Тригонометријата, како наука, потекнува од античкиот исток. Прво тригонометриски соодносибеа заклучени од астрономите да создадат точен календари навигација по ѕвездите. Овие пресметки се однесуваат на сферична тригонометрија, додека во училишен курспроучување на односот на страните и аглите на рамниот триаголник.

Тригонометријата е гранка на математиката која се занимава со својствата на тригонометриски функциии односот помеѓу страните и аглите на триаголниците.

За време на најславниот период на културата и науката во I милениум од нашата ера, знаењето се проширило од Антички истоккон Грција. Но, главните откритија на тригонометријата се заслуги на сопрузите Арапски калифат. Конкретно, туркменскиот научник ал-Маразви вовел функции како тангента и котангента и ги составил првите табели на вредности за синуси, тангенти и котангенти. Концептите на синус и косинус беа воведени од индиски научници. Тригонометријата доби големо внимание во делата на таквите големи личности од антиката како Евклид, Архимед и Ератостен.

Основни количини на тригонометрија

Основни тригонометриски функции нумерички аргумент– тоа се синус, косинус, тангента и котангента. Секој од нив има свој график: синус, косинус, тангента и котангента.

Формулите за пресметување на вредностите на овие количини се засноваат на Питагоровата теорема. На учениците им е подобро познато во формулацијата: „Питагорови панталони, еднакви во сите правци“, бидејќи доказот е даден со примерот на рамнокрак правоаголен триаголник.

Синус, косинус и други врски ја воспоставуваат врската помеѓу акутните агли и страни на кој било правоаголен триаголник. Да ги претставиме формулите за пресметување на овие количини за аголот А и да ги следиме односите помеѓу тригонометриските функции:

Како што можете да видите, tg и ctg се инверзни функции. Ако ја замислиме ногата a како производ на гревот A и хипотенузата c, а кракот b во cos форма A * c, тогаш добиваме следните формулиза тангента и котангента:

Тригонометриски круг

Графички, односот помеѓу споменатите количини може да се претстави на следниов начин:

Обем, во во овој случај, претставува сè можни вредностиагол α - од 0° до 360°. Како што може да се види од сликата, секоја функција зема негативен или позитивна вредноство зависност од големината на аголот. На пример, sin α ќе има знак „+“ ако α припаѓа на 1-та и 2-та четвртина од кругот, односно е во опсег од 0° до 180°. За α од 180° до 360° (III и IV четвртини), sin α може да биде само негативна вредност.

Ајде да се обидеме да изградиме тригонометриски табелиза конкретни агли и дознајте ја вредноста на величините.

Вредностите на α еднакви на 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и така натаму се нарекуваат посебни случаи. Вредностите на тригонометриските функции за нив се пресметуваат и се прикажуваат во форма на посебни табели.

Овие агли не беа избрани случајно. Ознаката π во табелите е за радијани. Рад е аголот под кој должината на лакот на кругот одговара на неговиот радиус. Оваа вредностбеше воведена со цел да се воспостави универзална зависност; при пресметување во радијани, вистинската должина на радиусот во cm не е важна.

Аглите во табелите за тригонометриски функции одговараат на радијанските вредности:

Значи, не е тешко да се погоди дека 2π е полн кругили 360°.

Својства на тригонометриските функции: синус и косинус

За да се разгледаат и споредат основните својства на синус и косинус, тангента и котангента, неопходно е да се исцртаат нивните функции. Ова може да се направи во форма на крива која се наоѓа на дводимензионален системкоординати

Да се ​​разгледа споредбена табеласвојства за синус и косинус:

Синусен бран	Косинусот
y = синкс	y = cos x
ОДЗ [-1; 1]	ОДЗ [-1; 1]
sin x = 0, за x = πk, каде k ϵ Z	cos x = 0, за x = π/2 + πk, каде k ϵ Z
sin x = 1, за x = π/2 + 2πk, каде k ϵ Z	cos x = 1, на x = 2πk, каде k ϵ Z
sin x = - 1, при x = 3π/2 + 2πk, каде k ϵ Z	cos x = - 1, за x = π + 2πk, каде k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, т.е. функцијата е непарна	cos (-x) = cos x, т.е. функцијата е парна
	функцијата е периодична, најкраткиот период- 2π
sin x › 0, при што x припаѓа на 1-та и 2-та четвртина или од 0° до 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, со x припаѓа на I и IV четвртини или од 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, при што x припаѓа на третата и четвртата четвртина или од 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, со x припаѓа на втората и третата четвртина или од 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
се зголемува во интервалот [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	се зголемува на интервалот [-π + 2πk, 2πk]
се намалува во интервали [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	се намалува во интервали
извод (sin x)’ = cos x	извод (cos x)’ = - sin x

Одредувањето дали функцијата е парна или не е многу едноставно. Доволно е да се замисли тригонометриски круг со знаци на тригонометриски величини и ментално да се „преклопи“ графикот во однос на оската OX. Ако знаците се совпаѓаат, функцијата е парна, во во спротивно- чудно.

Воведувањето на радијаните и набројувањето на основните својства на синусните и косинусните бранови ни овозможуваат да ја прикажеме следната шема:

Многу е лесно да се потврди дека формулата е точна. На пример, за x = π/2, синусот е 1, како и косинусот на x = 0. Проверката може да се направи со консултација со табели или со следење на функционалните криви за дадените вредности.

Својства на тангентоиди и котангентоиди

Графиконите на функциите тангента и котангента значително се разликуваат од синусните и косинусните функции. Вредностите tg и ctg се реципрочни една на друга.

1. Y = тен x.
2. Тангентата се стреми кон вредностите на y при x = π/2 + πk, но никогаш не ги достигнува.
3. Најмалку позитивен периодтангентите е еднаква на π.
4. Tg (- x) = - tg x, т.е. функцијата е непарна.
5. Tg x = 0, за x = πk.
6. Функцијата се зголемува.
7. Tg x › 0, за x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, за x ϵ (- π/2 + πk, πk).
9. Извод (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

Ајде да размислиме графичка сликакотангентоиди подолу во текстот.

Главните својства на котангентоидите:

1. Y = креветче x.
2. За разлика од синусните и косинусните функции, во тангеноидот Y може да ги преземе вредностите на множеството на сите реални броеви.
3. Котангентоидот се стреми кон вредностите на y при x = πk, но никогаш не ги достигнува.
4. Најмалиот позитивен период на котангеноид е π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, т.е. функцијата е непарна.
6. Ctg x = 0, за x = π/2 + πk.
7. Функцијата се намалува.
8. Ctg x › 0, за x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, за x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Извод (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Точно

Предавање: Синус, косинус, тангента, котангента на произволен агол

Синус, косинус од произволен агол

За да разбереме што се тригонометриски функции, ајде да погледнеме во круг со единица радиус. Овој круг има центар на почетокот на координатна рамнина. За одредување одредени функцииќе го користиме векторот на радиусот ИЛИ, кој започнува во центарот на кругот, и точката Ре точка на кругот. Овој вектор на радиус формира агол алфа со оската О. Бидејќи кругот има радиус, еднаков на еден, Тоа ИЛИ = R = 1.

Ако од точката Рспуштете ја нормалната на оската О, тогаш добиваме правоаголен триаголник со хипотенуза еднаква на еден.

Ако векторот на радиусот се движи во насока на стрелките на часовникот, тогаш оваа насокаповикани негативен, ако се движи спротивно од стрелките на часовникот - позитивен.

Синус на аголот ИЛИ, е ординатата на точката Рвектор на круг.

Тоа е, да се добие синусната вредност даден аголалфа потребно е да се определи координатата Уна површината.

Како дадена вредностбеше примен? Бидејќи знаеме дека синусот на произволен агол во правоаголен триаголник е односот спротивна ногадо хипотенузата, го добиваме тоа

И бидејќи R=1, Тоа sin(α) = y 0 .

ВО единица кругординатата не може да биде помала од -1 и поголема од 1, што значи

Синусот зема позитивна вредност во првата и втората четвртина од единечниот круг, а негативна во третата и четвртата.

Косинусот на аголотдаден круг формиран од векторот на радиусот ИЛИ, е апсцисата на точката Рвектор на круг.

Односно, за да се добие косинус вредноста на даден агол алфа, потребно е да се одреди координатата Xна површината.

Косинусот на произволен агол во правоаголен триаголник е односот соседната ногадо хипотенузата, го добиваме тоа

И бидејќи R=1, Тоа cos(α) = x 0 .

Во единечниот круг, вредноста на апсцисата не може да биде помала од -1 и поголема од 1, што значи

Косинусот добива позитивна вредност во првата и четвртата четвртина од единечниот круг, а негативна во втората и третата.

Тангентапроизволен аголСе пресметува односот на синус и косинус.

Ако земеме правоаголен триаголник, тогаш ова е односот на спротивната страна со соседната страна. Ако ние зборуваме заза кругот на единицата, тогаш ова е односот на ординатата со апсцисата.

Судејќи според овие односи, може да се разбере дека тангентата не може да постои ако вредноста на апсцисата е нула, односно под агол од 90 степени. Тангентата може да ги земе сите други вредности.

Тангентата е позитивна во првата и третата четвртина од единечниот круг, а негативна во втората и четвртата.

Единствен државен испит за 4? Нема да пукнеш од среќа?

Прашањето, како што велат, е интересно... Можно е, може да се помине и со 4! А притоа да не пукне... Главен услов е редовно да вежбате. Еве ја основната подготовка за Единствениот државен испит по математика. Со сите тајни и мистерии на Единствениот државен испит, за кои нема да читате во учебниците... Проучете го овој дел, одлучете повеќе задачиод различни извори- и сè ќе успее! Се претпоставува дека основниот дел "A C е доволно за вас!" не ти прави никакви проблеми. Но, ако одеднаш... Следете ги линковите, не бидете мрзливи!

И ќе почнеме со одлична и страшна тема.

Тригонометрија

Внимание!
Има дополнителни
материјали во Посебен дел 555.
За оние кои се многу „не многу...“
И за оние кои „многу...“)

Оваа тема предизвикува многу проблеми кај студентите. Се смета за еден од најтешките. Што се синус и косинус? Што се тангента и котангента? Што се случи круг со број? Штом ги поставите овие безопасни прашања, личноста пребледува и се обидува да го пренасочи разговорот... Но залудно. Ова едноставни концепти. И оваа тема не е потешка од другите. Само треба јасно да ги разберете одговорите на овие прашања уште од самиот почеток. Тоа е многу важно. Ако разбирате, ќе ви се допадне тригонометријата. Значи,

Што се синус и косинус? Што се тангента и котангента?

Да почнеме со античко време. Не грижете се, ќе ги поминеме сите 20 века тригонометрија за околу 15 минути. И, без да забележиме, ќе повториме дел од геометријата од 8-мо одделение.

Ајде да нацртаме правоаголен триаголник со страни а, б, ви агол X. Еве го.

Да ве потсетам дека страните што формираат прав агол се нарекуваат нозе. а и в– нозе. Има два од нив. Преостанатата страна се нарекува хипотенуза. Со- хипотенуза.

Триаголник и триаголник, само размислете! Што да се прави со него? Но, старите луѓе знаеле што да прават! Да ги повториме нивните постапки. Ајде да ја измериме страната В. На сликата, ќелиите се специјално нацртани, како во Задачи за унифициран државен испитСе случува. Страна Веднакво на четири ќелии. ДОБРО. Ајде да ја измериме страната А.Три клетки.

Сега да ја поделиме должината на страната Апо должина на страна В. Или, како што исто така велат, да го заземеме ставот АДо В. а/в= 3/4.

Напротив, можете да поделите Вна А.Добиваме 4/3. Може Вподели со Со.Хипотенуза СоНевозможно е да се брои по ќелии, но е еднакво на 5. Добиваме висок квалитет= 4/5. Накратко, можете да ги поделите должините на страните една со друга и да добиете неколку броеви.

Па што? Која е поентата во ова интересна активност? Сè уште нема. Бесмислена вежба, отворено кажано.)

Сега да го направиме ова. Ајде да го зголемиме триаголникот. Ајде да ги прошириме страните во и со, но така што триаголникот останува правоаголен. Катче X, се разбира, не се менува. За да го видите ова, поставете го глувчето над сликата или допрете ја (ако имате таблет). Забави а, б и вќе се претвори во m, n, k, и, се разбира, должините на страните ќе се променат.

Но, нивната врска не е!

Став а/вбеше: а/в= 3/4, стана m/n= 6/8 = 3/4. Односите на другите релевантни страни се исто така нема да се промени . Можете да ги менувате должините на страните во правоаголен триаголник како што сакате, да зголемувате, намалувате, без промена на аголот x – односот меѓу релевантните страни нема да се промени . Можете да го проверите, или можете да го прифатите зборот на античките луѓе.

Но, ова е веќе многу важно! Односите на страните во правоаголен триаголник во никој случај не зависат од должините на страните (по ист агол). Ова е толку важно што односот меѓу страните доби свое посебно име. Вашите имиња, така да се каже.) Запознајте ме.

Колку изнесува синусот на аголот x ? Ова е односот на спротивната страна со хипотенузата:

sinx = a/c

Колку изнесува косинусот на аголот x ? Ова е односот на соседната нога и хипотенузата:

Соosx= висок квалитет

Колку е тангента x ? Ова е односот на спротивната страна со соседната страна:

tgx =а/в

Колку изнесува котангенсот на аголот x ? Ова е односот на соседната страна со спротивната:

ctgx = v/a

Сè е многу едноставно. Синус, косинус, тангента и котангента се некои броеви. Бездимензионални. Само бројки. Секој агол има свој.

Зошто сè повторувам толку досадно? Тогаш што е ова треба да се запамети. Важно е да се запамети. Меморирањето може да се олесни. Дали е позната фразата „Да почнеме од далеку…“? Затоа почнете од далеку.

Синусаголот е сооднос далечнаод аголот на ногата до хипотенузата. Косинусот– односот на соседот со хипотенузата.

Тангентааголот е сооднос далечнаод аголот на ногата до блискиот. Котангенс- Обратно.

Полесно е, нели?

Па, ако се сеќавате дека во тангента и котангента има само нозе, а во синус и косинус се појавува хипотенузата, тогаш сè ќе стане прилично едноставно.

Се нарекува и целото ова славно семејство - синус, косинус, тангента и котангента тригонометриски функции.

Сега прашање за разгледување.

Зошто велиме синус, косинус, тангента и котангента агол?Зборуваме за односот меѓу страните, како... Каква врска има тоа? агол?

Ајде да ја погледнеме втората слика. Сосема исто како и првиот.

Поставете го глувчето над сликата. Го сменив аголот X. Го зголеми од x до x.Сите односи се сменија! Став а/вбеше 3/4, а соодветниот сооднос телевизијастана 6/4.

И сите други врски станаа поинакви!

Затоа, соодносите на страните не зависат никако од нивните должини (по еден агол x), туку нагло зависат токму од овој агол! И само од него.Затоа, термините синус, косинус, тангента и котангенс се однесуваат агол.Аголот овде е главниот.

Мора јасно да се разбере дека аголот е нераскинливо поврзан со неговите тригонометриски функции. Секој агол има свој синус и косинус. И скоро секој има своја тангента и котангента.Тоа е важно. Се верува дека ако ни се даде агол, тогаш неговиот синус, косинус, тангента и котангента знаеме ! И обратно. Со оглед на синус или која било друга тригонометриска функција, тоа значи дека го знаеме аголот.

Постојат посебни табели каде што за секој агол се опишани неговите тригонометриски функции. Тие се нарекуваат Брадис маси. Тие беа составени многу одамна. Кога сè уште немаше калкулатори или компјутери...

Се разбира, невозможно е да се запамети тригонометриските функции на сите агли. Од вас се бара да ги знаете само за неколку агли, повеќе за ова подоцна. Но, магијата Знам агол, што значи дека ги знам неговите тригонометриски функции“ -секогаш функционира!

Така, повторивме дел од геометријата од 8-мо одделение. Дали ни треба за обединет државен испит? Неопходно. Еве еден типичен проблем од Единствениот државен испит. За да се реши овој проблем доволно е 8 одделение. Дадена слика:

Сите. Нема повеќе податоци. Треба да ја најдеме должината на страната на авионот.

Клетките не помагаат многу, триаголникот е некако неправилно поставен... Намерно претпоставувам... Од информацијата е должината на хипотенузата. 8 клетки. Поради некоја причина, аголот беше даден.

Ова е местото каде што треба веднаш да запомните за тригонометријата. Има агол, што значи дека ги знаеме сите негови тригонометриски функции. Која од четирите функции треба да ја користиме? Ајде да видиме, што знаеме? Ги знаеме хипотенузата и аголот, но треба да најдеме соседнитекатетер до овој агол! Јасно е, косинусот треба да се стави во акција! Еве одиме. Ние едноставно пишуваме, според дефиницијата за косинус (односот соседнитенога до хипотенуза):

cosC = BC/8

Нашиот агол C е 60 степени, неговиот косинус е 1/2. Треба да го знаете ова, без никакви табели! Тоа е:

1/2 = п.н.е./8

Основно линеарна равенка. Непознато - Сонцето. Тие што заборавиле да решаваат равенки, погледнете го линкот, останатите решаваат:

п.н.е. = 4

Кога античките луѓе сфатија дека секој агол има свој сет на тригонометриски функции, имаа разумно прашање. Дали синус, косинус, тангента и котангента се некако поврзани едни со други?Така што знаејќи ја функцијата на еден агол, можете да ги најдете другите? Без да се пресмета самиот агол?

Беа толку немирни...)

Врска помеѓу тригонометриските функции од еден агол.

Се разбира, синус, косинус, тангента и котангента од ист агол се поврзани едни со други. Секоја врска помеѓу изразите е дадена во математиката со формули. Во тригонометријата има огромен број формули. Но, овде ќе ги разгледаме најосновните. Овие формули се нарекуваат: основни тригонометриски идентитети.Тука се:

Треба да ги знаете овие формули темелно. Без нив, генерално нема што да се прави во тригонометријата. Од овие основни идентитети следат уште три помошни идентитети:

Веднаш ве предупредувам дека последните три формули брзо испаѓаат од вашата меморија. Поради некоја причина.) Се разбира, можете да ги изведете овие формули од првите три. Но во Тешко време... Ти разбираш.)

ВО стандардни задачи, како и оние подолу, постои начин да се направи без овие формули кои се забораваат. И драматично ги намалуваат грешкитепоради заборавот, а и во пресметките. Оваа практика е во Дел 555, лекција „Односи помеѓу тригонометриски функции од ист агол“.

Во кои задачи и како се користат основните тригонометриски идентитети? Најпопуларната задача е да се најде некоја аголна функција ако е дадена друга. Во обединетиот државен испит таква задача е присутна од година во година.) На пример:

Најдете sinx вредност, ако x е остар агол и cosx=0,8.

Задачата е речиси елементарна. Бараме формула која содржи синус и косинус. Еве ја формулата:

грев 2 x + cos 2 x = 1

Заменете овде позната количина, имено, 0,8 наместо косинус:

грев 2 x + 0,8 2 = 1

Па, сметаме како и обично:

грев 2 x + 0,64 = 1

грев 2 x = 1 - 0,64

Тоа е практично сè. Го пресметавме квадратот на синусот, останува само да го извадиме квадратниот корен и одговорот е готов! Коренот на 0,36 е 0,6.

Задачата е речиси елементарна. Но, зборот „скоро“ го има со причина... Факт е дека одговорот sinx= - 0,6 е исто така погоден... (-0,6) 2 исто така ќе биде 0,36.

Постојат два различни одговори. И ти треба еден. Вториот е погрешен. Како да се биде!? Да, како и обично.) Внимателно прочитајте ја задачата. Поради некоја причина вели:... ако x е остар агол...А во задачите секој збор има значење, да... Оваа фраза е дополнителна информација за решението.

Акутен агол е агол помал од 90°. И на такви ќошиња Ситетригонометриски функции - синус, косинус и тангента со котангента - позитивен.Оние. Овде едноставно го отфрламе негативниот одговор. Имаме право.

Всушност, на осмоодделенците не им се потребни такви суптилности. Тие работат само со правоаголни триаголници, каде што аглите можат да бидат само остри. И тие не знаат, среќни, дека има и негативни агли и агли од 1000°... И сите овие страшни агли имаат свои тригонометриски функции, плус и минус...

Но, за средношколците, без да се земе предвид знакот - нема шанси. Многу знаење ги умножува тагите, да...) И за правилна одлукаЗадачата мора да содржи дополнителни информации (доколку е потребно). На пример, може да се даде со следниов запис:

Или на некој друг начин. Ќе видите во примерите подолу.) За да решите такви примери треба да знаете Во која четвртина спаѓа дадениот агол x и каков знак има саканата тригонометриска функција во оваа четвртина?

Овие основи на тригонометријата се дискутирани во лекциите за тоа што е тригонометриски круг, мерење на аглите на овој круг, радијанска мерка на агол. Понекогаш треба да ја знаете табелата на синуси, косинуси на тангенти и котангенти.

Значи, да ја забележиме најважната работа:

Практичен совет:

1. Запомнете ги дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента. Тоа ќе биде многу корисно.

2. Јасно разбираме: синус, косинус, тангента и котангента се цврсто поврзани со агли. Знаеме едно, што значи дека знаеме друго.

3. Јасно разбираме: синус, косинус, тангента и котангента на еден агол се поврзани едни со други по основни тригонометриски идентитети. Знаеме една функција, што значи дека можеме (ако ги имаме потребните дополнителни информации) да ги пресметаме сите други.

Сега да одлучиме, како и обично. Прво, задачи од опфатот на 8 одделение. Но, и средношколците можат да го направат тоа...)

1. Пресметајте ја вредноста на tgA ако ctgA = 0,4.

2. β е агол во правоаголен триаголник. Најдете ја вредноста на tanβ ако sinβ = 12/13.

3. Да се ​​определи синусот на остриот агол x ако tgх = 4/3.

4. Најдете го значењето на изразот:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Најдете го значењето на изразот:

(1-cosx)(1+cosx), ако sinx = 0,3

Одговори (одделени со точка-запирка, во неред):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Се случи? Одлично! Учениците од осмо одделение веќе можат да одат да го добијат своето А.)

Зарем сè не успеа? Задачите 2 и 3 некако не се многу добри...? Нема проблем! Постои еден прекрасен трик за слични задачи. Сè може да се реши практично без формули воопшто! И, според тоа, без грешки. Оваа техника е опишана во лекцијата: „Односи меѓу тригонометриските функции од еден агол“ во Дел 555. Таму се решаваат и сите други задачи.

Тоа беа проблеми Тип на унифициран државен испит, но во соголена верзија. Единствен државен испит – светло). И сега речиси истите задачи, но во полноправен формат. За средношколците оптоварени со знаење.)

6. Најдете ја вредноста на tanβ ако sinβ = 12/13, и

7. Одреди го sinх ако tgх = 4/3, а x припаѓа на интервалот (- 540°; - 450°).

8. Најдете ја вредноста на изразот sinβ cosβ ако ctgβ = 1.

Одговори (во неред):

0,8; 0,5; -2,4.

Овде во задача 6 аголот не е многу јасно наведен... Но во задачата 8 воопшто не е наведен! Ова е намерно). дополнителни информациине само земено од задачата, туку и од главата.) Но, ако одлучите, една правилна задача е загарантирана!

Што ако не сте одлучиле? Хм... Па, делот 555 ќе помогне овде. Таму решенијата за сите овие задачи се детално опишани, тешко е да не се разбере.

Оваа лекција обезбедува многу ограничено разбирање на тригонометриските функции. Во рамките на 8 одделение. А постарите сè уште имаат прашања ...

На пример, ако аголот X(погледнете ја втората слика на оваа страница) - направете го тоа глупаво!? Триаголникот целосно ќе се распадне! Па што треба да правиме? Нема да има нога, нема хипотенуза... Синусот исчезна...

Ако древните луѓе не најдоа излез од оваа ситуација, сега немаше да имаме мобилни телефони, ТВ или струја. Да Да! Теоретска основасите овие работи без тригонометриски функции се нула без стап. Но, античките луѓе не разочараа. Како излегле е во следната лекција.

Доколку ви се допаѓа оваа страница...

Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)

Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)

Можете да се запознаете со функции и деривати.

Една од областите на математиката со која студентите најмногу се борат е тригонометријата. Не е изненадувачки: за слободно да ја совладате оваа област на знаење, потребно ви е просторно размислување, способност да пронајдете синуси, косинуси, тангенти, котангенти користејќи формули, да ги поедноставите изразите и да можете да го користите бројот пи во пресметки. Дополнително, треба да бидете способни да користите тригонометрија кога докажувате теореми, а за тоа е потребна или развиена математичка меморија или способност за изведување сложени логички синџири.

Потекло на тригонометријата

Запознавањето со оваа наука треба да започне со дефиниција на синус, косинус и тангента на агол, но прво треба да разберете што прави тригонометријата воопшто.

Историски, главниот предмет на проучување во овој дел математичка наукабеа правоаголни триаголници. Присуството на агол од 90 степени овозможува да се извршат различни операции кои овозможуваат да се одредат вредностите на сите параметри на предметната фигура користејќи две страни и еден агол или два агли и една страна. Во минатото, луѓето ја забележаа оваа шема и почнаа активно да ја користат во изградбата на згради, навигацијата, астрономијата, па дури и во уметноста.

Прва фаза

Првично, луѓето зборуваа за односот помеѓу аглите и страните исклучиво користејќи го примерот на правоаголни триаголници. Потоа беа откриени специјални формули кои овозможија проширување на границите на употреба во Секојдневниот животоваа гранка од математиката.

Изучувањето на тригонометријата во училиште денес започнува со правоаголни триаголници, по што учениците го користат стекнатото знаење по физика и решавање апстрактни проблеми. тригонометриски равенки, работа со која започнува во средно училиште.

Сферична тригонометрија

Подоцна, кога науката го достигнала следното ниво на развој, формулите со синус, косинус, тангента и котангенс почнале да се користат во сферичната геометрија, каде што важат различни правила, а збирот на аглите во триаголникот е секогаш повеќе од 180 степени. Овој делне се изучува на училиште, но потребно е да се знае за неговото постоење барем затоа што површината на земјата, а површината на која било друга планета е конвексна, што значи дека секоја површинска ознака ќе биде внатре тродимензионален простор„во облик на лак“.

Земете го глобусот и конецот. Прицврстете го конецот на кои било две точки на глобусот така што ќе биде затегнато. Ве молиме имајте предвид - доби форма на лак. Со такви форми се занимава сферичната геометрија, која се користи во геодезијата, астрономијата и други теоретски и применети области.

Правоаголен триаголник

Откако научивме малку за начините на користење на тригонометријата, да се вратиме на основната тригонометрија со цел дополнително да разбереме што се синус, косинус, тангента, кои пресметки може да се извршат со нивна помош и кои формули да се користат.

Првиот чекор е да се разберат концептите поврзани со правоаголен триаголник. Прво, хипотенузата е страната спротивна на аголот од 90 степени. Тоа е најдолго. Се сеќаваме дека според Питагоровата теорема, нејзиниот нумеричка вредностеднаков на коренот на збирот на квадратите на другите две страни.

На пример, ако двете страни се 3 и 4 сантиметри соодветно, должината на хипотенузата ќе биде 5 сантиметри. Патем, старите Египќани знаеле за ова пред околу четири и пол илјади години.

Двете преостанати страни, кои формираат прав агол, се нарекуваат нозе. Покрај тоа, мораме да запомниме дека збирот на аглите во триаголникот е правоаголен системкоординати е 180 степени.

Дефиниција

Конечно, со цврсто разбирање на геометриската основа, може да се свртиме кон дефиницијата на синус, косинус и тангента на аголот.

Синус на аголот е односот на спротивната катета (т.е. страната спроти саканиот агол) со хипотенузата. Косинусот на аголот е односот на соседната страна со хипотенузата.

Запомнете дека ниту синус ниту косинус не може да биде повеќе од еден! Зошто? Бидејќи хипотенузата е стандардно најдолга.Колку и да е долга ногата, таа ќе биде пократка од хипотенузата, што значи дека нивниот сооднос секогаш ќе биде помал од еден. Така, ако во вашиот одговор на проблем добиете синус или косинус со вредност поголема од 1, побарајте грешка во пресметките или расудувањето. Овој одговор е очигледно неточен.

Конечно, тангентата на аголот е односот на спротивната страна со соседната страна. Поделувањето на синусот со косинус ќе го даде истиот резултат. Погледнете: според формулата, ја делиме должината на страната со хипотенузата, потоа ја делиме со должината на втората страна и се множиме со хипотенузата. Така, ја добиваме истата врска како во дефиницијата за тангента.

Котангента, соодветно, е односот на страната во непосредна близина на аголот до спротивната страна. Истиот резултат го добиваме со делење на една со тангента.

Значи, ги разгледавме дефинициите за тоа што се синус, косинус, тангента и котангента и можеме да преминеме на формули.

Наједноставните формули

Во тригонометријата не можете без формули - како да најдете синус, косинус, тангента, котангента без нив? Но, тоа е токму она што се бара при решавање на проблемите.

Првата формула што треба да ја знаете кога започнувате да ја проучувате тригонометријата вели дека збирот на квадратите на синусот и косинусот на аголот е еднаков на еден. Оваа формулае директна последица на Питагоровата теорема, но заштедува време ако треба да ја знаете големината на аголот, а не на страната.

Многу ученици не можат да се сетат на втората формула, која е исто така многу популарна при решавање училишни задачи: збирот на еден и квадратот на тангентата на аголот е еднаков на еден поделен со квадратот на косинусот на аголот. Погледнете подетално: ова е истата изјава како во првата формула, само двете страни на идентитетот беа поделени со квадратот на косинусот. Излегува дека прави едноставна математичка операција тригонометриска формулацелосно непрепознатлив. Запомнете: знаејќи што се синус, косинус, тангента и котангента, правила за конверзија и неколку основни формулиможете во секое време да го повлечете потребното повеќе сложени формулина парче хартија.

Формули за двојни агли и собирање аргументи

Уште две формули што треба да ги научите се поврзани со вредностите на синус и косинус за збирот и разликата на аглите. Тие се претставени на сликата подолу. Забележете дека во првиот случај, синусот и косинусот се множат и двата пати, а во вториот, се додава парниот производ на синус и косинус.

Исто така, постојат формули поврзани со аргументи во формата двоен агол. Тие се целосно изведени од претходните - како тренинг обидете се сами да ги добиете со преземање на алфа аголот еднаков на аголотбета.

Конечно, забележете дека формулите со двоен агол може да се преуредат за да се намали моќта на синус, косинус, тангентна алфа.

Теореми

Двете главни теореми во основната тригонометрија се синусната теорема и косинусовата теорема. Со помош на овие теореми, можете лесно да разберете како да ги пронајдете синусот, косинусот и тангентата, а со тоа и површината на фигурата и големината на секоја страна итн.

Синусната теорема вели дека со делење на должината на секоја страна на триаголникот со спротивниот агол, добиваме истиот број. Покрај тоа, овој број ќе биде еднаков на два радиуси на ограничената кружница, односно кругот што ги содржи сите точки на даден триаголник.

Теоремата на косинус ја генерализира Питагоровата теорема, проектирајќи ја на кој било триаголник. Излегува дека од збирот на квадратите на двете страни, одземете го нивниот производ помножен со двојниот косинус на соседниот агол - добиената вредност ќе биде еднаква на квадратот на третата страна. Така, Питагоровата теорема се покажува како посебен случај на косинусовата теорема.

Невнимателни грешки

Дури и знаејќи што се синус, косинус и тангента, лесно е да се направи грешка поради отсутност или грешка во наједноставните пресметки. За да избегнеме вакви грешки, да ги погледнеме најпопуларните.

Прво, не треба да ги претворате дропките во децимали додека не го добиете конечниот резултат - можете да го оставите одговорот како заедничка дропка, освен ако поинаку не е наведено во условите. Таквата трансформација не може да се нарече грешка, но треба да се запомни дека во секоја фаза од проблемот може да се појават нови корени, кои, според идејата на авторот, треба да се намалат. Во овој случај, ќе го трошите вашето време на непотребни математички операции. Ова е особено точно за вредности како што се коренот на три или коренот на два, бидејќи тие се наоѓаат во проблеми на секој чекор. Истото важи и за заокружување на „грди“ броеви.

Понатаму, забележете дека косинусовата теорема се применува на кој било триаголник, но не и на Питагоровата теорема! Ако погрешно заборавите да одземе двапати од производот на страните помножен со косинус на аголот меѓу нив, не само што ќе добиете сосема погрешен резултат, туку и ќе покажете целосно недоволно разбирање на темата. Ова е полошо од невнимателна грешка.

Трето, не мешајте ги вредностите за агли од 30 и 60 степени за синуси, косинуси, тангенти, котангенти. Запомнете ги овие вредности, бидејќи синусот е 30 степени еднакво на косинус 60, и обратно. Лесно е да ги збуните, како резултат на што неизбежно ќе добиете погрешен резултат.

Апликација

Многу студенти не брзаат да започнат со изучување на тригонометријата бидејќи не го разбираат нејзиното практично значење. Што е синус, косинус, тангента за инженер или астроном? Ова се концепти благодарение на кои можете да го пресметате растојанието до далечни ѕвезди, предвиди пад на метеорит, испрати истражувачка сонда на друга планета. Без нив, невозможно е да се изгради зграда, да се дизајнира автомобил, да се пресмета оптоварувањето на површината или траекторијата на објектот. И ова се само најмногу очигледни примери! На крајот на краиштата, тригонометријата во една или друга форма се користи насекаде, од музика до медицина.

Конечно

Значи ти си синус, косинус, тангента. Можете да ги користите во пресметките и успешно да ги решавате училишните проблеми.

Целата поента на тригонометријата се сведува на фактот дека користејќи ги познатите параметри на триаголникот треба да ги пресметате непознатите. Вкупно има шест параметри: должина тристрани и големини три агли. Единствената разлика во задачите лежи во тоа што се дадени различни влезни податоци.

Сега знаете како да најдете синус, косинус, тангента врз основа на познатите должини на нозете или хипотенузата. Бидејќи овие поими не значат ништо повеќе од однос, а односот е дропка, главна цел тригонометриски проблеме наоѓање на корените на обична равенка или систем на равенки. И тука ќе ви помогне редовната училишна математика.

Синус и косинус првично произлегоа од потребата да се пресметаат количините во правоаголни триаголници. Забележано е дека ако степенот на мерката на аглите во правоаголен триаголник не се промени, тогаш односот, без разлика колку овие страни се менуваат во должина, секогаш останува ист.

Така се воведени концептите синус и косинус. Синус на остар агол во правоаголен триаголник е односот на спротивната страна со хипотенузата, а косинус е односот на страната соседна на хипотенузата.

Теореми на косинусите и синусите

Но, косинусите и синусите може да се користат за повеќе од правоаголни триаголници. За да се најде вредноста на тап или остар агол или страна на кој било триаголник, доволно е да се примени теоремата за косинуси и синуси.

Теоремата на косинусите е прилично едноставна: „Квадрат на страната на триаголникот еднаков на збиротквадратите на другите две страни минус двапати од производот на овие страни со косинус на аголот меѓу нив.

Постојат две толкувања на синусната теорема: мала и проширена. Според малиот: „Во триаголник аглите се пропорционални спротивставените страни». Оваа теоремачесто се проширува поради својството на ограничениот круг на триаголник: „Во триаголник, аглите се пропорционални на спротивните страни, а нивниот сооднос е еднаков на дијаметарот на ограничениот круг“.

Деривати

Изводот е математичка алатка која покажува колку брзо функцијата се менува во однос на промената на нејзиниот аргумент. Дериватите се користат во геометријата и во голем број технички дисциплини.

Кога решавате проблеми, треба да ги знаете табеларните вредности на дериватите на тригонометриските функции: синус и косинус. Дериватот на синус е косинус, а косинус е синус, но со знак минус.

Примена во математика

Синусите и косинусите особено често се користат при решавање правоаголни триаголници и проблеми поврзани со нив.

Практичноста на синусите и косинусите се рефлектира и во технологијата. Беше лесно да се проценат аглите и страните користејќи ги теоремите на косинусите и синусите, распаѓајќи сложени фигуриа предметите во „едноставни“ триаголници. Инженерите често се занимаваат со пресметки на односот и степен мерки, потроши многу време и напор за да ги пресмета косинусите и синусите на нетабеларните агли.

Тогаш на помош дојдоа табелите Брадис, кои содржат илјадници вредности на синуси, косинуси, тангенти и котангенти. различни агли. ВО советско временекои наставници ги принудувале своите ученици да запаметат страници од табелите на Брадис.

Радијан - аголна величиналакови, должина еднаков на радиусотили 57,295779513° степени.

Степен (по геометрија) - 1/360 дел од круг или 1/90 дел прав агол.

π = 3,141592653589793238462… ( приближна вредностПи броеви).

Косинусна табела за агли: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Агол x (во степени)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Агол x (во радијани)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 x π
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1