Главните методи за решавање на тригонометриски равенки се: намалување на равенките на наједноставни (со користење на тригонометриски формули), воведување нови променливи и факторинг. Ајде да ја разгледаме нивната употреба со примери. Обрнете внимание на форматот на пишување решенија за тригонометриски равенки.
Неопходен услов за успешно решавање на тригонометриските равенки е познавањето на тригонометриските формули (тема 13 од работа 6).
Примери.
1. Равенки сведени на наједноставните.
1) Реши ја равенката
Решение:
Одговор:
2) Најдете ги корените на равенката
(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, што припаѓа на сегментот.
Решение:
Одговор:
2. Равенки кои се сведуваат на квадратни.
1) Решете ја равенката 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.
Решение:Користејќи ја формулата sin 2 x = 1 – cos 2 x, добиваме
Одговор:
2) Решете ја равенката cos 2x = 1 + 4 cosx.
Решение:Користејќи ја формулата cos 2x = 2 cos 2 x – 1, добиваме
Одговор:
3) Решете ја равенката tgx – 2ctgx + 1 = 0
Решение:
Одговор:
3. Хомогени равенки
1) Решете ја равенката 2sinx – 3cosx = 0
Решение: Нека cosx = 0, потоа 2sinx = 0 и sinx = 0 – контрадикција со фактот дека sin 2 x + cos 2 x = 1. Тоа значи cosx ≠ 0 и можеме да ја поделиме равенката со cosx. Добиваме
Одговор:
2) Решете ја равенката 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x
Решение:
Ги користиме формулите 1 = sin 2 x + cos 2 x и sin 2x = 2 sinxcosx, добиваме
sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0
Нека cosx = 0, потоа sin 2 x = 0 и sinx = 0 - контрадикција со фактот дека sin 2 x + cos 2 x = 1.
Ова значи cosx ≠ 0 и можеме да ја поделиме равенката со cos 2 x .
Добиваме
tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Да означиме tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
а) tgx = 4, x= арктан4 + 2 к, к
б) tgx = 2, x= арктан2 + 2 к, к .
Одговор: arctg4 + 2 к, арктан2 + 2 к, к
4. Равенки на формата а sinx + б cosx = с, с≠ 0.
1) Реши ја равенката.
Решение:
Одговор:
5. Равенки решени со факторизација.
1) Решете ја равенката sin2x – sinx = 0.
Корен на равенката ѓ (X) = φ ( X) може да послужи само како број 0. Ајде да го провериме ова:
cos 0 = 0 + 1 - еднаквоста е вистина.
Бројот 0 е единствениот корен од оваа равенка.
Одговор: 0.
Методи за решавање на тригонометриски равенки.Решавањето на тригонометриска равенка се состои од две фази: трансформација на равенкатада го сфатите наједноставнотип (види погоре) и решениедобиениот наједноставен тригонометриска равенка.Има седум основни методи за решавање на тригонометриски равенки.
1. Алгебарски метод.
(метод на замена и замена на променливата).
2. Факторизација.
Пример 1. Решете ја равенката:грев x+cos x = 1 .
Решение Да ги преместиме сите членови на равенката налево:
Грев x+cos x – 1 = 0 ,
Да го трансформираме и факторизираме изразот во
Левата страна на равенката:
Пример 2. Решете ја равенката: cos 2 x+ грев x cos x = 1.
Решение: cos 2 x+ грев x cos x– грев 2 x– костим 2 x = 0 ,
Грев x cos x– грев 2 x = 0 ,
Грев x· (кос x– грев x ) = 0 ,
Пример 3. Решете ја равенката: cos 2 x-кос 8 x+ цена 6 x = 1.
Решение: cos 2 x+ цена 6 x= 1 + cos 8 x,
2 со 4 x cos 2 x= 2 кос² 4 x ,
Кос 4 x · (кос 2 x- кос 4 x) = 0 ,
Кос 4 x · 2 грев 3 xгрев x = 0 ,
1). cos 4 x= 0, 2). грев 3 x= 0, 3). грев x = 0 ,
3. Намалување на хомогена равенка.Равенката повикани хомогена од во врска со гревИ cos , Ако сето тоа термини од ист степен во однос на гревИ cosистиот агол. За да решите хомогена равенка, потребно е: А) поместете ги сите нејзини членови на левата страна; б) стави ги сите заеднички фактори надвор од загради; В) изедначете ги сите фактори и загради на нула; Г) загради еднакви на нула даваат хомогена равенка од помал степен, која треба да се подели на cos(или грев) во виш степен; г) решете ја добиената алгебарска равенка во однос натен . грев 2 x+ 4 грев x cos x+ 5 кос 2 x = 2. Решение: 3 грев 2 x+ 4 грев x cos x+ 5 co 2 x= 2 грев 2 x+ 2 и 2 x , Грев 2 x+ 4 грев x cos x+ 3 со 2 x = 0 , Тен 2 x+ 4 тен x + 3 = 0 , од тука y 2 + 4y +3 = 0 , Корените на оваа равенка се:y 1 = - 1, y 2 = - 3, оттука 1) тен x= –1, 2) тен x = –3, |
4. Премин во половина агол.
Ајде да го разгледаме овој метод користејќи пример:
ПРИМЕР Решете ја равенката: 3грев x– 5 кос x = 7.
Решение: 6 грев ( x/ 2) cos ( x/ 2) - 5 cos² ( x/ 2) + 5 грев² ( x/ 2) =
7 грев² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,
2 грев² ( x/ 2) – 6 гревови ( x/ 2) cos ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,
тен²( x/ 2) - 3 тен ( x/ 2) + 6 = 0 ,
. . . . . . . . . .
5. Воведување на помошен агол.
Размислете за равенка на формата:
агрев x + б cos x = в ,
Каде а, б, в– коефициенти;x– непознато.
Сега коефициентите на равенката имаат својства на синус и косинус, имено: модул (апсолутна вредност) на секој од кои не повеќе од 1, а збирот на нивните квадрати е 1. Тогаш можеме да означиме нив соодветно Како cos и sin (тука - т.н помошен агол), Иземете ја нашата равенка
Тема:„Методи за решавање тригонометриски равенки“.
Цели на лекцијата:
едукативни:
Развивање на вештини за разликување помеѓу видовите тригонометриски равенки;
Продлабочување на разбирањето на методите за решавање на тригонометриски равенки;
едукативни:
Негување когнитивен интерес за образовниот процес;
Формирање на способност за анализа на дадена задача;
развивање:
Да се развие вештината на анализа на ситуацијата и потоа изборот на најрационален излез од неа.
Опрема:постер со основни тригонометриски формули, компјутер, проектор, екран.
Да ја започнеме лекцијата со повторување на основната техника за решавање на која било равенка: сведувајќи ја во стандардна форма. Преку трансформациите, линеарните равенки се сведуваат на формата ax = b, квадратните равенки се сведуваат на формата секира 2 +bx +c =0.Во случај на тригонометриски равенки, потребно е да се сведе на наједноставните, од формата: sinx = a, cosx = a, tgx = a, што може лесно да се реши.
Пред сè, се разбира, за ова треба да ги користите основните тригонометриски формули кои се претставени на постерот: формули за собирање, формули со двоен агол, намалување на мноштвото на равенката. Ние веќе знаеме како да решаваме такви равенки. Да повториме некои од нив:
Во исто време, постојат равенки за чие решение е потребно познавање на некои посебни техники.
Темата на нашата лекција е да ги разгледаме овие техники и да ги систематизираме методите за решавање на тригонометриски равенки.
Методи за решавање на тригонометриски равенки.
1. Конверзија во квадратна равенка во однос на некоја тригонометриска функција проследена со промена на променливата.
Ајде да го разгледаме секој од наведените методи со примери, но да се задржиме подетално на последните два, бидејќи првите два веќе ги користевме при решавање на равенките.
1. Претворање во квадратна равенка во однос на некоја тригонометриска функција.
2. Решавање равенки со методот на размножување.
3. Решавање на хомогени равенки.
Хомогени равенки од првиот и вториот степен се равенки од формата:
соодветно (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).
Кога решавате хомогени равенки, поделете ги двете страни на членот на равенката со cosx за (1) равенка и со cos 2 x за (2). Оваа поделба е можна бидејќи sinx и cosx не се еднакви на нула во исто време - тие стануваат нула во различни точки. Да разгледаме примери за решавање на хомогени равенки од првиот и вториот степен.
Да се потсетиме на оваа равенка: кога го разгледуваме следниот метод - воведување помошен аргумент, да го решиме на поинаков начин.
4. Воведување на помошен аргумент.
Да ја разгледаме равенката веќе решена со претходниот метод:
Како што можете да видите, се добива истиот резултат.
Ајде да погледнеме друг пример:
Во разгледаните примери, генерално беше јасно што треба да се подели на оригиналната равенка за да се воведе помошен аргумент. Но, може да се случи да не е очигледно кој делител да се избере. Постои посебна техника за ова, која сега ќе ја разгледаме во општи рамки. Нека е дадена равенка.