Статијата ги дава најважните теоретски информации и потребните решенија конкретни задачиформули. Важни изјави и својства на фигурите се поставени на полиците.

Дефиниција и важни факти

Планиметријата е гранка на геометријата која се занимава со предмети на рамна дводимензионална површина. Може да се идентификуваат некои соодветни примери: квадрат, круг, дијамант.

Меѓу другото, вреди да се истакне точката и правата линија. Тие се двата главни концепти на планиметријата.

Сè друго е изградено на нив, на пример:

Аксиоми и теореми

Ајде да ги разгледаме аксиомите подетално. Во планиметријата ова е најважните правила, на кој работи целата наука. И не само во него. А-приоритет, ние зборуваме заза изјавите за кои не е потребен доказ.

Аксиомите кои ќе бидат разгледани подолу се вклучени во таканаречената Евклидова геометрија.

• Има две точки. Секогаш можете да повлечете една права линија низ нив.
• Ако има линија, тогаш има точки што лежат на неа и точки што не лежат на неа.

Овие 2 тврдења обично се нарекуваат аксиоми на членството, а следните се нарекуваат аксиоми на редот:

• Ако има три точки на права линија, тогаш една од нив е нужно лоцирана помеѓу другите две.
• Рамнината е поделена со која било права линија на два дела. Кога краевите на сегментот лежат на едната половина, тогаш целиот објект му припаѓа на неа. Инаку, првобитната линија и отсечката имаат пресечна точка.

Аксиоми на мерки:

• Секој сегмент има должина различна од нула. Ако една точка ја подели на неколку делови, тогаш нивниот збир ќе биде еднаков на вкупната должина на објектот.
• Секој агол има одреден степен мерка, која не е еднаква на нула. Ако го скршите со зрак, тогаш оригиналниот агол ќе биде еднаков на збиротобразовани.

Паралелизам:

• На авионот има права линија. Низ која било точка што не и припаѓа, може да се повлече само една права паралелна на дадената.

Теоремите во планиметријата веќе не се целосно фундаментални искази. Тие се општо прифатени како факт, но секој има доказ изграден врз основните концепти споменати погоре. Освен тоа, ги има многу. Ќе биде доста тешко да се среди сè, но некои од нив ќе бидат присутни во презентираниот материјал.

Следниве две вреди да се запознаете рано:

• Збир соседните аглиеднаква на 180 степени.
• Вертикалните агли се со иста големина.

Овие две теореми можат да бидат корисни во решавањето геометриски проблемиповрзани со n-гони. Тие се прилично едноставни и интуитивни. Вреди да се потсетиме на нив.

Триаголници

Триаголник е геометриска фигура која се состои од три сегменти поврзани во серија. Тие се класифицирани според неколку критериуми.

На страните (односите произлегуваат од имињата):

На аглите:

• акутно-аголни;
• правоаголна;
• тап.

Два агли, без оглед на ситуацијата, секогаш ќе бидат акутни, а третиот се одредува со првиот дел од зборот. Тоа е, правоаголен триаголникеден од аглите е 90 степени.

Својства:

• Колку е поголем аголот, толку е поголема спротивната страна.
• Збирот на сите агли е 180 степени.
• Плоштината може да се пресмета со формулата: S = ½ ⋅ h ⋅ a, каде што a е страната, h е висината навлечена кон неа.
• Секогаш можете да впишете круг во триаголник или да го опишете околу него.

Една од основните формули на планиметријата е Питагоровата теорема. Работи исклучиво за правоаголен триаголник и звучи вака: квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на катетите: AB 2 = AC 2 + BC 2.

Под хипотенуза се означува страната спротивна на аголот од 90°, а краците ги означуваат соседните.

Четириаголници

Има огромен број информации на оваа тема. Подолу се само најважните.

Некои сорти:

1. Паралелограм - спротивни страниеднакви и паралелни во пар.
2. Ромб е паралелограм чии страни имаат иста должина.
3. Правоаголник - паралелограм со четири прави агли
4. Квадрат е и ромб и правоаголник.
5. Трапез - само две спротивни страни се паралелни.

Својства:

• Сума внатрешни аглиеднаква на 360 степени.
• Плоштината секогаш може да се пресмета со формулата: S=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d), каде што p е половина од периметарот, a, b, c, d се страните на сликата.
• Ако кругот може да се опише околу четириаголник, тогаш го нарекувам конвексен, ако не, неконвексен.

Видео курсот „Земи А“ ги вклучува сите теми неопходни за успех полагање на Единствен државен испитпо математика за 60-65 поени. Целосно сите проблеми 1-13 Профил унифициран државен испитматематика. Погоден е и за полагање на Основен унифициран државен испит по математика. Ако сакате да го положите обединетиот државен испит со 90-100 поени, првиот дел треба да го решите за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за Единствен државен испит за 10-11 одделение, како и за наставници. Сè што ви треба за да го решите Дел 1 од Единствениот државен испит по математика (првите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрија). И ова се повеќе од 70 поени на обединет државен испит и без нив не може ниту студент од 100, ниту студент на хуманитарни науки.

Сите неопходна теорија. Брзи начинирешенија, замки и тајни на Единствениот државен испит. Анализирани се сите тековни задачи од дел 1 од FIPI Task Bank. Курсот целосно е во согласност со барањата на Единствениот државен испит 2018 година.

Курсот содржи 5 големи теми, по 2,5 часа. Секоја тема е дадена од нула, едноставно и јасно.

Стотици задачи за обединет државен испит. Проблеми со зборовии теоријата на веројатност. Едноставни и лесни за паметење алгоритми за решавање проблеми. Геометрија. Теорија, референтен материјал, анализа на сите видови задачи за унифициран државен испит. Стереометрија. Слабо решенија, корисни мамечки листови, развој просторна имагинација. Тригонометрија од почеток до проблем 13. Разбирање наместо набивање. Визуелно објаснување сложени концепти. Алгебра. Корени, моќи и логаритми, функција и извод. Основа за решение сложени задачи 2 дела од Единствениот државен испит.

Објаснувачка белешка

Понудените билети се наменети за орални теоретскитрансфер годишен испит со планиметрија ученици од 9-то одделение средно школо, како и 10-то и 11-то одделение со цел подготовка за обединет државен испит. Понудените материјали се целосно конзистентни со програмата по математика и програмата за специјализирана обука.

Билетите се состојат од десет прашања кои ги одразуваат главните насоки на курсот по геометрија.

Прашањата се дизајнирани да го тестираат мајсторството концептуален апаратпредмет и идентификување на нивото на познавање на важни теоретски факти. Некои од нив бараат доказ за презентираниот материјал, покажувајќи познавање на основните теоретски принципи на курсот и способност за нивно оправдување.

Овие прашања се преземени од прирачниците:

Геометрија. Проблеми со доказ. Смирнов В.А., Смирнова И.М.

Геометрија. Учебник за 7-9 одделение. Атанасјан, Бутузов, Кадомцев и други.

Геометрија. Учебник за 7-11 одделение.А.В.Погорелов.

КРИТЕРИУМИ ЗА ОЦЕНУВАЊЕ НА ОДГОВОРИТЕ НА УЧЕНИЦИТЕ

Кога ги оценувате одговорите на учениците, можете да се водите од следните критериуми.

За целосен и точен одговор на сите прашања на тикетот се дава оценка „5“. За да добиете оценка „3“, доволно е да одговорите на осум прашања на билетот.

Во сите други случаи резултатот е „4“.

Тест во планиметрија

Опција 1

Знаци на еднаквост на триаголници.

Имотот средната линијатријаголник.

Одредување на висината на триаголникот.

Колкави се радиусите на впишаните и опфатените кругови во правоаголен триаголник?

Својства на слични фигури.

Како се мери централниот агол?

Својство на акорди на круг.

Центарот на кружниот круг на правоаголен триаголник.

Својство на правоаголен триаголник кој има остар агол од 30 степени.

Дефинирајте ја нормалната симетрала.

Опција 2

Знаци на еднаквост на правоаголните триаголници.

Одредување на средина на триаголник.

Питагорова теорема.

Колку изнесува збирот на квадратите на дијагоналите во паралелограм?

Формула за плоштина на правилен триаголник.

Областа на трапезоид.

Својство на впишани агли.

Својство на ограничен четириаголник.

Должина на лакот.

Синус, косинус, тангента на агол од 30 степени.

Опција 3

Теорема за збирот на аглите на триаголникот.

Својства на медијана на триаголник.

Определување симетрала на триаголник.

Косинусна теорема.

Формула за симетрала на триаголник.

Плоштина на паралелограм (3).

Зошто аголот е еднаковпомеѓу две секанти кои се вкрстуваат надвор од кругот.

Својство на впишан четириаголник.

Обем.

Основни својства на акордите.

Опција 4

Својства на рамнокрак триаголник.

Својство на нормални симетрали.

Формула за средини на триаголник.

Теорема на синусите.

Во кои се елементите рамностран триаголник(висина, радиуси, површина)?

Својства на рамнокрак трапез.

Својството на тангента и секентните линии што произлегуваат од иста точка.

Кој е аголот помеѓу акордите што се сечат?

Синус, косинус, тангента на агол од 60 степени.

Каде е центарот на впишаниот круг во триаголник?

Опција 5

Неравенство на триаголник.

Теорема за височините на триаголник.

Области на слични триаголници.

Формули за плоштините на триаголник (6).

Знаци на паралелограм.

Теорема за средната линија на трапез.

Хероновата формула за четириаголник.

Кој е аголот помеѓу тангентата и акордот извлечен од точката на тангенција?

Секторска област.

Синус, косинус, тангента на агол од 45 степени.

Опција 6

Одредување на средната линија на триаголник.

Теорема на симетрала на триаголник.

Знаци на сличност на триаголници.

Косинусна теорема.

Формулата на Херон.

Својства на паралелограм.

Површина на ромб.

Центар на впишаната и ограничената кружница во триаголник.

Дефинирајте синус, косинус, тангента и котангента остар аголправоаголен триаголник

Просечно ниво

Основни аксиоми на планиметријата. Сеопфатен водич (2019)

1. Основни поими на планиметријата



Зошто сè е на слики и без зборови? Дали се потребни зборови? Ми се чини дека на почетокот не се многу потребни. Всушност, математичарите, се разбира, знаат да опишат сè со зборови, а такви описи можете да најдете во следните нивоа на теорија, но сега да продолжиме со слики.







Што друго? О, да, треба да научиме како да мериме отсечки и агли.

Секој сегмент има должина - број што е доделен на овој сегмент (поради некоја причина...). Должината обично се мери ... со линијар, се разбира, во сантиметри, милиметри, метри, па дури и километри.

И сега мерење агли. Поради некоја причина, аглите обично се мерат во степени. Зошто? Има нешто за тоа историски причини, но сега не се занимаваме со историја. Затоа, следниов договор едноставно ќе мора да го земеме здраво за готово.



Во развиен агол на степени.

За краткост пишуваат: . Во овој случај, се разбира, големината на сите други агли може да се најде ако откриете кој дел од расклопениот агол е даден агол. Алатката за мерење на аглите се нарекува транспортер. Мислам дека сте го виделе повеќе од еднаш во животот.

2. Два основни факти за аглите

I. Соседните агли се собираат.



Ова е сосема природно, нели? На крајот на краиштата, соседните агли заедно сочинуваат обратен агол!

II. Вертикалните агли се еднакви.



Зошто? И погледнете:

Сега што? Па, се разбира, тоа следи. (Доволно е, на пример, да се одземе втората од првата еднаквост. Но, всушност, можете само да ја погледнете сликата).

Која е вредноста прав агол?

Па, се разбира,! После се.

4. Акутен и тап агол.

Тоа е во основа сè што треба да знаете за да започнете. Зошто не кажавме ни збор за аксиоми?

Аксиомите се правила на дејствување со основните објекти на планиметријата, првите искази за точките и правите. Овие изјави се земени како основа, а не докажани.

Зошто сè уште не ги формулираме и не ги дискутираме? Гледате, аксиомите на планиметријата, во извесна смисла, едноставно опишуваат интуитивно јасни односи на прилично долг математички јазик. Јасно разбирање на аксиоматиката е неопходно малку подоцна, кога ќе се навикнете геометриски концептина ниво на здрав разум. Потоа - добредојдовте - има прилично детална дискусија за аксиомите таму. Во меѓувреме, обидете се да се однесувате како старите Грци, пред времето на Евклид - само решете ги проблемите користејќи Здрав разум. Ве уверувам, многу задачи ќе ви бидат возможни!

ПРОСЕЧНО НИВО

Замислете дека одеднаш се најдете на друга планета, или... во компјутерска игра.

Пред вас е сет од непознати производи, а вашата задача е да подготвите што повеќе вкусни јадења од овој сет. Што ќе ви треба? Се разбира, правила, упатства - што може да се направи со одредени производи. Што ако одеднаш зготвите нешто што се јаде само сирово или, обратно, ставите во салата нешто што дефинитивно треба да се вари или пржи? Значи, без инструкции - никаде!

Добро, но зошто таков вовед? Каква врска има геометријата со тоа? Гледате, многу изјави за сите видови фигури во геометријата се многуте „јадења“ што мораме да научиме да ги готвиме. Но, од што? Од основните објекти на геометријата! Но, упатствата за нивната „употреба“ се нарекуваат со паметни зборови „систем на аксиоми“.

Значи, обрнете внимание!

Основни објекти и аксиоми на планиметријата.

Точка и линија

Ова се најважните концепти на планиметријата. Математичарите велат дека тоа се „недефинирачки концепти“. Како тоа? Но, значи, од некаде треба да започнете.

Сега првите правила за ракување со точки и линии. Овие математички правила се нарекуваат „аксиоми“- изјави кои се земени како основа, од кои потоа ќе се заклучи сè основно (се сеќавате дека имаме голема кулинарска мисија да „готвиме“ геометрија?). Значи, првата серија на аксиоми се нарекува

I. Аксиоми на припадност.

Ве молиме имајте предвид, оваа аксиома ви овозможува да цртате вака:



Вака: имаше две точки:



И тогаш беше пронајдена права линија:

Но, другиот не!



Ако сето ова ви изгледа премногу очигледно, тогаш запомнете дека сте на друга планета и сè уште не сте знаеле што да правите со предметите. "точка"И "директно".

Зрак, сегмент, агол.

Сега научивме да ставаме точки на линии и да цртаме линии низ точки, па веќе можеме да ги подготвиме првите едноставни „јадења“ -, линиски сегмент,агол.

1) Зрак

Еве го тој,





2) ИСЕЧЕЊЕ



Сега да ги ставиме работите во ред. Следната серија на аксиоми се нарекува:

II. Аксиоми на редот.



Сега - следното ниво. Ни требаат инструкции за мерењеотсечки и агли. Овие аксиоми се нарекуваат

III. Аксиоми на мерки за отсечки и агли.

И сега е сосема чудно.

IV. Аксиоми за постоење на триаголник еднаков на даден.

Две последици од оваа аксиома се појасни:





Па, последниот е легендарен паралелна аксиома!

Но прво дефиниција:

V. Аксиома на паралели.

Па, готово е аксиоми на планиметријата! Дали има премногу од нив? Но, замислете, сите тие се потребни. За секој од нив постои лукаво, лукаво расудување, кое покажува дека ако ја отстраните оваа аксиома, тогаш целото здание на геометријата ќе се распадне! Па, или ќе остане нешто што е сосема поинакво од она на што сме навикнати.

Сега, два основни факти за аглите!

Соседни и вертикални агли.

Зраците кои формираат агол се нарекуваат страни на аголот, а нивни општ почеток- врв

Ова е целосно едноставна теорема, Вистина?

После се заедничка странасоседните агли едноставно го дели правиот агол на два агли и затоа (ВНИМАНИЕ: Аксиома 3.2 работи!)збирот на соседните агли е еднаков на големината на расклопениот, т.е.

Полесно е да се црта отколку да се опише - видете ја сликата.



Ова е исто така лесна теорема. Осигурај се:

Акутен и тап агол.

КРАТОК ОПИС И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Аксиоми на припадност:

• Аксиома 1. Без оглед на правата, има точки кои припаѓаат на оваа права и точки кои не и припаѓаат.
• Аксиома 2. Низ кои било две точки можете да нацртате права линија, и тоа само една.

Аксиоми на редот:

• Аксиома 3. Од трите точки на правата, една и само една лежи помеѓу другите две.
• Аксиома 4. Правата линија што лежи во рамнина ја дели оваа рамнина на две полурамнини. Ако краевите на отсечката припаѓаат на истата полурамнина, тогаш отсечката не ја пресекува правата. Ако краевите на отсечката припаѓаат на различни полурамнини, тогаш отсечката пресекува права.

Аксиоми на мерки за отсечки и агли:

• Аксиома 5. Секоја отсечка има одредена должина, поголема од нула. Должината на отсечката е еднаква на збирот на должините на деловите на кои е поделена со која било од нејзините точки.
• Аксиома 6. Секој агол има одредена степенска мерка поголема од нула. Правиот агол е еднаков. Степенот мерка на агол е еднаква на збирот степен меркиагли на кои се дели со кој било зрак што минува меѓу неговите страни.

Аксиоми за постоење на триаголник еднаков на даден:

Паралелна аксиома:

• Аксиома 8. На рамнина, низ точка што не лежи на дадена права, можете да повлечете најмногу една права паралелна на дадената.

Основни факти за аглите:

• Теорема. Збирот на соседните агли е еднаков.

Па, темата заврши. Ако ги читате овие редови, тоа значи дека сте многу кул.

Затоа што само 5% од луѓето се способни да совладаат нешто сами. И ако читате до крај, тогаш сте во овие 5%!

Сега најважното нешто.

Ја разбравте теоријата на оваа тема. И, повторувам, ова... ова е само супер! Веќе сте подобри од огромното мнозинство ваши врсници.

Проблемот е што ова можеби не е доволно...

За што?

За успешно завршувањеУнифициран државен испит, за прием на факултет со буџет и, НАЈВАЖНО, доживотно.

Нема да те убедам во ништо, само едно ќе кажам...

Луѓе кои примиле добро образование, заработуваат многу повеќе од оние кои не го добиле. Ова е статистика.

Но, ова не е главната работа.

Главната работа е што тие се ПОСРЕЌНИ (има такви студии). Можеби затоа што многу повеќе можности се отвораат пред нив и животот станува посветол? Не знам...

Но, размислете сами...

Што е потребно за да бидете сигурни дека ќе бидете подобри од другите на Единствениот државен испит и на крајот да бидете... посреќни?

ДОБИЈТЕ РАКА СО РЕШАВАЊЕ ПРОБЛЕМИ НА ОВАА ТЕМА.

Нема да ве прашаат за теорија за време на испитот.

Ќе ви треба решаваат проблеми наспроти времето.

И, ако не сте ги решиле (МНОГУ!), дефинитивно ќе направите глупава грешка некаде или едноставно нема да имате време.

Тоа е како во спортот - треба да го повторите многу пати за да победите сигурно.

Најдете ја колекцијата каде што сакате, нужно со решенија, детална анализа и одлучува, одлучува, одлучува!

Можете да ги користите нашите задачи (опционално) и ние, се разбира, ги препорачуваме.

Со цел да се подобрите во користењето на нашите задачи, треба да помогнете да го продолжите животниот век на учебникот YouClever што моментално го читате.

Како? Постојат две опции:

1. Отклучете ги сите скриени задачи во оваа статија - 299 рубли.
2. Отклучете го пристапот до сите скриени задачи во сите 99 статии од учебникот - 999 рубли.

Да, имаме 99 вакви статии во нашиот учебник и пристапот до сите задачи и сите скриени текстови во нив може веднаш да се отвори.

Во вториот случај ние ќе ви дадемесимулатор „6000 проблеми со решенија и одговори, за секоја тема, на сите нивоа на сложеност“. Дефинитивно ќе биде доволно за да ги добиете вашите раце за решавање на проблеми на која било тема.

Всушност, тоа е многу повеќе од обичен симулатор - цела програмаподготовка. Доколку е потребно, можете да го користите и БЕСПЛАТНО.

Пристап до сите текстови и програми е обезбеден за ЦЕЛИОТ период од постоењето на страницата.

Во заклучок...

Ако не ви се допаѓаат нашите задачи, најдете други. Само не застанувај на теорија.

„Разбрано“ и „Можам да решам“ се сосема различни вештини. Ви требаат и двете.

Најдете проблеми и реши ги!

Оваа страница содржи теореми за планиметрија кои учител по математика може да ги користи при подготовка на способен студент за сериозен испит: Олимпијада или испит на Московскиот државен универзитет (во подготовка за механика и математика на Московскиот државен универзитет, VMC), за Олимпијада на Виша школаЕкономијата, за Олимпијадата Финансиска академијаи во МИПТ. Знаењето за овие факти се отвора пред учителот големи можностина изготвување на конкурсни задачи. Доволно е да се „игра“ некоја од споменатата теорема за броевите или да се дополнат нејзините елементи со едноставни врски со други. математички објекти, и ќе добиете прилично пристоен проблем на Олимпијадата. Многу својства се присутни во силна училишни учебницикако задачи за докажување и не се конкретно вклучени во насловите и деловите од ставовите. Се обидов да го поправам овој недостаток.

Математиката е огромна тема, а бројот на факти што може да се идентификуваат како теореми е бесконечен. Учител по математика не може физички да знае и да запомни сè. Затоа, некои незгодни односи меѓу геометриски објектисекој пат кога повторно ќе му се откриваат на наставникот. Да се ​​соберат сите на една страница одеднаш е физички невозможно. Затоа, ќе ја пополнам страницата постепено додека ги користам теоремите во моите лекции.

Ги советувам почетниците тутори по математика да бидат внимателни во користењето на дополнителни референтни материјали, бидејќи учениците не ги знаат повеќето од овие факти.

Учител по математика за својствата на геометриските форми

1) Нормалната симетрала на страната на триаголникот се пресекува со симетралата на аголот спроти него на кружница опкружена околу даден триаголник. Ова произлегува од еднаквоста на лаците во кои нормалната симетрала го дели долниот лак и од теоремата за впишаниот агол во круг.

2)Ако симетрала b, средна m и висина h се извлечени од едно теме во триаголник, тогаш симетралата ќе лежи помеѓу два други отсечки, а должините на сите отсечки се покоруваат на двојната неравенка.

3) ВО произволен триаголникрастојанието од кое било од неговите темиња до неговиот ортоцентар (точката на пресекот на висините) е 2 пати повеќе растојаниеод центарот на кругот опкружен околу овој триаголник до страната спроти ова теме. За да го докажете ова, можете да нацртате прави линии низ темињата на триаголникот паралелно со неговите височини. Потоа користете ја сличноста на оригиналниот и добиениот триаголник.

4) Пресечната точка на медијаните M на кој било триаголник (неговиот центар на гравитација) заедно со ортоцентарот на триаголникот H и центарот на кружниот круг (точка O) лежат на истата прима, и . Ова произлегува од претходното својство и од својството на пресечната точка на медијаните.

5) Продолжувањето на заедничката акорд на два вкрстени кругови го дели сегментот на нивната заедничка тангента на два еднакви дела. Ова својство е точно без оглед на природата на овој пресек (односно, локацијата на центрите на круговите). За да го докажете ова, можете да го искористите својството на квадрат на тангентна отсечка.

6) Ако триаголникот содржи симетрала од неговиот агол, тогаш неговиот квадрат е еднаков на разликата помеѓу производите на страните на аголот и отсечките на кои симетралата ја дели спротивната страна.

Односно, важи следната еднаквост

7) Дали сте запознаени со ситуацијата кога висината од темето на прав агол е повлечена до хипотенузата? Сигурно. Дали знаевте дека сите добиени триаголници се слични? Сигурно знаете. Тогаш веројатно не знаете дека кој било соодветен елемент на овие триаголници формира еднаквост што ја повторува Питагоровата теорема, односно, на пример, каде и се радиусите на впишаните кругови во мали триаголници, и дали е впишан радиусот на кругот во голем триаголник.

8)Ако наидете на случајна четворка со сите познати партии a, b, c и d, тогаш неговата површина може лесно да се пресмета со формула која потсетува на формулата на Херон:
, каде што x е збир на кои било два спротивни агличетириаголник. Ако даден четириаголник е впишан во круг, тогаш формулата ја има формата:
и се нарекува Формулата на Брамагупта

9)Ако вашиот четириаголник е ограничен околу круг (односно, кругот е впишан во него), тогаш површината на четириаголникот се пресметува со формулата