Конечен извод во точка. Извод на функција

Операцијата за наоѓање на изводот се нарекува диференцијација.

Како резултат на решавање проблеми за наоѓање деривати на наједноставните (и не многу едноставни) функции по дефиниција за дериваткако граница на односот на зголемувањето на зголемувањето на аргументот, се појави табела на деривати и точно одредени правиладиференцијација. Први кои работеле на полето на пронаоѓање деривати биле Исак Њутн (1643-1727) и Готфрид Вилхелм Лајбниц (1646-1716).

Затоа, во нашево време, за да го пронајдете изводот на која било функција, не треба да ја пресметате горенаведената граница на односот на зголемувањето на функцијата кон зголемувањето на аргументот, туку треба да ја користите само табелата на деривати и правила на диференцијација. Следниот алгоритам е погоден за наоѓање на дериватот.

Да се ​​најде изводот, потребен ви е израз под знакот прв разложи едноставни функции на компонентии одреди кои дејствија (производ, збир, количник)овие функции се поврзани. Понатамошни деривати елементарни функциинаоѓаме во табелата со изводи, а формулите за изводите на производот, збирот и количникот се во правилата за диференцијација. Табелата за деривати и правилата за диференцијација се дадени по првите два примери.

Пример 1.Најдете го изводот на функцијата

Решение. Од правилата на диференцијација дознаваме дека изводот на збир на функции е збир на изводи на функции, т.е.

Од табелата со деривати дознаваме дека изводот на „x“ е еднаков на еден, а изводот на синус е еднаков на косинус. Ги заменуваме овие вредности во збир на деривати и го наоѓаме изводот што го бара состојбата на проблемот:

Пример 2.Најдете го изводот на функцијата

Решение. Диференцираме како извод на збир во кој вториот член има постојан фактор, може да се извади од знакот на изводот:

Ако сè уште се појавуваат прашања за тоа од каде доаѓа нешто, тие обично се расчистуваат откако ќе се запознаете со табелата на деривати и наједноставните правила на диференцијација. Во моментов продолжуваме кон нив.

Табела на деривати на едноставни функции

1. Извод на константа (број). Било кој број (1, 2, 5, 200...) што е во функционалниот израз. Секогаш еднаква на нула. Ова е многу важно да се запамети, бидејќи се бара многу често
2. Извод на независната променлива. Најчесто „Х“. Секогаш еднаков на еден. Ова е исто така важно да се запамети долго време
3. Извод на степен. Кога решавате проблеми, треба да ги претворите неквадратните корени во моќи.
4. Извод на променлива со моќност -1
5. Извод на квадратен корен
6. Дериват на синус
7. Извод на косинус
8. Извод на тангента
9. Дериват на котангенс
10. Дериват на арсин
11. Извод на лачен косинус
12. Дериват на арктангенс
13. Дериват на лак котангенс
14. Извод на природниот логаритам
15. Извод на логаритамска функција
16. Извод на експонентот
17. Извод експоненцијална функција

Правила на диференцијација

1. Извод на збир или разлика
2. Дериват на производот
2а. Извод на израз помножен со константен фактор
3. Извод на количник
4. Извод на сложена функција

Правило 1.Доколку функциите

се диференцијабилни во одреден момент, тогаш функциите се диференцијабилни во истата точка

и

тие. изводот на алгебарскиот збир на функции е еднаков на алгебарски збирдеривати на овие функции.

Последица. Ако две диференцијабилни функции се разликуваат за константен член, тогаш нивните изводи се еднакви, т.е.

Правило 2.Доколку функциите

се разликуваат во одреден момент, тогаш нивниот производ е диференцијабилен во истата точка

и

тие. Изводот на производот на две функции е еднаков на збирот на производите на секоја од овие функции и изводот на другата.

Заклучок 1. Константниот фактор може да се извади од знакот на дериватот:

Заклучок 2. Изводот на производот на неколку диференцијабилни функции е еднаков на збирот на производите на изводот на секој фактор и на сите други.

На пример, за три множители:

Правило 3.Доколку функциите

може да се разликува во одреден момент И , тогаш во овој момент нивниот количник е исто така диференцијабиленu/v и

тие. изводот на количникот на две функции е еднаков на дропка, чиј броител е разликата помеѓу производите на именителот и изводот на броителот и броителот и изводот на именителот, а именителот е квадратот на поранешниот броител.

Каде да барате работи на други страници

При наоѓање на дериват на производ и количник во реални проблемиЗатоа, секогаш е неопходно да се применат неколку правила за диференцијација одеднаш повеќе примериза овие деривати - во статијата"Извод на производ и количник на функции " .

Коментар.Не треба да мешате константа (односно бројка) како член во збир и како константен фактор! Во случај на член, неговиот извод е еднаков на нула, а во случајот постојан факторсе вади од дериватниот знак. Ова типична грешка, што се јавува на почетна фазапроучувајќи ги изводите, но додека решаваат неколку едноделни и дводелни примери, просечниот студент повеќе не ја прави оваа грешка.

И ако, кога разликувате производ или количник, имате термин u"v, во која u- број, на пример, 2 или 5, односно константа, тогаш изводот на овој број ќе биде еднаков на нула и, според тоа, целиот член ќе биде еднаков на нула (овој случај се дискутира во примерот 10).

Друго вообичаена грешка- механичко решение на изводот на сложена функција како извод на проста функција. Затоа извод на сложена функцијае посветена посебна статија. Но, прво ќе научиме да наоѓаме деривати едноставни функции.

На патот, не можете без да ги трансформирате изразите. За да го направите ова, можеби ќе треба да го отворите прирачникот во нови прозорци. Дејства со моќ и корениИ Операции со дропки.

Ако барате решенија за деривати на дропки со сили и корени, односно кога функцијата изгледа како , потоа следете на час“ Извод на збир на дропки со сили и корени ".

Ако имате задача како , тогаш имате лекција „Деривати на едноставни тригонометриски функции“.

Примери чекор-по-чекор - како да се најде изводот

Пример 3.Најдете го изводот на функцијата

Решение. Ги дефинираме деловите на функционалниот израз: целиот израз претставува производ, а неговите фактори се збирови, од кои во вториот еден од поимите содржи константен фактор. Го применуваме правилото за диференцијација на производот: изводот на производот од две функции е еднаков на збирот на производите на секоја од овие функции со изводот на другата:

Следно, го применуваме правилото за диференцијација на збирот: изводот на алгебарскиот збир на функции е еднаков на алгебарскиот збир на изводите на овие функции. Во нашиот случај, во секоја сума вториот член има знак минус. Во секој збир гледаме и независна променлива, чиј извод е еднаков на еден, и константа (број), чиј извод е еднаков на нула. Значи, „Х“ се претвора во едно, а минус 5 се претвора во нула. Во вториот израз, „x“ се множи со 2, па множиме два со иста единица како изводот на „x“. Ги добиваме следните изводни вредности:

Пронајдените деривати ги заменуваме во збир на производи и го добиваме изводот на целата функција што ја бара состојбата на проблемот:

Пример 4.Најдете го изводот на функцијата

Решение. Од нас се бара да го најдеме изводот на количникот. Ја применуваме формулата за диференцијација на количникот: изводот на количникот на две функции е еднаков на дропка, чиј броител е разликата помеѓу производите на именителот и изводот на броителот и броителот и изводот на именителот, а именителот е квадратот на поранешниот броител. Добиваме:

Веќе го најдовме изводот на множителите во броителот во примерот 2. Да не заборавиме и дека производот, кој е втор фактор во броителот во тековниот пример, се зема со знак минус:

Ако барате решенија за проблеми во кои треба да го пронајдете изводот на функцијата, каде што има континуиран куп корени и моќи, како на пример, , тогаш добредојдовте на час „Дериват на збирови на дропки со сили и корени“.

Ако треба да дознаете повеќе за дериватите на синусите, косинусите, тангентите и други тригонометриски функции, односно кога функцијата изгледа како , тогаш лекција за вас „Деривати на едноставни тригонометриски функции“.

Пример 5.Најдете го изводот на функцијата

Решение. Во оваа функција гледаме производ, чиј еден од факторите е Квадратен коренод независната променлива, чиј извод го видовме во табелата со деривати. Користејќи го правилото за разликување на производот и табеларната вредност на дериватот на квадратниот корен, добиваме:

Пример 6.Најдете го изводот на функцијата

Решение. Во оваа функција гледаме количник чија дивиденда е квадратен корен на независната променлива. Користејќи го правилото за диференцијација на количниците, кое го повторивме и применивме во примерот 4, и табеларната вредност на изводот на квадратниот корен, добиваме:

За да се ослободите од дропка во броителот, помножете ги броителот и именителот со .

При одлучувањето различни задачигеометријата, механиката, физиката и другите гранки на знаење станаа неопходни користејќи го истиот аналитички процес од оваа функција y=f(x)примаат нова карактеристикакој се нарекува деривативна функција(или едноставно извод) на дадена функција f(x)и е означен со симболот

Процесот со кој од дадена функција f(x)добијте нова функција f" (x), повикан диференцијацијаи се состои од следните три чекори: 1) дајте го аргументот xзголемување  xи да го определи соодветното зголемување на функцијата  y = f(x+ x) -f(x); 2) сочинуваат врска

3) броење xпостојана и  x0, наоѓаме
, што го означуваме со f" (x), како да нагласува дека добиената функција зависи само од вредноста x, на кој одиме до граница. Дефиниција: Извод y " =f " (x) дадена функција y=f(x) за даден xсе нарекува граница на односот на зголемувањето на функцијата со зголемувањето на аргументот, под услов зголемувањето на аргументот да се стреми кон нула, доколку, се разбира, постои оваа граница, т.е. конечни. Така,
, или

Забележете дека ако за некоја вредност x, на пример кога x=a, став
на  x 0 нема тенденција да конечна граница, тогаш во овој случај велат дека функцијата f(x)на x=a(или во точката x=a) нема извод или не е диференцијабилен во точката x=a.

2. Геометриско значење на дериватот.

Размислете за графикот на функцијата y = f (x), диференцијабилна во близина на точката x 0

f(x)

Да разгледаме произволна права линија што минува низ точка на графикот на функција - точка A(x 0, f (x 0)) и го пресекува графикот во некоја точка B(x;f(x)). Таквата линија (AB) се нарекува секанта. Од ∆ABC: ​​AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Од AC || Вол, потоа ALO = BAC = β (како што одговара за паралела). Но ALO е аголот на наклонетост на секантата AB кон позитивната насока на оската Ox. Ова значи дека tanβ = k е наклонот на права линија AB.

Сега ќе го намалиме ∆х, т.е. ∆х→ 0. Во овој случај, точката B ќе се приближи до точката A според графикот, а секантата AB ќе ротира. Граничната позиција на секантата AB на ∆x→ 0 ќе биде права линија (a), наречена тангента на графикот на функцијата y = f (x) во точката А.

Ако одиме до границата како ∆x → 0 во еднаквоста tgβ =∆y/∆x, добиваме
ortg =f "(x 0), бидејќи
-агол на наклон на тангентата на позитивната насока на оската Ox
, по дефиниција за извод. Но, tg = k е аголниот коефициент на тангентата, што значи k = tg = f "(x 0).

Значи, геометриското значење на дериватот е како што следува:

Извод на функција во точка x 0 еднаква на наклонтангента на графикот на функцијата нацртана во точката со апсциса x 0 .

3. Физичко значење на дериватот.

Размислете за движење на точка по права линија. Нека е дадена координатата на точка во секое време x(t). Познато е (од курс по физика) дека просечната брзина во одреден временски период е еднаква на односот на растојанието поминато во овој временски период до времето, т.е.

Vav = ∆x/∆t. Да одиме до границата во последното равенство како ∆t → 0.

lim Vav (t) =  (t 0) - моментална брзинаво времето t 0, ∆t → 0.

и lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (по дефиниција за извод).

Значи, (t) =x"(t).

Физичкото значење на изводот е следново: извод на функцијатаy = ѓ(x) во точкаx 0 е стапката на промена на функцијатаѓ(x) во точкаx 0

Дериватот се користи во физиката за да се најде брзина од позната функција на координати наспроти време, забрзување од позната функција на брзина наспроти време.

(t) = x"(t) - брзина,

a(f) = "(t) - забрзување, или

Ако е познат законот за движење на материјална точка во круг, тогаш може да се најде аголната брзина и аголно забрзувањеза време на ротационото движење:

φ = φ(t) - промена на аголот со текот на времето,

ω = φ"(t) - аголна брзина,

ε = φ"(t) - аголно забрзување, или ε = φ"(t).

Ако е познат законот за распределба на масата на нехомогена прачка, тогаш може да се најде линеарната густина на нехомогената прачка:

m = m(x) - маса,

x , l - должина на шипката,

p = m"(x) - линеарна густина.

Со помош на дериватот се решаваат проблеми од теоријата на еластичност и хармониските вибрации. Значи, според законот на Хук

F = -kx, x – променлива координата, k – коефициент на еластичност на пружината. Ставајќи ω 2 =k/m, ја добиваме диференцијалната равенка на пружинското нишало x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

каде што ω = √k/√m фреквенција на осцилација (l/c), k - вкочанетост на пружината (H/m).

Равенка од формата y" + ω 2 y = 0 се нарекува равенка на хармониски осцилации (механички, електрични, електромагнетни). Решението на таквите равенки е функцијата

y = Asin(ωt + φ 0) или y = Acos(ωt + φ 0), каде

А - амплитуда на осцилации, ω - циклична фреквенција,

φ 0 - почетна фаза.

Кога човек ги направил првите самостојни чекори во студирањето математичка анализаи почнува да прашува незгодни прашања, тогаш веќе не е толку лесно да се извлечеш со фразата дека „ диференцијална пресметкапронајден во зелка“. Затоа, дојде време да се утврди и да се открие тајната на раѓањето табели на деривати и правила за диференцијација. Започнато во статијата за значењето на дериватот, кој топло ви препорачувам да го проучите, бидејќи таму само го погледнавме концептот на дериват и почнавме да кликаме на проблеми на темата. Истата лекција е јасно изразена практична ориентација, Згора на тоа,

Примерите дискутирани подолу, во принцип, може да се совладаат чисто формално (на пример, кога нема време/желба да се навлезе во суштината на дериватот). Исто така, многу е пожелно (но повторно не е неопходно) да може да се најдат деривати користејќи го „обичниот“ метод - барем на ниво на две основни лекции:Како да се најде изводот и изводот на сложената функција.

Но, има едно нешто без кое дефинитивно не можеме сега, тоа е функционални граници. Мора да РАЗБЕРЕТЕ што е граница и да можете да ги решите барем на средно ниво. И сето тоа затоа што дериватот

функцијата во точка се определува со формулата:

Дозволете ми да ве потсетам на ознаките и термините: тие се јавуваат зголемување на аргументот;

– зголемување на функцијата;

- Ова ОБЕДИНЕТИ симболи(„делта“ не може да се „откине“ од „X“ или „Y“).

Очигледно, она што е „динамична“ променлива е константа и резултат на пресметување на границата – број (понекогаш - бесконечност „плус“ или „минус“).

Како точка, можете да земете во предвид СЕКОЈА вредност што припаѓа домен на дефиницијафункција во која постои извод.

Забелешка: клаузулата „во која постои изводот“ е В општ случајзначајни! Така, на пример, иако точката е вклучена во доменот на дефинирање на функцијата, нејзиниот извод

не постои таму. Затоа формулата

не се применува во точка

а скратена формулација без резерва би била неточна. Слични фактиважат и за други функции со „прекинувања“ во графикот, особено за арксин и аркозин.

Така, по заменувањето, ја добиваме втората работна формула:

Обрнете внимание на една подмолна околност што може да го збуни чајникот: во оваа граница, „x“, како самата независна променлива, игра улога на статистика, а „динамиката“ повторно се поставува со зголемувањето. Резултатот од пресметувањето на границата

е изводната функција.

Врз основа на горенаведеното, ги формулираме условите за два типични проблеми:

- Најди извод во точка, користејќи ја дефиницијата за извод.

- Најди деривативна функција, користејќи ја дефиницијата за извод. Оваа верзија, според моите согледувања, е многу почеста и ќе и се посвети главното внимание.

Фундаменталната разлика помеѓу задачите е тоа што во првиот случај треба да го пронајдете бројот (по избор, бесконечност), а во втората -

функција Покрај тоа, дериватот можеби воопшто не постои.

Како ?

Направете сооднос и пресметајте ја границата.

Од каде дојде?табела на деривати и правила за диференцијација ? Благодарение на единствената граница

Изгледа како магија, но

во реалноста - лукавство и без измама. На лекцијата Што е дериват?Почнав да гледам конкретни примери, каде што, користејќи ја дефиницијата, ги најдов изводите на линеарна и квадратна функција. Заради когнитивно загревање, ќе продолжиме да вознемируваме табела на деривати, усовршување на алгоритмот и техникарешенија:

Во суштина, треба да докажете посебен случајизвод на функција за моќност, која обично се појавува во табелата: .

Решението е технички формализирано на два начина. Да почнеме со првиот, веќе познат пристап: скалата започнува со штица, а деривативната функција започнува со изводот во точка.

Размислете за некоја (конкретна) точка на која припаѓа домен на дефиницијафункција во која има извод. Дозволете ни да го поставиме зголемувањето во оваа точка (се разбира, во рамките на опсегот o/o -ya) и состави го соодветниот инкремент на функцијата:

Ајде да ја пресметаме границата:

Неизвесноста 0:0 е елиминирана со стандардна техника, сметана уште во првиот век п.н.е. Ајде да се множиме

броител и именител за конјугираниот израз :

Техниката за решавање на таква граница е детално разгледана во воведна лекција за границите на функциите.

Бидејќи можете да изберете БИЛО КОЈА точка од интервалот како

Потоа, откако направивме замена, добиваме:

Уште еднаш да се радуваме на логаритмите:

Најдете го изводот на функцијата користејќи ја дефиницијата за извод

Решение: Ајде да разгледаме поинаков пристап за промовирање на истата задача. Тоа е сосема исто, но порационално во поглед на дизајнот. Идејата е да се ослободиме од

се претплатите и користете буква наместо буква.

Размислете за произволна точка што припаѓа домен на дефиницијафункција (интервал) и поставете го прирастот во него. Но, овде, патем, како и во повеќето случаи, можете да направите без никакви резерви, бидејќи логаритамската функција е диференцијабилна во која било точка во доменот на дефиниција.

Тогаш соодветното зголемување на функцијата е:

Ајде да го најдеме дериватот:

Едноставноста на дизајнот е избалансирана со конфузијата што може

се јавуваат кај почетниците (и не само). На крајот на краиштата, ние сме навикнати на фактот дека буквата „Х“ се менува во лимитот! Но, тука сè е поинаку: - античка статуа и - жив посетител, сталожено шета по ходникот на музејот. Тоа е, „x“ е „како константа“.

Ќе коментирам за елиминирање на неизвесноста чекор по чекор:

(1) Користење на својството логаритам.

(2) Во загради, поделете го броителот со именителот член по член.

(3) Во именителот вештачки множиме и делиме со „x“ така што

искористете ја прекрасната граница , додека како бесконечно малоделува.

Одговор: по дефиниција за извод:

Или накратко:

Предлагам сами да конструирате уште две формули за табели:

Најдете извод по дефиниција

ВО во овој случајпогодно е веднаш да се доведе составениот прираст до заеднички именител. Приближен примерокзавршување на задачата на крајот од часот (прв метод).

Најдете извод по дефиниција

И тука сè мора да се сведе на извонредна граница. Решението се формализира на вториот начин.

Голем број други табеларни деривати. Целосна листаможе да се најде во училишен учебник, или, на пример, првиот том на Фихтенхолц. Јас не гледам посебно значењекопија од книги и докази за правилата на диференцијација - тие исто така се генерираат

формула

Ајде да преминеме на задачите кои навистина се среќаваат: Пример 5

Најдете го изводот на функцијата , користејќи ја дефиницијата за извод

Решение: користете го првиот стил на дизајнирање. Ајде да разгледаме некоја точка што припаѓа и да го поставиме зголемувањето на аргументот на неа. Тогаш соодветното зголемување на функцијата е:

Можеби некои читатели сè уште не го разбрале целосно принципот според кој треба да се направат зголемувања. Земете точка (број) и пронајдете ја вредноста на функцијата во неа: , односно во функцијата

наместо „Х“ треба да замените. Сега да го земеме

Составувано зголемување на функцијата Може да биде корисно веднаш да се поедностави. За што? Олеснете го и скратете го растворот до дополнителна граница.

Ние користиме формули, ги отвораме заградите и намалуваме сè што може да се намали:

Мисирката е исцрпена, нема проблем со печењето:

На крајот:

Бидејќи можете да изберете кој било квалитет реален број, потоа ја правиме замената и добиваме .

Одговор: а-приоритет.

За целите на проверка, ајде да го најдеме дериватот користејќи ги правилата

диференцијација и табели:

Секогаш е корисно и пријатно да се знае точниот одговор однапред, па затоа е подобро да се разликува предложената функција на „брз“ начин, или ментално или во нацрт, на самиот почеток на решението.

Најдете го изводот на функцијата по дефиниција за извод

Ова е пример за независна одлука. Резултатот е очигледен:

Да се ​​вратиме на стилот #2: Пример 7

Ајде веднаш да дознаеме што треба да се случи. Од страна на правило за диференцијација на сложените функции:

Решение: размислете произволна точка, кои припаѓаат на, поставете го инкрементот на аргументот во него и сочинете го инкрементот

Ајде да го најдеме дериватот:

(1) Ја користиме тригонометриската формула

(2) Под синус ги отвораме заградите, под косинус прикажуваме слични термини.

(3) Под синус ги поништуваме членовите, под косинус го делиме броителот со именителот член по член.

(4) Поради необичноста на синусот, го вадиме „минусот“. Под косинус

укажуваме дека поимот .

(5) Вршиме вештачко множење во именителот за да користиме прво прекрасна граница . Така, неизвесноста е елиминирана, ајде да го средиме резултатот.

Одговор: по дефиниција Како што можете да видите, главната тешкотија на проблемот што се разгледува почива на

сложеност на самата граница + мала оригиналност на пакувањето. Во пракса, се случуваат и двата методи на дизајнирање, па затоа ги опишувам двата пристапи колку што е можно подетално. Тие се еквивалентни, но сепак, според мојот субјективен впечаток, препорачливо е куклите да се држат до опцијата 1 со „X-zero“.

Користејќи ја дефиницијата, пронајдете го изводот на функцијата

Ова е задача која треба да ја решите сами. Примерокот е дизајниран во истиот дух како и претходниот пример.

Ајде да погледнеме поретка верзија на проблемот:

Најдете го изводот на функцијата во точка користејќи ја дефиницијата за извод.

Прво, што треба да биде крајната линија? Број Ајде да го пресметаме одговорот на стандарден начин:

Решение: од гледна точка на јасност, оваа задача е многу поедноставна, бидејќи во формулата, наместо

се разгледува одредена вредност.

Дозволете ни да го поставиме инкрементот во точката и да го составиме соодветното зголемување на функцијата:

Да го пресметаме изводот во точката:

Ние користиме формула за многу ретка тангентна разлика и уште еднаш го сведуваме растворот на првото

извонредна граница:

Одговор: по дефиниција за извод во точка.

Проблемот не е толку тежок за решавање и „во општ поглед„- доволно е да се замени ноктот или едноставно во зависност од методот на дизајнирање. Во овој случај, јасно е дека резултатот нема да биде број, туку изведена функција.

Пример 10 Користејќи ја дефиницијата, пронајдете го изводот на функцијата во точката

Ова е пример за да го решите сами.

Завршната бонус задача е наменета првенствено за учениците со длабинска студијаматематичка анализа, но нема да им наштети ниту на сите други:

Дали функцијата ќе може да се разликува? во точката?

Решение: Очигледно е дека на парче дадена функција е континуирана во точка, но дали таму ќе може да се диференцира?

Алгоритам за решение, и не само за делче функции, е:

1) Најдете го левиот извод во дадена точка: .

2) Најдете го десен дериват во дадена точка: .

3) Ако едностраните изводи се конечни и се совпаѓаат:

, тогаш функцијата е диференцијабилна во точката

геометриски, овде има заедничка тангента (види теоретски деллекција Дефиниција и значење на дериватот).

Ако се примат два различни значења: (од кои едно може да испадне бесконечно), тогаш функцијата не е диференцијабилна во точката.

Ако двата еднострани изводи се еднакви на бесконечност

(дури и ако имаат различни знаци), тогаш функцијата не е

е диференцијабилна во точката, но има бесконечен извод и заедничка вертикална тангента на графикот (види пример лекција 5Нормална равенка) .

Прво ниво

Извод на функција. Сеопфатен водич (2019)

Ајде да замислиме прав пат кој минува низ ридско подрачје. Односно оди горе-долу, но не врти десно или лево. Ако оската е насочена хоризонтално долж патот и вертикално, тогаш линијата на патот ќе биде многу слична на графикот на некоја континуирана функција:

Оската е одредено ниво на нулта надморска височина; во животот го користиме нивото на морето како него.

Како што се движиме напред по таков пат, се движиме и нагоре или надолу. Можеме да кажеме и: кога се менува аргументот (движење по оската на апсцисата), вредноста на функцијата се менува (движење по оската на ординатите). Сега да размислиме како да ја одредиме „стрмноста“ на нашиот пат? Каква вредност може да биде ова? Многу е едноставно: колку ќе се промени висината кога се движите напред на одредено растојание. На крајот на краиштата, на различни областипатишта, движејќи се напред (по оската x) за еден километар, ќе се издигнеме или ќе паднеме различни количиниметри во однос на нивото на морето (по должината на оската на ординатите).

Да го означиме напредокот (читај „делта x“).

Грчката буква (делта) најчесто се користи во математиката како префикс што значи „промена“. Тоа е - ова е промена во количината, - промена; тогаш што е тоа? Така е, промена во големината.

Важно: изразот е единствена целина, една променлива. Никогаш не одвојувајте ја „делтата“ од „х“ или која било друга буква! Тоа е, на пример,.

Значи, ние тргнавме напред, хоризонтално, со. Ако ја споредиме линијата на патот со графикот на функцијата, тогаш како го означуваме подемот? Секако,. Односно, како што одиме напред, се издигнуваме повисоко.

Вредноста е лесно да се пресмета: ако на почетокот бевме на височина, а по движењето се најдовме на висина, тогаш. Ако крајна точкасе покажа дека е пониско од првичното, ќе биде негативно - тоа значи дека не се искачуваме, туку се спуштаме.

Да се ​​вратиме на „стрмноста“: ова е вредност што покажува колку (стрмно) се зголемува висината кога се движите напред една единица растојание:

Да претпоставиме дека на некоја делница од патот, кога се движите напред за километар, патот се издигнува за еден километар. Тогаш наклонот на ова место е еднаков. И ако патот, додека се движи напред за m, паднал за km? Тогаш наклонот е еднаков.

Сега да го погледнеме врвот на еден рид. Ако го земете почетокот на делницата половина километар пред врвот, а крајот половина километар по него, можете да видите дека висината е речиси иста.

Односно, според нашата логика, излегува дека наклонот овде е речиси еднаков на нула, што очигледно не е точно. На растојание од километри многу може да се промени. Помалите области треба да се земат предвид за поадекватни и точна проценкастрмнина. На пример, ако ја измерите промената на висината додека се движите еден метар, резултатот ќе биде многу попрецизен. Но, дури и оваа точност можеби не ни е доволна - на крајот на краиштата, ако има бандера на средината на патот, можеме едноставно да го поминеме. Кое растојание да избереме тогаш? Сантиметар? Милиметар? Помалку е подобро!

ВО вистински животМерењето растојанија до најблискиот милиметар е повеќе од доволно. Но, математичарите секогаш се стремат кон совршенство. Затоа, концептот беше измислен бесконечно мало, односно апсолутната вредност е помала од кој било број што можеме да го именуваме. На пример, велите: еден трилионити! Колку помалку? И го делите овој број со - и ќе биде уште помалку. И така натаму. Ако сакаме да напишеме дека количината е бесконечно мала, пишуваме вака: (читаме „x се стреми кон нула“). Многу е важно да се разбере дека овој број не е нула!Но, многу блиску до тоа. Ова значи дека можете да поделите со него.

Концептот спротивен на бесконечно мало е бескрајно голем (). Веројатно веќе сте го сретнале кога сте работеле на неравенки: овој број е модуло поголем од кој било број што можете да го замислите. Ако дојдете до најголемиот можен број, само помножете го со два и ќе добиете уште поголем број. И уште бесконечност Понатамушто ќе се случи. Всушност, бесконечно големото и бесконечно малото се инверзни едно на друго, односно во, и обратно: во.

Сега да се вратиме на нашиот пат. Идеално пресметаниот наклон е наклонот пресметан за бесконечно мал сегмент од патеката, односно:

Забележувам дека со бесконечно мало поместување, промената на висината исто така ќе биде бесконечно мала. Но, да ве потсетам дека бесконечно мало не значи еднаква на нула. Ако поделите бесконечно мали броеви еден со друг, можете да добиете доста редовен број, На пример,. Тоа е, една мала вредност може да биде точно пати поголема од друга.

За што е сето ова? Патот, стрмнината... Не одиме на рели со автомобили, туку предаваме математика. А во математиката се е сосема исто, само поинаку се нарекува.

Поим за дериват

Изводот на функцијата е односот на зголемувањето на функцијата со зголемувањето на аргументот за бесконечно мало зголемување на аргументот.

Инкременталново математиката ја нарекуваат промена. Степенот до кој аргументот () се менува додека се движи по оската се нарекува зголемување на аргументоти се означува.Колку функцијата (висина) се променила при движење напред по оската за растојание се вика. зголемување на функцијатаи е назначен.

Значи, изводот на функцијата е односот со кога. Изводот го означуваме со иста буква како функцијата, само со прост горе десно: или едноставно. Значи, ајде да ја напишеме дериватната формула користејќи ги овие ознаки:

Како и во аналогијата со патот, овде кога функцијата се зголемува, изводот е позитивен, а кога се намалува е негативен.

Дали изводот може да биде еднаков на нула? Секако. На пример, ако возиме по рамен хоризонтален пат, стрмнината е нула. И точно е, висината воопшто не се менува. Така е и со изводот: изводот на константна функција (константа) е еднаков на нула:

бидејќи зголемувањето на таквата функција е еднакво на нула за која било.

Да се ​​потсетиме на примерот на врвот на ридот. Се испостави дека е можно да се распоредат краевите на сегментот заедно различни страниод врвот, така што висината на краевите е иста, односно сегментот е паралелен со оската:

Но, големите сегменти се знак за неточно мерење. Ние ќе го подигнеме нашиот сегмент паралелно со себе, а потоа неговата должина ќе се намали.

На крајот, кога сме бесконечно блиску до врвот, должината на отсечката ќе стане бесконечно мала. Но, во исто време, таа остана паралелна со оската, односно разликата во висините на нејзините краеви е еднаква на нула (не се стреми кон, но е еднаква на). Значи дериватот

Ова може да се разбере вака: кога стоиме на самиот врв, мало поместување налево или надесно ја менува нашата висина занемарливо.

Постои и чисто алгебарско објаснување: лево од темето функцијата се зголемува, а десно се намалува. Како што дознавме порано, кога функцијата се зголемува, изводот е позитивен, а кога се намалува, тој е негативен. Но, се менува непречено, без скокови (бидејќи патот никаде нагло не го менува својот наклон). Затоа, помеѓу негативни и позитивни вредностидефинитивно мора да има. Тоа ќе биде местото каде што функцијата ниту се зголемува ниту се намалува - во точката на темето.

Истото важи и за коритото (областа каде што функцијата лево се намалува, а десно се зголемува):

Малку повеќе за зголемувањата.

Значи, го менуваме аргументот во големина. Од која вредност се менуваме? Што стана сега (аргументот)? Можеме да избереме која било точка, и сега ќе танцуваме од неа.

Размислете за точка со координати. Вредноста на функцијата во неа е еднаква. Потоа го правиме истото зголемување: ја зголемуваме координатата за. Кој е сега аргументот? Многу лесно: . Која е вредноста на функцијата сега? Каде оди аргументот, оди и функцијата: . Што е со зголемувањето на функцијата? Ништо ново: ова е сè уште износот за кој функцијата се промени:

Вежбајте да наоѓате зголемувања:

  1. Најдете го зголемувањето на функцијата во точка кога зголемувањето на аргументот е еднакво на.
  2. Истото важи и за функцијата во точка.

Решенија:

ВО различни точкисо исто зголемување на аргументот, зголемувањето на функцијата ќе биде различно. Ова значи дека дериватот во секоја точка е различен (за ова разговаравме на самиот почеток - стрмнината на патот е различна на различни точки). Затоа, кога пишуваме извод, мора да наведеме во која точка:

Функција за напојување.

Функција за моќност е функција каде што аргументот е до одреден степен (логично, нели?).

Згора на тоа - до кој било степен: .

Наједноставниот случај- ова е кога експонентот:

Да го најдеме неговиот дериват во една точка. Да се ​​потсетиме на дефиницијата за дериват:

Значи аргументот се менува од до. Колку изнесува зголемувањето на функцијата?

Прираст е ова. Но, функцијата во која било точка е еднаква на нејзиниот аргумент. Затоа:

Дериватот е еднаков на:

Дериватот на е еднаков на:

б) Сега размислете квадратна функција (): .

Сега да се потсетиме на тоа. Ова значи дека вредноста на зголемувањето може да се занемари, бидејќи е бесконечно мала, а со тоа и незначителна во однос на позадината на другиот термин:

Така, дојдовме до друго правило:

в) Ја продолжуваме логичката серија: .

Овој израз може да се поедностави на различни начини: отворете ја првата заграда користејќи ја формулата за скратено множење на коцката од збирот или размножете го целиот израз користејќи ја формулата за разлика од коцки. Обидете се да го направите тоа сами користејќи некој од предложените методи.

Така, го добив следново:

И повторно да се потсетиме на тоа. Ова значи дека можеме да ги занемариме сите термини што содржат:

Добиваме:.

г) Слични правила може да се добијат за големи моќи:

д) Излегува дека ова правило може да се генерализира за функција на моќност со произволен експонент, па дури ни цел број:

(2)

Правилото може да се формулира со зборовите: „степенот се пренесува како коефициент, а потоа се намалува за .

Ова правило ќе го докажеме подоцна (речиси на самиот крај). Сега да погледнеме неколку примери. Најдете го изводот на функциите:

  1. (на два начина: со формула и со користење на дефиницијата за извод - со пресметување на зголемувањето на функцијата);
  1. . Верувале или не, ова е функција за напојување. Ако имате прашања како „Како е ова? Каде е степенот?“, запомнете ја темата „“!
    Да, да, и коренот е степен, само фракционо: .
    Ова значи дека нашиот квадратен корен е само моќ со експонент:
    .
    Го бараме дериватот користејќи ја неодамна научената формула:

    Ако во овој момент повторно стане нејасно, повторете ја темата „“!!! (околу диплома со негативен индикатор)

  2. . Сега експонентот:

    И сега преку дефиницијата (сè уште сте заборавиле?):
    ;
    .
    Сега, како и обично, го занемаруваме терминот што содржи:
    .

  3. . Комбинација на претходни случаи: .

Тригонометриски функции.

Овде ќе искористиме еден факт од вишата математика:

Со изразување.

Доказот ќе го научите во првата година на институтот (а за да стигнете таму, треба добро да го положите обединетиот државен испит). Сега ќе го прикажам само графички:

Гледаме дека кога функцијата не постои - точката на графикот е отсечена. Но, колку е поблиску до вредноста, толку поблиску е функцијата. Тоа е она што „се цели“.

Дополнително, можете да го проверите ова правило користејќи калкулатор. Да, да, не биди срамежлив, земете калкулатор, сè уште не сме на унифициран државен испит.

Значи, ајде да се обидеме: ;

Не заборавајте да го префрлите вашиот калкулатор во режим на радијани!

итн. Гледаме дека колку помалку, толку поблиска вредностоднос кон

а) Размислете за функцијата. Како и обично, да го најдеме неговиот прираст:

Разликата на синусите да ја претвориме во производ. За да го направите ова, ја користиме формулата (запомнете ја темата „“): .

Сега дериватот:

Ајде да направиме замена: . Тогаш за бесконечно мало е и бесконечно мало: . Изразот за има форма:

И сега се сеќаваме на тоа со изразот. И, исто така, што ако бесконечно мало количество може да се занемари во збирот (т.е. во).

Значи добиваме следното правило:дериватот на синусот е еднаков на косинус:

Ова се основни („табеларни“) деривати. Еве ги во една листа:

Подоцна ќе додадеме уште неколку на нив, но овие се најважни, бидејќи најчесто се користат.

Вежбајте:

  1. Најдете го изводот на функцијата во точка;
  2. Најдете го изводот на функцијата.

Решенија:

  1. Прво, да го најдеме изводот во општа форма, а потоа да ја замениме неговата вредност:
    ;
    .
  2. Тука имаме нешто слично на функција за напојување. Ајде да се обидеме да ја доведеме до
    нормален поглед:
    .
    Одлично, сега можете да ја користите формулата:
    .
    .
  3. . Еееееее….. Што е ова????

Добро, во право си, уште не знаеме како да најдеме такви деривати. Овде имаме комбинација од неколку типови на функции. За да работите со нив, треба да научите уште неколку правила:

Експонент и природен логаритам.

Во математиката постои функција чиј извод за која било вредност е еднаков на вредноста на самата функција во исто време. Се нарекува „експонент“ и е експоненцијална функција

Основата на оваа функција е константа - таа е бесконечна децимална, односно ирационален број (како на пример). Се нарекува „број на Ојлер“, поради што се означува со буква.

Значи, правилото:

Многу лесно се памети.

Па, да не одиме далеку, да го погледнеме веднаш инверзна функција. Која функција е инверзна на експоненцијалната функција? Логаритам:

Во нашиот случај, основата е бројот:

Таквиот логаритам (т.е. логаритам со основа) се нарекува „природен“ и користиме посебна нотација за него: наместо тоа пишуваме.

На што е еднакво? Секако, .

Дериватот на природниот логаритам е исто така многу едноставен:

Примери:

  1. Најдете го изводот на функцијата.
  2. Кој е изводот на функцијата?

Одговори: Излагач и природен логаритам- функциите се уникатно едноставни во однос на деривати. Експоненцијалните и логаритамските функции со која било друга основа ќе имаат различен извод, кој ќе го анализираме подоцна, по ајде да поминеме низ правилатадиференцијација.

Правила на диференцијација

Правила за што? Повторно нов термин, пак?!...

Диференцијацијае процес на пронаоѓање на дериватот.

Тоа е се. Како друго можете да го наречете овој процес со еден збор? Не извод... Математичарите диференцијалот го нарекуваат исто зголемување на функцијата во. Овој термин доаѓа од латинската диференција - разлика. Еве.

Кога ги изведуваме сите овие правила, ќе користиме две функции, на пример, и. Ќе ни требаат и формули за нивните зголемувања:

Има вкупно 5 правила.

Константата се вади од дериватниот знак.

Ако - некои постојан број(постојано), тогаш.

Очигледно ова правило работи и за разликата: .

Да го докажеме тоа. Нека биде, или поедноставно.

Примери.

Најдете ги изводите на функциите:

  1. во точка;
  2. во точка;
  3. во точка;
  4. во точката.

Решенија:

  1. (изводот е ист во сите точки, бидејќи ова линеарна функција, се сеќаваш?);

Дериват на производот

Сè е слично овде: да воведеме нова функција и да го најдеме нејзиниот прираст:

Дериват:

Примери:

  1. Најди ги изводите на функциите и;
  2. Најдете го изводот на функцијата во точка.

Решенија:

Извод на експоненцијална функција

Сега вашето знаење е доволно за да научите како да го пронајдете изводот на која било експоненцијална функција, а не само на експоненти (сè уште сте заборавиле што е тоа?).

Значи, каде е некој број.

Веќе го знаеме изводот на функцијата, па ајде да се обидеме да ја намалиме нашата функција на нова база:

За ова ќе користиме едноставно правило: . Потоа:

Па, успеа. Сега обидете се да го пронајдете изводот и не заборавајте дека оваа функција е сложена.

Се случи?

Еве, проверете се:

Се покажа дека формулата е многу слична на изводот на експонент: како што беше, таа останува иста, се појави само фактор, кој е само број, но не и променлива.

Примери:
Најдете ги изводите на функциите:

Одговори:

Ова е само бројка што не може да се пресмета без калкулатор, односно не може да се запише повеќе во едноставна форма. Затоа, го оставаме во оваа форма во одговорот.

Извод на логаритамска функција

Слично е овде: веќе го знаете дериватот на природниот логаритам:

Затоа, да се најде произволен логаритам со различна основа, на пример:

Треба да го намалиме овој логаритам на основата. Како се менува основата на логаритам? Се надевам дека се сеќавате на оваа формула:

Само сега наместо тоа ќе напишеме:

Именителот е едноставно константа (константен број, без променлива). Дериватот се добива многу едноставно:

Деривати на експоненцијални и логаритамски функцииречиси никогаш не се појавуваат на обединетиот државен испит, но не би било лошо да ги знаете.

Извод на сложена функција.

Што се случи " комплексна функција"? Не, ова не е логаритам, ниту арктангенс. Овие функции може да бидат тешки за разбирање (иако ако ви е тежок логаритмот, прочитајте ја темата „Логаритми“ и ќе бидете во ред), но од математичка гледна точка, зборот „комплекс“ не значи „тешко“.

Замислете мала подвижна лента: две лица седат и прават некои активности со некои предмети. На пример, првиот завиткува чоколадна лента во обвивка, а втората ја врзува со лента. Резултатот е композитен предмет: чоколадна лента завиткана и врзана со лента. За да јадете чоколадо, треба да направите обратни дејстваВ обратен редослед.

Ајде да создадеме сличен математички цевковод: прво ќе го најдеме косинусот на некој број, а потоа ќе го квадратиме добиениот број. Значи, ни се дава број (чоколадо), јас го наоѓам неговиот косинус (обвивка), а потоа го квадрирате она што го добив (врзете го со лента). Што се случи? Функција. Ова е пример за сложена функција: кога, за да ја пронајдеме нејзината вредност, го извршуваме првото дејство директно со променливата, а потоа второто дејство со она што произлегло од првото.

Можеме лесно да ги правиме истите чекори во обратен редослед: прво го квадратите, а потоа го барам косинусот на добиениот број: . Лесно е да се погоди дека резултатот скоро секогаш ќе биде различен. Важна карактеристикасложени функции: кога се менува редоследот на дејствата, функцијата се менува.

Со други зборови, комплексна функција е функција чиј аргумент е друга функција: .

За првиот пример,.

Втор пример: (истото). .

Дејството што го правиме последно ќе се вика „надворешна“ функција, и дејството извршено прво - соодветно „внатрешна“ функција(ова се неформални имиња, ги користам само за да го објаснам материјалот на едноставен јазик).

Обидете се сами да одредите која функција е надворешна, а која внатрешна:

Одговори:Одвојувањето на внатрешните и надворешните функции е многу слично на менувањето на променливите: на пример, во функција

  1. Која акција прво ќе ја извршиме? Прво, да го пресметаме синусот, па дури потоа да го коцкаме. Тоа значи дека тоа е внатрешна функција, но надворешна.
    А оригиналната функција е нивниот состав: .
  2. Внатрешна: ; надворешен: .
    Испитување: .
  3. Внатрешна: ; надворешен: .
    Испитување: .
  4. Внатрешна: ; надворешен: .
    Испитување: .
  5. Внатрешна: ; надворешен: .
    Испитување: .

Ги менуваме променливите и добиваме функција.

Па, сега ќе ја извадиме нашата чоколадна лента и ќе го бараме дериватот. Постапката е секогаш обратна: прво го бараме изводот на надворешната функција, а потоа резултатот го множиме со изводот на внатрешната функција. Во однос на оригиналниот пример, изгледа вака:

Друг пример:

Значи, конечно да го формулираме официјалното правило:

Алгоритам за наоѓање извод на сложена функција:

Се чини едноставно, нели?

Ајде да провериме со примери:

Решенија:

1) Внатрешна: ;

Надворешен: ;

2) Внатрешна: ;

(Само не обидувајте се да го пресечете досега! Ништо не излегува од косинусот, се сеќавате?)

3) Внатрешна: ;

Надворешен: ;

Веднаш е јасно дека ова е сложена функција на три нивоа: на крајот на краиштата, ова е веќе сложена функција сама по себе, а од него го извлекуваме и коренот, односно го извршуваме третото дејство (чоколадото го ставаме во обвивка и со лента во актовката). Но, нема причина да се плашиме: ние сепак ќе ја „отпакуваме“ оваа функција по истиот редослед како и обично: од крајот.

Односно, прво го разликуваме коренот, па косинусот, па дури потоа изразот во загради. И тогаш сето тоа го множиме.

Во такви случаи, погодно е да се нумерираат дејствата. Односно, да замислиме што знаеме. По кој редослед ќе извршиме дејствија за да ја пресметаме вредноста на овој израз? Ајде да погледнеме на пример:

Колку подоцна се изврши дејството, толку „понадворешна“ ќе биде соодветната функција. Редоследот на дејствата е ист како и претходно:

Овде гнездото е генерално на 4 нивоа. Ајде да го одредиме текот на дејствувањето.

1. Радикално изразување. .

2. Корен. .

3. Синус. .

4. Плоштад. .

5. Спојување на сето тоа заедно:

ДЕРИВАТИВ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНИТЕ РАБОТИ

Извод на функција- односот на зголемувањето на функцијата со зголемувањето на аргументот за бесконечно мало зголемување на аргументот:

Основни деривати:

Правила за диференцијација:

Константата се вади од дериватниот знак:

Извод на збирот:

Дериват на производот:

Извод на количникот:

Извод на сложена функција:

Алгоритам за наоѓање извод на сложена функција:

  1. Ја дефинираме „внатрешната“ функција и го наоѓаме нејзиниот дериват.
  2. Ја дефинираме функцијата „надворешна“ и го наоѓаме нејзиниот дериват.
  3. Ги множиме резултатите од првата и втората точка.