Изводот на функцијата е еден од тешки темиВ училишна наставна програма. Не секој дипломиран ќе одговори на прашањето што е дериват.
Оваа статија на едноставен и јасен начин објаснува што е дериват и зошто е потребен.. Сега нема да се стремиме кон математичка строгост во презентацијата. Најважно е да се разбере значењето.
Да се потсетиме на дефиницијата:
Изводот е брзината на промена на функцијата.
На сликата се прикажани графикони од три функции. Што мислите, која расте побрзо?
Одговорот е очигледен - третиот. Има најголема стапка на промена, односно најголем дериват.
Еве уште еден пример.
Костја, Гриша и Матвеј добија работа во исто време. Ајде да видиме како се промениле нивните приходи во текот на годината:
Графикот покажува сè одеднаш, нели? Приходите на Костја се зголемија повеќе од двојно за шест месеци. И приходот на Гриша исто така се зголеми, но само малку. И приходот на Матви се намали на нула. Почетните услови се исти, но стапката на промена на функцијата, т.е дериват, - различни. Што се однесува до Матви, неговиот дериват на приход е генерално негативен.
Интуитивно, лесно ја проценуваме брзината на промена на функцијата. Но, како да го направиме ова?
Она што навистина го гледаме е колку стрмно графикот на функцијата оди нагоре (или надолу). Со други зборови, колку брзо се менува y како што се менува x? Очигледно, истата функција во различни точкиможе да има различно значењедериват - односно може да се менува побрзо или побавно.
Изводот на функцијата се означува .
Ќе ви покажеме како да го најдете со помош на графикон.
Нацртан е график на некоја функција. Да земеме точка со апсциса на неа. Дозволете ни да нацртаме тангента на графикот на функцијата во оваа точка. Сакаме да процениме колку стрмно се зголемува графикот на функцијата. Погодна вредност за ова е тангента на тангентен агол.
Изводот на функцијата во точка е еднаков на тангентата на аголот на тангента нацртан на графикот на функцијата во оваа точка.
Забележете дека како агол на наклон на тангентата го земаме аголот помеѓу тангентата и позитивната насока на оската.
Понекогаш учениците прашуваат што е тангента на графикот на функцијата. Ова е права линија која има само една заедничка точкасо графикон, и како што е прикажано на нашата слика. Изгледа како тангента на круг.
Ајде да го најдеме. Се сеќаваме дека тангентата на остар агол во правоаголен триаголник еднаков на односот спротивна странадо соседните. Од триаголникот:
Го најдовме изводот користејќи графикон без да ја знаеме формулата на функцијата. Ваквите проблеми често се среќаваат во обединетиот државен испит по математика под број.
Постои уште една важна врска. Потсетиме дека правата линија е дадена со равенката
Големината во оваа равенка се нарекува наклон на права линија. Таа е еднаква на тангентата на аголот на наклон на правата линија до оската.
.
Го добиваме тоа
Да се потсетиме на оваа формула. Го изразува геометриското значење на дериватот.
Изводот на функцијата во точка е еднаков на наклонот на тангентата нацртана на графикот на функцијата во таа точка.
Со други зборови, дериватот е еднаков на тангентата на аголот на тангентата.
Веќе рековме дека иста функција може да има различни изводи на различни точки. Ајде да видиме како изводот е поврзан со однесувањето на функцијата.
Ајде да нацртаме график на некоја функција. Нека оваа функција се зголемува во некои области, а се намалува во други, и со со различни брзини. И нека оваа функција има максимални и минимални поени.
Во одреден момент функцијата се зголемува. Се формира тангентата на графикот нацртан во точката остар агол; со насока на позитивна оска. Ова значи дека изводот во точката е позитивен.
Во моментот нашата функција се намалува. Тангентата во оваа точка формира тап агол; со насока на позитивна оска. Од тангента тап аголе негативен, во точката дериватот е негативен.
Еве што се случува:
Ако функцијата се зголемува, нејзиниот извод е позитивен.
Ако се намали, неговиот дериват е негативен.
Што ќе се случи на максималните и минималните поени? Гледаме дека во точките (максимална точка) и (минимална точка) тангентата е хоризонтална. Затоа, тангента на тангента агол во овие точки еднаква на нула, а изводот е исто така нула.
Точка - максимална точка. Во овој момент, зголемувањето на функцијата се заменува со намалување. Следствено, знакот на дериватот се менува во точката од „плус“ во „минус“.
Во точката - минималната точка - дериватот е исто така нула, но неговиот знак се менува од „минус“ во „плус“.
Заклучок: со помош на изводот можеме да дознаеме се што не интересира за однесувањето на функцијата.
Ако дериватот е позитивен, тогаш функцијата се зголемува.
Ако изводот е негативен, тогаш функцијата се намалува.
Во максималната точка, изводот е нула и го менува знакот од „плус“ во „минус“.
Во минималната точка, изводот е исто така нула и го менува знакот од „минус“ во „плус“.
Ајде да ги напишеме овие заклучоци во форма на табела:
| се зголемува | максимална точка | се намалува | минимална точка | се зголемува | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Да направиме две мали појаснувања. Ќе ви треба еден од нив кога ќе го решите проблемот. Друго - во првата година, со посериозно проучување на функции и деривати.
Можно е изводот на функцијата во одреден момент да е еднаков на нула, но функцијата нема ниту максимум ниту минимум во оваа точка. Ова е т.н :
Во одредена точка, тангентата на графикот е хоризонтална, а изводот е нула. Сепак, пред точката функцијата се зголеми - а по точката продолжува да се зголемува. Знакот на дериватот не се менува - останува позитивен како што беше.
Се случува и во точката на максимум или минимум да не постои изводот. На графиконот, ова одговара на остар прекин, кога е невозможно да се нацрта тангента во дадена точка.
Како да се најде изводот ако функцијата е дадена не со график, туку со формула? Во овој случај тоа важи
Задача.
Функцијата y=f(x) е дефинирана на интервалот (-5; 6). На сликата е прикажан график на функцијата y=f(x). Најди ги меѓу точките x 1, x 2, ..., x 7 оние точки во кои изводот на функцијата f(x) е еднаков на нула. Како одговор, запишете го бројот на пронајдени поени.
Решение:
Принципот во решавањето на овој проблем е овој: има три можно однесувањефункционира на овој интервал:
1) кога функцијата се зголемува (изводот таму е поголем од нула)
2) кога функцијата се намалува (каде што изводот е помал од нула)
3) кога функцијата не се зголемува или намалува (каде што изводот е или нула или не постои)
Ние сме заинтересирани за третата опција.
Изводот е еднаков на нула каде што функцијата е мазна и не постои во точките на прекин. Ајде да ги погледнеме сите овие точки.
x 1 - функцијата се зголемува, што значи изводот f′(x) >0
x 2 - функцијата зема минимум и е мазна, што значи изводот f '(x) = 0
x 3 - функцијата зема максимум, но во овој момент има пауза, што значидериват f „(x) не постои
x 4 - функцијата зема максимум, но во овој момент има прекин, што значидериват f „(x) не постои
x 5 - извод f '(x) = 0
x 6 - функцијата се зголемува, што значи изводот f′(x) >0
x 7 - функцијата зема минимум и е мазна, што значиизвод f ′(x) = 0
Гледаме дека ѓ ′(x) = 0 во точките x 2, x 5 и x 7, вкупно 3 поени.
Проучување на функција користејќи нејзин извод. Во оваа статија ќе анализираме некои задачи поврзани со проучувањето на графикот на функцијата. Во вакви задачи се дава график на функцијата y = f (x) и се поставуваат прашања поврзани со определување на бројот на точки во кои изводот на функцијата е позитивен (или негативен), како и други. Тие се класифицирани како задачи за примена на деривати за проучување на функции.
Решавањето на ваквите проблеми и воопшто проблемите поврзани со истражувањето е можно само со целосно разбирање на својствата на изводот за проучување на графиконите на функции и изводот. Затоа, силно препорачувам да ја проучувате релевантната теорија. Можете да учите и да гледате (но содржи кратко резиме).
Ние, исто така, ќе ги разгледаме проблемите каде што е даден графикот на изводот во идните статии, не пропуштајте го! Значи, задачите:
На сликата е прикажан график на функцијата y = f (x), дефинирана на интервалот (−6; 8). Дефинирај:
1. Бројот на цели точки на кои изводот на функцијата е негативен;
2. Бројот на точки во кои тангентата на графикот на функцијата е паралелна со правата y = 2;
1. Изводот на функцијата е негативен на интервали на кои функцијата се намалува, односно на интервалите (−6; –3), (0; 4,2), (6,9; 8). Тие ги содржат целобројните точки −5, −4, 1, 2, 3, 4 и 7. Добиваме 7 поени.
2. Директно y= 2 паралелно со оскатаОy= 2 само во екстремни точки (во точките каде што графикот го менува своето однесување од зголемување во намалување или обратно). Има четири такви точки: –3; 0; 4.2; 6.9
Одлучете сами:
Определи го бројот на цели точки во кои изводот на функцијата е позитивен.
На сликата е прикажан график на функцијата y = f (x), дефинирана на интервалот (−5; 5). Дефинирај:
2. Бројот на цели точки во кои тангентата на графикот на функцијата е паралелна со правата y = 3;
3. Бројот на точки во кои изводот е нула;
1. Од својствата на изводот на функцијата се знае дека тој е позитивен на интервалите на кои функцијата се зголемува, односно на интервалите (1,4; 2,5) и (4,4; 5). Тие содржат само еден целата поента x = 2.
2. Директно y= 3 паралелно со оскатаО. Тангентата ќе биде паралелна на праватаy= 3 само во екстремни точки (во точките каде што графикот го менува своето однесување од зголемување во намалување или обратно).
Има четири такви точки: –4,3; 1,4; 2,5; 4.4
3. Изводот е нула во четири поени(на екстремни точки), веќе ги посочивме.
Одлучете сами:
Да се определи бројот на цели точки во кои изводот на функцијата f(x) е негативен.
На сликата е прикажан график на функцијата y = f (x), дефинирана на интервалот (−2; 12). Најдете:
1. Бројот на цели точки во кои изводот на функцијата е позитивен;
2. Бројот на цели точки на кои изводот на функцијата е негативен;
3. Бројот на цели точки во кои тангентата на графикот на функцијата е паралелна со правата y = 2;
4. Бројот на точки во кои изводот е нула.
1. Од својствата на изводот на функцијата се знае дека тој е позитивен на интервали на кои функцијата се зголемува, односно на интервалите (–2; 1), (2; 4), (7; 9) и ( 10; 11). Тие содржат цели точки: –1, 0, 3, 8. Ги има вкупно четири.
2. Изводот на функцијата е негативен на интервали на кои функцијата се намалува, односно на интервалите (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12). Тие содржат цели точки 5 и 6. Добиваме 2 поени.
3. Директно y= 2 паралелно со оскатаО. Тангентата ќе биде паралелна на праватаy= 2 само во екстремни точки (во точките каде што графикот го менува своето однесување од зголемување во намалување или обратно). Има седум такви точки: 1; 2; 4; 7; 9; 10; единаесет.
4. Изводот е еднаков на нула на седум точки (во екстремни точки), веќе ги посочивме.
При одлучувањето различни задачигеометријата, механиката, физиката и другите гранки на знаење станаа неопходни користејќи го истиот аналитички процес од оваа функција y=f(x)примаат нова карактеристикакој се нарекува деривативна функција(или едноставно извод) на дадена функција f(x)и е означен со симболот
Процесот со кој од дадена функција f(x)добијте нова функција f" (x), повикан диференцијацијаи се состои од следните три чекори: 1) дајте го аргументот xзголемување
xи да го определи соодветното зголемување на функцијата
y = f(x+
x) -f(x); 2) сочинуваат врска 
3) броење xпостојана и
x0, наоѓаме 
, што го означуваме со f" (x), како да нагласува дека добиената функција зависи само од вредноста x, на кој одиме до граница. Дефиниција:
Извод y " =f " (x)
дадена функција y=f(x)
за даден xсе нарекува граница на односот на зголемувањето на функцијата со зголемувањето на аргументот, под услов зголемувањето на аргументот да се стреми кон нула, доколку, се разбира, постои оваа граница, т.е. конечни. Така, 
, или 
Забележете дека ако за некоја вредност x, на пример кога x=a, став 
на
x 0 нема тенденција да конечна граница, тогаш во овој случај велат дека функцијата f(x)на x=a(или во точката x=a) нема извод или не е диференцијабилен во точката x=a.
2. Геометриско значење на дериватот.
Размислете за графикот на функцијата y = f (x), диференцијабилна во близина на точката x 0
f(x)
Да разгледаме произволна права линија што минува низ точка на графикот на функција - точка A(x 0, f (x 0)) и го пресекува графикот во некоја точка B(x;f(x)). Таквата линија (AB) се нарекува секанта. Од ∆ABC: AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.
Од AC || Вол, потоа ALO = BAC = β (како што одговара за паралела). Но ALO е аголот на наклонетост на секантата AB кон позитивната насока на оската Ox. Ова значи tanβ = k - наклондиректно АБ.
Сега ќе го намалиме ∆х, т.е. ∆х→ 0. Во овој случај, точката B ќе се приближи до точката A според графикот, а секантата AB ќе ротира. Граничната позиција на секантата AB на ∆x→ 0 ќе биде права линија (a), наречена тангента на графикот на функцијата y = f (x) во точката А.
Ако одиме до границата како ∆x → 0 во еднаквоста tgβ =∆y/∆x, добиваме 
ortg =f "(x 0), бидејќи 
-агол на наклон на тангентата на позитивната насока на оската Ox 
, по дефиниција за извод. Но, tg = k е аголниот коефициент на тангентата, што значи k = tg = f "(x 0).
Значи, геометриското значење на дериватот е како што следува:
Извод на функција во точка x 0 еднаков на наклонот на тангентата на графикот на функцијата нацртана во точката со апсциса x 0 .
3. Физичко значење на дериватот.
Размислете за движење на точка по права линија. Нека е дадена координатата на точка во секое време x(t). Познато е (од курс по физика) дека просечната брзина во одреден временски период е еднаква на односот на растојанието поминато во овој временски период до времето, т.е.
Vav = ∆x/∆t. Да одиме до границата во последното равенство како ∆t → 0.
lim Vav (t) = (t 0) - моментална брзинаво времето t 0, ∆t → 0.
и lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (по дефиниција за извод).
Значи, (t) =x"(t).
Физичкото значење на изводот е следново: извод на функцијатаy = ѓ(x) во точкаx 0 е стапката на промена на функцијатаѓ(x) во точкаx 0
Дериватот се користи во физиката за да се најде брзина од позната функција на координати наспроти време, забрзување од позната функција на брзина наспроти време.
(t) = x"(t) - брзина,
a(f) = "(t) - забрзување, или
Ако е познат законот за движење на материјална точка во круг, тогаш може да се најде аголната брзина и аголно забрзувањеза време на ротационото движење:
φ = φ(t) - промена на аголот со текот на времето,
ω = φ"(t) - аголна брзина,
ε = φ"(t) - аголно забрзување, или ε = φ"(t).
Ако е познат законот за распределба на масата на нехомогена прачка, тогаш може да се најде линеарната густина на нехомогената прачка:
m = m(x) - маса,
x , l - должина на шипката,
p = m"(x) - линеарна густина.
Со помош на дериватот се решаваат проблеми од теоријата на еластичност и хармониските вибрации. Значи, според законот на Хук
F = -kx, x – променлива координата, k – коефициент на еластичност на пружината. Ставајќи ω 2 =k/m, ја добиваме диференцијалната равенка на пружинското нишало x"(t) + ω 2 x(t) = 0,
каде што ω = √k/√m фреквенција на осцилација (l/c), k - вкочанетост на пружината (H/m).
Равенка од формата y" + ω 2 y = 0 се нарекува равенка на хармониски осцилации (механички, електрични, електромагнетни). Решението на таквите равенки е функцијата
y = Asin(ωt + φ 0) или y = Acos(ωt + φ 0), каде
А - амплитуда на осцилации, ω - циклична фреквенција,
φ 0 - почетна фаза.
Прикажување на врската помеѓу знакот на дериватот и природата на монотоноста на функцијата.
Ве молиме бидете исклучително внимателни за следново. Види, распоредот на ШТО ти е даден! Функција или нејзин дериват
Ако е даден график на изводот, тогаш ќе не интересираат само функциските знаци и нули. Во принцип не не интересираат никакви „ридови“ или „шупливи“!
Задача 1.
Сликата покажува график на функција дефинирана на интервалот. Определи го бројот на цели точки во кои изводот на функцијата е негативен.
Решение:
На сликата, областите на функцијата за намалување се означени во боја:
Овие опаѓачки региони на функцијата содржат 4 цели броеви.
Задача 2.
Сликата покажува график на функција дефинирана на интервалот. Најдете го бројот на точки во кои тангентата на графикот на функцијата е паралелна или се совпаѓа со правата.
Решение:
Откако тангентата на графикот на функцијата е паралелна (или се совпаѓа) со права линија (или, што е иста работа), имајќи наклон , еднаква на нула, тогаш тангентата има и аголен коефициент.
Ова пак значи дека тангентата е паралелна со оската, бидејќи наклонот е тангента на аголот на наклонетост на тангентата на оската.
Затоа, наоѓаме екстремни точки (максимални и минимални точки) на графикот - токму во овие точки функциите тангенти на графикот ќе бидат паралелни со оската.
Има 4 такви точки.
Задача 3.
Сликата покажува график на изводот на функцијата дефинирана на интервалот. Најдете го бројот на точки во кои тангентата на графикот на функцијата е паралелна или се совпаѓа со правата.
Решение:
Бидејќи тангентата на графикот на функцијата е паралелна (или се совпаѓа) со права која има наклон, тогаш и тангентата има наклон.
Тоа пак значи дека на допирните точки.
Затоа, гледаме колку точки на графикот имаат ординати еднаква на .
Како што можете да видите, има четири такви точки.
Задача 4.
Сликата покажува график на функција дефинирана на интервалот. Најдете го бројот на точки во кои изводот на функцијата е 0.
Решение:
Изводот е еднаков на нула во екстремните точки. Имаме 4 од нив:
Задача 5.
На сликата е прикажан график на функција и единаесет точки на оската x:. Во колку од овие точки изводот на функцијата е негативен?
Решение:
Во интервали на опаѓачка функција, нејзиниот дериват зема негативни вредности. И функцијата се намалува на точки. Има 4 такви точки.
Задача 6.
Сликата покажува график на функција дефинирана на интервалот. Најдете го збирот на крајните точки на функцијата.
Решение:
Екстремни точки– тоа се максималните поени (-3, -1, 1) и минималните поени (-2, 0, 3).
Збир на екстремни точки: -3-1+1-2+0+3=-2.
Задача 7.
Сликата покажува график на изводот на функцијата дефинирана на интервалот. Најдете ги интервалите на зголемување на функцијата. Во вашиот одговор, наведете го збирот на цели броеви вклучени во овие интервали.
Решение:
Сликата ги истакнува интервалите каде што изводот на функцијата е ненегативен.
Нема цели точки на малиот растечки интервал; на растечкиот интервал има четири цели броеви: , , и .
Нивната сума:
Задача 8.
Сликата покажува график на изводот на функцијата дефинирана на интервалот. Најдете ги интервалите на зголемување на функцијата. Во вашиот одговор наведете ја должината на најголемиот од нив.
Решение:
На сликата, сите интервали на кои дериватот е позитивен се означени со боја, што значи дека самата функција се зголемува на овие интервали.
Должината на најголемиот од нив е 6.
Задача 9.
Сликата покажува график на изводот на функцијата дефинирана на интервалот. Во која точка на сегментот добива најголема вредност?
Решение:
Ајде да видиме како графикот се однесува на сегментот, што нè интересира само знакот на дериватот .
Знакот на изводот на е минус, бидејќи графикот на овој сегмент е под оската.