Точка и права линија се основните геометриски фигури на рамнината.
Античкиот грчки научник Евклид рекол: „точка“ е нешто што нема делови“. Зборот „точка“ во превод од Латински јазикзначи резултат на инстант допир, боцкање. Точката е основа за конструирање на која било геометриска фигура.
Права или едноставно права линија е линија по која растојанието помеѓу две точки е најкратко. Правата линија е бесконечна, и невозможно е да се прикаже целата права линија и да се измери.
Поените се означени со големи букви со латински букви A, B, C, D, E, итн., а правите линии се исти букви, но мали букви a, b, c, d, e итн. Правата линија може да се означи и со две букви што одговараат на точките што лежат на тоа. На пример, права линија a може да биде означена AB.
Можеме да кажеме дека точките AB лежат на правата a или припаѓаат на правата a. И можеме да кажеме дека правата а поминува низ точките А и Б.
Наједноставните геометриски фигури на рамнината се отсечка, зрак, скршена линија.
Отсечка е дел од права која се состои од сите точки на оваа права, ограничени со две избрани точки. Овие точки се краевите на сегментот. Сегмент се означува со означување на неговите краеви.
Зрак или полуправа е дел од права која се состои од сите точки на оваа права што лежат на едната страна од дадената точка. Оваа точка се нарекува почетна точка на полуправата или почеток на зракот. Гредата има почетна точка, но нема крај.
Полуправи линии или зраци се означени со две мали латински букви: почетната и која било друга буква, соодветна точкакои припаѓаат на полулинијата. Во овој случај, почетната точка се става на прво место.
Излегува дека правата линија е бесконечна: таа нема ниту почеток ниту крај; зракот има само почеток, но нема крај, но сегментот има почеток и крај. Затоа, можеме да измериме само сегмент.
Неколку отсечки кои се последователно поврзани еден со друг така што отсечките (соседните) со една заедничка точка не се наоѓаат на иста права линија, претставуваат прекината линија.
Скршената линија може да биде затворена или отворена. Ако крајот на последниот сегмент се совпадне со почетокот на првиот, имаме затворена скршена линија, ако не, тоа е отворена линија.
blog.site, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до оригиналниот извор.
Тема на лекцијата
Што е геометриска фигура
Геометриските фигури се збир од многу точки, линии, површини или тела кои се наоѓаат на површина, рамнина или простор и формираат конечен број на линии.
Терминот „фигура“ до одреден степен формално се применува на множество точки, но по правило, фигурата обично се нарекува множество што се наоѓа на рамнина и е ограничено со конечен број линии.
Точка и права линија се основните геометриски фигури лоцирани на рамнина.
Наједноставните геометриски фигури на рамнината вклучуваат сегмент, зрак и скршена линија.
Што е геометрија
Геометријата е ваква математичка наука, кој ги проучува својствата на геометриските форми. Ако буквално го преведеме терминот „геометрија“ на руски, тоа значи „земјиште“, бидејќи во античко време главната задача на геометријата како наука беше мерење на растојанија и области на површината на земјата.
Практичната примена на геометријата е непроценлива во секое време и без разлика на професијата. Ниту работник, ниту инженер, ниту архитект, ниту уметник не можат без познавање на геометријата.
Во геометријата има дел кој се занимава со проучувањето различни фигурина рамнина и се нарекува планиметрија.
Веќе знаете дека фигурата е произволно збир на точки лоцирани на рамнина.
Геометриските фигури вклучуваат: точка, права линија, отсечка, зрак, триаголник, квадрат, круг и други фигури што ги проучува планиметријата.
Точка
Од материјалот проучен погоре, веќе знаете дека поентата се однесува на главните геометриски фигури. И иако ова е најмалата геометриска фигура, таа е неопходна за конструирање на други фигури на рамнина, цртеж или слика и е основа за сите други конструкции. На крајот на краиштата, конструкцијата на посложени геометриски фигури се состои од многу точки карактеристични за дадена фигура.
Во геометријата точките претставуваат со големи букви Латинска азбука, на пример, како што се: A, B, C, D....
Сега да резимираме, и така, од математичка гледна точка, точката е таков апстрактен објект во просторот што нема волумен, површина, должина и други карактеристики, но останува еден од основните концепти во математиката. Точка е нулта-димензионален објект кој нема дефиниција. Според дефиницијата на Евклид, точка е нешто што не може да се дефинира.
Директно
Како точка, правата линија се однесува на фигури на рамнина, која нема дефиниција, бидејќи се состои од бесконечен бројточки лоцирани на иста линија, која нема ниту почеток ниту крај. Може да се тврди дека права линија е бесконечна и нема ограничување.
Ако права линија започнува и завршува со точка, тогаш таа повеќе не е права линија и се нарекува отсечка.
Но, понекогаш права линија има точка на едната страна, а не на другата страна. Во овој случај, правата линија се претвора во зрак.
Ако земете права линија и ставите точка во нејзината средина, тогаш таа ќе ја подели правата линија на два спротивно насочени зраци. Овие зраци се дополнителни.
Ако пред вас има неколку сегменти поврзани едни со други така што крајот на првиот сегмент станува почеток на вториот, а крајот на вториот сегмент станува почеток на третиот итн., а овие сегменти не се на иста права линија и кога се поврзани имаат заедничка точка, тогаш таквиот синџир е прекината линија.
Вежбајте
Која прекината линија се нарекува незатворена?
Како е означена права линија?
Како се вика прекината линија која има четири затворени врски?
Како се вика прекината линија со три затворени врски?
Кога крајот на последниот сегмент од скршената линија се совпаѓа со почетокот на 1-виот сегмент, тогаш таквата скршена линија се нарекува затворена. Пример за затворена полилинија е кој било многуаголник.
Рамнина
Како точка и права линија, рамнината е примарен концепт, нема дефиниција и не може да се види ниту почеток, ниту крај. Затоа, кога размислуваме за авион, го земаме предвид само оној дел од него што е ограничен со затворена скршена линија. Така, секоја мазна површина може да се смета за рамнина. Оваа површина може да биде лист хартија или маса.
Катче
Фигурата која има два зраци и теме се нарекува агол. Спојот на зраците е темето на овој агол, а неговите страни се зраците што го формираат овој агол.
Вежба:
1. Како е означен агол во текстот?
2. Кои единици можете да ги користите за мерење на агол?
3. Кои се аглите?
Паралелограм
Паралелограм е четириаголник спротивставени страникои се паралелни во пар.
Правоаголник, квадрат и ромб се посебни случаи на паралелограм.
Паралелограм со прави агли еднакви на 90 степени е правоаголник.
Квадрат е ист паралелограм; неговите агли и страни се еднакви.
Што се однесува до дефиницијата за ромб, тоа е геометриска фигура чии сите страни се еднакви.
Покрај тоа, треба да знаете дека секој квадрат е ромб, но не секој ромб може да биде квадрат.
Трапезоид
Кога размислуваме за геометриска фигура како што е трапезоидот, можеме да кажеме дека, особено, како четириаголник, има еден пар паралелни спротивни страни и е криволинеарен.
Круг и Круг
Обем - локусточките на рамнината на еднакво растојание од дадена точка, наречен центар, до дадено растојание кое не е нула, наречено негов радиус.
Тријаголник
Триаголникот што веќе го проучувавте исто така припаѓа на едноставни геометриски фигури. Ова е еден од типовите на многуаголници во кои дел од рамнината е ограничен со три точки и три отсечки кои ги поврзуваат овие точки во парови. Секој триаголник има три темиња и три страни.
Вежба:Кој триаголник се нарекува дегенериран?
Многуаголник
Многуаголниците вклучуваат геометриски форми различни форми, кои имаат затворена скршена линија.
Во многуаголникот, сите точки што ги поврзуваат отсечките се негови темиња. А отсечките што го сочинуваат многуаголникот се неговите страни.
Дали знаевте дека појавата на геометријата датира со векови и е поврзана со развојот на разни занаети, култура, уметност и набљудување на околниот свет. И името на геометриските фигури е потврда за тоа, бидејќи нивните поими не настанале само така, туку поради нивната сличност и сличност.
На крајот на краиштата, терминот „трапез“ е преведен од старогрчки јазикод зборот „трапез“ значи трпеза, оброк и други изведени зборови.
„Конус“ доаѓа од грчки збор„Конос“, што во превод звучи како шишарка.
„Линија“ има латински корени и доаѓа од зборот „линум“, преведено звучи како ленен конец.
Дали знаевте дека ако земете геометриски фигури со ист периметар, тогаш меѓу нив сопственикот на најмногу голема површинаиспадна дека е круг.
Планиметријае гранка на геометријата во која се изучуваат фигури на рамнина.
Фигури проучувани со планиметрија:
3. Паралелограм (посебни случаи: квадрат, правоаголник, ромб)
4. Трапезоид
5. Обем
6. Триаголник
7. Многуаголник
1) Точка:
Во геометријата, топологијата и сродните гранки на математиката, точката е апстрактен објект во просторот кој нема ниту волумен, површина, должина, ниту други слични карактеристики на големи димензии. Така, точката е нулта-димензионален објект. Точката е еден од основните концепти во математиката.
Точка во Евклидовата геометрија:
Точката е еден од основните концепти на геометријата, така што „точката“ нема дефиниција. Евклид ја дефинирал точката како нешто што не може да се подели.
Правата линија е еден од основните концепти на геометријата.
Геометриска права линија (права линија) - не затворена од двете страни, продолжена и не крива геометриски објект, пресеккоја се стреми кон нула, а надолжната проекција на рамнината дава точка.
Во систематското прикажување на геометријата, правата линија обично се зема како една од оригинални концепти, што е само индиректно определено со аксиомите на геометријата.
Ако основата за конструирање на геометријата е концептот на растојание помеѓу две точки во просторот, тогаш права линија може да се дефинира како линија по која патеката еднакво на растојаниетопомеѓу две точки.
3) Паралелограм:
Паралелограм е четириаголник чии спротивни страни се паралелни во парови, односно лежат на паралелни прави. Посебни случаи на паралелограм се правоаголник, квадрат и ромб.
Посебни случаи:
Плоштад- правилен четириаголник или ромб, во кој сите агли се прави, или паралелограм, во кој сите страни и агли се еднакви.
Плоштадот може да се дефинира како: правоаголник чии две соседни страни се еднакви;
ромб во кој сите агли се правилни (било кој квадрат е ромб, но не секој ромб е квадрат).
Правоаголнике паралелограм во кој сите агли се прави агли (еднакви на 90 степени).
Ромбе паралелограм во кој сите страни се еднакви. Ромб со прави агли се нарекува квадрат.
4) Трапезоид:
Трапезоид- четириаголник со точно еден пар спротивставени страни паралелни.
1. Трапез, кој странине е еднаков,
повикани разноврсна .
2. Се вика трапез чии страни се еднакви рамнокрак.
3. Се вика трапез во кој едната страна прави прав агол со основите правоаголна .
Се нарекува сегментот што ги поврзува средните точки на страничните страни на трапезоидот средната линијатрапезиус (MN). Средната линија на трапезоидот е паралелна со основите и еднаква на нивната полу-збир.
Трапезот може да се нарече скратен триаголник, затоа имињата на трапезоидите се слични на имињата на триаголниците (триаголниците можат да бидат скалести, рамнокраки или правоаголни).
5) Обем:
Заокружете- геометрискиот локус на точките на рамнината еднакво оддалечена од дадена точка, наречена центар, на дадено растојание не-нулта, наречена нејзин радиус.
6) Триаголник:
Тријаголник - наједноставен многуаголникима 3 темиња (агли) и 3 страни; дел од рамнината ограничен со три точки и три отсечки што ги поврзуваат овие точки во парови.
7) Многуаголник:
Многуаголник- ова е геометриска фигура, дефинирана како затворена скршена линија. Има три различни опциидефиниции:
Рамни затворени скршени линии;
Рамнински затворени полилинии без самопресеци;
Делови од авионот ограничени со скршени линии.
Темињата на многуаголникот се нарекуваат темиња на многуаголникот, а отсечките страни на многуаголникот.
Основни својства на права и точка:
1. Каква и да е правата, има точки кои припаѓаат на оваа права и не припаѓаат на неа.
Низ кои било две точки можете да нацртате права линија, и тоа само една.
2. Од трите точки на една линија, една и само една лежи помеѓу другите две.
3. Секоја отсечка има одредена должина поголема од нула. Должината на отсечката е еднаква на збирот на должините на деловите на кои е поделена со која било од нејзините точки.
6. На која било полуправа од нејзината почетна точка можете да нацртате отсечка дадена должина, и само еден.
7. Од која било полуправа до дадена полурамнина можете да нацртате агол со дадена степен мерка, помалку од 180О, и само еден.
8. Каков и да е триаголникот, на дадена локација има еднаков триаголник во однос на дадена полуправа.
Својства на триаголник:
Врски помеѓу страните и аглите на триаголникот:
1) Против поголема страналежи поголем агол.
2) Поголемата страна лежи спроти поголемиот агол.
3) Против еднакви странилежат еднакви агли, и, обратно, еднакви страни лежат спроти еднакви агли.
Односот помеѓу внатрешните и надворешните агли на триаголник:
1) Збирот на кои било два внатрешни аглитриаголникот е еднаков надворешен аголтриаголник во непосредна близина на третиот агол.
2) Страните и аглите на триаголникот се исто така поврзани едни со други со односи наречени теорема на синуси и теорема на косинуси.
Триаголникот се нарекува тап, правоаголен или акутен агол , ако неговиот најголем внатрешен агол е соодветно поголем од, еднаков или помал од 90∘.
Средна линијана триаголник е отсечката што ги поврзува средните точки на двете страни на триаголникот.
Својства на средната линија на триаголник:
1) Правата што ја содржи средната линија на триаголникот е паралелна со правата што ја содржи третата страна на триаголникот.
2) Средната линија на триаголникот е еднаква на половина од третата страна.
3) Средната линија на триаголникот отсекува сличен триаголник од триаголник.
Карактеристики на правоаголник:
1) спротивните страни се еднакви и паралелни една со друга;
2) дијагоналите се еднакви и се преполовуваат на точката на вкрстување;
3) збирот на квадратите на дијагоналите е еднаков на збирот на квадратите на сите (четири) страни;
4) правоаголниците со иста големина можат целосно да покријат рамнина;
5) правоаголникот може да се подели на два еднакви правоаголници на два начина;
6) правоаголникот може да се подели на два еднакви правоаголни триаголници;
7) околу правоаголник можете да опишете круг чиј дијаметар е еднаков на дијагоналата на правоаголникот;
8) невозможно е да се впише круг во правоаголник (освен квадрат) така што ќе ги допира сите негови страни.
Својства на паралелограм:
1) Средината на дијагоналата на паралелограмот е неговиот центар на симетрија.
2) Спротивните страни на паралелограмот се еднакви.
3) Спротивните агли на паралелограм се еднакви.
4) Секоја дијагонала на паралелограм ја дели на два еднакви триаголници.
5) Дијагоналите на паралелограмот се преполовуваат со точката на пресек.
6) Збирот на квадратите на дијагоналите на паралелограмот (d1 и d2) е еднаков на збирот на квадратите на сите негови страни: d21+d22=2(a2+b2)
СО својства на плоштадот:
1) Сите агли на квадрат се правилни, сите страни на квадрат се еднакви.
2) Дијагоналите на квадрат се еднакви и се сечат под прав агол.
3) Дијагоналите на квадратот ги делат неговите агли на половина.
Својства на ромб:
1. Дијагоналата на ромбот го дели на два еднакви триаголници.
2. Дијагоналите на ромбот се делат на половина на местото на нивното вкрстување.
3. Спротивните страни на ромбот се еднакви една на друга, еднакви и спротивни аглинеговиот.
Покрај тоа, ромб ги има следниве својства:
а) дијагоналите на ромбот се меѓусебно нормални;
б) дијагоналата на ромб го дели неговиот агол на половина.
Својства на круг:
1) Правата може да нема заеднички точки со круг; имаат една заедничка точка со кругот (тангента); имаат две заеднички точки со него (секант).
2) Преку три точки кои не лежат на иста линија, можете да нацртате круг, и тоа само една.
3) Точката на допир на два круга лежи на линијата што ги поврзува нивните центри.
Својства на многуаголник:
1) Збирот на внатрешните агли на рамнината конвексен n-аголникеднакви.
2) Бројот на дијагонали на кој било n-аголник е еднаков.
3) Производот на страните на многуаголникот и синусот на аголот меѓу нив е еднаков на плоштината на многуаголникот.
Текстот на делото е објавен без слики и формули.
Целосна верзијаработата е достапна во табулаторот „Датотеки за работа“ во PDF формат
Вовед
Геометријата е една од суштински компоненти математичко образованиенеопходни за стекнување конкретни знаења за просторот и практично значајни вештини, формирање на јазик за опишување на предмети од околниот свет, за развој просторна имагинацијаи интуиција, математичка култура, а исто така и за естетско образование. Изучувањето на геометријата придонесува за развојот логично размислување, формирање на вештини за докажување.
Курсот по геометрија за 7-мо одделение ги систематизира знаењата за наједноставните геометриски фигури и нивните својства; се воведува концептот на еднаквост на бројките; развиена е способноста да се докаже еднаквоста на триаголниците со помош на проучуваните знаци; се воведува класа на проблеми кои вклучуваат конструкција со помош на компас и линијар; еден од најважните концепти- концептот на паралелни прави; нови интересни и важни својстватриаголници; еден од најважните теоремиво геометријата - теорема за збирот на аглите на триаголникот, што ни овозможува да ги класифицираме триаголниците според нивните агли (акутни, правоаголни, тапи).
За време на часовите, особено кога се движите од еден дел од часот во друг, менувајќи ги активностите, се поставува прашањето за одржување на интересот за часовите. Така, релевантнисе поставува прашањето за користење на проблеми во часовите по геометрија во кои постои услов проблематична ситуацијаи елементи на креативност. Така, целОваа студија е да ги систематизира задачите од геометриска содржина со елементи на креативност и проблемски ситуации.
Предмет на проучување: Задачи по геометрија со елементи на креативност, забава и проблемски ситуации.
Цели на истражувањето:Анализирајте ги постоечките задачи по геометрија насочени кон развој на логика, имагинација и креативно размислување. Покажете како можете да развиете интерес за некоја тема користејќи забавни техники.
Теоретски и практично значењеистражувањее дека собраниот материјал може да се користи во процесот дополнителни часовипо геометрија, имено на олимпијади и натпревари по геометрија.
Опсег и структура на студијата:
Студијата се состои од вовед, две поглавја, заклучок, библиографија, содржи 14 страници главен текст на машина, 1 табела, 10 слики.
Поглавје 1. РАМНИ ГЕОМЕТРИСКИ ФИГУРИ. ОСНОВНИ ПОИМИ И ДЕФИНИЦИИ
1.1. Основни геометриски фигури во архитектурата на зградите и градбите
Во светот околу нас има многу материјални предмети со различни форми и големини: станбени згради, машински делови, книги, накит, играчки итн.
Во геометријата наместо зборот објект велат геометриска фигура, а геометриските фигури ги делат на рамни и просторни. Во оваа работа ќе разгледаме една од најинтересните деловигеометрија - планиметрија, која разгледува само рамни фигури. Планиметрија(од латински planum - „рамнина“, старогрчки μετρεω - „мерка“) - дел од Евклидовата геометрија што ги проучува дводимензионалните (еднорамнини) фигури, односно фигурите што можат да се наоѓаат во иста рамнина. Рамна геометриска фигура е онаа во која сите точки лежат на иста рамнина. Секој цртеж направен на лист хартија дава идеја за таква фигура.
Но, пред да ги разгледаме рамните фигури, неопходно е да се запознаете со едноставни, но многу важни фигури, без кои рамните фигури едноставно не можат да постојат.
Наједноставната геометриска фигура е точка.Ова е една од главните фигури на геометријата. Многу е мал, но секогаш се користи за градење различни формина површината. Поентата е главната фигура за апсолутно сите конструкции, дури и најмногу висока сложеност. Од математичка гледна точка, точката е апстрактен просторен објект кој нема такви карактеристики како површина или волумен, но во исто време останува основен концепт во геометријата.
Директно- еден од фундаменталните поими на геометријата При систематско прикажување на геометријата, како еден од почетните поими обично се зема права линија, која само индиректно се определува со аксиомите на геометријата (Евклидова). Ако основата за конструирање на геометријата е концептот на растојание помеѓу две точки во просторот, тогаш права линија може да се дефинира како линија по која патеката е еднаква на растојанието помеѓу две точки.
Правите линии во просторот можат да заземаат различни позиции; ајде да разгледаме некои од нив и да дадеме примери пронајдени во архитектонскиот изглед на зградите и структурите (Табела 1):
Табела 1
|
Паралелни линии |
Својства на паралелни прави |
|
|
Ако линиите се паралелни, тогаш нивните проекции со исто име се паралелни: |
Есентуки, зграда за бањи од кал (фото на авторот) |
|
|
Пресечни линии |
Својства на линии кои се вкрстуваат |
Примери во архитектурата на згради и структури |
|
Пресечните линии имаат заедничка точка, односно пресечните точки на нивните проекции со исто име лежат на заедничка линија за поврзување: |
„Планински“ згради во Тајван https://www.sro-ps.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane |
|
|
Преминување линии |
Својства на искривени линии |
Примери во архитектурата на згради и структури |
|
Правите линии кои не лежат во иста рамнина и не се паралелни една со друга се сечат. Ниту една не е заедничка линија за комуникација. Ако пресечните и паралелните прави лежат во иста рамнина, тогаш правата што се пресекуваат лежат во две паралелни рамнини. |
Роберт, Хуберт - Вила Мадама во близина на Рим https://gallerix.ru/album/Hermitage-10/pic/glrx-172894287 |
1.2. Рамни геометриски форми. Својства и дефиниции
Набљудувајќи ги формите на растенијата и животните, планините и речните меандри, пејзажните карактеристики и далечните планети, човекот ја позајмил од природата правилни форми, димензии и својства. Материјалните потреби ги поттикнале луѓето да градат куќи, да прават алатки за труд и лов, да вајаат садови од глина итн. Сето ова постепено придонесе човекот да ги разбере основните геометриски поими.
Четириаголници:
Паралелограм(старогрчки παραλληλόγραμμον од παράλληλος - паралела и линија - права, права) е четириаголник чии спротивни страни се парно паралелни, односно лежат на паралелни прави.
Знаци на паралелограм:
Четириаголник е паралелограм ако е исполнет еден од следниве услови: 1. Ако во четириаголник спротивните страни се по пар еднакви, тогаш четириаголникот е паралелограм. 2. Ако во четириаголник дијагоналите се сечат и се поделат на половина со точката на пресек, тогаш овој четириаголник е паралелограм. 3. Ако две страни на четириаголник се еднакви и паралелни, тогаш овој четириаголник е паралелограм.
Паралелограм чии агли се сите прави агли се нарекува правоаголник.
Паралелограм во кој сите страни се еднакви се вика дијамант
Трапез -Тоа е четириаголник во кој две страни се паралелни, а другите две страни не се паралелни. Исто така, трапез е четириаголник во кој еден пар спротивставени страни се паралелни, а страните не се еднакви една со друга.
Тријаголнике наједноставната геометриска фигура формирана од три отсечки кои поврзуваат три точки кои не лежат на иста права линија. Овие три точки се нарекуваат темиња тријаголник, а сегментите се страни тријаголник.Токму поради неговата едноставност, триаголникот бил основа на многу мерења. Геодетите во нивните пресметки на површини земјишни парцелиа астрономите ги користат својствата на триаголниците за да најдат растојанија до планетите и ѕвездите. Така настанала науката за тригонометријата - науката за мерење на триаголници, за изразување на страните преку нејзините агли. Областа на кој било многуаголник се изразува преку плоштината на триаголник: доволно е да се подели овој многуаголник на триаголници, да се пресметаат нивните плоштини и да се додадат резултатите. Дали е вистина, правилна формулаНе беше можно веднаш да се најде за областа на триаголникот.
Особено активно се проучувале својствата на триаголникот XV-XVI век. Еве една од најубавите теореми од тоа време, поради Леонхард Ојлер:
Огромната работа на геометријата на триаголникот, извршена во XY-XIX век, создаде впечаток дека сè е веќе познато за триаголникот.
Полигон -тоа е геометриска фигура, обично дефинирана како затворена полилинија.
Заокружете- геометрискиот локус на точки на рамнината, растојанието од кое до дадена точка, наречена центар на кругот, не надминува дадена ненегативен број, наречен радиус на овој круг. Ако радиусот еднаква на нула, тогаш кругот се дегенерира во точка.
Постои голем број нагеометриски форми, сите тие се разликуваат по параметри и својства, понекогаш изненадувачки со нивните форми.
За подобро да ги запомнам и разликувам рамните фигури по својства и карактеристики, дојдов до геометриска бајка, која би сакал да ви ја претставам на вашето внимание во следниот пасус.
Поглавје 2. ЗАГРАТКИ ОД РАМНИ ГЕОМЕТРИСКИ ФИГУРИ
2.1.Загатки за конструирање сложена фигура од збир на рамни геометриски елементи.
Откако ги проучував рамните форми, се запрашав дали има некои интересни проблеми со рамните форми што може да се користат како игри или загатки. И првиот проблем што го најдов беше загатката Танграм.
Ова е кинеска загатка. Во Кина се нарекува „чи тао ту“, или ментална сложувалка од седум дела. Во Европа, името „Танграм“ најверојатно произлезе од зборот „тан“, што значи „кинески“ и коренот „грам“ (грчки - „буква“).
Прво треба да нацртате квадрат со димензии 10 x 10 и да го поделите на седум дела: пет триаголници 1-5 , квадрат 6 и паралелограм 7 . Суштината на сложувалката е да се искористат сите седум парчиња за да се спојат фигурите прикажани на слика 3.
Сл.3. Елементи на играта „Танграм“ и геометриски форми
Сл.4. Танграм задачи
Особено е интересно да се прават „обликувани“ многуаголници од рамни фигури, знаејќи ги само контурите на предметите (сл. 4). Сам смислив неколку од овие контури задачи и им ги покажав овие задачи на моите соученици, кои со задоволство почнаа да ги решаваат задачите и создадоа многу интересни полиедарски фигури, слични на контурите на предметите во светот околу нас.
За да развиете имагинација, можете да користите и такви форми на забавни загатки како задачи за сечење и репродукција на дадени фигури.
Пример 2. Задачите за сечење (паркетирање) може да изгледаат, на прв поглед, доста разновидни. Сепак, повеќето од нив користат само неколку основни типови на исечоци (обично оние што можат да се користат за да се создаде друг од еден паралелограм).
Ајде да погледнеме неколку техники на сечење. Во овој случај, ќе ги наречеме исечените фигури многуаголници.
Ориз. 5. Техники на сечење
Слика 5 покажува геометриски форми од кои можете да составите разни украсни композиции и да создадете украс со свои раце.
Пример 3. Уште еден интересна задача, кој можете сами да го смислите и да го разменувате со други ученици, а тој што ќе собере најмногу исечени фигури се прогласува за победник. Може да има доста задачи од овој тип. За кодирање, можете да ги земете сите постоечки геометриски форми, кои се исечени на три или четири дела.
Сл. 6. Примери на задачи за сечење:
------ - пресоздаден плоштад; - сече со ножици;
Основна фигура
2.2 Фигури со еднаква големина и еднакво составени
Ајде да разгледаме уште една интересна техника за сечење рамни фигури, каде што главните „херои“ на исечоците ќе бидат многуаголници. При пресметување на плоштините на многуаголниците се користи едноставна техника наречена метод на партиционирање.
Општо земено, многуаголниците се нарекуваат еквиконституирани ако, по сечење на многуаголникот на одреден начин Ф на конечен бројделови, можно е со различно распоредување на овие делови да се формира многуаголник N од нив.
Ова води кон следново теорема:Рамностран многуаголници имаат иста плоштина, така што тие ќе се сметаат за еднакви по плоштина.
Користејќи го примерот на еквипартитните многуаголници, можеме да сметаме на толку интересно сечење како што е трансформацијата на „грчки крст“ во квадрат (сл. 7).
Сл.7. Трансформација на „Грчкиот крст“
Во случај на мозаик (паркет) составен од грчки крстови, паралелограмот на периодите е квадрат. Можеме да го решиме проблемот со поставување на мозаик направен од квадрати на мозаик формиран со помош на крстови, така што складните точки на едниот мозаик се совпаѓаат со складните точки на другиот (сл. 8).
На сликата, складните точки на мозаикот на крстови, имено центрите на крстовите, се совпаѓаат со складните точки на „квадратниот“ мозаик - темињата на квадратите. Со паралелно поместување на квадратниот мозаик, секогаш ќе добиеме решение за проблемот. Покрај тоа, проблемот има неколку можни решенија доколку се користи боја при составувањето на украсот на паркетот.
Сл.8. Паркет направен од грчки крст
Друг пример на еднакво пропорционални фигури може да се разгледа користејќи го примерот на паралелограм. На пример, паралелограмот е еквивалентен на правоаголник (сл. 9).
Овој пример го илустрира методот на партиционирање, кој се состои во пресметување на плоштината на многуаголникот со обид да се подели на конечен број делови на таков начин што овие делови може да се искористат за да се создаде поедноставен многуаголник чија површина веќе ни е позната.
На пример, триаголник е еквивалентен на паралелограм со иста основа и половина од висината. Од оваа позиција лесно се изведува формулата за плоштина на триаголник.
Имајте на ум дека и горната теорема важи конверзна теорема:ако два многуаголници се еднакви по големина, тогаш тие се еквивалентни.
Оваа теорема, докажана во првата половина на 19 век. Унгарскиот математичар F. Bolyai и германски офицери љубителот на математиката P. Gervin, може да се претстави на овој начин: ако има торта во форма на многуаголник и полигонална кутија со сосема поинаква форма, но иста површина, тогаш можете да ја исечете тортата на конечна број на парчиња (без да ги свртите со крем страната надолу), што може да ги ставите во оваа кутија.
Заклучок
Како заклучок, забележувам дека проблемите на фигурите на авионот се доволно застапени во различни извори, но оние што ме интересираа беа врз основа на кои требаше да си смислувам сопствени проблеми со загатка.
На крајот на краиштата, со решавање на такви проблеми, не само што можете да се акумулирате животно искуство, но и стекнуваат нови знаења и вештини.
Во загатките, кога конструирав дејства-потези користејќи ротации, поместувања, преводи на рамнина или нивни композиции, добив независно креирани нови слики, на пример, полиедарски фигури од играта „Танграм“.
Познато е дека главниот критериум за мобилноста на размислувањето на една личност е способноста да се рекреира и креативна имагинацијазаврши во наведениот временски период одредени дејствија, а во нашиот случај - потези на фигури во авионот. Затоа, изучувањето на математиката и особено геометријата на училиште ќе ми даде уште повеќе знаење за подоцна да го применам во моите идни професионални активности.
Библиографија
1. Павлова, Л.В. Нетрадиционални пристапи за учење цртање: упатство/ Л.В. Павлова. - Нижни Новгород: Издавачка куќа НСТУ, 2002. - 73 стр.
2. енциклопедиски речникмлад математичар / Комп. А.П. Савин. - М.: Педагогија, 1985. - 352 стр.
3.https://www.srops.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane
4.https://www.votpusk.ru/country/dostoprim_info.asp?ID=16053
Анекс 1
Прашалник за соучениците
1. Дали знаете што е загатка Танграм?
2. Што е „ грчки крст»?
3. Дали би ве интересирало што е „Танграм“?
4. Дали би ве интересирало да знаете што е „грчки крст“?
Анкетирани беа 22 ученици од осмо одделение. Резултати: 22 ученици не знаат што е „танграм“ и „грчки крст“. 20 студенти би биле заинтересирани да научат како да ја користат сложувалката „Танграм“, составена од седум рамни фигури, за да добијат повеќе сложена фигура. Резултатите од истражувањето се сумирани во графикон.
Додаток 2
Елементи на играта „Танграм“ и геометриски форми
Трансформација на „Грчкиот крст“
2.1. Геометриски форми на рамнина
ВО последните годиниПостои тенденција кон вклучување на значаен геометриски материјал во почетен курсматематика. Но, за да ги запознае учениците со различни геометриски форми и да ги научи како правилно да прикажуваат, му треба соодветна обука по математика. Наставникот мора да биде запознаен со водечките идеи на курсот по геометрија, да ги знае основните својства на геометриските фигури и да може да ги конструира.
Кога прикажувате рамна фигура, не се појавуваат геометриски проблеми. Цртежот служи или како точна копија на оригиналот или го претставува слична фигура. Гледајќи ја сликата на кругот на цртежот, добиваме ист визуелен впечаток како да го гледаме оригиналниот круг.
Затоа, проучувањето на геометријата започнува со планиметријата.
Планиметријата е гранка на геометријата во која се изучуваат фигурите на рамнината.
Геометриска фигура се дефинира како секое збир на точки.
Отсечка, права линија, круг се геометриски форми.
Ако сите точки на геометриската фигура припаѓаат на една рамнина, таа се нарекува рамна.
На пример, сегмент, правоаголник се рамни фигури.
Има бројки кои не се рамни. Ова е, на пример, коцка, топка, пирамида.
Бидејќи концептот на геометриска фигура е дефиниран преку концептот на множество, можеме да кажеме дека една фигура е вклучена во друга; можеме да ги разгледаме унијата, пресекот и разликата на фигурите.
На пример, соединувањето на два зраци AB и MK е права линија KB, а нивното пресекување е отсечката AM.
Постојат конвексни и неконвексни фигури. Фигурата се нарекува конвексна ако, заедно со која било од нејзините точки, содржи и сегмент што ги поврзува.
Сликата F 1 е конвексна, а сликата F 2 е неконвексна.
Конвексните фигури се рамнина, права линија, зрак, отсечка и точка. Не е тешко да се потврди дека конвексната фигура е круг.
Ако ја продолжиме отсечката XY додека не се пресече со кругот, ја добиваме акордата AB. Бидејќи акордот е содржан во кругот, отсечката XY исто така е содржана во кругот и, според тоа, кругот е конвексна фигура.
Основните својства на наједноставните фигури на рамнината се изразени во следните аксиоми:
1. Каква и да е правата, има точки кои припаѓаат на оваа права и не припаѓаат на неа.
Низ кои било две точки можете да нацртате права линија, и тоа само една.
Оваа аксиома го изразува основното својство на припадност на точки и прави на рамнината.
2. Од трите точки на една линија, една и само една лежи помеѓу другите две.
Оваа аксиома го изразува основното својство на локацијата на точките на права линија.
3. Секоја отсечка има одредена должина поголема од нула. Должината на отсечката е еднаква на збирот на должините на деловите на кои е поделена со која било од нејзините точки.
Очигледно, аксиомата 3 го изразува главното својство на мерење на сегменти.
Оваа реченица го изразува основното својство на локацијата на точките во однос на права линија на рамнина.
5. Секој агол има одредена степенска мерка поголема од нула. Расклопениот агол е 180°. Степенот на аголот е еднаков на збирот на мерките на степенот на аглите на кои е поделен со кој било зрак што минува меѓу неговите страни.
Оваа аксиома го изразува основното својство на мерење на аглите.
6. На која било полуправа од нејзината почетна точка, можете да нацртате отсечка со дадена должина, и тоа само една.
7. Од која било полуправа, во дадена полурамнина, можете да ставите агол со даден степен мерка помала од 180 O, а само еден.
Овие аксиоми ги одразуваат основните својства на поставување на агли и сегменти.
Основните својства на наједноставните фигури вклучуваат постоење на триаголник еднаков на дадениот.
8. Каков и да е триаголникот, на дадена локација има еднаков триаголник во однос на дадена полуправа.
Основните својства на паралелните прави се изразени со следнава аксиома.
9. Низ точка што не лежи на дадена права, на рамнината не може да се повлече повеќе од една права паралелна на дадената.
Ајде да погледнеме во некои геометриски форми кои се изучуваат основно училиште.
Агол е геометриска фигура која се состои од точка и два зраци кои произлегуваат од оваа точка. Зраците се нарекуваат страни на аголот, а нивниот заеднички почеток е неговото теме.
Аголот се нарекува развиен ако неговите страни лежат на иста права линија.
Аголот што е половина правоаголник се нарекува прав агол. Агол помал од прав агол се нарекува акутен. Аголот поголем од прав агол, но помал од прав агол се нарекува тап агол.
Покрај концептот на агол даден погоре, во геометријата се разгледува концептот на рамнински агол.
Рамнински агол е дел од рамнина ограничена со два различни зраци кои излегуваат од една точка.
Постојат два рамни агли формирани од два зраци со заеднички почеток. Тие се нарекуваат дополнителни. Сликата покажува два рамни агли со страни ОА и ОБ, од кои едниот е засенчен.
Аглите можат да бидат соседни или вертикални.
Два агли се нарекуваат соседни ако имаат една заедничка страна, а другите страни на овие агли се комплементарни полуправи.
Збир соседните аглие еднакво на 180 степени.
Два агли се нарекуваат вертикални ако страните на едниот агол се комплементарни полуправи на страните на другиот.
Аглите AOD и SOV, како и аглите AOS и DOV се вертикални.
Вертикални аглисе еднакви.
Паралелни и нормални линии.
Две прави во рамнината се нарекуваат паралелни ако не се сечат.
Ако правата a е паралелна со правата b, тогаш запишете a II c.
Две прави се нарекуваат нормални ако се сечат под прав агол.
Ако правата a е нормална на правата b, тогаш напишете a b.
Триаголници.
Триаголник е геометриска фигура која се состои од три точки кои не лежат на иста линија и три парови отсечки што ги поврзуваат.
Секој триаголник ја дели рамнината на два дела: внатрешен и надворешен.
Во секој триаголник има следните елементи: страни, агли, висини, симетрали, медијани, средни линии.
Висината на триаголникот испуштен од дадено теме е нормалната извлечена од ова теме до правата што ја содржи спротивната страна.
Симетрала на триаголник е отсечка од симетралата на аголот на триаголникот што поврзува теме со точка на спротивна страна.
Средината на триаголникот извлечен од дадено теме е отсечката што го поврзува ова теме со средната точка на спротивната страна.
Средната линија на триаголникот е отсечка што ги поврзува средните точки на неговите две страни.
Четириаголници.
Четириаголник е фигура која се состои од четири точки и четири последователни отсечки што ги поврзуваат, а три од овие точки не треба да лежат на иста права, а отсечките што ги поврзуваат не треба да се сечат. Овие точки се нарекуваат темиња на триаголникот, а отсечките што ги поврзуваат се нарекуваат негови страни.
Страните на четириаголникот кои почнуваат од исто теме се нарекуваат спротивни.
Во четириаголник ABCD, темињата A и B се соседни, а темињата A и C се спротивни; страните AB и BC се соседни, BC и AD се спротивни; отсечките AC и WD се дијагоналите на овој четириаголник.
Четириаголниците можат да бидат конвексни или неконвексни. Така, четириаголникот ABCD е конвексен, а четириаголникот KRMT е неконвексен.
Меѓу конвексни четириаголнициСе разликуваат паралелограми и трапезоиди.
Паралелограм е четириаголник чии спротивни страни се паралелни.
Трапез е четириаголник чии само две спротивни страни се паралелни. Овие паралелни странисе нарекуваат основи на трапезот. Другите две страни се нарекуваат странични. Сегментот што ги поврзува средните точки на страните се нарекува средна линија на трапезоидот.
BC и AD – основи на трапезот; AB и CD – странични страни; КМ - средна линијатрапезоиди.
Од многуте паралелограми се разликуваат правоаголници и ромбови.
Правоаголник е паралелограм чии агли се сите правилни.
Ромб е паралелограм во кој сите страни се еднакви.
Квадратите се избираат од многу правоаголници.
Квадрат е правоаголник чии страни се сите еднакви.
Заокружете.
Круг е фигура која се состои од сите точки на рамнината еднакво оддалечени од дадена точка, која се нарекува центар.
Растојанието од точките до неговиот центар се нарекува радиус. Отсечка што поврзува две точки на круг се нарекува акорд. Акордот што минува низ центарот се нарекува дијаметар. ОА – радиус, ЦД – акорд, АБ – дијаметар.
Централен агол во круг е рамен агол со теме во неговиот центар. Делот од кругот што се наоѓа во рамниниот агол се нарекува лак на кругот што одговара на ова централен агол.
Според новите учебници во новите програми М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Белтјукова, С.И. Волкова, С.В. Во IV одделение, на Степанова и се задаваат градежни задачи кои претходно не биле вклучени во наставната програма по математика во основното училиште. Тоа се задачи како што се:
Конструирај нормална на права;
Поделете го сегментот на половина;
Конструирај триаголник од три страни;
Изградба правилен триаголник, рамнокрак триаголник;
Конструирај шестоаголник;
Конструирај квадрат користејќи ги својствата на дијагоналите на квадрат;
Конструирај правоаголник користејќи го својството на дијагоналите на правоаголникот.
Да ја разгледаме конструкцијата на геометриски фигури на рамнина.
Секција за проучување на геометрија геометриски конструкции, се нарекува конструктивна геометрија. Главниот концепт на конструктивна геометрија е концептот на „конструирање фигура“. Главните предлози се формираат во форма на аксиоми и се сведуваат на следново.
1. Секој оваа бројкаизградена.
2. Ако се конструираат две (или повеќе) фигури, тогаш се конструира и унијата на овие фигури.
3. Ако се конструираат две фигури, тогаш можете да одредите дали нивното вкрстување ќе биде празен сетили не.
4. Ако пресекот на две конструирани фигури не е празен, тогаш се конструира.
5. Ако се конструираат две фигури, тогаш може да се утврди дали нивната разлика е празно множество или не.
6. Ако разликата на две конструирани фигури не е празно множество, тогаш таа се конструира.
7. Можете да нацртате точка што припаѓа на конструираната фигура.
8. Можете да конструирате точка која не припаѓа на конструираната фигура.
Да се конструираат геометриски фигури кои имаат некои наведените својства, користете разни алатки за цртање. Наједноставните од нив се: едностран владетел (во натамошниот текст едноставно владетел), двостран владетел, квадрат, компас итн.
Различни алатки за цртање ви дозволуваат разни формации. Својствата на алатките за цртање што се користат за геометриски конструкции се изразени и во форма на аксиоми.
Откако во училишен курсГеометријата ја разгледува изградбата на геометриски фигури со помош на компас и линијар; ние исто така ќе се фокусираме на разгледување на основните конструкции што ги изведуваат овие конкретни цртежи со алатки.
Значи, со помош на линијар можете да ги извршите следните геометриски конструкции.
1. конструира отсечка што поврзува две конструирани точки;
2. конструира права линија што минува низ две конструирани точки;
3. конструирај зрак кој излегува од конструираната точка и минува низ конструираната точка.
Компасот ви овозможува да ги извршите следните геометриски конструкции:
1. конструирај круг ако неговиот центар и отсечка се конструирани, еднаков на радиусоткругови;
2. конструирај кој било од двата дополнителни лака на круг ако се конструирани центарот на кругот и краевите на овие лаци.
Елементарни градежни задачи.
Градежните проблеми се можеби најстарите математички проблеми, тие помагаат подобро да се разберат својствата на геометриските форми и придонесуваат за развој на графички вештини.
Конструктивната задача се смета за решена ако е наведен методот за конструирање на фигурата и се докаже дека како резултат на извршување на овие конструкциивсушност се добива фигура со бараните својства.
Ајде да погледнеме некои елементарни градежни проблеми.
1. Конструирај отсечка ЦД на дадена права еднаква на овој сегментАБ.
Можноста за конструкција произлегува само од аксиомата за одложување на сегмент. Ова е направено со помош на компас и владетел. на следниот начин. Нека се дадени права а и отсечка AB. Обележуваме точка C на права линија и конструираме круг со центар во точката C со права линија и означуваме D. Добиваме отсечка CD еднаква на AB.
2. Преку оваа точканацртајте права нормална на дадена права.
Нека се дадени точките O и правата a. Постојат два можни случаи:
1. Точката О лежи на линијата a;
2. Точката О не лежи на линијата а.
Во првиот случај, означуваме точка C што не лежи на линијата a. Од точката C како центар цртаме круг со произволен радиус. Нека A и B се неговите пресечни точки. Од точките А и Б опишуваме круг со ист радиус. Нека точката O е точката на нивното вкрстување, различна од C. Тогаш полуправата CO е симетрала на расклопениот агол, како и нормална на правата а.
Во вториот случај, од точката O како од центарот цртаме круг што ја пресекува правата линија a, а потоа од точките A и B со ист радиус цртаме уште два круга. Нека O е точката на нивното вкрстување, која лежи во полурамнина различна од онаа во која се наоѓа точката O. Правата ОО/ е нормална на дадената права а. Да го докажеме тоа.
Да ја означиме со C точката на пресек на правите AB и OO/. Триаголниците AOB и AO/B се еднакви на три страни. Затоа, аголот OAS еднаков на аголот O/AC се еднакви на двете страни и аголот меѓу нив. Оттука, аглите ASO и ASO/ се еднакви. И бидејќи аглите се соседни, тие се прави агли. Така, оперативниот систем е нормален на линијата a.
3. Низ дадена точка повлечете права паралелна на дадената.
Нека се дадени права a и точка A надвор од оваа права. Да земеме точка B на правата a и да ја поврземе со точката A. Преку точката A повлекуваме права C, формирајќи го со AB истиот агол што AB го формира со дадена права a, но на спротивната страна од AB. Конструираната права линија ќе биде паралелна со права а, која следи од еднаквоста на попречните агли формирани на пресекот на правите a и со секантот AB.
4. Конструирај тангента на кругот што минува низ дадена точка на неа.
Дадено: 1) круг X (O, h)
2) точка A x
Конструкција: тангента AB.
Градба.
2. заокружете X (A, h), каде што h - произволен радиус(аксиома 1 од компасот)
3. точките M и N на пресекот на кругот x 1 и права линија AO, односно (M, N) = x 1 AO (општа аксиома 4)
4. заокружи x (M, r 2), каде што r 2 е произволен радиус таков што r 2 r 1 (аксиома 1 на компасот)
И надворешно - со неговото отворено однесување, а внатрешно - со неговото ментални процесии чувства. Заклучоци за првиот дел За развој на секого когнитивни процесипомладите ученици мора да се придржуваат следните услови: 1. Образовни активностимора да биде наменски, да предизвикува и одржува постојан интерес кај учениците; 2. Проширете и развивајте когнитивни интересити...
Целиот тест како целина, што укажува дека нивните нивоа на развој ментални операцииспоредбите и генерализациите се повисоки од оние на учениците со ниски резултати. Ако ги анализираме поединечните податоци за поттестовите, тогаш тешкотии во одговарањето индивидуални прашањазборуваат за слаби вештини за податоци логички операции. Овие потешкотии најчесто се среќаваат кај ученици со слаби резултати. Оваа...
Помлад ученик. Предмет на проучување: развој имагинативно размислувањеза ученици од 2 одделение средно школобр.1025. Метод: тестирање. Поглавје 1. Теоретска основаистражување за имагинативно размислување 1.1. Концепт на размислување Нашето знаење за околната реалност започнува со сензации и перцепции и продолжува кон размислување. Функцијата на размислувањето е да ги прошири границите на знаењето преку надминување на ...