За да ја разбереме оваа тема, да разгледаме функција прикажана на графикон // Да покажеме како графикот на функцијата ви овозможува да ги одредите неговите својства.
Ајде да ги погледнеме својствата на функцијата користејќи пример
Доменот на дефинирање на функцијата е распон [3,5; 5.5].
Опсегот на вредности на функцијата е распон [1; 3].
1. При x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5, вредноста на функцијата е нула.
Вредноста на аргументот кај која вредноста на функцијата е нула се нарекува функција нула.
//тие. за оваа функција броевите се -3;-1;1,5; 4,5 се нули.
2. Во интервали [4,5; 3) и (1; 1.5) и (4.5; 5.5] графикот на функцијата f се наоѓа над оската на апсцисата, а во интервалите (-3; -1) и (1.5; 4.5) под апсцисата на оската, ова се објаснува на следниов начин: на интервалите [ 4,5; 3) и (1; 1,5) и (4,5; 5,5] функцијата зема позитивни вредности, а на интервалите (-3; -1) и (1,5; 4,5) негативни.
Секој од наведените интервали (каде што функцијата зема вредности од истиот знак) се нарекува интервал на константен знак на функцијата f.//т.е. на пример, ако го земеме интервалот (0; 3), тогаш тоа не е интервал на константен знак на оваа функција.
Во математиката, при пребарување на интервали со постојан знак на функција, вообичаено е да се означат интервали со максимална должина. //Тие. интервалот (2; 3) е интервал на постојаност на знакотфункција f, но одговорот треба да го вклучува интервалот [4,5; 3) кој го содржи интервалот (2; 3).
3. Ако се движите по оската x од 4,5 на 2, ќе забележите дека графикот на функцијата се спушта, односно вредностите на функциите се намалуваат. //Во математиката вообичаено е да се каже дека на интервалот [ 4,5; 2] функцијата се намалува.
Како што x се зголемува од 2 на 0, графикот на функцијата оди нагоре, т.е. вредностите на функциите се зголемуваат. //Во математиката вообичаено е да се каже дека на интервалот [ 2; 0] функцијата се зголемува.
Се повикува функцијата f ако за било кои две вредности на аргументот x1 и x2 од овој интервал така што x2 > x1, важи неравенката f (x2) > f (x1). // или се повикува функцијата се зголемува во одреден интервал, ако за која било вредност на аргументот од овој интервал, поголема вредност на аргументот одговара на поголема вредност на функцијата.//т.е. колку повеќе x, толку повеќе y.
Се повикува функцијата f се намалува во одреден интервал, ако за било кои две вредности на аргументот x1 и x2 од овој интервал, така што x2 > x1, неравенката f(x2) се намалува на одреден интервал, ако за која било вредност на аргументот од овој интервал поголемата вредност на аргументот одговара на помалата вредност на функцијата. //тие. колку повеќе x, толку помалку y.
Ако функцијата се зголемува во целиот домен на дефиниција, тогаш таа се повикува се зголемува.
Ако функцијата се намали во целиот домен на дефиниција, тогаш таа се повикува се намалува.
Пример 1.график на функции за зголемување и намалување соодветно.
Пример 2.
Дефинирајте го феноменот. Дали линеарната функција f(x) = 3x + 5 се зголемува или намалува?
Доказ. Ајде да ги искористиме дефинициите. Нека x1 и x2 се произволни вредности на аргументот, а x1< x2., например х1=1, х2=7
Делот содржи референтен материјал за главните елементарни функции и нивните својства. Дадена е класификација на елементарните функции. Подолу се дадени линкови до потсекции кои ги разгледуваат својствата на специфичните функции - графикони, формули, деривати, антидеривати (интеграли), проширувања на серии, изрази преку сложени променливи.
Референтни страници за основни функции
Класификација на елементарни функции
Алгебарска функцијае функција која ја задоволува равенката:
,
каде е полином во зависната променлива y и независната променлива x. Може да се напише како:
,
каде се полиномите.
Алгебарските функции се делат на полиноми (цели рационални функции), рационални функции и ирационални функции.
Целосна рационална функција, кој исто така се нарекува полиномили полином, се добива од променливата x и конечен број броеви користејќи ги аритметичките операции собирање (одземање) и множење. По отворањето на заградите, полиномот се сведува на канонска форма:
.
Дробна рационална функција, или едноставно рационална функција, се добива од променливата x и конечен број броеви користејќи ги аритметичките операции собирање (одземање), множење и делење. Рационалната функција може да се сведе на формата
,
каде и се полиноми.
Ирационална функцијае алгебарска функција која не е рационална. Како по правило, ирационална функција се подразбира како корени и нивните состави со рационални функции. Корен од степен n се дефинира како решение на равенката
.
Тој е назначен на следниов начин:
.
Трансцендентални функциисе нарекуваат неалгебарски функции. Тоа се експоненцијални, тригонометриски, хиперболични и нивните инверзни функции.
Преглед на основните елементарни функции
Сите елементарни функции може да се претстават како конечен број на операции за собирање, одземање, множење и делење извршени на израз на формата:
z t .
Инверзните функции може да се изразат и со логаритми. Основните елементарни функции се наведени подолу.
Функција за напојување:
y(x) = x p,
каде што p е експонентот. Тоа зависи од основата на степенот x.
Инверзната на функцијата за напојување е исто така функцијата на моќност:
.
За цел број ненегативна вредност на експонентот p, тој е полином. За цел број p - рационална функција. Со рационално значење - ирационална функција.
Трансцендентални функции
Експоненцијална функција:
y(x) = a x,
каде што a е основа на степенот. Тоа зависи од експонентот x.
Инверзната функција е логаритам за основање на:
x = најавите y.
Експонент, e на x моќноста:
y(x) = e x,
Ова е експоненцијална функција чиј извод е еднаков на самата функција:
.
Основата на експонентот е бројот e:
≈ 2,718281828459045...
.
Инверзната функција е природниот логаритам - логаритам до основата на бројот e:
x = ln y ≡ log e y.
Тригонометриски функции:
Синус: ;
Косинусот: ;
Тангента: ;
Котангента: ;
Тука i е имагинарната единица, i 2 = -1.
Инверзни тригонометриски функции:
Арксин: x = arcsin y,
;
Лачен косинус: x = arccos y,
;
Арктангенс: x = арктан y,
;
Тангента на лак: x = arcctg y,
.
Граници и континуитет
Сетови
Под многусе подразбира како збирка на хомогени предмети. Објектите што формираат множество се нарекуваат елементиили точкиод ова мноштво. Множествата се означуваат со големи букви, а нивните елементи со мали букви. Ако ае елемент на множеството А, тогаш се користи записот аÎ А. Ако бне е елемент на множеството А, тогаш се пишува вака: б Ï А. Множеството кое не содржи ниту еден елемент се нарекува празно множество и се означува на следниот начин: Ø.
Доколку сетот Бсе состои од дел од елементите на множеството Аили се совпаѓа со него, потоа сетот Бповикани подмножествопоставува и означува БÌ А.
Двете множества се нарекуваат еднакви, ако се состојат од исти елементи.
Здружениетодва сета АИ Бнаречен сет В, кој се состои од сите елементи кои припаѓаат на барем едно од множествата: В=АÈ Б.
Со вкрстувањедва сета АИ Бнаречен сет В, кој се состои од сите елементи кои припаѓаат на секое од овие множества: В=АÇ Б.
По разликамножества АИ Бнаречен сет Е А, кои не припаѓаат на множеството Б: .
Додатокмножества АÌ Бнаречен сет В, кој се состои од сите елементи на комплетот Б, неприпаѓање А.
Се повикуваат множества чии елементи се реални броеви нумерички:
При што НÌ ЗÌ ПÌ Р, ЈасÌ РИ Р=ЈасÈ П.
Еден куп X, чии елементи ја задоволуваат неравенката се вика сегмент(сегмент) и се означува со [ а; б]; нееднаквост а<x<б – интервали се означува со () ; нееднаквости и - полу-интервалиа се означуваат со и соодветно. Исто така, честопати треба да се справите со бесконечни интервали и полуинтервали: , , , и . Удобно е да ги повикате сите во интервали .
Интервал, т.е. збир на точки што ја задоволуваат нееднаквоста (каде ), се нарекува -соседство на точката а.
Концептот на функцијата. Основни својства на функцијата
Ако секој елемент xмножества Xсе совпаѓа еден елемент yмножества Y, тогаш тоа го кажуваат на снимање Xдадена функција y=ѓ(x). При што xповикани независната променливаили аргумент, А y – зависна променливаили функција, А ѓго означува законот за кореспонденција. Еден куп Xповикани домен на дефиницијафункции и сет Y – опсег на вредностифункции.
Постојат неколку начини за одредување на функциите.
1) Аналитички метод - функцијата е дадена со формула на формата y=ѓ(x).
2) Табеларен метод - функцијата е одредена со табела што ги содржи вредностите на аргументите и соодветните функционални вредности y=ѓ(x).
3) Графички метод - прикажување график на функција, т.е. збир на поени ( x; y) координатна рамнина, чии апсциси ги претставуваат вредностите на аргументот, а ординатите ги претставуваат соодветните вредности на функцијата y=ѓ(x).
4) Вербален метод - функцијата се опишува со правилото за нејзиниот состав. На пример, функцијата Дирихле ја зема вредноста 1 ако xе рационален број и 0 ако x– ирационален број.
Се разликуваат следните главни својства на функциите.
1 Парни и непарниФункција y=ѓ(x) се нарекува дури, ако за некои вредности xод својот домен на дефиниција е задоволен ѓ(–x)=ѓ(x), И чудно, Ако ѓ(–x)=–ѓ(x). Ако ниту една од наведените еднаквости не е задоволена, тогаш y=ѓ(x) се нарекува општа функција. Графикот на парна функција е симетричен во однос на оската Ој, а графикот на непарната функција е симетричен во однос на потеклото.
2 МонотонијаФункција y=ѓ(x) се нарекува се зголемува (се намалува) на интервалот X, ако поголема вредност на аргументот од овој интервал одговара на поголема (помала) вредност на функцијата. Нека x 1 ,x 2 Î X, x 2 >x 1 . Потоа функцијата се зголемува на интервалот X, Ако ѓ(x 2)>ѓ(x 1), а се намалува ако ѓ(x 2)<ѓ(x 1).
Заедно со функциите што се зголемуваат и намалуваат, се разгледуваат и функциите што не се намалуваат и не се зголемуваат. Функцијата се нарекува неопаѓачки (не-зголемување), ако на x 1 ,x 2 Î X, x 2 >x 1 важи нееднаквоста ѓ(x 2)≥ѓ(x 1) (ѓ(x 2)≤ѓ(x 1)).
Зголемувачките и намалувачките функции, како и функциите што не се зголемуваат и не намалуваат се нарекуваат монотони.
3 ОграниченоФункција y=ѓ(x) се нарекува ограничен на интервалот X, ако има толку позитивен број М>0, што | ѓ(x)|≤Мза било кој xÎ X. Во спротивно се вели дека функцијата е неограничена X.
4 ФреквенцијаФункција y=ѓ(x) се нарекува периодична со точка Т≠0, доколку има xод доменот на функцијата ѓ(x+Т)=ѓ(x). Во продолжение, под точка го подразбираме најмалиот позитивен период на функцијата.
Функцијата се нарекува експлицитна, ако е дадена со формула на формата y=ѓ(x). Ако функцијата е дадена со равенката Ф(x, y)=0, не е дозволено во однос на зависната променлива y, тогаш се нарекува имплицитна.
Нека y=ѓ(x) е функција од независната променлива дефинирана на множеството Xсо опсег Y. Ајде да се поклопиме со секој yÎ Yединствено значење xÎ X, на која ѓ(x)=y.Потоа добиената функција x=φ (y), дефинирана на сетот Yсо опсег X, повикан обратнои е назначен y=ѓ –1 (x). Графиконите на меѓусебно инверзните функции се симетрични во однос на симетралата на првата и третата координатна четвртина.
Нека функцијата y=ѓ(u) е функција на променлива u, дефинирани на сетот Усо опсег Y, и променливата uза возврат е функција u=φ (x), дефинирана на сетот Xсо опсег У. Потоа дадена на сетот Xфункција y=ѓ(φ (x)) се нарекува комплексна функција(состав на функции, суперпозиција на функции, функција на функција).
Елементарни функции
Главните основни функции вклучуваат:
- функција за напојување y=x n; y=x–nИ y=x 1/ n;
- експоненцијална функција y=а x;
- логаритамска функција y= дневник а x;
- тригонометриски функции y=грев x, y=кос x, y= tg xИ y=ctg x;
- инверзни тригонометриски функции y= лаксин x, y=аркос x, y=arctg xИ y=arcctg x.
Од основните елементарни функции може да се добијат нови функции со помош на алгебарски операции и суперпозиција на функции.
Функциите изградени од основни елементарни функции со користење на конечен број алгебарски операции и конечен број операции за суперпозиција се нарекуваат елементарен.
Алгебарские функција во која на аргументот се извршуваат конечен број алгебарски операции. Алгебарските функции вклучуваат:
· цела рационална функција (полином или полином)
· фракционо-рационална функција (однос на два полиноми)
· ирационална функција (ако операциите на аргументот вклучуваат извлекување на коренот).
Се нарекува секоја неалгебарска функција трансцендентален. Трансценденталните функции вклучуваат експоненцијални, логаритамски, тригонометриски и инверзни тригонометриски функции.
Руска гимназија
АПСТРАКТ
Завршено
ученик од класа 10 „Ф“ Бурмистров Сергеј
Надзорник
наставник по математика
Јулина О.А.
Нижни Новгород
Функција и нејзините својства
Функција -променлива зависност наод променлива x , ако секоја вредност Xодговара на една вредност на .
Променлива x-независна променлива или аргумент.
Променлива y-зависна променлива
Вредност на функцијата-значење на, што одговара на наведената вредност X .
Обемот на функцијата есите вредности што ги зема независната променлива.
Опсег на функции (збир на вредности) -сите вредности што ги прифаќа функцијата.
Функцијата е парен-ако за некој X f(x)=f(-x)
Функцијата е непарна-ако за некој Xод доменот на дефинирање на функцијата еднаквоста f(-x)=-f(x)
Зголемување на функцијата-ако за некој x 1И x 2,такви што x 1
<
x 2, важи нееднаквоста f(
x 1
)
Намалување на функцијата-ако за некој x 1И x 2,такви што x 1 < x 2, важи нееднаквоста f( x 1 )> ѓ( x 2 )
Методи за одредување функција
¨ За да дефинирате функција, треба да одредите начин на кој, за секоја вредност на аргументот, може да се најде соодветната вредност на функцијата. Најчестиот начин за одредување функција е користење формула на =f(x), Каде f (x) -израз со променлива X. Во овој случај, тие велат дека функцијата е дадена со формула или дека функцијата е дадена аналитички.
¨ Во пракса често се користи табеларенначин за одредување на функција. Со овој метод, се обезбедува табела која ги означува вредностите на функциите за вредностите на аргументите достапни во табелата. Примери за функции на табелата се табела со квадрати и табела со коцки.
Видови функции и нивните својства
1) Постојана функција -функција дадена со формула y= б , Каде б-некој број. Графикот на константната функција y=b е права линија која е паралелна на оската на апсцисата и минува низ точката (0;b) на оската на ординатите
2) Директна пропорционалност -функција дадена со формула y= kx , каде k¹0. Број кповикани фактор на пропорционалност .
Својства на функции y=kx :
1. Доменот на функцијата е множество од сите реални броеви
2. y=kx- непарна функција
3. Кога k>0 функцијата се зголемува, а кога k<0 убывает на всей числовой прямой
3)Линеарна функција-функција, која е дадена со формулата y=kx+b, Каде кИ б - реални броеви. Ако конкретно k=0, тогаш добиваме постојана функција y=b; Ако b=0, тогаш добиваме директна пропорционалност y=kx .
Својства на функцијата y=kx+b :
1. Домен - множество од сите реални броеви
2. Функција y=kx+bопшта форма, т.е. ниту парни ниту непарни.
3. Кога k>0 функцијата се зголемува, а кога k<0 убывает на всей числовой прямой
Графикот на функцијата е директно .
4)обратна пропорционалност -функција дадена со формула y=k /X,каде k¹0 Број кповикани коефициент на обратна пропорционалност.
Својства на функцијата y=k / x:
1. Домен - множество од сите реални броеви освен нула
2. y=k / x - непарна функција
3. Ако k>0, тогаш функцијата се намалува на интервалот (0;+¥) и на интервалот (-¥;0). Ако к<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).
Графикот на функцијата е хипербола .
5)Функција y=x2
Својства на функцијата y=x2:
2. y=x2 - дури и функција
3. На интервалот функцијата се намалува
Графикот на функцијата е парабола .
6)Функција y=x 3
Својства на функцијата y=x 3:
1. Домен на дефиниција - целата нумеричка линија
2. y=x 3 - непарна функција
3. Функцијата се зголемува по целата нумеричка линија
Графикот на функцијата е кубна парабола
7)Функција на моќност со природен експонент -функција дадена со формула y=x n, Каде n- природен број. Кога n=1 ја добиваме функцијата y=x, нејзините својства се дискутирани во став 2. За n=2;3 ги добиваме функциите y=x 2 ; y=x 3 . Нивните својства се дискутирани погоре.
Нека n е произволен парен број поголем од два: 4,6,8... Во овој случај, функцијата y=x nги има истите својства како функцијата y=x 2. Графикот на функцијата наликува на парабола y=x 2, само гранките на графикот за |x|>1 се креваат поостри од поголемото n, а за |x|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.
Нека n е произволен непарен број поголем од три: 5,7,9... Во овој случај, функцијата y=x nги има истите својства како функцијата y=x 3 . Графикот на функцијата наликува на кубна парабола.
8)Функција на моќност со негативен цел број експонент -функција дадена со формула y=x -n , Каде n- природен број. За n=1 добиваме y=1/x; својствата на оваа функција се дискутирани во став 4.
Нека n е непарен број поголем од еден: 3,5,7... Во овој случај, функцијата y=x -nги има во основа истите својства како функцијата y=1/x.
Нека n е парен број, на пример n=2.
Својства на функцијата y=x -2 :
1. Функцијата е дефинирана за сите x¹0
2. y=x -2 -дури и функција
3. Функцијата се намалува за (0;+¥) и се зголемува за (-¥;0).
Сите функции со дури n поголема од два имаат исти својства.
9)Функција y= Ö X
Својства на функцијата y= Ö X :
1. Домен на дефиниција - ray)