Каде се наоѓа средната линија? Средна линија на триаголникот

Средната линија на триаголникот е интересен карактеристичен сегмент, бидејќи има неколку својства што ни овозможуваат да најдеме едноставно решение за навидум сложен проблем. Затоа, да ги погледнеме основните својства на средната линија и да разговараме за тоа како да ја пронајдеме должината на овој сегмент во триаголник.

Триаголник и неговите карактеристични сегменти

Триаголник е фигура која се состои од три страни и три агли. Во зависност од аглите, триаголниците се делат на:

  • Акутно-аголна
  • Тапа
  • Правоаголни

Ориз. 1. Видови триаголници

Главните карактеристични сегменти на триаголникот се:

  • Медијана– отсечка што поврзува теме со средината на спротивната страна.
  • Симетрала- отсечка што дели агол на половина
  • Висина- нормален паднат од темето на триаголникот на спротивната страна.

Ориз. 2. Висина, средина и симетрала во триаголник

За секој од карактеристичните сегменти има своја пресечна точка. При поврзување на трите пресечни точки на медијани, симетрали и надморска височина, се добива златен однос на триаголник.

Сепак, постојат голем број дополнителни карактеристични сегменти:

  • Нормална симетрала- висина вратена од средината на висината. По правило, нормалната симетрала продолжува додека не се пресече со другата страна.
  • средна линија- отсечка што ги поврзува средните точки на соседните страни.
  • Впишан радиус на кругот. Впишан круг е круг што ја допира секоја страна од триаголникот.
  • Радиусот на ограничениот круг.Круг е круг кој ги содржи сите страни на триаголникот.

Соседните страни на триаголниците се страни кои имаат заедничко теме. Во геометријата постои концепт на спротивни страни, т.е. страни кои лежат една спроти друга и немаат заеднички темиња. Но, овој концепт не се однесува на триаголници - кој било пар страни во триаголникот е во непосредна близина.

Својство на средна линија

Нема многу својства на средната линија, но сите се важни при решавање на проблеми. Факт е дека има малку проблеми да се најде должината на средната линија, и затоа некои од нив се способни да го зашеметат ученикот, и покрај нивната едноставност.

Затоа, ги презентираме и дискутираме за сите својства на средната линија на триаголникот:

  • Средната линија е еднаква на половина од основата. Во принцип, поправилно е да се каже не половина од основата, туку половина од спротивната страна. Бидејќи во триаголникот има 3 страни, но само една основа. Но, во општиот случај, која било од страните на триаголникот може да се смета за основа, така што таквата формулација се смета за прифатлива. Плус е полесно да се учи. Општо земено, ова својство се користи за одредување на должината на средната линија на триаголникот.
  • Средната линија е паралелна со основата. Ситуацијата со концептот на основа е иста како и во претходниот имот.
  • Средната линија отсекува од триаголникот мал сличен триаголник со коефициент на сличност еднаков на 0,5
  • Три средни линии го делат триаголникот на 4 еднакви триаголници, слични на големиот триаголник со коефициент на сличност од 0,5

Ориз. 3. Средни линии во триаголник

Всушност, формулата за должината на средната линија следи од второто својство:

$m=1\over(2)*a$- каде m е средната линија, a е страната спроти средната линија.

Што научивме?

Зборувавме за секундарно карактеризирање на сегменти, истакнувајќи ја средната линија. Ги дадовме својствата на средните линии и зборувавме за особеностите на формулацијата на овие својства. Тие објаснија како се добива формулата за должината на средната линија на триаголникот и како средната линија го дели триаголникот. Сите овие својства се користат при решавање на триаголници.

Тест на темата

Рејтинг на статијата

Просечна оцена: 4.3. Вкупно добиени оценки: 174.

Средната линија на трапезоидот, а особено неговите својства, многу често се користат во геометријата за решавање проблеми и докажување на одредени теореми.


е четириаголник со само 2 страни паралелни една на друга. Паралелните страни се нарекуваат основи (на слика 1 - АДИ п.н.е.), другите две се странични (на сликата АБИ ЦД).

Средината на трапезоидоте сегмент што ги поврзува средните точки на неговите страни (на слика 1 - КЛ).

Својства на средната линија на трапез

Доказ за теоремата на трапезоидната средна линија

Доказдека средната линија на трапезоидот е еднаква на половина од збирот на неговите основи и е паралелна со овие основи.

Даден е трапезоид А БЕ ЦЕ ДЕсо средна линија КЛ. За да се докажат особините што се разгледуваат, неопходно е да се повлече права линија низ точките БИ Л. На слика 2 ова е права линија BQ. И, исто така, продолжи со основата АДдо пресекот со линијата BQ.

Размислете за добиените триаголници Л.Б.Ц.И LQD:

  1. По дефиниција на средната линија КЛточка Ле средната точка на сегментот ЦД. Оттука произлегува дека сегментите Ц.Л.И LDсе еднакви.
  2. ∠BLC = ∠QLD, бидејќи овие агли се вертикални.
  3. ∠BCL = ∠LDQ, бидејќи овие агли лежат попречно на паралелни прави АДИ п.н.е.и секант ЦД.

Од овие 3 еднаквости произлегува дека претходно разгледаните триаголници Л.Б.Ц.И LQDеднакви на 1 страна и два соседни агли (види слика 3). Оттука, ∠ЛБЦ = ∠ LQD, BC=DQи најважното нешто - BL=LQ => КЛ, што е средната линија на трапезоидот А БЕ ЦЕ ДЕ, исто така е средната линија на триаголникот ABQ. Според својството на средната линија на триаголникот ABQдобиваме.

Својства на средната линија на триаголник:

  1. средната линија е паралелна со основата на триаголникот и еднаква на нејзината половина;
  2. кога се исцртуваат сите три средни линии, се формираат 4 еднакви триаголници, слични (дури и хомотетични) на првобитната со коефициент 1/2.

Средината на трапезоидот

Белешки

Фондацијата Викимедија. 2010 година.

Погледнете што е „средината на триаголникот“ во другите речници:

    Во планиметријата, фигурата е отсечка што ги поврзува средните точки на двете страни на оваа фигура. Концептот се користи за следните фигури: триаголник, четириаголник, трапез. Содржина 1 Средна линија на триаголник 1.1 Својства ... Википедија

    СРЕДНА ЛИНИЈА- (1) трапезоиден сегмент што ги поврзува средните точки на страничните страни на трапезот. Средната линија на трапезот е паралелна со неговите основи и еднаква на нивната половина збир; (2) од триаголник, отсечка што ги поврзува средните точки на двете страни на овој триаголник: третата страна во овој случај... ... Голема политехничка енциклопедија

    Триаголник (трапез) е отсечка што ги поврзува средните точки на двете страни на триаголникот (страните на трапезот)... Голем енциклопедиски речник

    Триаголник (трапез), отсечка што ги поврзува средните точки на двете страни на триаголникот (страните на трапезот). * * * СРЕДНА ЛИНИЈА СРЕДНА ЛИНИЈА на триаголник (трапез), отсечка што ги поврзува средните точки на двете страни на триаголникот (страничните страни на трапезот) ... енциклопедиски речник

    Отсечка од триаголник што ги поврзува средните точки на двете страни на триаголникот. Третата страна на триаголникот се нарекува основата на триаголникот. С. л. триаголникот е паралелен со основата и еднаков на половина од неговата должина. Во кој било триаголник S. l. отсечени од... ... Математичка енциклопедија

    Триаголник (трапез), отсечка што ги поврзува средните точки на двете страни на триаголникот (страните на трапезот) ... Природна наука. енциклопедиски речник

    1) С. л. триаголник, отсечка што ги поврзува средните точки на двете страни на триаголникот (третата страна се нарекува основа). С. л. триаголникот е паралелен со основата и еднаков на половина од него; плоштина на деловите на триаголникот на кои го дели c. л.,... ... Голема советска енциклопедија

    Стандардна нотација Триаголник е наједноставниот многуаголник со 3 темиња (агли) и 3 страни; дел од рамнината ограничен со три точки кои не лежат на иста права и три отсечки што ги поврзуваат овие точки во парови. Темиња на триаголник ... Википедија

    Овде се собрани дефиниции на поими од планиметријата. Референците на термините во овој речник (на оваа страница) се со закосени букви. # A B C D E E E F G H I J K L M N O P R S ... Википедија

Пред да продолжите да ја пронајдете средната линија на триаголникот, треба да го запомните вториот знак за сличност на триаголниците и својствата на паралелизам на прави линии.

Како да се најде средната линија на триаголник - вториот знак за сличност на триаголниците

Слика 1 прикажува два триаголници. Триаголникот ABC е сличен на триаголникот A1B1C1. И соседните страни се пропорционални, односно AB е на A1B1 како што AC е на A1C1. Од овие два услова следи сличноста на триаголниците.

Како да се најде средната линија на триаголник - знак за паралелизам на линиите

Слика 2 ги прикажува линиите a и b, секанта c. Ова создава 8 агли. Аглите 1 и 5 се соодветни, ако правите се паралелни, тогаш соодветните агли се еднакви и обратно.

Како да се најде средната линија на триаголник

На слика 3, M е средината на AB, а N е средината на AC, BC е основата. Сегментот MN се нарекува средна линија на триаголникот. Самата теорема вели: Средната линија на триаголникот е паралелна со основата и еднаква на нејзината половина.

За да докажеме дека MN е средна линија на триаголник, потребен ни е вториот тест за сличност на триаголниците и тестот за паралелизам на правите.

Триаголникот AMN е сличен на триаголникот ABC, според вториот критериум. Во слични триаголници, соодветните агли се еднакви, аголот 1 е еднаков на аголот 2, а овие агли одговараат кога две прави се сечат со трансверзала, затоа, правите се паралелни, MN е паралелна со BC. Аголот А е заеднички, AM/AB = AN/AC = ½

Коефициентот на сличност на овие триаголници е ½, следува дека ½ = MN/BC, MN = ½ BC



Така, ја најдовме средната линија на триаголникот и ја докажавме теоремата за средната линија на триаголникот, ако сè уште не разбирате како да ја пронајдете средната линија, погледнете го видеото подолу.

средна линијафигури во планиметријата - отсечка што ги поврзува средните точки на две страни на дадена фигура. Концептот се користи за следните фигури: триаголник, четириаголник, трапез.

Енциклопедиски YouTube

    1 / 3

    ✪ 8 одделение, час 25, Средна линија на триаголник

    ✪ геометрија СРЕДНА ЛИНИЈА НА ТРИАГОЛНИК Атанасјан 8-мо одделение

    ✪ Средна линија на триаголник | Геометрија 7-9 одделение #62 | Инфо лекција

    Преводи

Средна линија на триаголникот

Својства

  • средната линија на триаголникот е паралелна со основата и еднаква на половина од неа.
  • кога се сечат сите три средни линии, се формираат 4 еднакви триаголници, слични (дури и хомотетични) на првобитниот со коефициент 1/2.
  • средната линија отсекува триаголник што е сличен на овој, а неговата површина е еднаква на една четвртина од површината на оригиналниот триаголник.
  • Трите средни линии на триаголникот го делат на 4 еднакви (идентични) триаголници, слични на оригиналниот триаголник. Сите 4 такви идентични триаголници се нарекуваат медијални триаголници. Централниот од овие 4 идентични триаголници се нарекува комплементарен триаголник.

Знаци

  • ако отсечката е паралелна со една од страните на триаголникот и ја поврзува средната точка на едната страна од триаголникот со точка што лежи на другата страна на триаголникот, тогаш ова е средната линија.

Средна линија на четириаголник

Средна линија на четириаголник- отсечка што ги поврзува средните точки на спротивните страни на четириаголник.

Својства

Првата линија поврзува 2 спротивни страни. Вториот ги поврзува другите 2 спротивни страни. Третиот ги поврзува центрите на две дијагонали (не во сите четириаголници дијагоналите се поделени на половина во точката на пресек).

  • Ако во конвексен четириаголник средната линија формира еднакви агли со дијагоналите на четириаголникот, тогаш дијагоналите се еднакви.
  • Должината на средната линија на четириаголник е помала од половина од збирот на другите две страни или е еднаква на неа ако овие страни се паралелни и само во овој случај.
  • Средните точки на страните на произволен четириаголник се темиња на паралелограм. Неговата површина е еднаква на половина од површината на четириаголникот, а неговиот центар лежи на местото на пресекот на средните линии. Овој паралелограм се нарекува Варињонов паралелограм;
  • Последната точка значи следново: Во конвексен четириаголник можете да нацртате четири средни линии од вториот вид. Средни линии од втор вид- четири отсечки во четириаголник, минувајќи низ средните точки на неговите соседни страни паралелно со дијагоналите. Четири средни линии од вториот видод конвексен четириаголник, пресечете го на четири триаголници и еден централен четириаголник. Овој централен четириаголник е Варињонов паралелограм.
  • Точката на пресек на средните линии на четириаголник е нивната заедничка средна точка и ја преполовува отсечката што ги поврзува средните точки на дијагоналите. Покрај тоа, таа е