1. Дадени се темињата на триаголник ABC.А(–9; –2), ВО(3; 7), СО(1; –7).
1) должина на страната АБ;
2) равенки на страните АБИ ACи нивните аголни коефициенти;
3) агол Аво радијани;
4) висинска равенка СОДи неговата должина;
5) равенката на кружница за која висината СОДима дијаметар;
6) систем на линеарни неравенки што дефинираат триаголник ABC.
Решение. Ајде да направиме цртеж.
1. Да ја најдеме должината на страната AB.Растојанието помеѓу две точки се одредува со формулата
2. Да ги најдеме равенките на странитеАБ ИAC и нивните аголни коефициенти.
Да ја запишеме равенката на права линија што минува низ две точки.
Ова е општата равенка на правата. Ајде да го решиме во однос на y, добиваме
, наклонот на правата линија е еднаков на 
Слично за страничната наизменична струја имаме.
наклонот на правата линија е еднаков на 
3. Ќе најдемеаголА
во радијани.
Ова е аголот помеѓу два вектори 
И 
. Да ги запишеме координатите на векторите. Косинусот на аголот помеѓу векторите е еднаков на
4. Ќе најдемевисинска равенкаСО
Д
и неговата должина.
, значи, нивните аголни коефициенти се поврзани со релацијата 
.
Да ја запишеме висинската равенка преку аголниот коефициент
Точка 
припаѓа на линијата CD, затоа нејзините координати ја задоволуваат равенката на правата, па оттука имаме 
Конечно 
или
Должината на висината ја пресметуваме како растојание од точката C до права линија AB
5. Да ја најдеме равенката на кругот, за која висинаСО Д има дијаметар.
Координатите на точката D ги наоѓаме како точка на пресек на две прави AB и CD, чии равенки се познати.
Да ги најдеме координатите на точката О - центарот на кругот. Ова е средината на делот за ЦД.
Радиусот на кругот е 
Да ја запишеме равенката на кругот.
6) Ајде да дефинираме триаголникABC систем на линеарни неравенки.
Да ја најдеме равенката на правата CB.
Системот на линеарни неравенки ќе изгледа вака.
2. Решете го овој систем на равенки користејќи ги формулите на Крамер. Проверете го добиениот раствор.
Решение.Да ја пресметаме детерминантата на овој систем:
.
Ајде да ги најдеме детерминантите 
и решете го системот:
Испитување:
Одговор:
3. Напишете го системот на равенки во форма на матрица и решете го со помош на
инверзна матрица. Проверете го добиениот раствор
Решение.
Да ја најдеме детерминантата на матрицата А
матрицата е неединечна и има инверзна. Ајде да ги најдеме сите алгебарски комплементи и да создадеме матрица на унија. 
Инверзната матрица има форма: 
Ајде да го направиме множењето 
и најдете го векторот на решенија.
Испитување
. 
Одговор: 
Решение.
Н = (2, 1). Нацртајте линија на линија нормална на нормалниот вектор и поместете ја во насока на нормалата,
Целната функција го достигнува својот минимум во точката A, а својот максимум во точката B. Координатите на овие точки ги наоѓаме со заедничко решавање на равенките на правите на чиј пресек се наоѓаат.
5. Туристичката компанија не бара повеќе Аавтобуси од три тони и не повеќе В
автобуси од пет тони. Продажната цена на автобусите од првата марка е 20.000 УСД, од втората марка
40000 американски долари Туристичка компанија може да одвои не повеќе од Со c.u.
Колку автобуси од секоја марка треба да се купат посебно, така што нивната вкупна
(вкупниот) носивост беше максимална. Решете го проблемот графички.
А= 20 В= 18 Со= 1000000
Решение.
Ајде да создадеме математички модел на проблемот .
Да означиме со 
- бројот на автобуси од секоја тонажа што ќе се купат. Целта на набавката е да се има максимална носивост на купените машини, опишана со функцијата цел
Ограничувањата на задачата се одредуваат според бројот на купени автобуси и нивната цена.
Ајде да го решиме проблемот графички. . Конструираме регион на изводливи решенија на проблемот и нормални на линии на ниво Н = (3, 5). Нацртајте линија на линија нормална на нормалниот вектор и поместете ја во насока на нормалата.
Функцијата цел го достигнува својот максимум во точката 
, функцијата цел ја зема вредноста .
Решение. 1. Доменот на дефиниција на функцијата е целата нумеричка оска.
2, Функцијата не е ниту парна ниту непарна.
3. Кога x=0, y=20
4. Ја испитуваме функцијата за монотоност и екстремност.
Да ги најдеме нулите на изводот
Стационарни точки на функција.
Ајде да нацртаме неподвижни точки на оската Ox и да ги провериме знаците на изводот на секој дел од оската.
- максимална точка 
; 
- минимален бод 
5. Графикот на функцијата го испитуваме за конвексност и конкавност. Да го земеме вториот извод
Точка на флексија на функционален график.
На 
- функцијата е конвексна; на 
- функцијата е конкавна.
Графикот на функцијата изгледа вака
6. Најдете ја најголемата и најмалата вредност на функцијата на интервалот [-1; 4]
Да ја пресметаме вредноста на функцијата на краевите на сегментот 
Во минималната точка, функцијата ги зема вредностите, според тоа, најмалата вредност на сегментот [-1; 4] функцијата ја зема во минималната точка, а максимумот на левата граница на интервалот.
7. Најдете неопределени интеграли и проверете ги резултатите од интеграцијата
диференцијација.
Решение.
Испитување.
Овде производот на косинусите е заменет со збир, според тригонометриските формули.
1. Равенка на страните AB и BC и нивните аголни коефициенти.
Задачата ги дава координатите на точките низ кои минуваат овие прави, па затоа ќе ја користиме равенката на права што минува низ две дадени точки $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ заменете ги и добијте ги равенките
равенка на правата AB $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ наклонот на правата линија AB е еднаков на \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
равенка на правата BC $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ наклонот на правата BC е еднаков на \ (k_( п.н.е.) = -7\)
2. Агол Б во радијани со точност од две цифри
Аголот B е аголот помеѓу правите AB и BC, кој се пресметува со формулата $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$заменете ги вредностите на аголните коефициенти од овие линии и добијте $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \приближно 0,79$$
3. Должина на страната AB
Должината на страната AB се пресметува како растојание помеѓу точките и е еднаква на \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB) = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. Равенка на висината на ЦД и неговата должина.
Висинската равенка ќе ја најдеме со помош на формулата на права линија што минува низ дадена точка C(4;13) во дадена насока - нормално на правата AB користејќи ја формулата \(y-y_0=k(x-x_0) \). Да го најдеме аголниот коефициент на висина \(k_(CD)\) користејќи го својството на нормални прави \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) добиваме $$k_(CD)= -\frac(1 )(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ Заменуваме права линија во равенката, добиваме $$y - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ Ќе ја бараме должината на висината како растојание од точка C(4;13) до права линија AB користејќи ја формулата $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ во броителот е равенката на правата линија AB, да ја намалиме на оваа форма \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) , да го замениме добиеното равенката и координатите на точката во формулата $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt(4^2+3^2)) = \frac(50)(5) = 10 $ $
5. Равенка на медијаната AE и координатите на точката K, пресекот на оваа медијана со висината CD.
Равенката на медијаната ќе ја бараме како равенка на права линија што минува низ две дадени точки A(-6;8) и E, каде што точката E е средната точка помеѓу точките B и C и нејзините координати се наоѓаат според формула \(E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) ги замени координатите на точките \(E(\frac(6+4)(2); \frac(-1+13)(2)) = > \(E(5; 6)\), тогаш равенката на средната AE ќе биде следната $$\frac(x+6)(5+ 6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$Да ги најдеме координатите на точката на пресек на висините и медијаната, т.е. ајде да ја најдеме нивната заедничка точка За да го направиме ова, ќе создадеме системска равенка $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \frac (4)(3)x+ \frac(23)(3)\end(случаи)=>\почеток(случаи)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\крај (случаи)=>$$$ $\begin(случаи)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end (случаи)=> \begin(случаи)25y =175\\3y = 4x+23\крај (случаи)=> $$ $$\begin(scases) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end(cases)$$ Координати на пресечната точка \(K(-\frac(1)(2);7 )\)
6. Равенка на права која минува низ точката K паралелна на страната AB.
Ако правата е паралелна, тогаш нивните аголни коефициенти се еднакви, т.е. \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\), познати се и координатите на точката \(K(-\frac(1)(2);7)\) , т.е. за да ја најдеме равенката на права линија, ја применуваме формулата за равенката на права линија што минува низ дадена точка во дадена насока \(y - y_0=k(x-x_0)\), го замениме податокот и добиваме $ $y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$ $
8. Координати на точката М која е симетрична на точката А во однос на права ЦД.
Точката М лежи на линијата AB, бидејќи ЦД е висината на оваа страна. Ајде да ја најдеме пресечната точка на CD и AB; за да го направите ова, решете го системот на равенки $$\begin(scases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = - \frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end (случаи) =>\почеток(случаи)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\крај (случаи) => $$$$\begin(случаи)12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end (случаи) =>
\почеток(случаи)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\крај (случаи) => $$$$\почеток(случаи)x=-2\\y=5 \крај (случаи)$$ Координати од точка D(-2;5). Според условот AD=DK, ова растојание помеѓу точките се наоѓа со питагоровата формула \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\), каде што AD и DK се хипотенуси на еднакви правоаголни триаголници, и \(Δx =x_2-x_1\) и \(Δy=y_2-y_1\) се катетите на овие триаголници, т.е. да ги најдеме катетите и да ги најдеме координатите на точката M. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), и \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), потоа координатите од точката М ќе биде еднаква \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), и \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \), откривме дека координатите на точката \( M(2;2)\)
Пример за решавање на некои задачи од стандардната работа „Аналитичка геометрија на рамнина“
Темињата се дадени, 
,
триаголник ABC. Најдете:
Равенки на сите страни на триаголник;
Систем на линеарни неравенки што дефинираат триаголник ABC;
Равенки на надморска височина, медијана и симетрала на триаголник извлечен од темето А;
Пресечната точка на височините на триаголникот;
Пресечната точка на медијаните на триаголникот;
Должината на висината спуштена на страна АБ;
Катче А;
Направете цртеж.
Нека темињата на триаголникот имаат координати: А (1; 4), ВО (5; 3), СО(3; 6). Ајде да нацртаме цртеж веднаш:
1. За да ги запишеме равенките на сите страни на триаголникот, ја користиме равенката на права линија што минува низ две дадени точки со координати ( x 0 , y 0 ) И ( x 1 , y 1 ):
=
Така, заменувајќи наместо ( x 0 , y 0 ) координати на точки Аи наместо ( x 1 , y 1 ) координати на точки ВО, ја добиваме равенката на правата АБ:
Добиената равенка ќе биде равенката на права линија АБ, напишана во општа форма. Слично на тоа, ја наоѓаме равенката на права линија AC:
И, исто така, равенката на права линија Сонцето:
2. Забележете дека множеството точки на триаголникот ABCпретставува пресек на три полурамнини, а секоја полурамнина може да се дефинира со помош на линеарна неравенка. Ако ја земеме равенката на која било страна ∆ ABC, На пример АБ, потоа нееднаквостите
И 
дефинирајте точки што лежат на спротивните страни на правата АБ. Треба да ја избереме полурамнината каде што лежи точката C. Да ги замениме нејзините координати со двете неравенки:
Втората неравенка ќе биде точна, што значи дека бараните поени се одредуваат со неравенката
.
Ние го правиме истото со права линија BC, нејзината равенка 
. Ја користиме точката А (1, 1) како тест точка:
Ова значи дека потребната нееднаквост ја има формата:
.
Ако ја провериме правата линија AC (тестната точка Б), добиваме:
Тоа значи дека потребната неравенка ќе ја има формата
Конечно добиваме систем на неравенки:
Знаците „≤“, „≥“ значат дека точките што лежат на страните на триаголникот исто така се вклучени во множеството точки што го сочинуваат триаголникот ABC.
3. а) За да се најде равенката за висината испуштена од темето Ана страна Сонцето, разгледајте ја равенката на страната Сонцето:
. Вектор со координати 
нормално на страната Сонцетоа со тоа и паралелно со висината. Да ја запишеме равенката на права линија што минува низ точка Апаралелно со векторот 
:
Ова е равенката за висината испуштена од т. Ана страна Сонцето.
б) Најдете ги координатите на средината на страната Сонцетоспоред формулите: 
Еве 
– тоа се координатите на т. ВО, А 
– координати т. СО. Ајде да замениме и да добиеме:
Правата линија што минува низ оваа точка и точката Ае потребната средина:
в) Равенката на симетралата ќе ја бараме врз основа на фактот дека во рамнокрак триаголник висината, средната и симетралата спуштени од едно теме до основата на триаголникот се еднакви. Ајде да најдеме два вектори 
И 
и нивните должини:
Потоа векторот 
има иста насока како векторот 
, и неговата должина 
Исто така, единечниот вектор 
се совпаѓа во насока со векторот 
Векторска сума
има вектор што се совпаѓа во насока со симетралата на аголот А. Така, равенката на саканата симетрала може да се запише како:
4) Веќе ја конструиравме равенката за една од височините. Ајде да изградиме равенка за друга висина, на пример, од темето ВО. Страна ACдадена со равенката 
Значи векторот 
нормално AC, а со тоа и паралелно со саканата висина. Потоа равенката на правата што минува низ темето ВОво насока на векторот 
(т.е. нормално AC), ја има формата:
Познато е дека височините на триаголникот се сечат во една точка. Конкретно, оваа точка е пресекот на пронајдените висини, т.е. решавање на системот на равенки:
- координати на оваа точка.
5. Среден АБима координати 
. Да ја напишеме равенката на медијаната на страна АБ.Оваа права минува низ точки со координати (3, 2) и (3, 6), што значи дека нејзината равенка има форма:
Забележете дека нула во именителот на дропка во равенката на права линија значи дека оваа права се движи паралелно со оската на ординатите.
За да се најде пресечната точка на медијаните, доволно е да се реши системот на равенки:
Пресечната точка на медијаните на триаголникот има координати 
.
6. Должина на висина спуштена на страна АБ,еднакво на растојанието од точката СОдо права линија АБсо равенка 
и се наоѓа со формулата:
7. Косинусот на аголот Аможе да се најде со помош на формулата за косинус на аголот помеѓу векторите 
И 
, што е еднакво на односот на скаларниот производ на овие вектори со производот на нивните должини:
.