Оваа статија е посветена на трансформација на рационални изрази, главно фракционо рационално, е едно од клучните прашања во предметот алгебра за осмо одделение. Прво, се сеќаваме каков тип на изрази се нарекуваат рационални. Следно, ќе се фокусираме на извршување на стандардни трансформации со рационални изрази, како што се групирање поими, ставање заеднички фактори надвор од загради, донесување слични термини итн. Конечно, ќе научиме да ги претставуваме дробните рационални изрази како рационални дропки.
Навигација на страницата.
Дефиниција и примери на рационални изрази
Рационалните изрази се еден од видовите изрази што се изучуваат на часовите по алгебра на училиште. Ајде да дадеме дефиниција.
Дефиниција.
Изразите составени од броеви, променливи, загради, моќи со целобројни експоненти, поврзани со аритметички знаци +, −, · и:, каде што поделбата може да се означи со дропка линија, се нарекуваат рационални изрази.
Еве неколку примери на рационални изрази: .
Рационалните изрази почнуваат намерно да се изучуваат во VII одделение. Згора на тоа, во 7-мо одделение се учи основите на работа со т.н цели рационални изрази, односно со рационални изрази кои не содржат поделба на изрази со променливи. За да го направите ова, последователно се изучуваат мономи и полиноми, како и принципите на извршување дејства со нив. Сето ова знаење на крајот ви овозможува да извршите трансформации на цели изрази.
Во 8 одделение, тие продолжуваат со изучување на рационални изрази кои содржат делење со израз со променливи т.н. фракционо рационални изрази. Во овој случај, посебно внимание се посветува на т.н рационални дропки(тие се нарекуваат и алгебарски дропки), односно дропки чиј броител и именител содржат полиноми. Ова на крајот овозможува конвертирање на рационални дропки.
Стекнатите вештини ви овозможуваат да продолжите кон трансформирање на рационални изрази од која било форма. Ова се објаснува со фактот дека секој рационален израз може да се смета како израз составен од рационални дропки и цели броеви поврзани со знаци на аритметички операции. А ние веќе знаеме да работиме со цели изрази и алгебарски дропки.
Главни видови трансформации на рационални изрази
Со рационални изрази, можете да извршите која било од основните трансформации на идентитетот, било да е тоа групирање поими или фактори, носење слични термини, извршување операции со броеви итн. Типично целта на извршувањето на овие трансформации е поедноставување на рационалното изразување.
Пример.
.
Решение.
Јасно е дека овој рационален израз е разликата помеѓу два изрази и , и овие изрази се слични, бидејќи имаат ист буковен дел. Така, можеме да извршиме намалување на слични термини:
Одговор:
.
Јасно е дека кога вршите трансформации со рационални изрази, како и со какви било други изрази, треба да останете во прифатениот редослед на извршување дејства.
Пример.
Изведете трансформација на рационален израз.
Решение.
Знаеме дека дејствата во загради се извршуваат прво. Затоа, прво го трансформираме изразот во загради: 3·x−x=2·x.
Сега можете да го замените добиениот резултат во оригиналниот рационален израз: . Така, дојдовме до израз кој ги содржи дејствата на една фаза - собирање и множење.
Да се ослободиме од заградите на крајот од изразот со примена на својството на делење со производ: .
Конечно, можеме да групираме нумерички фактори и фактори со променливата x, потоа да ги извршиме соодветните операции на броевите и да примениме : .
Со тоа се комплетира трансформацијата на рационалниот израз и како резултат добиваме моном.
Одговор:
Пример.
Конвертирај рационален израз 
.
Решение.
Прво ги трансформираме броителот и именителот. Овој редослед на трансформација на дропките се објаснува со фактот дека линијата на дропката во суштина е друга ознака за делење, а оригиналниот рационален израз во суштина е количник на формата 
, а прво се вршат дејствата во загради.
Значи, во броителот вршиме операции со полиноми, прво множење, па одземање, а во именителот ги групираме нумеричките фактори и го пресметуваме нивниот производ: 
.
Да ги замислиме и броителот и именителот на добиената дропка во форма на производ: одеднаш е можно да се намали алгебарската дропка. За да го направите ова, ќе користиме во броителот формула за разлика од квадрати, а во именителот ги вадиме двете од загради, имаме 
.
Одговор:
.
Значи, првичното запознавање со трансформацијата на рационалните изрази може да се смета за завршено. Да продолжиме, така да се каже, на најслаткиот дел.
Рационално претставување на дропки
Најчесто, крајната цел на трансформирање на изразите е да се поедностави нивниот изглед. Во оваа светлина, наједноставната форма во која може да се претвори фракционо рационално изразување е рационална (алгебарска) дропка, а во конкретниот случај полином, моном или број.
Дали е можно да се претстави кој било рационален израз како рационална дропка? Одговорот е да. Да објасниме зошто е тоа така.
Како што веќе рековме, секој рационален израз може да се смета како полиноми и рационални дропки поврзани со знаци плус, минус, множење и делење. Сите соодветни операции со полиноми даваат полином или рационална дропка. За возврат, секој полином може да се претвори во алгебарска дропка со тоа што ќе го запишете со именителот 1. А со собирање, одземање, множење и делење на рационални дропки се добива нова рационална дропка. Затоа, откако ќе ги извршиме сите операции со полиноми и рационални дропки во рационален израз, добиваме рационална дропка.
Пример.
Изрази го како рационална дропка изразот 
.
Решение.
Оригиналниот рационален израз е разликата помеѓу дропка и производот на фракциите на формата 
. Според редоследот на операциите, прво мора да извршиме множење, а дури потоа собирање.
Започнуваме со множење на алгебарски дропки:
Добиениот резултат го заменуваме со оригиналниот рационален израз: .
Дојдовме до одземање на алгебарски дропки со различни именители: 
Значи, откако извршивме операции со рационални дропки што го сочинуваат оригиналниот рационален израз, го претставивме во форма на рационална дропка.
Одговор:
.
За да го консолидираме материјалот, ќе го анализираме решението на друг пример.
Пример.
Изрази рационален израз како рационална дропка.
Како што ќе видиме подолу, не секоја елементарна функција има интеграл изразен во елементарни функции. Затоа, многу е важно да се идентификуваат класи на функции чии интеграли се изразени во смисла на елементарни функции. Наједноставната од овие класи е класата на рационални функции.
Секоја рационална функција може да се претстави како рационална дропка, односно како сооднос од два полиноми:
Без ограничување на општоста на аргументот, ќе претпоставиме дека полиномите немаат заеднички корени.
Ако степенот на броителот е помал од степенот на именителот, тогаш дропката се нарекува правилна, во спротивно дропката се нарекува неправилна.
Ако дропката е неправилна, тогаш со делење на броителот со именителот (според правилото за делење полиноми), можете да ја претставите оваа дропка како збир на полином и некоја соодветна дропка:
тука е полином, а a е соодветна дропка.
Пример т. Нека се даде неправилна рационална дропка
Поделувајќи го броителот со именителот (користејќи го правилото за делење полиноми), добиваме
Бидејќи интегрирањето на полиноми не е тешко, главната тешкотија во интегрирањето на рационални дропки е интегрирањето на соодветни рационални дропки.
Дефиниција. Правилни рационални дропки од формата
се нарекуваат едноставни дропки од типовите I, II, III и IV.
Интегрирањето на наједноставните дропки од типовите I, II и III не е многу тешко, па затоа ќе ја извршиме нивната интеграција без дополнително објаснување:
Покомплексните пресметки бараат интеграција на едноставни дропки од типот IV. Да ни биде даден интеграл од овој тип:
Ајде да ги направиме трансформациите:
Првиот интеграл се зема со замена
Вториот интеграл - го означуваме со запишување во форма
Според претпоставката, корените на именителот се сложени, и затоа, Следно постапуваме на следниов начин:
Ајде да го трансформираме интегралот:
Интегрирање по делови, имаме
Заменувајќи го овој израз во еднаквост (1), добиваме
Десната страна содржи интеграл од ист тип како, но експонентот на именителот на интеграндот е за еден помал; така, го изразивме преку . Продолжувајќи по истата патека, стигнуваме до добро познатиот интеграл.
Написот зборува за трансформација на рационални изрази. Да ги разгледаме видовите на рационални изрази, нивните трансформации, групирања и загради на заедничкиот фактор. Ајде да научиме да претставуваме дробни рационални изрази во форма на рационални дропки.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Дефиниција и примери на рационални изрази
Дефиниција 1Изразите кои се составени од броеви, променливи, загради, моќи со операциите собирање, одземање, множење, делење со присуство на дропка се нарекуваат рационални изрази.
На пример, имаме дека 5, 2 3 x - 5, - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .
Односно, тоа се изрази кои не се поделени на изрази со променливи. Проучувањето на рационалните изрази започнува во 8 одделение, каде што се нарекуваат дробни рационални изрази.
Ова ни овозможува да продолжиме со трансформација на рационални фракции со произволна форма. Ваквиот израз може да се смета како израз со присуство на рационални дропки и цели броеви со знаци на дејство.
Главни видови трансформации на рационални изрази
Рационалните изрази се користат за извршување на идентични трансформации, групирања, носење слични и вршење други операции со броеви. Целта на ваквите изрази е поедноставување.
Пример 1
Претворете го рационалниот израз 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .
Решение
Може да се види дека таков рационален израз е разликата помеѓу 3 x x y - 1 и 2 x x y - 1. Забележуваме дека нивниот именител е идентичен. Ова значи дека намалувањето на слични термини ќе има форма
3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1
Одговор: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .
Пример 2
Конвертирај 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) .
Решение
Првично ги извршуваме дејствата во заградите 3 · x − x = 2 · x. Овој израз го претставуваме во форма 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x. Доаѓаме до израз кој содржи операции со еден чекор, односно има собирање и одземање.
Се ослободуваме од заградите со користење на својството поделба. Тогаш добиваме дека 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x.
Ги групираме нумеричките фактори со променливата x, по што можеме да извршиме операции со моќи. Го добиваме тоа
2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4
Одговор: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4.
Пример 3
Трансформирајте израз од формата x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .
Решение
Прво, ги трансформираме броителот и именителот. Потоа добиваме израз на формата (x · (x + 3) - (3 · x + 1)): 1 2 · x · 4 + 2, а прво се прават дејствата во загради. Во броителот се вршат операции и се групираат факторите. Потоа добиваме израз на формата x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .
Формулата за разлика од квадрати ја трансформираме во броителот, па го добиваме тоа
x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2
Одговори: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .
Рационално претставување на дропки
Алгебарските дропки најчесто се поедноставуваат кога се решаваат. Секој рационален е доведен до ова на различни начини. Потребно е да се извршат сите потребни операции со полиноми за да може рационалниот израз на крајот да даде рационална дропка.
Пример 4
Претстави како рационална дропка a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.
Решение
Овој израз може да се претстави како 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a. Множењето се врши првенствено според правилата.
Треба да почнеме со множење, па ќе го добиеме тоа
a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a
Добиениот резултат го претставуваме со оригиналниот. Го добиваме тоа
a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a
Сега да го направиме одземањето:
a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) a (a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 а 2 - 9
По што е очигледно дека оригиналниот израз ќе ја добие формата 16 a 2 - 9.
Одговор: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .
Пример 5
Изрази x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x како рационална дропка.
Решение
Дадениот израз е запишан како дропка чиј броител има x x + 1 + 1, а именителот 2 x - 1 1 + x. Потребно е да се направат трансформации x x + 1 + 1 . За да го направите ова, треба да додадете дропка и број. Добиваме дека x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1
Следи дека x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x
Добиената дропка може да се напише како 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x.
По делењето доаѓаме до рационална дропка од формата
2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1
Можете да го решите ова поинаку.
Наместо да се делиме со 2 x - 1 1 + x, ние се множиме со неговата инверзна 1 + x 2 x - 1. Дозволете ни да го примениме својството за распределба и да го најдеме тоа
x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1
Одговор: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1.
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter