Време е да го средиме методи за екстракција на коренот. Тие се засноваат на својствата на корените, особено на еднаквоста, што е точно за секој ненегативен број b.
Подолу ќе ги разгледаме главните методи за вадење корени еден по еден.
Да почнеме со наједноставниот случај - извлекување корени од природни броеви користејќи табела со квадрати, табела со коцки итн.
Ако табелите со квадрати, коцки итн. Ако го немате при рака, логично е да го користите методот на извлекување на коренот, кој вклучува разложување на радикалниот број на прости фактори.
Посебно вреди да се спомене што е можно за корените со непарни експоненти.
Конечно, да разгледаме метод кој ни овозможува последователно да ги најдеме цифрите на вредноста на коренот.
Ајде да почнеме.
Користење на табела со квадрати, табела со коцки итн.
Во наједноставните случаи, табелите со квадрати, коцки итн. ви дозволуваат да извлечете корени. Кои се овие табели?
Табелата со квадрати на цели броеви од 0 до 99 вклучително (прикажана подолу) се состои од две зони. Првата зона на табелата се наоѓа на сива позадина со избирање на одреден ред и одредена колона, ви овозможува да составите број од 0 до 99. На пример, да избереме ред од 8 десетки и колона од 3 единици, со тоа го поправивме бројот 83. Втората зона го зазема остатокот од табелата. Секоја ќелија се наоѓа на пресекот на одреден ред и одредена колона и го содржи квадратот на соодветниот број од 0 до 99. На пресекот на нашиот избран ред од 8 десетки и колона 3 од единици има ќелија со бројот 6.889, што е квадратот на бројот 83.
Табелите со коцки, табелите со четврти сили на броевите од 0 до 99 и така натаму се слични на табелата со квадрати, само што во втората зона содржат коцки, четврти сили итн. соодветните броеви.
Табели со квадрати, коцки, четврти сили итн. ви дозволуваат да извлечете квадратни корени, коцки корени, четврти корени итн. соодветно од бројките во овие табели. Дозволете ни да го објасниме принципот на нивната употреба при вадење корени.
Да речеме дека треба да го извлечеме n-тиот корен од бројот a, додека бројот a е содржан во табелата со n-ти сили. Користејќи ја оваа табела го наоѓаме бројот b таков што a=b n. Потоа 
, значи, бројот b ќе биде посакуваниот корен од n-тиот степен.
Како пример, да покажеме како се користи табела со коцки за да се извлече коренот на коцката од 19.683. Го наоѓаме бројот 19.683 во табелата со коцки, од него откриваме дека овој број е коцката на бројот 27, затоа, 
.
Јасно е дека табелите со n-ти сили се многу погодни за вадење корени. Сепак, тие често не се при рака, а нивното составување бара одредено време. Покрај тоа, често е неопходно да се извлечат корени од броеви што не се содржани во соодветните табели. Во овие случаи, мора да се прибегнете кон други методи за екстракција на коренот.
Факторирање на радикален број во прости фактори
Прилично удобен начин да се извлече коренот на природен број (ако, се разбира, коренот е извлечен) е да се разложи радикалниот број на прости фактори. Неговиот поентата е ова: после тоа е прилично лесно да се претстави како моќност со саканиот експонент, што ви овозможува да ја добиете вредноста на коренот. Дозволете ни да ја разјасниме оваа точка.
Нека се земе n-тиот корен на природен број a и неговата вредност е еднаква b. Во овој случај, еднаквоста a=b n е точно. Бројот b, како и секој природен број, може да се претстави како производ на сите негови прости множители p 1 , p 2 , …, p m во форма p 1 ·p 2 ·…·p m , и радикалниот број a во овој случај е претставена како (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Бидејќи разложувањето на број на прости множители е единствено, разложувањето на радикалниот број a на прости множители ќе има форма (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, што овозможува да се пресмета вредноста на коренот како.
Забележете дека ако разградувањето на прости множители на радикален број a не може да се претстави во форма (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, тогаш n-тиот корен од таков број a не е целосно извлечен.
Ајде да го сфатиме ова кога решаваме примери.
Пример.
Земете го квадратниот корен од 144.
Решение.
Ако ја погледнете табелата со квадрати дадена во претходниот пасус, можете јасно да видите дека 144 = 12 2, од каде што е јасно дека квадратниот корен од 144 е еднаков на 12.
Но, во светлината на оваа точка, ние сме заинтересирани за тоа како коренот се извлекува со разложување на радикалниот број 144 на прости фактори. Ајде да го погледнеме ова решение.
Ајде да се распаѓаме 144 до прости фактори:
Односно 144=2·2·2·2·3·3. Врз основа на добиеното распаѓање, може да се извршат следните трансформации: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Оттука, 
.
Користејќи ги својствата на степенот и својствата на корените, решението би можело да се формулира малку поинаку: .
Одговор:
За да го консолидирате материјалот, разгледајте ги решенијата на уште два примери.
Пример.
Пресметајте ја вредноста на коренот.
Решение.
Простата разложување на радикалниот број 243 има форма 243=3 5 . Така, 
.
Одговор:
Пример.
Дали коренската вредност е цел број?
Решение.
За да одговориме на ова прашање, ајде да го факторизираме радикалниот број во прости множители и да видиме дали може да се претстави како коцка од цел број.
Имаме 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Добиената експанзија не може да се претстави како коцка од цел број, бидејќи моќноста на првиот фактор 7 не е множител на три. Затоа, коренот на коцката од 285.768 не може целосно да се извлече.
Одговор:
бр.
Извлекување корени од дробни броеви
Време е да дознаеме како да го извлечеме коренот на фракциониот број. Нека фракциониот радикален број се запише како p/q. Според својството на коренот на количник, точно е следново еднаквост. Од оваа еднаквост произлегува правило за вадење корен од дропка: Коренот на дропка е еднаков на количникот на коренот на броителот поделен со коренот на именителот.
Ајде да погледнеме пример за извлекување корен од дропка.
Пример.
Колку изнесува квадратниот корен на заедничката дропка 25/169?
Решение.
Користејќи ја табелата со квадрати, откриваме дека квадратниот корен на броителот на првобитната дропка е еднаков на 5, а квадратниот корен на именителот е еднаков на 13. Потоа 
. Со ова се комплетира извлекувањето на коренот на заедничката дропка 25/169.
Одговор:
Коренот на децимална дропка или мешан број се извлекува по заменување на радикалните броеви со обични дропки.
Пример.
Земете го коцканиот корен на децималната дропка 474,552.
Решение.
Да ја замислиме првобитната децимална дропка како обична дропка: 474.552=474552/1000. Потоа 
. Останува да се извлечат коцките корени кои се во броителот и именителот на добиената дропка. Бидејќи 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 и 1 000 = 10 3, тогаш 
И 
. Останува само да се завршат пресметките 
.
Одговор:
.
Преземање на коренот на негативен број
Вреди да се задржиме на извлекување корени од негативни броеви. Кога ги проучувавме корените, рековме дека кога експонентот на коренот е непарен број, тогаш под знакот за корен може да има негативен број. На овие записи им го дадовме следново значење: за негативен број −a и непарен експонент на коренот 2 n−1, 
. Оваа еднаквост дава правило за вадење непарни корени од негативни броеви: за да го извлечете коренот на негативен број, треба да го земете коренот на спротивниот позитивен број и да ставите знак минус пред резултатот.
Да го погледнеме примерот на решението.
Пример.
Најдете ја вредноста на коренот.
Решение.
Ајде да го трансформираме оригиналниот израз за да има позитивен број под знакот за корен: 
. Сега заменете го мешаниот број со обична дропка: 
. Го применуваме правилото за извлекување на коренот на обична дропка: 
. Останува да се пресметаат корените во броителот и именителот на добиената дропка: 
.
Еве кратко резиме на решението: 
.
Одговор:
.
Битно определување на вредноста на коренот
Во општ случај, под коренот има број кој, користејќи ги техниките дискутирани погоре, не може да се претстави како n-та сила на кој било број. Но, во овој случај има потреба да се знае значењето на даден корен, барем до одреден знак. Во овој случај, за да го извлечете коренот, можете да користите алгоритам кој ви овозможува последователно да добиете доволен број цифри од саканиот број.
Првиот чекор на овој алгоритам е да се открие кој е најзначајниот дел од вредноста на коренот. За да го направите ова, броевите 0, 10, 100, ... се секвенцијално подигнати до моќноста n до моментот кога ќе се добие бројката што го надминува радикалниот број. Тогаш бројот што го подигнавме на моќноста n во претходната фаза ќе ја означи соодветната најзначајна цифра.
На пример, земете го овој чекор од алгоритмот кога го извлекувате квадратниот корен од пет. Земете ги броевите 0, 10, 100, ... и квадрат ги додека не добиеме број поголем од 5. Имаме 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, што значи дека најзначајната цифра ќе биде цифрата на оние. Вредноста на овој бит, како и на пониските, ќе се најде во следните чекори од алгоритмот за екстракција на коренот.
Сите последователни чекори на алгоритмот се насочени кон последователно разјаснување на вредноста на коренот со наоѓање на вредностите на следните битови од саканата вредност на коренот, почнувајќи од највисоката и преминувајќи кон најниските. На пример, вредноста на коренот на првиот чекор излегува дека е 2, на вториот – 2,2, на третиот – 2,23, и така натаму 2,236067977…. Дозволете ни да опишеме како се наоѓаат вредностите на цифрите.
Цифрите се наоѓаат со пребарување низ нивните можни вредности 0, 1, 2, ..., 9. Во овој случај, паралелно се пресметуваат n-ти сили на соодветните броеви и тие се споредуваат со радикалниот број. Ако во некоја фаза вредноста на степенот го надминува радикалниот број, тогаш вредноста на цифрата што одговара на претходната вредност се смета за пронајдена и преминот кон следниот чекор на алгоритмот за екстракција на коренот е направен; тогаш вредноста на оваа цифра е 9.
Дозволете ни да ги објасниме овие точки користејќи го истиот пример за извлекување на квадратен корен од пет.
Прво ја наоѓаме вредноста на цифрата на единиците. Ќе поминеме низ вредностите 0, 1, 2, ..., 9, пресметувајќи 0 2, 1 2, ..., 9 2, соодветно, додека не добиеме вредност поголема од радикалниот број 5. Удобно е да се прикажат сите овие пресметки во форма на табела: 
Значи вредноста на цифрата на единиците е 2 (од 2 2<5
, а 2 3 >5). Да продолжиме со наоѓање на вредноста на десеттото место. Во овој случај, ќе ги квадратиме броевите 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, споредувајќи ги добиените вредности со радикалниот број 5: 
Од 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5, тогаш вредноста на десетиното место е 2. Можете да продолжите со наоѓање на вредноста на стотинките: 
Така е пронајдена следната вредност на коренот од пет, таа е еднаква на 2,23. И така можете да продолжите да ги наоѓате вредностите: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
За да го консолидираме материјалот, ќе го анализираме извлекувањето на коренот со точност од стотинки користејќи го разгледуваниот алгоритам.
Прво ја одредуваме најзначајната цифра. За да го направите ова, ги коцкаме броевите 0, 10, 100 итн. додека не добиеме број поголем од 2.151.186. Имаме 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , така што најзначајната цифра е цифрата на десетки.
Ајде да ја одредиме неговата вредност. 
Од 10 3<2 151,186
, а 20 3 >2 151,186, тогаш вредноста на местото на десетки е 1. Ајде да преминеме на единици. 
Така, вредноста на цифрата е 2. Да преминеме на десетинки. 
Бидејќи дури 12,9 3 е помал од радикалниот број 2 151,186, тогаш вредноста на десетиното место е 9. Останува да го извршиме последниот чекор од алгоритмот, тој ќе ни ја даде вредноста на коренот со потребната точност. 
Во оваа фаза, вредноста на коренот се наоѓа точна до стотинки: 
.
Како заклучок на овој напис, би сакал да кажам дека има многу други начини за извлекување корени. Но, за повеќето задачи, доволни се оние што ги проучувавме погоре.
Библиографија.
- Макаричев Ју.Н., Миндјук Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8 одделение. образовните институции.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницин Ју.П. и други Алгебра и почетоците на анализа: Учебник за 10 - 11 одделенија на општообразовните институции.
- Гушев В.А., Мордкович А.Г. Математика (прирачник за оние кои влегуваат во техничките училишта).
Конвертирањето изрази со корени и моќи често бара одење напред-назад помеѓу корените и моќите. Во оваа статија ќе погледнеме како се прават такви транзиции, што лежи во основата на нив и во кои точки најчесто се случуваат грешки. Сето ова ќе го дадеме со типични примери со детална анализа на решенијата.
Навигација на страница.
Премин од моќи со фракциони експоненти во корени
Можноста за движење од степен со фракционо експонент до коренот е диктирана од самата дефиниција на степенот. Да се потсетиме како се определува: моќта на позитивен број a со дробен експонент m/n, каде што m е цел број, а n е природен број, се нарекува n-ти корен на m, односно каде a>0 , m∈Z, n∈ N. Дробната моќност на нула е дефинирана слично 
, со единствена разлика што во овој случај m повеќе не се смета за цел број, туку за природен, така што делењето со нула не се случува.
Така, степенот секогаш може да се замени со коренот. На пример, можете да одите од до, а степенот може да се замени со коренот. Но, не треба да се движите од изразот до коренот, бидејќи степенот првично нема смисла (степенот на негативни броеви не е дефиниран), и покрај фактот што коренот има значење.
Како што можете да видите, нема апсолутно ништо незгодно во преминот од моќта на броевите до корените. Преминот кон корените на моќите со фракциони експоненти, во чија основа се произволни изрази, се врши на сличен начин. Забележете дека наведената транзиција се врши на ODZ на променливите за оригиналниот израз. На пример, изразот 
на целата ODZ на променливата x за овој израз може да се замени со коренот 
. И од степенот 
оди на корен 
, таквата замена се случува за кое било множество променливи x, y и z од ODZ за оригиналниот израз.
Замена на корените со моќи
Можна е и обратна замена, односно замена на корените со моќи со фракциони експоненти. Се заснова и на еднаквоста, која во овој случај се користи од десно кон лево, односно во формата.
За позитивно а посочената транзиција е очигледна. На пример, можете да го замените степенот со и да одите од коренот до степенот со фракционо експонент на формата.
А за негативното а еднаквоста нема смисла, но коренот сепак може да има смисла. На пример, корените имаат смисла, но тие не можат да се заменат со моќи. Значи, дали е можно воопшто да се претворат во изрази со моќи? Можно е ако извршите прелиминарни трансформации, кои се состојат во одење до корените со ненегативни броеви под нив, кои потоа се заменуваат со моќи со фракциони експоненти. Дозволете ни да покажеме кои се овие прелиминарни трансформации и како да ги извршиме.
Во случај на корен, можете да ги извршите следните трансформации: 
. И бидејќи 4 е позитивен број, последниот корен може да се замени со моќност. И во вториот случај одредување на непарен корен на негативен број−a (каде што a е позитивно), изразено со еднаквоста 
, ви овозможува да го замените коренот со израз во кој коренот на коцката од два веќе може да се замени со степен и ќе има форма.
Останува да откриеме како корените под кои се наоѓаат изразите се заменуваат со моќи што ги содржат овие изрази во основата. Нема потреба да брзаме да го замениме со , ја користевме буквата А за да означиме одреден израз. Ајде да дадеме пример за да објасниме што мислиме со ова. Сакам само да го заменам коренот со диплома, врз основа на еднаквост. Но, таквата замена е соодветна само под услов x−3≥0, а за преостанатите вредности на променливата x од ODZ (задоволување на условот x−3<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.
Поради оваа неточна примена на формулата, често се случуваат грешки кога се движите од корени до моќи. На пример, во учебникот е дадена задача да се претстави израз во форма на моќност со рационален експонент, а даден е одговорот што поставува прашања, бидејќи условот не го одредува ограничувањето b>0. И во учебникот има премин од изразот 
, најверојатно преку следните трансформации на ирационалниот израз 
до изразот. Последната транзиција, исто така, покренува прашања, бидејќи го стеснува ДЗ.
Се поставува логично прашање: „Како може правилно да се премести од коренот до моќта за сите вредности на променливите од ODZ? Оваа замена се врши врз основа на следните изјави:
Пред да ги оправдаме забележаните резултати, даваме неколку примери за нивна употреба за премин од корени кон моќи. Прво, да се вратиме на изразот. Требаше да се замени не со , туку со (во овој случај m=2 е парен цел број, n=3 е природен цел број). Друг пример: 
.
Сега ветеното оправдување на резултатите.
Кога m е непарен цел број, а n е парен природен цел број, тогаш за кое било множество променливи од ODZ за изразот, вредноста на изразот A е позитивна (ако m<0 ) или неотрицательно (если m>0). Затоа, .
Да преминеме на вториот резултат. Нека m е позитивен непарен цел број и n непарен природен број. За сите вредности на променливите од ODZ за кои вредноста на изразот А е ненегативна, 
, а за кои е негативен, 
Следниот резултат е докажан слично за негативни и непарни цели броеви m и непарни природни цели броеви n. За сите вредности на променливите од ODZ за кои вредноста на изразот А е позитивна, , а за кои е негативен,
Конечно, последниот резултат. Нека m е парен цел број, n е кој било природен број. За сите вредности на променливите од ODZ за кои вредноста на изразот A е позитивна (ако m<0
) или неотрицательно (если m>0
), . А за кои е негативно, . Така, ако m е парен цел број, n е кој било природен број, тогаш за кое било множество вредности на променливи од ODZ за израз може да се замени со .
Библиографија.
- Алгебраи почеток на анализа: Проц. за 10-11 одделение. општо образование институции / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn и други; Ед. А. Н. Колмогоров - 14-то издание - М.: Образование, 2004. - 384 стр.
- Алгебраи почетокот на математичката анализа. 11 одделение: воспитно. за општо образование институции: основни и профил. нивоа / [Ју. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ед. A. B. Жижченко. – М.: Образование, 2009.- 336 стр.: ill.- ISBN 979-5-09-016551-8.
Excel користи вградени функции и математички оператори за да го извлече коренот и да подигне број на моќност. Ајде да погледнеме примери.
Примери за функцијата SQRT во Excel
Вградената функција SQRT ја враќа позитивната вредност на квадратниот корен. Во менито Функции, тој е под категоријата Математика.
Синтакса на функцијата: =ROOT(број).
Единствениот и потребен аргумент е позитивен број за кој функцијата го пресметува квадратниот корен. Ако аргументот е негативен, Excel ќе врати грешка #NUM!
Можете да наведете одредена вредност или упатување на ќелија со нумеричка вредност како аргумент.
Ајде да погледнеме примери.
Функцијата го врати квадратниот корен на бројот 36. Аргументот е специфична вредност.
Функцијата ABS ја враќа апсолутната вредност -36. Неговата употреба ни овозможи да избегнеме грешки при извлекување на квадратен корен од негативен број.
Функцијата го зема квадратниот корен од збирот 13 и вредноста на ќелијата C1.
Функција за експоненција во Excel
Синтакса на функцијата: = POWER (вредност, број). Потребни се и двата аргументи.
Вредноста е секоја реална нумеричка вредност. Бројката е показател за моќноста до која треба да се подигне дадената вредност.
Ајде да погледнеме примери.
Во ќелијата C2 - резултат на квадратирање на бројот 10.
Функцијата го врати бројот 100 подигнат на ¾.
Експоненција со користење на оператор
За да подигнете број на моќност во Excel, можете да го користите математичкиот оператор „^“. За да го внесете, притиснете Shift + 6 (со распоред на англиска тастатура).
За да Excel ги третира внесените информации како формула, прво се става знакот „=“. Следна е бројката што треба да се подигне на моќност. А по знакот „^“ е вредноста на степенот.
Наместо која било вредност на оваа математичка формула, можете да користите референци за ќелии со броеви.
Ова е погодно ако треба да конструирате повеќе вредности.
Со копирање на формулата во целата колона, брзо ги добивме резултатите од подигање на броевите во колоната А до третата сила.
Извлекување на n-ти корени
ROOT е функцијата на квадратен корен во Excel. Како да се извлече коренот на 3, 4 и други сили?
Да се потсетиме на еден од математичките закони: за да го извлечете n-тиот корен, треба да го подигнете бројот на моќноста 1/n.
На пример, за да го извлечеме коренот на коцката, го подигнуваме бројот на моќност од 1/3.
Ајде да ја користиме формулата за да извлечеме корени од различни степени во Excel.
Формулата ја врати вредноста на коренот на коцката на бројот 21. За подигнување на фракциона моќ, се користеше операторот „^“.
Честитки: денес ќе ги разгледаме корените - една од највозбудливите теми во 8-мо одделение.
Многу луѓе се збунуваат за корените, не затоа што се сложени (што е толку комплицирано во тоа - пар дефиниции и уште неколку својства), туку затоа што во повеќето училишни учебници корените се дефинирани низ таква џунгла што само авторите на учебниците самите можат да го разберат ова пишување. Па дури и тогаш само со шише добро виски :)
Затоа, сега ќе ја дадам најточната и најкомпетентната дефиниција за корен - единствената што навистина треба да ја запомните. И тогаш ќе објаснам: зошто е потребно сето ова и како да се примени во пракса.
Но, прво, запомнете една важна точка што многу составувачи на учебници поради некоја причина ја „забораваат“:
Корените можат да бидат со парен степен (нашиот омилен $\sqrt(a)$, како и сите видови $\sqrt(a)$ и парни $\sqrt(a)$) и непарен степен (сите видови $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$, итн.). И дефиницијата за корен од непарен степен е малку поинаква од парен.
Веројатно 95% од сите грешки и недоразбирања поврзани со корените се скриени во ова ебено „некако поинакво“. Ајде да ја расчистиме терминологијата еднаш засекогаш:
Дефиниција. Дури и корен nод бројот $a$ е било кој не-негативнибројот $b$ е таков што $((b)^(n))=a$. И непарниот корен на истиот број $a$ е генерално секој број $b$ за кој важи истата еднаквост: $((b)^(n))=a$.
Во секој случај, коренот е означен вака:
\(а)\]
Бројот $n$ во таква нотација се нарекува коренски експонент, а бројот $a$ се нарекува радикален израз. Конкретно, за $n=2$ го добиваме нашиот „омилен“ квадратен корен (патем, ова е корен од парен степен), а за $n=3$ добиваме кубен корен (непарен степен), што е исто така често се среќаваат во проблеми и равенки.
Примери. Класични примери на квадратни корени:
\[\begin(порамни) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \крај (порамни)\]
Патем, $\sqrt(0)=0$ и $\sqrt(1)=1$. Ова е сосема логично, бидејќи $((0)^(2))=0$ и $((1)^(2))=1$.
Корените од коцки се исто така вообичаени - нема потреба да се плашите од нив:
\[\begin(порамни) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \крај (порамни)\]
Па, неколку „егзотични примери“:
\[\begin(порамни) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \крај (порамни)\]
Ако не разбирате која е разликата помеѓу парен и непарен степен, повторно прочитајте ја дефиницијата. Тоа е многу важно!
Во меѓувреме, ќе разгледаме една непријатна карактеристика на корените, поради која требаше да воведеме посебна дефиниција за парни и непарни експоненти.
Зошто воопшто се потребни корени?
Откако ќе ја прочитаат дефиницијата, многу студенти ќе прашаат: „Што пушеле математичарите кога дошле до ова?“ И навистина: зошто воопшто се потребни сите овие корени?
За да одговориме на ова прашање, да се вратиме за момент во основното училиште. Запомнете: во тие далечни времиња, кога дрвјата беа позелени, а кнедлите повкусни, нашата главна грижа беше правилно да ги множиме броевите. Па, нешто како „пет по пет - дваесет и пет“, тоа е сè. Но, можете да множите броеви не во парови, туку во тројки, четворки и генерално цели множества:
\[\почеток(порамни) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cточка 5\cточка 5\cточка 5\cточка 5\cточка 5=15\ 625. \крај (порамни)\]
Сепак, тоа не е поентата. Трикот е поинаков: математичарите се мрзливи луѓе, па тешко им било вака да го запишат множењето на десет петки:
Затоа дојдоа до дипломи. Зошто да не го напишете бројот на фактори како надпис наместо долга низа? Нешто како ова:
Многу е погодно! Сите пресметки се значително намалени и не мора да трошите еден куп листови пергамент и тетратки за да запишете околу 5.183. Овој рекорд беше наречен моќ на број во него беа пронајдени еден куп својства, но се покажа дека среќата е краткотрајна.
По една грандиозна забава за пиење, која беше организирана само за „откривање“ на дипломите, некој особено тврдоглав математичар одеднаш праша: „Што ако го знаеме степенот на некој број, но самиот број е непознат? Сега, навистина, ако знаеме дека одреден број $b$, да речеме, на 5-та сила дава 243, тогаш како можеме да погодиме на што е еднаков самиот број $b$?
Овој проблем се покажа како многу поглобален отколку што може да изгледа на прв поглед. Затоа што се покажа дека за повеќето „готови“ сили нема такви „почетни“ бројки. Проценете сами:
\[\почеток(порамни) & ((б)^(3))=27\Десна стрелка b=3\cточка 3\cточка 3\Десна стрелка b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Десна стрелка b=4\cточка 4\cточка 4\Десна стрелка b=4. \\ \крај (порамни)\]
Што ако $((b)^(3))=50$? Излегува дека треба да најдеме одреден број кој, кога ќе се помножи со себе три пати, ќе ни даде 50. Но, кој е овој број? Тоа е јасно поголемо од 3, бидејќи 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Тоа е оваа бројка се наоѓа некаде помеѓу три и четири, но нема да разберете на што е еднаква.
Токму затоа математичарите дојдоа до $n$th корени. Токму затоа е воведен радикалниот симбол $\sqrt(*)$. Да го означиме самиот број $b$, кој во наведениот степен ќе ни даде претходно позната вредност
\[\sqrt[n](a)=b\Десна стрелка ((b)^(n))=a\]
Не се расправам: често овие корени лесно се пресметуваат - видовме неколку такви примери погоре. Но, сепак, во повеќето случаи, ако мислите на произволен број, а потоа се обидете да го извлечете коренот на произволен степен од него, ќе бидете во страшна несреќа.
Што има таму! Дури и наједноставниот и најпознатиот $\sqrt(2)$ не може да биде претставен во нашата вообичаена форма - како цел број или дропка. И ако го внесете овој број во калкулатор, ќе го видите ова:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Како што можете да видите, по децималната точка има бескрајна низа од броеви кои не се покоруваат на никаква логика. Се разбира, можете да го заокружите овој број за брзо да се споредите со другите броеви. На пример:
\[\sqrt(2)=1,4142...\приближно 1,4 \lt 1,5\]
Или еве уште еден пример:
\[\sqrt(3)=1,73205...\приближно 1,7 \gt 1,5\]
Но, сите овие заокружувања, прво, се прилично груби; и второ, исто така треба да можеш да работиш со приближни вредности, инаку можеш да фатиш еден куп неочигледни грешки (патем, вештината за споредба и заокружување се бара да се тестира на профилот Unified State Examination).
Затоа, во сериозната математика не можете без корени - тие се истите еднакви претставници на множеството на сите реални броеви $\mathbb(R)$, исто како дропките и цели броеви кои ни се одамна познати.
Неможноста да се претстави коренот како дропка од формата $\frac(p)(q)$ значи дека овој корен не е рационален број. Таквите броеви се нарекуваат ирационални и не можат точно да се претстават освен со помош на радикални или други конструкции специјално дизајнирани за тоа (логаритми, моќи, граници итн.). Но повеќе за тоа друг пат.
Ајде да разгледаме неколку примери каде што, по сите пресметки, ирационалните броеви сè уште ќе останат во одговорот.
\[\begin(порамни) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\приближно 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\приближно -1,2599... \\ \крај (порамни)\]
Секако, од изгледот на коренот е речиси невозможно да се погоди кои броеви ќе дојдат по децималната точка. Сепак, можете да сметате на калкулатор, но дури и најнапредниот калкулатор за датум ни ги дава само првите неколку цифри од ирационален број. Затоа, многу поправилно е одговорите да се пишуваат во форма $\sqrt(5)$ и $\sqrt(-2)$.
Токму затоа се измислени. За удобно снимање на одговорите.
Зошто се потребни две дефиниции?
Внимателниот читател веројатно веќе забележал дека сите квадратни корени дадени во примерите се земени од позитивни броеви. Па, барем од нула. Но, корените на коцките можат мирно да се извлечат од апсолутно секој број - било да е тоа позитивен или негативен.
Зошто се случува ова? Погледнете го графикот на функцијата $y=((x)^(2))$:
Графикот на квадратна функција дава два корени: позитивен и негативен Ајде да се обидеме да пресметаме $\sqrt(4)$ користејќи го овој график. За да го направите ова, на графикот е нацртана хоризонтална линија $y=4$ (означена со црвено), која се вкрстува со параболата во две точки: $((x)_(1))=2$ и $((x )_(2)) =-2$. Ова е сосема логично, бидејќи
Сè е јасно со првиот број - тој е позитивен, па затоа е коренот:
Но, тогаш што да се прави со втората точка? Како, четири има два корени одеднаш? На крајот на краиштата, ако го квадратиме бројот −2, добиваме и 4. Зошто тогаш да не напишете $\sqrt(4)=-2$? А зошто професорите гледаат на вакви постови како да сакаат да те изедат :)
Проблемот е што ако не наметнете никакви дополнителни услови, тогаш четворката ќе има два квадратни корени - позитивни и негативни. И секој позитивен број ќе има два од нив. Но, негативните броеви воопшто нема да имаат корени - ова може да се види од истиот графикон, бидејќи параболата никогаш не паѓа под оската y, т.е. не прифаќа негативни вредности.
Сличен проблем се јавува за сите корени со парен експонент:
- Строго кажано, секој позитивен број ќе има два корени со парен експонент $n$;
- Од негативни броеви, коренот со дури $n$ воопшто не се извлекува.
Затоа во дефиницијата за корен од парен степен $n$ конкретно е наведено дека одговорот мора да биде ненегативен број. Вака се ослободуваме од нејаснотијата.
Но, за непарни $n$ нема таков проблем. За да го видиме ова, да го погледнеме графикот на функцијата $y=((x)^(3))$:
Коцката парабола може да земе каква било вредност, така што коренот на коцката може да се земе од кој било број Од овој графикон може да се извлечат два заклучоци:
- Гранките на кубната парабола, за разлика од обичната, одат до бесконечност во двете насоки - и нагоре и надолу. Затоа, без разлика на висината што ќе нацртаме хоризонтална линија, оваа линија сигурно ќе се вкрсти со нашиот график. Следствено, коренот на коцката секогаш може да се извлече од апсолутно секој број;
- Покрај тоа, таквото пресекување секогаш ќе биде единствено, така што не треба да размислувате кој број се смета за „точен“ корен и кој да го игнорирате. Затоа одредувањето корени за непарен степен е поедноставно отколку за парен степен (нема услов за ненегативност).
Штета што овие едноставни работи не се објаснети во повеќето учебници. Наместо тоа, нашиот мозок почнува да расте со секакви аритметички корени и нивните својства.
Да, не се расправам: исто така треба да знаете што е аритметички корен. И јас ќе зборувам за ова детално во посебна лекција. Денес, исто така, ќе зборуваме за тоа, бидејќи без него сите размислувања за корените на множеството $n$-ти би биле нецелосни.
Но, прво треба јасно да ја разберете дефиницијата што ја дадов погоре. Во спротивно, поради изобилството на термини, во вашата глава ќе започне таков хаос што на крајот нема да разберете воопшто ништо.
Сè што треба да направите е да ја разберете разликата помеѓу парните и непарните показатели. Затоа, ајде уште еднаш да собереме сè што навистина треба да знаете за корените:
- Корен од парен степен постои само од ненегативен број и самиот е секогаш ненегативен број. За негативни броеви, таквиот корен е недефиниран.
- Но, коренот на непарниот степен постои од кој било број и сам по себе може да биде кој било број: за позитивни броеви е позитивен, а за негативни броеви, како што навестува капата, тој е негативен.
Дали е тешко? Не, не е тешко. Тоа е јасно? Да, тоа е сосема очигледно! Па сега ќе вежбаме малку со пресметките.
Основни својства и ограничувања
Корените имаат многу чудни својства и ограничувања - ова ќе се дискутира во посебна лекција. Затоа, сега ќе го разгледаме само најважниот „трик“, кој се однесува само на корените со рамномерен индекс. Ајде да го напишеме ова својство како формула:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\лево| x\десно|\]
Со други зборови, ако подигнеме број на парна моќност и потоа го извлечеме коренот на истата моќност, нема да го добиеме оригиналниот број, туку неговиот модул. Ова е едноставна теорема која лесно може да се докаже (доволно е да се разгледаат не-негативните $x$ одделно, а потоа негативните одделно). Наставниците постојано зборуваат за тоа, тоа е дадено во секој училишен учебник. Но, штом станува збор за решавање на ирационални равенки (т.е. равенки што содржат радикален знак), учениците едногласно ја забораваат оваа формула.
За да го разбереме проблемот подетално, да ги заборавиме сите формули за една минута и да се обидеме да пресметаме два броја директно напред:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \десно))^(4)))=?\]
Ова се многу едноставни примери. Повеќето луѓе ќе го решат првиот пример, но многу луѓе заглавуваат на вториот. За да ги решите таквите глупости без проблеми, секогаш размислете за постапката:
- Прво, бројот е подигнат на четврта сила. Па, некако е лесно. Ќе добиете нов број што може да се најде дури и во табелата за множење;
- И сега од овој нов број потребно е да се извлече четвртиот корен. Оние. не се случува „намалување“ на корените и моќите - ова се последователни дејства.
Да го погледнеме првиот израз: $\sqrt((3)^(4)))$. Очигледно, прво треба да го пресметате изразот под коренот:
\[((3)^(4))=3\cточка 3\cточка 3\cточка 3=81\]
Потоа го извлекуваме четвртиот корен од бројот 81:
Сега да го сториме истото со вториот израз. Прво, го подигнуваме бројот −3 до четвртата моќност, што бара множење со себе 4 пати:
\[((\лево(-3 \десно))^(4))=\лево(-3 \десно)\cdot \лево(-3 \десно)\cdot \лево(-3 \десно)\cdot \ лево(-3 \десно)=81\]
Добивме позитивен број, бидејќи вкупниот број на минуси во производот е 4, и сите тие ќе се поништат (на крајот на краиштата, минус за минус дава плус). Потоа повторно го извлекуваме коренот:
Во принцип, оваа линија не можеше да биде напишана, бидејќи не е паметно дека одговорот ќе биде ист. Оние. рамномерен корен од истата рамномерна моќ ги „гори“ минусите, и во оваа смисла резултатот не се разликува од обичен модул:
\[\begin(порамни) & \sqrt((3)^(4)))=\лево| 3 \десно|=3; \\ & \sqrt(((\лево(-3 \десно))^(4))=\лево| -3 \десно|=3. \\ \крај (порамни)\]
Овие пресметки се во добра согласност со дефиницијата за корен од парен степен: резултатот е секогаш ненегативен, а радикалниот знак исто така секогаш содржи ненегативен број. Во спротивно, коренот е недефиниран.
Забелешка за постапката
- Ознаката $\sqrt(((a)^(2)))$ значи дека прво го квадратиме бројот $a$, а потоа го земаме квадратниот корен од добиената вредност. Затоа, можеме да бидеме сигурни дека секогаш има ненегативен број под знакот за корен, бидејќи $((a)^(2))\ge 0$ во секој случај;
- Но ознаката $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, напротив, значи дека прво го земаме коренот на одреден број $a$ и дури потоа го квадратуваме резултатот. Затоа, бројот $a$ во никој случај не може да биде негативен - ова е задолжително барање вклучено во дефиницијата.
Така, во никој случај не треба непромислено да се намалуваат корените и степените, а со тоа наводно да се „поедностави“ оригиналниот израз. Затоа што ако коренот има негативен број, а неговиот експонент е парен, добиваме еден куп проблеми.
Сепак, сите овие проблеми се релевантни само за дури и индикатори.
Отстранување на знакот минус од под знакот на коренот
Природно, корените со непарни експоненти имаат и своја карактеристика, која во принцип не постои кај парните. Имено:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Накратко, можете да го отстраните минусот од под знакот на корени од непарни степени. Ова е многу корисно својство што ви овозможува да ги „исфрлите“ сите недостатоци:
\[\begin(порамни) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \десно)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \крај (порамни)\]
Ова едноставно својство во голема мера поедноставува многу пресметки. Сега не треба да се грижите: што ако негативен израз е скриен под коренот, но степенот во коренот се покажа рамномерен? Доволно е само да ги „исфрлиме“ сите минуси надвор од корените, по што тие можат да се множат еден со друг, да се поделат и генерално да прават многу сомнителни работи, кои во случајот на „класичните“ корени гарантирано ќе не доведат до грешка.
И тука на сцена стапува друга дефиниција - истата со која во повеќето училишта започнуваат изучување на ирационални изрази. И без што нашето расудување би било нецелосно. Запознајте се!
Аритметички корен
Да претпоставиме за момент дека под знакот на коренот може да има само позитивни броеви или, во екстремни случаи, нула. Да заборавиме на парните/непарните показатели, да заборавиме на сите дефиниции дадени погоре - ќе работиме само со ненегативни броеви. Што тогаш?
И тогаш ќе добиеме аритметички корен - тој делумно се преклопува со нашите „стандардни“ дефиниции, но сепак се разликува од нив.
Дефиниција. Аритметички корен од $n$th степен на ненегативен број $a$ е ненегативен број $b$ таков што $((b)^(n))=a$.
Како што гледаме, повеќе не не интересира паритет. Наместо тоа, се појави ново ограничување: радикалниот израз сега е секогаш ненегативен, а самиот корен е исто така ненегативен.
За подобро да разберете како аритметичкиот корен се разликува од вообичаениот, погледнете ги графиконите на квадратната и кубната парабола со кои веќе ни се познати:
Областа за пребарување на аритметички корен - ненегативни броеви Како што можете да видите, отсега нè интересираат само оние парчиња графикони што се наоѓаат во првата координатна четвртина - каде координатите $x$ и $y$ се позитивни (или барем нула). Повеќе не треба да го гледате индикаторот за да разберете дали имаме право да ставиме негативен број под коренот или не. Бидејќи негативните броеви повеќе не се разгледуваат во принцип.
Може да прашате: „Па, зошто ни е потребна таква кастрирана дефиниција? Или: „Зошто не можеме да се справиме со стандардната дефиниција дадена погоре?“
Па, ќе дадам само едно својство поради кое новата дефиниција станува соодветна. На пример, правилото за експоненција:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Ве молиме имајте предвид: можеме да го подигнеме радикалниот израз на која било моќност и во исто време да го помножиме коренскиот експонент со иста моќност - и резултатот ќе биде ист број! Еве примери:
\[\begin(порамни) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \крај (порамни)\]
Па што е голема работа? Зошто не можевме да го направиме ова порано? Еве зошто. Да разгледаме едноставен израз: $\sqrt(-2)$ - оваа бројка е сосема нормална во нашето класично разбирање, но апсолутно неприфатлива од гледна точка на аритметичкиот корен. Ајде да се обидеме да го конвертираме:
$\begin(порамни) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\лево(-2 \десно))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \крај (порамни)$
Како што можете да видите, во првиот случај го отстранивме минусот од под радикалот (имаме целосно право, бидејќи експонентот е непарен), а во вториот случај ја користевме горната формула. Оние. Од математичка гледна точка, сè е направено според правилата.
WTF?! Како може истиот број да биде и позитивен и негативен? Нема шанси. Само што формулата за степенување, која одлично функционира за позитивни броеви и нула, почнува да произведува целосна ерес во случај на негативни броеви.
За да се ослободи од таквата нејасност, беа измислени аритметички корени. Посебна голема лекција им е посветена, каде детално ги разгледуваме сите нивни својства. Затоа, нема да се задржиме на нив сега - лекцијата веќе се покажа како предолга.
Алгебарски корен: за оние кои сакаат да знаат повеќе
Долго размислував дали да ја ставам оваа тема во посебен пасус или не. На крајот решив да го оставам овде. Овој материјал е наменет за оние кои сакаат да ги разберат корените уште подобро - веќе не на просечно ниво на „училиште“, туку на ниво блиску до олимпијадата.
Значи: покрај „класичната“ дефиниција за $n$th корен на број и поврзаната поделба на парни и непарни експоненти, постои и „повозрасна“ дефиниција која воопшто не зависи од паритет и други суптилности. Ова се нарекува алгебарски корен.
Дефиниција. Алгебарскиот $n$th корен на кој било $a$ е множество од сите броеви $b$ така што $((b)^(n))=a$. Не постои утврдена ознака за такви корени, така што само ќе ставиме цртичка на врвот:
\[\ overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \десно. \десно\) \]
Основната разлика од стандардната дефиниција дадена на почетокот на часот е тоа што алгебарскиот корен не е конкретен број, туку множество. И бидејќи работиме со реални броеви, овој сет доаѓа во само три вида:
- Празен сет. Се јавува кога треба да пронајдете алгебарски корен со парен степен од негативен број;
- Комплет кој се состои од еден единствен елемент. Сите корени на непарните сили, како и корените на парните сили од нула, спаѓаат во оваа категорија;
- Конечно, множеството може да вклучува два броја - истиот $((x)_(1))$ и $((x)_(2))=-((x)_(1))$ што ги видовме на графикон квадратна функција. Според тоа, таков распоред е возможен само кога се извлекува коренот на парен степен од позитивен број.
Последниот случај заслужува подетално разгледување. Ајде да наброиме неколку примери за да ја разбереме разликата.
Пример. Оценете ги изразите:
\[\ overline (\sqrt (4));\quad \overline (\sqrt (-27));\quad \overline (\sqrt (-16)).\]
Решение. Првиот израз е едноставен:
\[\ overline(\sqrt(4))=\лево\( 2;-2 \десно\)\]
Тоа се два броја кои се дел од множеството. Бидејќи секој од нив на квадрат дава четворка.
\[\overline(\sqrt(-27))=\лево\( -3 \десно\)\]
Овде гледаме збир што се состои од само еден број. Ова е сосема логично, бидејќи коренскиот експонент е непарен.
Конечно, последниот израз:
\[\ overline (\sqrt (-16)) =\varnothing \]
Добивме празен сет. Бидејќи не постои ниту еден реален број кој, кога ќе се подигне на четврта (т.е. парен!) моќ, ќе ни го даде негативниот број −16.
Завршна белешка. Ве молиме имајте предвид: не случајно забележав насекаде дека работиме со реални бројки. Бидејќи има и сложени броеви - сосема е можно таму да се пресметаат $\sqrt(-16)$, и многу други чудни работи.
Сепак, сложените броеви речиси никогаш не се појавуваат во современите училишни курсеви по математика. Тие се отстранети од повеќето учебници бидејќи нашите службеници сметаат дека темата е „премногу тешка за разбирање“.
Тоа е се. Во следната лекција ќе ги разгледаме сите клучни својства на корените и конечно ќе научиме како да ги поедноставиме ирационалните изрази :)
Операции со моќ и корени. Степен со негативен ,
нула и фракционо индикатор. За изразите кои немаат значење.
Операции со степени.
1. Кога се множат силите со иста основа, нивните експоненти се собираат:
м · a n = a m + n.
2. При делење на степени со иста основа, нивните експоненти се одземаат .
3. Степенот на производот на два или повеќе фактори е еднаков на производот од степените на овие фактори.
(abc… ) n = a n· b n · c n…
4. Степенот на односот (дропка) е еднаков на односот на степените на дивидендата (броителот) и делителот (именителот):
(а/б ) n = a n / b n .
5. При подигање на моќност на моќност, нивните експоненти се множат:
(м ) n = a m n.
Сите горенаведени формули се читаат и се извршуваат во двете насоки од лево кон десно и обратно.
ПРИМЕР (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Операции со корени. Во сите формули подолу, симболот значи аритметички корен(радикалното изразување е позитивно).
1. Коренот на производот од неколку фактори е еднаков на производот корените на овие фактори:
2. Коренот на соодносот е еднаков на односот на корените на дивидендата и делителот:
3. Кога се подига коренот на моќ, доволно е да се подигне на оваа моќ радикален број:
4. Ако го зголемиме степенот на коренот вом подигне дом та моќ е радикален број, тогаш вредноста на коренот нема да се промени:
5. Ако го намалиме степенот на коренот вом извлечете го коренот еднаш и во исто времем та моќ на радикален број, тогаш вредноста на коренот не еќе се промени:
Проширување на концептот на степен. Досега ги разгледувавме степените само со природни експоненти;туку дејствија со степени и корени исто така може да доведат до негативен, нулаИ фракционоиндикатори. Сите овие експоненти бараат дополнителна дефиниција.
Степен со негативен експонент. Моќта на некој број в негативен (цел број) експонент се дефинира како поделен со моќ од ист број со експонент еднаков на апсолутната вредностнегативен индикатор:
Тсега формулата м: a n= м - n може да се користи не само зам, повеќе од n, но и со м, помалку од n .
ПРИМЕР а 4 :а 7 =а 4 - 7 =а - 3 .
Ако ја сакаме формулатам : a n= м - nбеше фер когаm = n, ни треба дефиниција за нулта степен.
Степен со нула индекс. Моќта на кој било ненулта број со експонент нула е 1.
ПРИМЕРИ. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Степен со дробен експонент. Да се подигне реален броји до моќноста m/n , треба да го извлечете коренот n-та сила од m -та моќ на овој бројА:
За изразите кои немаат значење. Има неколку такви изрази.кој било број.
Всушност, ако претпоставиме дека овој израз е еднаков на некој број x, тогаш според дефиницијата за операцијата делење имаме: 0 = 0 · x. Но оваа еднаквост настанува кога кој било број x, што требаше да се докаже.
Случај 3.
0 0 - кој било број.
Навистина,
Решение Ајде да разгледаме три главни случаи:
1) x = 0 – оваа вредност не ја задоволува оваа равенка
(Зошто?).
2) кога x> 0 добиваме: x/x = 1, т.е. 1 = 1, што значи
Што x– кој било број; но имајќи предвид дека во
Во нашиот случај x> 0, одговорот еx > 0 ;
3) кога x < 0 получаем: – x/x= 1, т.е . -1 = 1, затоа,
Во овој случај нема решение.
Така, x > 0.