Во оваа статија ќе зборувам за алгоритам за наоѓање најголема и најмала вредностфункции, минимални и максимални поени.
Од теорија дефинитивно ќе ни биде од корист деривативна табелаИ правила за диференцијација. Сè е на оваа чинија:
Алгоритам за наоѓање најголеми и најмали вредности.
Поудобно ми е да објаснам конкретен пример. Да се разгледа:
Пример:Најдете највисока вредностфункции y=x^5+20x^3–65x на интервалот [–4;0].
Чекор 1.Го земаме дериватот.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Чекор 2.Наоѓање екстремни точки.
Екстремна точкаги нарекуваме оние точки во кои функцијата ја достигнува својата најголема или минимална вредност.
За да ги пронајдете екстремните точки, треба да го изедначите изводот на функцијата на нула (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Сега да го решиме ова биквадратна равенкаа пронајдените корени се нашите екстремни точки.
Ваквите равенки ги решавам со замена на t = x^2, потоа 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Да ја намалиме равенката за 5, добиваме: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt (196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Ја правиме обратната промена x^2 = t:
X_(1 и 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 и 4) = ±sqrt(-13) (исклучуваме, не може да има негативни броеви, освен ако секако не зборуваме за сложени броеви)
Вкупно: x_(1) = 1 и x_(2) = -1 - ова се нашите екстремни точки.
Чекор 3.Одреди ја најголемата и најмалата вредност.
Метод на замена.
Во состојбата, ни беше даден сегментот [b][–4;0]. Точката x=1 не е вклучена во овој сегмент. Значи, не го разгледуваме. Но, покрај точката x=-1, треба да ги разгледаме и левата и десната граница на нашиот сегмент, односно точките -4 и 0. За да го направите ова, ги заменуваме сите овие три точки во оригиналната функција. Забележете дека оригиналниот е оној што е даден во условот (y=x^5+20x^3–65x), некои луѓе почнуваат да го заменуваат во изводот...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Тоа значи дека најголемата вредност на функцијата е [b]44 и се постигнува во точката [b]-1, која се нарекува максимална точка на функцијата на отсечката [-4; 0].
Решивме и добивме одговор, супер сме, можете да се опуштите. Но, застани! Не мислите ли дека пресметувањето на y(-4) е некако премногу тешко? Во услови на ограничено време, подобро е да се користи друг метод, јас го нарекувам вака:
Преку интервали на константност на знакот.
Овие интервали се наоѓаат за изводот на функцијата, односно за нашата биквадратна равенка.
Јас го правам тоа на следниот начин. Цртам насочен сегмент. Ги ставам точките: -4, -1, 0, 1. И покрај тоа што 1 не е вклучена во даден сегмент, сепак треба да се забележи за правилно да се одредат интервалите на постојаноста на знакот. Да земеме некој број многу пати поголем од 1, да речеме 100, и ментално да го замениме во нашата биквадратна равенка 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Дури и без да броиме ништо, станува очигледно дека во точката 100 функцијата има знак плус. Тоа значи дека за интервали од 1 до 100 има знак плус. Кога поминуваме низ 1 (одиме од десно кон лево), функцијата ќе го смени знакот во минус. Кога поминува низ точката 0, функцијата ќе го задржи својот знак, бидејќи ова е само граница на отсечката, а не коренот на равенката. Кога поминува низ -1, функцијата повторно ќе го смени знакот во плус.
Од теорија знаеме дека каде е изводот на функцијата (и ова го нацртавме токму за неа) го менува знакот од плус во минус (точка -1 во нашиот случај)функцијата достигнува нејзиниот локален максимум (y(-1)=44, како што беше пресметано претходно)на овој сегмент(ова е логично многу разбирливо, функцијата престана да се зголемува бидејќи го достигна својот максимум и почна да се намалува).
Според тоа, каде што изводот на функцијата го менува знакот од минус во плус, се постигнува локален минимум на функција. Да, да, исто така откривме дека локалната минимална точка е 1, а y(1) е минимална вредностфункции на отсечка, да речеме од -1 до +∞. Ве молиме имајте предвид дека ова е само ЛОКАЛЕН МИНИМУМ, односно минимум во одреден сегмент. Бидејќи реалниот (глобален) минимум на функцијата ќе достигне некаде таму, на -∞.
Според мене, првиот метод е теоретски поедноставен, а вториот е поедноставен од гледна точка аритметички операции, но многу покомплицирано од теоретска гледна точка. На крајот на краиштата, понекогаш има случаи кога функцијата не го менува знакот кога минува низ коренот на равенката, и воопшто може да се помешате со овие локални, глобални максими и минимуми, иако сепак ќе мора добро да го совладате ова ако планираат да се запишат технички универзитет(зошто инаку би го земал? профил Единствен државен испити решете го овој проблем). Но, практиката и само практиката ќе ве научи да ги решите ваквите проблеми еднаш засекогаш. И можете да тренирате на нашата веб-страница. Еве .
Ако имате какви било прашања или нешто не е јасно, не заборавајте да прашате. Со задоволство ќе ви одговорам и ќе направам измени и дополнувања на статијата. Запомнете дека ја правиме оваа страница заедно!
Проучување на таков објект математичка анализакако функција има голема значењеи во други области на науката. На пример, во економска анализаоднесувањето постојано се бара да се оценува функциипрофитот, имено да се одреди неговиот најголем значењеи да развијат стратегија за нејзино постигнување.
Инструкции
Проучувањето на секое однесување секогаш треба да започне со пребарување на доменот на дефиниција. Обично по услов специфична задачапотребно е да се одреди најголемиот значење функцииили на целата оваа област, или на одреден интервал од неа со отворени или затворени граници.
Врз основа на , најголемиот е значење функции y(x0), во која за која било точка во доменот на дефиниција важи неравенката y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0). Графички, оваа точка ќе биде највисока ако вредностите на аргументите се поставени по оската на апсцисата, а самата функција по должината на оската на ординатите.
Да се одреди најголемата значење функции, следете го алгоритмот од три чекори. Ве молиме имајте предвид дека мора да бидете способни да работите со еднострани и , како и да го пресметате дериватот. Значи, нека е дадена некоја функција y(x) и треба да ја пронајдете нејзината најголема значењена одреден интервал со гранични вредности А и Б.
Откријте дали овој интервал е во опсегот на дефиницијата функции. За да го направите ова, треба да го најдете со разгледување на сите можни ограничувања: присуство на дропка во изразот, квадратен коренитн. Доменот на дефиниција е збир на вредности на аргументи за кои функцијата има смисла. Определете дали даден интервалнеговото подмножество. Ако да, тогаш одете на следната фаза.
Најдете го изводот функциии решете ја добиената равенка со изедначување на изводот на нула. На овој начин ќе ги добиете вредностите на таканаречените стационарни точки. Оценете дали барем еден од нив припаѓа на интервалот А, Б.
Во третата фаза, разгледајте ги овие точки и заменете ги нивните вредности во функцијата. Во зависност од типот на интервалот, направете ги следните дополнителни чекори. Ако има сегмент од формата [A, B], граничните точки се вклучени во интервалот; тоа е означено со загради. Пресметајте вредности функцииза x = A и x = B. Ако отворен интервал(А, Б), граничните вредности се пробиени, т.е. не се вклучени во него. Решавање на еднострани граници за x→A и x→B. Комбиниран интервал од формата [A, B) или (A, B), чиишто граници едната му припаѓа, другата не. Најдете ја едностраната граница додека x се стреми кон пробиената вредност и заменете ја другата во функцијата Бесконечен двостран интервал (-∞, +∞) или еднострани бесконечни интервали од формата: , (-∞, B).За реалните граници A и B, постапете според веќе опишаните принципи и за бесконечни, барајте граници за x→-∞ и x→+∞, соодветно.
Задачата во оваа фаза
Изјава за проблемот 2:
Дадена е функција која е дефинирана и континуирана на одреден интервал. Треба да ја пронајдете најголемата (најмалата) вредност на функцијата на овој интервал.
Теоретска основа.
Теорема (втора теорема на Вајерштрас):
Ако функцијата е дефинирана и континуирана во затворен интервал, тогаш таа ги достигнува своите максимални и минимални вредности во овој интервал.
Функцијата може да ги достигне своите најголеми и најмали вредности или со внатрешни точкијаз или на нејзините граници. Ајде да ги илустрираме сите можни опции. 
Објаснување:
1) Функцијата ја достигнува својата најголема вредност на левата граница на интервалот во точката, а нејзината минимална вредност на десната граница на интервалот во точката.
2) Функцијата ја достигнува својата најголема вредност во точката (ова е максималната точка), а нејзината минимална вредност на десната граница на интервалот во точката.
3) Функцијата ја достигнува својата максимална вредност на левата граница на интервалот во точката , и нејзината минимална вредност во точката (ова е минималната точка).
4) Функцијата е константна на интервалот, т.е. ги достигнува своите минимални и максимални вредности во која било точка од интервалот, а минималните и максималните вредности се еднакви една со друга.
5) Функцијата ја достигнува својата максимална вредност во точката , а нејзината минимална вредност во точката (и покрај фактот што функцијата има и максимум и минимум на овој интервал).
6) Функцијата ја достигнува својата најголема вредност во точка (ова е максималната точка), а нејзината минимална вредност во точка (ова е минималната точка).
Коментар:
„Максималната“ и „максималната вредност“ се различни работи. Ова произлегува од дефиницијата за максимум и интуитивното разбирање на фразата „максимална вредност“.
Алгоритам за решавање на проблем 2.
4) Изберете го најголемиот (најмалиот) од добиените вредности и запишете го одговорот.
Пример 4:
Да се определи најголемата и најмалата вредност на функцијата 
на сегментот.
Решение:
1) Најдете го изводот на функцијата. 
2) Најдете стационарни точки (и точки сомнителни за екстремни) со решавање на равенката. Обрнете внимание на точките во кои нема двостран конечен извод. 
3) Пресметајте ги вредностите на функциите во стационарни точкии на границите на интервалот.
4) Изберете го најголемиот (најмалиот) од добиените вредности и запишете го одговорот.
Функцијата на овој сегмент ја достигнува својата најголема вредност во точката со координати.
Функцијата на овој сегмент ја достигнува својата минимална вредност во точката со координати.
Можете да ја потврдите исправноста на пресметките со гледање на графикот на функцијата што се проучува. 
Коментар:Функцијата ја достигнува својата најголема вредност во максималната точка, а својот минимум на границата на сегментот.
Посебен случај.
Да претпоставиме дека треба да ги пронајдете максималните и минималните вредности на некоја функција на сегмент. По завршувањето на првата точка од алгоритмот, т.е. пресметка на дериват, станува јасно дека, на пример, потребно е само негативни вредностиво текот на целиот разгледуван сегмент. Запомнете дека ако изводот е негативен, тогаш функцијата се намалува. Откривме дека функцијата се намалува во текот на целиот сегмент. Оваа ситуација е прикажана во графиконот бр. 1 на почетокот на статијата.
Функцијата се намалува на сегментот, т.е. нема екстремни поени. Од сликата можете да видите дека функцијата ќе ја земе најмалата вредност на десната граница на сегментот, а најголемата вредност на левата страна. ако дериватот на сегментот е насекаде позитивен, тогаш функцијата се зголемува. Најниска вредност- на левата граница на сегментот, најголемата - на десната страна.