Тема на часот: „Хомогени тригонометриски равенки“
(10 одделение)
Цел: воведе концепт на хомогена тригонометриски равенки I и II степени; формулира и разработува алгоритам за решавање на хомогени тригонометриски равенки од I и II степени; да ги научи учениците да решаваат хомогени тригонометриски равенки од I и II степени; развиваат способност за идентификување на обрасци и генерализирање; поттикнуваат интерес за темата, развиваат чувство на солидарност и здрава конкуренција.
Тип на лекција: лекција за формирање на нови знаења.
Форма: работа во групи.
Опрема: компјутер, мултимедијална инсталација
За време на часовите
Време на организирање
Поздравување на студентите, мобилизирање внимание.
На лекцијата рејтинг системоценување на знаењето (наставникот го објаснува системот за оценување на знаењето, пополнувајќи го листот за оценување од независен експерт избран од наставникот од редот на учениците). Лекцијата е придружена со презентација. .
Ажурирање на основните знаења.
Домашната задача се проверува и оценува од независен експерт и консултанти пред часот и се завршува труд за евалуација.
Наставникот ја сумира домашната задача.
Наставник: Продолжуваме да ја проучуваме темата „Тригонометриски равенки“. Денес во лекцијата ќе ве запознаеме со друг вид тригонометриски равенки и методи за нивно решавање и затоа ќе го повториме она што го научивме. При решавање на сите видови тригонометриски равенки, тие се сведуваат на решавање на наједноставните тригонометриски равенки.
Се проверуваат индивидуалните домашни задачи направени во групи. Одбрана на презентацијата „Решенија на наједноставните тригонометриски равенки“
(Работата на групата ја оценува независен експерт)
Мотивација за учење.
Наставник: Имаме работа за да го решиме крстозборот. Откако ќе го решиме, ќе го дознаеме името на нов тип равенки што ќе научиме да ги решаваме денес на час.
Прашањата се проектираат на таблата. Учениците погодуваат, а независен експерт ги внесува оценките на учениците кои одговараат на листот со резултати.
Откако ќе го решат крстозборот, децата ќе го прочитаат зборот „хомогена“.
Асимилација на ново знаење.
Наставник: Темата на часот е „Хомогени тригонометриски равенки“.
Ајде да ја запишеме темата на лекцијата во тетратка. Хомогените тригонометриски равенки се од прв и втор степен.
Ајде да ја запишеме дефиницијата хомогена равенкапрв степен. Прикажувам пример за решавање на овој тип равенки создавате алгоритам за решавање на хомогена тригонометриска равенка од прв степен.
Равенка на формата А sinx + б cosx = 0 се нарекува хомогена тригонометриска равенка од прв степен.
Да го разгледаме решението на равенката кога коефициентите АИ Все разликуваат од 0.
Пример: sinx + cosx = 0
Р 
делејќи ги двете страни на членот на равенката со cosx, добиваме
Внимание! Може да се подели со 0 само ако овој израз никаде не се претвори во 0 Ајде да анализираме. Ако косинусот е еднаков на 0, тогаш синусот исто така ќе биде еднаков на 0, имајќи предвид дека коефициентите се различни од 0, но знаеме дека синусот и косинусот одат на нула во различни точки. Затоа, оваа операција може да се изврши при решавање на овој тип равенки.
Алгоритам за решавање на хомогена тригонометриска равенка од прв степен: делење на двете страни на равенката со cosx, cosx 0
Равенка на формата А sin mx +б cos mx = 0наречена и хомогена тригонометриска равенка од прв степен и исто така да ја реши поделбата на двете страни на равенката со косинусот mx.
Равенка на формата а грев 2 x+б sinx cosx +в cos2x = 0се нарекува хомогена тригонометриска равенка од втор степен.
Пример : грев 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0
Коефициентот a е различен од 0 и затоа, како и претходната равенка, cosx не е еднаков на 0, и затоа можете да го користите методот за делење на двете страни на равенката со cos 2 x.
Добиваме tg 2 x + 2tgx – 3 = 0
Решаваме со воведување на нова променлива нека tgx = a, па ја добиваме равенката
a 2 + 2a – 3 = 0
D = 4 – 4 (–3) = 16
a 1 = 1 a 2 = –3
Назад на замена
Одговор:
Ако коефициентот a = 0, тогаш равенката ќе има форма 2sinx cosx – 3cos2x = 0, го решаваме со методот на одземање заеднички мултипликатор cosx надвор од загради. Ако коефициентот c = 0, тогаш равенката има форма sin2x +2sinx cosx = 0, го решаваме со вадење на заедничкиот фактор sinx од загради. Алгоритам за решавање на хомогена тригонометриска равенка од прв степен:
Погледнете дали равенката го содржи членот asin2 x.
Ако терминот asin2 x е содржан во равенката (т.е. a 0), тогаш равенката се решава со делење на двете страни на равенката со cos2x и потоа воведување на нова променлива.
Ако терминот asin2 x не е содржан во равенката (т.е. a = 0), тогаш равенката се решава со размножување: cosx се вади од загради. На ист начин се решаваат хомогени равенки од формата sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0
Алгоритмот за решавање на хомогени тригонометриски равенки е напишан во учебникот на страна 102.
Минута за физичко образование
Формирање вештини за решавање на хомогени тригонометриски равенки
Отворање проблематични книги страница 53
1-ва и 2-ра група одлучуваат бр.361-в
3-та и 4-та група одлучуваат бр.363-в
Покажете го решението на табла, објаснете, дополнете. Независен експерт оценува.
Решавање примери од проблематиката бр.361-в
sinx – 3cosx = 0
ги делиме двете страни на равенката со cosx 0, добиваме 
бр.363-в
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
поделете ги двете страни на равенката со cos2x, добиваме tg2x + tanx – 2 = 0
решаваат со воведување нова променлива
нека tgx = a, тогаш ја добиваме равенката
a2 + a – 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
назад на замена
Самостојна работа.
Решете ги равенките.
2 cosx – 2 = 0
2cos2x – 3cosx +1 = 0
3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0
По завршувањето самостојна работапромена на работните места и меѓусебна проверка. Точните одговори се проектираат на табла.
Потоа го предаваат на независен експерт.
Направете го тоа сами решение
Сумирајќи ја лекцијата.
За каков тип на тригонометриски равенки научивме на часот?
Алгоритам за решавање на тригонометриски равенки од прв и втор степен.
Домашна работа: § 20.3 прочитано. Бр. 361 (г), 363 (б), зголемена тешкотијадополнително бр. 380 (а).
Крстозбор.
Ако влезете вистински зборови, тогаш го добивате името на еден од видовите тригонометриски равенки.
Вредноста на променливата што ја претвора равенката во вистинска еднаквост? (корен)
Мерна единица за агли? (Радијан)
Нумерички фактор во производ? (коефициент)
Студира гранка по математика тригонометриски функции? (Тригонометрија)
Кои математички моделнеопходни за воведување тригонометриски функции? (Заокружи)
Која тригонометриска функција е парна? (косинус)
Како се нарекува вистинска еднаквост? (Идентитет)
Еднаквост со променлива? (Равенката)
Равенки кои имаат идентични корени? (еквивалент)
Збир на корени на равенка ? (Решение)
Хартија за евалуација
№
n\n
Презиме, име на наставникот
Презентација
Решавање равенки
Независен
Работа
Домашна задача – 12 поени (за домашна задача беа доделени 3 равенки 4 x 3 = 12)
Презентација – 1 поен
Активност на учениците – 1 одговор – 1 поен (максимум 4 поени)
Решавање равенки 1 поен
Самостојна работа – 4 поени
Групна оценка:
„5“ – 22 поени или повеќе
„4“ – 18 – 21 поени
„3“ – 12 – 17 поени
Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.
Собирање и користење на лични информации
Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.
Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.
Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.
Кои лични податоци ги собираме:
- Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса Е-поштаитн.
Како ги користиме вашите лични податоци:
- Собрани од нас лични податоцини овозможува да ве контактираме и да ве информираме за уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
- Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
- Може да користиме и лични информации за внатрешни цели како што се ревизија, анализа на податоци и различни студиисо цел да ги подобриме услугите што ги нудиме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
- Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.
Откривање на информации на трети страни
Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.
Исклучоци:
- Доколку е потребно, во согласност со закон, судска постапка, В судење, и/или врз основа на јавни барања или барања од владини агенциина територијата на Руската Федерација - обелоденете ги вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
- Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.
Заштита на лични информации
Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.
Почитување на вашата приватност на ниво на компанија
За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.
Последен детал, како да се решат задачите Ц1 од Единствениот државен испит по математика - решавање на хомогени тригонометриски равенки.Ние ќе ви кажеме како да ги решите во оваа последна лекција.
Кои се овие равенки? Ајде да ги запишеме општ поглед.
$$a\sin x + b\cos x = 0,$$
каде што `a` и `b` се некои константи. Оваа равенка се нарекува хомогена тригонометриска равенка од прв степен.
Хомогена тригонометриска равенка од прв степен
За да решите таква равенка, треба да ја поделите со `\cos x`. Потоа ќе ја добие формата
$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))) a \tg x + b = 0.$$
Одговорот на таквата равенка лесно се пишува со помош на арктангенсот.
Забележете дека `\cos x ≠0`. За да го потврдиме ова, заменуваме нула наместо косинус во равенката и откриваме дека синусот исто така треба да биде еднаква на нула. Сепак, тие не можат да бидат еднакви на нула во исто време, што значи дека косинусот не е нула.
Некои од прашањата на овогодинешниот вистински испит вклучуваа хомогена тригонометриска равенка. Следете ја врската до. Ќе земеме малку поедноставена верзија на проблемот.
Прв пример. Решение на хомогена тригонометриска равенка од прв степен
$$\sin x + \cos x = 0.$$
Поделете со `\cos x`.
$$\tg x + 1 = 0,$$
$$x = -\frac(\pi)(4)+\pi k.$$
Повторувам, слична задача беше и на Единствениот државен испит :), се разбира, сè уште треба да ги изберете корените, но ова исто така не треба да предизвика никакви посебни тешкотии.
Ајде сега да продолжиме на следниот типравенки.
Хомогена тригонометриска равенка од втор степен
Во принцип, изгледа вака:
$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$
каде што `a, b, c` се некои константи.
Ваквите равенки се решаваат со делење со `\cos^2 x` (што повторно не е нула). Ајде да погледнеме пример веднаш.
Втор пример. Решение на хомогена тригонометриска равенка од втор степен
$$\sin^2 x - 2\sin x \, \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$
Поделете со `\cos^2 x`.
$$(\tg)^2 x - 2\tg x -3 =0.$$
Да го замениме `t = \tg x`.
$$t^2 - 2t -3 = 0,$$
$$t_1 = 3,\t_2 = -1.$$
Обратна замена
$$\tg x = 3, \text(или ) \tg x = -1,$$
$$x = \arctan(3)+\pi k, \text(или ) x= -\frac(\pi)(4)+ \pi k.$$
Одговорот е добиен.
Трет пример. Решение на хомогена тригонометриска равенка од втор степен
$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$
Сè би било добро, но оваа равенка не е хомогена - `-2` на десната страна ни пречи. Што да се прави? Ајде да го искористиме основниот тригонометриски идентитет и да напишеме `-2` користејќи го.
$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x ), $$
$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0, $ $
$$\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$
Поделете со `\cos^2 x`.
$$(\tg)^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3) \tg x - 1 = 0,$$
Замена `t= \tg x`.
$$t^2 + \frac(2\sqrt(2))(3) t - 1 = 0,$$
$$t_1 = \frac(\sqrt(3))(3),\ t_2 = -\sqrt(3).$$
По извршувањето на обратната замена, добиваме:
$$\tg x = \frac(\sqrt(3))(3) \text(или ) \tg x = -\sqrt(3).$$
$$x =-\frac(\pi)(3) + \pi k,\ x = \frac(\pi)(6)+ \pi k.$$
Ова последен примерво оваа лекција.
Како и обично, да ве потсетам: тренинзите ни се сè. Без разлика колку е брилијантен човек, вештините нема да се развијат без обука. За време на испитот, ова е полн со вознемиреност, грешки и губење време (продолжете со оваа листа сами). Бидете сигурни да учите!
Задачи за обука
Решете ги равенките:
- `10^(\sin x) = 2^(\sin x) \cdot 5^(-\cos x)`. Оваа задача е од вистински обединет државен испит 2013. Никој не го откажал знаењето за својствата на степените, но ако сте заборавиле, погледнете;
- `\sqrt(3) \sin x + \sin^2 \frac(x)(2) = \cos^2 \frac(x)(2)`. Ќе ни се најде формулата од седмата лекција.
- `\sqrt(3) \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`.
Тоа е се. И како и обично, конечно: поставувајте прашања во коментарите, лајкнете, гледајте видеа, научете како да го решите обединетиот државен испит.
Нелинеарни равенки со две непознати
Дефиниција 1. Нека биде А збир од парови броеви (x; y) . Велат дека е дадено множеството А нумеричка функција z од две променливи x и y , ако е наведено правило со чија помош секој пар броеви од множеството А се поврзува со одреден број.
Вежбајте нумеричка функција z од две променливи x и y често означуваатЗначи:
Каде ѓ (x , y) – која било функција освен функција
ѓ (x , y) = секира+од+в ,
каде што a, b, c - дадени бројки.
Дефиниција 3. Решавање на равенката (2)повикајте пар броеви ( x; y), за која формулата (2) е вистинска еднаквост.
Пример 1. Решете ја равенката
Бидејќи квадратот на кој било број е ненегативен, од формулата (4) произлегува дека непознатите x и y го задоволуваат системот на равенки
чие решение е пар броеви (6; 3).
Одговор: (6; 3)
Пример 2. Решете ја равенката
Според тоа, решението на равенката (6) е бесконечно множествопарови на броевиљубезен
(1 + y ; y) ,
каде y е кој било број.
линеарна
Дефиниција 4. Решавање на систем од равенки
повикајте пар броеви ( x; y) , при нивна замена во секоја од равенките на овој систем се добива точната еднаквост.
Системите од две равенки, од кои едната е линеарна, имаат форма
е(x , y)
Пример 4. Решава систем на равенки
Решение . Да ја изразиме непознатата y од првата равенка на системот (7) преку непознатата x и да го замениме добиениот израз во втората равенка на системот:
Решавање на равенката
x 1 = - 1 , x 2 = 9 .
Оттука,
y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .
Системи од две равенки, од кои едната е хомогена
Системите од две равенки, од кои едната е хомогена, имаат форма
каде a, b, c се дадени броеви, и е(x , y) – функција на две променливи x и y.
Пример 6. Решава систем на равенки
Решение . Да ја решиме хомогената равенка
3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,
3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,
третирајќи го како квадратна равенка во однос на непознатото x:
.
Во случај x = - 5y, од втората равенка на системот (11) ја добиваме равенката
5y 2 = - 20 ,
која нема корени.
Во случај
од втората равенка на системот (11) ја добиваме равенката
,
чии корени се броеви y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Наоѓајќи ја за секоја од овие вредности y соодветната вредност x, добиваме две решенија за системот: (- 2 ; 3), (2 ; - 3) .
Одговор: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)
Примери за решавање системи на равенки од други видови
Пример 8. Решавање на систем на равенки (MIPT)
Решение . Да воведеме нови непознати u и v, кои се изразуваат преку x и y според формулите:
За да го преработиме системот (12) во однос на нови непознати, прво ги изразуваме непознатите x и y во однос на u и v. Од системот (13) произлегува дека
Да го решиме линеарниот систем (14) со елиминирање на променливата x од втората равенка на овој систем. За таа цел, ги извршуваме следните трансформации на системот (14):
- Првата равенка на системот ќе ја оставиме непроменета;
- од втората равенка ја одземаме првата равенка и втората равенка на системот ја заменуваме со добиената разлика.
Како резултат на тоа, системот (14) се трансформира во еквивалентен систем
од кои наоѓаме
Користејќи ги формулите (13) и (15), го препишуваме оригиналниот систем (12) во форма
Првата равенка на системот (16) е линеарна, така што од неа можеме да ја изразиме непознатата u преку непознатата v и да го замениме овој израз во втората равенка на системот.
Денес ќе ги проучуваме хомогените тригонометриски равенки. Прво, да ја погледнеме терминологијата: што е хомогена тригонометриска равенка. Ги има следните карактеристики:
- мора да содржи неколку термини;
- сите термини мора да имаат ист степен;
- сите функции вклучени во хомоген тригонометриски идентитет мора нужно да го имаат истиот аргумент.
Алгоритам за решение
Ајде да ги избереме условите
И ако сè е јасно со првата точка, тогаш вреди да се зборува за втората подетално. Што значи истиот степенуслови? Да го погледнеме првиот проблем:
3cosx+5sinx=0
3\cos x+5\sin x=0
Првиот член во оваа равенка е 3cosx 3\cos x. Ве молиме имајте предвид дека тука има само една тригонометриска функција - cosx\cos x - и тука не се присутни други тригонометриски функции, така што степенот на овој член е 1. Истото и со вториот - 5 синкс 5\sin x - овде е присутен само синус, односно степенот на овој член е исто така еднаков на еден. Значи, пред нас имаме идентитет кој се состои од два елементи, од кои секој содржи тригонометриска функција и само еден. Ова е равенка од прв степен.
Да преминеме на вториот израз:
4грев2 x+sin2x−3=0
4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0
Првиот член на оваа конструкција е 4грев2 x 4((\sin )^(2))x.
Сега можеме да го напишеме следново решение:
грев2 x=sinx⋅sinx
((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x
Со други зборови, првиот член содржи две тригонометриски функции, односно неговиот степен е два. Ајде да се справиме со вториот елемент - sin2x\ грев 2x. Да се потсетиме на оваа формула - формулата двоен агол:
sin2x=2sinx⋅cosx
\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x
И повторно, во добиената формула имаме две тригонометриски функции - синус и косинус. Така, вредноста на моќноста на овој конструктивен термин е исто така еднаква на два.
Да преминеме на третиот елемент - 3. Од курсот по математика средно школоСе сеќаваме дека секој број може да се помножи со 1, па затоа го запишуваме:
˜ 3=3⋅1
Единица што ја користи главната тригонометриски идентитетможе да се напише во следнава форма:
1=грев2 x⋅ cos2 x
1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos)^(2))x
Затоа, можеме да го преработиме 3 на следниов начин:
3=3(грев2 x⋅ cos2 x)=3грев2 x+3 cos2 x
3=3\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos)^(2))x \десно)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x
Така, нашиот термин 3 е поделен на два елементи, од кои секој е хомоген и има втор степен. Синус во првиот член се јавува двапати, косинусот во вториот исто така се појавува двапати. Така, 3 може да се претстави и како член со моќен експонент два.
Истото со третиот израз:
грев3 x+ грев2 xcosx=2 cos3 x
Ајде да погледнеме. Првиот термин е грев3 x((\sin )^(3))x е тригонометриска функција од трет степен. Втор елемент - грев2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.
грев2 ((\sin )^(2)) е врска со вредност на моќност два помножена со cosx\cos x е првиот член. Севкупно, третиот член исто така има вредност на моќност од три. Конечно, десно има уште една врска - 2cos3 x 2((\cos )^(3))x е елемент од трет степен. Така, пред нас имаме хомогена тригонометриска равенка од трет степен.
Имаме запишано три идентитети различни степени. Обрнете внимание повторно на вториот израз. Во оригиналниот запис, еден од членовите има расправија 2x 2x. Ние сме принудени да се ослободиме од овој аргумент со негово трансформирање користејќи ја синусната формула со двоен агол, бидејќи сите функции вклучени во нашиот идентитет нужно мора да го имаат истиот аргумент. И ова е услов за хомогени тригонометриски равенки.
Ја користиме формулата на главниот тригонометриски идентитет и го запишуваме конечното решение
Ги средивме условите, одиме на решението. Без оглед на експонентот на моќност, решавањето на еднаквостите од овој тип секогаш се изведува во два чекори:
1) докажете го тоа
cosx≠0
\cos x\ne 0. За да го направите ова, доволно е да се потсетиме на формулата на главниот тригонометриски идентитет (грев2 x⋅ cos2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos)^(2))x=1 \десно) и заменете го во оваа формула cosx=0\cos x=0. Ќе го добиеме следниот израз:
грев2 x=1sinx=±1
\почеток(порамни)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\крај (порамни)
Заменувајќи ги добиените вредности, т.е. наместо cosx\cos x е нула, и наместо тоа синкс\sin x - 1 или -1, во оригиналниот израз, ќе погрешиме нумеричка еднаквост. Ова е оправдувањето што
cosx≠0
2) вториот чекор логично следи од првиот. Затоа што
cosx≠0
\cos x\ne 0, ги делиме двете страни на структурата со cosn x((\cos )^(n))x, каде n n - тоа е тоа моќен експонентхомогена тригонометриска равенка. Што ни дава ова:
\[\почеток(низа)(·(35)(l))
синксcosx=tgxcosxcosx=1
\почеток(порамни)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\крај (порамни) \\() \\ \крај (низа)\]
Благодарение на ова, нашата гломазна почетна конструкција е сведена на равенката n n-степен во однос на тангента, чие решение може лесно да се запише со помош на промена на променлива. Тоа е целиот алгоритам. Ајде да видиме како тоа функционира во пракса.
Ги решаваме вистинските проблеми
Задача бр. 1
3cosx+5sinx=0
3\cos x+5\sin x=0
Веќе дознавме дека ова е хомогена тригонометриска равенка со моќен експонент еднаков на еден. Затоа, пред сè, да го дознаеме тоа cosx≠0\cos x\ne 0. Да го претпоставиме спротивното, тоа
cosx=0→sinx=±1
\cos x=0\to \sin x=\pm 1.
Добиената вредност ја заменуваме во нашиот израз, добиваме:
3⋅0+5⋅(±1) =0±5=0
\почеток(порамни)& 3\cточка 0+5\cdot \лево(\pm 1 \десно)=0 \\& \pm 5=0 \\\крај (порамни)
Врз основа на ова можеме да кажеме дека cosx≠0\cos x\ne 0. Поделете ја нашата равенка со cosx\cos x, бидејќи целиот наш израз има вредност на моќност, еднакво на еден. Добиваме:
3(cosxcosx) +5(синксcosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5
\почеток(порамни)& 3\лево(\frac(\cos x)(\cos x) \десно)+5\лево(\frac(\sin x)(\cos x) \десно)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\end (порамни)
Ова не е вредност на табелата, така што одговорот ќе вклучува arctgx arctgx:
x=arctg (−3 5 ) + π n,n∈Z
x=arctg\left(-\frac(3)(5) \десно)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z
Затоа што arctg arctg arctg е непарна функција, можеме да го извадиме „минусот“ од аргументот и да го ставиме пред arctg. Го добиваме конечниот одговор:
x=−arctg 3 5 + π n,n∈Z
x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text()n,n\in Z
Задача бр. 2
4грев2 x+sin2x−3=0
4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0
Како што се сеќавате, пред да започнете да го решавате, треба да извршите некои трансформации. Ние ги извршуваме трансформациите:
4грев2 x+2sinxcosx−3 (грев2 x+ cos2 x)=0 4грев2 x+2sinxcosx−3 грев2 x−3 cos2 x=0грев2 x+2sinxcosx−3 cos2 x=0
\почеток(порамни)& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos)^(2 ))x \десно)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos)^(2)x=0 \\\крај (порамни)
Добивме структура составена од три елементи. Во првиот мандат гледаме грев2 ((\sin )^(2)), односно неговата вредност на моќноста е два. Во вториот мандат гледаме синкс\sin x и cosx\cos x - повторно има две функции, тие се множат, па вкупниот степен е повторно два. Во третата врска гледаме cos2 x((\cos )^(2))x - слично на првата вредност.
Да го докажеме тоа cosx=0\cos x=0 не е решение за оваа конструкција. За да го направите ова, да го претпоставиме спротивното:
\[\почеток(низа)(·(35)(l))
\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \десно)\cточка 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\крај (низа)\]
Тоа го докажавме cosx=0\cos x=0 не може да биде решение. Да преминеме на вториот чекор - поделете го целиот наш израз со cos2 x((\cos )^(2))x. Зошто квадрат? Бидејќи моќниот експонент на оваа хомогена равенка е еднаков на два:
грев2 xcos2 x+2sinxcosxcos2 x−3=0 т е2 x+2tgx−3=0
\почеток(порамни)& \frac(((\sin )^(2))x)((\cos)^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\крај (порамни)
Дали е можно да се одлучи овој изразкористење на дискриминатор? Секако дека можеш. Но, јас предлагам да се потсетиме на теоремата што е обратна на теоремата на Виета, и го добиваме тоа даден полиномДа го претставиме во форма на два едноставни полиноми, имено:
(tgx+3) (tgx−1) =0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + π k,k∈Z
\почеток(порамни)& \лево(tgx+3 \десно)\лево(tgx-1 \десно)=0 \\& tgx=-3\до x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ текст( )\!\!\pi\!\!\текст( )k,k\во Z \\\крај (порамни)
Многу студенти прашуваат дали вреди да се пишуваат посебни коефициенти за секоја група решенија на идентитети или да не се мачат и секаде да се пишуваат истите. Лично, мислам дека е подобро и посигурно да се користи различни буквитака што во случај да влезете во сериозна технички универзитетСо дополнителни тестовипо математика, испитувачите не нашле мана во одговорот.
Задача бр.3
грев3 x+ грев2 xcosx=2 cos3 x
((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos)^(3))x
Веќе знаеме дека ова е хомогена тригонометриска равенка од трет степен, не се потребни посебни формули, а се што се бара од нас е да го поместиме поимот 2cos3 x 2((\cos)^(3))x лево. Ајде да препишеме:
грев3 x+ грев2 xcosx−2 cos3 x=0
((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos)^(3))x=0
Гледаме дека секој елемент содржи три тригонометриски функции, така што оваа равенка има вредност на моќност од три. Ајде да го решиме. Пред се, тоа треба да го докажеме cosx=0\cos x=0 не е корен:
\[\почеток(низа)(·(35)(l))
\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\крај (низа)\]
Ајде да ги замениме овие бројки во нашата оригинална конструкција:
(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0
\почеток(порамни)& ((\лево(\pm 1 \десно))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\крај (порамни)
Оттука, cosx=0\cos x=0 не е решение. Тоа го докажавме cosx≠0\cos x\ne 0. Сега кога го докажавме ова, ајде да ја поделиме нашата оригинална равенка со cos3 x((\cos )^(3))x. Зошто во коцка? Затоа што штотуку докажавме дека нашата оригинална равенка ја има третата сила:
грев3 xcos3 x+грев2 xcosxcos3 x−2=0 т е3 x+t е2 x−2=0
\почеток(порамни)& \frac(((\sin )^(3))x)((\cos)^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)(((\cos)^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\крај (порамни)
Ајде да воведеме нова променлива:
tgx=t
Ајде да ја преработиме конструкцијата:
т3 +т2 −2=0
((t)^(3))+((t)^(2))-2=0
Пред нас кубна равенка. Како да се реши? Првично, кога само го составував ова видео туторијал, планирав прво да зборувам за факторинг полиноми и други техники. Но во во овој случајсè е многу поедноставно. Види, нашиот идентитет даден, со терминот со во најголема мератрошоци 1. Покрај тоа, сите коефициенти се цели броеви. Ова значи дека можеме да користиме заклучок од теоремата на Безут, која вели дека сите корени се делители на бројот -2, односно слободниот член.
Се поставува прашањето: со што се дели -2? Бидејќи 2 е прост број, нема многу опции. Тоа може да биде следните броеви: 1; 2; -1; -2. Негативни корениисчезнуваат веднаш. Зошто? Затоа што и двете се поголеми од 0 во апсолутна вредност, затоа т3 ((t)^(3)) ќе биде поголем во модул од т2 ((t)^(2)). И бидејќи коцката е непарна функција, затоа бројот во коцката ќе биде негативен, и т2 ((t)^(2)) - позитивно, а целата оваа конструкција, со t=−1 t=-1 и t=−2 t=-2, нема да биде повеќе од 0. Одземете -2 од него и добијте број кој е секако помал од 0. Остануваат само 1 и 2.
˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0
˜t=1\to \text()1+1-2=0\до 0=0
Ја добивме точната нумеричка еднаквост. Оттука, t=1 t=1 е коренот.
t=2→8+4−2=0→10≠0
t=2\до 8+4-2=0\до 10\не 0
t=2 t=2 не е корен.
Според заклучокот и истата Безутова теорема, секој полином чиј корен е x0 ((x)_(0)), претставувај го во форма:
Q(x)=(x= x0 ) P(x)
Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)
Во нашиот случај, во улогата x x е променлива тт, и во улогата x0 ((x)_(0)) е корен еднаков на 1. Добиваме:
т3 +т2 −2=(t−1)⋅P(t)
((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cточка P(t)
Како да се најде полином П (т) P\лево(t\десно)? Очигледно, треба да го направите следново:
P(t)= т3 +т2 −2 t−1
P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)
Ајде да замениме:
т3 +т2 +0⋅t−2t−1=т2 +2t+2
\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2
Значи, нашиот оригинален полином е поделен без остаток. Така, можеме да ја преработиме нашата оригинална еднаквост како:
(t−1)( т2 +2t+2)=0
(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0
Производот е нула кога барем еден од факторите е нула. Веќе го разгледавме првиот множител. Ајде да го погледнеме вториот:
т2 +2t+2=0
((t)^(2))+2t+2=0
Искусните студенти веројатно веќе сфатиле дека оваа конструкција нема корени, но сепак да ја пресметаме дискриминаторната.
D=4−4⋅2=4−8=−4
D=4-4\cdot 2=4-8=-4
Дискриминаторот е помал од 0, затоа изразот нема корени. Севкупно, огромната конструкција беше сведена на вообичаената еднаквост:
\[\почеток(низа)(·(35)(l))
t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\во Z \\\end(низа)\]
Како заклучок, би сакал да додадам неколку коментари за последната задача:
- дали условот секогаш ќе биде задоволен? cosx≠0\cos x\ne 0, и дали воопшто вреди да се изврши оваа проверка? Се разбира, не секогаш. Во случаи кога cosx=0\cos x=0 е решение за нашата еднаквост, треба да го извадиме од загради, а потоа целосно хомогена равенка ќе остане во загради.
- Што е делење на полином со полином. Навистина, повеќето училишта не го учат ова, и кога учениците ќе видат таков дизајн за прв пат, тие доживуваат благ шок. Но, всушност, ова е едноставна и убава техника која многу го олеснува решавањето на равенките повисоки степени. Секако, на него ќе биде посветен и посебен видео туторијал, кој ќе го објавам во блиска иднина.
Клучните точки
Хомогените тригонометриски равенки се омилена тема на сите видови тестови. Тие можат да се решат многу едноставно - само вежбајте еднаш. За да биде јасно за што зборуваме, да воведеме нова дефиниција.
Хомогена тригонометриска равенка е онаа во која секој член кој не е нула се состои од ист број тригонометриски фактори. Овие можат да бидат синуси, косинуси или нивни комбинации - методот на решение е секогаш ист.
Степенот на хомогена тригонометриска равенка е бројот на тригонометриски фактори вклучени во не-нула членови.
sinx+15 cos x=0
\sin x+15\text( cos )x=0 - идентитет на 1 степен;
2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0
2\text( sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - 2 степен;
sin3x+2sinxcos2x=0
\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - 3 степен;
sinx+cosx=1
\sin x+\cos x=1 - и оваа равенка не е хомогена, бидејќи има единица од десната страна - член кој не е нула во кој нема тригонометриски фактори;
sin2x+2sinx−3=0
\sin 2x+2\sin x-3=0 - исто така нехомогена равенка. Елемент sin2x\sin 2x е од втор степен (бидејќи може да се претстави
sin2x=2sinxcosx
\sin 2x=2\sin x\cos x), 2синкс 2\sin x е првиот, а терминот 3 е генерално нула, бидејќи во него нема синуси или косинуси.
Општа шема за решение
Шемата за решение е секогаш иста:
Ајде да се преправаме дека cosx=0\cos x=0. Потоа sinx=±1\sin x=\pm 1 - ова произлегува од главниот идентитет. Ајде да замениме синкс\sin x и cosx\cos x во оригиналниот израз, и ако резултатот е бесмислен (на пример, изразот 5=0 5=0), оди на втората точка;
Сè делиме со моќноста на косинусот: cosx, cos2x, cos3x... - зависи од вредноста на моќноста на равенката. Ја добиваме вообичаената еднаквост со тангенти, која може безбедно да се реши по замена на tgx=t.
tgx=tПронајдените корени ќе бидат одговор на оригиналниот израз.