Како што знаете, кога се множат изразите со моќи, нивните експоненти секогаш се собираат (a b *a c = a b+c). Ова математички законбил изведен од Архимед, а подоцна, во 8 век, математичарот Вирасен создал табела со цели броеви експоненти. Тие беа оние кои служеа за понатамошно отворањелогаритми. Примери за користење на оваа функција може да се најдат речиси насекаде каде што треба да го поедноставите незгодното множење со едноставно собирање. Ако потрошите 10 минути читајќи ја оваа статија, ќе ви објасниме што се логаритми и како да работите со нив. На едноставен и достапен јазик.
Дефиниција во математиката
Логаритам е израз на следнава форма: log a b=c, односно логаритам на кој било Не негативен број(односно, секое позитивно) „б“ според неговата основа „а“ се смета за моќта на „в“ до која мора да се подигне основата „а“ за на крајот да се добие вредноста „б“. Да го анализираме логаритамот користејќи примери, да речеме дека има израз log 2 8. Како да го најдеме одговорот? Многу е едноставно, треба да најдете моќност така што од 2 до потребната моќност ќе добиете 8. Откако ќе направите некои пресметки во вашата глава, го добиваме бројот 3! И тоа е точно, бидејќи 2 на сила од 3 го дава одговорот како 8.
Видови логаритми
За многу ученици и студенти, оваа тема изгледа комплицирана и неразбирлива, но всушност логаритмите не се толку страшни, главната работа е да се разбере нивното општо значење и да се запамети нивните својства и некои правила. Има три одделни видовилогаритамски изрази:
- Природен логаритам ln a, каде што основата е Ојлеровиот број (e = 2,7).
- Децимална а, каде што основата е 10.
- Логаритам на кој било број b до основа a>1.
Секој од нив е одлучен на стандарден начин, кој вклучува поедноставување, редукција и последователно намалување на еден логаритам користејќи логаритамски теореми. За да ги добиете точните вредности на логаритмите, треба да ги запомните нивните својства и редоследот на дејства кога ги решавате.
Правила и некои ограничувања
Во математиката има неколку правила-ограничувања кои се прифаќаат како аксиома, односно не се предмет на дискусија и се вистина. На пример, невозможно е да се делат броевите со нула, а исто така е невозможно да се извлече парен корен на негативните броеви. Логаритмите исто така имаат свои правила, според кои можете лесно да научите да работите дури и со долги и обемни логаритамски изрази:
- Основата „а“ мора секогаш да биде поголема од нула, а не еднаква на 1, во спротивно изразот ќе го изгуби своето значење, бидејќи „1“ и „0“ во кој било степен се секогаш еднакви на нивните вредности;
- ако a > 0, тогаш a b >0, излегува дека „c“ исто така мора да биде поголемо од нула.
Како да се решат логаритми?
На пример, задачата е да се најде одговорот на равенката 10 x = 100. Ова е многу лесно, треба да изберете моќност со подигање на бројот десет до кој добиваме 100. Ова, се разбира, е 10 2 = 100.
Сега да замислиме овој изразво логаритамска форма. Добиваме лог 10 100 = 2. При решавање на логаритми, сите дејства практично се спојуваат за да се најде моќта до која е потребно да се внесе основата на логаритмот за да се добие даден број.
За точно да се одреди вредноста непознат степентреба да научите како да работите со табелата со степени. Изгледа вака:
Како што можете да видите, некои експоненти може да се погодат интуитивно ако имате технички ум и познавање на табелата за множење. Сепак за големи вредностиќе ви треба табела со степени. Може да се користи дури и од оние кои воопшто не знаат ништо за комплексот математички теми. Левата колона содржи броеви (основа а), горниот ред на броеви е вредноста на моќта c до која е подигнат бројот a. На пресекот, ќелиите ги содржат нумеричките вредности кои се одговорот (a c =b). Да ја земеме, на пример, првата ќелија со бројот 10 и да ја квадратиме, ја добиваме вредноста 100, што е означено на пресекот на нашите две ќелии. Сè е толку едноставно и лесно што дури и највистинскиот хуманист ќе разбере!
Равенки и неравенки
Излегува дека под одредени услови експонентот е логаритам. Затоа, секој математички нумерички изразиможе да се запише како логаритамска равенка. На пример, 3 4 = 81 може да се запише како основен 3 логаритам од 81 еднаков на четири (лог 3 81 = 4). За негативни моќиправилата се исти: 2 -5 = 1/32 го пишуваме како логаритам, добиваме лог 2 (1/32) = -5. Еден од најфасцинантните делови од математиката е темата „логаритми“. Примери и решенија на равенки ќе ги разгледаме подолу, веднаш по проучувањето на нивните својства. Сега да погледнеме како изгледаат неравенките и како да ги разликуваме од равенките.
Даден е израз на следната форма: log 2 (x-1) > 3 - тоа е логаритамска нееднаквост, бидејќи непознатата вредност „x“ е под знакот на логаритамот. И, исто така, во изразот се споредуваат две величини: логаритамот на саканиот број до основата два е поголем од бројот три.
Најважната разлика помеѓу логаритамските равенки и неравенките е тоа што равенките со логаритми (на пример, логаритамот 2 x = √9) подразбираат еден или повеќе конкретни одговори. нумерички вредности, додека при решавањето неравенките се дефинираат како регион прифатливи вредности, и точките на прекин на оваа функција. Како последица на тоа, одговорот не е едноставно збир на поединечни броеви, како во одговорот на равенката, туку континуирана серијаили збир на броеви.
Основни теореми за логаритми
При решавање на примитивни задачи за пронаоѓање на вредностите на логаритамот, неговите својства можеби не се познати. Меѓутоа, кога станува збор за логаритамски равенки или неравенки, пред сè, потребно е јасно да се разберат и да се применат во пракса сите основни својства на логаритмите. Подоцна ќе разгледаме примери на равенки, ајде прво да го разгледаме секое својство подетално.
- Главниот идентитет изгледа вака: a logaB =B. Се применува само кога a е поголемо од 0, не е еднакво на еден, а B е поголемо од нула.
- Логаритмот на производот може да биде претставен во следнава формула: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Во овој случај, задолжителен услов е: d, s 1 и s 2 > 0; a≠1. Можете да дадете доказ за оваа логаритамска формула, со примери и решение. Нека log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2, потоа a f1 = s 1, a f2 = s 2. Добиваме дека s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (својства на степени ), а потоа по дефиниција: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, што требаше да се докаже.
- Логаритмот на количникот изгледа вака: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Теоремата во форма на формула зазема следен поглед: log a q b n = n/q log a b.
Оваа формула се нарекува „својство на степенот на логаритам“. Наликува на својствата на обичните степени и не е изненадувачки, бидејќи целата математика се заснова на природни постулати. Да го погледнеме доказот.
Нека log a b = t, излегува a t =b. Ако двата дела ги подигнеме до моќноста m: a tn = b n ;
но бидејќи a tn = (a q) nt/q = b n, затоа log a q b n = (n*t)/t, тогаш log a q b n = n/q log a b. Теоремата е докажана.
Примери на проблеми и нееднаквости
Најчестите типови на проблеми на логаритми се примери на равенки и неравенки. Ги има во скоро сите проблематични книги, а се вклучени и во задолжителен делиспити по математика. За прием на универзитет или полагање приемни испитиво математиката треба да знаете како правилно да ги решавате ваквите проблеми.
За жал, не постои единствен план или шема за решавање и утврдување непозната вредностНе постои такво нешто како логаритам, но можете да го примените на секоја математичка неравенка или логаритамска равенка. одредени правила. Пред сè, треба да откриете дали изразот може да се поедностави или да доведе до општ изглед. Поедноставете ги долгите логаритамски изразиможно ако правилно ги користите нивните својства. Ајде брзо да ги запознаеме.
Кога решаваме логаритамски равенки, мора да одредиме каков тип на логаритам имаме: примерен израз може да содржи природен логаритам или децимален.
Еве примери ln100, ln1026. Нивното решение се сведува на фактот дека тие треба да ја одредат моќноста на која основата 10 ќе биде еднаква на 100 и 1026, соодветно. За решенија природни логаритмитреба да аплицирате логаритамски идентитетиили нивните својства. Ајде да го разгледаме решението со примери логаритамски проблемиразлични типови.
Како да користите логаритамски формули: со примери и решенија
Значи, ајде да погледнеме примери за користење на основните теореми за логаритми.
- Својството на логаритмот на производот може да се користи во задачи каде што е неопходно да се прошири големо значењеброевите b во поедноставни фактори. На пример, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Одговорот е 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - како што можете да видите, користејќи го четвртото својство на логаритамската моќ, успеавме да решиме навидум сложен и нерешлив израз. Треба само да ја факторингирате основата и потоа да ги извадите вредностите на експонентот од знакот на логаритамот.
Задачи од Единствениот државен испит
Логаритмите често се наоѓаат во приемните испити, особено многу логаритамски проблеми на обединетиот државен испит ( Државен испитза сите кои го напуштаат училиштето). Вообичаено, овие задачи се присутни не само во делот А (најлесниот тест дел од испитот), туку и во делот В (најсложените и најобемните задачи). Испитот бара точно и совршено познавање на темата „Природни логаритми“.
Примери и решенија за проблемите се земени од официјални Опции за обединет државен испит. Ајде да видиме како се решаваат ваквите задачи.
Даден е лог 2 (2x-1) = 4. Решение:
ајде да го преработиме изразот, поедноставувајќи го малку log 2 (2x-1) = 2 2, со дефиниција на логаритамот добиваме дека 2x-1 = 2 4, значи 2x = 17; x = 8,5.
- Најдобро е да ги намалите сите логаритми на иста основа за решението да не биде гломазно и збунувачки.
- Сите изрази под знакот логаритам се означени како позитивни, затоа, кога експонентот на изразот што е под знакот логаритам и како негова основа се извади како множител, изразот што останува под логаритам мора да биде позитивен.
Со ова видео започнувам долга серија лекции за логаритамските равенки. Сега имате три примери пред вас, врз основа на кои ќе научиме да решаваме најмногу едноставни задачи, кои се нарекуваат т.н. протозои.
log 0,5 (3x − 1) = −3
дневник (x + 3) = 3 + 2 дневник 5
Дозволете ми да ве потсетам дека наједноставната логаритамска равенка е следнава:
log a f (x) = b
Во овој случај, важно е променливата x да е присутна само внатре во аргументот, односно само во функцијата f (x). И броевите a и b се само броеви и во никој случај не се функции што ја содржат променливата x.
Основни методи на решение
Постојат многу начини за решавање на такви структури. На пример, повеќето наставници во училиштето го нудат овој метод: Веднаш изразете ја функцијата f (x) користејќи ја формулата f ( x) = а б . Односно, кога ќе наидете на наједноставната конструкција, можете веднаш да преминете на решението без дополнителни дејства и конструкции.
Да, се разбира, одлуката ќе биде правилна. Меѓутоа, проблемот со оваа формула е што повеќето студенти не разбираат, од каде доаѓа и зошто буквата а ја подигаме на буквата б.
Како резултат на тоа, често гледам многу досадни грешки кога, на пример, овие букви се заменуваат. Оваа формулатреба или да разберете или да натрупате, а вториот метод води до грешки во најнеповолните и најклучните моменти: на испити, тестови итн.
Затоа им предлагам на сите мои ученици да ја напуштат стандардната училишна формула и да го користат вториот пристап за решавање логаритамски равенки, кој, како што веројатно претпоставувате од името, се нарекува канонска форма.
Идејата за канонската форма е едноставна. Ајде повторно да го разгледаме нашиот проблем: лево имаме лог a, а под буквата a мислиме број, а во никој случај функција која ја содржи променливата x. Следствено, ова писмо подлежи на сите ограничувања што се наметнуваат врз основа на логаритамот. имено:
1 ≠ a > 0
Од друга страна, од истата равенка гледаме дека логаритамот мора да биде еднаков на бројотб , и не се наметнуваат ограничувања на ова писмо, бидејќи може да има какви било вредности - и позитивни и негативни. Сè зависи од тоа кои вредности ги зема функцијата f(x).
И тука се сеќаваме на нашето прекрасно правило дека кој било број b може да се претстави како логаритам на основата a на a со моќност од b:
b = log a a b
Како да се запамети оваа формула? Да, многу едноставно. Ајде да ја напишеме следната конструкција:
b = b 1 = b log a a
Се разбира, во овој случај произлегуваат сите ограничувања што ги запишавме на почетокот. Сега да го искористиме основното својство на логаритмот и да го воведеме множителот b како моќност на a. Добиваме:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Како резултат на тоа, оригиналната равенка ќе биде препишана на следниов начин:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Тоа е се. Нова функцијаповеќе не содржи логаритам и може да се реши со користење на стандардни алгебарски техники.
Се разбира, некој сега ќе се спротивстави: зошто воопшто беше неопходно да се дојде до некаква канонска формула, зошто да се извршат два дополнителни непотребни чекори ако беше можно веднаш да се пресели од оригиналниот дизајн до конечната формула? Да, само затоа што повеќето студенти не разбираат од каде доаѓа оваа формула и, како резултат на тоа, редовно прават грешки при примената.
Но, оваа низа на дејства, која се состои од три чекори, ви овозможува да ја решите оригиналната логаритамска равенка, дури и ако не разбирате од каде доаѓа конечната формула. Патем, канонска формулаОвој запис се нарекува:
log a f (x) = log a a b
Практичноста на канонската форма лежи и во фактот што може да се користи за решавање на многу широка класа на логаритамски равенки, а не само за наједноставните што ги разгледуваме денес.
Примери на решенија
Сега ајде да погледнеме вистински примери. Значи, да одлучиме:
log 0,5 (3x − 1) = −3
Ајде да го преработиме вака:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Многу студенти брзаат и се обидуваат веднаш да го подигнат бројот 0,5 на моќта што ни дојде од првичниот проблем. Навистина, кога веќе сте добро обучени за решавање на вакви проблеми, можете веднаш да го извршите овој чекор.
Меѓутоа, ако сега само што почнувате да ја проучувате оваа тема, подобро е да не брзате никаде за да избегнете правење навредливи грешки. Значи, ја имаме канонската форма. Ние имаме:
3x − 1 = 0,5 −3
Ова повеќе не е логаритамска равенка, туку линеарна во однос на променливата x. За да го решиме, прво да го погледнеме бројот 0,5 со моќност од −3. Забележете дека 0,5 е 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Сите децималиконвертирате во обични кога решавате логаритамска равенка.
Ние препишуваме и добиваме:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
Тоа е тоа, го добивме одговорот. Првиот проблем е решен.
Втора задача
Ајде да преминеме на втората задача:
Како што гледаме, оваа равенка повеќе не е наједноставна. Ако само затоа што има разлика лево, а ниту еден логаритам до една основа.
Затоа, треба некако да се ослободиме од оваа разлика. ВО во овој случајсè е многу едноставно. Да ги погледнеме подетално основите: лево е бројот под коренот:
Општа препорака: во сите логаритамски равенки, обидете се да се ослободите од радикалите, т.е., од записите со корени и преминете на функции за напојување, едноставно затоа што експонентите на овие моќи лесно се вадат од знакот на логаритамот и, во крајна линија, таквата нотација значително ги поедноставува и забрзува пресметките. Ајде да го запишеме вака:
Сега се сеќаваме прекрасен имотлогаритам: моќите може да се изведат од аргументот, како и од основата. Во случај на основа, се случува следново:
log a k b = 1/k лога b
Со други зборови, бројот што бил во основната моќност се доведува напред и во исто време се превртува, т.е. станува реципрочен број. Во нашиот случај, основниот степен беше 1/2. Затоа, можеме да го извадиме како 2/1. Добиваме:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Ве молиме запомнете: во никој случај не треба да се ослободите од логаритмите на овој чекор. Запомнете математика од 4-5 одделение и редоследот на операциите: прво се врши множење, а дури потоа собирање и одземање. Во овој случај, одземаме еден од истите елементи од 10 елементи:
9 дневник 5 x = 18
дневник 5 x = 2
Сега нашата равенка изгледа како што треба. Ова е наједноставната конструкција и ја решаваме користејќи ја канонската форма:
дневник 5 x = дневник 5 5 2
x = 5 2
x = 25
Тоа е се. Вториот проблем е решен.
Трет пример
Да преминеме на третата задача:
дневник (x + 3) = 3 + 2 дневник 5
Дозволете ми да ве потсетам на следнава формула:
лог б = дневник 10 б
Ако поради некоја причина сте збунети од дневникот за нотација b, тогаш кога ги извршувате сите пресметки можете едноставно да напишете дневник 10 b. Можете да работите со децимални логаритми на ист начин како и со другите: земете моќи, собирајте и претставувајте ги сите броеви во форма lg 10.
Токму овие својства сега ќе ги користиме за да го решиме проблемот, бидејќи не е наједноставниот што го запишавме на самиот почеток на нашата лекција.
Прво, забележете дека факторот 2 пред lg 5 може да се додаде и да стане моќност на основата 5. Покрај тоа, слободниот член 3 може да се претстави и како логаритам - ова е многу лесно да се набљудува од нашата нотација.
Проценете сами: кој било број може да се претстави како дневник до основата 10:
3 = дневник 10 10 3 = дневник 10 3
Ајде да го преработиме оригиналниот проблем земајќи ги предвид добиените промени:
лог (x − 3) = лог 1000 + лог 25
лог (x − 3) = лог 1000 25
лог (x − 3) = лог 25.000
Пред нас повторно е канонската форма, а ние ја добивме без да поминеме низ фазата на трансформација, односно никаде не се појави наједноставната логаритамска равенка.
Токму за ова зборував на самиот почеток на лекцијата. Канонската форма ви овозможува да решите поширока класа на проблеми од стандардната училишна формула што ја даваат повеќето училишни наставници.
Тоа е тоа, ајде да се ослободиме од знакот децимален логаритам, и добиваме едноставна линеарна конструкција:
x + 3 = 25.000
x = 24.997
Сите! Проблемот е решен.
Забелешка за опсегот
Овде би сакал да направам важна забелешка во однос на опсегот на дефиницијата. Сега сигурно ќе има ученици и наставници кои ќе речат: „Кога ги решаваме изразите со логаритми, мора да запомниме дека аргументот f (x) мора да биде поголем од нула!“ Во овој поглед, се поставува логично прашање: зошто не баравме оваа нееднаквост да биде задоволена во ниту еден од разгледаните проблеми?
Не се грижи. Никој дополнителни коренинема да се појави во овие случаи. И ова е уште еден одличен трик кој ви овозможува да го забрзате решението. Само знајте дека ако во проблемот променливата x се појавува само на едно место (или подобро, во еден аргумент на еден логаритам), и никаде на друго место во нашиот случај не се појавува променливата x, тогаш запишете го доменот на дефиниција нема потреба, бидејќи ќе се изврши автоматски.
Проценете сами: во првата равенка добивме дека 3x − 1, т.е. аргументот треба да биде еднаков на 8. Ова автоматски значи дека 3x − 1 ќе биде поголемо од нула.
Со истиот успех можеме да напишеме дека во вториот случај x треба да биде еднакво на 5 2, односно сигурно е поголемо од нула. И во третиот случај, каде што x + 3 = 25.000, т.е., повторно, очигледно поголемо од нула. Со други зборови, опсегот се задоволува автоматски, но само ако x се појавува само во аргументот на само еден логаритам.
Тоа е се што треба да знаете за да ги решите наједноставните проблеми. Само ова правило, заедно со правилата за трансформација, ќе ви овозможи да решите многу широка класа на проблеми.
Но, да бидеме искрени: за конечно да се разбере оваа техника, да се научи како да се примени канонската форма на логаритамската равенка, не е доволно само да се гледа една видео лекција. Затоа преземете ги опциите токму сега за независна одлука, кои се прикачени на оваа видео лекција и започнуваат да решаваат барем една од овие две самостојни дела.
Ќе ви одземе буквално неколку минути. Но, ефектот од таквата обука ќе биде многу поголем отколку ако едноставно ја гледавте оваа видео лекција.
Се надевам дека оваа лекција ќе ви помогне да ги разберете логаритамските равенки. Користете ја канонската форма, поедноставете ги изразите користејќи ги правилата за работа со логаритми - и нема да се плашите од никакви проблеми. Тоа е се што имам за денес.
Земајќи го предвид доменот на дефиниција
Сега да зборуваме за доменот на дефиниција логаритамска функција, како и како тоа влијае на решението на логаритамските равенки. Размислете за конструкција на формата
log a f(x) = b
Таквиот израз се нарекува наједноставен - содржи само една функција, а броевите a и b се само броеви и во никој случај функција која зависи од променливата x. Тоа може да се реши многу едноставно. Вие само треба да ја користите формулата:
b = log a a b
Оваа формула е едно од клучните својства на логаритмот, а при замена во нашиот оригинален израз го добиваме следново:
log a f (x) = log a a b
f (x) = a b
Ова е позната формула од училишни учебници. Многу студенти веројатно ќе имаат прашање: бидејќи во оригиналниот израз функцијата f (x) е под знакот за дневник, на неа се наметнуваат следните ограничувања:
f(x) > 0
Ова ограничување се применува бидејќи логаритамот на негативни броеви не постои. Значи, можеби, како резултат на ова ограничување, треба да се воведе проверка на одговорите? Можеби тие треба да се вметнат во изворот?
Не, во наједноставните логаритамски равенки дополнителна проверка е непотребна. И затоа. Погледнете ја нашата конечна формула:
f (x) = a b
Факт е дека бројот a е во секој случај поголем од 0 - ова барање го наметнува и логаритамот. Бројот а е основа. Во овој случај, не се наметнуваат ограничувања за бројот б. Но, ова не е важно, бидејќи без разлика кој степен го подигаме позитивен број, сепак ќе добиеме позитивен број на излезот. Така, барањето f (x) > 0 се задоволува автоматски.
Она што навистина вреди да се провери е доменот на функцијата под знакот за дневник. Може да има доста сложени структури и дефинитивно треба да внимавате на нив за време на процесот на решавање. Ајде да погледнеме.
Прва задача:
Прв чекор: претворете ја дропот десно. Добиваме:
Се ослободуваме од знакот логаритам и ја добиваме вообичаената ирационална равенка:
Од добиените корени ни одговара само првиот, бидејќи вториот корен е помал од нула. Единствениот одговор ќе биде бројот 9. Тоа е тоа, проблемот е решен. Не се потребни дополнителни проверки за да се осигура дека изразот под знакот логаритам е поголем од 0, бидејќи не е само поголем од 0, туку според условот на равенката е еднаков на 2. Затоа, барањето „поголемо од нула “ се задоволува автоматски.
Ајде да преминеме на втората задача:
Сè е исто овде. Ја препишуваме конструкцијата, заменувајќи ја тројната:
Се ослободуваме од логаритамските знаци и добиваме ирационална равенка:
Ги квадратуваме двете страни земајќи ги предвид ограничувањата и добиваме:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Добиената равенка ја решаваме преку дискриминантата:
D = 49 − 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
Но, x = −6 не ни одговара, бидејќи ако го замениме овој број во нашата неравенка, добиваме:
−6 + 4 = −2 < 0
Во нашиот случај, потребно е да биде поголемо од 0 или, во екстремни случаи, еднакво. Но, x = −1 ни одговара:
−1 + 4 = 3 > 0
Единствениот одговор во нашиот случај ќе биде x = −1. Тоа е решението. Да се вратиме на самиот почеток на нашите пресметки.
Главната работа од оваа лекција е дека не треба да ги проверувате ограничувањата на функцијата во едноставни логаритамски равенки. Бидејќи во текот на процесот на решавање сите ограничувања се задоволуваат автоматски.
Сепак, ова во никој случај не значи дека можете целосно да заборавите на проверката. Во процесот на работа на логаритамска равенка, таа може добро да се претвори во ирационална, која ќе има свои ограничувања и барања за десната страна, што ги видовме денес во два различни примери.
Слободно решавајте ги ваквите проблеми и бидете особено внимателни доколку има корен во расправијата.
Логаритамски равенки со различни основи
Продолжуваме да ги проучуваме логаритамските равенки и гледаме уште две доста интересни техники со кои е модерно да се решаваат посложени конструкции. Но, прво, да се потсетиме како се решаваат наједноставните проблеми:
log a f(x) = b
Во овој запис a и b се броеви, а во функцијата f (x) променливата x мора да биде присутна, а само таму, односно x мора да биде само во аргументот. Ваквите логаритамски равенки ќе ги трансформираме користејќи ја канонската форма. За да го направите ова, забележете дека
b = log a a b
Покрај тоа, a b е токму аргумент. Ајде да го преработиме овој израз на следниов начин:
log a f (x) = log a a b
Токму тоа се обидуваме да го постигнеме, за да има логаритам да го засноваме a и на лево и на десно. Во овој случај, можеме, фигуративно кажано, да ги прецртаме знаците на дневникот и од математичка гледна точка можеме да кажеме дека едноставно ги изедначуваме аргументите:
f (x) = a b
Како резултат на тоа, ќе добиеме нов израз кој ќе биде многу полесен за решавање. Ајде да го примениме ова правило за нашите проблеми денес.
Значи, првиот дизајн:
Најпрво, забележувам дека десно е дропка чиј именител е лог. Кога ќе видите ваков израз, добро е да се сетите на прекрасното својство на логаритмите:
Преведено на руски, тоа значи дека секој логаритам може да се претстави како количник на два логаритами со која било основа c. Секако 0< с ≠ 1.
Значи: оваа формула има една прекрасна посебен случај, кога променливата c е еднаква на променливата б. Во овој случај добиваме конструкција како:
Токму оваа конструкција ја гледаме од знакот десно во нашата равенка. Да ја замениме оваа конструкција со log a b , добиваме:
Со други зборови, во споредба со првичната задача, ги заменивме аргументите и основата на логаритмот. Наместо тоа, моравме да ја смениме дропот.
Потсетуваме дека кој било степен може да се изведе од основата според следново правило:
Со други зборови, коефициентот k, кој е моќност на основата, се изразува како превртена дропка. Да го прикажеме како превртена дропка:
Дробниот фактор не може да се остави напред, бидејќи во овој случај нема да можеме да претставуваме овој запискако канонска форма (на крајот на краиштата, во канонската форма нема дополнителен фактор пред вториот логаритам). Затоа, да ја додадеме дропот 1/4 на аргументот како моќност:
Сега ги изедначуваме аргументите чии основи се исти (а нашите основи се навистина исти) и пишуваме:
x + 5 = 1
x = −4
Тоа е се. Го добивме одговорот на првата логаритамска равенка. Ве молиме имајте предвид: во оригиналниот проблем, променливата x се појавува само во еден дневник и се појавува во нејзиниот аргумент. Затоа, нема потреба да се провери доменот, а нашиот број x = −4 е навистина одговорот.
Сега да преминеме на вториот израз:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)
Овде, покрај вообичаените логаритми, ќе треба да работиме и со log f (x). Како да се реши таква равенка? На неподготвен ученик може да му се чини дека ова е некаква тешка задача, но всушност сè може да се реши на елементарен начин.
Погледнете внимателно на терминот lg 2 log 2 7. Што можеме да кажеме за него? Основите и аргументите на log и lg се исти, и ова треба да даде некои идеи. Да се потсетиме уште еднаш како се вадат моќите под знакот на логаритамот:
log a b n = nlog a b
Со други зборови, она што беше моќ на b во аргументот станува фактор пред самиот лог. Да ја примениме оваа формула за изразот lg 2 log 2 7. Не плашете се од lg 2 - ова е најчестиот израз. Можете да го преработите на следниов начин:
За него важат сите правила кои важат за кој било друг логаритам. Конкретно, факторот напред може да се додаде на степенот на аргументот. Ајде да го запишеме:
Многу често, учениците не ја гледаат оваа акција директно, бидејќи не е добро да се внесе еден дневник под знакот на друг. Всушност, нема ништо криминално во ова. Покрај тоа, добиваме формула што е лесно да се пресмета ако се сеќавате на важно правило:
Оваа формула може да се смета и како дефиниција и како едно од нејзините својства. Во секој случај, ако конвертирате логаритамска равенка, треба да ја знаете оваа формула исто како што би ја знаеле логистичката репрезентација на кој било број.
Да се вратиме на нашата задача. Го препишуваме земајќи го предвид фактот дека првиот член десно од знакот за еднаквост ќе биде едноставно еднаков на lg 7. Имаме:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
Да го поместиме lg 7 налево, добиваме:
lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)
Ги одземаме изразите лево затоа што имаат иста основа:
lg (56/7) = -3lg (x + 4)
Сега да ја разгледаме подетално равенката што ја добивме. Тоа е практично канонската форма, но има фактор −3 на десната страна. Ајде да го додадеме во вистинскиот аргумент на lg:
лог 8 = лог (x + 4) −3
Пред нас е канонската форма на логаритамската равенка, па ги пречкртавме знаците lg и ги изедначуваме аргументите:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0,5
Тоа е се! Ја решивме втората логаритамска равенка. Во овој случај, не се потребни дополнителни проверки, бидејќи во оригиналниот проблем x беше присутен само во еден аргумент.
Пак ќе го наведам клучните точкиоваа лекција.
Главната формула што се учи во сите лекции на оваа страница посветена на решавање на логаритамски равенки е канонската форма. И не плашете се од фактот дека во повеќето училишни учебници ве учат да решавате слични задачипоинаку. Оваа алатка работи многу ефикасно и ви овозможува да решите многу поширока класа на проблеми од наједноставните што ги проучувавме на самиот почеток на нашата лекција.
Покрај тоа, за решавање на логаритамски равенки ќе биде корисно да се знаат основните својства. Имено:
- Формулата за преместување во една база и специјалниот случај кога го реверзираме дневникот (ова ни беше многу корисно во првиот проблем);
- Формула за собирање и одземање моќи од знакот логаритам. Овде, многу студенти заглавуваат и не гледаат дека извадената и воведена диплома може сама по себе да содржи лог f (x). Ништо лошо во тоа. Можеме да воведеме еден дневник според знакот на другиот и во исто време значително да го поедноставиме решението на проблемот, што е она што го забележуваме во вториот случај.
Како заклучок, би сакал да додадам дека не е неопходно да се провери доменот на дефиниција во секој од овие случаи, бидејќи секаде променливата x е присутна само во еден знак на лог, а во исто време е и во нејзиниот аргумент. Како последица на тоа, сите барања од опсегот се исполнуваат автоматски.
Проблеми со променлива основа
Денес ќе ги разгледаме логаритамските равенки, кои за многу студенти изгледаат нестандардни, ако не и целосно нерешливи. Тоа е заза изрази кои не се засноваат на бројки, туку на променливи и парни функции. Ваквите конструкции ќе ги решаваме користејќи ја нашата стандардна техника, имено преку канонската форма.
За почеток, да се потсетиме како се решаваат наједноставните проблеми, врз основа на редовни броеви. Значи, наједноставната конструкција се нарекува
log a f(x) = b
За да ги решиме ваквите проблеми, можеме да ја користиме следната формула:
b = log a a b
Го препишуваме нашиот оригинален израз и добиваме:
log a f (x) = log a a b
Потоа ги изедначуваме аргументите, т.е. пишуваме:
f (x) = a b
Така, се ослободуваме од знакот за дневник и го решаваме вообичаениот проблем. Во овој случај, корените добиени од решението ќе бидат корените на првобитната логаритамска равенка. Дополнително, записот кога и левата и десната страна се во ист логаритам со иста основа, прецизно се нарекува канонска форма. До таков рекорд ќе се обидеме да ги намалиме денешните дизајни. Значи, да одиме.
Прва задача:
лог x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Заменете го 1 со лог x − 2 (x − 2) 1 . Степенот што го набљудуваме во аргументот е всушност бројот b што стои десно од знакот за еднаквост. Така, да го преработиме нашиот израз. Добиваме:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)
Што гледаме? Пред нас е канонската форма на логаритамската равенка, за да можеме безбедно да ги изедначуваме аргументите. Добиваме:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
Но, решението не завршува тука, бидејќи дадена равенкане е еквивалентно на оригиналот. На крајот на краиштата, добиената конструкција се состои од функции кои се дефинирани на целата бројна линија, а нашите оригинални логаритми не се дефинирани насекаде и не секогаш.
Затоа, ние мора да го запишеме доменот на дефиниција одделно. Да не се делиме влакна и прво да ги запишеме сите барања:
Прво, аргументот на секој од логаритмите мора да биде поголем од 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Второ, основата не само што треба да биде поголема од 0, туку и да се разликува од 1:
x − 2 ≠ 1
Како резултат, го добиваме системот:
Но, не плашете се: кога се обработуваат логаритамски равенки, таков систем може значително да се поедностави.
Проценете сами: од една страна, од нас се бара квадратната функција да биде поголема од нула, а од друга страна, оваа квадратна функција е изедначена со одредена линеарен израз, што исто така се бара да биде поголемо од нула.
Во овој случај, ако бараме дека x − 2 > 0, тогаш барањето 2x 2 − 13x + 18 > 0 автоматски ќе биде задоволено квадратна функција. Така, бројот на изрази содржани во нашиот систем ќе се намали на три.
Се разбира, исто толку добро би можеле да пречкртаме линеарна нееднаквост, односно, прецртајте x − 2 > 0 и барајте 2x 2 − 13x + 18 > 0. Но, мора да се согласите дека решавањето на наједноставната линеарна неравенка е многу побрзо и полесно од квадратното, дури и ако како резултат на решавање на целата овој систем ќе ги добиеме истите корени.
Во принцип, обидете се да ги оптимизирате пресметките секогаш кога е можно. И во случај на логаритамски равенки, пречкртајте ги најтешките неравенки.
Ајде да го преработиме нашиот систем:
Еве еден систем од три изрази, од кои два, всушност, веќе се занимававме. Ајде да го запишеме одделно квадратна равенкаи ајде да го решиме:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Даден пред нас квадратен триноми, според тоа, можеме да ги користиме формулите на Виета. Добиваме:
(x − 5) (x − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Сега се враќаме на нашиот систем и откриваме дека x = 2 не ни одговара, бидејќи од нас се бара x да биде строго поголем од 2.
Но, x = 5 ни одговара доста добро: бројот 5 е поголем од 2, а во исто време 5 не е еднаков на 3. Затоа, единственото решениена овој систем ќе биде x = 5.
Тоа е тоа, проблемот е решен, вклучително и земајќи го предвид ОДЗ. Да преминеме на втората равенка. Повеќе интересни и информативни пресметки не очекуваат овде:
Прв чекор: како во последен пат, ја доведуваме целата оваа работа во канонска форма. За да го направите ова, можеме да го напишеме бројот 9 на следниов начин:
Не мора да ја допирате основата со коренот, но подобро е да го трансформирате аргументот. Ајде да одиме од корен до моќ в рационален индикатор. Ајде да запишеме:
Да не ја препишувам целата наша голема логаритамска равенка, туку веднаш да ги изедначам аргументите:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Пред нас е ново намален квадратен трином, да ги искористиме формулите на Виета и да напишеме:
(x + 3) (x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Значи, ги добивме корените, но никој не ни гарантира дека ќе одговараат на првобитната логаритамска равенка. Впрочем, најавите знаци наметнуваат дополнителни ограничувања(тука требаше да го запишеме системот, но поради гломазната природа на целата структура, решив да го пресметам доменот на дефиниција посебно).
Пред сè, запомнете дека аргументите мора да бидат поголеми од 0, имено:
Тоа се барањата наметнати од опсегот на дефиницијата.
Веднаш да забележиме дека со оглед на тоа што ги поистоветуваме првите два изрази на системот еден со друг, можеме да прецртаме кој било од нив. Ајде да го пречкртаме првиот бидејќи изгледа позаканувачки од вториот.
Дополнително, забележете дека решението на втората и третата неравенка ќе бидат истите множества (коцката на некој број е поголема од нула, ако самиот овој број е поголем од нула; слично, со корен од третиот степен - овие неравенки се целосно аналогни, па можеме да го пречкртаме).
Но, со третата нееднаквост ова нема да функционира. Ајде да се ослободиме од радикалниот знак лево со подигање на двата дела на коцка. Добиваме:
Значи, ги добиваме следниве барања:
− 2 ≠ x > −3
Кој од нашите корени: x 1 = −3 или x 2 = −1 ги исполнува овие барања? Очигледно, само x = −1, бидејќи x = −3 не ја задоволува првата неравенка (бидејќи нашата неравенка е строга). Значи, враќајќи се на нашиот проблем, добиваме еден корен: x = −1. Тоа е тоа, проблемот е решен.
Уште еднаш, клучните точки на оваа задача:
- Слободно применувајте и решавајте логаритамски равенки користејќи канонска форма. Учениците кои пишуваат на овој начин, наместо да одат директно од оригиналниот проблем на конструкција како log a f (x) = b, дозволуваат многу помалку грешкиод оние кои брзаат некаде, прескокнувајќи средни чекори на пресметки;
- Штом се појави логаритамот променлива основа, задачата престанува да биде наједноставна. Затоа, при неговото решавање, потребно е да се земе предвид доменот на дефиниција: аргументите мора да бидат поголеми од нула, а основите не само што треба да бидат поголеми од 0, туку не смеат да бидат и еднакви на 1.
Конечните барања може да се применат на конечните одговори на различни начини. На пример, можете да решите цел систем кој ги содржи сите барања за доменот на дефиниција. Од друга страна, прво можете да го решите самиот проблем, а потоа да го запомните доменот на дефиниција, одделно да го разработите во форма на систем и да го примените на добиените корени.
Кој метод да го изберете при решавање на одредена логаритамска равенка зависи од вас. Во секој случај, одговорот ќе биде ист.
Сите сме запознаени со равенките основните часови. Таму научивме да ги решаваме и наједноставните примери, а мора да признаеме дека нивната примена ја наоѓаат дури и во виша математика. Сè е едноставно со равенките, вклучувајќи ги и квадратните равенки. Ако имате проблеми со оваа тема, топло ви препорачуваме да ја разгледате.
Веројатно веќе сте поминале низ логаритми. Сепак, сметаме дека е важно да кажеме што е тоа за оние кои сè уште не знаат. Логаритам се изедначува со моќноста на која основата мора да се подигне за да се добие бројот десно од знакот за логаритам. Да дадеме пример врз основа на кој се ќе ви стане јасно.
Ако подигнете 3 на четвртата моќност, добивате 81. Сега заменете ги броевите по аналогија и конечно ќе разберете како се решаваат логаритмите. Сега останува само да се комбинираат двата дискутирани концепти. Првично, ситуацијата изгледа крајно комплицирана, но по внимателно испитување тежината паѓа на своето место. Ние сме уверени дека после ова кратка статијанема да имате проблеми во овој дел од испитот.
Денес постојат многу начини за решавање на такви структури. Ќе ви кажеме за наједноставните, најефективните и најприменливите во случајот со задачите за унифициран државен испит. Решавањето на логаритамските равенки мора да започне од самиот почеток. едноставен пример. Наједноставните логаритамски равенки се состојат од функција и една променлива во неа.
Важно е да се забележи дека x е внатре во аргументот. A и b мора да бидат броеви. Во овој случај, можете едноставно да ја изразите функцијата во однос на број до моќност. Изгледа вака.
Се разбира, решавањето на логаритамска равенка со овој метод ќе ве доведе до точниот одговор. Проблемот за огромното мнозинство студенти во овој случај е што тие не разбираат што доаѓа од каде. Како резултат на тоа, мора да ги поднесувате грешките и да не ги добивате посакуваните поени. Најнавредлива грешка ќе биде ако ги измешате буквите. За да решите равенка на овој начин, треба да го запаметите овој стандард училишна формулабидејќи е тешко да се разбере.
За да ви биде полесно, можете да прибегнете кон друг метод - канонската форма. Идејата е исклучително едноставна. Вратете го вашето внимание на проблемот. Запомнете дека буквата a е број, а не функција или променлива. А не е еднакво на еден и поголем од нула. Нема ограничувања за б. Сега, од сите формули, да се потсетиме на една. Б може да се изрази на следниов начин.
Од ова произлегува дека сите оригинални равенки со логаритми може да се претстават во форма:
Сега можеме да ги исфрлиме логаритмите. Резултатот е едноставен дизајн, кој веќе го видовме порано.
Погодноста на оваа формула е тоа што може да се користи најмногу различни случаи, и не само за наједноставните дизајни.
Не грижете се за ООФ!
Многу искусни математичари ќе забележат дека не сме обрнале внимание на доменот на дефиниција. Правилото се сведува на фактот дека F(x) е нужно поголемо од 0. Не, не ја пропуштивме оваа точка. Сега зборуваме за уште една сериозна предност на канонската форма.
Тука нема да има дополнителни корени. Ако променливата ќе се појави само на едно место, тогаш опсегот не е неопходен. Тоа се прави автоматски. За да ја потврдите оваа пресуда, обидете се да решите неколку едноставни примери.
Како да се решаваат логаритамски равенки со различни основи
Тоа се веќе сложени логаритамски равенки и пристапот за нивно решавање мора да биде посебен. Овде ретко е можно да се ограничиме на озлогласената канонска форма. Да го започнеме нашето детална приказна. Ја имаме следната конструкција.
Обрнете внимание на дропката. Содржи логаритам. Ако го видите ова во задача, вреди да се потсетите на еден интересен трик.
Што значи тоа? Секој логаритам може да се претстави како количник на два логаритами со погодна основа. И оваа формула има посебен случај што е применлив со овој пример (значиме ако c=b).
Токму оваа дропка ја гледаме во нашиот пример. Така.
Во суштина, ја свртевме дропот и добивме попогоден израз. Запомнете го овој алгоритам!
Сега ни треба дека логаритамската равенка не содржи различни причини. Да ја претставиме основата како дропка.
Во математиката постои правило врз основа на кое можете да изведете диплома од база. Следниве резултати од изградбата.
Се чини дека што не спречува сега да го претвориме нашиот израз во канонска форма и едноставно да го решиме? Не толку едноставно. Не треба да има дропки пред логаритамот. Ајде да ја поправиме оваа ситуација! Фракциите се дозволени да се користат како степени.
Соодветно.
Ако основите се исти, можеме да ги отстраниме логаритмите и да ги изедначиме самите изрази. На овој начин ситуацијата ќе стане многу поедноставна отколку што беше. Ќе остане елементарна равенка, кој секој од нас знаел да го реши уште во 8, па дури и во 7 одделение. Пресметките можете да ги направите сами.
Го добивме единствениот вистински корен на оваа логаритамска равенка. Примерите за решавање на логаритамска равенка се прилично едноставни, нели? Сега ќе можете сами да се справите и со најтешките проблеми. сложени задачиза подготовка и полагање на Единствениот државен испит.
Каков е резултатот?
Во случај на какви било логаритамски равенки, тргнуваме од една многу важно правило. Неопходно е да се постапи на таков начин што изразувањето ќе се доведе до максимум едноставен поглед. Во овој случај ќе имате повеќе шансине само правилно да ја решите задачата, туку и направете ја на наједноставен и најлогичен можен начин. Токму вака секогаш работат математичарите.
Силно ве советуваме да не пребарувате тешки патеки, особено во овој случај. Запомнете неколку едноставни правила, што ќе ви овозможи да трансформирате кој било израз. На пример, намалете два или три логаритми на иста основа или изведете моќ од основата и победи на ова.
Исто така, вреди да се запамети дека решавањето на логаритамски равенки бара постојана пракса. Постепено ќе се префрлате на повеќе и повеќе комплексни структури, и ова ќе ве доведе до сигурна одлукасите варијанти на задачи на Единствениот државен испит. Подгответе се добро однапред за вашите испити и со среќа!
Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.
Собирање и користење на лични информации
Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.
Можеби ќе биде побарано да го дадете вашиот лични податоциво секое време да не контактирате.
Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.
Кои лични податоци ги собираме:
- Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса Е-поштаитн.
Како ги користиме вашите лични податоци:
- Личните информации што ги собираме ни овозможуваат да ве контактираме и да ве информираме уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
- Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
- Може да користиме и лични информации за внатрешни цели како што се ревизија, анализа на податоци и различни студиисо цел да ги подобриме услугите што ги нудиме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
- Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.
Откривање на информации на трети страни
Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.
Исклучоци:
- Доколку е потребно, во согласност со закон, судска постапка, В судење, и/или врз основа на јавни барања или барања од владини агенциина територијата на Руската Федерација - обелоденете ги вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
- Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.
Заштита на лични информации
Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.
Почитување на вашата приватност на ниво на компанија
За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.
Логаритамска равенкае равенка во која непознатата (x) и изразите со неа се под знакот на логаритамската функција. Решавањето на логаритамски равенки претпоставува дека веќе сте запознаени со и .
Како да се решат логаритамските равенки?
Наједноставната равенка е log a x = b, каде што a и b се некои броеви, x е непозната.
Решавање на логаритамска равенкае x = a b обезбедено: a > 0, a 1.
Треба да се забележи дека ако x е некаде надвор од логаритмот, на пример log 2 x = x-2, тогаш таквата равенка веќе се нарекува мешана и потребен е посебен пристап за да се реши.
Идеален случај е кога ќе наидете на равенка во која само броевите се под знакот логаритам, на пример x+2 = log 2 2. Овде доволно е да се знаат својствата на логаритмите за да се реши. Но, таква среќа не се случува често, затоа подгответе се за потешки работи.
Но, прво, да почнеме со едноставни равенки. За да ги решите, пожелно е да имате најмногу општа идејаза логаритмот.
Решавање едноставни логаритамски равенки
Тука спаѓаат равенките од типот log 2 x = log 2 16. Голо око може да види дека со испуштање на знакот на логаритамот добиваме x = 16.
За да се реши посложена логаритамска равенка, обично се сведува на решавање на вообичаеното алгебарска равенкаили на решението на наједноставниот логаритамски лог равенки a x = b. Во наједноставните равенки тоа се случува во едно движење, поради што се нарекуваат наједноставни.
Горенаведениот метод за испуштање логаритми е еден од главните начини за решавање на логаритамски равенки и неравенки. Во математиката, оваа операција се нарекува потенцирање. Постојат одредени правила или ограничувања за овој тип на операција:
- логаритмите имаат исти нумерички основи
- Логаритмите од двете страни на равенката се слободни, т.е. без никакви коефициенти и друго разни видовиизрази.
Да речеме во равенката log 2 x = 2log 2 (1 - x) потенцирањето не е применливо - коефициентот 2 на десната страна не го дозволува тоа. Во следниот пример, log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) исто така не задоволува едно од ограничувањата - лево има два логаритма. Да имаше само еден, ќе беше сосема друга работа!
Во принцип, можете да ги отстраните логаритмите само ако равенката ја има формата:
лог а (...) = лог а (...)
Апсолутно сите изрази може да се стават во загради, тоа нема апсолутно никакво влијание врз операцијата за потенцирање. И по елиминирање на логаритмите, ќе остане поедноставна равенка - линеарна, квадратна, експоненцијална итн., која, се надевам, веќе знаете да ја решите.
Да земеме уште еден пример:
дневник 3 (2x-5) = дневник 3 x
Ние применуваме потенцирање, добиваме:
дневник 3 (2x-1) = 2
Врз основа на дефиницијата за логаритам, имено, дека логаритам е бројот до кој треба да се подигне основата за да се добие израз кој е под знакот логаритам, т.е. (4x-1), добиваме:
Повторно добивме прекрасен одговор. Овде направивме без елиминирање на логаритми, но потенцирањето е применливо и овде, бидејќи логаритам може да се направи од кој било број, и токму тој што ни треба. Овој метод е многу корисен за решавање на логаритамски равенки и особено неравенки.
Ајде да ја решиме нашата логаритамска равенка лог 3 (2x-1) = 2 со помош на потенцирање:
Да го замислиме бројот 2 како логаритам, на пример, овој дневник 3 9, бидејќи 3 2 =9.
Потоа log 3 (2x-1) = log 3 9 и повторно ја добиваме истата равенка 2x-1 = 9. Се надевам дека сè е јасно.
Така, погледнавме како да ги решиме наједноставните логаритамски равенки, кои всушност се многу важни, бидејќи решавање на логаритамски равенки, дури и оние најстрашните и извртените, на крајот секогаш се сведуваат на решавање на наједноставните равенки.
Во се што направивме погоре, многу ни недостасуваше еден важна точка, што последователно ќе има одлучувачка улога. Факт е дека решението на која било логаритамска равенка, дури и најелементарната, се состои од два еднакви дела. Првиот е решението на самата равенка, вториот работи со опсегот на дозволени вредности (APV). Ова е токму првиот дел што го совладавме. Во горенаведеното примери на DLне влијае на одговорот на кој било начин, затоа не го разгледавме.
Да земеме уште еден пример:
дневник 3 (x 2 -3) = дневник 3 (2x)
Однадвор, оваа равенка не се разликува од елементарната, која може многу успешно да се реши. Но, не е така. Не, секако дека ќе го решиме, но најверојатно погрешно, бидејќи содржи мала заседа, во која веднаш паѓаат и учениците од Ц и одличните ученици. Ајде да погледнеме подетално.
Да речеме дека треба да го пронајдете коренот на равенката или збирот на корените, ако има неколку од нив:
дневник 3 (x 2 -3) = дневник 3 (2x)
Ние користиме потенцирање, тука е прифатливо. Како резултат на тоа, добиваме обична квадратна равенка.
Наоѓање на корените на равенката:
Испадна два корени.
Одговор: 3 и -1
На прв поглед сè е точно. Но, ајде да го провериме резултатот и да го замениме во оригиналната равенка.
Да почнеме со x 1 = 3:
дневник 3 6 = дневник 3 6
Проверката беше успешна, сега редицата е x 2 = -1:
дневник 3 (-2) = дневник 3 (-2)
Добро, застани! Однадвор сè е совршено. Едно - нема логаритми од негативни броеви! Ова значи дека коренот x = -1 не е погоден за решавање на нашата равенка. И затоа точниот одговор ќе биде 3, а не 2, како што напишавме.
Овде ОДЗ ја одигра својата фатална улога, на која сме заборавиле.
Дозволете ми да ве потсетам дека опсегот на прифатливи вредности ги вклучува оние вредности на x што се дозволени или имаат смисла за оригиналниот пример.
Без ОДЗ, секое решение, дури и апсолутно точно, на која било равенка се претвора во лотарија - 50/50.
Како успеавме да бидеме фатени кога одлучувавме што изгледаше елементарен пример? Но токму во моментот на потенцирање. Логаритмите исчезнаа, а со нив и сите ограничувања.
Што да направите во овој случај? Одбивате да ги елиминирате логаритмите? И целосно да одбие да ја реши оваа равенка?
Не, ние само како вистински херои од една позната песна ќе тргнеме на заобиколен пат!
Пред да започнеме со решавање на која било логаритамска равенка, ќе го запишеме ODZ. Но, после тоа, можете да правите што сака вашето срце со нашата равенка. Откако го добивме одговорот, ние едноставно ги исфрламе оние корени што не се вклучени во нашиот ОДЗ и ја запишуваме конечната верзија.
Сега да одлучиме како да снимаме ODZ. За да го направите ова, внимателно ја испитуваме оригиналната равенка и бараме сомнителни места во неа, како што се делење со x, дури и корен, итн. Додека не ја решиме равенката, не знаеме на што е еднакво x, но сигурно знаеме дека оние x кои кога ќе се заменат даваат делење со 0 или квадратен корен на негативен број, очигледно не се соодветни како одговор. . Затоа, таквите х се неприфатливи, додека останатите ќе претставуваат ОДЗ.
Ајде повторно да ја користиме истата равенка:
дневник 3 (x 2 -3) = дневник 3 (2x)
дневник 3 (x 2 -3) = дневник 3 (2x)
Како што можете да видите, нема поделба со 0, квадратни корениисто така не, но има изрази со x во телото на логаритамот. Веднаш да запомниме дека изразот во логаритамот мора секогаш да биде >0. Оваа состојба ја пишуваме во форма на ODZ:
Оние. Сè уште ништо не сме одлучиле, но веќе го запишавме потребна состојбаза целиот сублогаритамски израз. Кадравата заграда значи дека овие услови мора да бидат точни истовремено.
ОДЗ е запишан, но исто така е неопходно да се реши добиениот систем на неравенки, што и ќе го направиме. Го добиваме одговорот x > v3. Сега со сигурност знаеме кој х нема да ни одговара. И тогаш започнуваме да ја решаваме самата логаритамска равенка, што е она што го направивме погоре.
Откако ги добивме одговорите x 1 = 3 и x 2 = -1, лесно може да се види дека само x1 = 3 ни одговара и го запишуваме како конечен одговор.
За во иднина, многу е важно да се запамети следново: ние ја решаваме секоја логаритамска равенка во 2 фази. Првата е да се реши самата равенка, втората е да се реши условот ODZ. И двете фази се изведуваат независно една од друга и се споредуваат само при пишување на одговорот, т.е. отфрлете се што е непотребно и запишете го точниот одговор.
За да го зајакнеме материјалот, силно препорачуваме да го гледате видеото:
Видеото покажува други примери за решавање на дневник. равенки и разработување на методот на интервал во пракса.
На ова прашање, како да се решат логаритамски равенкиТоа е се за сега. Ако нешто е одлучено од дневникот. равенките остануваат нејасни или неразбирливи, напишете ги вашите прашања во коментарите.
Напомена: Академијата за социјално образование (АСЕ) е подготвена да прими нови студенти.