Калкулаторот ви помага брзо да подигнете број на моќ онлајн. Основата на степенот може да биде кој било број (и цели броеви и реални). Експонентот може да биде и цел број или реален, а може да биде и позитивен или негативен. Имајте на ум дека за негативни броеви, подигањето на нецелобројна моќност е недефинирано, така што калкулаторот ќе пријави грешка ако се обидете.
Калкулатор за дипломи
Подигнете се на власт
Експоненции: 20880
Која е природна моќ на број?
Бројот p се нарекува n-та моќ на некој број ако p е еднаков на бројот a помножен со себе n пати: p = a n = a·...·a
n - повикан експонент, а бројот а е основа на степен.
Како да подигнете број до природна моќност?
За да разберете како да подигнете различни броеви до природни сили, разгледајте неколку примери:
Пример 1. Подигнете го бројот три на четврта сила. Тоа е, потребно е да се пресмета 3 4
Решение: како што е споменато погоре, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Одговори: 3 4 = 81 .
Пример 2. Подигнете го бројот пет на петтата сила. Тоа е, потребно е да се пресмета 5 5
Решение: слично, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Одговори: 5 5 = 3125 .
Така, за да подигнете број до природна моќност, само треба да го помножите со себе n пати.
Која е негативната моќ на бројот?
Негативната моќност -n на a е поделена со a до моќта на n: a -n = .Во овој случај, негативна моќност постои само за ненулта броеви, бидејќи во спротивно би се случило делење со нула.
Како да се подигне број на негативна цел број моќ?
За да подигнете број што не е нула на негативна моќност, треба да ја пресметате вредноста на овој број до истата позитивна моќност и да поделите еден со резултатот.
Пример 1. Подигнете го бројот два на негативната четврта сила. Тоа е, треба да пресметате 2 -4
Решение: како што е наведено погоре, 2 -4 = = = 0,0625.Одговори: 2 -4 = 0.0625 .
Во оваа статија ќе дознаеме што е тоа степен на. Овде ќе дадеме дефиниции за моќноста на бројот, додека детално ќе ги разгледаме сите можни експоненти, почнувајќи од природниот експонент, а завршувајќи со ирационалниот. Во материјалот ќе најдете многу примери на степени, кои ги покриваат сите суптилности што се појавуваат.
Навигација на страница.
Моќ со природен експонент, квадрат на број, коцка од број
Да почнеме со. Гледајќи напред, да речеме дека дефиницијата за моќта на број a со природен експонент n е дадена за a, што ќе го наречеме основа на степен, и n, кои ќе ги наречеме експонент. Исто така, забележуваме дека степенот со природен експонент се одредува преку производ, така што за да го разберете материјалот подолу, треба да имате разбирање за множење на броеви.
Дефиниција.
Моќност на број со природен експонент nе израз на формата a n, чија вредност е еднаква на производот од n фактори, од кои секој е еднаков на a, односно .
Конкретно, моќноста на бројот a со експонент 1 е самиот број a, односно a 1 =a.
Вреди да се спомене веднаш за правилата за читање степени. Универзалниот начин за читање на ознаката a n е: „а до силата на n“. Во некои случаи, следните опции се исто така прифатливи: „а до n-та сила“ и „n-та сила од а“. На пример, да ја земеме моќноста 8 12, ова е „осум на сила од дванаесет“, или „осум до дванаесетта сила“ или „дванаесетта сила од осум“.
Втората сила на бројот, како и третата сила на бројот, имаат свои имиња. Се нарекува втората моќност на бројот квадрат на бројот, на пример, 7 2 се чита како „седум квадрат“ или „квадрат на бројот седум“. Третата сила на бројот се нарекува коцкани броеви, на пример, 5 3 може да се чита како „пет коцки“ или може да се каже „коцка од бројот 5“.
Време е да се донесе примери на степени со природни експоненти. Да почнеме со степенот 5 7, овде 5 е основата на степенот, а 7 е експонент. Да дадеме уште еден пример: 4,32 е основата, а природниот број 9 е експонентот (4,32) 9 .
Ве молиме имајте предвид дека во последниот пример, основата на моќта 4.32 е напишана во загради: за да избегнеме несовпаѓања, ќе ги ставиме во загради сите основи на моќта што се различни од природните броеви. Како пример, ги даваме следните степени со природни експоненти 
, нивните основи не се природни броеви, па затоа се пишуваат во загради. Па, за целосна јасност, во овој момент ќе ја прикажеме разликата содржана во записите од формата (−2) 3 и −2 3. Изразот (−2) 3 е моќност од −2 со природен експонент 3, а изразот −2 3 (може да се напише како −(2 3) ) одговара на бројот, вредноста на моќта 2 3 .
Забележете дека постои ознака за моќта на бројот a со експонент n од формата a^n. Освен тоа, ако n е природен број со повеќе вредности, тогаш експонентот се зема во загради. На пример, 4^9 е уште една нотација за моќта на 4 9 . И еве уште неколку примери за пишување степени користејќи го симболот „^“: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Во продолжение, првенствено ќе користиме означување на степенот на формата a n.
Еден од проблемите обратно за подигање до моќ со природен експонент е проблемот со наоѓање на основата на моќноста од позната вредност на моќноста и познат експонент. Оваа задача води до.
Познато е дека множеството рационални броеви се состои од цели броеви и дропки, а секоја дропка може да се претстави како позитивна или негативна обична дропка. Дефиниравме степен со цел број експонент во претходниот пасус, затоа, за да ја комплетираме дефиницијата за степен со рационален експонент, треба да му дадеме значење на степенот на бројот a со дробен експонент m/n, каде што m е цел број, а n е природен број. Ајде да го направиме тоа.
Да разгледаме степен со фракционен експонент на формата . За имотот моќ-на-моќ да остане валиден, еднаквоста мора да важи 
. Ако ја земеме предвид добиената еднаквост и како го определивме , тогаш логично е да се прифати под услов за дадени m, n и a изразот да има смисла.
Лесно е да се провери дали се валидни сите својства на степен со цел број експонент (ова е направено во делот својства на степен со рационален експонент).
Горенаведеното размислување ни овозможува да го направиме следново заклучок: ако се дадени m, n и a изразот има смисла, тогаш моќта на a со фракционо експонент m/n се нарекува n-ти корен на a со моќ од m.
Оваа изјава нè приближува до дефиницијата за степен со фракционен експонент. Останува само да се опише во што m, n и a изразот има смисла. Во зависност од ограничувањата поставени на m, n и a, постојат два главни пристапи.
Најлесен начин е да се наметне ограничување на a со земање a≥0 за позитивно m и a>0 за негативно m (бидејќи за m≤0 степенот 0 од m не е дефиниран). Потоа ја добиваме следната дефиниција за степен со фракционо експонент.
Дефиниција.
Моќност на позитивен број a со дробен експонент m/n, каде што m е цел број, а n е природен број, се нарекува n-ти корен од бројот a до моќта на m, односно .
Дробната моќност на нула се одредува и со единственото предупредување дека индикаторот мора да биде позитивен.
Дефиниција.
Моќност на нула со фракционо позитивен експонент m/n, каде што m е позитивен цел број, а n е природен број, се дефинира како 
.
Кога степенот не е одреден, односно степенот на бројот нула со фракционо негативен експонент нема смисла.
Треба да се забележи дека со оваа дефиниција за степен со фракционо експонент, постои едно предупредување: за некои негативни a и некои m и n, изразот има смисла, а овие случаи ги отфрливме со воведување на условот a≥0. На пример, записите имаат смисла 
или , а дефиницијата дадена погоре нè принудува да кажеме дека силите со фракционо експонент на формата 
немаат смисла, бидејќи основата не треба да биде негативна.
Друг пристап за одредување степен со фракционо експонент m/n е одделно да се разгледаат парните и непарните експоненти на коренот. Овој пристап бара дополнителен услов: моќноста на бројот a, чијшто показател е , се смета за моќност на бројот a, чијшто експонент е соодветната нередуцирана дропка (подолу ќе ја објасниме важноста на овој услов ). Односно, ако m/n е несводлива дропка, тогаш за кој било природен број k степенот прво се заменува со .
За парен n и позитивен m, изразот има смисла за секој ненегативен a (парен корен од негативен број нема смисла); за негативен m, бројот a сепак мора да биде различен од нула (инаку ќе има поделба со нула). И за непарни n и позитивни m, бројот a може да биде кој било (коренот на непарниот степен е дефиниран за секој реален број), а за негативен m, бројот a мора да биде ненула (така да нема делење со нула).
Горенаведеното расудување нè води до оваа дефиниција за степен со фракционен експонент.
Дефиниција.
Нека m/n е нередуцирана дропка, m цел број, а n природен број. За која било редуцирана дропка, степенот се заменува со . Моќта на број со нередуциран дробен експонент m/n е за
Дозволете ни да објасниме зошто степенот со редуциран фракционо експонент прво се заменува со степен со нередуциран експонент. Ако едноставно го дефиниравме степенот како , и не направивме резерва за несведливоста на дропката m/n, тогаш ќе се соочиме со ситуации слични на следната: бидејќи 6/10 = 3/5, тогаш еднаквоста мора да важи 
, Но 
, А.
Когабројот се множи сам по себе на себе, работаповикани степен.
Значи 2,2 = 4, квадрат или втора моќност од 2
2.2.2 = 8, коцка или трета моќност.
2.2.2.2 = 16, четврти степен.
Исто така, 10,10 = 100, втората моќност од 10.
10.10.10 = 1000, трета моќност.
10.10.10.10 = 10000 четврта моќност.
И а.а = аа, втор степен на а
а.а.а = ааа, трета сила на а
а.а.а.а = аааа, четврти степен на а
Се повикува оригиналниот број кореновластувањата на овој број бидејќи тоа е бројот од кој се создадени овластувањата.
Сепак, не е сосема погодно, особено во случај на високи овластувања, да се запишат сите фактори кои ги сочинуваат овластувањата. Затоа, се користи метод на стенографска нотација. Коренот на степенот се пишува само еднаш, а десно и малку повисоко во близина, но со малку помал фонт се пишува колку пати коренот делува како фактор. Овој број или буква се нарекува експонентили степенброеви. Значи, a 2 е еднакво на a.a или aa, бидејќи коренот a мора да се помножи со себе двапати за да се добие моќта aa. Исто така, 3 значи ааа, односно овде a се повторува три патикако множител.
Експонентот на првиот степен е 1, но обично не се запишува. Значи, 1 се пишува како a.
Не треба да ги мешате степените со коефициенти. Коефициентот покажува колку често се зема вредноста Делцелото. Моќта покажува колку често се зема количина факторво работата.
Значи, 4a = a + a + a + a. Но, а 4 = а.а.а.а
Шемата за означување на моќта има посебна предност што ни овозможува да се изразиме непознатстепен. За таа цел, наместо број се запишува експонентот писмо. Во процесот на решавање на проблемот, можеме да добиеме количина за која знаеме дека е некоистепен од друга големина. Но, засега не знаеме дали е квадрат, коцка или друг, повисок степен. Значи, во изразот a x, експонентот значи дека овој израз има некоистепен, иако недефиниран кој степен. Значи, b m и d n се издигнати до моќите на m и n. Кога ќе се најде експонентот, бројсе заменува наместо буква. Значи, ако m=3, тогаш b m = b 3 ; но ако m = 5, тогаш b m =b 5.
Начинот на пишување вредности со користење моќи е исто така голема предност при користење изрази. Така, (a + b + d) 3 е (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), односно коцката на триномот (a + b + d) . Но, ако го напишеме овој израз откако ќе го подигнеме на коцка, ќе изгледа како
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .
Ако земеме низа моќи чии експоненти се зголемуваат или намалуваат за 1, ќе откриеме дека производот се зголемува за заеднички мултипликаторили се намалува за заеднички делител, и овој фактор или делител е оригиналниот број што е подигнат на моќност.
Значи, во серијата ааааа, аааа, ааа, аа, а;
или 5, а 4, а 3, а 2, а 1;
индикаторите, ако се бројат од десно кон лево, се 1, 2, 3, 4, 5; а разликата меѓу нивните вредности е 1. Ако почнеме десно размножуваатсо a, успешно ќе добиеме повеќе вредности.
Значи a.a = a 2, втор член. И 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3, трет член. a 4 .a = a 5 .
Ако почнеме лево поделидо а,
добиваме 5:a = a 4 и 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1
Но, овој процес на поделба може да продолжи понатаму, и добиваме нов сет на вредности.
Значи, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:а = 1/а (1/аа):а = 1/ааа.
Целосниот ред би бил: ааааа, аааа, ааа, аа, а, 1, 1/а, 1/аа, 1/ааа.
Или 5, а 4, а 3, а 2, а, 1, 1/а, 1/а 2, 1/а 3.
Еве ги вредностите десноод еден има обратновредности лево од една. Затоа овие степени може да се наречат инверзни моќиа. Можеме да кажеме и дека силите на левата страна се инверзи на силите на десната страна.
Значи, 1: (1/а) = 1.(а/1) = а. И 1: (1/а 3) = а 3.
Може да се примени истиот план за снимање полиноми. Значи, за a + b, го добиваме множеството,
(а + б) 3, (а + б) 2, (а + б), 1, 1/(а + б), 1/(а + б) 2, 1/(а + б) 3.
За погодност, се користи друга форма на пишување реципрочни овластувања.
Според оваа форма, 1/a или 1/a 1 = a -1. И 1/ааа или 1/а 3 = а -3 .
1/aa или 1/a 2 = a -2 . 1/аааа или 1/а 4 = а -4 .
А за да се направи целосна серија со 1 како вкупна разлика со експоненти, а/а или 1 се смета како нешто што нема степен и се пишува како 0 .
Потоа, земајќи ги предвид директните и инверзните моќи
наместо аааа, ааа, аа, а, а/а, 1/а, 1/аа, 1/ааа, 1/аааа
можете да напишете 4, а 3, а 2, а 1, а 0, а -1, а -2, а -3, а -4.
Или +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
И серија од само поединечни степени ќе изгледа вака:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.
Коренот на степенот може да се изрази со повеќе од една буква.
Така, aa.aa или (aa) 2 е втората сила на aa.
А аа.аа.аа или (аа) 3 е третата сила на аа.
Сите моќи на бројот 1 се исти: 1.1 или 1.1.1. ќе биде еднакво на 1.
Експоненција е наоѓање на вредноста на кој било број со множење на тој број со себе. Правило за експоненција:
Помножете ја количината сама по себе онолку пати колку што е наведено во моќноста на бројот.
Ова правило е заедничко за сите примери што може да се појават за време на процесот на степенување. Но, правилно е да се даде објаснување за тоа како се применува во одредени случаи.
Ако само еден член е подигнат на моќ, тогаш тој се множи сам по себе онолку пати колку што е означено со експонентот.
Четвртата моќ на а е 4 или аааа. (чл. 195.)
Шестата сила на y е y 6 или yyyyyy.
N-тата моќност на x е x n или xxx..... n пати се повторува.
Ако е потребно да се подигне израз на неколку термини на моќ, принципот дека моќноста на производот од неколку фактори е еднаква на производот на овие фактори подигнат на моќност.
Значи (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ај.ај.
Но ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Значи, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .
Затоа, при наоѓањето на моќта на производот, можеме или да работиме со целиот производ одеднаш, или можеме да работиме со секој фактор посебно, а потоа да ги помножиме нивните вредности со моќите.
Пример 1. Четвртата сила на dhy е (dhy) 4, или d 4 h 4 y 4.
Пример 2. Третата моќност е 4б, има (4б) 3, или 4 3 б 3, или 64б 3.
Пример 3. N-тата моќност на 6ad е (6ad) n или 6 n a n d n.
Пример 4. Третата моќност од 3m.2y е (3m.2y) 3, или 27m 3 .8y 3.
Степенот на бином, кој се состои од членови поврзани со + и -, се пресметува со множење на неговите членови. Да,
(а + б) 1 = а + б, прв степен.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, втора моќност (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, трета моќност.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, четврта моќност.
Квадратот на a - b е 2 - 2ab + b 2.
Квадратот на a + b + h е a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2
Вежба 1. Најдете ја коцката a + 2d + 3
Вежба 2. Најдете ја четвртата сила на b + 2.
Вежба 3. Најдете ја петтата сила на x + 1.
Вежба 4. Најдете го шестиот степен 1 - б.
Збирни квадрати износиИ разликибиномите се појавуваат толку често во алгебрата што е неопходно многу добро да се знаат.
Ако помножиме a + h само по себе или a - h само по себе,
добиваме: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 исто така, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .
Ова покажува дека во секој случај, првиот и последниот член се квадратите на a и h, а средниот член е двапати од производот на a и h. Оттука, квадратот на збирот и разликата на биномите може да се најде користејќи го следново правило.
Квадратот на бином, чии двата члена се позитивни, е еднаков на квадратот на првиот член + двапати од производот на двата члена + квадратот на последниот член.
Плоштад разликибиномите е еднаков на квадратот на првиот член минус двапати од производот на двата члена плус квадратот на вториот член.
Пример 1. Квадрат 2a + b, има 4a 2 + 4ab + b 2.
Пример 2. Квадрат ab + cd, има 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2.
Пример 3. Квадрат 3d - h, има 9d 2 + 6dh + h 2.
Пример 4. Квадратот a - 1 е 2 - 2a + 1.
За метод за наоѓање на поголеми моќи на биномите, видете ги следните делови.
Во многу случаи е ефикасно да се запише степенибез множење.
Значи, квадратот на a + b е (a + b) 2.
N-тата моќност на bc + 8 + x е (bc + 8 + x) n
Во такви случаи, заградите покриваат Ситечленови под диплома.
Но, ако коренот на степенот се состои од неколку множители, заградите може да го покриваат целиот израз или може да се применат одделно на факторите во зависност од практичноста.
Така, квадратот (a + b) (c + d) е или [(a + b).(c + d)] 2 или (a + b) 2 .(c + d) 2.
За првиот од овие изрази, резултатот е квадрат на производот на два фактора, а за вториот, резултатот е производ на нивните квадрати. Но, тие се еднакви еден на друг.
Коцката a.(b + d), е 3 или a 3.(b + d) 3.
Мора да се земе предвид и знакот пред вклучените членови. Многу е важно да се запамети дека кога коренот на степенот е позитивен, сите негови позитивни моќи се исто така позитивни. Но, кога коренот е негативен, вредностите со чудномоќите се негативни, додека вредностите дуристепени се позитивни.
Вториот степен (- a) е +a 2
Третиот степен (-а) е -a 3
Четвртата моќ (-a) е +a 4
Петтата сила (-а) е -a 5
Оттука било кој чудностепенот има ист знак како и бројот. Но дуристепенот е позитивен без разлика дали бројот има негативен или позитивен предзнак.
Значи, +а.+а = +а 2
И -a.-a = +a 2
Количеството кое е веќе покачено на јачина, повторно се подигнува на јачина со множење на експонентите.
Третата моќност на 2 е 2,3 = 6.
За a 2 = аа; коцка аа е аа.аа.аа = аааааа = а 6 ; што е шестата сила на a, но третата сила на a 2.
Четвртата моќност на a 3 b 2 е a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8
Третата моќност на 4a 2 x е 64a 6 x 3.
Петтата моќност на (a + b) 2 е (a + b) 10.
N-тата моќност на 3 е 3n
N-тата сила на (x - y) m е (x - y) mn
(а 3 .б 3) 2 = а 6 .б 6
(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12
Правилото важи подеднакво за негативенстепени.
Пример 1. Третата моќност на a -2 е -3,3 =a -6.
За -2 = 1/aa, и третата моќност од ова
(1/аа).(1/аа).(1/аа) = 1/аааааа = 1/а 6 = а -6
Четвртата моќност на 2 b -3 е 8 b -12 или 8 /b 12.
Квадратот е b 3 x -1, има b 6 x -2.
N-тата моќност на ax -m е x -mn или 1/x.
Меѓутоа, тука мора да запомниме дека ако знакот претходностепенот е „-“, тогаш мора да се смени во „+“ секогаш кога степенот е парен број.
Пример 1. Квадратот -a 3 е +a 6. Квадратот на -a 3 е -a 3 .-a 3, кој според правилата на знаци при множење е +a 6.
2. Но, коцката -a 3 е -a 9. За -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .
3. N-тата моќност -a 3 е 3n.
Овде резултатот може да биде позитивен или негативен во зависност од тоа дали n е парен или непарен.
Ако дропкасе подига на моќност, тогаш броителот и именителот се подигаат на моќност.
Квадратот на a/b е a 2 /b 2 . Според правилото за множење дропки,
(а/б)(а/б) = аа/бб = а 2 б 2
Втората, третата и n-тата моќност на 1/a се 1/a 2, 1/a 3 и 1/a n.
Примери биноми, во кој еден од членовите е дропка.
1. Најдете го квадратот од x + 1/2 и x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4
2. Квадратот од a + 2/3 е 2 + 4a/3 + 4/9.
3. Квадрат x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.
4 Квадратот од x - b/m е x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .
Претходно се покажа дека фракционо коефициентможе да се премести од броител на именителот или од именителот во броител. Користејќи ја шемата за пишување реципрочни овластувања, јасно е дека било кој мултипликатористо така може да се премести, ако се смени знакот на степенот.
Значи, во дропката ax -2 /y, можеме да го преместиме x од броителот во именителот.
Потоа ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .
Во дропката a/за 3, можеме да го преместиме y од именителот во броителот.
Тогаш a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.
На ист начин, можеме да поместиме фактор кој има позитивен експонент на броителот или фактор со негативен експонент на именителот.
Значи, секира 3 /b = a/bx -3. За x 3 инверзната е x -3 , што е x 3 = 1/x -3 .
Затоа, именителот на која било дропка може целосно да се отстрани или броителот да се намали на еден, без да се промени значењето на изразот.
Значи, a/b = 1/ba -1, или ab -1.
Сфативме што всушност е моќта на бројот. Сега треба да разбереме како правилно да го пресметаме, т.е. подигнете ги бројките на моќ. Во овој материјал ќе ги анализираме основните правила за пресметување степени во случај на целобројни, природни, фракциони, рационални и ирационални експоненти. Сите дефиниции ќе бидат илустрирани со примери.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Концептот на експоненцијација
Да почнеме со формулирање на основни дефиниции.
Дефиниција 1
Експоненцијација- ова е пресметка на вредноста на моќноста на одреден број.
Односно, зборовите „пресметување на вредноста на моќта“ и „подигање до моќ“ го значат истото. Значи, ако проблемот вели „Подигнете го бројот 0, 5 на петтата сила“, ова треба да се разбере како „пресметете ја вредноста на моќноста (0, 5) 5.
Сега ви ги претставуваме основните правила кои мора да се следат при правење такви пресметки.
Да се потсетиме што е моќ на број со природен експонент. За моќност со основа a и експонент n, ова ќе биде производ на n-тиот број на фактори, од кои секој е еднаков на a. Ова може да се напише вака:
За да ја пресметате вредноста на степенот, треба да извршите дејство за множење, односно да ги помножите основите на степенот одреден број пати. Самиот концепт на диплома со природен експонент се заснова на способноста за брзо множење. Да дадеме примери.
Пример 1
Состојба: подигнете - 2 до моќноста 4.
Решение
Користејќи ја горната дефиниција, пишуваме: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Следно, само треба да ги следиме овие чекори и да добиеме 16.
Да земеме покомплициран пример.
Пример 2
Пресметајте ја вредноста 3 2 7 2
Решение
Овој запис може да се преработи како 3 2 7 · 3 2 7 . Претходно, разгледавме како правилно да ги помножиме мешаните броеви споменати во условот.
Ајде да ги извршиме овие чекори и да го добиеме одговорот: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49
Ако проблемот укажува на потребата да се подигнат ирационалните броеви до природна моќност, ќе треба прво да ги заокружиме нивните основи до цифрата што ќе ни овозможи да добиеме одговор со потребната точност. Ајде да погледнеме на пример.
Пример 3
Изведете го квадратот на π.
Решение
Прво, да го заокружиме на стотинки. Тогаш π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Ако π ≈ 3. 14159, тогаш добиваме попрецизен резултат: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.
Забележете дека потребата за пресметување на моќите на ирационалните броеви се јавува релативно ретко во пракса. Потоа можеме да го напишеме одговорот како самата моќност (ln 6) 3 или да конвертираме ако е можно: 5 7 = 125 5 .
Одделно, треба да се означи која е првата моќност на бројот. Овде можете едноставно да запомните дека секој број подигнат до првата моќност ќе остане сам по себе:
Ова е јасно од снимката 
.
Не зависи од степенот.
Пример 4
Значи, (− 9) 1 = − 9 и 7 3 подигнат до првата моќност ќе останат еднакви на 7 3.
За погодност, ќе испитаме три случаи одделно: ако експонентот е позитивен цел број, ако е нула и ако е негативен цел број.
Во првиот случај, ова е исто како подигање до природна моќност: на крајот на краиштата, позитивните цели броеви припаѓаат на множеството природни броеви. Веќе разговаравме погоре за тоа како да работиме со такви дипломи.
Сега да видиме како правилно да се подигне на нулта моќност. За база различна од нула, оваа пресметка секогаш дава 1. Претходно објаснивме дека 0-тата моќност на a може да се дефинира за кој било реален број што не е еднаков на 0, и a 0 = 1.
Пример 5
5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1
0 0 - не е дефинирано.
Ни останува само случајот на степен со цел број негативен експонент. Веќе разговаравме дека таквите степени можат да се напишат како дропка 1 a z, каде што a е кој било број, а z е негативен цел број. Гледаме дека именителот на оваа дропка не е ништо повеќе од обична моќност со позитивен цел број експонент и веќе научивме како да го пресметаме. Ајде да дадеме примери на задачи.
Пример 6
Подигнете 3 на моќ - 2.
Решение
Користејќи ја горната дефиниција, пишуваме: 2 - 3 = 1 2 3
Да го пресметаме именителот на оваа дропка и да добиеме 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.
Тогаш одговорот е: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8
Пример 7
Подигнете 1,43 на -2 моќност.
Решение
Ајде да преформулираме: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2
Го пресметуваме квадратот во именителот: 1,43·1,43. Дециманите може да се множат на овој начин: 
Како резултат на тоа, добивме (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Сè што треба да направиме е да го напишеме овој резултат во форма на обична дропка, за која треба да го помножиме со 10 илјади (видете го материјалот за претворање на дропки).
Одговор: (1, 43) - 2 = 10000 20449
Посебен случај е подигнување на број на минус прва моќност. Вредноста на овој степен е еднаква на реципрочната вредност на првобитната вредност на основата: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.
Пример 8
Пример: 3 − 1 = 1 / 3
9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .
Како да подигнете број до дробна моќност
За да извршиме таква операција, треба да ја запомниме основната дефиниција за степен со фракционо експонент: a m n = a m n за секој позитивен a, цел број m и природен n.
Дефиниција 2
Така, пресметката на фракционата моќност мора да се изврши во два чекори: подигање до цел број и наоѓање на коренот на n-тата моќност.
Имаме еднаквост a m n = a m n , која, земајќи ги предвид својствата на корените, обично се користи за решавање проблеми во форма a m n = a n m . Ова значи дека ако подигнеме број a на фракциона моќност m / n, тогаш прво го земаме n-тиот корен од a, а потоа резултатот го подигнуваме на моќност со цел број експонент m.
Ајде да илустрираме со пример.
Пример 9
Пресметај 8 - 2 3 .
Решение
Метод 1: Според основната дефиниција, ова можеме да го претставиме како: 8 - 2 3 = 8 - 2 3
Сега да го пресметаме степенот под коренот и да го извлечеме третиот корен од резултатот: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4
Метод 2. Трансформирајте ја основната еднаквост: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2
После ова, го извлекуваме коренот 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 и го квадратуваме резултатот: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4
Гледаме дека решенијата се идентични. Можете да го користите на кој било начин што сакате.
Има случаи кога степенот има индикатор изразен како мешан број или децимална дропка. За да се поедностават пресметките, подобро е да се замени со обична фракција и да се пресмета како што е наведено погоре.
Пример 10
Подигнете 44, 89 на јачината од 2, 5.
Решение
Ајде да ја трансформираме вредноста на индикаторот во обична дропка - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.
Сега ги извршуваме по редослед сите дејства наведени погоре: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 1 = 25107 501, 25107
Одговор: 13 501, 25107.
Ако броителот и именителот на фракциониот експонент содржат големи броеви, тогаш пресметувањето на таквите експоненти со рационални експоненти е прилично тешка работа. Обично бара компјутерска технологија.
Дозволете ни да се задржиме одделно на моќи со нулта основа и фракционо експонент. Изразот на формата 0 m n може да го добие следното значење: ако m n > 0, тогаш 0 m n = 0 m n = 0; ако m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .
Како да подигнете број до ирационална моќ
Потребата да се пресмета вредноста на моќта чиј експонент е ирационален број не се јавува толку често. Во пракса, задачата обично е ограничена на пресметување приближна вредност (до одреден број децимални места). Ова обично се пресметува на компјутер поради сложеноста на таквите пресметки, па затоа нема да се задржиме на ова детално, ќе ги посочиме само главните одредби.
Ако треба да ја пресметаме вредноста на моќта a со ирационален експонент a, тогаш ја земаме децималната апроксимација на експонентот и броиме од неа. Резултатот ќе биде приближен одговор. Колку е попрецизно децималното приближување, толку е попрецизен одговорот. Да покажеме со пример:
Пример 11
Пресметај ја приближната вредност на 21, 174367....
Решение
Да се ограничиме на децималното приближување a n = 1, 17. Ајде да извршиме пресметки користејќи го овој број: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Ако ја земеме, на пример, приближноста a n = 1, 1743, тогаш одговорот ќе биде малку попрецизен: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
Експоненцијата е операција тесно поврзана со множењето; оваа операција е резултат на повеќекратно множење на број сам по себе. Да го претставиме со формулата: a1 * a2 * … * an = an.
На пример, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .
Општо земено, степенувањето често се користи во различни формули во математиката и физиката. Оваа функција има понаучна цел од четирите главни: собирање, одземање, множење, делење.
Подигнување на број на моќ
Подигнувањето на број до моќ не е комплицирана операција. Таа е поврзана со множењето на сличен начин како врската помеѓу множење и собирање. Ознаката an е кратка ознака на n-тиот број на броеви „а“ помножени еден со друг.
Размислете за степенување користејќи ги наједноставните примери, преминувајќи кон сложените.
На пример, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Четири квадрати (до втората моќност) се еднакви на шеснаесет. Ако не го разбирате множењето 4 * 4, тогаш прочитајте ја нашата статија за множење.
Ајде да погледнеме друг пример: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Пет коцки (до трета сила) е еднакво на сто дваесет и пет.
Друг пример: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Девет коцки е еднакво на седумстотини дваесет и девет.
Формули за степенување
За правилно подигање на моќ, треба да ги запомните и знаете формулите дадени подолу. Нема ништо дополнително природно во ова, главната работа е да се разбере суштината и тогаш тие не само што ќе бидат запаметени, туку и ќе изгледаат лесни.
Подигнување на моном на моќ
Што е моном? Ова е производ на броеви и променливи во која било количина. На пример, два е моном. И овој напис е токму за подигање на такви мономи на моќ.
Користејќи ги формулите за степенување, нема да биде тешко да се пресмета степенот на моном.
На пример, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Ако подигнете моном на моќност, тогаш секоја компонента на мономот се подига на моќност.
Со подигање на променлива која веќе има моќ на моќност, моќите се множат. На пример, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;
Подигнување до негативна моќ
Негативна моќност е реципроцитет на број. Кој е реципрочниот број? Реципроцитетот на кој било број X е 1/X. Односно X-1=1/X. Ова е суштината на негативниот степен.
Размислете за примерот (3Y)^-3:
(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).
Зошто е тоа? Бидејќи има минус во степенот, ние едноставно го пренесуваме овој израз на именителот, а потоа го подигаме на третата сила. Едноставно нели?
Подигање до фракциона моќ
Да почнеме со разгледување на проблемот со конкретен пример. 43/2. Што значи степенот 3/2? 3 – броител, значи подигање на број (во овој случај 4) на коцка. Бројот 2 е именителот; тоа е извлекување на вториот корен од бројот (во овој случај, 4).
Потоа го добиваме квадратниот корен од 43 = 2^3 = 8. Одговор: 8.
Значи, именителот на фракционата моќ може да биде или 3 или 4 и до бесконечност кој било број, а овој број го одредува степенот на квадратниот корен земен од даден број. Се разбира, именителот не може да биде нула.
Подигање корен на моќ
Ако коренот е подигнат до степен еднаков на степенот на самиот корен, тогаш одговорот ќе биде радикален израз. На пример, (√x)2 = x. И така во секој случај, степенот на коренот и степенот на подигање на коренот се еднакви.
Ако (√x)^4. Потоа (√x)^4=x^2. За да го провериме решението, изразот го претвораме во израз со фракциона моќ. Бидејќи коренот е квадрат, именителот е 2. А ако коренот се подигне до четврти степен, тогаш броителот е 4. Добиваме 4/2=2. Одговор: x = 2.
Во секој случај, најдобрата опција е едноставно да го претворите изразот во израз со фракциона моќ. Ако дропката не се откаже, тогаш ова е одговорот, под услов коренот на дадениот број да не е изолиран.
Подигнување на комплексен број на моќ
Што е сложен број? Комплексен број е израз кој ја има формулата a + b * i; a, b се реални броеви. i е број кој, кога е на квадрат, го дава бројот -1.
Ајде да погледнеме на пример. (2 + 3i)^2.
(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.
Пријавете се на курсот „Забрзајте ја менталната аритметика, НЕ менталната аритметика“ за да научите како брзо и правилно да собирате, одземате, множите, делите, квадратите на броевите, па дури и да извлекувате корени. За 30 дена, ќе научите како да користите лесни трикови за да ги поедноставите аритметичките операции. Секоја лекција содржи нови техники, јасни примери и корисни задачи.
Експоненцијација онлајн
Користејќи го нашиот калкулатор, можете да го пресметате подигањето на број до моќност:
Експоненција 7 одделение
Учениците почнуваат да се издигнуваат на моќ дури во седмо одделение.
Експоненцијата е операција тесно поврзана со множењето; оваа операција е резултат на повеќекратно множење на број сам по себе. Да го претставиме со формулата: a1 * a2 * … * an=an.
На пример, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.
Примери за решение:
Експонентациска презентација
Презентација за подигање до моќ, наменета за седмоодделенци. Презентацијата може да разјасни некои нејасни точки, но овие точки веројатно нема да бидат расчистени благодарение на нашата статија.
Крајна линија
Го разгледавме само врвот на ледениот брег, за подобро да ја разбереме математиката - пријавете се за нашиот курс: Забрзување на менталната аритметика - НЕ ментална аритметика.
Од курсот не само што ќе научите десетици техники за поедноставено и брзо множење, собирање, множење, делење и пресметување проценти, туку ќе ги практикувате и во специјални задачи и едукативни игри! Менталната аритметика бара и многу внимание и концентрација, кои активно се тренираат при решавање на интересни проблеми.