Минималната вредност на функцијата е. Како да се најде најмалата вредност на функцијата

Процесот на пребарување на најмалите и најголемите вредности на функцијата на сегмент потсетува на фасцинантен лет околу објект (график на функции) во хеликоптер, пукање на одредени точки од топ со долг дострел и избирање многу посебни точки од овие точки за контролни истрели. Поените се избираат на одреден начин и според одредени правила. По кои правила? За ова ќе зборуваме понатаму.

Доколку функцијата y = ѓ(x) е континуиран во интервалот [ а, б] , тогаш стигнува на овој сегмент најмалку И највисоки вредности . Ова може да се случи или во екстремни точки, или на краевите на сегментот. Затоа, да се најде најмалку И најголемите вредности на функцијата , континуирано на интервалот [ а, б] , треба да ги пресметате неговите вредности во сите критични точкии на краевите на отсечката, а потоа изберете ги најмалите и најголемите од нив.

Нека, на пример, треба да одредите највисока вредностфункции ѓ(x) на сегментот [ а, б] . За да го направите ова, треба да ги најдете сите негови критични точки што лежат на [ а, б] .

Критична точка наречена точка во која дефинирана функција, и неа дериватили еднакво на нула или не постои. Потоа треба да ги пресметате вредностите на функцијата во критичните точки. И, конечно, треба да се споредат вредностите на функцијата во критичните точки и на краевите на сегментот ( ѓ(а) И ѓ(б)). Најголемиот од овие бројки ќе биде најголемата вредност на функцијата на сегментот [а, б] .

Проблеми со наоѓање најмалите функциски вредности .

Заедно ги бараме најмалите и најголемите вредности на функцијата

Пример 1. Најдете ги најмалите и најголемите вредности на функцијата на сегментот [-1, 2] .

Решение. Најдете го изводот на оваа функција. Да го изедначиме изводот со нула () и да добиеме две критични точки: и . Да се најдат најмалите и најголемите вредности на функцијата на зад себе овој сегментдоволно е да се пресметаат неговите вредности на краевите на сегментот и во точката, бидејќи точката не припаѓа на сегментот [-1, 2]. Овие вредности на функции се: , , . Го следи тоа најмала вредностфункции(означено со црвено на графиконот подолу), еднакво на -7, се постигнува на десниот крај на отсечката - во точката , и најголем(исто така црвено на графикот), е еднакво на 9, - во критичната точка.

Ако функцијата е континуирана во одреден интервал и овој интервал не е отсечка (туку е, на пример, интервал; разликата помеѓу интервалот и отсечката: граничните точки на интервалот не се вклучени во интервалот, туку граничните точки на сегментот се вклучени во сегментот), тогаш меѓу вредностите на функцијата можеби нема да има најмала и најголема. Така, на пример, функцијата прикажана на сликата подолу е континуирана на ]-∞, +∞[ и нема најголема вредност.

Меѓутоа, за кој било интервал (затворен, отворен или бесконечен), следново својство на континуирани функции е точно.

Пример 4. Најдете ги најмалите и најголемите вредности на функцијата на сегментот [-1, 3] .

Решение. Го наоѓаме изводот на оваа функција како извод на количникот:

Изводот го изедначуваме со нула, што ни дава една критична точка: . Припаѓа на сегментот [-1, 3] . За да ги најдеме најмалите и најголемите вредности на функцијата на даден сегмент, ги наоѓаме нејзините вредности на краевите на сегментот и на пронајдената критична точка:

Ајде да ги споредиме овие вредности. Заклучок: еднаков на -5/13, во точка и највисока вредностеднакво на 1 во точка .

Продолжуваме заедно да ги бараме најмалите и најголемите вредности на функцијата

Има наставници кои на тема пронаоѓање на најмалите и најголемите вредности на функцијата не им даваат на учениците примери за решавање кои се посложени од оние кои штотуку беа дискутирани, односно оние во кои функцијата е полином или дропка, чиј броител и именител се полиноми. Но, ние нема да се ограничиме на такви примери, бидејќи меѓу наставниците има и такви кои сакаат да ги принудат учениците да размислуваат целосно (табела со деривати). Затоа ќе се користат логаритамската и тригонометриската функција.

Пример 6. Најдете ги најмалите и најголемите вредности на функцијата на сегментот .

Решение. Изводот на оваа функција го наоѓаме како дериват на производот :

Изводот го изедначуваме со нула, што дава една критична точка: . Припаѓа на сегментот. За да ги најдеме најмалите и најголемите вредности на функцијата на даден сегмент, ги наоѓаме нејзините вредности на краевите на сегментот и на пронајдената критична точка:

Резултат од сите дејства: функцијата ја достигнува својата минимална вредност, еднакво на 0, во точката и во точката и највисока вредност, еднакви д², во точката.

Пример 7. Најдете ги најмалите и најголемите вредности на функцијата на сегментот .

Решение. Најдете го изводот на оваа функција:

Изводот го изедначуваме со нула:

Единствената критична точка му припаѓа на сегментот. За да ги најдеме најмалите и најголемите вредности на функцијата на даден сегмент, ги наоѓаме нејзините вредности на краевите на сегментот и на пронајдената критична точка:

Заклучок: функцијата ја достигнува својата минимална вредност, еднакво на , во точката и највисока вредност, еднакви , во точката .

Кај применетите екстремни проблеми, наоѓањето на најмалите (максимални) вредности на функцијата, по правило, се сведува на наоѓање на минимум (максимум). Но, не се од поголем практичен интерес самите минимуми или максимални, туку оние вредности на аргументот со кои се постигнуваат. При решавање на применетите проблеми се јавува дополнителна тешкотија- компилација на функции кои го опишуваат феноменот или процесот што се разгледува.

Пример 8.Резервоар со капацитет од 4, со форма на паралелепипед со квадратна основаи се отвора одозгора, треба да се калај. Кои треба да бидат димензиите на резервоарот така што ќе потрае најмал износматеријал?

Решение. Нека x- основната страна, ч- висина на резервоарот, С- неговата површина без покривка, В- нејзиниот волумен. Површината на резервоарот се изразува со формулата, т.е. е функција од две променливи. Да се изрази Скако функција на една променлива го користиме фактот дека , од каде . Замена на пронајдениот израз чво формулата за С:

Ајде да ја испитаме оваа функција до крајност. Таа е дефинирана и диференцијабилна насекаде во ]0, +∞[ и

Изводот го изедначуваме со нула () и ја наоѓаме критичната точка. Дополнително, кога изводот не постои, но оваа вредност не е вклучена во доменот на дефиниција и затоа не може да биде екстремна точка. Значи, ова е единствената критична точка. Ајде да го провериме за присуство на екстремум користејќи го вториот доволен знак. Ајде да го најдеме вториот извод. Кога вториот извод е поголем од нула (). Тоа значи дека кога функцијата ќе достигне минимум . Од ова минимумот е единствениот екстремум на оваа функција, тоа е нејзината најмала вредност. Значи, страната на основата на резервоарот треба да биде 2 m, а нејзината висина треба да биде .

Пример 9.Од точка Асе наоѓа на железничката пруга, до точка СО, кој се наоѓа на растојание од него л, товарот мора да се транспортира. Трошоците за транспорт на единица тежина по единица растојание со железница се еднакви на , а по автопат се еднакви на . До која точка Млинии железницатреба да се изгради автопат за транспорт на товар од АВ СОбеше најекономичен (дел АБжелезницата се претпоставува дека е права)?

Што е екстрем на функција и кој е неопходен услов за екстрем?

Екстремумот на функцијата е максимумот и минимумот на функцијата.

ПредусловМаксимумот и минимумот (екстремумот) на функцијата се како што следува: ако функцијата f(x) има екстрем во точката x = a, тогаш во оваа точка изводот е или нула, или бесконечен, или не постои.

Оваа состојба е неопходна, но не и доволна. Изводот во точката x = a може да оди на нула, бесконечност или да не постои без функцијата да има екстрем во оваа точка.

Кој е доволен услов за екстремност на функцијата (максимум или минимум)?

Прв услов:

Ако, во доволна близина на точката x = a, изводот f?(x) е позитивен лево од a и негативен десно од a, тогаш во точката x = a функцијата f(x) има максимум

Ако, во доволна близина на точката x = a, изводот f?(x) е негативен лево од a и позитивен десно од a, тогаш во точката x = a функцијата f(x) има минимумпод услов функцијата f(x) овде да е континуирана.

Наместо тоа, можете да го користите вториот доволна состојбаекстрем на функцијата:

Нека во точката x = a исчезне првиот извод f?(x); ако вториот извод f??(a) е негативен, тогаш функцијата f(x) има максимум во точката x = a, ако е позитивен, тогаш има минимум.

Која е критичната точка на функцијата и како да се најде?

Ова е вредноста на функцискиот аргумент на кој функцијата има екстрем (т.е. максимум или минимум). За да го најдете ви треба најдете го изводотфункција f?(x) и, изедначувајќи ја на нула, реши ја равенката f?(x) = 0. Корените на оваа равенка, како и оние точки на кои не постои изводот на оваа функција, се критични точки, т.е. вредности на аргументот во кои може да има екстрем. Тие лесно може да се идентификуваат со гледање деривативен график: ние сме заинтересирани за оние вредности на аргументот кај кои графикот на функцијата ја пресекува оската на апсцисата (оската Ox) и оние на кои графикот претрпува дисконтинуитети.

На пример, ајде да најдеме екстрем на парабола.

Функција y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Извод на функцијата: y?(x) = 6x + 2

Решете ја равенката: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

ВО во овој случајкритичната точка е x0=-1/3. Токму со оваа вредност на аргументот ја има функцијата екстремни. До него најдете, пронајдениот број во изразот заменете го за функцијата наместо „x“:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Како да се одреди максимумот и минимумот на функцијата, т.е. неговите најголеми и најмали вредности?

Ако знакот на изводот при минување низ критичната точка x0 се промени од „плус“ во „минус“, тогаш x0 е максимална точка; ако знакот на изводот се менува од минус во плус, тогаш x0 е минимална точка; ако знакот не се промени, тогаш во точката x0 нема ниту максимум ниту минимум.

За разгледаниот пример:

Ајде да го земеме произволна вредностаргумент лево од критична точка: x = -1

При x = -1, вредноста на изводот ќе биде y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знакот е „минус“).

Сега земаме произволна вредност на аргументот десно од критичната точка: x = 1

При x = 1, вредноста на изводот ќе биде y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знакот е „плус“).

Како што можете да видите, дериватот го смени знакот од минус во плус кога минува низ критичната точка. Тоа значи дека кај критичната вредност x0 имаме минимална точка.

Најголема и најмала вредност на функција на интервалот(на сегмент) се пронајдени со истата постапка, само земајќи го предвид фактот дека, можеби, сите критични точки нема да лежат во наведениот интервал. Оние критични точки кои се надвор од интервалот мора да бидат исклучени од разгледување. Ако има само една критична точка во интервалот, таа ќе има или максимум или минимум. Во овој случај, за да ги одредиме најголемите и најмалите вредности на функцијата, ги земаме предвид и вредностите на функцијата на краевите на интервалот.

На пример, да ги најдеме најголемите и најмалите вредности на функцијата

y (x) = 3sin (x) - 0,5x

во интервали:

Значи, изводот на функцијата е

y?(x) = 3cos (x) - 0,5

Ја решаваме равенката 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos (0,16667) + 2πk.

Наоѓаме критични точки на интервалот [-9; 9]:

x = arccos (0,16667) - 2π*2 = -11,163 (не е вклучено во интервалот)

x = -arccos (0,16667) - 2π*1 = -7,687

x = arccos (0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos (0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos (0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos (0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos (0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos (0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не е вклучено во интервалот)

Ги наоѓаме вредностите на функцијата кај критичните вредностиаргумент:

y (-7,687) = 3cos (-7,687) - 0,5 = 0,885

y (-4,88) = 3cos (-4,88) - 0,5 = 5,398

y (-1,403) = 3cos (-1,403) - 0,5 = -2,256

y (1,403) = 3cos (1,403) - 0,5 = 2,256

y (4,88) = 3cos (4,88) - 0,5 = -5,398

y (7,687) = 3cos (7,687) - 0,5 = -0,885

Се гледа дека на интервалот [-9; 9] функцијата има најголема вредност на x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

а најмалиот - на x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

На интервалот [-6; -3] имаме само една критична точка: x = -4,88. Вредноста на функцијата при x = -4,88 е еднаква на y = 5,398.

Најдете ја вредноста на функцијата на краевите на интервалот:

y (-6) = 3cos (-6) - 0,5 = 3,838

y (-3) = 3cos (-3) - 0,5 = 1,077

На интервалот [-6; -3] имаме најголема вредност на функцијата

y = 5,398 при x = -4,88

најмала вредност -

y = 1,077 на x = -3

Како да се најдат точките на флексија на графикот на функции и да се одредат конвексните и конкавните страни?

За да ги најдете сите точки на флексија на правата y = f(x), треба да го пронајдете вториот извод, да го изедначите на нула (решете ја равенката) и да ги тестирате сите оние вредности на x за кои вториот извод е нула, бесконечна или не постои. Ако, кога поминува низ една од овие вредности, вториот извод го промени знакот, тогаш графикот на функцијата има флексија во оваа точка. Ако не се промени, тогаш нема кривина.

Корените на равенката f? (x) = 0, како и можните точки на дисконтинуитет на функцијата и вториот извод, го делат доменот на дефинирање на функцијата на голем број интервали. Конвексноста на секој од нивните интервали се одредува со знакот на вториот дериват. Ако вториот извод во точка на испитуваниот интервал е позитивен, тогаш правата y = f(x) е конкавна нагоре, а ако е негативна, тогаш надолу.

Како да се најде екстремите на функција од две променливи?

За да ги пронајдете екстремите на функцијата f(x,y), диференцијабилна во доменот на нејзината спецификација, потребно е:

1) најдете ги критичните точки и за ова - решете го системот на равенки

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) за секоја критична точка P0(a;b) испита дали знакот на разликата останува непроменет

за сите точки (x;y) доволно блиску до P0. Ако разликата остане позитивна, тогаш во точката P0 имаме минимум, ако негативна, тогаш имаме максимум. Ако разликата не го задржи својот знак, тогаш нема екстрем во точката P0.

Слично се одредуваат екстремите на функцијата за повеќеаргументи.

За што зборува цртаниот филм „Шрек засекогаш потоа“?
Цртан филм: „Shrek Forever After“ Година на издавање: 2010 Премиера (Руска Федерација): 20 мај 2010 Земја: САД Режија: Мајкл Пичел Сценарио: Џош Клауснер, Дарен Лемке Жанр: семејна комедија, фантазија, авантура Официјална веб-страница: www.shrekforeverafter .com Заплет на мазга

Дали е можно да се донира крв за време на менструацијата?
Лекарите не препорачуваат дарување крв за време на менструацијата, бидејќи... загубата на крв, иако не во значителни количини, е полн со намалување на нивото на хемоглобин и влошување на благосостојбата на жената. За време на постапката за дарување крв, состојбата со вашето здравје може да се влоши додека не дојде до крварење. Затоа, жените треба да се воздржат од дарување крв за време на менструацијата. И веќе на 5-ти ден по нивното завршување

Колку kcal/час се трошат при миење на подови?
Видови физичка активностПотрошувачка на енергија, kcal/час Готвење 80 Облекување 30 Возење 50 Бришење прашина 80 Јадење 30 Градинарство 135 Пеглање 45 Местење кревет 130 Купување 80 Седечка работа 75 Сечкање дрва 300 Миење подови 130 Пол 100-15 танцување со низок танц

Што значи зборот „измамник“?
Измамник е крадец кој се занимава со ситни кражби или лукав човек склон кон измамнички трикови. Оваа дефиниција е потврдена во етимолошки речникКрилов, според кој зборот „измамник“ е формиран од зборот „жал“ (крадец, измамник), поврзан со глаголот &la

Како се вика последната објавена приказна на браќата Стругатски?
Кратка приказнаАркадиј и Борис Стругатски „За прашањето за циклотацијата“ првпат беше објавена во април 2008 година во антологијата на белетристиката „Пладне. XXI век“ (додаток на списанието „Околу светот“, објавено под редакција на Борис Стругатски). Публикацијата беше темпирана да се совпадне со 75-годишнината од Борис Стругатски.

Каде можете да читате приказни од учесниците во програмата Work And Travel USA?
Работа иПатување во САД (работа и патување во САД) - популарна програма студентска размена, според кој можете да летувате во Америка, легално да работите во услужниот сектор и да патувате. Историјата на програмата Work & Travel е вклучена во меѓувладината програма за размена Cultural Exchange Pro

Уво. Кулинарско и историско потекло Повеќе од два и пол века, зборот „укха“ се користи за означување на супи или лушпа од свежа риба. Но, имаше време кога овој збор се толкуваше пошироко. Тоа значеше супа - не само риба, туку и месо, грашок, па дури и слатко. Така во историски документ — «

Портали за информации и регрутирање Superjob.ru - порталот за регрутирање Superjob.ru работи на руски пазаронлајн регрутирање од 2000 година и е лидер меѓу ресурсите кои нудат работа и барање персонал. Секој ден, повеќе од 80.000 резимеа на специјалисти и повеќе од 10.000 слободни работни места се додаваат во базата на податоци на страницата.

Што е мотивација
Дефиниција за мотивација Мотивација (од латински moveo - се движам) - поттик за акција; динамичен физиолошки и психолошки процес кој го контролира човековото однесување, одредувајќи ја неговата насока, организација, активност и стабилност; способноста на човекот преку работа да ги задоволи своите потреби. Мотив

Кој е Боб Дилан
Боб Дилан (англиски Боб Дилан, вистинско име - Роберт Ален Цимерман англиски. Роберт Ален Цимерман; роден на 24 мај 1941 година) е американски текстописец кој, според анкетата на списанието Ролинг Стоун, е втор (

Како да се транспортираат растенија во затворен простор
По купувањето на затворен растенија, градинарот се соочува со задача како да ги достави купените егзотични цвеќиња неповредени. Познавањето на основните правила за пакување и транспортирање на растенија во затворен простор ќе помогне да се реши овој проблем. Растенијата мора да се пакуваат за да се носат или транспортираат. Без разлика на тоа колку кратко растојание се транспортираат растенијата, тие можат да се оштетат, да се исушат, а во зима и м

Понекогаш во проблемите Б15 има „лоши“ функции за кои е тешко да се најде извод. Претходно, ова се случуваше само за време на тестовите со примероци, но сега овие задачи се толку вообичаени што повеќе не можат да се игнорираат кога се подготвуваат за вистинскиот обединет државен испит.

Во овој случај, функционираат други техники, од кои едната е монотон.

За функцијата f (x) се вели дека монотоно се зголемува на отсечката ако за која било точка x 1 и x 2 од оваа отсечка важи следново:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

За функцијата f (x) се вели дека монотоно се намалува на отсечката ако за која било точка x 1 и x 2 од оваа отсечка важи следново:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

Со други зборови, за растечка функција, колку е поголемо x, толку е поголемо f(x). За опаѓачка функција е точно спротивното: колку е поголем x, толку помалку f(x).

На пример, логаритамот монотоно се зголемува ако основата a > 1, а монотоно се намалува ако 0< a < 1. Не забывайте про область прифатливи вредностилогаритам: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Аритметичкиот квадрат (и не само квадрат) корен монотоно се зголемува во целиот домен на дефиниција:

Експоненцијалната функција се однесува слично како логаритамот: се зголемува за > 1 и се намалува за 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, експоненцијална функцијадефинирано за сите броеви, не само за x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Конечно, степени со негативен индикатор. Можете да ги напишете како дропка. Имаат точка на пауза каде што се нарушува монотонијата.

Сите овие функции никогаш не се наоѓаат во чиста форма. Додаваат полиноми, дропки и други глупости, што го отежнува пресметувањето на изводот. Ајде да погледнеме што се случува во овој случај.

Координати на темето на параболата

Најчесто аргументот на функцијата се заменува со квадратен триномод формата y = ax 2 + bx + c. Нејзиниот график е стандардна парабола за која не интересира:

Гранките на параболата можат да одат нагоре (за > 0) или надолу (а< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
Темето на параболата е екстремна точка на квадратна функција на која оваа функција го зема својот минимум (за > 0) или максимум (а< 0) значение.

Од најголем интерес е теме на параболата, чија апсциса се пресметува со формулата:

Значи, ја најдовме екстремната точка на квадратната функција. Но, ако оригиналната функција е монотона, за неа точката x 0 исто така ќе биде екстремна точка. Така, да го формулираме клучното правило:

Екстремни точки квадратен триномИ комплексна функција, во која е вклучена, се совпаѓаат. Затоа, можете да барате x 0 за квадратен трином и да заборавите на функцијата.

Од горенаведеното размислување, останува нејасно која точка ја добиваме: максимална или минимална. Меѓутоа, задачите се специјално дизајнирани така што тоа не е важно. Проценете сами:

Нема сегмент во изјавата за проблемот. Затоа, нема потреба да се пресметуваат f(a) и f(b). Останува да се земат предвид само екстремните точки;
Но, постои само една таква точка - ова е темето на параболата x 0, чии координати се пресметуваат буквално усно и без никакви деривати.

Така, решавањето на проблемот е значително поедноставено и се сведува на само два чекори:

Напиши ја равенката на параболата y = ax 2 + bx + c и најди го нејзиното теме користејќи ја формулата: x 0 = −b /2a ;
Најдете ја вредноста на оригиналната функција во оваа точка: f (x 0). Ако не дополнителни условине, тоа ќе биде одговорот.

На прв поглед, овој алгоритам и неговото образложение може да изгледаат сложени. Намерно не објавувам дијаграм за „голи“ решенија, бидејќи непромислената примена на таквите правила е полн со грешки.

Да ги погледнеме вистинските проблеми од пробен Единствен државен испитпо математика - токму таму оваа техникасе јавува најчесто. Во исто време, ќе се погрижиме на овој начин многу проблеми со Б15 да станат речиси орални.

Под коренот стои квадратна функција y = x 2 + 6x + 13. Графикот на оваа функција е парабола со гранки нагоре, бидејќи коефициентот a = 1 > 0.

Теме на параболата:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Бидејќи гранките на параболата се насочени нагоре, во точката x 0 = −3 функцијата y = x 2 + 6x + 13 ја зема својата минимална вредност.

Коренот се зголемува монотоно, што значи дека x 0 е минималната точка на целата функција. Ние имаме:

Задача. Најдете ја најмалата вредност на функцијата:

y = дневник 2 (x 2 + 2x + 9)

Под логаритамот повторно има квадратна функција: y = x 2 + 2x + 9. Графикот е парабола со гранки нагоре, бидејќи a = 1 > 0.

Теме на параболата:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Значи, во точката x 0 = −1 квадратната функција ја зема својата минимална вредност. Но, функцијата y = log 2 x е монотона, така што:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Експонентот ја содржи квадратната функција y = 1 − 4x − x 2 . Да го преработиме во нормална форма: y = −x 2 − 4x + 1.

Очигледно, графикот на оваа функција е парабола, разгранета надолу (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Оригиналната функција е експоненцијална, таа е монотона, така што најголемата вредност ќе биде во пронајдената точка x 0 = −2:

Внимателниот читател веројатно ќе забележи дека не го напишавме опсегот на дозволените вредности на коренот и логаритамот. Но, тоа не беше потребно: внатре има функции чии вредности се секогаш позитивни.

Последици од доменот на функцијата

Понекогаш едноставното наоѓање на темето на параболата не е доволно за да се реши проблемот Б15. Вредноста што ја барате може да лежи на крајот од сегментот, и воопшто не во екстремната точка. Ако проблемот воопшто не означува сегмент, погледнете опсег на прифатливи вредностиоригинална функција. Имено:

Ве молиме запомнете повторно: нулата може да биде под коренот, но никогаш во логаритамот или именителот на дропка. Ајде да видиме како функционира ова со конкретни примери:

Задача. Најдете ја најголемата вредност на функцијата:

Под коренот повторно е квадратна функција: y = 3 − 2x − x 2 . Нејзиниот график е парабола, но се разгранува надолу бидејќи a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Квадратен коренна негативен број не постои.

Го запишуваме опсегот на дозволени вредности (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Сега да го најдеме темето на параболата:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Точката x 0 = −1 припаѓа на отсечката ODZ - и ова е добро. Сега ја пресметуваме вредноста на функцијата во точката x 0, како и на краевите на ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Значи, ги добивме броевите 2 и 0. Од нас се бара да го најдеме најголемиот - ова е бројот 2.

Задача. Најдете ја најмалата вредност на функцијата:

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

Внатре во логаритамот има квадратна функција y = 6x − x 2 − 5. Ова е парабола со гранки надолу, но во логаритам не може да има негативни броеви, па го запишуваме ОДЗ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Ве молиме имајте предвид: нееднаквоста е строга, така што краевите не припаѓаат на ОДЗ. Ова го разликува логаритамот од коренот, каде што краевите на сегментот доста добро ни одговараат.

Го бараме темето на параболата:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Темето на параболата одговара според ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Но, бидејќи не сме заинтересирани за краевите на сегментот, ја пресметуваме вредноста на функцијата само во точката x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

Често во физиката и математиката се бара да се најде најмалата вредност на функцијата. Сега ќе ви кажеме како да го направите ова.

Како да се најде најмалата вредност на функцијата: инструкции

Да се пресмета најмалата вредност континуирана функцијана даден сегмент, треба да го следите следниов алгоритам:
Најдете го изводот на функцијата.
Најдете на даден сегмент точките во кои изводот е еднаков на нула, како и сите критични точки. Потоа дознајте ги вредностите на функцијата во овие точки, односно решете ја равенката каде што x е еднаква на нула. Откријте која вредност е најмала.
Одреди на која вредност има функцијата крајните точки. Одреди ја најмалата вредност на функцијата во овие точки.
Споредете ги добиените податоци со најниската вредност. Помалиот од добиените броеви ќе биде најмалата вредност на функцијата.

Забележете дека ако функција на сегмент нема најмалите поени, тоа значи дека во даден сегмент се зголемува или намалува. Затоа, најмалата вредност треба да се пресмета на конечните сегменти на функцијата.

Во сите други случаи, вредноста на функцијата се пресметува според наведениот алгоритам. Во секоја точка од алгоритмот ќе треба да решите едноставна линеарна равенкасо еден корен. Решете ја равенката користејќи слика за да избегнете грешки.

Како да се најде најмалата вредност на функцијата на полуотворен сегмент? На полуотворен или отворен период на функцијата, треба да се најде најмалата вредност на следниот начин. На крајните точки од вредноста на функцијата, пресметајте ја едностраната граница на функцијата. Со други зборови, решете ја равенката во која тензичните точки се дадени со вредностите a+0 и b+0, каде што a и b се имињата на критичните точки.

Сега знаете како да ја пронајдете најмалата вредност на функцијата. Главната работа е да ги направите сите пресметки правилно, точно и без грешки.

Што е екстрем на функција и кој е неопходен услов за екстрем?

Екстремумот на функцијата е максимумот и минимумот на функцијата.

Неопходниот услов за максимум и минимум (екстремум) на функцијата е следниот: ако функцијата f(x) има екстрем во точката x = a, тогаш во оваа точка изводот е или нула, или бесконечен, или не постои.

Кој е доволен услов за екстремност на функцијата (максимум или минимум)?

Прв услов:

Наместо тоа, можете да го користите вториот доволен услов за екстремноста на функцијата:

Која е критичната точка на функцијата и како да се најде?

На пример, ајде да најдеме екстрем на парабола.

Функција y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Извод на функцијата: y?(x) = 6x + 2

Решете ја равенката: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Во овој случај, критичната точка е x0=-1/3. Токму со оваа вредност на аргументот ја има функцијата екстремни. До него најдете, пронајдениот број во изразот заменете го за функцијата наместо „x“:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Како да се одреди максимумот и минимумот на функцијата, т.е. неговите најголеми и најмали вредности?

За разгледаниот пример:

Земаме произволна вредност на аргументот лево од критичната точка: x = -1

При x = -1, вредноста на изводот ќе биде y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знакот е „минус“).

Сега земаме произволна вредност на аргументот десно од критичната точка: x = 1

При x = 1, вредноста на изводот ќе биде y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знакот е „плус“).

На пример, да ги најдеме најголемите и најмалите вредности на функцијата

y (x) = 3sin (x) - 0,5x

во интервали:

Значи, изводот на функцијата е

y?(x) = 3cos (x) - 0,5

Ја решаваме равенката 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos (0,16667) + 2πk.

Наоѓаме критични точки на интервалот [-9; 9]:

x = arccos (0,16667) - 2π*2 = -11,163 (не е вклучено во интервалот)

x = -arccos (0,16667) - 2π*1 = -7,687

x = arccos (0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos (0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos (0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos (0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos (0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos (0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не е вклучено во интервалот)

Ги наоѓаме вредностите на функциите на критичните вредности на аргументот:

y (-7,687) = 3cos (-7,687) - 0,5 = 0,885

y (-4,88) = 3cos (-4,88) - 0,5 = 5,398

y (-1,403) = 3cos (-1,403) - 0,5 = -2,256

y (1,403) = 3cos (1,403) - 0,5 = 2,256

y (4,88) = 3cos (4,88) - 0,5 = -5,398

y (7,687) = 3cos (7,687) - 0,5 = -0,885

Се гледа дека на интервалот [-9; 9] функцијата има најголема вредност на x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

а најмалиот - на x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

На интервалот [-6; -3] имаме само една критична точка: x = -4,88. Вредноста на функцијата при x = -4,88 е еднаква на y = 5,398.

Најдете ја вредноста на функцијата на краевите на интервалот:

y (-6) = 3cos (-6) - 0,5 = 3,838

y (-3) = 3cos (-3) - 0,5 = 1,077

На интервалот [-6; -3] имаме најголема вредност на функцијата

y = 5,398 при x = -4,88

најмала вредност -

y = 1,077 на x = -3

Како да се најде екстремите на функција од две променливи?

1) најдете ги критичните точки и за ова - решете го системот на равенки

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) за секоја критична точка P0(a;b) испита дали знакот на разликата останува непроменет

Екстремите на функцијата се одредуваат слично за поголем број аргументи.