Формули за степенсе користи во процесот на намалување и поедноставување сложени изрази, при решавање равенки и неравенки.
Број ве n-та моќ на број аКога:
Операции со степени.
1. Множење на моќи на в истата основанивните индикатори се собираат:
м·a n = a m + n .
2. При делење на степени со иста основа, нивните експоненти се одземаат:
3. Степенот на производот од 2 или повеќе фактори е еднаков на производот од степените на овие фактори:
(abc…) n = a n · b n · c n…
4. Степенот на дропка е еднаков на односот на степените на дивидендата и делителот:
(a/b) n = a n /b n .
5. Подигнувајќи ја моќноста на моќност, експонентите се множат:
(a m) n = a m n .
Секоја формула погоре е точна во насоките од лево кон десно и обратно.
На пример. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Операции со корени.
1. Коренот на производот од неколку фактори е еднаков на производот од корените на овие фактори:
2. Корен на ставот еднаков на односотдивиденда и делител на корените:
3. Кога се подига коренот до моќ, доволно е да се подигне радикалниот број на оваа моќност:
4. Ако го зголемите степенот на коренот во nеднаш и во исто време се изгради во nта моќ е радикален број, тогаш вредноста на коренот нема да се промени:
5. Ако го намалите степенот на коренот во nизвлечете го коренот во исто време n-та моќ на радикален број, тогаш вредноста на коренот нема да се промени:
Степен со негативен експонент.Моќта на одреден број со непозитивен (целоброј) експонент се дефинира како еден поделен со моќноста на истиот број со експонент еднаков на абсолутна вредностнепозитивен индикатор:
Формула м:a n =a m - nможе да се користи не само за м> n, но и со м< n.
На пример. а4:а 7 = а 4 - 7 = а -3.
До формула м:a n =a m - nстана фер кога m=n, потребно е присуство на нула степен.
Степен со нулта индекс.Моќта на кој било број, не еднаква на нула, со нулта експонент еднаков на еден.
На пример. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Степен со дробен експонент.Да се подигне реален број Адо степен m/n, треба да го извлечете коренот nти степен на м-та моќ на овој број А.
1. Коренот на моќта на производот не е негативни броеви еднаков на производоткорени од ист степен од фактори: каде (правилото за вадење корен од производ).
2. Ако , тогаш y (правило за извлекување на коренот на дропка).
3. Ако тогаш (правилото за вадење корен од корен).
4. Ако тогаш правилото за подигање на коренот на моќ).
5. Ако тогаш каде, т.е., експонентот на коренот и експонентот на радикалниот израз може да се помножат со ист број.
6. Ако тогаш 0, т.е. одговара на поголем позитивен радикален израз и повисока вредносткорен
7. Сите горенаведени формули често се користат во обратен редослед(т.е. од десно кон лево). На пример,
(правило на множење на корените);
(правило за поделба на коренот);
8. Правилото за отстранување на множителот од под знакот на коренот. На
9. Инверзен проблем- внесување множител под знакот на коренот. На пример,
10. Отстранување на ирационалноста во именителот на дропка.
Ајде да погледнеме неколку типични случаи.
На пример,
11. Примена на скратени идентитети за множење на операции со аритметички корени:
12. Факторот пред коренот се нарекува негов коефициент. На пример, овде 3 е коефициентот.
13. Корените (радикалите) се нарекуваат слични ако имаат исти коренски индекси и исти радикални изрази, а се разликуваат само по коефициентот. За да процените дали овие корени (радикали) се слични или не, треба да ги сведете на нивната наједноставна форма.
На пример, и се слични, бидејќи
ВЕЖБИ СО РЕШЕНИЈА
1. Поедноставете ги изразите:
Решение. 1) Нема смисла да се множи радикалниот израз, бидејќи секој од факторите го претставува квадратот на цел број. Ајде да го искористиме правилото за вадење на коренот на производот:
Ваквите дејствија во иднина ќе ги извршуваме и усно.
2) Да се обидеме, ако е можно, да го претставиме радикалниот израз како производ на фактори, од кои секој е коцка на цел број, и да го примениме правилото за коренот на производот:
2. Најдете ја вредноста на изразот:
Решение. 1) Според правилото за извлекување на коренот на дропка имаме:
3) Трансформирајте ги радикалните изрази и извадете го коренот:
3. Поедностави кога
Решение. Кога се вади корен од корен, индикаторите на корените се множат, но радикалниот израз останува непроменет
Ако има коефициент пред коренот што се наоѓа под коренот, тогаш пред да ја извршите операцијата на извлекување на коренот, внесете го овој коефициент под знакот на радикалот пред кој се појавува.
Врз основа на горенаведените правила, да ги извлечеме последните два корени:
4. Подигнете до моќ:
Решение. При подигање на коренот до јачина, експонентот на коренот останува непроменет, а експонентите на радикалниот израз се множат со експонентот.
(пошто е дефинирано, тогаш );
Ако даден коренима коефициент, тогаш овој коефициент се подига на моќ одделно и резултатот се запишува како коефициент на коренот.
Овде го користевме правилото дека индикаторот за коренот и индикаторот за радикалниот израз може да се помножат со ист број (помноживме со, т.е. поделени со 2).
На пример, или
4) Изразот во загради, кој претставува збир на два различни радикали, е коцкан и поедноставен:
Бидејќи имаме:
5. Елиминирајте ја ирационалноста во именителот:
Решение. За да се елиминира (уништи) ирационалноста во именителот на дропка, треба да се најде наједноставниот израз, кој во производ со именител дава рационално изразување, и помножете ги броителите и именителот на оваа дропка со пронајдениот фактор.
На пример, ако именителот на дропката содржи бином, тогаш броителот и именителот на дропката мора да се помножат со изразот конјугиран со именителот, односно збирот да се помножи со соодветната разлика и обратно.
Во повеќе тешки случаиЈа уништуваат ирационалноста не веднаш, туку во неколку чекори.
1) Изразот мора да содржи
Со множење на броителот и именителот на дропката се добива:
2) Помножувајќи ги броителот и именителот на дропката со делумниот квадрат од збирот, добиваме:
3) Да ги доведеме дропките до заеднички именител:
Одлучување овој пример, мора да имаме на ум дека секоја дропка има значење, односно именителот на секоја дропка е ненула. Освен тоа,
При конвертирање на изрази кои содржат радикали, често се прават грешки. Тие се предизвикани од неможноста правилно да се примени концептот (дефиниција) аритметички корени апсолутна вредност.
Правила за множење на корените
Внимание!
Има дополнителни
материјали во Посебен дел 555.
За оние кои се многу „не многу. »
И за оние кои „многу толку. ")
Во претходната лекција сфативме што е квадратен корен. Време е да откриеме кои од нив постојат формули за кореништо се својства на корените, и што може да се направи со сето ова.
Формули на корени, својства на корените и правила за работа со корени- ова е во суштина иста работа. Формули за квадратни корениизненадувачки малку. Што секако ме прави среќен! Или подобро кажано, можете да напишете многу различни формули, но за практична и сигурна работа со корени, доволни се само три. Сè друго тече од овие три. Иако многу луѓе се збунуваат во трите коренски формули, да.
Да почнеме со наједноставниот. Еве ја таа:
Дозволете ми да ве потсетам (од претходната лекција): a и b се ненегативни броеви! Инаку формулата нема смисла.
Ова својство на корените , како што можете да видите, е едноставен, краток и безопасен. Но, има толку многу одлични работи што можете да ги направите со оваа коренска формула! Ајде да погледнеме примерисите овие корисни работи.
Првата корисна работа. Оваа формула ни овозможува размножуваат корени.
Како да се размножуваат корените?
Да, многу едноставно. Директно на формулата. На пример:
Се чини дека го помножиле, па што? Има ли многу радост?! Се согласувам, малку. Како ви се допаѓа ова пример?
Корените не се точно извлечени од факторите. И резултатот е одличен! Тоа е подобро, нели? За секој случај, да ти кажам дека може да има множители колку сакаш. Формулата за множење корени сè уште функционира. На пример:
Значи, со множење сè е јасно, зошто е тоа потребно? својство на корените- исто така разбирливо.
Втората корисна работа. Внесување број под знакот за корен.
Како да внесете број под коренот?
Да претпоставиме дека го имаме овој израз:
Дали е можно да се сокрие дупчето во коренот? Лесно! Ако направите корен од два, формулата за множење корени ќе работи. Како можете да направите корен од два? Да, ни без прашање! Два е квадратен корен од четири!
Патем, корен може да се направи од кој било ненегативен број! Ова ќе биде квадратниот корен на квадратот на овој број. 3 е коренот на 9. 8 е коренот на 64. 11 е коренот на 121. Па, и така натаму.
Се разбира, нема потреба да се опишува толку детално. Па, за почеток. Доволно е да се сфати дека било кој ненегативен број, помножено со коренот, може да се внесе под коренот. Но - не заборавајте! - под коренот овој број ќе стане квадратсебе си. Оваа акција - внесување број под коренот - може да се нарече и множење на бројот со коренот. ВО општ погледможе да се напише:
Постапката е едноставна, како што можете да видите. Зошто е потребно?
Како и секоја трансформација, така и оваа постапка ги проширува нашите можности. Можности да го претворите суров и непријатен израз во мек и мек). Еве еден едноставен за вас пример:
Како што можеш да видиш, сопственост на корените,кој ви овозможува да внесете множител под знакот на коренот, е сосема погоден за поедноставување.
Дополнително, додавањето множител на коренот го олеснува и едноставно споредувањето на вредностите различни корени. Без никакви калкулации или калкулатор! Третата корисна работа.
Како да се споредат корените?
Оваа вештина е многу важна при сериозни задачи, кога откривате модули и други кул работи.
Споредете ги овие изрази. Која е поголема? Без калкулатор! Секој со калкулатор. ух-ух. Накратко, секој може да го направи тоа!)
Не можете да го кажете тоа веднаш. Што ако внесете броеви под знакот за корен?
Да се потсетиме (што ако не сте знаеле?): ако бројот под знакот на коренот е поголем, тогаш самиот корен е поголем! Оттука точниот одговор веднаш, без никаков сложени пресметкии пресметки:
Одлично, нели? Но, тоа не е се! Запомнете дека сите формули работат и од лево кон десно и од десно кон лево. Досега ја користевме формулата за множење корени од лево кон десно. Ајде да го извршиме ова својство на корените обратно, од десно кон лево. Како ова:
И која е разликата? Дали ова дава нешто? Секако! Сега ќе видите сами.
Да претпоставиме дека треба да го извлечеме (без калкулатор!) квадратниот корен од бројот 6561. Некои луѓе во оваа фаза ќе паднат во нерамноправна борба со задачата. Но, ние сме упорни, не се откажуваме! Четвртата корисна работа.
Како да се извлечат корени од голем број?
Да се потсетиме на формулата за вадење корени од производ. Оној што го напишав веднаш погоре. Но, каде е нашата работа!? Имаме огромен број 6561 и тоа е тоа. Да, работата не е тука. Но, ако ни треба, ќе ни треба Ајде да го направиме тоа! Да ја пресметаме оваа бројка. Имаме право.
Прво, да откриеме со што точно се дели овој број? Што, не знаеш!? Дали ги заборавивте знаците на деливост!? Залудно. Одете во Специјалниот дел 555, тема „Дропки“, тие се таму. Овој број се дели со 3 и 9. Бидејќи збирот на броевите (6+5+6+1=18) се дели со овие броеви. Ова е еден од знаците на деливост. Не треба да делиме со три (сега ќе разберете зошто), но ќе поделиме со 9. Барем во ќош. Добиваме 729. Значи, најдовме два фактора! Првиот е девет (сами го избравме), а вториот е 729 (така испадна). Веќе можете да напишете:
Дали ја сфаќате идејата? Истото ќе го направиме и со бројот 729. Исто така се дели со 3 и 9. Не делиме повторно со 3, се делиме со 9. Добиваме 81. И го знаеме овој број! Запишуваме:
Сè испадна лесно и елегантно! Коренот мораше да се вади парче по парче, но ај добро. Можете да го направите ова со кој било големи бројки. Умножете ги и напред!
Патем, зошто не требаше да се подели со 3, погоди? Да, затоа што коренот на три не може точно да се извлече! Има смисла да се вклучат во такви фактори што коренот може добро да се извлече барем од еден. Овие се 4, 9, 16 бунари, итн. Поделете го вашиот огромен број со овие бројки еден по еден и ќе имате среќа!
Но, не мора. Можеби немате среќа. Да речеме дека бројот 432, кога ќе се пресмета и се користи коренската формула за производот, ќе го даде следниот резултат:
Па, во ред. Како и да е, го поедноставивме изразот. Во математиката вообичаено е да се остави најмногу мал бројна можното. Во процесот на решавање сè зависи од примерот (можеби сè може да се скрати без поедноставување), но во одговорот треба да дадете резултат што не може дополнително да се поедностави.
Патем, знаеш ли што направивме со коренот на 432?
Ние ги извади факторите од под коренскиот знак ! Така се нарекува оваа операција. Во спротивно ќе добиете задача - “ отстранете го факторот од под знакот на коренот„Но, мажите дури и не знаат.) Еве уште една апликација за вас својства на корените.Корисна работа петта.
Како да се отстрани мултипликаторот од под коренот?
Лесно. Факторирајте го радикалниот израз и извадете ги корените што се извлекуваат. Ајде да видиме:
Ништо натприродно. Важно е да се изберат вистинските множители. Овде го проширивме 72 како 36·2. И сè испадна добро. Или би можеле да го прошират поинаку: 72 = 6·12. И што!? Коренот не може да се извлече ниту од 6, ниту од 12. Што да се прави?!
Во ред е. Или барајте други опции за распаѓање или продолжете да разложувате сè додека не престане! Како ова:
Како што можете да видите, сè успеа. Ова, патем, не е најбрзо, туку најмногу сигурен начин. Поделете го бројот на најмали фактори, а потоа соберете ги истите на купови. Методот исто така успешно се користи при множење на незгодни корени. На пример, треба да пресметате:
Помножете сè - добивате луда бројка! И тогаш како да се извлече коренот од него?! Повторно факторинг? Не, не ни треба дополнителна работа. Веднаш го вбројуваме во фактори и ги собираме истите во групи:
Тоа е се. Се разбира, не е неопходно да се прошири до крај. Сè е одредено од вашите лични способности. Примерот го доведовме до таму каде што се ти е јасноТоа значи дека веќе можеме да сметаме. Главната работа е да не се прават грешки. Не човек за математика, туку математика за човекот!)
Да го примениме знаењето во пракса? Да почнеме со нешто едноставно:
СТЕПЕН СО РАЦИОНАЛЕН ИНДИКАТОР,
ФУНКЦИЈА НА ЕНЕРГИЈА IV
§ 82. Множење и делење на корените
1. Множење на корените.Во § 79 правилото за множење корени со идентичнииндикатори:
Да се размножуваат корените со различни индикатори, прво треба да се доведат до севкупен индикатор, а потоа множете се како корени со истите показатели.
Нека, на пример, треба да се размножите n √ а на м √ б . Користејќи ја теоремата 3 од §80, можеме да напишеме:
На пример, √ 3 3 √ 9 = 6 √ 3 3 6 √ 9 2 = 6 √ 3 3 9 2 = 6 √ 3 3 3 4 = 6 √ 3 7 = 3 6 √ 3
Како општ показател за корените n √ а на м √ б Најзгодно е да се избере најмалиот заеднички множител на броеви n И м . На пример, ако треба да помножите 4 √ 2 со 6 √ 32, тогаш е погодно да го изберете бројот 12, кој е најмалиот заеднички множител од броевите 4 и 6, како заеднички индикатор за овие корени.
Теоремата 3 § 80 дава: 4 √ 2 = 12 √ 2 3 ; 6 √ 32 = 12 √ 32 2 = 12 √ 2 10.
4 √ 2 6 √ 32 = 12 √ 2 3 12 √ 2 10 = 12 √ 2 13 = 2 12 √ 2
2. Поделба на корени.Во § 79, добиено е правило за делење корени со исти експоненти:
За да се одделат корените со различни индикатори, тие прво мора да се доведат до заеднички индикатор, а потоа да се поделат како корени со исти индикатори.
oldskola1.narod.ru
Множење корени: основни правила
Поздрав, мачки! ВО последен патДетално разговаравме за тоа што се корените (ако не се сеќавате, препорачувам да го прочитате). Главниот заклучок од таа лекција: има само еден универзална дефиницијакорени, што е она што треба да го знаете. Останатото е глупост и губење време.
Денес одиме понатаму. Ќе научиме да множиме корени, ќе проучуваме некои проблеми поврзани со множењето (ако овие проблеми не се решат, тие можат да станат фатални на испитот) и ќе вежбаме правилно. Затоа, складирајте пуканки, направете се удобно - и ајде да започнеме :)
И ти уште не си го пушел, нели?
Лекцијата се покажа доста долга, па ја поделив на два дела:
За оние кои едвај чекаат да скокнат директно на вториот дел, добредојдени сте. Да почнеме со останатите по ред.
Основно правило на множење
Да почнеме со наједноставната работа - класичните квадратни корени. Истите оние што се назначени $\sqrt$ и $\sqrt $. Сè им е очигледно:
Правило за множење. За да помножите еден квадратен корен со друг, едноставно ќе ги помножите нивните радикални изрази и ќе го запишете резултатот под заедничкиот радикал:
Не се наметнуваат дополнителни ограничувања на броевите од десната или левата страна: ако постојат коренските фактори, тогаш постои и производот.
Примери. Ајде да погледнеме четири примери со броеви одеднаш:
Како што можете да видите, главното значење на ова правило е да ги поедностави ирационалните изрази. И ако во првиот пример ние самите би ги извлекле корените на 25 и 4 без никакви нови правила, тогаш работите стануваат тешки: $\sqrt $ и $\sqrt $ не се сметаат сами по себе, туку нивниот производ се покажува како совршен квадрат, така што неговиот корен е еднаков на рационален број.
Особено би сакал да ја истакнам последната линија. Таму и двата радикални изрази се дропки. Благодарение на производот, многу фактори се откажани, а целиот израз се претвора во соодветен број.
Се разбира, работите нема секогаш да бидат толку убави. Понекогаш под корените ќе има целосна глупост - не е јасно што да се прави со него и како да се трансформира по множењето. Малку подоцна, кога ќе почнете да учите ирационални равенкии нееднаквости, генерално ќе има секакви променливи и функции. И многу често, пишувачите на проблеми сметаат на фактот дека ќе откриете некои поништувачки термини или фактори, по што проблемот ќе биде многукратно поедноставен.
Покрај тоа, воопшто не е неопходно да се множат точно два корени. Можете да помножите три, четири, па дури и десет одеднаш! Ова нема да го промени правилото. Погледни:
И повторно мала забелешка за вториот пример. Како што можете да видите, во третиот фактор под коренот има децимална фракција - во процесот на пресметки ја заменуваме со редовна, по што сè лесно се намалува. Значи: Силно препорачувам да се ослободите од децималните фракции во која било ирационални изрази(т.е. содржи барем еден радикален симбол). Ова ќе ви заштеди многу време и нерви во иднина.
Но, тоа беше лирска дигресија. Сега да погледнеме повеќе општ случај- кога индикаторот за корен е произволен број$n$, а не само „класичните“ два.
Случај на произволен индикатор
Значи, ги подредивме квадратните корени. Што да се прави со кубните? Или дури и со корени од произволен степен $n$? Да, се е исто. Правилото останува исто:
За да се помножат два корени од степен $n$, доволно е да се помножат нивните радикални изрази, а потоа резултатот да се запише под еден радикал.
Во принцип, ништо комплицирано. Освен што износот на пресметките може да биде поголем. Ајде да погледнеме неколку примери:
Примери. Пресметајте ги производите:
И повторно, внимание на вториот израз. Се множиме коцки корени, ослободи се од децималнаи како резултат го добиваме производот од броевите 625 и 25 во именителот голем број- Лично, не можам веднаш да пресметам што е тоа еднакво.
Така, ние едноставно ја изолиравме точната коцка во броителот и именителот, а потоа употребивме едно од клучните својства (или, ако сакате, дефиниција) на $n$th корен:
Ваквите „махинации“ можат да ви заштедат многу време на испитот или тест работа, затоа запомнете:
Не брзајте да множите броеви користејќи радикални изрази. Прво, проверете: што ако точниот степен на кој било израз е „шифриран“ таму?
И покрај очигледноста на оваа забелешка, морам да признаам дека повеќето неподготвени студенти не ги гледаат точните степени во опсегот на точка-празно. Наместо тоа, тие множат сè целосно, а потоа се прашуваат: зошто добија толку брутални бројки :)
Сепак, сето ова бебешки разговорво споредба со она што ќе го проучуваме сега.
Множење корени со различни експоненти
Добро, сега можеме да множиме корени со истите показатели. Што ако индикаторите се различни? Да речеме, како да се помножи обичен $\sqrt $ со некои глупости како $\sqrt $? Дали е воопшто можно да се направи ова?
Да секако дека можеш. Сè е направено според оваа формула:
Сепак, оваа формула работи само ако радикалните изрази не се негативни. Ова е многу важна забелешка на која ќе се вратиме малку подоцна.
За сега, да погледнеме неколку примери:
Како што можете да видите, ништо комплицирано. Сега да откриеме од каде е условот за негативност и што ќе се случи ако го прекршиме.
Умножувањето на корените е лесно
Зошто радикалните изрази мора да бидат ненегативни?
Секако дека можеш да бидеш како училишни наставниции паметно цитирај го учебникот:
Барањето за ненегативност е поврзано со различни дефинициикорени на парни и непарни степени (според тоа, нивните домени на дефиниција се исто така различни).
Па, дали стана појасно? Лично, кога ја прочитав оваа глупост во 8-мо одделение, разбрав нешто како следново: „Условот за ненегативност се поврзува со *#&^@(*#@^#)
%“ - накратко, тогаш не разбрав ништо. :)
Па сега ќе објаснам сè на нормален начин.
Прво, да дознаеме од каде доаѓа формулата за множење погоре. За да го направите ова, дозволете ми да ве потсетам една работа важен имоткорен:
Со други зборови, лесно можеме да го подигнеме радикалниот израз на било кој природен степен$k$ - во овој случај, коренскиот експонент ќе треба да се помножи со иста моќност. Затоа, лесно можеме да ги намалиме сите корени на заеднички експонент, а потоа да ги умножиме. Оттука доаѓа формулата за множење:
Но, постои еден проблем што остро ја ограничува употребата на сите овие формули. Размислете за овој број:
Според формулата штотуку дадена, можеме да додадеме кој било степен. Ајде да се обидеме да додадеме $k=2$:
Го отстранивме минусот токму затоа што квадратот го согорува минусот (како и секој друг парен степен). Сега ајде да го направиме тоа инверзна конверзија: „намали“ два во експонент и моќност. На крајот на краиштата, секоја еднаквост може да се чита и од лево кон десно и од десно кон лево:
Но, тогаш испаѓа дека е некаква глупост:
Ова не може да се случи бидејќи $\sqrt \lt 0$ и $\sqrt \gt 0$. Ова значи дека за парни сили и негативни броеви нашата формула повеќе не работи. После тоа имаме две опции:
- Да се удри во ѕид и да се каже дека математиката е глупава наука, каде што „има некои правила, но тие се непрецизни“;
- Внесете дополнителни ограничувања, при што формулата ќе работи 100%.
- Отстранете ги сите негативни од радикалите. Минусите постојат само во корените со непарна мноштво - тие можат да се стават пред коренот и, доколку е потребно, да се намалат (на пример, ако има два од овие минуси).
- Изведете множење според правилата дискутирани погоре во денешната лекција. Ако индикаторите на корените се исти, едноставно ги множиме радикалните изрази. И ако тие се различни, ја користиме злобната формула \[\sqrt[n]\cdot \sqrt[p] =\sqrt>\cdot ^ >>\].
- 3.Уживајте во резултатот и добрите оценки.:)
- Под коренот не е конкретен бројили степен, а променливата е $a$. На прв поглед, ова е малку необично, но во реалноста, кога се решава математички проблемиНајчесто ќе треба да се справите со променливи.
- На крајот успеавме да го „намалиме“ радикалниот индикатор и степенот на радикално изразување. Ова се случува доста често. И ова значи дека беше можно значително да се поедностават пресметките ако не ја користевте основната формула.
- Лишување возачка дозволаза пијанство во 2018 година Возење државно интоксикација со алкохол- едно од најсериозните прекршувања на правилата сообраќај. Закон од 23 јули 2013 година бр. 196-ФЗ […]
Во првата опција, ќе мора постојано да фаќаме „неработни“ случаи - тоа е тешко, одзема многу време и генерално е уф. Затоа, математичарите ја претпочитаа втората опција :)
Но, не грижете се! Во пракса, ова ограничување не влијае на пресметките на кој било начин, бидејќи сите опишани проблеми се однесуваат само на корените од непарен степен, а од нив може да се земат минусите.
Затоа, да формулираме уште едно правило, кое генерално важи за сите дејства со корени:
Пред да множите корени, проверете дали радикалните изрази се не-негативни.
Пример. Во бројот $\sqrt$ можете да го отстраните минусот под знакот за корен - тогаш сè ќе биде нормално:
Дали ја чувствувате разликата? Ако оставите минус под коренот, тогаш кога радикалниот израз е на квадрат, тој ќе исчезне и ќе започне глупост. И ако прво го извадите минусот, тогаш можете да го квадратите/отстранете го квадратот додека не станете сини во лицето - бројот ќе остане негативен.
Така, најточниот и најсигурен начин за размножување на корените е како што следува:
Па? Да вежбаме?
Пример 1: Поедноставете го изразот:
Ова е наједноставната опција: корените се исти и чудни, единствениот проблем е што вториот фактор е негативен. Овој минус го вадиме од сликата, по што сè лесно се пресметува.
Пример 2: Поедноставете го изразот:
Многумина овде би биле збунети од она што се случи на крајот ирационален број. Да, тоа се случува: не можевме целосно да се ослободиме од коренот, но барем значително го поедноставивме изразот.
Пример 3: Поедноставете го изразот:
Би сакал да го привлечам вашето внимание на оваа задача. Тука има две точки:
На пример, можете да го направите ова:
Всушност, сите трансформации беа извршени само со вториот радикал. И ако не ги опишете детално сите средни чекори, тогаш на крајот износот на пресметките значително ќе се намали.
Всушност, веќе се сретнавме слична задачапогоре, при решавање на примерот $\sqrt \cdot \sqrt $. Сега може да се напише многу поедноставно:
Присуството на квадратни корени во изразот го отежнува процесот на делење, но постојат правила кои многу ја олеснуваат работата со дропки.
Единственото нешто што треба постојано да го имате на ум- радикалните изрази се делат на радикални изрази, а факторите на фактори. Во процесот на делење на квадратни корени, ја поедноставуваме фракцијата. Исто така, потсетете се дека коренот може да биде во именителот.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Метод 1. Поделба на радикални изрази
Алгоритам на дејства:
Напиши дропка
Ако изразот не е претставен како дропка, потребно е да се напише како таков, бидејќи е полесно да се следи принципот на делење квадратни корени.
Пример 1
144 ÷ 36, овој израз треба да се препише на следниов начин: 144 36
Користете еден знак за корен
Ако и броителот и именителот содржат квадратни корени, потребно е нивните радикални изрази да се напишат под истиот корен знак за да се олесни процесот на решавање.
Ве потсетуваме дека радикален израз (или број) е израз под знакот на коренот.
Пример 2
144 36. Овој израз треба да се напише на следниов начин: 144 36
Одделни радикални изрази
Само поделете еден израз со друг и запишете го резултатот под знакот за корен.
Пример 3
144 36 = 4, да го напишеме овој израз вака: 144 36 = 4
Поедноставете го радикалниот израз (ако е потребно)
Ако радикалниот израз или еден од факторите е совршен квадрат, поедноставете го изразот.
Потсетиме дека совршен квадрат е број што е квадрат на некој цел број.
Пример 4
4 е совршен квадрат бидејќи 2 × 2 = 4. Затоа:
4 = 2 × 2 = 2. Затоа 144 36 = 4 = 2.
Метод 2. Факторирање на радикалниот израз
Алгоритам на дејства:
Напиши дропка
Препишете го изразот како дропка (ако е така претставен). Ова го олеснува делењето на изразите со квадратни корени, особено при факторинг.
Пример 5
8 ÷ 36, препишете го вака 8 36
Факторирајте го секој од радикалните изрази
Факторирајте го бројот под коренот како и секој друг цел број, само запишете ги факторите под знакот на коренот.
Пример 6
8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6
Поедностави ги броителот и именителот на дропка
За да го направите ова, отстранете ги факторите од под знакот на коренот, кои се совршени квадрати. Така, факторот на радикалниот израз ќе стане фактор пред знакот на коренот.
Пример 7
2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2, следува: 8 36 = 2 2 6
Рационализирајте го именителот (ослободете се од коренот)
Во математиката постојат правила според кои оставањето на коренот во именителот е знак за лоша форма, т.е. тоа е забрането. Ако има квадратен корен во именителот, тогаш ослободете се од него.
Помножете ги броителот и именителот со квадратниот корен што сакате да го отстраните.
Пример 8
Во изразот 6 2 3, треба да ги помножите броителот и именителот со 3 за да се ослободите од него во именителот:
6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3
Поедноставете го добиениот израз (ако е потребно)
Ако броителот и именителот содржат броеви кои можат и треба да се намалат. Поедноставете ги таквите изрази како секоја дропка.
Пример 9
2 6 се поедноставува на 1 3 ; на тој начин 2 2 6 се поедноставува на 1 2 3 = 2 3
Метод 3: Делење квадратни корени со фактори
Алгоритам на дејства:
Поедноставување на фактори
Потсетете се дека фактори се броевите што му претходат на коренскиот знак. За да ги поедноставите факторите, ќе треба да ги поделите или намалите. Не допирајте радикални изрази!
Пример 10
4 32 6 16 . Прво, намалуваме 4 6: делиме и броителот и именителот со 2: 4 6 = 2 3.
Поедноставете ги квадратните корени
Ако броителот е рамномерно делив со именителот, тогаш подели. Ако не, тогаш поедноставете ги радикалните изрази како и сите други.
Пример 11
32 се дели со 16, значи: 32 16 = 2
Умножете ги поедноставените фактори со поедноставени корени
Запомнете го правилото: не оставајте корени во именителот. Затоа, ние едноставно ги множиме броителот и именителот со овој корен.
Пример 12
2 3 × 2 = 2 2 3
Рационализирајте го именителот (ослободете се од коренот во именителот)
Пример 13
4 3 2 7 . Треба да ги помножите броителот и именителот со 7 за да се ослободите од коренот во именителот.
4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7
Метод 4: Делење со бином со квадратен корен
Алгоритам на дејства:
Определи дали бином е во именителот
Потсетиме дека бином е израз кој вклучува 2 мономи. Овој метод работи само во случаи кога именителот има бином со квадратен корен.
Пример 14
1 5 + 2 - има бином во именителот, бидејќи има два мономи.
Најдете го конјугираниот израз на биномот
Потсетиме дека конјугираниот бином е бином со исти мономи, но со спротивни знаци. За да го поедноставите изразот и да се ослободите од коренот во именителот, треба да ги помножите конјугираните биноми.
Пример 15
5 + 2 и 5 - 2 се конјугирани биноми.
Помножете ги броителот и именителот со биномот што е конјугат на биномот во именителот
Оваа опција ќе помогне да се ослободиме од коренот во именителот, бидејќи производот на конјугирани биноми е еднаков на разликата на квадратите на секој член од биномите: (a - b) (a + b) = a 2 - b 2
Пример 16
1 5 + 2 = 1 (5 - 2) (5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 (5 2 - (2) 2 = 5 - 2 25 - 2 = 5 - 2 23 .
Од ова следува: 1 5 + 2 = 5 - 2 23.
Совет:
- Ако работите со квадратни корени мешани броеви, потоа претворете ги во неправилна дропка.
- Разликата помеѓу собирањето и одземањето од делењето е во тоа што радикалните изрази во случај на делење не се препорачуваат да се поедноставуваат (за сметка на целосни квадрати).
- Никогаш (!) не оставајте корен во именителот.
- Без децимали или измешани пред коренот - треба да ги конвертирате во заедничка дропка, а потоа поедноставете.
- Дали именителот е збир или разлика на два мономи? Помножете го таков бином со неговиот конјугиран бином и ослободете се од коренот во именителот.
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
Поздрав, мачки! Последен пат детално разговаравме што се корените (ако не се сеќавате, препорачувам да го прочитате). Главното нешто од таа лекција: постои само една универзална дефиниција за корените, што е она што треба да го знаете. Останатото е глупост и губење време.
Денес одиме понатаму. Ќе научиме да множиме корени, ќе проучуваме некои проблеми поврзани со множењето (ако овие проблеми не се решат, тие можат да станат фатални на испитот) и ќе вежбаме правилно. Затоа, набавете пуканки, пријатно и ајде да започнеме :)
И ти уште не си го пушел, нели?
Лекцијата се покажа доста долга, па ја поделив на два дела:
- Прво ќе ги разгледаме правилата за множење. Се чини дека капа навестува: ова е кога има два корени, меѓу нив има знак „множи“ - и сакаме да направиме нешто со него.
- Тогаш да ја погледнеме спротивната ситуација: има еден голем корен, но ние бевме желни да го претставиме како производ на два поедноставни корени. Зошто е тоа потребно, е посебно прашање. Ќе го анализираме само алгоритмот.
За оние кои едвај чекаат веднаш да преминат на вториот дел, добредојдени сте. Да почнеме со останатите по ред.
Основно правило на множење
Да почнеме со наједноставната работа - класичните квадратни корени. Истите кои се означени со $\sqrt(a)$ и $\sqrt(b)$. Сè им е очигледно:
Правило за множење. За да помножите еден квадратен корен со друг, едноставно ќе ги помножите нивните радикални изрази и ќе го запишете резултатот под заедничкиот радикал:
\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]
Не се наметнуваат дополнителни ограничувања на броевите од десната или левата страна: ако постојат коренските фактори, тогаш постои и производот.
Примери. Ајде да погледнеме четири примери со броеви одеднаш:
\[\begin(порамни) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \крај (порамни)\]
Како што можете да видите, главното значење на ова правило е да ги поедностави ирационалните изрази. И ако во првиот пример ние самите би ги извлекле корените на 25 и 4 без никакви нови правила, тогаш работите стануваат тешки: $\sqrt(32)$ и $\sqrt(2)$ не се сметаат сами по себе, туку нивниот производ се покажува како совршен квадрат, така што неговиот корен е еднаков на рационален број.
Особено би сакал да ја истакнам последната линија. Таму и двата радикални изрази се дропки. Благодарение на производот, многу фактори се откажани, а целиот израз се претвора во соодветен број.
Се разбира, работите нема секогаш да бидат толку убави. Понекогаш ќе има целосен хаос под корените - не е јасно што да се прави со тоа и како да се трансформира по множењето. Малку подоцна, кога ќе почнете да ги проучувате ирационалните равенки и неравенки, ќе има секакви променливи и функции. И многу често, пишувачите на проблеми сметаат на фактот дека ќе откриете некои поништувачки термини или фактори, по што проблемот ќе биде многукратно поедноставен.
Покрај тоа, воопшто не е неопходно да се множат точно два корени. Можете да помножите три, четири, па дури и десет одеднаш! Ова нема да го промени правилото. Погледни:
\[\begin(порамни) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \крај (порамни)\]
И повторно мала забелешка за вториот пример. Како што можете да видите, во третиот фактор под коренот има децимална фракција - во процесот на пресметки ја заменуваме со редовна, по што сè лесно се намалува. Значи: Силно препорачувам да се ослободите од децималните фракции во какви било ирационални изрази (т.е. содржат барем еден радикален симбол). Ова ќе ви заштеди многу време и нерви во иднина.
Но, ова беше лирска дигресија. Сега да разгледаме еден поопшт случај - кога коренскиот експонент содржи произволен број $n$, а не само „класичните“ два.
Случај на произволен индикатор
Значи, ги подредивме квадратните корени. Што да се прави со кубните? Или дури и со корени од произволен степен $n$? Да, се е исто. Правилото останува исто:
За да се помножат два корени од степен $n$, доволно е да се помножат нивните радикални изрази, а потоа резултатот да се запише под еден радикал.
Во принцип, ништо комплицирано. Освен што износот на пресметките може да биде поголем. Ајде да погледнеме неколку примери:
Примери. Пресметајте ги производите:
\[\begin(порамни) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))((25)^(3)) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \десно))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \крај (порамни)\]
И повторно, внимание на вториот израз. Ги множиме корените на коцките, се ослободуваме од децималната дропка и завршуваме со именителот да биде производ на броевите 625 и 25. Ова е доста голем број - лично, јас лично не можам да сфатам што е еднакво на врвот на мојата глава.
Затоа, ние едноставно ја изолиравме точната коцка во броителот и именителот, а потоа употребивме едно од клучните својства (или, ако сакате, дефиниција) на $n$th корен:
\[\begin(порамни) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\лево| a\право|. \\ \крај (порамни)\]
Ваквите „махинации“ можат да ви заштедат многу време на испит или тест, па запомнете:
Не брзајте да множите броеви користејќи радикални изрази. Прво, проверете: што ако точниот степен на кој било израз е „шифриран“ таму?
И покрај очигледноста на оваа забелешка, морам да признаам дека повеќето неподготвени студенти не ги гледаат точните степени во опсегот на точка-празно. Наместо тоа, тие множат сè целосно, а потоа се прашуваат: зошто добија толку брутални бројки :)
Сепак, сето ова е муабет за бебиња во споредба со она што сега ќе го проучуваме.
Множење корени со различни експоненти
Добро, сега можеме да множиме корени со истите показатели. Што ако индикаторите се различни? Да речеме, како да се помножи обичен $\sqrt(2)$ со некои глупости како $\sqrt(23)$? Дали е воопшто можно да се направи ова?
Да секако дека можеш. Сè е направено според оваа формула:
Правило за множење корени. За да се помножи $\sqrt[n](a)$ со $\sqrt[p](b)$, доволно е да се изврши следнава трансформација:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Сепак, оваа формула работи само ако радикалните изрази не се негативни. Ова е многу важна забелешка на која ќе се вратиме малку подоцна.
За сега, да погледнеме неколку примери:
\[\begin(порамни) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \крај (порамни)\]
Како што можете да видите, ништо комплицирано. Сега да откриеме од каде е условот за негативност и што ќе се случи ако го прекршиме.
Умножувањето на корените е лесно Зошто радикалните изрази мора да бидат ненегативни?
Се разбира, можете да бидете како учители и да го цитирате учебникот со паметен изглед:
Барањето за ненегативност е поврзано со различни дефиниции за корените од парни и непарни степени (соодветно, нивните домени на дефиниција се исто така различни).
Па, дали стана појасно? Лично, кога ја прочитав оваа глупост во 8-мо одделение, разбрав нешто како следново: „Барањето за ненегативност се поврзува со *#&^@(*#@^#)~%“ - накратко, не Не разбирам проклето нешто во тоа време :)
Па сега ќе објаснам сè на нормален начин.
Прво, да дознаеме од каде доаѓа формулата за множење погоре. За да го направите ова, дозволете ми да ве потсетам на едно важно својство на коренот:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Со други зборови, можеме лесно да го подигнеме радикалниот израз до која било природна моќност $k$ - во овој случај, експонентот на коренот ќе треба да се помножи со истата моќност. Затоа, лесно можеме да ги намалиме сите корени на заеднички експонент, а потоа да ги умножиме. Оттука доаѓа формулата за множење:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Но, постои еден проблем што остро ја ограничува употребата на сите овие формули. Размислете за овој број:
Според формулата штотуку дадена, можеме да додадеме кој било степен. Ајде да се обидеме да додадеме $k=2$:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\лево(-5 \десно))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]
Го отстранивме минусот токму затоа што квадратот го согорува минусот (како и секој друг парен степен). Сега да ја извршиме обратната трансформација: „намалете ги“ двата во експонентот и моќноста. На крајот на краиштата, секоја еднаквост може да се чита и од лево кон десно и од десно кон лево:
\[\почеток(порамни) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Десна стрелка \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](а); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\десна стрелка \sqrt(((5)^(2))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt (5). \\ \крај (порамни)\]
Но, тогаш испаѓа дека е некаква глупост:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]
Ова не може да се случи, бидејќи $\sqrt(-5) \lt 0$ и $\sqrt(5) \gt 0$. Ова значи дека за парни сили и негативни броеви нашата формула повеќе не работи. После тоа имаме две опции:
- Да се удри во ѕид и да се каже дека математиката е глупава наука, каде што „има некои правила, но тие се непрецизни“;
- Воведете дополнителни ограничувања според кои формулата ќе стане 100% функционална.
Во првата опција, ќе мораме постојано да фаќаме „неработни“ случаи - тоа е тешко, одзема време и генерално е уф. Затоа, математичарите ја претпочитаа втората опција :)
Но, не грижете се! Во пракса, ова ограничување не влијае на пресметките на кој било начин, бидејќи сите опишани проблеми се однесуваат само на корените од непарен степен, а од нив може да се земат минусите.
Затоа, да формулираме уште едно правило, кое генерално важи за сите дејства со корени:
Пред да множите корени, проверете дали радикалните изрази се не-негативни.
Пример. Во бројот $\sqrt(-5)$ можете да го отстраните минусот под знакот за корен - тогаш сè ќе биде нормално:
\[\begin(порамни) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Десна стрелка \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \крај (порамни)\]
Дали ја чувствувате разликата? Ако оставите минус под коренот, тогаш кога радикалниот израз е на квадрат, тој ќе исчезне и ќе започне глупост. И ако прво го извадите минусот, тогаш можете да го квадратите/отстранете додека не станете сини во лицето - бројот ќе остане негативен.
Така, најточниот и најсигурен начин за размножување на корените е како што следува:
- Отстранете ги сите негативни од радикалите. Минусите постојат само во корените со непарна мноштво - тие можат да се стават пред коренот и, доколку е потребно, да се намалат (на пример, ако има два од овие минуси).
- Изведете множење според правилата дискутирани погоре во денешната лекција. Ако индикаторите на корените се исти, едноставно ги множиме радикалните изрази. И ако тие се различни, ја користиме злобната формула \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
- 3.Уживајте во резултатот и добрите оценки.:)
Па? Да вежбаме?
Пример 1: Поедноставете го изразот:
\[\begin(порамни) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \десно)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \крај (порамни)\]
Ова е наједноставната опција: корените се исти и чудни, единствениот проблем е што вториот фактор е негативен. Овој минус го вадиме од сликата, по што сè лесно се пресметува.
Пример 2: Поедноставете го изразот:
\[\begin(порамни) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2))= \sqrt(((\лево(((2)^(5)) \десно))^(3))\cdot ((\лево(((2)^(2)) \десно))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( порамни)\]
Овде, многумина би биле збунети од фактот дека излезот се покажа како ирационален број. Да, тоа се случува: не можевме целосно да се ослободиме од коренот, но барем значително го поедноставивме изразот.
Пример 3: Поедноставете го изразот:
\[\begin(порамни) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \десно))^(6))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24))) = \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(порамни)\]
Би сакал да го привлечам вашето внимание на оваа задача. Тука има две точки:
- Коренот не е одреден број или моќност, туку променливата $a$. На прв поглед, ова е малку необично, но во реалноста, кога решавате математички задачи, најчесто треба да се занимавате со променливи.
- На крајот успеавме да го „намалиме“ радикалниот индикатор и степенот на радикално изразување. Ова се случува доста често. И ова значи дека беше можно значително да се поедностават пресметките ако не ја користевте основната формула.
На пример, можете да го направите ова:
\[\begin(порамни) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \десно))^(2))=\sqrt(a)\cdot \sqrt((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\крај (порамни)\]
Всушност, сите трансформации беа извршени само со вториот радикал. И ако не ги опишете детално сите средни чекори, тогаш на крајот износот на пресметките значително ќе се намали.
Всушност, веќе наидовме на слична задача погоре кога го решивме примерот $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Сега може да се напише многу поедноставно:
\[\begin(порамни) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\лево(((5)^(2))\cточка 3 \десно))^(2))= \\ & =\sqrt(((\лево(75 \десно))^(2))) =\sqrt (75). \крај (порамни)\]
Па, го средивме множењето на корените. Сега да ја разгледаме обратната операција: што да правиме кога има производ под коренот?