Најголема и најмала вредност на функција

Најголемата вредност на функцијата е најголемата, најмалата вредност е најмалата од сите нејзини вредности.

Функцијата може да има само една најголема и само една најмала вредност, или може да нема воопшто. Наоѓањето на најголемите и најмалите вредности на континуираните функции се заснова на следните својства на овие функции:

1) Ако во одреден интервал (конечно или бесконечно) функцијата y=f(x) е континуирана и има само еден екстремум и ако тоа е максимум (минимум), тогаш тоа ќе биде најголемата (најмалата) вредност на функцијата во овој интервал.

2) Ако функцијата f(x) е континуирана на одреден сегмент, тогаш таа нужно ги има најголемите и најмалите вредности на овој сегмент. Овие вредности се постигнуваат или во крајните точки што лежат во сегментот, или на границите на овој сегмент.

За да ги пронајдете најголемите и најмалите вредности на сегментот, се препорачува да ја користите следнава шема:

1. Најдете го изводот.

2. Најдете критични точки на функцијата во која =0 или не постои.

3. Најдете ги вредностите на функцијата во критичните точки и на краевите на отсечката и изберете од нив најголемата f max и најмалата f max.

При одлучувањето применети проблеми, особено оптимизација, важноимаат задачи за пронаоѓање на најголемите и најмалите вредности (глобален максимум и глобален минимум) на функцијата на интервалот X. За да се решат ваквите проблеми, треба, врз основа на условот, да се избере независна променлива и да се изрази вредноста што се проучува преку оваа променлива. Потоа пронајдете ја саканата најголема или најмала вредност на добиената функција. Во овој случај, од условите на проблемот се одредува и интервалот на промена на независната променлива, која може да биде конечна или бесконечна.

Пример.Резервоар во облик на отворен врв правоаголен паралелепипедсо квадратно дно, треба да ја закачите внатрешноста. Кои треба да бидат димензиите на резервоарот ако неговиот капацитет е 108 литри? вода, така што трошоците за калајирање се минимални?

Решение.Трошоците за обложување на резервоарот со калај ќе бидат минимални ако, за даден капацитет, неговата површина е минимална. Да ја означиме со dm страната на основата, b dm висината на резервоарот. Тогаш плоштината S на неговата површина е еднаква на

И

Добиената врска ја воспоставува врската помеѓу површината на резервоарот S (функција) и страната на основата a (аргумент). Да ја испитаме функцијата S за екстрем. Ајде да го најдеме првиот извод, да го изедначиме со нула и да ја решиме добиената равенка:

Оттука a = 6. (а) > 0 за a > 6, (а)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Пример. Најдете ги најголемите и најмалите вредности на функцијата на интервалот.

Решение: Наведена функцијаконтинуирано на целата нумеричка права. Извод на функција

Извод за и за . Ајде да ги пресметаме вредностите на функциите во овие точки:

.

Вредностите на функцијата на краевите на дадениот интервал се еднакви. Според тоа, најголемата вредност на функцијата е еднаква на , најмалата вредност на функцијата е еднаква на .

Прашања за самотестирање

1. Формулирајте го правилото на L'Hopital за откривање на несигурностите на формата. Список Различни видовинесигурности за кои може да се користи правилото на L'Hopital.

2. Формулирајте ги знаците за зголемување и намалување на функциите.

3. Дефинирајте го максимумот и минимумот на функцијата.

4. Формулирајте неопходен условпостоење на екстрем.

5. Кои вредности на аргументот (кои точки) се нарекуваат критични? Како да ги најдете овие точки?

6. Кои се доволни знаци за постоење на екстрем на функција? Наведете шема за проучување на функција на екстрем со користење на првиот извод.

7. Наведете шема за проучување на функција на екстрем со користење на вториот извод.

8. Дефинирајте конвексност и конкавност на крива.

9. Што се нарекува точка на флексија на графикот на функцијата? Наведете метод за наоѓање на овие точки.

10. Формулирајте ги неопходните и доволни знаци на конвексност и конкавност на крива на зад себе овој сегмент.

11. Дефинирајте ја асимптота на крива. Како да најдете вертикални, хоризонтални и коси асимптотифункционална графика?

12. Преглед општа шемаистражување на функција и конструирање на нејзиниот график.

13. Формулирајте правило за наоѓање на најголемите и најмалите вредности на функцијата на даден интервал.

А за да го решите ќе ви треба минимално познавање на темата. Следниот завршува академска година, секој сака да оди на одмор, а за да го доближам овој момент, ќе се вратам директно на поентата:

Да почнеме со областа. Областа наведена во состојбата е ограничен затворена збир на точки на рамнина. На пример, множеството точки ограничени со триаголник, вклучувајќи го ЦЕЛИОТ триаголник (ако од граници„избодете“ барем една точка, тогаш регионот повеќе нема да биде затворен). Во пракса, постојат и области кои се правоаголни, кружни и малку поголеми. сложени форми. Треба да се напомене дека во теорија математичка анализададени се строги дефиниции ограничувања, изолација, граници итн., но мислам дека сите се свесни за овие концепти на интуитивно ниво и сега не е потребно ништо повеќе.

Рамен регион стандардно се означува со буквата и, по правило, се одредува аналитички - со неколку равенки (не мора линеарно); поретко нееднаквости. Типичен говор: „затворена област, ограничени со линии ».

Составен делЗадачата за која станува збор е да се изгради област на цртежот. Како да се направи тоа? Треба да ги нацртате сите наведени линии (во во овој случај 3 директно) и анализирајте што се случило. Пребаруваната област обично е слабо засенчена, а нејзината граница е означена со дебела линија:


Може да се постави и истата област линеарни неравенки: , кои поради некоја причина често се пишуваат како набројана листа наместо систем.
Бидејќи границата припаѓа на регионот, тогаш сите нееднаквости, се разбира, лабави.

И сега суштината на задачата. Замислете дека оската излегува директно кон вас од почетокот. Размислете за функција која континуирано во секоеобласт точка. Графикот на оваа функција претставува некои површина, а малата среќа е што за да го решиме денешниот проблем не треба да знаеме како изгледа оваа површина. Може да се наоѓа повисоко, пониско, да ја пресече рамнината - сето ова не е важно. А важно е следното: според Вајерштрасови теореми, континуираноВ ограничен затворенобласт функцијата ја достигнува својата најголема вредност (највисок")а најмалку (најнискиот")вредности кои треба да се најдат. Ваквите вредности се постигнуваат илиВ стационарни точки, кои припаѓаат на регионотД , илина точките кои лежат на границата на овој простор. Ова води до едноставен и транспарентен алгоритам за решение:

Пример 1

Во ограничен затворен простор

Решение: Пред сè, треба да ја прикажете областа на цртежот. За жал, технички ми е тешко да направам интерактивен модел на проблемот и затоа веднаш ќе ја претставам конечната илустрација која ги прикажува сите „сомнителни“ точки пронајдени при истражувањето. Тие обично се наведени еден по друг како што се откриени:

Врз основа на преамбулата, одлуката може погодно да се подели на две точки:

I) Најдете стационарни точки. Ова е стандардна акција што ја извршувавме постојано во класата. за екстремите на неколку променливи:

Пронајдена стационарна точка припаѓаобласти: (означете го на цртежот), што значи дека треба да ја пресметаме вредноста на функцијата во дадена точка:

- како во статијата Најголемите и најмалите вредности на функцијата на сегмент, важни резултатиќе истакнам со задебелени букви. Удобно е да ги следите во тетратка со молив.

Обрнете внимание на нашата втора среќа - нема смисла да се провери доволен услов за екстрем. Зошто? Дури и ако во одреден момент функцијата достигне, на пример, локален минимум, тогаш ова НЕ ЗНАЧИ дека добиената вредност ќе биде минималнаниз целиот регион (видете го почетокот на лекцијата за безусловните крајности) .

Што да направите ако стационарната точка НЕ ​​припаѓа на областа? Речиси ништо! Треба да се забележи дека и да се премине на следната точка.

II) Ја истражуваме границата на регионот.

Бидејќи границата се состои од страни на триаголник, погодно е студијата да се подели на 3 подсекции. Но, подобро е да не го правите тоа во секој случај. Од моја гледна точка, поповолно е прво да се разгледаат сегментите паралелни координатни оски, и пред сè, самите легнати на секирите. За да ја сфатите целата низа и логика на дејства, обидете се да го проучите крајот „во еден здив“:

1) Ајде да се справиме со долната страна на триаголникот. За да го направите ова, заменете директно во функцијата:

Алтернативно, можете да го направите вака:

Геометриски тоа значи координатна рамнина (што е дадено и со равенката)„резби“ надвор од површини„просторна“ парабола, чиј врв веднаш доаѓа под сомнеж. Ајде да дознаеме каде се наоѓа таа:

– добиената вредност „падна“ во областа и може да испадне дека во точката (означено на цртежот)функцијата го достигнува својот максимум или најниска вредноство целиот регион. На еден или друг начин, ајде да ги направиме пресметките:

Останатите „кандидати“ се секако краевите на сегментот. Ајде да ги пресметаме вредностите на функцијата во точките (означено на цртежот):

Овде, патем, можете да извршите орална мини-проверка со помош на „одземена“ верзија:

2) За истражување десна странаго заменуваме триаголникот во функцијата и ги „поставуваме работите во ред“:

Овде веднаш ќе извршиме груба проверка, „ѕвонејќи“ на веќе обработениот крај на сегментот:
, Одлично.

Геометриската ситуација е поврзана претходната точка:

- добиената вредност исто така „влезе во сферата на нашите интереси“, што значи дека треба да пресметаме што е еднаква на функцијата во точката што се појавува:

Ајде да го испитаме вториот крај на сегментот:

Користење на функцијата , ајде да извршиме контролна проверка:

3) Веројатно секој може да погоди како да ја истражи преостанатата страна. Го заменуваме во функцијата и вршиме поедноставувања:

Краевите на сегментот веќе се истражени, но во нацртот сепак проверуваме дали правилно сме ја нашле функцијата :
– се совпадна со резултатот од 1-ви потстав;
– се совпадна со резултатот од 2-ри потстав.

Останува да откриеме дали има нешто интересно во сегментот:

- Ете го! Заменувајќи ја правата линија во равенката, ја добиваме ординатата на оваа „интересност“:

Означуваме точка на цртежот и ја наоѓаме соодветната вредност на функцијата:

Ајде да ги провериме пресметките користејќи ја верзијата „буџет“. :
, со цел.

И последниот чекор: Внимателно ги разгледуваме сите „храбри“ бројки, им препорачувам на почетниците дури и да направат единствен список:

од кои ги избираме најголемите и најмалите вредности. ОдговориАјде да запишеме во стилот на проблемот на наоѓање најголемите и најмалите вредности на функцијата на сегмент:

За секој случај, пак ќе коментирам геометриско значењерезултат:
- еве најмногу висока точкаповршини во областа;
- еве најмногу ниска точкаповршини во областа.

Во анализираната задача идентификувавме 7 „сомнителни“ точки, но нивниот број варира од задача до задача. За триаголен регион, минималниот „истражувачки сет“ се состои од три бода. Ова се случува кога функцијата, на пример, одредува рамнина– сосема е јасно дека нема неподвижни точки, а функцијата може да ги достигне своите максимални/најмали вредности само на темињата на триаголникот. Но, има само еден или два слични примери - обично треба да се справите со некои површина од втор ред.

Ако се обидете малку да ги решите таквите задачи, тогаш триаголниците можат да ви ја завртат главата и затоа ви подготвив необични примериза да стане квадрат :))

Пример 2

Најдете ги најголемите и најмалите вредности на функцијата во затворена област ограничена со линии

Пример 3

Најдете ги најголемите и најмалите вредности на функцијата во ограничен затворен регион.

Посебно вниманиеОбрнете внимание на рационалниот редослед и техника на проучување на границата на регионот, како и на синџирот на посредни проверки, со што речиси целосно ќе се избегнат грешките во пресметката. Општо земено, можете да го решите како што сакате, но во некои проблеми, на пример, во Пример 2, постојат сите шанси да ви го отежни животот. Приближен примерокзавршување на задачите на крајот од часот.

Ајде да го систематизираме алгоритмот за решение, инаку со мојата трудољубивост како пајак некако се изгуби во долгата нишка коментари од првиот пример:

– На првиот чекор градиме област, препорачливо е да ја засенчиме и да ја истакнеме границата со задебелена линија. При решавањето ќе се појават точки кои треба да се означат на цртежот.

- Најдете стационарни точки и пресметајте ги вредностите на функцијата само во тие од нивкои припаѓаат на регионот. Добиените вредности ги истакнуваме во текстот (на пример, заокружете ги со молив). Ако стационарна точка НЕ ​​припаѓа на регионот, тогаш овој факт го означуваме со икона или вербално. Ако стационарни точкивоопшто не, тогаш донесуваме писмен заклучок дека тие се отсутни. Во секој случај, оваа точка не може да се прескокне!

– Ја истражуваме границата на регионот. Прво, корисно е да се разберат правите линии кои се паралелни со координатните оски (ако воопшто ги има). Ги истакнуваме и вредностите на функциите пресметани на „сомнителни“ точки. Многу е кажано погоре за техниката на решение и нешто друго ќе се каже подолу - читај, препрочитај, истражувај во неа!

– Од избраните броеви изберете ги најголемите и најмалите вредности и дајте го одговорот. Понекогаш се случува функцијата да достигне такви вредности во неколку точки одеднаш - во овој случај, сите овие точки треба да се рефлектираат во одговорот. Нека, на пример, и се покажа дека ова е најмалата вредност. Потоа го запишуваме тоа

Последните примери се посветени на другите корисни идеишто ќе биде корисно во пракса:

Пример 4

Најдете ги најголемите и најмалите вредности на функцијата во затворен регион .

Ја задржав формулацијата на авторот, во која плоштината е дадена во форма на двојна неравенка. Овој услов може да биде напишан со еквивалентен систем или во потрадиционална форма за овој проблем:

Ве потсетувам дека со нелинеарнинаидовме на нееднаквости, и ако не го разбирате геометриското значење на ознаката, тогаш ве молиме не одложувајте и разјаснете ја ситуацијата веднаш;-)

Решение, како и секогаш, започнува со изградба на област што претставува еден вид „ѓон“:

Хм, понекогаш мора да го џвакаш не само гранитот на науката...

I) Најдете стационарни точки:

Системот е сон на идиот :)

Стационарна точка му припаѓа на регионот, имено, лежи на неговата граница.

И така, во ред е... лекцијата помина добро - еве што значи да се пие вистинскиот чај =)

II) Ја истражуваме границата на регионот. Без понатамошно одложување, да започнеме со оската x:

1) Ако, тогаш

Ајде да откриеме каде е темето на параболата:
– ценете ги таквите моменти – „погодивте“ точно до точка од која веќе се е јасно. Но, сè уште не забораваме да провериме:

Ајде да ги пресметаме вредностите на функцијата на краевите на сегментот:

2) В днотоАјде да ги откриеме „дното“ „во едно седење“ - ги заменуваме во функцијата без никакви комплекси и ќе нè интересира само сегментот:

Контрола:

Ова веќе внесува возбуда во монотоното возење по превитканата патека. Ајде да најдеме критични точки:

Ајде да одлучиме квадратна равенка, дали се сеќавате на нешто друго за ова? ...Сепак, запомнете, се разбира, инаку немаше да ги читате овие редови =) Ако во двата претходни примери пресметките во децимали(што, патем, е ретко), тогаш овде не чекаат вообичаените заеднички дропки. Ги наоѓаме корените „Х“ и ја користиме равенката за да ги одредиме соодветните координати на „играта“ на точките „кандидати“:


Ајде да ги пресметаме вредностите на функцијата во пронајдените точки:

Проверете ја функцијата сами.

Сега внимателно ги проучуваме освоените трофеи и запишуваме одговори:

Ова се „кандидати“, ова се „кандидати“!

За да го решите сами:

Пример 5

Најдете го најмалиот и највисока вредностфункции во затворен простор

Записот со кадрави загради гласи вака: „збир на точки такви што“.

Понекогаш во слични примериупотреба Лагранж метод на мултипликатор, но веројатно нема да има реална потреба да се користи. Така, на пример, ако е дадена функција со иста област „de“, тогаш по замена во неа - со изводот од без тешкотии; Покрај тоа, сè е нацртано во „една линија“ (со знаци) без потреба да се разгледуваат горните и долните полукругови одделно. Но, се разбира, ги има повеќе сложени случаи, каде што без функцијата Лагранж (каде, на пример, е истата равенка на круг)Тешко е да се помине - исто како што е тешко да се помине без добар одмор!

Убаво време на сите и се гледаме наскоро следната сезона!

Решенија и одговори:

Пример 2: Решение: Ајде да ја прикажеме областа на цртежот:

Процесот на пребарување на најмалите и најголемите вредности на функцијата на сегмент потсетува на фасцинантен лет околу објект (график на функција) во хеликоптер, пукање на одредени точки од топ со долг дострел и избирање многу посебни точки од овие точки за контролни истрели. Поените се избираат на одреден начин и според одредени правила. По кои правила? За ова ќе зборуваме понатаму.

Доколку функцијата y = ѓ(x) е континуиран во интервалот [ а, б] , тогаш стигнува на овој сегмент најмалку И највисоки вредности . Ова може да се случи или во екстремни точки, или на краевите на сегментот. Затоа, да се најде најмалку И најголемите вредности на функцијата , континуирано на интервалот [ а, б] , треба да ги пресметате неговите вредности во сите критични точкии на краевите на отсечката, а потоа изберете ги најмалите и најголемите од нив.

Нека, на пример, сакате да ја одредите најголемата вредност на функцијата ѓ(x) на сегментот [ а, б] . За да го направите ова, треба да ги најдете сите негови критични точки што лежат на [ а, б] .

Критична точка наречена точка во која дефинирана функција, и неа дериватили еднакво на нула или не постои. Потоа треба да ги пресметате вредностите на функцијата во критичните точки. И, конечно, треба да се споредат вредностите на функцијата во критичните точки и на краевите на сегментот ( ѓ(а) И ѓ(б)). Најголемиот од овие бројки ќе биде најголемата вредност на функцијата на сегментот [а, б] .

Проблеми со наоѓање најмали функциски вредности .

Заедно ги бараме најмалите и најголемите вредности на функцијата

Пример 1. Најдете ги најмалите и најголемите вредности на функцијата на сегментот [-1, 2] .

Решение. Најдете го изводот на оваа функција. Да го изедначиме изводот со нула () и да добиеме две критични точки: и . За да се најдат најмалите и најголемите вредности на функцијата на даден сегмент, доволно е да се пресметаат нејзините вредности на краевите на сегментот и во точката, бидејќи точката не припаѓа на отсечката [-1, 2]. Овие функциски вредности се: , , . Го следи тоа најмала функционална вредност(означено со црвено на графиконот подолу), еднакво на -7, се постигнува на десниот крај на отсечката - во точката , и најголем(исто така црвено на графикот), е еднакво на 9, - во критичната точка.

Ако функцијата е континуирана во одреден интервал и овој интервал не е отсечка (туку е, на пример, интервал; разликата помеѓу интервалот и отсечката: граничните точки на интервалот не се вклучени во интервалот, туку граничните точки на сегментот се вклучени во сегментот), тогаш меѓу вредностите на функцијата можеби нема да има најмала и најголема. Така, на пример, функцијата прикажана на сликата подолу е континуирана на ]-∞, +∞[ и нема најголема вредност.

Меѓутоа, за кој било интервал (затворен, отворен или бесконечен), следново својство на континуирани функции е точно.

Пример 4. Најдете ги најмалите и најголемите вредности на функцијата на сегментот [-1, 3] .

Решение. Го наоѓаме изводот на оваа функција како извод на количникот:

.

Изводот го изедначуваме со нула, што ни дава една критична точка: . Припаѓа на сегментот [-1, 3] . За да ги најдеме најмалите и најголемите вредности на функцијата на даден сегмент, ги наоѓаме нејзините вредности на краевите на сегментот и на пронајдената критична точка:

Ајде да ги споредиме овие вредности. Заклучок: еднаков на -5/13, во точка и највисока вредностеднакво на 1 во точка .

Продолжуваме заедно да ги бараме најмалите и најголемите вредности на функцијата

Има наставници кои на тема пронаоѓање на најмалите и најголемите вредности на функцијата не им даваат на учениците примери за решавање кои се посложени од оние кои штотуку беа дискутирани, односно оние во кои функцијата е полином или дропка, чиј броител и именител се полиноми. Но, ние нема да се ограничиме на такви примери, бидејќи меѓу наставниците има и такви кои сакаат да ги принудат учениците да размислуваат целосно (табела со деривати). Затоа ќе се користат логаритамската и тригонометриската функција.

Пример 6. Најдете ги најмалите и најголемите вредности на функцијата на сегментот .

Решение. Изводот на оваа функција го наоѓаме како дериват на производот :

Изводот го изедначуваме со нула, што дава една критична точка: . Припаѓа на сегментот. За да ги најдеме најмалите и најголемите вредности на функцијата на даден сегмент, ги наоѓаме нејзините вредности на краевите на сегментот и на пронајдената критична точка:

Резултат од сите дејства: функцијата ја достигнува својата минимална вредност, еднакво на 0, во точката и во точката и највисока вредност, еднакви д², во точката.

Пример 7. Најдете ги најмалите и најголемите вредности на функцијата на сегментот .

Решение. Најдете го изводот на оваа функција:

Изводот го изедначуваме со нула:

Единствената критична точка му припаѓа на сегментот. За да ги најдеме најмалите и најголемите вредности на функцијата на даден сегмент, ги наоѓаме нејзините вредности на краевите на сегментот и на пронајдената критична точка:

Заклучок: функцијата ја достигнува својата минимална вредност, еднакво на , во точката и највисока вредност, еднакви , во точката .

Кај применетите екстремни проблеми, наоѓањето на најмалите (максимални) вредности на функцијата, по правило, се сведува на наоѓање на минимум (максимум). Но, не се од поголем практичен интерес самите минимуми или максимални, туку оние вредности на аргументот со кои се постигнуваат. При решавање на применетите проблеми се јавува дополнителна тешкотија- компилација на функции кои го опишуваат феноменот или процесот што се разгледува.

Пример 8.Резервоар со капацитет од 4, со форма на паралелепипед со квадратна основаи се отвора одозгора, треба да се калај. Кои треба да бидат димензиите на резервоарот така што ќе потрае најмал износматеријал?

Решение. Нека x- основната страна, ч- висина на резервоарот, С- неговата површина без покривка, В- нејзиниот волумен. Површината на резервоарот се изразува со формулата, т.е. е функција од две променливи. Да се ​​изрази Скако функција на една променлива го користиме фактот дека , од каде . Замена на пронајдениот израз чво формулата за С:

Ајде да ја испитаме оваа функција до крајност. Таа е дефинирана и диференцијабилна насекаде во ]0, +∞[ и

.

Изводот го изедначуваме со нула () и ја наоѓаме критичната точка. Дополнително, кога изводот не постои, но оваа вредност не е вклучена во доменот на дефиниција и затоа не може да биде екстремна точка. Значи, ова е единствената критична точка. Ајде да го провериме за присуство на екстремум користејќи го вториот доволен знак. Ајде да го најдеме вториот извод. Кога вториот извод е поголем од нула (). Тоа значи дека кога функцијата ќе достигне минимум . Од ова минимумот е единствениот екстремум на оваа функција, тоа е нејзината најмала вредност. Значи, страната на основата на резервоарот треба да биде 2 m, а нејзината висина треба да биде .

Пример 9.Од точка Асе наоѓа на железничката пруга, до точка СО, кој се наоѓа на растојание од него л, товарот мора да се транспортира. Трошоците за транспорт на единица тежина по единица растојание со железница се еднакви на , а по автопат се еднакви на . До која точка Млинии железницатреба да се изгради автопат за транспорт на товар од АВ СОбеше најекономичен (дел АБжелезницата се претпоставува дека е права)?

Стандардниот алгоритам за решавање на вакви проблеми вклучува, по наоѓање на нулите на функцијата, одредување на знаците на изводот на интервалите. Потоа пресметување на вредностите на пронајдените максимални (или минимални) точки и на границата на интервалот, во зависност од тоа кое прашање е во состојбата.

Ве советувам да ги правите работите малку поинаку. Зошто? Напишав за ова.

Предлагам да се решат ваквите проблеми на следниот начин:

1. Најдете го изводот.
2. Најдете ги нулите на изводот.
3. Определи кои од нив припаѓаат овој интервал.
4. Ги пресметуваме вредностите на функцијата на границите на интервалот и точките од чекор 3.
5. Извлекуваме заклучок (одговорете на поставеното прашање).

При решавањето на презентираните примери, решението не беше детално разгледано квадратни равенки, мора да можете да го направите ова. Тие исто така треба да знаат.

Ајде да погледнеме примери:

77422. Најдете ја најголемата вредност на функцијата y=x 3 –3x+4 на отсечката [–2;0].

Да ги најдеме нулите на изводот:

Точката x = –1 припаѓа на интервалот наведен во условот.

Ги пресметуваме вредностите на функцијата во точките –2, –1 и 0:

Најголемата вредност на функцијата е 6.

Одговор: 6

77425. Најди ја најмалата вредност на функцијата y = x 3 – 3x 2 + 2 на отсечката.

Да го најдеме изводот на дадената функција:

Да ги најдеме нулите на изводот:

Точката x = 2 припаѓа на интервалот наведен во условот.

Ги пресметуваме вредностите на функцијата во точките 1, 2 и 4:

Најмалата вредност на функцијата е –2.

Одговор: -2

77426. Најди ја најголемата вредност на функцијата y = x 3 – 6x 2 на отсечката [–3;3].

Да го најдеме изводот на дадената функција:

Да ги најдеме нулите на изводот:

Интервалот наведен во условот ја содржи точката x = 0.

Ги пресметуваме вредностите на функцијата во точките -3, 0 и 3:

Најмалата вредност на функцијата е 0.

Одговор: 0

77429. Најди ја најмалата вредност на функцијата y = x 3 – 2x 2 + x +3 на отсечката.

Да го најдеме изводот на дадената функција:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Ги добиваме корените: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Интервалот наведен во условот содржи само x = 1.

Ајде да ги најдеме вредностите на функцијата во точките 1 и 4:

Откривме дека најмалата вредност на функцијата е 3.

Одговор: 3

77430. Најди ја најголемата вредност на функцијата y = x 3 + 2x 2 + x + 3 на отсечката [– 4; -1].

Да го најдеме изводот на дадената функција:

Да ги најдеме нулите на изводот и да ја решиме квадратната равенка:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Ајде да ги добиеме корените:

Интервалот наведен во условот го содржи коренот x = –1.

Ги наоѓаме вредностите на функцијата во точките –4, –1, –1/3 и 1:

Откривме дека најголемата вредност на функцијата е 3.

Одговор: 3

77433. Најди ја најмалата вредност на функцијата y = x 3 – x 2 – 40x +3 на отсечката.

Да го најдеме изводот на дадената функција:

Да ги најдеме нулите на изводот и да ја решиме квадратната равенка:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Ајде да ги добиеме корените:

Интервалот наведен во условот го содржи коренот x = 4.

Најдете ги вредностите на функциите во точките 0 и 4:

Откривме дека најмалата вредност на функцијата е –109.

Одговор: –109

Ајде да разгледаме начин да ги одредиме најголемите и најмалите вредности на функции без дериват. Овој пристап може да се користи доколку имате големи проблеми. Принципот е едноставен - ги заменуваме сите цели броеви од интервалот во функцијата (факт е дека во сите такви прототипови одговорот е цел број).

77437. Најди ја најмалата вредност на функцијата y=7+12x–x 3 на отсечката [–2;2].

Заменски поени од –2 до 2: Погледнете го решението

77434. Најди ја најголемата вредност на функцијата y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 на отсечката [–2;0].

Тоа е се. Со среќа!

Со почит, Александар Крутицких.

P.S: Би ви бил благодарен ако ми кажете за страницата на социјалните мрежи.

Често во физиката и математиката се бара да се најде најмалата вредност на функцијата. Сега ќе ви кажеме како да го направите ова.

Како да се најде најмалата вредност на функцијата: инструкции

1. Да се ​​пресмета најмалата вредност континуирана функцијана даден сегмент, треба да го следите следниов алгоритам:
2. Најдете го изводот на функцијата.
3. Најдете на даден сегмент точките во кои изводот е еднаков на нула, како и сите критични точки. Потоа дознајте ги вредностите на функцијата во овие точки, односно решете ја равенката каде што x е еднаква на нула. Откријте која вредност е најмала.
4. Определи каква вредност има функцијата крајните точки. Одреди ја најмалата вредност на функцијата во овие точки.
5. Споредете ги добиените податоци со најниската вредност. Помалиот од добиените броеви ќе биде најмалата вредност на функцијата.

Забележете дека ако функција на сегмент нема најмалите поени, тоа значи дека во даден сегмент се зголемува или намалува. Затоа, најмалата вредност треба да се пресмета на конечните сегменти на функцијата.

Во сите други случаи, вредноста на функцијата се пресметува според наведениот алгоритам. Во секоја точка од алгоритмот ќе треба да решите едноставна линеарна равенкасо еден корен. Решете ја равенката користејќи слика за да избегнете грешки.

Како да се најде најмалата вредност на функцијата на полуотворен сегмент? На полуотворен или отворен период на функцијата, најмалата вредност треба да се најде на следниов начин. На крајните точки од вредноста на функцијата, пресметајте ја едностраната граница на функцијата. Со други зборови, решете ја равенката во која тендерските точки се дадени со вредностите a+0 и b+0, каде што a и b се имињата критични точки.

Сега знаете како да ја пронајдете најмалата вредност на функцијата. Главната работа е да ги направите сите пресметки правилно, точно и без грешки.