Дропка- форма на претставување број во математиката. Лентата со дропка ја означува операцијата за делење. броителдропка се нарекува дивиденда, и именител- делител. На пример, во дропка броителот е 5, а именителот е 7.

ТочноСе нарекува дропка во која модулот на броителот е поголем од модулот на именителот. Ако дропка е соодветна, тогаш модулот на неговата вредност е секогаш помал од 1. Сите други дропки се погрешно.

Дропката се нарекува измешани, ако се пишува како цел број и дропка. Ова е исто како и збирот на овој број и дропот:

Главното својство на дропка

Ако броителот и именителот на дропката се помножат со ист број, тогаш вредноста на дропката нема да се промени, односно, на пример,

Намалување на дропките на заеднички именител

За да донесете две дропки до заеднички именител, потребно е:

1. Помножете го броителот на првата дропка со именителот на втората
2. Помножете го броителот на втората дропка со именителот на првата
3. Заменете ги именителот на двете дропки со нивниот производ

Операции со дропки

Додаток.За да додадете две дропки ви требаат

1. Додадете ги новите броители на двете дропки и оставете го именителот непроменет

Пример:

Одземање.За да одземете една дропка од друга, ви треба

1. Намали ги дропките на заеднички именител
2. Одземете го броителот на втората од броителот на првата дропка и оставете го именителот непроменет

Пример:

Множење.За да помножите една дропка со друга, помножете ги нивните броители и именители:

Поделба.За да се подели една дропка со друга, помножете го броителот на првата дропка со именителот на втората, а именителот на првата дропка помножете го со броителот на втората:

Дефиниција на заедничка дропка

Дефиниција 1

Обичните дропки се користат за да се опише бројот на делови. Ајде да погледнеме пример што може да се користи за да се дефинира заедничка дропка.

Јаболкото беше поделено на акции од 8 долари. Во овој случај, секоја акција претставува една осмина од целото јаболко, т.е. $\frac(1)(8)$. Две акции се означуваат со $\frac(2)(8)$, три акции со $\frac(3)(8)$ итн., а акциите на $8$ со $\frac(8)(8)$. Секој од претставените записи се нарекува обична дропка.

Да дадеме општа дефиниција за обична дропка.

Дефиниција 2

Заедничка дропкасе нарекува нотација на формата $\frac(m)(n)$, каде што $m$ и $n$ се ​​сите природни броеви.

Често може да ја најдете следната нотација за заедничка дропка: $m/n$.

Пример 1

Примери на заеднички дропки:

\[(3)/(4), \frac(101)(345),\ \ (23)/(5), \frac(15)(15), (111)/(81).\]

Забелешка 1

Броеви $\frac(\sqrt(2))(3)$, $-\frac(13)(37)$, $\frac(4)(\frac(2)(7))$, $\frac( 2,4)(8,3)$ не се обични дропки, бидејќи не одговараат на горната дефиниција.

Броител и именител

Заедничката дропка се состои од броител и именител.

Дефиниција 3

броителОбична дропка $\frac(m)(n)$ е природен број $m$, кој го покажува бројот на еднакви делови земени од една целина.

Дефиниција 4

ИменителотОбична дропка $\frac(m)(n)$ е природен број $n$, кој покажува на колку еднакви делови е поделена целата целина.

Слика 1.

Броителот се наоѓа над дропната линија, а именителот се наоѓа под дропната линија. На пример, броителот на заедничката дропка $\frac(5)(17)$ е бројот $5$, а именителот е бројот $17$. Именителот покажува дека ставката е поделена на акции од $17 $, а броителот покажува дека такви акции се земени $5 $.

Природен број како дропка со именител 1

Именителот на заедничка дропка може да биде еден. Во овој случај, предметот се смета за неделив, т.е. претставува единствена целина. Бројачот на таква дропка покажува колку цели предмети се земени. Обична дропка од формата $\frac(m)(1)$ има значење на природен број $m$. Така, ја добиваме добро основаната еднаквост $\frac(m)(1)=m$.

Ако ја преработиме еднаквоста во форма $m=\frac(m)(1)$, тогаш тоа ќе овозможи да се претстави секој природен број $m$ како обична дропка. На пример, бројот $5$ може да се претстави како дропка $\frac(5)(1)$, бројот $123\456$ може да се претстави како дропка $\frac(123\456)(1)$.

Така, секој природен број $m$ може да се претстави како обична дропка со именител $1$, а секоја обична дропка од формата $\frac(m)(1)$ може да се замени со природен број $m$.

Дробна лента како знак за делење

Претставувањето на објект во форма на $n$ делови е поделба на $n$ еднакви делови. Откако ќе се подели ставка на $n$ акции, може да се подели подеднакво помеѓу $n$ луѓе - секој ќе добие по една акција.

Нека има $m$ идентични објекти поделени на $n$ делови. Овие $m$ ставки може да се поделат подеднакво меѓу $n$ луѓе со тоа што на секое лице ќе му се даде по еден дел од секоја од ставките од $m$. Во овој случај, секое лице ќе добие $m$ акции од $\frac(1)(n)$, кои ја даваат заедничката дропка $\frac(m)(n)$. Откривме дека заедничката дропка $\frac(m)(n)$ може да се користи за означување на поделбата на $m$ ставки помеѓу $n$ луѓе.

Врската помеѓу обичните дропки и делењето се изразува во тоа што фракционата лента може да се разбере како знак за делење, т.е. $\frac(m)(n)=m:n$.

Обична дропка овозможува да се запише резултатот од делење два природни броја за кои не е извршена цела поделба.

Пример 2

На пример, резултатот од делење на $7$ јаболка со $9$ луѓе може да се напише како $\frac(7)(9)$, т.е. секој ќе добие седум деветини од јаболко: $7:9=\frac(7)(9)$.

Еднакви и нееднакви дропки, споредба на дропки

Резултатот од споредувањето на две обични дропки може да биде или нивната еднаквост или нивната неравенка. Кога обичните дропки се еднакви, тие се нарекуваат еднакви, во спротивно, обичните дропки се нарекуваат нееднакви.

еднакви, ако еднаквоста $a\cdot d=b\cdot c$ е точно.

Обичните дропки $\frac(a)(b)$ и $\frac(c)(d)$ се нарекуваат нееднаков, ако еднаквоста $a\cdot d=b\cdot c$ не важи.

Пример 3

Откријте дали дропките $\frac(1)(3)$ и $\frac(2)(6)$ се еднакви.

Равенството е исполнето, што значи дека дропките $\frac(1)(3)$ и $\frac(2)(6)$ се еднакви: $\frac(1)(3)=\frac(2)( 6) $.

Овој пример може да се разгледа со користење на јаболка: едно од двете идентични јаболка е поделено на три еднакви акции, а второто на акции од 6 долари. Може да се види дека две шестини од јаболко сочинуваат удел $\frac(1)(3)$.

Пример 4

Проверете дали обичните дропки $\frac(3)(17)$ и $\frac(4)(13)$ се еднакви.

Ајде да провериме дали важи еднаквоста $a\cdot d=b\cdot c$:

\ \

Равенството не важи, што значи дека дропките $\frac(3)(17)$ и $\frac(4)(13)$ не се еднакви: $\frac(3)(17)\ne \frac( 4) (13) $.

Со споредување на две заеднички дропки и откривање дека тие не се еднакви, можете да откриете која е поголема, а која е помала од другата. За да го направите ова, користете го правилото за споредување на обичните дропки: треба да ги доведете дропките до заеднички именител, а потоа да ги споредите нивните броители. Која дропка има поголем броител, таа дропка ќе биде и поголемиот.

Дропки на координатен зрак

Сите дробни броеви кои одговараат на обичните дропки може да се прикажат на координатен зрак.

За да се означи точка на координатен зрак што одговара на дропот $\frac(m)(n)$, потребно е да се исцртаат $m$ сегменти од потеклото на координатите во позитивна насока, чија должина е $\ frac(1)(n)$ дел од единечен сегмент. Таквите отсечки се добиваат со делење на единичен сегмент на $n$ еднакви делови.

За да прикажете фракционен број на координатен зрак, треба да го поделите единечниот сегмент на делови.

Слика 2.

Еднаквите дропки се опишуваат со ист дробен број, т.е. еднакви дропки ги претставуваат координатите на иста точка на координатниот зрак. На пример, координатите $\frac(1)(3)$, $\frac(2)(6)$, $\frac(3)(9)$, $\frac(4)(12)$ го опишуваат истата точка на координатниот зрак, бидејќи сите напишани дропки се еднакви.

Ако точката е опишана со координата со поголема дропка, тогаш таа ќе се наоѓа десно на хоризонтален координатен зрак насочен надесно од точката чија координата е помала дропка. На пример, затоа што дропката $\frac(5)(6)$ е поголема од дропката $\frac(2)(6)$, тогаш точката со координата $\frac(5)(6)$ се наоѓа десно од точка со координата $\frac(2) (6)$.

Исто така, точка со помала координата ќе лежи лево од точка со поголема координата.

Дропки на единица и е претставена како \frac(a)(b).

Броител на дропка (а)- бројот што се наоѓа над линијата на дропка и го покажува бројот на акции на кои е поделена единицата.

Именителот на дропка (б)- бројот што се наоѓа под линијата на дропката и покажува на колку делови е поделена единицата.

Сокриј Прикажи

Главното својство на дропка

Ако ad=bc тогаш две дропки \frac(a)(b)И \frac(c)(d)се сметаат за еднакви. На пример, дропките ќе бидат еднакви \frac35И \frac(9)(15), бидејќи 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7)И \frac(24)(14), бидејќи 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Од дефиницијата за еднаквост на дропките произлегува дека дропките ќе бидат еднакви \frac(a)(b)И \frac(am)(bm), бидејќи a(bm)=b(am) е јасен пример за употреба на асоцијативните и комутативните својства на множење на природни броеви во акција.

Средства \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- вака изгледа главно својство на дропка.

Со други зборови, добиваме дропка еднаква на дадената со множење или делење на броителот и именителот на првобитната дропка со истиот природен број.

Намалување на дропкае процес на замена на дропка во која новата дропка е еднаква на првобитната, но со помал броител и именител.

Вообичаено е да се намалуваат дропките врз основа на основното својство на дропката.

На пример, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(броителот и именителот се делат со бројот 3); добиената дропка може повторно да се намали со делење со 5, т.е \frac(15)(20)=\frac 34.

Нередуцирана дропкае дел од формата фрак 34, каде што броителот и именителот се меѓусебно прости броеви. Главната цел на намалување на дропка е да се направи дропка нередуцирана.

Намалување на дропките на заеднички именител

Да земеме две дропки како пример: \frac(2)(3)И \frac(5)(8)со различни именители 3 и 8. За да ги доведеме овие дропки до заеднички именител, прво ги множиме броителот и именителот на дропката \frac(2)(3)до 8. Го добиваме следниот резултат: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Потоа ги множиме броителот и именителот на дропката \frac(5)(8)од 3. Како резултат добиваме: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Значи, оригиналните дропки се сведени на заеднички именител 24.

Аритметички операции на обични дропки

Собирање на обични дропки

а) Ако именителот се исти, броителот на првата дропка се додава на броителот на втората дропка, оставајќи го именителот ист. Како што можете да видите во примерот:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

б) За различни именители, дропките прво се сведуваат на заеднички именител, а потоа броителите се собираат според правилото а):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Одземање на дропки

а) Ако именителот се исти, одземете го броителот на втората дропка од броителот на првата дропка, оставајќи го именителот ист:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

б) Ако именителот на дропките се различни, тогаш прво дропките се доведуваат до заеднички именител, а потоа се повторуваат дејствата како во точката а).

Множење на заеднички дропки

Множењето на дропките го почитува следново правило:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

односно одделно ги множат броителите и именителот.

На пример:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Делење дропки

Дропките се делат на следниов начин:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

односно дропка \frac(a)(b)помножено со дропка \frac(d)(c).

Пример: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Реципрочни броеви

Ако ab=1 , тогаш бројот b е реципрочен бројза бројот а.

Пример: за бројот 9 реципрочно е \frac(1)(9), бидејќи 9\cdot\frac(1)(9)=1, за бројот 5 - \frac(1)(5), бидејќи 5\cdot\frac(1)(5)=1.

Децимали

Децималнанаречена правилна дропка чиј именител е 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n.

На пример: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.

На ист начин се пишуваат и неправилните броеви со именител 10^n или мешани броеви.

На пример: 5 \ frac (1) (10) = 5,1; \ простор \ frac (763) (100) = 7 \ frac (63) (100) = 7,63.

Секоја обична дропка со именител кој е делител на одреден степен од 10 е претставена како децимална дропка.

Пример: 5 е делител на 100, значи е дропка \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.

Аритметички операции на децимали

Додавање децимали

За да додадете две децимални дропки, треба да ги распоредите така што да има идентични цифри една под друга и запирка под запирка, а потоа да ги соберете дропките како обични броеви.

Одземање децимали

Се изведува на ист начин како додавање.

Множење децимали

При множење на децимални броеви, доволно е да се помножат дадените броеви, не обрнувајќи внимание на запирки (како природните броеви), а при добиениот одговор, запирка десно одвојува онолку цифри колку што има по децималната точка кај двата фактора. во целост.

Ајде да помножиме 2,7 со 1,3. Имаме 27 \cdot 13=351 . Со запирка одвојуваме две цифри од десната страна (првиот и вториот број имаат една цифра по децималната точка; 1+1=2). Како резултат на тоа, добиваме 2,7 \cdot 1,3=3,51.

Ако добиениот резултат содржи помалку цифри отколку што треба да се одделат со запирка, тогаш нулите што недостасуваат се напишани пред, на пример:

За да се помножите со 10, 100, 1000, треба да ја преместите децималната точка 1, 2, 3 цифри надесно (доколку е потребно, одреден број нули се доделуваат десно).

На пример: 1,47\cdot 10\,000 = 14,700.

Децимална поделба

Делењето децимална дропка со природен број се врши на ист начин како и делењето на природен број со природен број. Запирката во количник се става откако ќе се заврши делењето на целиот дел.

Ако целобројниот дел од дивидендата е помал од делителот, тогаш одговорот е нула цели броеви, на пример:

Ајде да погледнеме како делиме децимална со децимала. Да речеме дека треба да се подели 2.576 со 1.12. Најпрво, да ги помножиме дивидендата и делителот на дропката со 100, односно да ја поместиме децималната точка надесно во дивидендата и делителот за онолку цифри колку што има во делителот по децималната точка (во овој пример, два). Потоа треба да го поделите дропот 257,6 со природниот број 112, односно проблемот се сведува на веќе разгледаниот случај:

Се случува конечната децимална дропка да не се добива секогаш кога се дели еден број со друг. Резултатот е бесконечна децимална дропка. Во такви случаи, преминуваме на обични дропки.

2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1) (9).

Броител и именител на дропка. Видови дропки. Ајде да продолжиме да ги гледаме дропките. Прво, мало одрекување - додека ги разгледуваме дропките и соодветните примери со нив, засега ќе работиме само со неговото нумеричко претставување. Има и изрази со фракционо букви (со и без броеви).Сепак, за нив важат и сите „принципи“ и правила, но за таквите изрази ќе зборуваме посебно во иднина. Препорачувам да ја посетите и проучувате (запомните) темата за дропките чекор по чекор.

Најважно е да разберете, запомните и сфатите дека ДРОПКА е БРОЈ!!!

Заедничка дропкае број на формата:

Бројот лоциран „на врвот“ (во овој случај m) се нарекува броител, бројот што се наоѓа подолу (број n) се нарекува именител. Оние кои штотуку ја допреа темата често имаат конфузија околу тоа како ја нарекуваат.

Еве еден трик како засекогаш да запомните каде е броителот, а каде именителот. Оваа техника е поврзана со вербално-фигуративна асоцијација. Замислете тегла со заматена вода. Познато е дека додека водата се таложи, чистата вода останува на врвот, а заматеноста (нечистотијата) се таложи, запомнете:

CHISS топена вода ГОРЕ (CHISS litel top)

Грја Водата Z33NN е ДОЛУ (Аменаторот ZNNNN е подолу)

Така, штом ќе се појави потреба да се потсетиме каде е броителот, а каде именителот, веднаш визуелно замисливме тегла со наталожена вода, со ЧИСТА вода одозгора и ВАЛКАНА вода на дното. Има и други мемориски трикови, ако ви помогнат, тогаш добро.

Примери на заеднички дропки:

Што значи хоризонталната линија помеѓу броевите? Ова не е ништо повеќе од знак за поделба. Излегува дека дропка може да се смета како пример за дејство на делење. Оваа акција е едноставно снимена во оваа форма. Тоа е, горниот број (броител) се дели со долниот (именителот):

Покрај тоа, постои уште една форма на нотација - дропка може да се напише вака (преку коса црта):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 и така натаму...

Горенаведените дропки можеме да ги запишеме вака:

Резултатот од делењето е како се знае овој број.

Сфативме - ОВА Е ДРОПЕН БРОЈ!!!

Како што веќе забележавте, во заедничка дропка броителот може да биде помал од именителот, може да биде поголем од именителот и може да биде еднаков на него. Тука има многу важни точки кои се интуитивно разбирливи, без никакви теоретски доработки. На пример:

1. Дропките 1 и 3 можат да се напишат како 0,5 и 0,01. Ајде да скокнеме малку напред - ова се децимални фракции, ќе зборуваме за нив малку пониско.

2. Дропките 4 и 6 резултираат со цел број 45:9=5, 11:1 = 11.

3. Дропката 5 резултира со еден 155:155 = 1.

Кои заклучоци се сугерираат? Следно:

1. Бројачот кога се дели со именителот може да даде конечен број. Можеби нема да работи, поделете со колона 7 на 13 или 17 на 11 - нема шанси! Може да се делите бесконечно, но ние исто така ќе зборуваме за ова подолу.

2. Дропка може да резултира со цел број. Затоа, можеме да претставиме кој било цел број како дропка, поточно бесконечна низа на дропки, погледнете, сите овие дропки се еднакви на 2:

Повеќе! Секогаш можеме да напишеме кој било цел број како дропка - самиот број е во броителот, единицата е во именителот:

3. Секогаш можеме да претставиме единица како дропка со кој било именител:

*Овие точки се исклучително важни за работа со дропки при пресметки и трансформации.

Видови дропки.

И сега за теоретската поделба на обичните дропки. Тие се поделени на правилно и погрешно.

Тропката чиј броител е помал од неговиот именител се нарекува правилна дропка. Примери:

Тропката чиј броител е поголем или еднаков на именителот се нарекува неправилна дропка. Примери:

Мешана фракција(мешан број).

Мешана дропка е дропка напишана како цел број и соодветна дропка и се подразбира како збир на овој број и неговиот дробен дел. Примери:

Мешаната дропка секогаш може да се претстави како неправилна дропка и обратно. Ајде да продолжиме!

Децимални дропки.

Веќе ги допревме погоре, ова се примери (1) и (3), сега подетално. Еве примери на децимални дропки: 0,3 0,89 0,001 5,345.

Дропката чиј именител е моќ од 10, како што се 10, 100, 1000 итн., се нарекува децимална. Не е тешко да се напишат првите три наведени дропки во форма на обични фракции:

Четвртата е мешана дропка (мешан број):

Децималната дропка ја има следната форма - созапочнува целиот дел, потоа раздвојувачот на целината и фракционите делови е точка или запирка, а потоа фракциониот дел, бројот на цифрите на дробниот дел е строго определен со димензијата на дробниот дел: ако тие се десетини, фракциониот дел се запишува како едноцифрена; ако илјадити - три; десет илјадити - четири итн.

Овие дропки можат да бидат конечни или бесконечни.

Примери за завршни децимални дропки: 0,234; 0,87; 34.00005; 5.765.

Примерите се бесконечни. На пример, бројот Pi е бесконечна децимална дропка, исто така – 0,333333333333…... 0,16666666666…. и други. Исто така резултат на извлекување на коренот на броевите 3, 5, 7 итн. ќе биде бесконечна дропка.

Дробниот дел може да биде цикличен (содржи циклус), двата примери погоре се токму вакви и повеќе примери:

0,123123123123...... циклус 123

0,781781781718...... циклус 781

0,0250102501…. циклус 02501

Тие можат да бидат напишани како 0, (123) 0, (781) 0, (02501).

Бројот Пи не е циклична дропка, како, на пример, коренот од три.

Во примерите подолу, ќе звучат зборови како „превртување“ на дропка - тоа значи дека броителот и именителот се заменети. Всушност, таквата дропка има име - реципрочна дропка. Примери на реципрочни дропки:

Мало резиме! Дропките се:

Обични (точни и неточни).

Децимали (конечни и бесконечни).

Мешани (мешани броеви).

Тоа е се!

Со почит, Александар.

1 Што се обични дропки? Видови дропки.
Дропката секогаш значи дел од целината. Факт е дека количината не може секогаш да се изрази во природни броеви, односно повторно да се пресмета: 1,2,3 итн. Како, на пример, одредувате половина лубеница или четвртина час? Затоа се појавија дропки или броеви.

За почеток, мора да се каже дека генерално постојат два вида дропки: обични дропки и децимални дропки. Обичните дропки се пишуваат вака:
Децималните дропки се пишуваат поинаку:

Обичните дропки се состојат од два дела: на врвот е броителот, на дното е именителот. Броителот и именителот се одделени со дропка линија. Затоа запомнете:

Секоја дропка е дел од една целина. Обично се зема како целина 1 (единица). Именителот на дропка покажува на колку делови е поделена целината ( 1 ), а броителот е колку делови се земени. Ако ја исечеме тортата на 6 еднакви делови (по математика велат акции ), тогаш секој дел од колачот ќе биде еднаков на 1/6. Ако Васија изел 4 парчиња, тоа значи дека јадел 4/6.

Од друга страна, коса црта не е ништо повеќе од знак за поделба. Според тоа, дропка е количник на два броја - броителот и именителот. Во текстот на проблемите или во рецептите, дропките обично се пишуваат вака: 2/3, 1/2 итн. Некои фракции имаат свои имиња, на пример, 1/2 - „половина“, 1/3 - „трета“, 1/4 - „четвртина“
Сега да откриеме какви видови обични фракции постојат.

2 Видови обични дропки

Постојат три типа на заеднички дропки: правилни, неправилни и мешани:

Правилна дропка

Ако броителот е помал од именителот, тогаш се нарекува таква дропка точно,На пример: Правилната дропка е секогаш помала од 1.

Неправилна дропка

Ако броителот е поголем од именителот или еднаков на именителот, таквата дропка се нарекува погрешно, На пример:

Неправилната дропка е поголема од еден (ако броителот е поголем од именителот) или еднаков на еден (ако броителот е еднаков на именителот)

Мешана фракција

Ако дропка се состои од цел број (цел број) и соодветна дропка (дропка), тогаш таквата дропка се нарекува измешани, На пример:

Мешаната дропка е секогаш поголема од една.

3 Конверзии на фракции

Во математиката, обичните дропки често треба да се претвораат, односно мешаната дропка мора да се претвори во неправилна дропка и обратно. Ова е неопходно за извршување на одредени операции, како што се множење и делење.

Значи, секоја мешана дропка може да се претвори во неправилна дропка. За да го направите ова, целиот дел се множи со именителот и се додава броителот на дробниот дел. Добиената сума се зема како броител, а именителот останува ист, на пример:

Секоја несоодветна дропка може да се претвори во мешана фракција. За да го направите ова, поделете го броителот со именителот (со остаток) Добиениот број ќе биде цел број, а остатокот ќе биде броител на дробниот дел, на пример:

Во исто време тие велат: „Го изолиравме целиот дел од несоодветната фракција“.

Уште едно правило што треба да се запамети: Секој цел број може да се претстави како дропка со именител 1, На пример:

Ајде да разговараме за тоа како да ги споредиме дропките.

4 Споредба на дропки

Кога се споредуваат дропки, може да има неколку опции: Лесно е да се споредат дропки со исти именители, но многу е потешко ако именителот се различни. А има и споредба на мешани фракции. Но, не грижете се, сега ќе ја разгледаме секоја опција детално и ќе научиме како да ги споредуваме дропките.

Споредување на дропки со исти именители

Од две дропки со исти именители, но различни броители, дропот со поголем броител е поголем, на пример:

Споредување на дропки со исти броители

Од две дропки со исти броители, но различни именители, дропката со помал именител е поголема, на пример:

Споредување мешани и неправилни дропки со правилни дропки

Неправилна или мешана дропка е секогаш поголема од соодветна дропка, на пример:

Споредување на две мешани дропки

Кога се споредуваат две мешани дропки, дропот чијшто цел дел е поголем е поголем, на пример:

Ако сите делови на мешаните дропки се исти, дропот чиј дробен дел е поголем е поголем, на пример:

Споредување на дропки со различни броители и именители

Не можете да споредувате дропки со различни броители и именители без да ги конвертирате. Прво, дропките мора да се сведат на ист именител, а потоа да се споредат нивните броители. Колку е поголема дропката чиј броител е поголем. Но, ќе разгледаме како да ги намалиме дропките на ист именител во следните два дела од статијата. Прво ќе го разгледаме основното својство на дропките и намалувањето на дропките, а потоа директно намалувањето на дропките на ист именител.

5 Главното својство на дропка. Намалување на фракции. Концептот на GCD.

Запомнете: Можете само да собирате, одземате и споредувате дропки кои имаат исти именители. Ако именителите се различни, тогаш прво треба да ги доведете дропките до истиот именител, односно да трансформирате една од дропките така што неговиот именител да стане ист како оној на втората дропка.

Дропките имаат едно важно својство, исто така наречено главното својство на дропка:

Ако и броителот и именителот на дропка се помножат или поделат со ист број, тогаш вредноста на дропката не се менува:

Благодарение на овој имот можеме редуцирај ги дропките:

Да се ​​намали дропка е да се подели и броителот и именителот со ист број.(види пример веднаш погоре). Кога намалуваме дропка, можеме да ги запишеме нашите дејства вака:

Почесто во тетратките фракцијата е скратена на следниов начин:

Но запомнете: можете само да ги намалите факторите. Ако броителот или именителот содржи збир или разлика, не можете да ги намалите поимите. Пример:

Прво мора да го претворите збирот во множител:

Понекогаш, кога работите со големи броеви, за да се намали дропка, погодно е да се најде најголем заеднички делител на броител и именител (GCD)

Најголем заеднички делител (GCD)неколку броеви е најголемиот природен број со кој овие броеви се деливи без остаток.

За да го пронајдете gcd на два броја (на пример, броителот и именителот на дропка), треба да ги вброите двата броја во прости множители, да ги означите истите множители во двете размножувања и да ги помножите овие множители. Добиениот производ ќе биде GCD. На пример, треба да намалиме дропка:

Ајде да го најдеме gcd на броевите 96 и 36:

GCD ни покажува дека и броителот и именителот имаат фактор 12 и лесно можеме да ја намалиме дропката.

Понекогаш, за да се доведат дропките на ист именител, доволно е да се намали една од дропките. Но почесто е потребно да се изберат дополнителни фактори за двете дропки.Сега ќе погледнеме како се прави тоа. Значи:

6 Како да се смалат дропките на ист именител. Најмалку заеднички множител (LCM).

Кога ги намалуваме дропките на ист именител, избираме број за именителот кој би бил делив и со првиот и со вториот именител (т.е. би бил множител на двата именители, математички). И пожелно е овој број да биде што е можно помал, попогодно е да се брои. Така, мора да го најдеме LCM на двата именители.

Најмал заеднички множител на два броја (LCM)е најмалиот природен број што е делив со двата броја без остаток. Понекогаш LCM може да се најде усно, но почесто, особено кога работите со големи броеви, мора да го најдете LCM во писмена форма, користејќи го следниов алгоритам:

За да го пронајдете LCM на неколку броеви, потребно е:

1. Факторирајте ги овие бројки во прости фактори
2. Земете го најголемото проширување и напишете ги овие бројки како производ
3. Изберете ги во други разложувања броевите што не се појавуваат во најголемото распаѓање (или се појавуваат помалку пати во него) и додадете ги во производот.
4. Помножете ги сите броеви во производот, ова ќе биде LCM.

На пример, да го најдеме LCM на броевите 28 и 21:

Сепак, да се вратиме на нашите фракции. Откако ќе го најдеме или напишавме пресметаното LCM на двата именители, броителите на овие дропки мора да ги помножиме со дополнителни множители. Можете да ги најдете со делење на LCM со именителот на соодветната дропка, на пример:

Така, ги намаливме нашите дропки на истиот именител - 15.

7 Собирање и одземање дропки

Собирање и одземање дропки со слични именители

За да додадете дропки со исти именители, треба да ги додадете нивните броители, но да го оставите именителот ист, на пример:

За да одземете дропки со исти именители, треба да го одземете броителот на втората дропка од броителот на првата дропка и да го оставите именителот ист, на пример:

Собирање и одземање мешани дропки со слични именители

За да додадете мешани фракции, треба посебно да ги додадете нивните цели делови, а потоа да ги додадете нивните дробни делови и да го запишете резултатот како мешана дропка:

Ако при собирање на дробни делови добиете неправилна дропка, одберете го целиот дел од неа и додајте го на целиот дел, на пример:

Одземањето се врши на сличен начин: од целиот дел се одзема цел број, а од дробниот дел се одзема фракциониот дел:

Ако фракциониот дел од подлогата е поголем од фракциониот дел од минуендот, ние „позајмуваме“ еден од целиот дел, претворајќи го минуендот во неправилна дропка, а потоа продолжуваме како и обично:

Исто така одзема дропка од цел број:

Како да соберете цел број и дропка

За да додадете цел број и дропка, едноставно го додавате тој број пред дропката за да создадете мешана дропка, на пример:

Ако ние собирање на цел број и мешана дропка, го додаваме овој број на целиот дел од дропката, на пример:

Собирање и одземање дропки со различни именители.

За да собирате или одземете дропки со различни именители, прво мора да ги доведете до истиот именител, а потоа да продолжите како кога собирате дропки со исти именители (додадете ги броителите):

При одземање, продолжуваме на ист начин:

Ако работиме со мешани дропки, ги намалуваме нивните дробни делови на истиот именител и потоа како и обично го одземаме: целиот дел од целиот дел, а дробниот дел од дробниот дел:

8 Множење и делење дропки.

Множењето и делењето дропки е многу полесно отколку собирањето и одземањето бидејќи не мора да ги намалувате на ист именител. Запомнете ги едноставните правила за множење и делење дропки:

Пред да ги множите броевите во броителот и именителот, препорачливо е да се намали дропот, односно да се ослободите од истите фактори во броителот и именителот, како во нашиот пример.

Да се ​​подели дропка со природен број, треба да го помножите именителот со овој број и да го оставите броителот непроменет:

На пример:

Делење дропка со дропка

За да се подели една дропка со друга, треба да се помножи дивидендата со реципроцитет на делителот (реципрочната дропка).Каква реципрочна дропка е ова?

Ако ја превртиме дропката, односно ги замениме броителот и именителот, добиваме реципрочна дропка. Производот на дропка и нејзината инверзна дава една. Во математиката, таквите броеви се нарекуваат реципрочни:

На пример, бројки - меѓусебно инверзно, бидејќи

Така, да се вратиме на делењето дропка со дропка:

За да поделите една дропка со друга, треба да ја помножите дивидендата со реципроцитет на делителот:

На пример:

Кога делите мешани дропки, исто како и при множење, прво мора да ги претворите во неправилни дропки:

При множење и делење на дропки со цели природни броеви, можете да ги претставите овие броеви и како дропки со именител 1 .

И кога делење цел број со дропкапретставувај го овој број како дропка со именител 1 :