По можност инженерски - оној што има копче со знак за корен: „√“. Обично, за да го извлечете коренот, доволно е да го напишете самиот број, а потоа притиснете го копчето: „√“.
Повеќето модерни мобилни телефони имаат апликација за калкулатор со функција за екстракција на коренот. Постапката за наоѓање корен на број со помош на телефонски калкулатор е слична на горенаведената.
Пример.
Најдете од 2.
Вклучете го калкулаторот (ако е исклучен) и последователно притиснете ги копчињата со сликата на два и корен („2“ „√“). Како по правило, не треба да го притиснете копчето „=“. Како резултат на тоа, добиваме број како 1,4142 (бројот на цифри и „заобленоста“ зависи од длабочината на битот и поставките на калкулаторот).
Забелешка: Кога се обидувате да го пронајдете коренот, калкулаторот обично дава грешка.
Ако имате пристап до компјутер, тогаш наоѓањето на коренот на бројот е многу лесно.
1. Можете да ја користите апликацијата Калкулатор, достапна на речиси секој компјутер. За Windows XP, оваа програма може да се стартува на следниов начин:
„Почеток“ - „Сите програми“ - „Додатоци“ - „Калкулатор“.
Подобро е да го поставите погледот на „нормален“. Патем, за разлика од вистински калкулатор, копчето за извлекување на коренот е означено како „sqrt“, а не „√“.
Ако не можете да стигнете до калкулаторот користејќи го наведениот метод, можете да го стартувате стандардниот калкулатор „рачно“:
„Start“ - „Run“ - „calc“.
2. За да го пронајдете коренот на некој број, можете да користите и некои програми инсталирани на вашиот компјутер. Покрај тоа, програмата има свој вграден калкулатор.
На пример, за апликацијата MS Excel, можете да ја направите следнава низа на дејства:
Стартувајте MS Excel.
Во која било ќелија го запишуваме бројот од кој треба да го извлечеме коренот.
Поместете го покажувачот на ќелијата на друга локација
Притиснете го копчето за избор на функција (fx)
Изберете ја функцијата „ROOT“.
Назначуваме ќелија со број како аргумент на функцијата
Кликнете на „OK“ или „Enter“
Предноста на овој метод е што сега е доволно да се внесе која било вредност во ќелијата со број, како во функцијата, .
Забелешка.
Постојат неколку други, поегзотични начини да се најде коренот на бројот. На пример, во „агол“, користејќи правило за слајдови или табели на Брадис. Сепак, овие методи не се дискутирани во овој напис поради нивната сложеност и практична бескорисност.
Видео на темата
Извори:
- како да се најде коренот на бројот
Понекогаш се појавуваат ситуации кога треба да извршите некој вид математички пресметки, вклучително и извлекување на квадратни корени и поголеми корени на број. n-тиот корен на бројот е број чија n-та сила е бројот a.
Инструкции
За да го пронајдете коренот „n“ на , направете го следново.
На вашиот компјутер, кликнете на „Start“ - „All Programs“ - „Accessories“. Потоа одете во потсекцијата „Услуга“ и изберете „Калкулатор“. Можете да го направите ова рачно: кликнете Start, напишете „calk“ во полето Run и притиснете Enter. Ќе се отвори. За да го извадите квадратниот корен на број, внесете го во калкулаторот и притиснете го копчето означено како „sqrt“. Калкулаторот ќе го извлече коренот од втор степен, наречен квадратен корен, од внесениот број.
За да извлечете корен чиј степен е повисок од вториот, треба да користите друг тип на калкулатор. За да го направите ова, во интерфејсот на калкулаторот, кликнете на копчето „Преглед“ и изберете ја линијата „Инженерство“ или „Научно“ од менито. Овој тип на калкулатор ја има функцијата неопходна за пресметување на n-тиот корен.
За да го извадите коренот на третиот степен (), на „инженерски“ калкулатор, внесете го саканиот број и притиснете го копчето „3√“. За да добиете корен чиј степен е повисок од 3, внесете го саканиот број, притиснете го копчето со иконата „y√x“ и потоа внесете го бројот - експонентот. После ова, притиснете го знакот за еднаквост (копчето „=“) и ќе го добиете саканиот корен.
Ако вашиот калкулатор ја нема функцијата „y√x“, следново.
За да го извлечете коренот на коцката, внесете го радикалниот израз, а потоа ставете ознака во полето за избор, кое се наоѓа веднаш до натписот „Inv“. Со оваа акција, ќе ги промените функциите на копчињата на калкулаторот, т.е., со кликнување на копчето за коцка, ќе го извлечете коренот на коцката. На копчето што вие
Како да се извлече коренот од бројот. Во оваа статија ќе научиме како да земеме квадратен корен од четири и петцифрени броеви.
Да го земеме како пример квадратниот корен од 1936 година.
Оттука, 
.
Последната цифра во бројот 1936 е бројот 6. Квадратот на бројот 4 и бројот 6 завршува на 6. Затоа, 1936 година може да биде квадратот на бројот 44 или бројот 46. Останува да се провери со множење.
Средства,
Да го земеме квадратниот корен на бројот 15129.
Оттука, 
.
Последната цифра од бројот 15129 е бројот 9. Квадратот на бројот 3 и бројот 7 завршува на 9. Затоа, 15129 може да биде квадратот на бројот 123 или бројот 127. Ајде да провериме со множење.
Средства, 
Како да се извлече коренот - видео
И сега ви предлагам да го погледнете видеото на Ана Денисова - „Како да се извлече коренот ", автор на страницата" Едноставна физика“, во која таа објаснува како да се најдат квадратни и коцки корени без калкулатор.
Видеото дискутира за неколку начини за извлекување корени:
1. Најлесен начин да се извлече квадратниот корен.
2. Со избор со користење на квадратот на збирот.
3. Вавилонска метода.
4. Начин на извлекување на квадратен корен на колона.
5. Брз начин за извлекување на коренот на коцката.
6. Начин на вадење коцка корен во колона.
Факт 1.
\(\bullet\) Да земеме некој ненегативен број \(a\) (односно \(a\geqslant 0\) ). Потоа (аритметички) квадратен коренод бројот \(a\) се нарекува таков ненегативен број \(b\) , кога на квадрат го добиваме бројот \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(исто како )\quad a=b^2\]Од дефиницијата произлегува дека \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Овие ограничувања се важен услов за постоење на квадратен корен и треба да се запомнат!
Потсетиме дека секој број кога е на квадрат дава ненегативен резултат. Тоа е, \(100^2=10000\geqslant 0\) и \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) На што е еднакво \(\sqrt(25)\)? Знаеме дека \(5^2=25\) и \((-5)^2=25\) . Бидејќи по дефиниција мора да најдеме ненегативен број, тогаш \(-5\) не е соодветен, затоа, \(\sqrt(25)=5\) (бидејќи \(25=5^2\) ).
Наоѓањето на вредноста на \(\sqrt a\) се нарекува земање на квадратниот корен од бројот \(a\) , а бројот \(a\) се нарекува радикален израз.
\(\bullet\) Врз основа на дефиницијата, изразот \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), итн. нема смисла.
Факт 2.
За брзи пресметки, ќе биде корисно да се научи табелата со квадрати на природни броеви од \(1\) до \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400 \\ \hline \end (низа)\]
Факт 3.
Какви операции можете да направите со квадратни корени?
\(\bullet\) Збирот или разликата на квадратните корени НЕ Е ЕДНАКВИ на квадратниот корен од збирот или разликата, т.е. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]Така, ако треба да пресметате, на пример, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , тогаш првично мора да ги најдете вредностите на \(\sqrt(25)\) и \(\ sqrt(49)\ ) и потоа преклопете ги. Оттука, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ако вредностите \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) не можат да се најдат при додавање на \(\sqrt a+\sqrt b\), тогаш таквиот израз не се трансформира понатаму и останува како што е. На пример, во збирот \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) можеме да најдеме дека \(\sqrt(49)\) е \(7\) , но \(\sqrt 2\) не може да се трансформира во како и да е, затоа \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). За жал, овој израз не може дополнително да се поедностави\(\bullet\) Производот/количникот на квадратните корени е еднаков на квадратниот корен на производот/количникот, т.е. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (под услов двете страни на еднаквостите да имаат смисла)
Пример: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Користејќи ги овие својства, погодно е да се најдат квадратни корени на големи броеви со нивно множење.
Ајде да погледнеме на пример. Ајде да најдеме \(\sqrt(44100)\) . Бидејќи \(44100:100=441\) , тогаш \(44100=100\cdot 441\) . Според критериумот на деливост, бројот \(441\) се дели со \(9\) (бидејќи збирот на неговите цифри е 9 и се дели со 9), според тоа, \(441:9=49\), односно \(441=9\ cdot 49\) .
Така добивме: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Ајде да погледнеме друг пример: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Да покажеме како се внесуваат броеви под знакот на квадратен корен користејќи го примерот на изразот \(5\sqrt2\) (кратка нотација за изразот \(5\cdot \sqrt2\)). Бидејќи \(5=\sqrt(25)\) , тогаш \
Забележете исто така дека, на пример,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .
Зошто е тоа? Ајде да објасниме користејќи го примерот 1). Како што веќе разбравте, не можеме некако да го трансформираме бројот \(\sqrt2\). Да замислиме дека \(\sqrt2\) е некој број \(a\) . Според тоа, изразот \(\sqrt2+3\sqrt2\) не е ништо повеќе од \(a+3a\) (еден број \(a\) плус уште три исти броеви \(a\)). И знаеме дека ова е еднакво на четири такви броеви \(a\) , односно \(4\sqrt2\) .
Факт 4.
\(\bullet\) Често велат „не можеш да го извлечеш коренот“ кога не можеш да се ослободиш од знакот \(\sqrt () \\) на коренот (радикал) кога ја пронаоѓаш вредноста на бројот . На пример, можете да го земете коренот на бројот \(16\) бидејќи \(16=4^2\) , затоа \(\sqrt(16)=4\) . Но, невозможно е да се извлече коренот на бројот \(3\), односно да се најде \(\sqrt3\), бидејќи не постои број што на квадрат ќе даде \(3\) .
Таквите броеви (или изразите со такви броеви) се ирационални. На пример, бројки \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)и така натаму. се ирационални.
Исто така ирационални се броевите \(\pi\) (бројот „pi“, приближно еднаков на \(3,14\)), \(e\) (овој број се нарекува Ојлеровиот број, приближно е еднаков на \(2,7 \)) итн.
\(\bullet\) Ве молиме имајте предвид дека секој број ќе биде или рационален или ирационален. И заедно сите рационални и сите ирационални броеви формираат множество наречено збир на реални броеви.Ова множество се означува со буквата \(\mathbb(R)\) .
Ова значи дека сите броеви што моментално ги знаеме се нарекуваат реални броеви.
Факт 5.
\(\bullet\) Модулот на реален број \(a\) е ненегативен број \(|a|\) еднаков на растојанието од точката \(a\) до \(0\) на вистинска линија. На пример, \(|3|\) и \(|-3|\) се еднакви на 3, бидејќи растојанијата од точките \(3\) и \(-3\) до \(0\) се исто и еднакво на \(3 \) .
\(\bullet\) Ако \(a\) е ненегативен број, тогаш \(|a|=a\) .
Пример: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ако \(a\) е негативен број, тогаш \(|a|=-a\) .
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Тие велат дека за негативните броеви модулот го „јаде“ минусот, додека позитивните броеви, како и бројот \(0\), се оставаат непроменети со модулот.
НООва правило важи само за бројки. Ако под вашиот знак за модул има непозната \(x\) (или некоја друга непозната), на пример, \(|x|\) , за која не знаеме дали е позитивен, нула или негативен, тогаш ослободете се од модулот не можеме. Во овој случај, овој израз останува ист: \(|x|\) . \(\bullet\) Важат следните формули: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( обезбедено ) a\geqslant 0\]Многу често се прави следнава грешка: велат дека \(\sqrt(a^2)\) и \((\sqrt a)^2\) се едно исто. Ова е точно само ако \(a\) е позитивен број или нула. Но, ако \(a\) е негативен број, тогаш ова е неточно. Доволно е да се разгледа овој пример. Да го земеме наместо \(a\) бројот \(-1\) . Тогаш \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , но изразот \((\sqrt (-1))^2\) воопшто не постои (на крајот на краиштата, невозможно е да се користи коренскиот знак стави негативни броеви!).
Затоа, го обрнуваме вашето внимание на фактот дека \(\sqrt(a^2)\) не е еднакво на \((\sqrt a)^2\) !Пример: 1) \(\sqrt(\лево(-\sqrt2\десно)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), бидејќи \(-\sqrt2<0\)
;
\(\фантом(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Бидејќи \(\sqrt(a^2)=|a|\) , тогаш \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (изразот \(2n\) означува парен број)
Односно, кога се зема коренот на број кој е до одреден степен, овој степен се преполовува.
Пример:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (забележете дека ако модулот не е испорачан, излегува дека коренот на бројот е еднаков на \(-25\ ), но се сеќаваме дека по дефиниција за корен тоа не може да се случи: кога извлекуваме корен, секогаш треба да добиеме позитивен број или нула)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (бидејќи кој било број до парна моќност е ненегативен)
Факт 6.
Како да се споредат два квадратни корени?
\(\bullet\) За квадратни корени е точно: ако \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) споредете ги \(\sqrt(50)\) и \(6\sqrt2\) . Прво, да го трансформираме вториот израз во \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Така, бидејќи \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) Помеѓу кои цели броеви се наоѓа \(\sqrt(50)\)?
Бидејќи \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) и \(49<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) Да ги споредиме \(\sqrt 2-1\) и \(0,5\) . Да претпоставиме дека \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\почеток(порамнет) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((додадете еден на двете страни))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((со квадрат од двете страни))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end (порамнет)\]Гледаме дека сме добиле неточна неравенка. Затоа, нашата претпоставка беше неточна и \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
Забележете дека додавањето одреден број на двете страни на неравенката не влијае на неговиот знак. Множењето/делењето на двете страни на неравенката со позитивен број исто така не влијае на неговиот знак, но множењето/делењето со негативен број го менува знакот на неравенството!
Можете да ги квадратите двете страни на равенка/неравенка САМО АКО двете страни се ненегативни. На пример, во неравенката од претходниот пример можете да ги квадратите двете страни, во неравенката \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\) Треба да се запомни дека \[\почеток(порамнет) &\sqrt 2\приближно 1,4\\ &\sqrt 3\приближно 1,7 \крај (порамнет)\]Познавањето на приближното значење на овие бројки ќе ви помогне кога ги споредувате броевите! \(\bullet\) За да го извлечете коренот (ако може да се извлече) од некој голем број што го нема во табелата со квадрати, прво треба да одредите помеѓу кои „стотки“ се наоѓа, потоа - помеѓу кои „ десетици“, а потоа одреди ја последната цифра од овој број. Ајде да покажеме како функционира ова со пример.
Да земеме \(\sqrt(28224)\) . Знаеме дека \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), итн. Забележете дека \(28224\) е помеѓу \(10\,000\) и \(40\,000\) . Затоа, \(\sqrt(28224)\) е помеѓу \(100\) и \(200\) .
Сега да одредиме помеѓу кои „десетки“ се наоѓа нашиот број (тоа е, на пример, помеѓу \(120\) и \(130\)). Исто така од табелата со квадрати знаеме дека \(11^2=121\) , \(12^2=144\) итн., потоа \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Значи, гледаме дека \(28224\) е помеѓу \(160^2\) и \(170^2\) . Затоа, бројот \(\sqrt(28224)\) е помеѓу \(160\) и \(170\) .
Ајде да се обидеме да ја одредиме последната цифра. Да се потсетиме кои едноцифрени броеви, кога се квадрат, даваат \(4\) на крајот? Тоа се \(2^2\) и \(8^2\) . Затоа, \(\sqrt(28224)\) ќе заврши или на 2 или на 8. Ајде да го провериме ова. Ајде да ги најдеме \(162^2\) и \(168^2\) :
\(162^2=162\cточка 162=26224\)
\(168^2=168\cточка 168=28224\) .
Затоа, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!
За адекватно да го решите обединетиот државен испит по математика, најпрво треба да проучите теоретски материјал кој ве запознава со бројни теореми, формули, алгоритми итн. На прв поглед може да изгледа дека ова е прилично едноставно. Меѓутоа, наоѓањето извор во кој теоријата за обединет државен испит по математика е претставена на лесен и разбирлив начин за учениците со кое било ниво на обука е всушност прилично тешка задача. Училишните учебници не можат секогаш да се чуваат при рака. И наоѓањето основни формули за обединет државен испит по математика може да биде тешко дури и на Интернет.
Зошто е толку важно да се изучува теоријата по математика не само за оние што полагаат обединет државен испит?
- Затоа што ви ги проширува хоризонтите. Проучувањето на теоретскиот материјал по математика е корисно за секој кој сака да добие одговори на широк спектар на прашања поврзани со познавање на светот околу нив. Сè во природата е подредено и има јасна логика. Токму тоа се рефлектира во науката, преку која е можно да се разбере светот.
- Затоа што развива интелигенција. Со проучување на референтни материјали за обединетиот државен испит по математика, како и решавање на разни проблеми, човекот учи да размислува и да размислува логично, да формулира мисли компетентно и јасно. Тој развива способност за анализа, генерализирање и извлекување заклучоци.
Ве покануваме лично да ги оцените сите предности на нашиот пристап кон систематизација и презентација на едукативни материјали.
Во предговорот на неговото прво издание, „Во кралството на генијалноста“ (1908), Е. И. Игнатиев пишува: „...интелектуалната иницијатива, брзата духовитост и „генијалноста“ не можат да се „дупчат“ или „да се стават“ ничија глава. Резултатите се сигурни само кога воведот во областа на математичкото знаење е направен на лесен и пријатен начин, користејќи предмети и примери од обични и секојдневни ситуации, избрани со соодветна духовитост и забава.
Во предговорот на изданието од 1911 година „Улогата на меморијата во математиката“ Е.И. Игнатиев пишува „... во математиката не треба да се паметат формулите, туку процесот на размислување“.
За да го извлечете квадратниот корен, постојат табели со квадрати за двоцифрени броеви; можете да го пресметате бројот во прости фактори и да го извлечете квадратниот корен од производот. Табелата со квадрати понекогаш не е доволна; извлекувањето на коренот со факторинг е задача која одзема многу време, што исто така не секогаш води до посакуваниот резултат. Обидете се да го земете квадратниот корен од 209764? Факторирањето во прости фактори го дава производот 2*2*52441. Со обиди и грешки, избор - ова, се разбира, може да се направи ако сте сигурни дека ова е цел број. Методот што сакам да го предложам ви овозможува да земете квадратен корен во секој случај.
Некогаш во институтот (Државен педагошки институт Перм) бевме запознаени со овој метод, за кој сега сакам да зборувам. Никогаш не се прашував дали овој метод има доказ, па сега морав сам да заклучам дел од доказот.
Основата на овој метод е составот на бројот =.
=&, т.е. & 2 =596334.
1. Поделете го бројот (5963364) во парови од десно кон лево (5`96`33`64)
2. Извадете го квадратниот корен од првата група лево ( - број 2). Така ја добиваме првата цифра од &.
3. Најдете го квадратот на првата цифра (2 2 =4).
4. Најдете ја разликата помеѓу првата група и квадратот на првата цифра (5-4=1).
5. Ги симнуваме следните две цифри (го добиваме бројот 196).
6. Двојно ја удвојуваме првата цифра што ја најдовме и запишуваме лево зад линијата (2*2=4).
7. Сега треба да ја најдеме втората цифра од бројот и: двојно од првата цифра што ја најдовме станува цифра на десетици од бројот, која кога ќе се помножи со бројот на единици, треба да добиете број помал од 196 (ова е бројот 4, 44*4=176). 4 е втората цифра од &.
8. Најдете ја разликата (196-176=20).
9. Ја уриваме следната група (го добиваме бројот 2033).
10. Двојно го дуплира бројот 24, добиваме 48.
Во еден број има 11,48 десетки, кога ќе се помножиме со бројот на единици треба да добиеме број помал од 2033 (484*4=1936). Цифрата на оние што ја најдовме (4) е третата цифра од бројот &.
Јас го дадов доказот за следниве случаи:
1. Извлекување на квадратен корен од трицифрен број;
2. Извлекување на квадратен корен од четирицифрен број.
Приближни методи за вадење на квадратни корени (без употреба на калкулатор).
1. Старите Вавилонци го користеле следниов метод за да ја пронајдат приближната вредност на квадратниот корен на нивниот број x. Тие го претставија бројот x како збир a 2 + b, каде што a 2 е точниот квадрат на природниот број a (a 2 ? x) најблиску до бројот x и ја користеа формулата 
. (1)
Користејќи ја формулата (1), го извлекуваме квадратниот корен, на пример, од бројот 28:
Резултатот од извлекувањето на коренот на 28 со помош на МК е 5,2915026.
Како што можете да видите, вавилонскиот метод дава добра апроксимација на точната вредност на коренот.
2. Исак Њутн развил метод за земање квадратни корени кој датира од Херон од Александрија (околу 100 година од нашата ера). Овој метод (познат како Њутнов метод) е како што следува.
Нека а 1- првото приближување на број (како 1 можете да ги земете вредностите на квадратниот корен на природен број - точен квадрат што не надминува X) .
Следно, попрецизно приближување а 2броеви
пронајден по формулата 
.
Доста често, кога решаваме проблеми, се соочуваме со големи бројки од кои треба да извлечеме Квадратен корен. Многу студенти одлучуваат дека ова е грешка и почнуваат повторно да го решаваат целиот пример. Во никој случај не треба да го правите ова! Постојат две причини за ова:
- Во проблемите се појавуваат корени од голем број. Особено во текстуалните;
- Постои алгоритам со кој овие корени се пресметуваат речиси усно.
Овој алгоритам ќе го разгледаме денес. Можеби некои работи ќе ви изгледаат неразбирливи. Но, ако обрнете внимание на оваа лекција, ќе добиете моќно оружје против квадратни корени.
Значи, алгоритмот:
- Ограничете го потребниот корен над и долу на броеви кои се множители на 10. Така, ќе го намалиме опсегот на пребарување на 10 броеви;
- Од овие 10 бројки, отстранете ги оние што дефинитивно не можат да бидат корени. Како резултат на тоа, ќе останат 1-2 броја;
- Квадрат на овие 1-2 бројки. Оној чиј квадрат е еднаков на оригиналниот број ќе биде коренот.
Пред да го примените овој алгоритам во пракса, да го разгледаме секој поединечен чекор.
Ограничување на коренот
Пред сè, треба да откриеме помеѓу кои броеви се наоѓа нашиот корен. Многу е пожелно броевите да бидат множители на десет:
10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.
Добиваме серија броеви:
100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
Што ни кажуваат овие бројки? Едноставно е: добиваме граници. Земете го, на пример, бројот 1296. Се наоѓа помеѓу 900 и 1600. Затоа, неговиот корен не може да биде помал од 30 и поголем од 40:
[Наслов за сликата]
Истото важи и за кој било друг број од кој можете да го најдете квадратниот корен. На пример, 3364:
[Наслов за сликата]Така, наместо неразбирлив број, добиваме многу специфичен опсег во кој лежи оригиналниот корен. За дополнително стеснување на областа за пребарување, преминете на вториот чекор.
Елиминирање на очигледно непотребните бројки
Значи, имаме 10 броеви - кандидати за коренот. Ги добивме многу брзо, без сложено размислување и множење во колона. Време е да продолжам.
Верувале или не, сега ќе го намалиме бројот на кандидатски броеви на два - повторно без никакви комплицирани пресметки! Доволно е да се знае посебното правило. Еве го:
Последната цифра од квадратот зависи само од последната цифра оригинален број.
Со други зборови, само погледнете ја последната цифра од квадратот и веднаш ќе разбереме каде завршува оригиналниот број.
Има само 10 цифри кои можат да се најдат на последното место. Ајде да се обидеме да откриеме во што се претвораат кога ќе се квадрат. Погледнете ја табелата:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
Оваа табела е уште еден чекор кон пресметување на коренот. Како што можете да видите, броевите во втората линија се покажаа како симетрични во однос на петте. На пример:
2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.
Како што можете да видите, последната цифра е иста во двата случаи. Ова значи дека, на пример, коренот на 3364 мора да завршува на 2 или 8. Од друга страна, се сеќаваме на ограничувањето од претходниот пасус. Добиваме:
[Наслов за сликата] Црвените квадрати покажуваат дека сè уште не ја знаеме оваа бројка. Но, коренот лежи во опсегот од 50 до 60, на кој има само два броја што завршуваат на 2 и 8:
[Наслов за сликата]Тоа е се! Од сите можни корени, оставивме само две опции! И ова е во најтешкиот случај, бидејќи последната цифра може да биде 5 или 0. И тогаш ќе има само еден кандидат за корените!
Конечни пресметки
Значи, ни останаа 2 кандидатски броја. Како знаеш кој е коренот? Одговорот е очигледен: квадрат двата броја. Оној што на квадрат го дава оригиналниот број ќе биде коренот.
На пример, за бројот 3364 најдовме два кандидатски броја: 52 и 58. Да ги квадратиме:
52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.
Тоа е се! Се испостави дека коренот е 58! Во исто време, за да ги поедноставам пресметките, ја користев формулата за квадратите на збирот и разликата. Благодарение на ова, не морав ни да ги множам броевите во колона! Ова е уште едно ниво на оптимизација на пресметката, но, се разбира, тоа е целосно опционално :)
Примери за пресметување на корените
Теоријата е, се разбира, добра. Но, ајде да го провериме во пракса.
[Наслов за сликата]
Прво, ајде да дознаеме помеѓу кои броеви се наоѓа бројот 576:
400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2
Сега да го погледнеме последниот број. Тоа е еднакво на 6. Кога се случува ова? Само ако коренот завршува на 4 или 6. Добиваме два броја:
Останува само да се квадрира секој број и да се спореди со оригиналот:
24 2 = (20 + 4) 2 = 576
Одлично! Првиот квадрат се покажа како еднаков на оригиналниот број. Значи ова е коренот.
Задача. Пресметајте го квадратниот корен:
[Наслов за сликата]
900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;
Да ја погледнеме последната цифра:
1369 → 9;
33; 37.
Квадрат:
33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369 година.
Еве го одговорот: 37.
Задача. Пресметајте го квадратниот корен:
[Наслов за сликата]
Го ограничуваме бројот:
2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;
Да ја погледнеме последната цифра:
2704 → 4;
52; 58.
Квадрат:
52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
Го добивме одговорот: 52. Вториот број повеќе нема да треба да се квадрира.
Задача. Пресметајте го квадратниот корен:
[Наслов за сликата]
Го ограничуваме бројот:
3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;
Да ја погледнеме последната цифра:
4225 → 5;
65.
Како што можете да видите, по вториот чекор останува само една опција: 65. Ова е саканиот корен. Но, сепак, да го средиме и да провериме:
65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;
Сè е точно. Го запишуваме одговорот.
Заклучок
За жал, нема подобро. Да ги погледнеме причините. Има два од нив:
- Во секој нормален испит по математика, било да е тоа Државен или Единствен државен испит, употребата на калкулатори е забранета. И ако донесете калкулатор на час, лесно може да бидете исфрлени од испитот.
- Не бидете како глупави Американци. Кои не се како корени - не можат да соберат два прости броеви. И кога гледаат дропки, генерално стануваат хистерични.