Табела на антидеривати („интеграли“). Табела на интеграли. Табеларни неопределени интеграли. (Наједноставните интеграли и интеграли со параметар). Формули за интеграција по делови. Формула Њутн-Лајбниц.

Табела на антидеривати („интеграли“). Табеларни неопределени интеграли. (Наједноставните интеграли и интеграли со параметар).
Интеграл на функција на моќност.	Интеграл на функција на моќност.
Интеграл што се сведува на интеграл на функција на моќност ако x се вози под диференцијалниот знак.
	Интеграл на експоненцијал, каде што a е константен број.
Интеграл на сложена експоненцијална функција.	Интеграл на експоненцијална функција.
Интеграл еднаков на природниот логаритам.	Интеграл: „Долг логаритам“.
	Интеграл: „Долг логаритам“.
Интеграл: „Висок логаритам“.	Интеграл, каде што x во броителот се става под диференцијалниот знак (константата под знакот може да се додаде или одземе), на крајот е сличен на интеграл еднаков на природниот логаритам.
Интеграл: „Висок логаритам“.
Косинусен интеграл.	Синусен интеграл.
Интеграл еднаков на тангента.	Интеграл еднаков на котангенс.
Интеграл еднаков и на арксин и на аркозин
Интеграл еднаков и на арксин и на аркозин.	Интеграл еднаков и на арктангенс и на аркотангенс.
Интеграл еднаков на косекант.	Интеграл еднаков на секанта.
Интеграл еднаков на лаксекантот.	Интеграл еднаков на аркосекантот.
Интеграл еднаков на лаксекантот.	Интеграл еднаков на лаксекантот.
Интеграл еднаков на хиперболичен синус.	Интеграл еднаков на хиперболичен косинус.
Интеграл еднаков на хиперболичниот синус, каде што sinhx е хиперболичен синус во англиската верзија.	Интеграл еднаков на хиперболичниот косинус, каде што sinhx е хиперболичен синус во англиската верзија.
Интеграл еднаков на хиперболичната тангента.	Интеграл еднаков на хиперболичниот котангенс.
Интеграл еднаков на хиперболичната секанта.	Интеграл еднаков на хиперболичната косеканта.

Формули за интеграција по делови. Правила за интеграција.

Формули за интеграција по делови. Њутн-Лајбниц формула Правила на интеграција.
Интегрирање на производ (функција) со константа:
Интегрирање на збирот на функции:
неопределени интеграли:
Формула за интеграција по делови определени интеграли:
Формула Њутн-Лајбниц определени интеграли:	Каде што F(a), F(b) се вредностите на антидериватите во точките b и a, соодветно.

Табела на деривати. Табеларни деривати. Дериват на производот. Извод на количник. Извод на сложена функција.

Ако x е независна променлива, тогаш:

Табела на деривати. Табеларни деривати."дериват на табела" - да, за жал, токму вака се пребаруваат на Интернет
	Извод на функција на моќност
	Извод на експонентот
Извод на сложена експоненцијална функција	Извод на експоненцијална функција
Извод на логаритамска функција	Извод на природниот логаритам
	Извод на природниот логаритам на функцијата
Дериват на синус	Дериват на косинус
Дериват на косекант	Извод на секанта
Дериват на арксин	Дериват на лачен косинус
Дериват на арксин	Дериват на лачен косинус
Дериват на тангента	Дериват на котангенс
Дериват на арктангенс	Дериват на лачен котангенс
Дериват на арктангенс	Дериват на лачен котангенс
Дериват на лаксеканта	Дериват на аркосекант
Дериват на лаксеканта	Дериват на аркосекант
Дериват на хиперболичен синус Извод на хиперболичен синус во англиската верзија	Дериват на хиперболичен косинус Извод на хиперболичен косинус во англиска верзија
Дериват на хиперболична тангента	Дериват на хиперболичен котангенс
Извод на хиперболичната секанта	Дериват на хиперболичната косеканта

Правила на диференцијација. Дериват на производот. Извод на количник. Извод на сложена функција.
Извод на производ (функција) со константа:
Извод на сума (функции):
Дериват на производот (функции):
Извод на количникот (на функциите):
Извод на сложена функција:

Својства на логаритмите. Основни формули за логаритми. Децимални (lg) и природни логаритми (ln).

Основен логаритамски идентитет
Да покажеме како секоја функција од формата a b може да се направи експоненцијална. Бидејќи функцијата од формата e x се нарекува експоненцијална, тогаш
Секоја функција од формата a b може да се претстави како моќност од десет

Природен логаритам ln (логаритам до основата e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; log(1)=0

Тејлор серија. Тејлоровата серија проширување на функцијата.

Излегува дека мнозинството практично се среќаваатматематичките функции можат да се претстават со секаква точност во близина на одредена точка во форма на енергетски серии кои содржат моќи на променлива во зголемен редослед. На пример, во близина на точката x=1:

Кога користите серии наречени Редовите на Тејлормешаните функции што содржат, да речеме, алгебарски, тригонометриски и експоненцијални функции може да се изразат како чисто алгебарски функции. Користејќи серии, често можете брзо да извршите диференцијација и интеграција.

Серијата Тејлор во соседството на точката а има форма:

1) , каде што f(x) е функција која има изводи од сите редови на x = a. R n - преостанатиот член во серијата Тејлор се одредува со изразот

2)

K-тиот коефициент (на x k) од серијата се одредува со формулата

3) Посебен случај на серијата Тејлор е серијата Maclaurin (=McLaren). (проширувањето се случува околу точката a=0)

на a=0

членовите на серијата се одредуваат со формулата

Услови за користење на серијата Тејлор.

1. За да може функцијата f(x) да се прошири во Тејлоровата серија на интервалот (-R;R), потребно е и доволно преостанатиот член во формулата Тејлор (Maclaurin (=McLaren)) за ова функцијата се стреми кон нула како k →∞ на наведениот интервал (-R;R).

2. Неопходно е да има изводи за дадена функција во точката во чија близина ќе ја конструираме Тејлоровата серија.

Својства на серијата Тејлор.

Ако f е аналитичка функција, тогаш нејзината Тејлорова серија во која било точка a во доменот на дефиниција на f конвергира во f во некое соседство на a.

Постојат бесконечно диференцијабилни функции чија што Тејлоровата серија конвергира, но во исто време се разликува од функцијата во кое било соседство на a. На пример:

Тејлоровите серии се користат при приближување (апроксимацијата е научен метод кој се состои од замена на некои објекти со други, во една или друга смисла блиски до оригиналните, но поедноставни) на функција со полиноми. Конкретно, линеаризација ((од linearis - линеарно), еден од методите за приближно претставување на затворени нелинеарни системи, во кој проучувањето на нелинеарен систем се заменува со анализа на линеарен систем, во некоја смисла еквивалентна на оригиналниот .) равенките се случуваат со проширување во серија на Тејлор и отсекување на сите поими над првиот ред.

Така, речиси секоја функција може да се претстави како полином со дадена точност.

Примери за некои вообичаени проширувања на функциите на моќност во сериите Маклаурин (=Мекларен, Тејлор во близина на точката 0) и Тејлор во близина на точката 1. Првите термини на проширување на главните функции во сериите Тејлор и Мекларен.

Примери за некои вообичаени проширувања на функциите на моќност во серијата Maclaurin (=McLaren, Taylor во близина на точката 0)

Примери за некои вообичаени проширувања на сериите на Тејлор во близина на точката 1

Сложени интеграли

Оваа статија ја завршува темата за неопределени интеграли и вклучува интеграли кои сметам дека се доста сложени. Лекцијата е создадена на повеќекратни барања на посетителите кои изразија желба да се анализираат потешки примери на страницата.

Се претпоставува дека читателот на овој текст е добро подготвен и знае како да ги примени основните техники на интеграција. Куклите и луѓето кои не се многу сигурни во интегралите треба да се однесуваат на првата лекција - Неопределен интеграл. Примери на решенија, каде што можете да ја совладате темата речиси од нула. Поискусните студенти можат да се запознаат со техниките и методите на интеграција кои сè уште не се сретнале во моите статии.

Кои интеграли ќе бидат разгледани?

Прво ќе разгледаме интеграли со корени, за чие решение сукцесивно користиме замена на променливаИ интеграција по делови. Тоа е, во еден пример две техники се комбинираат одеднаш. И уште повеќе.

Потоа ќе се запознаеме со интересни и оригинални метод за намалување на интегралот кон себе. Доста интеграли се решаваат на овој начин.

Третото издание на програмата ќе биде интеграли на сложени фракции, кои летаа покрај касата во претходните написи.

Четврто, ќе се анализираат дополнителни интеграли од тригонометриските функции. Конкретно, постојат методи кои избегнуваат универзална тригонометриска замена одземаат многу време.

(2) Во функцијата интегранд, броителот го делиме со именителот член по член.

(3) Го користиме својството на линеарност на неопределен интеграл. Во последниот интеграл веднаш стави ја функцијата под диференцијален знак.

(4) Ги земаме преостанатите интеграли. Забележете дека во логаритам можете да користите загради наместо модул, бидејќи .

(5) Вршиме обратна замена, изразувајќи „те“ од директната замена:

Мазохистичките студенти можат да го разликуваат одговорот и да го добијат оригиналниот интегранд, како што јас штотуку направив. Не, не, ја направив проверката во вистинска смисла =)

Како што можете да видите, за време на решението моравме да користиме повеќе од два методи на решение, така што за да се справите со таквите интеграли ви требаат сигурни вештини за интеграција и доста искуство.

Во пракса, се разбира, квадратниот корен е почест, еве три примери за да го решите сами:

Пример 2

Најдете го неопределен интеграл

Пример 3

Најдете го неопределен интеграл

Пример 4

Најдете го неопределен интеграл

Овие примери се од ист тип, така што целосното решение на крајот од статијата ќе биде само за Пример 2. Примерите 3-4 ги имаат истите одговори. Која замена да се користи на почетокот на одлуките, мислам дека е очигледна. Зошто избрав примери од ист тип? Често се наоѓаат во нивната улога. Почесто, можеби, само нешто слично .

Но, не секогаш, кога под функциите арктангенс, синус, косинус, експоненцијална и други функции има корен на линеарна функција, треба да користите неколку методи одеднаш. Во голем број случаи, можно е „лесно да се симнете“, односно веднаш по замената се добива едноставен интеграл, кој лесно може да се земе. Најлесната од задачите предложени погоре е примерот 4, во кој, по замената, се добива релативно едноставен интеграл.

Со намалување на интегралот кон себе

Духовит и убав метод. Ајде да ги погледнеме класиците на жанрот:

Пример 5

Најдете го неопределен интеграл

Под коренот е квадратен бином и обидот да се интегрира овој пример може да му задава главоболка на чајникот со часови. Таквиот интеграл се зема во делови и се сведува на себе. Во принцип, тоа не е тешко. Ако знаете како.

Да го означиме интегралот што се разгледува со латиница и да го започнеме решението:

Ајде да се интегрираме по делови:

(1) Подгответе ја функцијата интегранд за делење термин по член.

(2) Функцијата интегранд ја делиме по член. Можеби не му е јасно на сите, но ќе го опишам подетално:

(3) Го користиме својството на линеарност на неопределен интеграл.

(4) Земете го последниот интеграл („долг“ логаритам).

Сега да го погледнеме самиот почеток на решението:

И на крајот:

Што се случи? Како резултат на нашите манипулации, интегралот се сведе на себе!

Да ги изедначиме почетокот и крајот:

Движете се на левата страна со промена на знакот:

И ги поместуваме двете на десната страна. Како резултат:

Константата, строго кажано, требаше да се додаде порано, но ја додадов на крајот. Силно препорачувам да прочитате каква е строгоста овде:

Забелешка: Построго, последната фаза на решението изгледа вака:

Така:

Константата може да се редизајнира со . Зошто може да се редизајнира? Затоа што тој сè уште го прифаќа било којвредности, и во оваа смисла нема разлика помеѓу константи и.
Како резултат:

Сличен трик со постојано ренотирање е широко користен во диференцијални равенки. И таму ќе бидам строг. И овде дозволувам таква слобода само за да не те збунам со непотребни работи и да го насочам вниманието токму на самиот метод на интеграција.

Пример 6

Најдете го неопределен интеграл

Друг типичен интеграл за независно решение. Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата. Ќе има разлика со одговорот во претходниот пример!

Ако под квадратниот корен има квадрат трином, тогаш решението во секој случај се сведува на два анализирани примери.

На пример, разгледајте го интегралот . Сè што треба да направите е прво изберете целосен квадрат:
.
Следно, се врши линеарна замена, која прави „без никакви последици“:
, што резултира со интегрален . Нешто познато, нели?

Или овој пример, со квадратен бином:
Изберете целосен квадрат:
И, по линеарната замена, го добиваме интегралот, кој исто така се решава со помош на веќе дискутираниот алгоритам.

Ајде да погледнеме уште два типични примери за тоа како да се намали интегралот на себе:
– интеграл на експоненцијалот помножен со синус;
– интеграл на експоненцијалот помножен со косинус.

Во наведените интеграли по делови ќе треба да се интегрирате двапати:

Пример 7

Најдете го неопределен интеграл

Интеграндот е експоненцијал помножен со синус.

Ние се интегрираме по делови двапати и го намалуваме интегралот на себе:

Како резултат на двојната интеграција по делови, интегралот се сведе на себе. Ги изедначуваме почетокот и крајот на решението:

Го поместуваме на левата страна со промена на знакот и го изразуваме нашиот интеграл:

Подготвени. Во исто време, препорачливо е да се чешла десната страна, т.е. извадете го експонентот од заградите и поставете ги синусите и косинусите во загради по „убав“ редослед.

Сега да се вратиме на почетокот на примерот, или поточно, на интеграцијата по делови:

Го назначивме експонентот како. Се поставува прашањето: дали е експонентот што секогаш треба да се означува со ? Не е потребно. Всушност, во разгледуваниот интеграл фундаментално не е важно, што мислиме со , можевме да одиме на друг начин:

Зошто е ова можно? Бидејќи експоненцијалното се претвора во себе (и за време на диференцијација и за интеграција), синусот и косинусот меѓусебно се претвораат еден во друг (повторно, и за време на диференцијацијата и за време на интеграцијата).

Односно, можеме да означиме и тригонометриска функција. Но, во разгледаниот пример, ова е помалку рационално, бидејќи ќе се појават дропки. Ако сакате, можете да се обидете да го решите овој пример користејќи го вториот метод, одговорите мора да се совпаѓаат.

Пример 8

Најдете го неопределен интеграл

Ова е пример за да го решите сами. Пред да одлучите, размислете што е поповолно во овој случај да се означи како , експоненцијална или тригонометриска функција? Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата.

И, се разбира, не заборавајте дека повеќето од одговорите во оваа лекција се прилично лесно да се проверат со диференцијација!

Разгледаните примери не беа најкомплексни. Во пракса, интегралите се почести онаму каде што константата е и во експонентот и во аргументот на тригонометриската функција, на пример: . Многу луѓе ќе се збунат во таков интеграл, а јас често се збунувам и самата. Факт е дека постои голема веројатност да се појават дропки во растворот и многу е лесно да се изгуби нешто од невнимание. Покрај тоа, постои голема веројатност за грешка во знаците, забележете дека експонентот има знак минус, а тоа воведува дополнителна тешкотија.

Во последната фаза, резултатот е често вака:

Дури и на крајот од решението, треба да бидете исклучително внимателни и правилно да ги разберете дропките:

Интегрирање на сложени фракции

Полека се приближуваме до екваторот на часот и почнуваме да разгледуваме интеграли на дропки. Повторно, не сите од нив се супер сложени, само поради една или друга причина примерите беа малку „надвор од темата“ во други написи.

Продолжување на темата на корените

Пример 9

Најдете го неопределен интеграл

Во именителот под коренот има квадратен трином плус „додаток“ во форма на „Х“ надвор од коренот. Интеграл од овој тип може да се реши со користење на стандардна замена.

Ние одлучуваме:

Замената овде е едноставна:

Да го погледнеме животот по замената:

(1) По замената, термините под коренот ги намалуваме на заеднички именител.
(2) Го вадиме од под коренот.
(3) Бројачот и именителот се намалуваат за . Во исто време, под коренот, ги преуредив термините по пригоден редослед. Со одредено искуство, чекорите (1), (2) може да се прескокнат со усно извршување на коментираните дејства.
(4) Добиениот интеграл, како што се сеќавате од лекцијата Интегрирање на некои дропки, се одлучува метод на целосна квадратна екстракција. Изберете целосен квадрат.
(5) Со интеграција добиваме обичен „долг“ логаритам.
(6) Вршиме обратна замена. Ако првично , тогаш назад: .
(7) Конечното дејство е насочено кон исправување на резултатот: под коренот повторно ги доведуваме поимите до заеднички именител и ги вадиме од под коренот.

Пример 10

Најдете го неопределен интеграл

Ова е пример за да го решите сами. Тука се додава константа на осамениот „Х“, а замената е скоро иста:

Единственото нешто што треба дополнително да го направите е да го изразите „x“ од извршената замена:

Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата.

Понекогаш во таков интеграл може да има квадратен бином под коренот, тоа не го менува методот на решение, ќе биде уште поедноставен. Почувствувајте ја разликата:

Пример 11

Најдете го неопределен интеграл

Пример 12

Најдете го неопределен интеграл

Кратки решенија и одговори на крајот од часот. Треба да се забележи дека примерот 11 е точно биномен интеграл, чиј метод на решение беше дискутиран на час Интеграли на ирационални функции.

Интеграл на неразградлив полином од 2 степен до моќта

(полином во именителот)

Поредок тип на интеграл, но сепак се среќава во практични примери.

Пример 13

Најдете го неопределен интеграл

Но, да се вратиме на примерот со среќен број 13 (искрено, не погодив правилно). Овој интеграл е исто така еден од оние кои можат да бидат прилично фрустрирачки ако не знаете како да го решите.

Решението започнува со вештачка трансформација:

Мислам дека сите веќе разбираат како да се подели броителот со именителот член по член.

Добиениот интеграл се зема во делови:

За интеграл од формата ( – природен број) изведуваме повторливиформула за намалување:
, Каде – интеграл од степен понизок.

Дозволете ни да ја потврдиме валидноста на оваа формула за решениот интеграл.
Во овој случај: , , ја користиме формулата:

Како што можете да видите, одговорите се исти.

Пример 14

Најдете го неопределен интеграл

Ова е пример за да го решите сами. Решението на примерокот ја користи горната формула двапати последователно.

Ако под степенот е неделивиквадратен трином, тогаш решението се сведува на бином со изолирање на совршениот квадрат, на пример:

Што ако има дополнителен полином во броителот? Во овој случај се користи методот на неопределени коефициенти, а функцијата интегранд се проширува во збир од дропки. Но, во мојата практика има таков пример никогаш не се сретнале, па го пропуштив овој случај во статијата Интеграли на дробно-рационални функции, сега ќе го прескокнам. Ако сè уште наидувате на таков интеграл, погледнете го учебникот - таму сè е едноставно. Мислам дека не е препорачливо да се вклучи материјал (дури и едноставни), веројатноста да се сретне со која се стреми кон нула.

Интегрирање на сложени тригонометриски функции

Придавката „комплекс“ за повеќето примери повторно е главно условна. Да почнеме со тангенти и котангенти со високи сили. Од гледна точка на употребените методи за решавање, тангентата и котангентата се речиси иста работа, па затоа ќе зборувам повеќе за тангентата, што значи дека прикажаниот метод за решавање на интегралот важи и за котангента.

Во горната лекција што ја разгледавме универзална тригонометриска заменаза решавање на одреден тип интеграли на тригонометриски функции. Недостаток на универзалната тригонометриска замена е што неговата употреба често резултира со незгодни интеграли со тешки пресметки. И во некои случаи, универзалната тригонометриска замена може да се избегне!

Да разгледаме уште еден канонски пример, интегралот на еден поделен со синус:

Пример 17

Најдете го неопределен интеграл

Овде можете да користите универзална тригонометриска замена и да го добиете одговорот, но постои порационален начин. Ќе го дадам целосното решение со коментари за секој чекор:

(1) Ја користиме тригонометриската формула за синус на двоен агол.
(2) Вршиме вештачка трансформација: Се дели во именителот и се множи со .
(3) Користејќи ја добро познатата формула во именителот, ја трансформираме дропката во тангента.
(4) Функцијата ја ставаме под диференцијален знак.
(5) Земете го интегралот.

Неколку едноставни примери за да ги решите сами:

Пример 18

Најдете го неопределен интеграл

Забелешка: Првиот чекор треба да биде да се користи формулата за намалување и внимателно спроведете дејства слични на претходниот пример.

Пример 19

Најдете го неопределен интеграл

Па, ова е многу едноставен пример.

Комплетни решенија и одговори на крајот од часот.

Мислам дека сега никој нема да има проблеми со интегралите:
и така натаму.

Која е идејата на методот? Идејата е да се користат трансформации и тригонометриски формули за да се организираат само тангентите и дериватот на тангентите во интеграндот. Тоа е, ние зборуваме за замена: . Во Примерите 17-19 ние всушност ја користевме оваа замена, но интегралите беа толку едноставни што успеавме со еквивалентно дејство - подведување на функцијата под диференцијалниот знак.

Слично размислување, како што веќе спомнав, може да се спроведе и за котангенсот.

Исто така, постои формален предуслов за примена на горната замена:

Збирот на силите на косинус и синус е негативен цел број ПАРЕН број, На пример:

за интегралот – негативен цел број ПАРЕН број.

! Забелешка : ако интеграндот содржи САМО синус или САМО косинус, тогаш интегралот се зема и за негативен непарен степен (наједноставните случаи се во Примерите бр. 17, 18).

Ајде да погледнеме неколку позначајни задачи засновани на ова правило:

Пример 20

Најдете го неопределен интеграл

Збирот на силите на синус и косинус: 2 – 6 = –4 е негативен цел број ПАРН број, што значи дека интегралот може да се сведе на тангенти и неговиот извод:

(1) Да го трансформираме именителот.
(2) Користејќи ја добро познатата формула, добиваме .
(3) Да го трансформираме именителот.
(4) Ја користиме формулата .
(5) Функцијата ја ставаме под диференцијален знак.
(6) Вршиме замена. Поискусните студенти можеби нема да ја извршат замената, но сепак е подобро да се замени тангентата со една буква - постои помал ризик да се збуните.

Пример 21

Најдете го неопределен интеграл

Ова е пример за да го решите сами.

Застанете таму, првенствените рунди ќе започнат =)

Често интеграндот содржи „оџак“:

Пример 22

Најдете го неопределен интеграл

Овој интеграл првично содржи тангента, која веднаш води до веќе позната мисла:

Вештачката трансформација ќе ја оставам на самиот почеток, а останатите чекори без коментар, бидејќи сè е веќе дискутирано погоре.

Неколку креативни примери за ваше сопствено решение:

Пример 23

Најдете го неопределен интеграл

Пример 24

Најдете го неопределен интеграл

Да, во нив, се разбира, можете да ги намалите силите на синус и косинус и да користите универзална тригонометриска замена, но решението ќе биде многу поефикасно и пократко ако се спроведе преку тангенти. Целосно решение и одговори на крајот од лекцијата

Интеграција по делови. Примери на решенија

Здраво повторно. Денес во лекцијата ќе научиме како да се интегрираме по делови. Методот на интеграција по делови е еден од темелите на интегралното сметање. За време на тестовите или испитите, од студентите речиси секогаш се бара да ги решат следниве видови интеграли: наједноставниот интеграл (види статија)или интеграл со замена на променлива (види статија)или интегралот е само вклучен метод на интеграција со делови.

Како и секогаш, треба да имате при рака: Табела на интегралиИ Табела со деривати. Ако сè уште ги немате, тогаш посетете ја просторијата за складирање на мојата веб-страница: Математички формули и табели . Нема да се уморам да повторувам - подобро е да испечатите сè. Ќе се обидам да го претставам целиот материјал доследно, едноставно и јасно. нема посебни потешкотии во интегрирањето на деловите.

Каков проблем решава методот на интеграција по делови? Начинот на интеграција по делови решава многу важен проблем, тој ви овозможува да интегрирате некои функции што не се во табелата; работафункции, а во некои случаи дури и количници. Како што се сеќаваме, не постои погодна формула: . Но, постои овој: – формула за интеграција по делови лично. Знам, знам, ти си единствениот - ќе работиме со неа во текот на целата лекција (сега е полесно).

И веднаш списокот во студио. Интегралите од следниве типови се земени по делови:

1) , , – логаритам, логаритам помножен со некој полином.

2) ,е експоненцијална функција помножена со некој полином. Ова исто така вклучува интеграли како - експоненцијална функција помножена со полином, но во пракса ова е 97 проценти, под интегралот има убава буква „е“. ... написот испаѓа донекаде лирски, о да ... дојде пролетта.

3) , , се тригонометриски функции помножени со некој полином.

4) , – инверзни тригонометриски функции („лакови“), „лакови“ помножени со некој полином.

Некои дропки се исто така земени во делови, ние исто така ќе ги разгледаме соодветните примери.

Интеграли на логаритми

Пример 1

Класичен. Од време на време овој интеграл може да се најде во табелите, но не е препорачливо да се користи готов одговор, бидејќи наставникот има пролетен недостаток на витамин и ќе пцуе многу. Бидејќи интегралот што се разгледува во никој случај не е табеларен - тој се зема во делови. Ние одлучуваме:

Го прекинуваме решението за меѓуобјаснувања.

Ја користиме формулата за интеграција по делови:

Формулата се применува од лево кон десно

Гледаме на левата страна: . Очигледно, во нашиот пример (и во сите други што ќе ги разгледаме), нешто треба да се означи како , и нешто како .

Во интегралите од типот што се разгледува, логаритамот секогаш се означува.

Технички, дизајнот на решението се спроведува на следниов начин:

Односно, логаритамот го означивме со, и со - преостанатиот делинтегранд израз.

Следна фаза: најдете го диференцијалот:

Диференцијалот е скоро ист како изводот, веќе разговаравме како да го најдеме во претходните лекции.

Сега ја наоѓаме функцијата. За да ја пронајдете функцијата што треба да ја интегрирате десна странапомала еднаквост:

Сега го отвораме нашето решение и ја конструираме десната страна на формулата: .
Патем, еве примерок од конечното решение со неколку забелешки:

Единствената поента во работата е што веднаш го заменив и , бидејќи е вообичаено да се пишува факторот пред логаритамот.

Како што можете да видите, примената на формулата за интеграција по делови во суштина го намали нашето решение на два едноставни интеграли.

Ве молиме имајте предвид дека во некои случаи веднаш попримена на формулата, нужно се врши поедноставување под преостанатиот интеграл - во примерот што се разгледува, интеградот го сведевме на „x“.

Ајде да провериме. За да го направите ова, треба да го земете дериватот на одговорот:

Добиена е оригиналната интегранд функција, што значи дека интегралот е правилно решен.

За време на тестот, го користевме правилото за диференцијација на производот: . И ова не е случајно.

Формула за интеграција по делови и формула – ова се две меѓусебно инверзни правила.

Пример 2

Најдете го неопределен интеграл.

Интеграндот е производ на логаритам и полином.
Ајде да одлучиме.

Уште еднаш детално ќе ја опишам постапката за примена на правилото во иднина, примери ќе бидат претставени пократко, а доколку имате потешкотии да го решите сами, треба да се вратите на првите два примери од лекцијата; .

Како што веќе споменавме, неопходно е да се означи логаритамот (фактот дека е моќност не е важно). Означуваме со преостанатиот делинтегранд израз.

Во колоната пишуваме:

Прво го наоѓаме диференцијалот:

Овде го користиме правилото за диференцијација на сложена функција . Не случајно на првата лекција од темата Неопределен интеграл. Примери на решенија Се фокусирав на фактот дека за да се совладаат интегралите, неопходно е да се „добијат“ дериватите. Ќе треба да се занимавате со деривати повеќе од еднаш.

Сега ја наоѓаме функцијата, за ова се интегрираме десна странапомала еднаквост:

За интеграција ја користевме наједноставната табеларна формула

Сега сè е подготвено за примена на формулата . Отворете со ѕвездичка и „конструирајте го“ решението во согласност со десната страна:

Под интегралот повторно имаме полином за логаритам! Затоа, решението повторно се прекинува и по втор пат се применува правилото за интеграција по делови. Не заборавајте дека во слични ситуации логаритмот секогаш се означува.

Добро би било до сега да знаеш усно да ги најдеш наједноставните интеграли и изводи.

(1) Не се збунувајте за знаците! Многу често тука се губи минусот, исто така забележете дека минусот се однесува на на ситезаграда , и овие загради треба правилно да се прошират.

(2) Отворете ги заградите. Го поедноставуваме последниот интеграл.

(3) Го земаме последниот интеграл.

(4) „Чешлање“ на одговорот.

Потребата да се примени правилото за интеграција по делови двапати (или дури три пати) не се јавува многу ретко.

И сега неколку примери за ваше решение:

Пример 3

Најдете го неопределен интеграл.

Овој пример се решава со промена на променливата (или замена под диференцијалниот знак)! Зошто да не - можете да се обидете да го земете во делови, ќе испадне смешна работа.

Пример 4

Најдете го неопределен интеграл.

Но, овој интеграл е интегриран со делови (ветената дропка).

Ова се примери кои треба сами да ги решите, решенија и одговори на крајот од часот.

Се чини дека во примерите 3 и 4 интеградите се слични, но методите за решавање се различни! Ова е главната тешкотија во совладувањето на интегралите - ако изберете погрешен метод за решавање на интеграл, тогаш можете да го чепкате со часови, како со вистинска загатка. Затоа, колку повеќе решавате разни интеграли, толку подобро, толку полесно ќе биде тестот и испитот. Дополнително, во втората година ќе има диференцијални равенки, а без искуство во решавање интеграли и изводи нема што да се прави таму.

Во однос на логаритмите, ова е веројатно повеќе од доволно. Како настрана, можам да се сетам и дека студентите по инженерство користат логаритми за да ги нарекуваат женските гради =). Патем, корисно е да се знаат напамет графиконите на главните елементарни функции: синус, косинус, арктангенс, експонент, полиноми од трет, четврти степен итн. Не, се разбира, кондом на земјината топка
Нема да го истегнам, но сега ќе запомните многу од делот Табели и функции =).

Интеграли на експоненцијал помножен со полином

Општо правило:

Пример 5

Најдете го неопределен интеграл.

Користејќи познат алгоритам, интегрираме по делови:

Ако имате потешкотии со интегралот, тогаш треба да се вратите на статијата Метод на промена на променливата во неопределен интеграл .

Единственото друго нешто што можете да направите е да го измените одговорот:

Но, ако вашата техника за пресметка не е многу добра, тогаш најпрофитабилната опција е да ја оставите како одговор или дури

Односно, примерот се смета за решен кога ќе се земе последниот интеграл. Нема да биде грешка, тоа е друго прашање што наставникот може да побара од вас да го поедноставите одговорот.

Пример 6

Најдете го неопределен интеграл.

Ова е пример за да го решите сами. Овој интеграл е интегриран двапати со делови. Посебно внимание треба да се посвети на знаците - лесно е да се збуниме во нив, исто така се сеќаваме дека ова е сложена функција.

Нема што повеќе да се каже за изложувачот. Можам само да додадам дека експоненцијалниот и природниот логаритам се меѓусебно инверзни функции, ова сум јас на тема забавни графикони од вишата математика =) Стоп, застани, не се секирај, предавачот е трезен.

Интеграли на тригонометриски функции помножени со полином

Општо правило: for секогаш означува полином

Пример 7

Најдете го неопределен интеграл.

Ајде да се интегрираме по делови:

Хммм...и нема што да се коментира.

Пример 8

Најдете го неопределен интеграл

Ова е пример за да се решите сами

Пример 9

Најдете го неопределен интеграл

Друг пример со дропка. Како и во двата претходни примери, for означува полином.

Ајде да се интегрираме по делови:

Доколку имате потешкотии или недоразбирања со наоѓање на интегралот, препорачувам да присуствувате на лекцијата Интеграли на тригонометриски функции .

Пример 10

Најдете го неопределен интеграл

Ова е пример за да го решите сами.

Совет: Пред да го користите методот интеграција по делови, треба да примените некоја тригонометриска формула која го претвора производот од две тригонометриски функции во една функција. Формулата може да се користи и при примена на методот на интеграција по делови, кој и да е попогоден за вас.

Тоа е веројатно сè во овој пасус. Поради некоја причина се сетив на еден ред од химната за физика и математика „И синусниот график оди бран по бран по оската на апсцисата“….

Интеграли на инверзни тригонометриски функции.
Интеграли на инверзни тригонометриски функции помножени со полином

Општо правило: секогаш ја означува инверзната тригонометриска функција.

Дозволете ми да ве потсетам дека инверзните тригонометриски функции вклучуваат лаксин, аркозин, арктангенс и лактангенс. Заради краткост на записот ќе ги наречам „арки“