Став 2 Плоштини на паралелограм на триаголник и трапез. „Плоштина на паралелограм, триаголник, трапез

1) Поздрав

2) Мотивација на часот Наставникот ја проверува подготвеноста на часот за часот; ги мотивира учениците да формулираат тема.

Прочитајте ја дефиницијата на табла (лист со тема) и вметнете го предметниот концепт:

Големината на тој дел од рамнината што го зафаќа многуаголникот е ... (област)

Четириаголник чии спротивни страни се паралелни во парови - .... (паралелограм)

Фигурата составена од три точки кои не лежат на иста права и три отсечки што ги поврзуваат се нарекува .... (триаголник)

Фигурата во која две страни се паралелни, а другите две не се паралелни се нарекува ... (трапез)

Од добиените зборови, обидете се да ја креирате темата на нашата денешна лекција.

Значи, темата на часот….Плоштини на паралелограм, триаголник, трапез.

Области, какви бројки можеме да најдеме и како?

Пресметајте ги плоштините на фигурите на сл.

Дали има други решенија?

Што се случи?

Какви обиди се направени да се најде областа?

Кој се обиде да ја најде плоштината на паралелограм? Кажи ми.

Изведување на формулата за плоштина на паралелограм.

Задача.

Како да се „прецрта“ паралелограм за да се добие правоаголник со иста површина?

Паралелограмот беше повторно нацртан во правоаголник. Ова значи дека неговата површина е еднаква на површината на правоаголникот.

Колкава е должината и ширината на правоаголникот за паралелограм?

Плоштината на паралелограм е еднаква на производот на неговата основа и неговата висина.

Во паралелограм, основата може да биде која било страна. И за да се примени формулата за наоѓање на површината, висината мора да се повлече до основата.

Ајде да ја пресметаме плоштината на овој паралелограм.

Изведување на формулата за плоштина на триаголник.

Како можете да прецртате или пополните триаголник?

Површината на триаголникот е еднаква на половина од производот на неговата основа и висина.

Што ако триаголникот е правоаголен?

Погледнете ја сл.

Може да се „прецрта“ во правоаголник.

И ја наоѓаме неговата област користејќи ја формулата

S =a *b. Должината на правоаголникот е половина од кракот, а ширината е другиот крак.

Површината на правоаголен триаголник е еднаква на половина од производот на неговите краци.

Изведување на формулата за плоштина на трапез.

Погледнете како трепеција е „прецртана“ - во триаголник. И ја наоѓаме областа на триаголникот користејќи ја формулата:

Основата на триаголникот е збир од должините на горната и долната основа, а висината на триаголникот е висината на трапезот.

Површината на трапезот е еднаква на производот од половина од збирот на неговите основи и неговата висина.

1) Најдете С пареа. , Ако А=5, ч =4.

2) Најдете S триаголник. , Ако А=3,5; ч =2.

3) Најдете S скала. , Ако А=4,5; б = 2,5; ч =3.

Завршете задачи за тестирање (види додаток)

Рецензија на самостојна работа.

Решавање проблеми на нова тема:

Бр. 675 (а, г), 676 (а, б), 677 (а, б)

За слабите и слабите ученици е подготвена индивидуална работа на карти во која се вклучени задачи во кои има пример за снимање на решението.

Наставникот нуди да одговори на прашања на нова тема.

Момци, ајде да сумираме!

Што научивте на час денес?

Што научивте да правите?

Што беше тешко да се одлучи?

Наставникот коментира за домашната задача.

став 23 бр. 675 (б, в), 676 (в, г), 677 (в, г)

Браво на сите!

Лекцијата заврши. Збогум!

Површина на геометриска фигура- нумеричка карактеристика на геометриска фигура што ја покажува големината на оваа фигура (дел од површината ограничен со затворената контура на оваа фигура). Големината на површината се изразува со бројот на квадратни единици содржани во неа.

Формули за површина на триаголник

Формула за плоштина на триаголник на страна и висина
Плоштина на триаголникеднаква на половина од производот од должината на страната на триаголникот и должината на висината нацртана на оваа страна
Формула за плоштина на триаголник заснован на три страни и радиус на кружниот круг
Формула за плоштина на триаголник заснована на три страни и радиус на впишаниот круг
Плоштина на триаголнике еднаков на производот на полупериметарот на триаголникот и радиусот на впишаната кружница.

Формули за квадратна површина

Формула за плоштина на квадрат по должина
Квадратна површинаеднаков на квадратот на должината на неговата страна.
Формула за плоштина на квадрат по должината на дијагоналата
Квадратна површинаеднаква на половина од квадратот од должината на неговата дијагонала.
S= 1 2
2

Формула за површина на правоаголник

Површина на правоаголник

Формули за паралелограмска површина

Формула за плоштина на паралелограм врз основа на должината и висината на страната
Површина на паралелограм
Формула за плоштина на паралелограм врз основа на две страни и аголот меѓу нив
Површина на паралелограме еднаков на производот од должините на неговите страни помножен со синусот на аголот меѓу нив.
a b sin α

Формули за плоштина на ромб

Формула за плоштина на ромб врз основа на должината и висината на страната
Површина на ромбе еднаков на производот од должината на неговата страна и должината на висината спуштена на оваа страна.
Формула за плоштина на ромб врз основа на должината и аголот на страната
Површина на ромбе еднаков на производот од квадратот на должината на неговата страна и синусот на аголот помеѓу страните на ромбот.
Формула за плоштина на ромб врз основа на должините на неговите дијагонали
Површина на ромбеднаква на половина од производот од должините на неговите дијагонали.

Формули за трапезоидна област

Херонова формула за трапез
Каде што S е областа на трапезоидот,
- должини на основите на трапезоидот,
- должини на страните на трапезоидот,

Површина на паралелограм

Теорема 1

Површината на паралелограмот се дефинира како производ на должината на неговата страна и висината навлечена кон неа.

каде $a$ е страна на паралелограмот, $h$ е висината нацртана на оваа страна.

Доказ.

Да ни биде даден паралелограм $ABCD$ со $AD=BC=a$. Дозволете ни да ги нацртаме висините $DF$ и $AE$ (сл. 1).

Слика 1.

Очигледно, бројката $FDAE$ е правоаголник.

\[\агол BAE=(90)^0-\агол A,\ \] \[\агол CDF=\агол D-(90)^0=(180)^0-\агол А-(90)^0 =(90)^0-\агол A=\агол BAE\]

Следствено, бидејќи $CD=AB,\ DF=AE=h$, според $I$ критериумот за еднаквост на триаголниците $\triangle BAE=\триаголник CDF$. Потоа

Значи, според теоремата за плоштина на правоаголник:

Теоремата е докажана.

Теорема 2

Областа на паралелограм се дефинира како производ на должината на неговите соседни страни и синусот на аголот помеѓу овие страни.

Математички ова може да се напише на следниов начин

каде $a,\b$ се страните на паралелограмот, $\alpha$ е аголот меѓу нив.

Доказ.

Да ни биде даден паралелограм $ABCD$ со $BC=a,\ CD=b,\ \агол C=\алфа $. Дозволете ни да ја нацртаме висината $DF=h$ (сл. 2).

Слика 2.

По дефиниција за синус, добиваме

Оттука

Значи, според теорема $1$:

Теоремата е докажана.

Плоштина на триаголник

Теорема 3

Површината на триаголникот е дефинирана како половина од производот од должината на неговата страна и висината што е привлечена кон неа.

Математички ова може да се напише на следниов начин

каде $a$ е страна на триаголникот, $h$ е висината нацртана на оваа страна.

Доказ.

Слика 3.

Значи, според теорема $1$:

Теоремата е докажана.

Теорема 4

Површината на триаголникот е дефинирана како половина од производот од должината на неговите соседни страни и синусот на аголот помеѓу овие страни.

Математички ова може да се напише на следниов начин

каде $a,\b$ се страните на триаголникот, $\alpha$ е аголот меѓу нив.

Доказ.

Да ни биде даден триаголник $ABC$ со $AB=a$. Да ја најдеме висината $CH=h$. Ајде да го изградиме до паралелограм $ABCD$ (сл. 3).

Очигледно, според критериумот $I$ за еднаквост на триаголниците, $\триаголник ACB=\триаголник CDB$. Потоа

Значи, според теорема $1$:

Теоремата е докажана.

Областа на трапезоид

Теорема 5

Површината на трапезоидот е дефинирана како половина од производот од збирот на должините на неговите основи и неговата висина.

Математички ова може да се напише на следниов начин

Доказ.

Да ни биде даден трапез $ABCK$, каде $AK=a,\ BC=b$. Да ги нацртаме во него висините $BM=h$ и $KP=h$, како и дијагоналата $BK$ (сл. 4).

Слика 4.

Со теорема $3$, добиваме

Теоремата е докажана.

Примерок задача

Пример 1

Најдете ја плоштината на рамностран триаголник ако должината на неговата страна е $a.$

Решение.

Бидејќи триаголникот е рамностран, сите негови агли се еднакви на $(60)^0$.

Потоа, по теорема $4$, имаме

Одговор:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Забележете дека резултатот од овој проблем може да се искористи за да се најде плоштината на кој било рамностран триаголник со дадена страна.

Да се согласиме да повикаме една од страните на паралелограмот основа, а нормалната извлечена од која било точка на спротивната страна на правата што ја содржи основата е висина на паралелограм.

Теорема

Доказ

Да разгледаме паралелограм ABCD со плоштина S. Да ја земеме страната AD како основа и да ги нацртаме висините ВН и СК (сл. 182). Да докажеме дека S = AD VN.

Ориз. 182

Прво да докажеме дека плоштината на правоаголникот ABCD е исто така еднаква на S. Трапезот ABCD е составен од паралелограм ABCD и триаголник DCK. Од друга страна, тој е составен од правоаголник НВСК и триаголник АВН. Но правоаголните триаголници DCK и ABH се еднакви по хипотенуза и остар агол (нивните хипотенуси AB и CD се еднакви како спротивни страни на паралелограм, а аглите 1 и 2 се еднакви како соодветните агли кога паралелните прави AB и CD се сечат со секантата AD) , па нивните површини се еднакви.

Следствено, областите на паралелограмот ABCD и правоаголникот NVSK се исто така еднакви, т.е. плоштината на правоаголникот NVSK е еднаква на S. Според теоремата за плоштината на правоаголникот, S = BC BN, и бидејќи BC = AD, потоа S = AD BN. Теоремата е докажана.

Плоштина на триаголник

Една од страните на триаголникот често се нарекува основа. Ако е избрана основата, тогаш зборот „висина“ ја означува висината на триаголникот нацртан до основата. Теорема

Доказ

Нека S е плоштината на триаголникот ABC (слика 183). Да ја земеме страната AB како основа на триаголникот и да ја нацртаме висината CH. Да го докажеме тоа .

Ориз. 183

Да го дополниме триаголникот ABC до паралелограмот ABDC како што е прикажано на слика 183. Триаголниците ABC и DCB се еднакви на три страни (BC е нивната заедничка страна, AB = CD и AC = BD како спротивни страни на паралелограмот ABDC), па нивните плоштини се еднакви. Според тоа, областа S на триаголникот ABC е еднаква на половина од плоштината на паралелограмот ABDC, т.е. . Теоремата е докажана.

Заклучок 1

Заклучок 2

Да ја искористиме заклучокот 2 за да ја докажеме теоремата за односот на плоштините на триаголниците со еднакви агли.

Теорема

Доказ

Нека S и S 1 се плоштините на триаголниците ABC и A 1 B 1 C 1, за кои ∠A = ∠A 1 (сл. 184, а). Да го докажеме тоа .

Ориз. 184

Да го поставиме триаголникот A 1 B 1 C 1 на триаголникот ABC така што темето A 1 се порамнува со темето A, а страните A 1 B 1 и A 1 C 1 се преклопуваат со зраците AB и AC, соодветно (сл. 184, б). Според тоа, триаголниците ABC и AB 1 C имаат заедничка висина - CH .

Триаголниците AB 1 C и AB 1 C 1 исто така имаат заедничка висина - B 1 H 1, затоа . Множејќи ги добиените еднаквости, наоѓаме:

Теоремата е докажана.

Областа на трапезоид

За да ја пресметате плоштината на произволен многуаголник, обично го правите ова: поделете го многуаголникот на триаголници и пронајдете ја плоштината на секој триаголник. Збирот на плоштините на овие триаголници е еднаков на плоштината на дадениот многуаголник (слика 185, а). Користејќи ја оваа техника, извлекуваме формула за пресметување на површината на трапез. Дозволете ни да се согласиме да ја наречеме висината на трапезоидот нормална извлечена од која било точка на една од основите до права што ја содржи другата основа. На слика 185, b, сегментот BH (како и сегментот DH 1) е висината на трапезот ABCD.

Ориз. 185

Теорема

Доказ

Размислете за трапезот ABCD со бази AD и BC, висина BH и површина S (види Сл. 185, б).

Да го докажеме тоа

Дијагоналата BD го дели трапезот на два триаголници ABD и BCD, така што S = S ABD + S BCD.

Да ги земеме отсечките AD и ВН како основа и висина на триаголникот ABD, а отсечките ВС и DH 1 како основа и висина на триаголникот BCD. Потоа

Теоремата е докажана.

Задачи

459. Нека a е основата, h висината и S плоштината на паралелограмот. Најдете: а) S, ако a = 15 cm, h = 12 cm; б) a, ако S = 34 cm 2, h = 8,5 cm; в) a, ако S = 162 cm 2, h = 1/2a; г) h, ако h = 3a, S = 27.

460. Дијагоналата на паралелограм, еднаква на 13 cm, е нормална на страната на паралелограмот, еднаква на 12 cm.

461. Соседните страни на паралелограмот се 12 cm и 14 cm, а неговиот остар агол е 30 °. Најдете ја плоштината на паралелограмот.

462. Страната на ромбот е 6 cm, а еден од аглите е 150 °. Најдете ја областа на ромбот.

463. Страната на паралелограмот е 8,1 cm, а дијагоналата, еднаква на 14 cm, со неа формира агол од 30 °. Најдете ја плоштината на паралелограмот.

464. Нека a и b се соседни страни на паралелограмот, S плоштината, a h 1 и h 2 неговите висини. Најдете: а) h 2 ако a = 18 cm, b = 30 cm, h 1 = 6 cm, h 2 > h 1 ; б) h 1, ако a = 10 cm, 6 = 15 cm, h 2 = 6 cm, h 2 > h 1 в) h 1 и h 2, ако S = 54 cm 2, a = 4,5 cm, b = 6 цм.

465. Остриот агол на паралелограмот е 30°, а висините извлечени од темето на тапиот агол се 2 cm и 3 cm.

466. Дијагоналата на паралелограмот е еднаква на неговата страна. Најдете ја плоштината на паралелограм ако неговата најдолга страна е 15,2 cm и еден од неговите агли е 45 °.

467. Квадрат и ромб што не е квадрат имаат исти периметри. Споредете ги областите на овие бројки.

468. Нека a е основата, h висината и S плоштината на триаголникот. Најдете: а) S, ако a = 7 cm, h = 11 cm; б) S, ако a = 2√3 cm, h = 5 cm; в) h, ако S = 37,8 cm 2, a - 14 cm; г) a, ако S = 12 cm 2, h = 3√2 cm.

469. Страните AB и BC на триаголникот ABC се еднакви на 16 cm и 22 cm, соодветно, а висината нацртана на страната AB е еднаква на 11 cm.

470. Две страни на триаголникот се еднакви на 7,5 cm и 3,2 cm.

471. D Најдете ја плоштината на правоаголен триаголник ако неговите кати се еднакви: а) 4 cm и 11 cm; б) 1,2 dm и 3 dm.

472. Плоштината на правоаголен триаголник е 168 cm 2. Најдете ги неговите краци ако односот на нивните должини е 7/12.

473. Низ темето C на триаголникот ABC се повлекува права m паралелна на страната AB. Докажете дека сите триаголници со темиња на правата m и основата AB имаат еднакви плоштини.

474. Спореди ги плоштините на два триаголници на кои даден триаголник е поделен со неговата средина.

475. Нацртај триаголник ABC. Нацртајте две прави низ темето А така што тие ќе го поделат овој триаголник на три триаголници со еднакви плоштини.

476. Докажете дека плоштината на ромб е еднаква на половина од производот од неговите дијагонали. Пресметај ја плоштината на ромб ако неговите дијагонали се еднакви на: а) 3,2 dm и 14 cm; б) 4,6 dm и 2 dm.

477. Најдете ги дијагоналите на ромб ако едната е 1,5 пати поголема од другата, а плоштината на ромбот е 27 cm 2.

478. Во конвексен четириаголник дијагоналите се меѓусебно нормални. Докажете дека плоштината на четириаголник е еднаква на половина од производот на неговите дијагонали.

479. Точките D и E лежат на страните AB и AC на триаголникот ABC. Најдете: а) S ADE, ако AB = 5 cm, AC = 6 cm, AD = 3 cm, AE = 2 cm, S ABC = 10 cm 2; б) AD, ако AB = 8 cm, AC = 3 cm, AE = 2 cm, S ABC = 10 cm 2, S ADE = 2 cm 2.

480. Најдете ја областа на трапезот ABCD со основите AB и CD ако:

а) AB = 21 cm, CD = 17 cm, висината BH е 7 cm;
б) ∠D = 30°, AB = 2 cm, CD = 10 cm, DA = 8 cm;
в) BC ⊥ AB, AB = 5 cm, BC = 8 cm, CD = 13 cm.

481. Најдете ја плоштината на правоаголен трапез чии две помали страни се 6 cm, а поголемиот агол е 135 °.

482. Тапиот агол на рамнокрак трапез е 135°, а надморската височина извлечена од темето на овој агол ја дели поголемата основа на сегменти од 1,4 cm и 3,4 cm.

Одговори на проблеми

459. а) 180 cm 2; б) 4 см; в) 18 см; г) 9.

460. 156 cm 2.

461,84 см 2.

462. 18 cm 2.

463,56,7 cm2.

464. а) 10 см; б) 4 см; в) 12 см и 9 см.

465. 12 cm 2.

466. 115,52 cm 2.

467. Површината на квадрат е поголема.

468. а) 38,5 cm 2; б) 5√3 cm 2; в) г) 4√2 cm.

470,5,625 см.

471. а) 22 cm 2; б) 1,8 dm 2.

472. 14 cm и 24 cm.

473. Упатство. Користете ја теоремата 38.

474. Плоштините на триаголниците се еднакви.

475. Упатство. Прво, поделете ја страната BC на три еднакви делови.

476. а) 224 cm 2; б) 4,6 dm 2. Забелешка. Забележете дека дијагоналите на ромбот се меѓусебно нормални.

477. 6 cm и 9 cm.

479. а) 2 cm 2; б) 2,4 см. Користете ја втората теорема од став 53.

480. а) 133 cm 2; б) 24 cm 2; в) 72 см 2.

481,54 см 2.

Површина на паралелограм

Теорема 1

каде $a$ е страна на паралелограмот, $h$ е висината нацртана на оваа страна.

Доказ.

Да ни биде даден паралелограм $ABCD$ со $AD=BC=a$. Дозволете ни да ги нацртаме висините $DF$ и $AE$ (сл. 1).

Слика 1.

Очигледно, бројката $FDAE$ е правоаголник.

\[\агол BAE=(90)^0-\агол A,\ \] \[\агол CDF=\агол D-(90)^0=(180)^0-\агол А-(90)^0 =(90)^0-\агол A=\агол BAE\]

Значи, според теоремата за плоштина на правоаголник:

Теоремата е докажана.

Теорема 2

Математички ова може да се напише на следниов начин

каде $a,\b$ се страните на паралелограмот, $\alpha$ е аголот меѓу нив.

Доказ.

Да ни биде даден паралелограм $ABCD$ со $BC=a,\ CD=b,\ \агол C=\алфа $. Дозволете ни да ја нацртаме висината $DF=h$ (сл. 2).

Слика 2.

По дефиниција за синус, добиваме

Оттука

Значи, според теорема $1$:

Теоремата е докажана.

Плоштина на триаголник

Теорема 3

Математички ова може да се напише на следниов начин

каде $a$ е страна на триаголникот, $h$ е висината нацртана на оваа страна.

Доказ.

Слика 3.

Значи, според теорема $1$:

Теоремата е докажана.

Теорема 4

Математички ова може да се напише на следниов начин

каде $a,\b$ се страните на триаголникот, $\alpha$ е аголот меѓу нив.

Доказ.

Очигледно, според критериумот $I$ за еднаквост на триаголниците, $\триаголник ACB=\триаголник CDB$. Потоа

Значи, според теорема $1$:

Теоремата е докажана.

Областа на трапезоид

Теорема 5

Математички ова може да се напише на следниов начин

Доказ.

Слика 4.

Со теорема $3$, добиваме

Теоремата е докажана.

Примерок задача

Пример 1

Најдете ја плоштината на рамностран триаголник ако должината на неговата страна е $a.$

Решение.

Бидејќи триаголникот е рамностран, сите негови агли се еднакви на $(60)^0$.

Потоа, по теорема $4$, имаме

Одговор:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.