log6 4 + log6 9.

Бидејќи логаритмите имаат исти основи, ја користиме формулата за збир:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log2 48 − log2 3.

Основите се исти, ја користиме формулата за разлика:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log3 135 − log3 5.

Повторно, основите се исти, така што имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Како што можете да видите, оригиналните изрази се составени од „лоши“ логаритми, кои не се пресметуваат одделно. Но по трансформациите се добиваат сосема нормални бројки. Многу тестови се засноваат на овој факт. Да, изразите слични на тестот се нудат со сета сериозност (понекогаш практично без промени) на унифицираниот државен испит.

Извлекување на експонентот од логаритамот

Сега да ја комплицираме задачата малку. Што ако основата или аргументот на логаритам е моќност? Тогаш експонентот на овој степен може да се извади од знакот на логаритамот според следниве правила:

Лесно е да се види дека последното правило ги следи првите две. Но, во секој случај, подобро е да се запамети - во некои случаи значително ќе го намали износот на пресметките.

Како да се решат логаритми

Ова е она што најчесто се бара.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log7 496.

Ајде да се ослободиме од степенот во аргументот користејќи ја првата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Забележете дека именителот содржи логаритам, чија основа и аргумент се точни моќи: 16 = 24; 49 = 72. Имаме:

Мислам дека последниот пример бара некое појаснување. Каде отидоа логаритмите? До последен момент работиме само со именителот. Ја претставивме основата и аргументот на логаритмот што стои таму во форма на моќности и ги извадивме експонентите - добивме дропка „три ката“.

Транзиција кон нова основа

На помош доаѓаат формулите за транзиција кон нова основа. Да ги формулираме во форма на теорема:

Нека е даден логаритамскиот логакс. Тогаш за кој било број c таков што c > 0 и c ≠ 1, еднаквоста е точно:

Конкретно, ако поставиме c = x, добиваме:

Овие формули ретко се наоѓаат во обичните нумерички изрази. Можно е да се процени колку се погодни само кога се решаваат логаритамски равенки и неравенки.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log5 16 log2 25.

Сега да го „превртиме“ вториот логаритам:

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log9 100 lg 3.

Сега да се ослободиме од децималниот логаритам со преместување во нова основа:

Основен логаритамски идентитет

Втората формула е всушност парафразирана дефиниција. Така се вика: .

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Забележете дека log25 64 = log5 8 - едноставно го зеде квадратот од основата и аргументот на логаритамот. Земајќи ги предвид правилата за множење моќи со иста основа, добиваме:

Ако некој не знае, ова беше вистинска задача од Единствениот државен испит :)

Логаритамска единица и логаритамска нула

логаа = 1 е. Запомнете еднаш засекогаш: логаритамот на која било основа a од самата основа е еднаков на еден.
лога 1 = 0 е. Основата a може да биде што било, но ако аргументот содржи еден, логаритамот е еднаков на нула! Бидејќи a0 = 1 е директна последица на дефиницијата.