Во продолжение од вчера:
Ајде да играме со мозаик заснован на геометриска бајка:
Некогаш имаше триаголници. Толку слични што се само копии еден на друг.
Тие некако застанаа рамо до рамо во права линија. И бидејќи сите беа со иста висина -
тогаш нивните врвови беа на исто ниво, под владетелот:
Триаголниците сакаа да се спуштаат и да стојат на главите. Тие се искачија на горниот ред и застанаа на аголот како акробати.
И веќе знаеме - кога стојат со врвовите точно во линија,
тогаш и нивните табани следат линијар - затоа што ако некој е со иста висина, тогаш и тој е со иста висина наопаку!
Тие беа исти во сè - иста висина, и исти стапала,
а лизгачите на страните - едната поостра, другата порамна - се исти по должина
и имаат ист наклон. Па, само близнаци! (само во различна облека, секоја со свое парче од сложувалката).
- Каде се триаголниците идентични страни? Каде аглите се исти?
Триаголниците застанаа на главите, застанаа таму и решија да се лизгаат и да легнат во долниот ред.
Тие се лизнаа и се лизнаа по еден рид; но нивните слајдови се исти!
Така точно се вклопуваат меѓу долните триаголници, без празнини и никој никого не турнал настрана.
Ги разгледавме триаголниците и забележавме една интересна карактеристика.
Каде и да се спојат нивните агли, сите три агли сигурно ќе се сретнат:
најголемиот е „аголот на главата“, најостриот агол и третиот, среден најголем агол.
Дури и врзаа ленти во боја за веднаш да се види која е која.
И се покажа дека трите агли на триаголникот, ако ги комбинирате -
направи еден голем агол, „отворен агол“ - како корица на отворена книга,
_______________________________
тоа се нарекува свртен агол.
Секој триаголник е како пасош: три агли заедно се еднакви на расклопениот агол.
Некој тропа на вашата врата: - чук-чук, триаголник сум, да преноќим!
А ти кажи му - Покажи ми го збирот на аглите во проширена форма!
И веднаш е јасно дали ова е вистински триаголник или измамник.
Неуспешна верификација - Сврти околу сто осумдесет степени и оди дома!
Кога велат „сврти 180°“ значи да се свртиш наназад и
оди во спротивна насока.
Истото во попознатите изрази, без „еднаш одамна“:
Ајде да го направиме тоа паралелен трансфертриаголник ABC по оската OX
до вектор АБ еднаква на должината AB бази.
Правата DF што минува низ темињата C и C 1 на триаголниците
паралелно со оската OX, поради фактот што нормално на оскатаО
отсечки h и h 1 (висини еднакви триаголници) се еднакви.
Така, основата на триаголникот A 2 B 2 C 2 е паралелна со основата AB
и еднаков на него по должина (бидејќи темето C 1 е поместено во однос на C за износот AB).
Триаголниците A 2 B 2 C 2 и ABC се еднакви на три страни.
Според тоа, аглите ∠A 1 ∠B ∠C 2 кои формираат правоаголник се еднакви на аглите на триаголникот ABC.
=> Збирот на аглите на триаголникот е 180°
Со движења - „преводи“, таканаречениот доказ е пократок и појасен,
дури и дете може да ги разбере парчињата од мозаикот.
Но, традиционалното училиште:
врз основа на еднаквоста на внатрешните вкрстени агли отсечени на паралелни линии
вредно по тоа што дава идеја зошто е тоа така,
Зоштозбирот на аглите на триаголникот е еднаков на обратниот агол?
Затоа што во спротивно паралелните линии не би ги имале својствата познати на нашиот свет.
Теоремите функционираат на двата начина. Од аксиомата на паралелни прави следува
еднаквост на вкрстено лажење и вертикални агли, и од нив - збирот на аглите на триаголникот.
Но, точно е и спротивното: додека аглите на триаголникот се 180°, постојат паралелни прави
(така што низ точка што не лежи на права може да се повлече единствена линија || на дадената).
Ако еден ден во светот се појави триаголник чиј збир на агли не е еднаков на расклопениот агол -
тогаш паралелните ќе престанат да бидат паралелни, целиот свет ќе биде свиткан и искривен.
Ако лентите со триаголни обрасци се поставени една над друга -
можете да го покриете целото поле со повторувачка шема, како под со плочки:
можете да следите различни форми на таква мрежа - шестоаголници, ромбови,
ѕвездени полигони и добијте разновидни паркети
Поставувањето плочки на авион со паркет не е само забавна игра, туку и релевантна. математички проблем:
________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\
Бидејќи секој четириаголник е правоаголник, квадрат, ромб итн.,
може да биде составен од два триаголници,
соодветно, збирот на аглите на четириаголник: 180° + 180° = 360°
Идентичните рамнокрак триаголници се преклопуваат во квадрати на различни начини.
Мал квадрат од 2 дела. Просек од 4. И најголемиот од 8-те.
Колку фигури има на цртежот, составен од 6 триаголници?
Прелиминарни информации
Прво, да го погледнеме директно концептот на триаголник.
Дефиниција 1
Ќе го наречеме триаголник геометриска фигура, кој е составен од три точки поврзани со отсечки (сл. 1).
Дефиниција 2
Во рамките на Дефиницијата 1, точките ќе ги нарекуваме темиња на триаголникот.
Дефиниција 3
Во рамките на Дефиницијата 1, отсечките ќе се нарекуваат страни на триаголникот.
Очигледно, секој триаголник ќе има 3 темиња, како и три страни.
Теорема за збир на агли во триаголник
Да воведеме и докажеме една од главните теореми поврзани со триаголниците, имено теоремата за збир на агли во триаголник.
Теорема 1
Збирот на аглите во кој било произволен триаголник е $180^\circ$.
Доказ.
Размислете за триаголникот $EGF$. Да докажеме дека збирот на аглите во овој триаголник е еднаков на $180^\circ$. Ајде да направиме дополнителна конструкција: нацртајте ја правата линија $XY||EG$ (сл. 2)
Бидејќи правите $XY$ и $EG$ се паралелни, тогаш $∠E=∠XFE$ лежат вкрстено на секантот $FE$, а $∠G=∠YFG$ лежат вкрстено на секантот $FG$
Аголот $XFY$ ќе биде обратен и затоа е еднаков на $180^\circ$.
$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$
Оттука
$∠E+∠F+∠G=180^\circ$
Теоремата е докажана.
Теорема за надворешен агол на триаголник
Друга теорема за збирот на агли за триаголник може да се смета за теорема за надворешниот агол. Прво, да го воведеме овој концепт.
Дефиниција 4
Надворешен агол на триаголник ќе го наречеме агол што ќе биде блиску до кој било агол на триаголникот (сл. 3).
Сега да ја разгледаме теоремата директно.
Теорема 2
Надворешниот агол на триаголникот е еднаков на збирот на два агли на триаголникот кои не се соседни со него.
Доказ.
Ајде да размислиме произволен триаголник$EFG$. Нека има надворешен агол на триаголникот $FGQ$ (сл. 3).
Со теорема 1, ќе имаме дека $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, затоа,
$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$
Бидејќи аголот $FGQ$ е надворешен, тогаш тој е во непосредна близина на аголот $∠G$
$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$
Теоремата е докажана.
Примерок задачи
Пример 1
Најдете ги сите агли на триаголник ако е рамностран.
Па како си рамностран триаголниксите страни се еднакви, тогаш ќе имаме дека и сите агли во него се еднакви еден со друг. Дозволете ни да ги означиме нивните мерки за степен со $α$.
Потоа, со теорема 1 добиваме
$α+α+α=180^\circ$
Одговор: сите агли се еднакви на $60^\circ$.
Пример 2
Најдете ги сите агли на рамнокрак триаголник ако еден од неговите агли е еднаков на $100^\circ$.
Да ја воведеме следната нотација за агли во рамнокрак триаголник:
Бидејќи во условот не ни е даден точно каков агол е еднаков $100^\circ$, тогаш можни се два случаи:
Агол еднаков на $100^\circ$ е аголот на основата на триаголникот.
Користејќи ја теоремата за аглите на основата на рамнокрак триаголник, добиваме
$∠2=∠3=100^\circ$
Но, тогаш само нивниот збир ќе биде поголем од $180^\circ$, што е во спротивност со условите од теоремата 1. Тоа значи дека овој случај не се случува.
Агол еднаков на $100^\circ$ е аголот помеѓу еднакви страни, тоа е
Прашањето е отворено на 08.04.2017 година во 12:25 часот
Не навистина___
2. Во рамнокрак триаголник, аглите на основата се тапи.
Не навистина___
3. Кога две паралелни прави се сечат со попречна трансверзала, лежечките агли се еднакви
соодветните агли.
Не навистина___
4. Кога две паралелни прави се сечат со трансверзала, збирот на едностраните агли е 180°.
Не навистина___
5. Надворешниот агол на триаголникот е еднаков на разликата на два агли на триаголникот кои не се соседни со него.
Не навистина___
6.Дијагоналите на паралелограмот се еднакви.
Не навистина___
7. Дијагоналите на квадрат се меѓусебно нормални.
Не навистина___
8. Дијагоналите на правоаголникот ги преполовуваат аглите на правоаголникот.
Не навистина___
9. Средината на триаголникот ги дели страните на триаголникот во сооднос 2:1, сметајќи од темето.
Не навистина___
10. Симетралите на триаголникот се сечат во една точка.
Не навистина___
11. Висината на рамнокрак триаголник нацртан до основата е медијана и симетрала.
Не навистина___
12. Триаголник со квадрат на една од неговите страни еднаков на збиротквадрати од другите две страни, правоаголни.
Не навистина___
13. Четириаголник чии две страни се паралелни е трапез.
Не навистина___
14. Во паралелограм, збирот на квадратите на дијагоналите е еднаков на збирот на квадратите на сите негови страни.
Не навистина___
15. Плоштината на ромб е еднаква на производот од квадратот на страната и синусот на аголот на ромбот.
Не навистина___
16. Плоштината на правоаголникот е еднаква на половина од производот на квадратот на дијагоналата и синусот на аголот помеѓу дијагоналите.
Не навистина___
17. Тангента на остар агол правоаголен триаголник еднаков на односот соседната ногана спротивната.
Не навистина___
18. Радиусот на кругот опкружен со правоаголен триаголник е еднаков на односот на соседната катета со спротивната.
Не навистина___
19. Средните точки на страните на кој било четириаголник се темиња на паралелограм.
Не навистина___
20.Ако дијагоналите на паралелограмот се еднакви, тогаш овој паралелограм е квадрат.
Не навистина___
21. Отсечката што ги поврзува средните точки на дијагоналите на трапезот е еднаква на половина од разликата на неговите основи.
Не навистина___
22. Точката на пресек на продолжението на страничните страни на трапезоидот и средината на неговите основи лежат на истата права линија.
Не навистина___
23.Ако аглите на основата на трапезот се еднакви, тогаш тој е рамнокрак.
Не навистина___
24. Средната линија на трапезот е еднаква на половина од разликата на неговите основи.
Не навистина___
25.Однос на површина слични бројкиеднаков на коефициентот на сличност.
Не навистина___
26. Дијаметарот нормален на акордот ги дели на половина лакови подвигнати од него.
Не навистина___
27. Од два акорда поголем е оној што е пооддалечен од центарот.
Не навистина___
28. Радиусот на кругот е двојно поголем од дијаметарот.
Не навистина___
29. Права која има две заеднички точки со кружница е тангента.
Не навистина___
30. Центарот на кругот впишан во агол лежи на симетралата на овој агол.
Не навистина___
31. Темето на впишан агол лежи во центарот на кругот.
Не навистина___
32. Центрите на кружницата и кружницата на рамностран триаголник се совпаѓаат.
Не навистина___
33.Круг може да се впише во четириаголник ако збирот спротивни аглиеднаква на 180°.
Не навистина___
34. Обемот на кругот е еднаков на ∏d, каде што d е дијаметарот на кругот.
Не навистина___
35. Збирот на аглите на многуаголникот е 180°:(n-2).
Не навистина___
36. Хипотенузата на правоаголен триаголник е еднаква на катетата поделена со синусот на аголот спротивен на оваа катета.
Не навистина___
37. Симетралата на триаголникот ја дели неговата страна на отсечки пропорционални на другите две страни.
Не навистина___
38. Прави кои содржат височини на триаголник се сечат на три точки.
Не навистина___
39. Точката на пресек на симетралите на триаголникот е центарот на кругот опфатен околу овој триаголник.
Не навистина___
40. Аголот помеѓу симетралите на вертикалните агли е 180°.
Не навистина___
Оваа теорема е формулирана и во учебникот од Л.С. Атанасјан. , а во учебникот на Погорелов А.В. . Доказите за оваа теорема во овие учебници не се разликуваат значително и затоа го прикажуваме нејзиниот доказ, на пример, од учебникот на А.В.Погорелов.
Теорема: Збирот на аглите на триаголникот е 180°
Доказ. Нека ABC - даден триаголник. Дозволете ни да повлечеме права низ темето B паралелна со правата AC. Да ја означиме точката D на неа така што точките A и D лежат заедно различни страниод директната линија BC (сл. 6).
Аглите DBC и ACB се еднакви како внатрешните вкрстени, формирани од секантата BC со паралелни прави линии AC и BD. Според тоа, збирот на аглите на триаголникот на темињата B и C е еднаков на аголот ABD. А збирот на сите три агли на триаголникот е еднаков на збирот на аглите ABD и BAC. Бидејќи ова се еднострани внатрешни агли за паралелни AC и BD и секанта AB, нивниот збир е 180°. Теоремата е докажана.
Идејата на овој доказ е да се спроведе паралелна линијаи означување на еднаквост на саканите агли. Дозволете ни да ја реконструираме идејата за таква дополнителна конструкција со докажување на оваа теорема користејќи го концептот на мисловен експеримент. Доказ за теоремата со помош на мисловен експеримент. Значи, предмет на нашиот мисловен експеримент се аглите на триаголникот. Да го поставиме ментално во услови во кои неговата суштина може да се открие со особена сигурност (фаза 1).
Такви услови ќе биде таков распоред на аглите на триаголникот во кој сите три нивни темиња ќе се спојат во една точка. Таквата комбинација е можна доколку дозволиме можност за „поместување“ на аглите со поместување на страните на триаголникот без промена на аголот на наклон (сл. 1). Таквите движења се во суштина последователни ментални трансформации (фаза 2).
Означувајќи ги аглите и страните на триаголникот (слика 2), аглите добиени со „движење“, на тој начин ментално ја формираме околината, системот на врски во кој го ставаме нашиот предмет на размислување (фаза 3).
Правата AB, „движејќи се“ по правата BC и без да го промени аголот на наклон кон неа, го пренесува аголот 1 на аголот 5, а „движејќи се“ по правата AC, го пренесува аголот 2 на аголот 4. Бидејќи со такво „движење“ правата AB не го менува аголот на наклон кон правите AC и BC, тогаш заклучокот е очигледен: зраците a и a1 се паралелни со AB и се трансформираат едни во други, а зраците b и b1 се продолжение на страните BC и AC, соодветно. Бидејќи аголот 3 и аголот помеѓу зраците b и b1 се вертикални, тие се еднакви. Збирот на овие агли е еднаков на ротираниот агол aa1 - што значи 180°.
ЗАКЛУЧОК
ВО дипломска работаспроведе „конструирани“ докази на некое училиште геометриски теореми, користејќи структура на мисловен експеримент, кој ја потврди формулираната хипотеза.
Изложените докази се засноваа на такви визуелни и сетилни идеализации: „компресија“, „истегнување“, „лизгање“, што овозможи да се трансформира оригиналот геометриски објекти да ги истакне неговите суштински карактеристики, што е типично за мисловен експеримент. При што мисловен експериментделува како одредена „креативна алатка“ која придонесува за појава на геометриско знаење (на пример, за средната линијатрапез или околу аглите на триаголникот). Ваквите идеализации овозможуваат да се сфати целата идеја за докажување, идејата за спроведување „дополнителна конструкција“, што ни овозможува да зборуваме за можноста за посвесно разбирање од страна на учениците на процесот на формално дедуктивно докажување на геометриски теореми.
Мисловниот експеримент е еден од основни методидобивање и откривање на геометриски теореми. Потребно е да се развие методологија за пренесување на методот на ученикот. Останува отворено прашањеза возраста на ученикот прифатлива за „прифаќање“ на методот, за „ несакани ефекти» вака презентираните докази.
Овие прашања бараат дополнителна студија. Но, во секој случај, едно е сигурно: се развива мисловен експеримент кај учениците теоретско размислување, е неговата основа и затоа треба да се развие способноста за ментално експериментирање.