Овде ќе ја разгледаме дефиницијата на конечната граница на низата. Случајот на секвенца што се приближува до бесконечност е дискутиран на страницата „Дефиниција на бесконечно голема низа“.
Дефиниција .
(xn), ако за кој било позитивен број ε > 0
има природен број N ε во зависност од ε таков што за сите природни броеви n > N ε неравенството
| x n - a|< ε
.
Ограничувањето на низата е означено на следниов начин:
.
Или во.
Да ја трансформираме нееднаквоста:
;
;
.
Се повикува отворен интервал (a - ε, a + ε). ε - соседството на точката a.
Се нарекува низа што има граница конвергентна низа. Се вели и дека низата конвергирадо а. Се нарекува низа која нема ограничување дивергентни.
Од дефиницијата произлегува дека ако низата има граница a, без разлика кое ε-соседство на точката a ќе го избереме, надвор од неа може да има само конечен број елементи од низата или воопшто да нема (празното множество) . И секое ε-соседство содржи бесконечен број на елементи. Всушност, откако дадовме одреден број ε, го имаме бројот . Значи, сите елементи на низата со броеви, по дефиниција, се наоѓаат во ε - соседството на точката a. Првите елементи можат да се лоцираат насекаде. Односно, надвор од ε-соседството не може да има повеќе од елементи - односно конечен број.
Забележуваме и дека разликата не мора монотоно да се стреми кон нула, односно да се намалува цело време. Може да се стреми кон нула немонотоно: може или да се зголеми или намали, имајќи локални максимални. Сепак, овие максимални, како што се зголемува n, треба да се стреми кон нула (можеби, исто така, не монотоно).
Користејќи ги логичките симболи на постоење и универзалност, дефиницијата за ограничување може да се напише на следниов начин:
(1)
.
Утврдување дека а не е граница
Сега разгледајте ја обратната изјава дека бројот a не е граница на низата.
Број а не е граница на низата, ако има таков што за кој било природен број n има таков природен m > n, Што
.
Ајде да ја напишеме оваа изјава користејќи логички симболи.
(2)
.
Изјава дека бројот а не е граница на низата, значи дека
можете да изберете такво ε - соседство на точката a, надвор од која ќе има бесконечен број на елементи од низата.
Ајде да погледнеме на пример. Нека е дадена низа со заеднички елемент
(3)
Секое соседство на точка содржи бесконечен број на елементи. Сепак, оваа точка не е граница на низата, бидејќи секое соседство на точката исто така содржи бесконечен број на елементи. Да земеме ε - соседство на точка со ε = 1
. Ова ќе биде интервалот (-1, +1)
. Сите елементи освен првиот со парен n припаѓаат на овој интервал. Но, сите елементи со непарен n се надвор од овој интервал, бидејќи ја задоволуваат неравенката x n > 2
. Бидејќи бројот на непарни елементи е бесконечен, ќе има бесконечен број на елементи надвор од избраното соседство. Затоа, поентата не е граница на низата.
Сега ќе го покажеме ова, строго придржувајќи се кон изјавата (2). Точката не е граница на низата (3), бидејќи постои такво што, за секое природно n, постои непарен за кој важи неравенката
.
Може да се покаже и дека која било точка a не може да биде граница на оваа низа. Секогаш можеме да избереме ε - соседство на точката a што не содржи ниту точка 0 ниту точка 2. А потоа надвор од избраното соседство ќе има бесконечен број на елементи од низата.
Еквивалентна дефиниција
Можеме да дадеме еквивалентна дефиниција за граница на низа ако го прошириме концептот ε - соседство. Ќе добиеме еквивалентна дефиниција ако, наместо ε-соседство, содржи кое било соседство на точката a.
Одредување на соседството на точка
Соседство на точка асе нарекува секој отворен интервал кој ја содржи оваа точка. Математички, соседството е дефинирано на следниов начин: , каде ε 1
и ε 2
- произволни позитивни бројки.
Тогаш дефиницијата на границата ќе биде како што следува.
Еквивалентна дефиниција за ограничување на низата
Бројот a се нарекува граница на низата, ако за некое негово соседство има природен број N таков што сите елементи од низата со броеви припаѓаат на ова соседство.
Оваа дефиниција може да се претстави и во проширена форма.
Бројот a се нарекува граница на низата, ако за кои било позитивни броеви и постои природен број N во зависност од и таков што неравенките важат за сите природни броеви
.
Доказ за еквивалентност на дефинициите
Да докажеме дека двете дефиниции за границата на низата претставени погоре се еквивалентни.
Нека бројот a е граница на низата според првата дефиниција. Ова значи дека постои функција, така што за кој било позитивен број ε се задоволуваат следните неравенки:
(4)
во .
Дозволете ни да покажеме дека бројот a е граница на низата според втората дефиниција. Односно, треба да покажеме дека постои таква функција таква што за кои било позитивни броеви ε 1
и ε 2
се задоволуваат следните неравенки:
(5)
во .
Да имаме два позитивни броја: ε 1
и ε 2
. И нека ε е најмалиот од нив: . Потоа; ; . Ајде да го користиме ова во (5):
.
Но, нееднаквостите се задоволни за . Тогаш неравенките (5) се задоволуваат и за .
Односно, најдовме функција за која неравенките (5) се задоволени за кои било позитивни броеви ε 1
и ε 2
.
Првиот дел е докажан.
Сега бројот a нека биде граница на низата според втората дефиниција. Ова значи дека постои функција таква што за кои било позитивни броеви ε 1
и ε 2
се задоволуваат следните неравенки:
(5)
во .
Да покажеме дека бројот a е граница на низата според првата дефиниција. За да го направите ова, треба да ставите. Тогаш кога важат следните неравенки:
.
Ова одговара на првата дефиниција со .
Еквивалентноста на дефинициите е докажана.
Примери
Овде ќе разгледаме неколку примери во кои треба да докажеме дека даден број a е граница на низа. Во овој случај, треба да наведете произволен позитивен број ε и да ја дефинирате функцијата N од ε така што неравенството .
Пример 1
Докажете го тоа.
(1)
.
Во нашиот случај;
.
.
Да ги искористиме својствата на неравенките. Тогаш ако и , тогаш
.
.
Потоа
во .
Ова значи дека бројот е граница на дадената низа:
.
Пример 2
Користејќи ја дефиницијата за граница на низа, докажете го тоа
.
Да ја запишеме дефиницијата на границата на низата:
(1)
.
Во нашиот случај, ;
.
Внесете позитивни броеви и:
.
Да ги искористиме својствата на неравенките. Тогаш ако и , тогаш
.
Односно, за секој позитивен, можеме да земеме кој било природен број поголем или еднаков на:
.
Потоа
во .
.
Пример 3
.
Ја воведуваме ознаката , .
Ајде да ја трансформираме разликата:
.
За природни n = 1, 2, 3, ...
ние имаме:
.
Да ја запишеме дефиницијата на границата на низата:
(1)
.
Внесете позитивни броеви и:
.
Тогаш ако и , тогаш
.
Односно, за секој позитивен, можеме да земеме кој било природен број поголем или еднаков на:
.
При што
во .
Ова значи дека бројот е граница на низата:
.
Пример 4
Користејќи ја дефиницијата за граница на низа, докажете го тоа
.
Да ја запишеме дефиницијата на границата на низата:
(1)
.
Во нашиот случај, ;
.
Внесете позитивни броеви и:
.
Тогаш ако и , тогаш
.
Односно, за секој позитивен, можеме да земеме кој било природен број поголем или еднаков на:
.
Потоа
во .
Ова значи дека бројот е граница на низата:
.
Референци:
Л.Д. Кудрјавцев. Курс за математичка анализа. Том 1. Москва, 2003 година.
ЦМ. Николски. Курс за математичка анализа. Том 1. Москва, 1983 година.
Ограничување на функцијата- број аќе биде граница на некое променливо количество ако, во процесот на нејзината промена, оваа променлива величина на неодредено време се приближува а.
Или со други зборови, бројот Ае граница на функцијата y = f(x)во точката x 0, ако за која било низа точки од доменот на дефинирање на функцијата не е еднаква x 0, и кој конвергира до точка x 0 (lim x n = x0), редоследот на соодветните функционални вредности конвергира до бројот А.
Графикот на функција чија граница, со оглед на аргументот кој тежи кон бесконечност, е еднаков на Л:
Значење Ае граница (гранична вредност) на функцијата f(x)во точката x 0во случај за која било низа точки 
, кој конвергира во x 0, но кој не содржи x 0како еден од неговите елементи (т.е. во дупнатата близина x 0), низа од вредностите на функциите 
конвергира во А.
Ограничување на функцијата Коши.
Значење Аќе биде граница на функцијата f(x)во точката x 0ако за кој било ненегативен број однапред земен ε ќе се најде соодветниот ненегативен број δ = δ(ε) така што за секој аргумент x, задоволувајќи ја состојбата 0 < | x - x0 | < δ , ќе се задоволи нееднаквоста | f(x)A |< ε .
Ќе биде многу едноставно ако ја разберете суштината на границата и основните правила за нејзино наоѓање. Која е границата на функцијата f (x)на xстремејќи се кон аеднакви А, е напишано вака:
Покрај тоа, вредноста кон која тежи променливата x, може да биде не само број, туку и бесконечност (∞), понекогаш +∞ или -∞, или може воопшто да нема ограничување.
За да се разбере како најдете ги границите на функцијата, најдобро е да се погледнат примери на решенија.
Неопходно е да се најдат границите на функцијата f (x) = 1/xна:
x→ 2, x→ 0, x→ ∞.
Ајде да најдеме решение до првата граница. За да го направите ова, можете едноставно да го замените xбројот кон кој се стреми, т.е. 2, добиваме:
Ајде да ја најдеме втората граница на функцијата. Тука наместо тоа, заменете ја чистата 0 xтоа е невозможно, бидејќи Не можете да делите со 0. Но, можеме да земеме вредности блиску до нула, на пример, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 и така натаму, и вредноста на функцијата f (x)ќе се зголеми: 100; 1000; 10000; 100.000 и така натаму. Така, може да се разбере дека кога x→ 0 вредноста на функцијата која е под знакот за граница ќе се зголемува без ограничување, т.е. се стремиме кон бесконечноста. Што значи:
Во однос на третата граница. Истата ситуација како и во претходниот случај, невозможно е да се замени ∞ во својата најчиста форма. Треба да го разгледаме случајот на неограничено зголемување x. Заменуваме 1000 еден по еден; 10000; 100000 и така натаму, ја имаме таа вредност на функцијата f (x) = 1/xќе се намали: 0,001; 0,0001; 0,00001; и така натаму, со тенденција на нула. Затоа:
Неопходно е да се пресмета границата на функцијата 
Почнувајќи да го решаваме вториот пример, гледаме несигурност. Оттука го наоѓаме највисокиот степен на броителот и именителот - ова е x 3, го вадиме од загради во броителот и именителот и потоа го намалуваме за:
Одговори 
Првиот чекор во наоѓање на оваа граница, наместо тоа, заменете ја вредноста 1 x, што резултира со неизвесност. За да го решиме, ајде да го факторизираме броителот и да го направиме тоа користејќи го методот за наоѓање корени на квадратна равенка x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.
Значи, броителот ќе биде:
Одговори 
Ова е дефиниција за нејзината специфична вредност или одредена област каде што паѓа функцијата, која е ограничена со лимитот.
За да ги решите ограничувањата, следете ги правилата:
Ја разбрав суштината и главната правила за решавање на лимитот, ќе добиете основно разбирање за тоа како да ги решите.
Математиката е наука која го гради светот. И научникот и обичниот човек - никој не може без него. Прво, малите деца се учат да бројат, потоа да собираат, одземаат, множат и делат; до средно училиште, симболите на буквите влегуваат во игра, а во средно училиште тие веќе не можат да се избегнат.
Но, денес ќе зборуваме за тоа на што се заснова целата позната математика. За заедницата на броеви наречени „ограничувања на низа“.
Што се низи и каде е нивната граница?
Значењето на зборот „секвенца“ не е тешко да се протолкува. Ова е распоред на работи каде што некој или нешто се наоѓа во одреден редослед или редица. На пример, редот за билети за зоолошката градина е низа. И може да има само еден! Ако, на пример, погледнете во редот во продавницата, ова е една низа. И ако едно лице од оваа редица одеднаш замине, тогаш ова е друга редица, различен редослед.
Зборот „граница“ исто така лесно се толкува - тоа е крај на нешто. Меѓутоа, во математиката, границите на низите се оние вредности на бројната линија кон која се стреми низа од броеви. Зошто се стреми и не завршува? Едноставно е, бројната линија нема крај, а повеќето секвенци, како зраците, имаат само почеток и изгледаат вака:
x 1, x 2, x 3,...x n...
Оттука, дефиницијата за низа е функција на природниот аргумент. Со поедноставни зборови, ова е серија на членови на одреден сет.
Како е конструирана броевната низа?
Едноставен пример за бројна низа може да изгледа вака: 1, 2, 3, 4, …n…
Во повеќето случаи, за практични цели, секвенците се градат од броеви, а секој следен член на серијата, да го означиме X, има свое име. На пример:
x 1 е првиот член на низата;
x 2 е вториот член од низата;
x 3 е третиот член;
x n е n-тиот член.
Во практичните методи, низата се дава со општа формула во која има одредена променлива. На пример:
X n =3n, тогаш самата серија на броеви ќе изгледа вака:
Вреди да се запамети дека кога пишувате секвенци воопшто, можете да користите какви било латински букви, а не само X. На пример: y, z, k итн.
Аритметичка прогресија како дел од низите
Пред да ги барате границите на низите, препорачливо е да се нурне подлабоко во самиот концепт на таква серија на броеви, со која секој се сретнал кога биле во средно училиште. Аритметичка прогресија е серија од броеви во кои разликата помеѓу соседните членови е константна.
Задача: „Нека 1 = 15, а чекорот на прогресија на броената серија d = 4. Конструирај ги првите 4 термини од оваа серија“
Решение: a 1 = 15 (по услов) е првиот член од прогресијата (бројна серија).
а 2 = 15+4=19 е вториот член од прогресијата.
а 3 =19+4=23 е третиот член.
а 4 =23+4=27 е четврти член.
Меѓутоа, со користење на овој метод е тешко да се постигнат големи вредности, на пример до 125. . Посебно за такви случаи, изведена е формула погодна за вежбање: a n =a 1 +d(n-1). Во овој случај, 125 = 15 + 4 (125-1) = 511.
Видови секвенци
Повеќето од секвенците се бесконечни, вреди да се сеќавате до крајот на животот. Постојат два интересни типа на серии на броеви. Првиот е даден со формулата a n =(-1) n. Математичарите често ја нарекуваат оваа низа трепкач. Зошто? Ајде да ја провериме нејзината бројна серија.
1, 1, -1, 1, -1, 1, итн. Со ваков пример, станува јасно дека броевите во низи лесно може да се повторат.
Факториска низа. Лесно е да се погоди - формулата што ја дефинира низата содржи фактор. На пример: a n = (n+1)!
Тогаш низата ќе изгледа вака:
a 2 = 1x2x3 = 6;
и 3 = 1x2x3x4 = 24, итн.
Низата дефинирана со аритметичка прогресија се нарекува бесконечно опаѓачка ако неравенката -1 е задоволена за сите нејзини членови и 3 = - 1/8, итн. Постои дури и низа која се состои од ист број. Значи, n =6 се состои од бесконечен број шестки. Ограничувањата на низата одамна постојат во математиката. Се разбира, тие заслужуваат свој компетентен дизајн. Значи, време е да ја научиме дефиницијата за границите на низата. Прво, да ја разгледаме границата за линеарна функција во детали: Лесно е да се разбере дека дефиницијата на границата на низата може да се формулира на следниов начин: ова е одреден број до кој бесконечно се приближуваат сите членови на низата. Едноставен пример: a x = 4x+1. Тогаш самата низа ќе изгледа вака. 5, 9, 13, 17, 21…x… Така, оваа низа ќе се зголемува бесконечно, што значи дека нејзината граница е еднаква на бесконечноста како x→∞, и треба да се напише вака: Ако земеме слична низа, но x се стреми кон 1, добиваме: А серијата на броеви ќе биде вака: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 итн. Секој пат кога ќе треба да го замените бројот поблиску до еден (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Од оваа серија е јасно дека границата на функцијата е пет. Од овој дел вреди да се потсетиме која е границата на нумеричката низа, дефиницијата и методот за решавање едноставни проблеми. Откако ќе ја испитате границата на броена низа, нејзината дефиниција и примери, можете да продолжите на посложена тема. Апсолутно сите граници на низи може да се формулираат со една формула, која обично се анализира во првиот семестар. Значи, што значи овој сет на букви, модули и знаци за нееднаквост? ∀ е универзален квантификатор, кој ги заменува фразите „за сите“, „за сè“ итн. ∃ е егзистенцијален квантификатор, во овој случај тоа значи дека има некоја вредност N што припаѓа на множеството природни броеви. Долг вертикален стап кој следи N значи дека даденото множество N е „такво“. Во пракса, тоа може да значи „такво тоа“, „таквото“ итн. За да го зајакнете материјалот, прочитајте ја формулата гласно. Методот за наоѓање на границата на секвенците, кој беше дискутиран погоре, иако е едноставен за употреба, не е толку рационален во пракса. Обидете се да ја пронајдете границата за оваа функција: Ако замениме различни вредности на „x“ (се зголемува секој пат: 10, 100, 1000 итн.), тогаш добиваме ∞ во броителот, но и ∞ во именителот. Ова резултира со прилично чудна фракција: Но, дали е ова навистина така? Пресметувањето на границата на бројна низа во овој случај изгледа прилично лесно. Би можело се да се остави како што е, бидејќи одговорот е готов, а е добиен под разумни услови, но има и друг начин конкретно за вакви случаи. Прво, да го најдеме највисокиот степен во броителот на дропката - ова е 1, бидејќи x може да се претстави како x 1. Сега да го најдеме највисокиот степен во именителот. Исто така 1. Да ги поделиме и броителот и именителот со променливата до највисок степен. Во овој случај, поделете ја дропот со x 1. Следно, ќе откриеме кон која вредност има тенденција секој поим што содржи променлива. Во овој случај, се земаат предвид фракциите. Како x→∞, вредноста на секоја дропка се стреми кон нула. Кога ја поднесувате вашата работа во писмена форма, треба да ги направите следните фусноти: Ова резултира со следниов израз: Се разбира, дропките што содржат x не станале нули! Но, нивната вредност е толку мала што е сосема дозволено да не се земе предвид во пресметките. Всушност, x никогаш нема да биде еднаква на 0 во овој случај, бидејќи не можете да делите со нула. Да претпоставиме дека професорот има на располагање сложена низа, дадена, очигледно, со еднакво сложена формула. Професорот го најде одговорот, но дали е во право? На крајот на краиштата, сите луѓе прават грешки. Огист Коши еднаш смисли одличен начин да ги докаже границите на секвенците. Неговиот метод беше наречен манипулација со соседството. Да претпоставиме дека постои одредена точка a, нејзиното соседство во двете насоки на бројната права е еднакво на ε („епсилон“). Бидејќи последната променлива е растојанието, нејзината вредност е секогаш позитивна. Сега да дефинираме некоја низа x n и да претпоставиме дека десеттиот член од низата (x 10) е во соседството на a. Како можеме да го напишеме овој факт на математички јазик? Да речеме дека x 10 е десно од точката a, а потоа растојанието x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Сега е време да се објасни во пракса формулата дискутирана погоре. Праведно е да се нарече одреден број a крајна точка на низата ако за која било од неговите граници неравенката ε>0 е исполнета, а целото соседство има свој природен број N, така што сите членови на низата со повисоки броеви ќе биде внатре во низата |x n - a|< ε. Со такво знаење лесно е да се решат границите на низата, да се докаже или побие готовиот одговор. Теоремите за границите на низите се важна компонента на теоријата, без која практиката е невозможна. Постојат само четири главни теореми, запомнувањето што може да го олесни решението или докажувањето: Понекогаш треба да решите инверзен проблем, за да докажете дадена граница на нумеричка низа. Ајде да погледнеме на пример. Докажете дека границата на низата дадена со формулата е нула. Според правилото дискутирано погоре, за која било низа неравенката |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Да го изразиме n преку „епсилон“ за да покажеме постоење на одреден број и да докажеме присуство на граница на низата. Во овој момент, важно е да се запамети дека „epsilon“ и „en“ се позитивни броеви и не се еднакви на нула. Сега е можно да се продолжат понатамошните трансформации користејќи ги знаењата за нееднаквостите стекнати во средно училиште. Како излегува дека n > -3 + 1/ε. Бидејќи вреди да се запамети дека зборуваме за природни броеви, резултатот може да се заокружи со ставање во квадратни загради. Така, докажано е дека за која било вредност на соседството „епсилон“ на точката a = 0 е пронајдена вредност таква што почетната неравенка е задоволена. Од тука можеме безбедно да кажеме дека бројот a е граница на дадена низа. Q.E.D. Овој пригоден метод може да се користи за докажување на границата на нумеричка низа, без разлика колку е сложена таа на прв поглед. Главната работа е да не паничите кога ќе ја видите задачата. Постоењето на граница на конзистентност не е неопходно во пракса. Лесно може да наидете на серии на бројки на кои навистина им нема крај. На пример, истото „светло кое трепка“ x n = (-1) n. очигледно е дека низата која се состои од само две цифри, циклично повторувани, не може да има граница. Истата приказна се повторува со низи составени од еден број, фракциони, кои имаат несигурност на кој било ред при пресметките (0/0, ∞/∞, ∞/0, итн.). Сепак, треба да се запомни дека се случуваат и неточни пресметки. Понекогаш двојната проверка на сопственото решение ќе ви помогне да го пронајдете ограничувањето на низата. Неколку примери на секвенци и методи за нивно решавање беа дискутирани погоре, а сега да се обидеме да земеме поконкретен случај и да го наречеме „монотона низа“. Дефиниција: секоја низа со право може да се нарече монотоно растечка ако за неа важи строгата неравенка x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. Заедно со овие два услови, постојат и слични нестроги нееднаквости. Соодветно на тоа, x n ≤ x n +1 (ненамалувачка низа) и x n ≥ x n +1 (секвенца што не се зголемува). Но, полесно е да се разбере ова со примери. Низата дадена со формулата x n = 2+n ја формира следната серија на броеви: 4, 5, 6, итн. Ова е монотоно растечка низа. И ако земеме x n =1/n, ја добиваме серијата: 1/3, ¼, 1/5, итн. Ова е монотоно опаѓачка низа. Ограничена низа е низа што има граница. Конвергентна низа е низа од броеви кои имаат бесконечно мала граница. Така, границата на ограничена низа е кој било реален или комплексен број. Запомнете дека може да има само една граница. Границата на конвергентна низа е бесконечно мала (реална или сложена) големина. Ако нацртате дијаграм со низа, тогаш во одреден момент ќе изгледа дека се спојува, има тенденција да се претвори во одредена вредност. Оттука и името - конвергентна низа. Може или не може да има ограничување на таквата низа. Прво, корисно е да се разбере кога постои; од тука можете да започнете кога докажувате отсуство на ограничување. Меѓу монотоните низи, се разликуваат конвергентни и дивергентни. Конвергентна е низа која е формирана од множеството x и има реална или сложена граница во ова множество. Дивергентна е низа која нема ограничување во своето множество (ниту реална, ниту сложена). Згора на тоа, низата конвергира ако, во геометриски приказ, нејзините горни и долни граници се спојуваат. Границата на конвергентна низа може да биде нула во многу случаи, бидејќи секоја бесконечно мала низа има позната граница (нула). Без оглед на конвергентната низа што ја земате, сите тие се ограничени, но не се спојуваат сите ограничени низи. Збирот, разликата, производот на две конвергентни низи е исто така конвергентна низа. Меѓутоа, количникот може да биде и конвергентен ако е дефиниран! Ограничувањата на низата се исто толку значајни (во повеќето случаи) како и цифрите и броевите: 1, 2, 15, 24, 362, итн. Излегува дека некои операции може да се извршат со ограничувања. Прво, како и цифрите и броевите, границите на која било низа може да се додаваат и одземаат. Врз основа на третата теорема за границите на низите, важи следната еднаквост: границата на збирот на низите е еднаква на збирот на нивните граници. Второ, врз основа на четвртата теорема за границите на низите, точно е следново еднаквост: границата на производот од n-тиот број низи е еднаква на производот на нивните граници. Истото важи и за делењето: границата на количникот на две низи е еднаква на количникот на нивните граници, под услов границата да не е нула. На крајот на краиштата, ако границата на низите е еднаква на нула, тогаш ќе резултира поделба со нула, што е невозможно. Се чини дека границата на нумеричката низа веќе е дискутирана во некои детали, но фразите како што се „бесконечно мали“ и „бесконечно големи“ броеви се споменуваат повеќе од еднаш. Очигледно, ако има низа 1/x, каде што x→∞, тогаш таквата дропка е бесконечно мала, а ако истата низа, но границата се стреми кон нула (x→0), тогаш дропот станува бесконечно голема вредност. И таквите количини имаат свои карактеристики. Својствата на границата на низа со какви било мали или големи вредности се како што следува: Всушност, пресметувањето на границата на низата не е толку тешка задача ако знаете едноставен алгоритам. Но, границите на конзистентноста се тема која бара максимално внимание и упорност. Се разбира, доволно е едноставно да се сфати суштината на решението на таквите изрази. Почнувајќи од мали, можете да постигнете големи височини со текот на времето. Границите им задаваат многу проблеми на сите студенти по математика. За да решите ограничување, понекогаш треба да користите многу трикови и да изберете од различни методи за решение токму оној што е погоден за одреден пример. Во оваа статија нема да ви помогнеме да ги разберете границите на вашите можности или да ги разберете границите на контролата, но ќе се обидеме да одговориме на прашањето: како да ги разберете границите во вишата математика? Разбирањето доаѓа со искуство, па во исто време ќе дадеме неколку детални примери за решавање на лимити со објаснувања. Првото прашање е: која е оваа граница и граница на што? Можеме да зборуваме за границите на нумеричките секвенци и функции. Ние сме заинтересирани за концептот на граница на функцијата, бидејќи тоа е она со што најчесто се среќаваат учениците. Но, прво, најопштата дефиниција за ограничување: Да речеме дека има некоја променлива вредност. Доколку оваа вредност во процесот на промена неограничено се приближува до одредена бројка а
, Тоа а
– граница на оваа вредност. За функција дефинирана во одреден интервал f(x)=y
таквиот број се нарекува граница А
, на која функцијата тежнее кога X
, со тенденција до одредена точка А
. Точка А
припаѓа на интервалот на кој е дефинирана функцијата. Звучи незгодно, но е напишано многу едноставно: Лим- од англиски граница- граница. Постои и геометриско објаснување за одредување на границата, но овде нема да навлегуваме во теоријата, бидејќи повеќе не интересира практичната, а не теоретската страна на прашањето. Кога ќе го кажеме тоа X
се стреми кон некоја вредност, тоа значи дека променливата не ја зема вредноста на некој број, туку му се приближува бескрајно блиску. Да дадеме конкретен пример. Задачата е да се најде лимитот. За да го решиме овој пример, ја заменуваме вредноста x=3
во функција. Добиваме: Патем, ако сте заинтересирани, прочитајте посебна статија на оваа тема. Во примери X
може да се стреми кон која било вредност. Може да биде кој било број или бесконечност. Еве еден пример кога X
се стреми кон бесконечност: Интуитивно, колку е поголем бројот во именителот, толку е помала вредноста на функцијата. Значи, со неограничен раст X
значење 1/x
ќе се намали и ќе се приближи до нула. Како што можете да видите, за да го решите лимитот, само треба да ја замените вредноста кон која се стремите во функцијата X
. Сепак, ова е наједноставниот случај. Често наоѓањето на границата не е толку очигледно. Во границите има несигурности од типот 0/0
или бесконечност/бесконечност
. Што да се прави во такви случаи? Прибегнете кон трикови! Нека има граница: Ако се обидеме да ја замениме бесконечноста во функцијата, ќе добиеме бесконечност и во броителот и во именителот. Во принцип, вреди да се каже дека постои одреден елемент на уметноста во решавањето на таквите несигурности: треба да забележите како можете да ја трансформирате функцијата на таков начин што неизвесноста ќе исчезне. Во нашиот случај, ние ги делиме броителот и именителот со X
во виша диплома. Што ќе се случи? Од примерот веќе дискутиран погоре, знаеме дека поимите што содржат x во именителот ќе имаат тенденција на нула. Тогаш решението до границата е: За да се решат несигурностите на типот бесконечност/бесконечностподелете ги броителот и именителот со Xдо највисок степен. Патем! За нашите читатели сега има попуст од 10%. Како и секогаш, замена на вредностите во функцијата x=-1
дава 0
во броителот и именителот. Погледнете малку повнимателно и ќе забележите дека имаме квадратна равенка во броителот. Ајде да ги најдеме корените и да напишеме: Да намалиме и да добиеме: Значи, ако сте соочени со типска несигурност 0/0
– пресметајте ги броителот и именителот. За полесно да решавате примери, ви претставуваме табела со границите на некои функции: Друг моќен начин да се елиминираат двата вида несигурност. Која е суштината на методот? Ако има несигурност во границата, земете го изводот на броителот и именителот додека не исчезне неизвесноста. Правилото на L'Hopital изгледа вака: Важна точка
: границата во која стојат изводите на броителот и именителот наместо броителот и именителот мора да постои. И сега - вистински пример: Постои типична неизвесност 0/0
. Да ги земеме изводите на броителот и именителот: Воила, неизвесноста се решава брзо и елегантно. Се надеваме дека ќе можете корисно да ги примените овие информации во пракса и да го најдете одговорот на прашањето „како да ги решите границите во повисоката математика“. Ако треба да ја пресметате границата на низа или лимитот на функцијата во точка, и нема апсолутно време за оваа работа, контактирајте со професионална студентска служба за брзо и детално решение. (x)во точката x 0
: Еве x 0
а a може да биде или конечни броеви или точки на бесконечност. Соседството може да биде или двострано или еднострано. Бројот a се нарекува граница на функцијата f (x)во точката x 0
: Поени x 0
а a може да биде или конечни броеви или точки на бесконечност. Соседството исто така може да биде или двострано или еднострано. Да ја напишеме оваа дефиниција користејќи ги логичките симболи на постоење и универзалност: Оваа дефиниција користи населби со еднакво оддалечени краеви. Може да се даде еквивалентна дефиниција користејќи произволни соседства на точки. Дефиниција користејќи произволни населби Користејќи ги логичките симболи на постоење и универзалност, оваа дефиниција може да се напише на следниов начин: Горенаведените дефиниции се универзални во смисла дека можат да се користат за секаков вид на соседство. Ако користиме како лево дупнато соседство на крајната точка, ја добиваме дефиницијата за левострана граница. Ако го користиме соседството на точка во бесконечност како соседство, ја добиваме дефиницијата на границата во бесконечност. За да се одреди границата на Хајне, ова се сведува на фактот дека дополнително ограничување се наметнува на произволна низа што се конвергира во: нејзините елементи мора да припаѓаат на соодветното пробиено соседство на точката. За да се одреди границата на Коши, во секој случај потребно е да се трансформираат изразите и во неравенки, користејќи соодветни дефиниции за соседството на точка. Често станува неопходно да се користи условот дека точката a не е граница на функцијата во . Дозволете ни да конструираме негации на горенаведените дефиниции. Во нив претпоставуваме дека функцијата f (x)е дефинирано на некое пробиено соседство на точката x 0
. Точките a и x 0
може да биде или конечни броеви или бесконечно далечни. Сè што е наведено подолу се однесува и на билатералните и на едностраните граници. Според Хајне. Според Коши. Се разбира, ако точката a не е граница на функцијата во , тоа не значи дека таа не може да има граница. Може да има граница, но не е еднаква на a. Исто така, можно е функцијата да е дефинирана во пробиено соседство на точката, но да нема ограничување во. Функција f(x) = грев (1/x)нема ограничување како x → 0. На пример, функцијата е дефинирана на , но нема ограничување. За да го докажеме тоа, да ја земеме низата. Се спојува до точка 0
: . Затоа што тогаш. Теорема Доказ Во доказот, претпоставуваме дека функцијата е дефинирана во некое пробиено соседство на точка (конечно или во бесконечност). Точката а може да биде и конечна или во бесконечност. Нека функцијата има граница a во точка според првата дефиниција (според Хајне). Односно, за која било низа што припаѓа на соседство на точка и има граница Да покажеме дека функцијата има граница на Коши во една точка. Односно, за секого има нешто што е за секого. Да го претпоставиме спротивното. Нека условите (1) и (2) се задоволени, но функцијата нема граница на Коши. Односно, постои нешто што постои за секого, па Да земеме , каде n е природен број. Потоа постои, и Првиот дел е докажан. Нека функцијата има граница a во точка според втората дефиниција (според Коши). Тоа е, за секој постои тоа Да покажеме дека функцијата има граница a во точка според Хајне. Дозволете ни да земеме произволна низа што припаѓа на пробиеното соседство и се приближува до . Според дефиницијата за конвергентна низа, за која било постои таква Теоремата е докажана. Референци: Одредување на границата на низата
Општа ознака за граница на низи
Несигурност и сигурност на границата
Што е маало?
Теореми
Доказ за секвенци
Или можеби тој не е таму?
Монотона низа
Граница на конвергентна и ограничена низа
Граница на монотона низа
Различни акции со ограничувања
Својства на низа величини
Концептот на граница во математиката
Неизвесности внатре
Несигурност на формата бесконечност/бесконечност
Друг тип на неизвесност: 0/0
Во рамките на владеењето на L'Hopital
,
Ако
1) има такво пробиено соседство на точката x 0
2) за која било низа (xn), конвергирање на x 0
:
, чии елементи припаѓаат на соседството,
последователна секвенца (f(xn))конвергира на:
.
.
Втора дефиниција на границата на функцијата (според Коши)
,
Ако
1) има такво пробиено соседство на точката x 0
, на која е дефинирана функцијата;
2) за кој било позитивен број ε > 0
има таков број δ ε > 0
, во зависност од ε, дека за сите x кои припаѓаат на пробиената δ ε - соседството на точката x 0
:
,
функционални вредности ѓ (x)припаѓаат на ε-соседството на точка а:
.
.
Бројот a се нарекува граница на функцијата f (x)во точката x 0
:
,
Ако
1) има такво пробиено соседство на точката x 0
, на која е дефинирана функцијата;
2) за секое маало У (а)од точката а постои такво пробиено соседство на точката x 0
дека за сите x кои припаѓаат на пробиеното соседство на точката x 0
:
,
функционални вредности ѓ (x)припаѓаат на населбата У (а)точки а:
.
.
Еднострани и двострани граници
Видете „Соседство на точка“.Утврдувањето на таа точка a не е граница на функцијата
Број а не еграница на функцијата f (x)во точката x 0
:
,
доколку постои таква низа (xn), конвергирање на x 0
:
,
чии елементи припаѓаат на соседството,
која е низата (f(xn))не конвергира на:
.
.
Број а не еграница на функцијата f (x)во точката x 0
:
,
ако има таков позитивен број ε > 0
, па за секој позитивен број δ > 0
, постои x што припаѓа на пробиеното δ-соседство на точката x 0
:
,
дека вредноста на функцијата f (x)не припаѓа на ε-соседството на точка а:
.
.
Да ја земеме низата. Исто така, конвергира до точка 0
: . Но, од тогаш.
Тогаш границата не може да биде еднаква на кој било број a. Навистина, за , постои низа со која . Затоа, кој било број што не е нула не е ограничување. Но, тоа исто така не е граница, бидејќи постои низа со која .Еквивалентност на дефинициите Хајне и Коши на границата
Дефинициите Хајне и Коши за границата на функцијата се еквивалентни.Доказ на Хајне ⇒ Коши
(1)
,
границата на низата е:
(2)
.
.
.
Така, конструиравме низа што конвергира кон , но границата на низата не е еднаква на a . Ова е во спротивност со условите на теоремата.Доказ на Коши ⇒ Хајне
(3)
за сите .
Да земеме произволен број. Според дефиницијата на Коши, бројот постои, така што важи (3).
во .
Потоа од (3) следува дека
во .
Бидејќи ова важи за секого, тогаш
.
Л.Д. Кудрјавцев. Курс за математичка анализа. Том 1. Москва, 2003 година.