Функцијата за моќност се нарекува функција од формата y=x n (се чита како y е еднакво на x на моќноста на n), каде што n е даден број. Посебни случаи на функции на моќност се функции од формата y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/x и многу други. Ајде да ви кажеме повеќе за секој од нив.
Линеарна функција y=x 1 (y=x)
Графикот е права линија што минува низ точката (0;0) под агол од 45 степени во однос на позитивната насока на оската Ox.
Графикот е претставен подолу.
Основни својства на линеарна функција:
- Функцијата се зголемува и се дефинира на целата нумеричка права.
- Нема максимални или минимални вредности.
Квадратна функција y=x 2
Графикот на квадратна функција е парабола.
Основни својства на квадратна функција:
- 1. На x =0, y=0 и y>0 на x0
- 2. Квадратната функција ја достигнува својата минимална вредност на своето теме. Ymin на x=0; Исто така, треба да се забележи дека функцијата нема максимална вредност.
- 3. Функцијата се намалува на интервалот (-∞;0] и се зголемува на интервалот \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]
Графикон (сл. 2).
Слика 2. График на функцијата $f\left(x\right)=x^(2n)$
Својства на функција на моќност со природен непарен експонент
Доменот на дефиниција се сите реални броеви.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- функцијата е непарна.
$f(x)$ е континуиран во целиот домен на дефиниција.
Опсегот е сите реални броеви.
$f"\лево(x\десно)=\лево(x^(2n-1)\десно)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
Функцијата се зголемува во целиот домен на дефиниција.
$f\left(x\десно)0$, за $x\in (0,+\infty)$.
$f (""\лево(x\десно))=(\лево(\лево(2n-1\десно)\cdot x^(2\лево(n-1\десно))\десно)"=2 \лево(2n-1\десно)(n-1)\cточка x^(2n-3)$
\ \
Функцијата е конкавна за $x\in (-\infty ,0)$ и конвексна за $x\in (0,+\infty)$.
Графикон (сл. 3).
Слика 3. График на функцијата $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
Функција на моќност со цел број експонент
Прво, да го воведеме концептот на степен со цел број експонент.
Дефиниција 3
Моќта на реален број $a$ со целоброен експонент $n$ се одредува со формулата:
Слика 4.
Сега да разгледаме функција на моќност со цел број експонент, нејзините својства и графикон.
Дефиниција 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ се нарекува функција на моќност со цел број експонент.
Ако степенот е поголем од нула, тогаш доаѓаме до случај на функција на моќност со природен експонент. Веќе разговаравме погоре. За $n=0$ добиваме линеарна функција $y=1$. Неговото разгледување ќе го оставиме на читателот. Останува да се разгледаат својствата на функцијата на моќност со негативен цел број експонент
Својства на функцијата моќност со негативен цел број експонент
Доменот на дефиниција е $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Ако експонентот е парен, тогаш функцијата е парна, ако е непарна, тогаш функцијата е непарна.
$f(x)$ е континуиран во целиот домен на дефиниција.
Опсег:
Ако експонентот е парен, тогаш $(0,+\infty)$; ако е непарен, тогаш $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
За непарен експонент, функцијата се намалува како $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Ако експонентот е парен, функцијата се намалува како $x\in (0,+\infty)$. и се зголемува како $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ во целиот домен на дефиниција
Да се потсетиме на својствата и графиконите на функциите на моќност со негативен цел број експонент.
За дури n,:
Пример функција:
Сите графикони на таквите функции минуваат низ две фиксни точки: (1;1), (-1;1). Особеноста на функциите од овој тип е нивната паритет; графиконите се симетрични во однос на оската на оп-засилувач.
Ориз. 1. График на функција
За непарни n,:
Пример функција:
Сите графикони на таквите функции минуваат низ две фиксни точки: (1;1), (-1;-1). Особеноста на функциите од овој тип е тоа што тие се непарни, графиконите се симетрични во однос на потеклото.
Ориз. 2. График на функција
Да се потсетиме на основната дефиниција.
Моќта на ненегативен број a со рационален позитивен експонент се нарекува број.
Моќта на позитивен број a со рационален негативен експонент се нарекува број.
За еднаквост:
На пример:
; - изразот не постои, по дефиниција, за степен со негативен рационален експонент; постои затоа што експонентот е цел број, 
Ајде да продолжиме со разгледување на функциите на моќност со рационален негативен експонент.
На пример:
За да нацртате график на оваа функција, можете да креирате табела. Ќе го направиме тоа поинаку: прво ќе го изградиме и проучуваме графикот на именителот - ни е познат (Слика 3).
Ориз. 3. График на функција
Графикот на функцијата именител поминува низ фиксна точка (1;1). При исцртување на графикот на оригиналната функција, оваа точка останува, додека коренот исто така се стреми кон нула, функцијата се стреми кон бесконечност. И, обратно, како што x се стреми кон бесконечност, функцијата се стреми кон нула (Слика 4).
Ориз. 4. График на функции
Да разгледаме уште една функција од семејството на функции што се проучуваат.
Важно е дека по дефиниција
Да го разгледаме графикот на функцијата во именителот: , графикот на оваа функција ни е познат, тој се зголемува во својот домен на дефиниција и поминува низ точката (1;1) (слика 5).
Ориз. 5. График на функција
При исцртување на графикот на првобитната функција, точката (1;1) останува, додека коренот исто така се стреми кон нула, функцијата се стреми кон бесконечност. И, обратно, како што x се стреми кон бесконечност, функцијата се стреми кон нула (Слика 6).
Ориз. 6. График на функција
Разгледаните примери помагаат да се разбере како тече графикот и кои се својствата на функцијата што се проучува - функција со негативен рационален експонент.
Графиците на функциите на оваа фамилија минуваат низ точката (1;1), функцијата се намалува низ целиот домен на дефиниција.
Опсег на функција:
Функцијата не е ограничена одозгора, туку е ограничена одоздола. Функцијата нема ниту најголема ниту најмала вредност.
Функцијата е континуирана и ги зема сите позитивни вредности од нула до плус бесконечност.
Функцијата е конвексна надолу (Слика 15.7)
Точките А и Б се земаат на кривата, низ нив се повлекува отсечка, целата крива е под отсечката, овој услов е задоволен за произволни две точки на кривата, затоа функцијата е конвексна надолу. Ориз. 7.
Ориз. 7. Конвексност на функцијата
Важно е да се разбере дека функциите на ова семејство се ограничени одоздола со нула, но немаат најмала вредност.
Пример 1 - најдете максимум и минимум на функција на интервалот)