Онлајн калкулатор.
Изолирање на квадрат на бином и факторингирање на квадратен трином.
Ова математичка програма го разликува квадратниот бином од квадратниот трином, т.е. прави трансформација како: \(ax^2+bx+c \десна стрелка a(x+p)^2+q \) и факторизира квадратен трином : \(ax^2+bx+c \десно стрелка a(x+n)(x+m) \)
Оние. проблемите се сведуваат на наоѓање на броевите \(p, q\) и \(n, m\)
Програмата не само што дава одговор на проблемот, туку го прикажува и процесот на решавање.
Оваа програма може да биде корисна за средношколците средните училиштаво подготовка за тестовии испити, при проверка на знаењето пред обединет државен испит, за родителите да го контролираат решавањето на многу проблеми по математика и алгебра. Или можеби е премногу скапо за вас да ангажирате учител или да купите нови учебници? Или само сакате да го завршите тоа што е можно побрзо? домашна работапо математика или алгебра? Во овој случај, можете да ги користите и нашите програми со детални решенија.
На овој начин можете да спроведете сопствена обука и/или ваша обука. помлади браќаили сестри, додека нивото на образование во областа на проблемите што се решаваат се зголемува.
Доколку не сте запознаени со правилата за внесување на квадратен трином, ви препорачуваме да се запознаете со нив.
Правила за внесување квадратен полином
Секоја латинска буква може да дејствува како променлива.
На пример: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), итн.
Броевите може да се внесат како цели или фракциони броеви.
Згора на тоа, дробни броевиможе да се внесе не само како децимална, туку и како обична дропка.
Правила за внесување децимални дропки.
Во децимали дропкаможе да се одвои од целината или со точка или со запирка.
На пример, можете да внесете децималивака: 2,5x - 3,5x^2
Правила за внесување обични дропки.
Само цел број може да дејствува како броител, именител и цел број на дропка.
Именителот не може да биде негативен.
При влегувањето нумеричка дропкаБројачот е одделен од именителот со знак за делење: /
Целиот дел е одделен од дропот со знакот за амперсенд: &
Влез: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Резултат: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)
При внесување на израз можете да користите загради. Во овој случај при решавањето прво се поедноставува воведениот израз.
На пример: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)
Пример детално решение
Изолирање на квадрат на бином.$$ ax^2+bx+c \десно стрелка a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \десно)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \десно)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\лево (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \десно)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \десно)^2 \десно)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\лево(x+\frac(1)(2) \десно)^2-\frac(9)(2) $$ Одговор:$$2x^2+2x-4 = 2\лево(x+\frac(1)(2) \десно)^2-\frac(9)(2) $$ Факторизација.$$ ax^2+bx+c \десно стрелка a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\лево(x^2+x-2 \десно) = $$
$$ 2 \лево(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \десно) = $$ $$ 2 \лево(x \лево(x +2 \десно) -1 \лево(x +2 \десно ) \десно) = $$ $$ 2 \лево(x -1 \десно) \лево(x +2 \десно) $$ Одговор:$$2x^2+2x-4 = 2 \лево(x -1 \десно) \лево(x +2 \десно) $$
Откриено е дека некои скрипти неопходни за решавање на овој проблем не се вчитани и дека програмата може да не работи.
Можеби имате овозможено AdBlock.
Во овој случај, оневозможете го и освежете ја страницата.
За да се појави решението, треба да овозможите JavaScript.
Еве инструкции за тоа како да овозможите JavaScript во вашиот прелистувач.
Бидејќи Има многу луѓе кои се подготвени да го решат проблемот, вашето барање е на ред.
За неколку секунди решението ќе се појави подолу.
Ве молам почекајте сек...
Ако ти забележал грешка во решението, тогаш можете да напишете за ова во Формуларот за повратни информации.
Не заборавај посочете која задачавие одлучувате што внесете во полињата.
Нашите игри, загатки, емулатори:
Малку теорија.
Изолирање на квадрат на бином од квадратен трином
Ако квадратниот трином ax 2 +bx+c е претставен како a(x+p) 2 +q, каде што p и q се реални броеви, тогаш велат дека од квадратен трином, квадратот на биномот е означен.
Од триномот 2x 2 +12x+14 го извлекуваме квадратот на биномот.
\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)
За да го направите ова, замислете 6x како производ од 2*3*x, а потоа додадете и одземете 3 2. Добиваме:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$
Тоа. Ние извлечете го квадратниот бином од квадратниот триноми покажа дека:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$
Факторирање на квадратен трином
Ако квадратниот трином ax 2 +bx+c е претставен во форма a(x+n)(x+m), каде што n и m се реални броеви, тогаш се вели дека операцијата е извршена факторизација на квадратен трином.
Да покажеме со пример како се прави оваа трансформација.
Да го пресметаме квадратниот трином 2x 2 +4x-6.
Да го извадиме коефициентот a од загради, т.е. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)
Ајде да го трансформираме изразот во загради.
За да го направите ова, замислете 2x како разлика 3x-1x, и -3 како -1*3. Добиваме:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$
Тоа. Ние факторинг на квадратниот триноми покажа дека:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$
Забележете дека факторингирање на квадратен трином е можно само ако квадратната равенка што одговара на овој трином има корени.
Оние. во нашиот случај, можно е да се факторизира триномот 2x 2 +4x-6 ако квадратната равенка 2x 2 +4x-6 =0 има корени. Во процесот на факторизација, утврдивме дека равенката 2x 2 + 4x-6 = 0 има два корени 1 и -3, бидејќи со овие вредности равенката 2(x-1)(x+3)=0 се претвора во вистинска еднаквост.
Дефиниција
Изразите на формата 2 x 2 + 3 x + 5 се нарекуваат квадратни триноми. ВО општ случајквадратен трином е израз на формата a x 2 + b x + c, каде што a, b, c a, b, c - произволни броеви, и a ≠ 0.
Размислете за квадратниот трином x 2 - 4 x + 5. Ајде да го напишеме во оваа форма: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Ајде да додадеме 2 2 на овој израз и да одземеме 2 2, добиваме: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Забележете дека x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, па x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Трансформацијата што ја направивме се вика „Изолирање на совршен квадрат од квадратен трином“.
Истакнете совршен квадратод квадратниот трином 9 x 2 + 3 x + 1.
Забележете дека 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Потоа `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Додадете и одземете `(1/2)^2` на добиениот израз, добиваме
`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.
Ќе покажеме како методот на изолирање на совршен квадрат од квадратен трином се користи за да се факторизира квадратен трином.
Факторирајте го квадратниот трином 4 x 2 - 12 x + 5.
Го избираме совршениот квадрат од квадратниот трином: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Сега ја применуваме формулата a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , добиваме: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x-1).
Факторирајте го квадратниот трином - 9 x 2 + 12 x + 5.
9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Сега забележуваме дека 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.
Го додаваме терминот 2 2 на изразот 9 x 2 - 12 x, добиваме:
3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .
Ја применуваме формулата за разликата на квадратите, имаме:
9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .
Факторирајте го квадратниот трином 3 x 2 - 14 x - 5 .
Не можеме да го претставиме изразот 3 x 2 како квадрат на некој израз, бидејќи тоа сè уште не сме го проучувале во училиште. Низ ова ќе поминете подоцна, а во Задача бр. 4 ќе учиме квадратни корени. Ајде да покажеме како можете да факторизирате даден квадратен трином:
`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`
`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`
`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.
Ќе ви покажеме како да го користите методот на совршен квадрат за да ја пронајдете најголемата или најмалата вредност на квадратен трином.
Размислете за квадратниот трином x 2 - x + 3. Изберете целосен квадрат:
`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Имајте предвид дека кога `x=1/2` вредноста на квадратниот трином е `11/4`, а кога `x!=1/2` се додаде вредноста на `11/4` позитивен број, па добиваме број поголем од `11/4`. Така, најмала вредностквадратниот трином е `11/4` и се добива кога `x=1/2`.
Најдете ја најголемата вредност на квадратниот трином - 16 2 + 8 x + 6.
Избираме совршен квадрат од квадратен трином: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .
Кога `x=1/4` вредноста на квадратниот трином е 7, а кога `x!=1/4` од бројот 7 се одзема позитивен број, односно добиваме број помал од 7. Значи бројот 7 е највисока вредностквадратен трином, а се добива кога `x=1/4`.
Факторирајте ги броителот и именителот на дропката `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` и намалете ја дропката.
Забележете дека именителот на дропката x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Да го факторизираме броителот на дропката користејќи го методот на изолирање на целосен квадрат од квадратен трином. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .
Оваа дропкадоведе до формата `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` по намалувањето за (x - 3) добиваме `(x+5)/(x-3)`.
Факторирајте го полиномот x 4 - 13 x 2 + 36.
Дозволете ни да го примениме методот на изолирање на целосен квадрат на овој полином. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`
x повикан
1.2.3. Користење на скратени идентитети за множење
Пример. Фактор x 4 16.
x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .
1.2.4. Факторирање на полином со помош на неговите корени
Теорема. Нека полиномот P x има корен x 1 . Тогаш овој полином може да се факторизира на следниов начин: P x x x 1 S x , каде што S x е некој полином чиј степен е еден помал
вредности наизменично во изразот за P x. Добиваме дека кога x 2 ти-
изразот ќе се претвори во 0, односно P 2 0, што значи дека x 2 е коренот на мулти-
член. Поделете го полиномот P x со x 2 .
X 3 3x 2 10x 24 | ||
x 32 x 2 | 24 10 x | x2 x12 |
12x2412x24
P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3
x2 x3 x4
1.3. Избор на целосен квадрат
Методот за избор на целосен квадрат се заснова на употребата на формулите: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .
Изолирањето на целосен квадрат е трансформација на идентитетот во која даден трином е претставен како b 2 збирот или разликата на квадратот на биномот и некој нумерички или азбучен израз.
Квадратен трином во однос на променлива големинаима израз на формата
секира 2 bx c , каде што a ,b и c - дадени бројки, и 0 . | |||||||||||||
Да ја трансформираме квадратната триномна секира 2 bx c на следниов начин. | x2: |
||||||||||||
коефициент | |||||||||||||
Потоа го претставуваме изразот b x како 2b x (двојно од производот
x):а x | ||||||||||||||||
На изразот во заграда го собираме и одземаме бројот од него
што е квадрат на број | Како резултат добиваме: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Забележувајќи го сега тоа | Добиваме | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4а 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. Изберете целосен квадрат. | 2 x 12 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x 2 4x 5 2x 2 2x 5 | 2 x 2 2x 1 15 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 x 12 7.
4 а 2,
1.4. Полиноми во неколку променливи
Полиномите во неколку променливи, како полиномите во една променлива, може да се додаваат, множат и да се подигнат до природна моќност.
Важно идентична трансформацијаполином во неколку променливи е факторизација. Овде се користат такви методи на факторизација како отстранување заеднички мултипликаторнадвор од заградите, групирање, користење скратени идентитети за множење, истакнување на целосниот квадрат, воведување помошни променливи.
1. Факторирајте го полиномот P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .
2 x 5128 x 2 y 32 x 2x 364 y 32 x 2x 4 y x 24 x 16 y 2.
2. Фактор P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz. Да го примениме методот на групирање
20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y
4 x3 y5 x z.
3. Фактор P x ,y x 4 4y 4 . Ајде да избереме целосен квадрат:
x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2
x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.
1.5. Својства на степен со кој било рационален експонент
Диплома со која било рационален индикаторги има следните својства:
1. a r 1a r 2a r 1r 2,
a r 1a r 2a r 1r 2, |
||||||
3. a r 1r 2 a r 1r 2, |
||||||
4. абр 1 ар 1 бр 1, |
||||||
a r 1 | ar 1 |
|||||
бр 1 |
||||||
каде што 0;b 0;r 1;r 2 се произволни рационални броеви.
1. Помножете 8 | x 3 12 x 7. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24 x 23. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 x 3 12 x 7 x 8x 12x 8 12 x 24 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Факторизирај | а 2x3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.6. Вежби кои треба да ги правите сами
1. Изведете дејства користејќи скратени формули за множење. 1)а 52;
2) 3 а 72 ;
3) a nb n2 .
4) 1 x 3 ;
3 г 3; | |||||
7) 8 a 2 8a 2 ;
8) а нб ка кб на нб ка кб н.
9) a 2 b a2 2 ab4 b2;
10) a 3a 2 3a 9;
11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3
2. Пресметајте користејќи скратени идентитети за множење:
1) 53 2 432 ;
2) 22,4 2 22,32 ;
4) 30 2 2 ;
5) 51 2 ;
6) 99 2 ;
7) 17 2 2 17 23 232 ;
8) 85 2 2 85 15 152 .
3. Докажете ги идентитетите:
1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;
2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2 ;
3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .
4. Факторирајте ги следните полиноми:
1) 3 x a2 a2;
2) ac 7 bc3 a21 b;
3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;
4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2;
5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;
6) 24 ax38 bx12 a19 b;
7) 25 a 21 b 2q 2;
8) 9 5 a 4b 2 64a 2 ;
9) 121 n 2 3n 2t 2;
10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;
11) p 4 6 p2 k9 k2 ;
12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;
13) 6 x 3 36x 2 72x 48;
14) 15 секира 3 45 секира 2 45 секира 15 а;
15) 9 a 3 n 1 4.5a 2 n 1;
16) 5 p 2 n q n 15 p 5 n q 2 n ;
17) 4 a 7b 232 a 4b 5;
18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2 ;
19) 1000 t 3 27t 6 .
5. Пресметајте на наједноставен начин:
1) 59 3 413 ;
2) 67 3 523 67 52. 119
6. Најдете го количникот и остатокот од полиномот P x со полиномQ x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;
2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Q x x4 4 x2 .
7. Докажи дека полиномот x 2 2x 2 нема вистински корени.
8. Најдете ги корените на полиномот:
1) x 3 4 x;
2) x 3 3x 2 5x 15.
9. Фактор:
1) 6 a 2 a 5 5a 3 ;
2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2 ;
3) x 3 6x 2 11x 6.
10. Решете ги равенките со изолирање на целосен квадрат:
1) x 2 2x 3 0;
2) x 2 13x 30 0 .
11. Најдете ги значењата на изразите:
4 3 85 | ||||
16 6 | ||||
2 520 9 519 | ||||
1254
3) 5 3 25 7 ;
4) 0,01 2 ;
5) 06 .
12. Пресметајте:
16 0,25 | 16 0,25 | |||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||