Дефиниции:
Екстремумповикајте ја максималната или минималната вредност на функцијата на дадено множество.
Екстремна точкае точката во која се достигнува максималната или минималната вредност на функцијата.
Максимална точкае точката во која се постигнува максималната вредност на функцијата.
Минимална точкае точката во која се постигнува минималната вредност на функцијата.
Објаснување.
На сликата, во близина на точката x = 3, функцијата ја достигнува својата максимална вредност (односно, во близина на оваа конкретна точка нема точка повисока). Во соседството на x = 8, повторно има максимална вредност (да појасниме повторно: токму во ова соседство нема точка повисока). Во овие точки, зголемувањето отстапува место за намалување. Тие се максималните поени:
x max = 3, x max = 8.
Во близина на точката x = 5, се постигнува минималната вредност на функцијата (односно, во близина на x = 5 нема точка подолу). Во овој момент намалувањето отстапува место за зголемување. Тоа е минималната точка:
Максималните и минималните поени се екстремни точки на функцијата, а вредностите на функцијата во овие точки се нејзини крајности.
Критични и стационарни точки на функцијата:
Неопходен услов за екстрем:
Доволен услов за екстрем:
На сегмент функцијата y = ѓ(x) може да ја достигне својата минимална или максимална вредност или на критичните точки или на краевите на сегментот.
Алгоритам за проучување на континуирана функцијаy = ѓ(x) за монотоност и екстремност:
Домен на функција, пресметајте го неговиот извод, најдете домен на извод на функција, најдете поенипретворајќи го изводот на нула, докажете дека пронајдените точки припаѓаат на доменот на дефинирање на оригиналната функција.
Пример 1 Идентификувајте ги критичните поенифункции y = (x - 3)²·(x-2).
Решение Најдете го доменот на дефиниција на функцијата, во овој случај нема ограничувања: x ∈ (-∞; +∞); Пресметај го изводот y’. Според правилата за диференцијација на производот од два, имаме: y' = ((x - 3)²)'·(x - 2) + (x - 3)²·(x - 2)' = 2·( x - 3)·(x - 2) + (x - 3)²·1. Потоа добиваме квадратна равенка: y’ = 3 x² – 16 x + 21.
Најдете го доменот на дефиниција на изводот на функцијата: x ∈ (-∞; +∞) Решете ја равенката 3 x² – 16 x + 21 = 0 за да пронајдете каде таа станува нула: 3 x² – 16 x + 21 = 0.
D = 256 – 252 = 4x1 = (16 + 2)/6 = 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3. Значи, дериватот оди на нула при вредности од x еднакви на 3 и 7/3.
Утврдете дали пронајдените припаѓаат поенидомен на дефиниција на оригиналната функција. Бидејќи x (-∞; +∞), тогаш и двете поенисе критични.
Пример 2: Идентификувајте критични поенифункции y = x² – 2/x.
РешениеДомен на функцијата: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), бидејќи x е во именителот Пресметај го изводот y’ = 2 x + 2/x².
Доменот на дефиниција на изводот на функцијата е ист како оној на оригиналот: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) Решете ја равенката 2 x + 2/x² = 0: 2 x = -2/x² → x = -1.
Значи, дериватот оди на нула при x = -1. Потребниот, но не доволен услов за критичност е исполнет. Бидејќи x=-1 спаѓа во интервалот (-∞; 0) ∪ (0; +∞), тогаш оваа точка е критична.
Извори:
- Критичен обем на продажба, pcsPhreshold
Многу жени страдаат од предменструален синдром, кој се манифестира не само со болни сензации, туку и со зголемен апетит. Како резултат на тоа, критичните денови може значително да го забават процесот на слабеење.
Причини за зголемен апетит за време на менструалните периоди
Причината за зголемување на апетитот за време на менструалниот циклус е промената на општите хормонални нивоа во женското тело. Неколку дена пред почетокот на менструацијата се зголемува нивото на хормонот прогестерон, телото се прилагодува на можноста и се обидува да направи дополнителни енергетски резерви во вид на масни наслаги, дури и ако жената седи. Така, промените на тежината во критичните денови се нормални.
Како да се храните за време на менструацијата
Обидете се да не јадете слатки, кондиторски производи и друга висококалорична храна која содржи „брза“ храна овие денови. Нивниот вишок веднаш ќе се депонира во масти. Во овој период, многу жени навистина сакаат да јадат чоколадо, во овој случај, можете да купите темно чоколадо и да се почестите со неколку парчиња, но не повеќе. За време на менструацијата не треба да консумирате алкохолни пијалоци, маринади, кисели краставички, чадено месо, семки и јаткасти плодови. Во принцип, киселите краставички и пушената храна треба да се ограничат во исхраната 6-8 дена пред почетокот на менструацијата, бидејќи таквите производи ги зголемуваат резервите на вода во телото, а овој период се карактеризира со зголемена акумулација на течности. За да ја намалите количината на сол во вашата исхрана, додадете минимални количини од неа во подготвената храна.
Се препорачува да се консумираат млечни производи со малку маснотии, растителна храна и житарки. Грав, варен компир, ориз - производи што содржат „бавни“ јаглени хидрати ќе бидат корисни. Морската храна, црниот дроб, рибата, говедското месо, живината, јајцата, мешунките и сувото овошје ќе помогнат да се надополнат загубите на железо. Пченични трици ќе бидат корисни. Природна реакција за време на менструацијата е оток. Лесни диуретични билки ќе помогнат да се поправи состојбата: босилек, копар, магдонос, целер. Тие можат да се користат како зачини. Во втората половина од циклусот се препорачува консумирање на протеинска храна (посно месо и риба, млечни производи), а количината на јаглехидрати во исхраната треба да се намали колку што е можно повеќе.
Економски концепт на критичен волумен продажбатаодговара на позицијата на претпријатието на пазарот, на кој приходите од продажба на стоки се минимални. Оваа ситуација се нарекува рентабилна точка, кога побарувачката за производи паѓа, а профитот едвај ги покрива трошоците. За одредување на критичниот волумен продажбата, користете неколку методи.
Инструкции
Работниот циклус не е ограничен на неговите активности - производство или услуги. Ова е сложена работа на одредена структура, вклучувајќи ја работата на главниот персонал, раководниот персонал, раководниот персонал итн., како и економистите, чија задача е финансиска анализа на претпријатието.
Целта на оваа анализа е да се пресметаат одредени количини кои, до еден или друг степен, влијаат на големината на конечната добивка. Тоа се различни видови на обем на производство и продажба, целосни и просечни, индикатори за побарувачка итн. Главната задача е да се идентификува обемот на производството при што се воспоставува стабилна врска помеѓу трошоците и профитот.
Минимален волумен продажбата, при што приходот целосно ги покрива трошоците, но не го зголемува капиталот на компанијата, се нарекува критичен волумен продажбата. Постојат три методи за пресметување на методот на овој индикатор: метод на равенки, маргинален приход и графички.
За одредување на критичниот волумен продажбатаспоред првиот метод креирајте равенка од формата: Вп – Zper – Зpos = Пп = 0, каде што: Вп – приход од продажбатаи ;Zper и Zpos – варијабилни и постојани трошоци, Pp – профит од продажбатаИ.
Според друг метод, првиот мандат, приходите од продажбата, го прикажуваат како производ на маргиналниот приход по единица стока и волумен продажбата, истото важи и за варијабилните трошоци. Фиксните трошоци важат за целата серија на стоки, затоа оставете ја оваа компонента заедничка: MD N – Zper1 N – Zpos = 0.
Изразете ја вредноста на N од оваа равенка и го добивате критичниот волумен продажбата:N = Zpos/(MD – Zper1), каде што Zper1 е варијабилните трошоци по единица стока.
Графичкиот метод вклучува конструирање. Нацртајте две линии на координатната рамнина: функцијата приход од продажбатаминус и функцијата на трошоците и профитот. На оската на апсцисата, запишете го обемот на производството, а на оската на ординатите, закажете го приходот од соодветната количина на стоки, изразен во парични единици. Пресечната точка на овие линии одговара на критичниот волумен продажбата, рамномерна положба.
Извори:
- како да се дефинира критичката работа
Критичкото размислување е збир на судови врз основа на кои се формираат одредени заклучоци и се врши проценка на предметите на критиката. Тоа е особено карактеристично за истражувачите и научниците од сите гранки на науката. Критичкото размислување зазема повисоко ниво во споредба со обичното размислување.
Вредноста на искуството во развојот на критичко размислување
Тешко е да се анализира и да се извлечат заклучоци за нешто што не го разбирате добро. Затоа, за да научиме да размислуваме критички, неопходно е да се проучуваат предметите во секакви врски и односи со други феномени. Исто така од големо значење во ова прашање е поседувањето информации за такви предмети, способноста да се градат логични синџири на судови и да се извлечат разумни заклучоци.
На пример, може да се процени вредноста на уметничкото дело само со познавањето на доста други плодови на литературната дејност. Во исто време, добро е да се биде експерт за историјата на човековиот развој, формирањето на литературата и книжевната критика. Изолирано од историскиот контекст, едно дело може да го изгуби своето наменето значење. За да може оценката на уметничкото дело да биде доволно целосна и оправдана, потребно е да го искористите и вашето книжевно знаење, кое ги вклучува правилата за конструирање на литературен текст во рамките на одделни жанрови, систем на различни литературни техники, класификација и анализа. на постоечките стилови и трендови во литературата итн. Во исто време, исто така е важно да се проучи внатрешната логика на заплетот, редоследот на дејствата, распоредот и интеракцијата на ликовите во уметничкото дело.
Карактеристики на критичко размислување
Други карактеристики на критичкото размислување го вклучуваат следново:
- знаењето за предметот што се проучува е само почетна точка за понатамошна мозочна активност поврзана со изградбата на логички синџири;
- доследно конструираното и здраворазумското расудување води кон идентификација на вистинити и погрешни информации за предметот што се проучува;
- критичкото размислување е секогаш поврзано со проценката на достапните информации за даден предмет и соодветните заклучоци, оценувањето, пак, е поврзано со постоечките вештини.
За разлика од обичното размислување, критичкото размислување не подлежи на слепа вера. Критичкото размислување овозможува, со помош на цел систем на судови за предметот на критиката, да се разбере неговата суштина, да се идентификува вистинското знаење за него и да се побијат лажните. Се заснова на логика, длабочина и комплетноста на проучувањето, вистинитоста, соодветноста и доследноста на судовите. Во овој случај, очигледните и долго докажани изјави се прифаќаат како постулати и не бараат повторен доказ и евалуација.
Критични точки– тоа се точките во кои изводот на функцијата е еднаков на нула или не постои. Ако изводот е еднаков на 0 тогаш функцијата во оваа точка зема локален минимум или максимум. На графикот во такви точки функцијата има хоризонтална асимптота, односно тангентата е паралелна со оската Ox.
Таквите точки се нарекуваат стационарни. Ако видите „грпка“ или „дупка“ на графикот на континуирана функција, запомнете дека максимумот или минимумот се постигнуваат во критична точка. Да ја земеме следнава задача како пример.
Пример 1. Најдете ги критичните точки на функцијата y=2x^3-3x^2+5.
Решение. Алгоритмот за наоѓање критични точки е како што следува:
Значи, функцијата има две критични точки.
Следно, ако треба да проучувате функција, тогаш го одредуваме знакот на дериватот лево и десно од критичната точка. Ако изводот го промени знакот од „-“ во „+“ кога минува низ критичната точка, тогаш функцијата зема локален минимум. Ако од „+“ до „-“ треба локален максимум.
Втор тип на критични точкитоа се нулите на именителот на дробните и ирационалните функции
Логаритамски и тригонометриски функции кои не се дефинирани во овие точки 
Трет тип на критични точкиимаат поделени континуирани функции и модули.
На пример, секоја функција на модул има минимум или максимум на точката на прекин.
На пример модул y = | x -5 | во точката x = 5 има минимум (критична точка).
Дериватот не постои во него, но десно и лево ја зема вредноста 1 и -1, соодветно.
Обидете се да ги одредите критичните точки на функциите
1)
2)
3)
4)
5)
Ако одговорот е y, ја добивате вредноста
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
тогаш веќе знаеш како да најдете критични точкии да може да се справи со едноставен тест или тестови.
Размислете за следната слика.
Го прикажува графикот на функцијата y = x^3 – 3*x^2. Да разгледаме некој интервал кој ја содржи точката x = 0, на пример од -1 до 1. Таквиот интервал се нарекува и соседство на точката x = 0. Како што може да се види на графиконот, во ова соседство функцијата y = x ^3 – 3*x^2 ја зема најголемата вредност токму во точката x = 0.
Максимални и минимални функции
Во овој случај, точката x = 0 се нарекува максимална точка на функцијата. По аналогија со ова, точката x = 2 се нарекува минимална точка на функцијата y = x^3 – 3*x^2. Бидејќи постои соседство на оваа точка во која вредноста во овој момент ќе биде минимална меѓу сите други вредности од оваа населба.
Точка максимумфункцијата f(x) се нарекува точка x0, под услов да има соседство на точката x0 така што за сите x кои не се еднакви на x0 од ова соседство, важи неравенката f(x)< f(x0).
Точка минимумФункцијата f(x) се нарекува точка x0, под услов да има соседство на точката x0 така што за сите x кои не се еднакви на x0 од ова соседство, важи неравенката f(x) > f(x0).
Во точките на максимум и минимум на функции, вредноста на изводот на функцијата е нула. Но, тоа не е доволен услов за постоење на функција на максимална или минимална точка.
На пример, функцијата y = x^3 во точката x = 0 има извод еднаков на нула. Но, точката x = 0 не е минималната или максималната точка на функцијата. Како што знаете, функцијата y = x^3 се зголемува по целата нумеричка оска.
Така, минималните и максималните точки секогаш ќе бидат меѓу корените на равенката f’(x) = 0. Но, не сите корени на оваа равенка ќе бидат максимални или минимални поени.
Стационарни и критични точки
Точките во кои вредноста на изводот на функцијата е нула се нарекуваат стационарни точки. Може да има и точки на максимум или минимум во точките во кои изводот на функцијата воопшто не постои. На пример, y = |x| во точката x = 0 има минимум, но изводот не постои во оваа точка. Оваа точка ќе биде критична точка на функцијата.
Критичните точки на функцијата се точките во кои изводот е еднаков на нула, или изводот не постои во оваа точка, односно функцијата во оваа точка е недиференцибилна. За да се најде максимумот или минимумот на функцијата, мора да се исполни доволен услов.
Нека f(x) е некоја диференцијабилна функција на интервалот (a;b). Точката x0 припаѓа на овој интервал и f’(x0) = 0. Тогаш:
1. ако при минување низ стационарна точка x0 функцијата f(x) и нејзиниот извод го сменат знакот, од „плус“ во „минус“, тогаш точката x0 е максималната точка на функцијата.
2. ако при минување низ стационарна точка x0 функцијата f(x) и нејзиниот извод го сменат знакот, од „минус“ во „плус“, тогаш точката x0 е минималната точка на функцијата.
Стационарни точки на функција. Неопходен услов за локален екстрем на функција
Првиот доволен услов за локален екстрем
Втори и трети доволни услови за локален екстрем
Најмалите и најголемите вредности на функцијата на сегмент
Конвексни функции и точки на флексија
1. Стационарни точки на функцијата. Неопходен услов за локален екстрем на функција
Дефиниција 1
. Нека функцијата е дефинирана на 
. Точка 
наречена стационарна точка на функцијата 
, Ако 
диференцирани во точка 
И 
.
Теорема 1 (неопходен услов за локален екстрем на функција)
. Нека функцијата 
утврдени на 
и има во точката 
локален екстрем. Тогаш е исполнет еден од условите:
Така, за да се пронајдат точки кои се сомнителни за екстремум, потребно е да се пронајдат стационарни точки на функцијата и точки на кои не постои изводот на функцијата, но кои припаѓаат на доменот на дефинирање на функцијата.
Пример
. Нека 
. Најдете поени за тоа што се сомнителни за екстрем. За да го решиме проблемот, пред сè, го наоѓаме доменот на дефиниција на функцијата: 
. Сега да го најдеме изводот на функцијата:
Точки во кои изводот не постои: 
. Стационарни функционални точки:
Бидејќи и 
, И 
припаѓаат на доменот на дефинирање на функцијата, тогаш и двајцата ќе бидат сомнителни за екстрем. Но, за да се заклучи дали таму навистина ќе има екстрем, потребно е да се применат доволни услови за екстремот.
2. Првиот доволен услов за локален екстрем
Теорема 1 (прв доволен услов за локален екстрем)
. Нека функцијата 
утврдени на 
и се разликува на овој интервал насекаде освен, можеби, точката 
, но во овој момент 
функција 
е континуирано. Ако има такви десни и леви полунаселби на точка 
, во секоја од нив 
задржува одреден знак, тогаш
1) функција 
има локален екстрем во точката 
, Ако 
зема вредности на различни знаци во соодветните полу-населби;
2) функција 
нема локален екстрем во точката 
, ако десно и лево од точката 
го има истиот знак.
Доказ
. 1) Да претпоставиме дека во полу-населба 
дериват 
, и во 
.
Така во точката 
функција 
има локален екстрем, имено локален максимум, што требаше да се докаже.
2) Да претпоставиме дека лево и десно од точката 
дериватот го задржува својот знак, на пример, 
. Потоа на 
И 
функција 
се зголемува строго монотоно, односно:
Така екстремот во точката 
функција 
нема, што требаше да се докаже.
Забелешка 1
. Ако дериватот 
при минување низ точка 
го менува знакот од „+“ во „-“, потоа во точката 
функција 
има локален максимум, а ако знакот се промени од „-“ во „+“, тогаш има локален минимум.
Забелешка 2
. Важен услов е континуитетот на функцијата 
во точката 
. Ако овој услов не е исполнет, тогаш теоремата 1 може да не важи.
Пример . Функцијата се разгледува (сл. 1):
Оваа функција е дефинирана на 
и е континуирано насекаде освен точка 
, каде што има отстранлив јаз. При минување низ точка 
го менува знакот од „-“ во „+“, но функцијата нема локален минимум во овој момент, туку има локален максимум по дефиниција. Навистина, блиску до точката 
можно е да се изгради соседство така што за сите аргументи од ова соседство вредностите на функцијата ќе бидат помали од вредноста 
. Теорема 1 не функционираше бидејќи во точката 
функцијата имаше празнина.
Забелешка 3
. Првиот доволен услов за локален екстрем не може да се користи кога изводот на функцијата 
го менува својот знак во секое лево и секое десно полу-соседство на точка 
.
Пример . Функцијата што се разгледува е:
Затоа што 
, Тоа 
, а со тоа и 
, Но 
. Така:
,
тие. во точката 
функција 
има локален минимум по дефиниција. Да видиме дали тука функционира првиот доволен услов за локален екстрем.
За 
:
За првиот член на десната страна од добиената формула имаме:
,
а со тоа и во мало соседство на пунктот 
знакот на дериватот се одредува со знакот на вториот член, односно:
,
што значи дека во кое било соседство на точката 
ќе земе и позитивни и негативни вредности. Навистина, разгледајте произволно соседство на точката 
:
. Кога
,
Тоа 
(сл. 2), и 
го менува својот знак овде бесконечно многу пати. Така, првиот доволен услов за локален екстрем не може да се користи во дадениот пример.
