Најмалиот заеднички множител на два броја е директно поврзан со најголемиот заеднички делител на тие броеви. Ова врска помеѓу GCD и NOCсе одредува со следнава теорема.
Теорема.
Најмалиот заеднички множител на два позитивни цели броеви a и b е еднаков на производот на a и b поделен со најголемиот заеднички делител на a и b, т.е. LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).
Доказ.
Нека М е множител на броевите a и b. Односно, М е делив со a, а според дефиницијата за деливост, има некој цел број k таков што еднаквоста M=a·k е точно. Но, М е исто така делив со b, а потоа a·k се дели со b.
Да го означиме gcd(a, b) како d. Тогаш можеме да ги напишеме равенствата a=a 1 ·d и b=b 1 ·d, а a 1 =a:d и b 1 =b:d ќе бидат релативно прости броеви. Следствено, условот добиен во претходниот став дека a · k е делив со b може да се преформулира на следниов начин: a 1 · d · k се дели со b 1 · d , и ова, поради својствата на деливост, е еквивалентно на условот дека a 1 · k е делив со b 1 .
Исто така, треба да запишете две важни последици од разгледаната теорема.
Заедничките множители на два броја се исти како множителите на нивниот најмал заеднички множител.
Ова навистина е случај, бидејќи секој заеднички множител на M од броевите a и b се определува со еднаквоста M=LMK(a, b)·t за некоја цел број t.
Најмалиот заеднички множител на заемно простите позитивни броеви a и b е еднаков на нивниот производ.
Образложението за овој факт е сосема очигледно. Бидејќи a и b се релативно прости, тогаш gcd(a, b)=1, затоа, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.
Најмал заеднички множител на три или повеќе броеви
Наоѓањето на најмалиот заеднички множител од три или повеќе броеви може да се сведе на секвенцијално наоѓање на LCM на два броја. Како тоа е направено е наведено во следната теорема: a 1 , a 2 , …, a k се совпаѓаат со заедничките множители на броевите m k-1 и a k , затоа, се совпаѓаат со заедничките множители на бројот m k . И бидејќи најмалиот позитивен множител на бројот m k е самиот број m k, тогаш најмалиот заеднички множител на броевите a 1, a 2, ..., a k е m k.
Библиографија.
- Виленкин Н.Ја. и други.Математика. 6 одделение: учебник за општообразовни установи.
- Виноградов И.М. Основи на теоријата на броеви.
- Михелович Ш.Х. Теорија на броеви.
- Куликов Л.Ја. и други.Збирка задачи по алгебра и теорија на броеви: Учебник за студенти по физика и математика. специјалитети на педагошките институти.
Ајде да погледнеме три начини да го најдеме најмалиот заеднички множител.
Наоѓање со факторизација
Првиот метод е да се најде најмалиот заеднички множител со множење на дадените броеви во прости множители.
Да речеме дека треба да го најдеме LCM на броевите: 99, 30 и 28. За да го направите ова, ајде да го факторизираме секој од овие броеви во прости множители:
За саканиот број да биде делив со 99, 30 и 28, потребно е и доволно тој да ги вклучува сите прости множители на овие делители. За да го направите ова, треба да ги земеме сите прости фактори на овие броеви до најголема можна моќност и да ги помножиме заедно:
2 2 3 2 5 7 11 = 13.860
Така, LCM (99, 30, 28) = 13,860. Ниту еден друг број помал од 13,860 не е делив со 99, 30 или 28.
За да го пронајдете најмалиот заеднички множител на дадените броеви, ги вметнувате во нивните прости множители, потоа земете го секој прост фактор со најголемиот експонент во кој се појавува и множете ги тие множители заедно.
Бидејќи релативно простите броеви немаат заеднички прости множители, нивниот најмал заеднички множител е еднаков на производот на овие броеви. На пример, три броеви: 20, 49 и 33 се релативно прости. Затоа
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.
Истото мора да се направи кога се наоѓа најмалиот заеднички множител на различни прости броеви. На пример, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Наоѓање по избор
Вториот метод е да се најде најмалиот заеднички множител со избор.
Пример 1. Кога најголемиот од дадените броеви се дели со друг даден број, тогаш LCM на овие броеви е еднаков на најголемиот од нив. На пример, дадени четири броја: 60, 30, 10 и 6. Секој од нив е делив со 60, затоа:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
Во други случаи, за да се најде најмалиот заеднички множител, се користи следнава постапка:
- Определи го најголемиот број од дадените броеви.
- Следно, ги наоѓаме броевите кои се множители на најголемиот број множејќи го со природни броеви по растечки редослед и проверувајќи дали добиениот производ е делив со останатите дадени броеви.
Пример 2. Дадени се три броја 24, 3 и 18. Го одредуваме најголемиот од нив - ова е бројот 24. Следно, ги наоѓаме броевите што се множители на 24, проверувајќи дали секој од нив е делив со 18 и 3:
24 · 1 = 24 - делив со 3, но не делив со 18.
24 · 2 = 48 - делив со 3, но не делив со 18.
24 · 3 = 72 - делив со 3 и 18.
Така, LCM (24, 3, 18) = 72.
Наоѓање со секвенцијално наоѓање на LCM
Третиот метод е да се најде најмалиот заеднички множител со секвенцијално наоѓање на LCM.
LCM на два дадени броја е еднаков на производот на овие броеви поделен со нивниот најголем заеднички делител.
Пример 1. Најдете го LCM на два дадени броја: 12 и 8. Определи го нивниот најголем заеднички делител: GCD (12, 8) = 4. Помножете ги овие броеви:
Производот го делиме со нивниот gcd:
Така, LCM (12, 8) = 24.
За да го пронајдете LCM од три или повеќе броеви, користете ја следнава постапка:
- Прво, пронајдете го LCM на кои било два од овие броеви.
- Потоа, LCM на пронајдениот најмал заеднички множител и третиот даден број.
- Потоа, LCM на добиениот најмал заеднички множител и четвртиот број, итн.
- Така, потрагата по LCM продолжува се додека има бројки.
Пример 2. Да го најдеме LCM на три дадени броеви: 12, 8 и 9. Веќе го најдовме LCM на броевите 12 и 8 во претходниот пример (ова е бројот 24). Останува да се најде најмалиот заеднички множител на бројот 24 и третиот даден број - 9. Одреди го нивниот најголем заеднички делител: GCD (24, 9) = 3. Помножете го LCM со бројот 9:
Производот го делиме со нивниот gcd:
Така, LCM (12, 8, 9) = 72.
Темата „Повеќе броеви“ се изучува во 5-то одделение од средно училиште. Неговата цел е да ги подобри писмените и усните математичко пресметување. Во оваа лекција се воведуваат нови концепти - „повеќе броеви“ и „делители“, се практикува техниката на наоѓање делители и множители на природен број и способност за наоѓање LCM на различни начини.
Оваа тема е многу важна. Познавањето за него може да се примени при решавање на примери со дропки. За да го направите ова, треба да го пронајдете заедничкиот именител со пресметување на најмалиот заеднички множител (LCM).
Повеќекратно од А е цел број што е делив со А без остаток.
Секој природен број има бесконечен број множители од него. Самиот тој се смета за најмал. Повеќекратното не може да биде помало од самиот број.
Треба да докажете дека бројот 125 е множител на 5. За да го направите ова, треба да го поделите првиот број со вториот. Ако 125 е делив со 5 без остаток, тогаш одговорот е да.
Овој метод е применлив за мал број.
Постојат посебни случаи кога се пресметува LOC.
1. Ако треба да најдете заеднички множител на 2 броја (на пример, 80 и 20), каде што еден од нив (80) е делив со другиот (20), тогаш овој број (80) е најмалиот множител од овие два броја.
LCM(80, 20) = 80.
2. Ако два немаат заеднички делител, тогаш можеме да кажеме дека нивниот LCM е производ на овие два броја.
LCM(6, 7) = 42.
Да го погледнеме последниот пример. 6 и 7 во однос на 42 се делители. Тие делат множител на број без остаток.
Во овој пример, 6 и 7 се спарени фактори. Нивниот производ е еднаков на најмножиот број (42).
Бројот се нарекува прост ако е делив само со себе или со 1 (3:1=3; 3:3=1). Останатите се нарекуваат композитни.
Друг пример вклучува одредување дали 9 е делител на 42.
42:9=4 (остаток 6)
Одговор: 9 не е делител на 42 бидејќи одговорот има остаток.
Деленикот се разликува од повеќекратното по тоа што делителот е бројот со кој се делат природните броеви, а самиот множител е делив со овој број.
Најголем заеднички делител на броеви аИ б, помножено со нивниот најмал множител, ќе го даде производот на самите броеви аИ б.
Имено: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.
Заедничките множители за посложени броеви се наоѓаат на следниот начин.
На пример, пронајдете го LCM за 168, 180, 3024.
Овие броеви ги факторизираме во прости множители и ги запишуваме како производ на моќи:
168=2³x3¹x7¹
24х3³х5¹х7¹=15120
LCM(168, 180, 3024) = 15120.
Најголем заеднички делител
Дефиниција 2
Ако природниот број a е делив со природен број $b$, тогаш $b$ се нарекува делител на $a$, а $a$ се нарекува множител на $b$.
Нека $a$ и $b$ се природни броеви. Бројот $c$ се нарекува заеднички делител и на $a$ и на $b$.
Множеството на заеднички делители на броевите $a$ и $b$ е конечно, бидејќи ниту еден од овие делители не може да биде поголем од $a$. Тоа значи дека меѓу овие делители постои најголемиот, кој се нарекува најголем заеднички делител на броевите $a$ и $b$ и се означува со следната нотација:
$GCD \(a;b)\ или \D\(a;b)$
За да го пронајдете најголемиот заеднички делител на два броја, потребно е:
- Најдете го производот на броевите пронајдени во чекор 2. Добиениот број ќе биде посакуваниот најголем заеднички делител.
Пример 1
Најдете го gcd од броевите $121$ и $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Изберете ги броевите што се вклучени во проширувањето на овие броеви
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Најдете го производот на броевите пронајдени во чекор 2. Добиениот број ќе биде посакуваниот најголем заеднички делител.
$GCD=2\cdot 11=22$
Пример 2
Најдете го gcd на мономите $63$ и $81$.
Ќе најдеме според презентираниот алгоритам. За ова:
Да ги факторизираме броевите во прости множители
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Ги избираме броевите што се вклучени во проширувањето на овие броеви
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Да го најдеме производот од броевите пронајдени во чекор 2. Добиениот број ќе биде посакуваниот најголем заеднички делител.
$GCD=3\cdot 3=9$
Можете да го најдете gcd на два броја на друг начин, користејќи множество делители на броеви.
Пример 3
Најдете го gcd од броевите $48$ и $60$.
Решение:
Да го најдеме множеството делители на бројот $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\десно\)$
Сега да го најдеме множеството делители на бројот $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\десно\) $
Да го најдеме пресекот на овие множества: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ова множество ќе го одреди множеството на заеднички делители на броевите $48$ и $60 $. Најголемиот елемент во овој сет ќе биде бројот $12$. Ова значи дека најголемиот заеднички делител на броевите $48$ и $60$ е $12$.
Дефиниција на NPL
Дефиниција 3
Заеднички множители на природни броеви$a$ и $b$ е природен број кој е множител и на $a$ и $b$.
Заеднички множители на броеви се броеви кои се деливи со оригиналните броеви без остаток. На пример, за броевите $25$ и $50$, заедничките множители ќе бидат броевите $50,100,150,200$ итн.
Најмалиот заеднички множител ќе се нарекува најмал заеднички множител и ќе биде означен LCM$(a;b)$ или K$(a;b).$
За да го пронајдете LCM на два броја, треба:
- Фактори броеви во прости фактори
- Запишете ги факторите што се дел од првиот број и додајте ги факторите што се дел од вториот, а не се дел од првиот
Пример 4
Најдете го LCM на броевите $99$ и $77$.
Ќе најдеме според презентираниот алгоритам. За ова
Фактори броеви во прости фактори
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Запишете ги факторите вклучени во првиот
додадете на нив множители кои се дел од вториот, а не дел од првиот
Најдете го производот на броевите пронајдени во чекор 2. Добиениот број ќе биде посакуваниот најмал заеднички множител
$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Составувањето листи на делители на броеви често е многу трудоинтензивна задача. Постои начин да се најде GCD наречен Евклидов алгоритам.
Изјави на кои се заснова Евклидов алгоритам:
Ако $a$ и $b$ се природни броеви, и $a\vdots b$, тогаш $D(a;b)=b$
Ако $a$ и $b$ се природни броеви такви што $b
Користејќи $D(a;b)= D(a-b;b)$, можеме сукцесивно да ги намалиме разгледуваните броеви додека не достигнеме пар броеви така што еден од нив е делив со другиот. Тогаш помалиот од овие броеви ќе биде посакуваниот најголем заеднички делител за броевите $a$ и $b$.
Својства на GCD и LCM
- Секој заеднички множител на $a$ и $b$ е делив со K$(a;b)$
- Ако $a\vdots b$ , тогаш К$(a;b)=a$
Ако K$(a;b)=k$ и $m$ е природен број, тогаш K$(am;bm)=km$
Ако $d$ е заеднички делител за $a$ и $b$, тогаш K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Ако $a\vdots c$ и $b\vdots c$ , тогаш $\frac(ab)(c)$ е заеднички множител на $a$ и $b$
За сите природни броеви $a$ и $b$ важи еднаквоста
$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$
Секој заеднички делител на броевите $a$ и $b$ е делител на бројот $D(a;b)$
Најголемиот заеднички делител и најмалиот заеднички множител се клучните аритметички концепти кои ја прават работата со дропки без напор. LCM и најчесто се користат за пронаоѓање заеднички именител на неколку дропки.
Основни концепти
Делителот на цел број X е друг цел број Y со кој X се дели без да се остави остаток. На пример, делителот на 4 е 2, а 36 е 4, 6, 9. Многукратно на цел број X е број Y кој е делив со X без остаток. На пример, 3 е повеќекратно од 15, а 6 е повеќекратно од 12.
За секој пар броеви можеме да ги најдеме нивните заеднички делители и множители. На пример, за 6 и 9, заедничкиот множител е 18, а заедничкиот делител е 3. Очигледно, паровите можат да имаат неколку делители и множители, така што во пресметките се користи најголемиот делител GCD и најмалиот повеќекратен LCM.
Најмалиот делител е бесмислен, бидејќи за кој било број тој е секогаш еден. Најголемиот множител е исто така бесмислен, бидејќи низата множители оди до бесконечност.
Наоѓање на gcd
Постојат многу методи за наоѓање на најголемиот заеднички делител, од кои најпознати се:
- секвенцијално пребарување на делители, избор на заеднички за пар и пребарување на најголемиот од нив;
- разложување на броеви на неделиви фактори;
- Евклидов алгоритам;
- бинарен алгоритам.
Денес во образовните институции најпопуларни методи се разложување на прости фактори и Евклидов алгоритам. Вториот, пак, се користи при решавање на равенките на Диофантин: потребно е пребарување на GCD за да се провери равенката за можноста за резолуција во цели броеви.
Наоѓање на НОК
Најмалиот заеднички множител исто така се одредува со секвенцијално пребарување или распаѓање на неделиви фактори. Дополнително, лесно е да се најде LCM ако веќе е одреден најголемиот делител. За броевите X и Y, LCM и GCD се поврзани со следнава врска:
LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).
На пример, ако GCM(15,18) = 3, тогаш LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Најочигледен пример за користење на LCM е да се најде заедничкиот именител, кој е најмалиот заеднички множител на дадени дропки.
Копрости броеви
Ако еден пар на броеви нема заеднички делители, тогаш таквиот пар се нарекува копример. Gcd за такви парови е секогаш еднаков на еден, а врз основа на врската помеѓу делители и множители, gcd за коприми парови е еднаков на нивниот производ. На пример, броевите 25 и 28 се релативно прости, бидејќи немаат заеднички делители, а LCM(25, 28) = 700, што одговара на нивниот производ. Било кои два неделиви броја секогаш ќе бидат релативно прости.
Заеднички делител и повеќекратен калкулатор
Користејќи го нашиот калкулатор, можете да пресметате GCD и LCM за произволен број на броеви од кои можете да изберете. Задачите за пресметување на заеднички делители и множители се наоѓаат во аритметиката од 5-то и 6-то одделение, но GCD и LCM се клучни поими во математиката и се користат во теоријата на броеви, планиметријата и комуникациската алгебра.
Примери од реалниот живот
Заеднички именител на дропките
Најмалиот заеднички множител се користи кога се наоѓа заедничкиот именител на неколку дропки. Да речеме, во аритметички проблем треба да сумирате 5 дропки:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
За да се додадат дропки, изразот мора да се сведе на заеднички именител, што се сведува на проблемот со наоѓање на LCM. За да го направите ова, изберете 5 броеви во калкулаторот и внесете ги вредностите на именителот во соодветните ќелии. Програмата ќе го пресмета LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Сега треба да пресметате дополнителни фактори за секоја дропка, кои се дефинирани како однос на LCM со именителот. Значи, дополнителните множители би изгледале вака:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
После ова, ги множиме сите фракции со соодветниот дополнителен фактор и добиваме:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Лесно можеме да ги сумираме таквите дропки и да го добиеме резултатот како 159/360. Ја намалуваме дропот за 3 и го гледаме конечниот одговор - 53/120.
Решавање на линеарни диофантински равенки
Линеарни диофантински равенки се изрази од формата ax + by = d. Ако односот d / gcd(a, b) е цел број, тогаш равенката е решлива во цели броеви. Ајде да провериме неколку равенки за да видиме дали имаат целобројно решение. Прво, да ја провериме равенката 150x + 8y = 37. Со помош на калкулатор, наоѓаме GCD (150,8) = 2. Поделете 37/2 = 18,5. Бројот не е цел број, затоа равенката нема целобројни корени.
Ајде да ја провериме равенката 1320x + 1760y = 10120. Користете калкулатор за да најдете GCD(1320, 1760) = 440. Поделете 10120/440 = 23. Како резултат на тоа, добиваме цел број, според тоа, равенката на коефициентот на диофантин е непроменлива .
Заклучок
GCD и LCM играат голема улога во теоријата на броеви, а самите концепти се широко користени во широк спектар на области од математиката. Користете го нашиот калкулатор за да ги пресметате најголемите делители и најмалите множители на кој било број броеви.