Некои својства на правоаголните триаголници. Правоаголен триаголник

Страна аможе да се идентификува како во непосредна близина на аголот БИ спротивно на аголот А, и страната б- Како во непосредна близина на аголот АИ спротивно на аголот Б.

Видови правоаголни триаголници

Ако должините на сите три страни на правоаголен триаголник се цели броеви, тогаш триаголникот се вика Питагоровиот триаголник, а должините на неговите страни формираат т.н Питагорова тројка.

Својства

Висина

Висина на правоаголен триаголник.

Тригонометриски соодноси

Нека чИ с (ч>с) страни на два квадрати впишани во правоаголен триаголник со хипотенуза в. Потоа:

Периметарот на правоаголен триаголник е еднаков на збирот на радиусите на впишаните и трите опишани кругови.

Белешки

Врски

Вајстејн, Ерик В.Право триаголник (англиски) на веб-страницата Wolfram MathWorld.
Вентворт Г.А.Учебник за геометрија. - Гин и Ко., 1895 година.

Фондацијата Викимедија. 2010 година.

Погледнете што е „Правоаголник“ во другите речници:

правоаголен триаголник- - Теми нафтената и гасната индустрија EN правоаголен триаголник ... Водич за технички преведувач

И (прост) тригон, триаголник, човек. 1. Геометриска фигура ограничена со три меѓусебно пресечни линии што формираат три внатрешни агли (мат.). Тап триаголник. Акутен триаголник. Правоаголен триаголник.… … Објаснувачкиот речник на Ушаков

ПРАВОАГОЛНИ, правоаголни, правоаголни (геом.). Имајќи прав агол (или прави агли). Правоаголен триаголник. Правоаголни форми. Објаснувачкиот речник на Ушаков. Д.Н. Ушаков. 1935 1940… Објаснувачкиот речник на Ушаков

Овој термин има и други значења, видете Триаголник (значења). Триаголник (во Евклидов простор) е геометриска фигура формирана од три отсечки кои поврзуваат три точки кои не лежат на иста права линија. Три точки,... ... Википедија

тријаголник- ▲ многуаголник со три агли, триаголник, најпростиот многуаголник; се дефинира со 3 точки кои не лежат на иста линија. триаголен. остар агол. акутно-аголни. правоаголен триаголник: крак. хипотенуза. рамнокрак триаголник. ▼…… Идеографски речник на рускиот јазик

ТРИАГОЛНИК, ах, мажу. 1. Геометриска фигура, многуаголник со три агли, како и кој било предмет или уред од оваа форма. Правоаголна т.Дрвена т.(за цртање). Војник Т. (војничко писмо без плик, свиткано во агол; склопливо). 2... Објаснувачки речник на Ожегов

Триаголник (полигон)- Триаголници: 1 остар, правоаголен и тап; 2 правилни (рамностран) и рамнокрак; 3 симетрали; 4 медијани и центар на гравитација; 5 висини; 6 ортоцентар; 7 средна линија. ТРИАГОЛНИК, многуаголник со 3 страни. Понекогаш под... ... Илустриран енциклопедиски речник

енциклопедиски речник

тријаголник- А; m. 1) а) Геометриска фигура ограничена со три линии кои се пресекуваат што формираат три внатрешни агли. Правоаголен, рамнокрак триаголник. Пресметајте ја плоштината на триаголникот. б) отт. што или со деф. Фигура или предмет од оваа форма... ... Речник на многу изрази

А; м 1. Геометриска фигура ограничена со три линии кои се пресекуваат што формираат три внатрешни агли. Правоаголна, рамнокрака t. Пресметајте ја плоштината на триаголникот. // што или со деф. Фигура или предмет од оваа форма. Т. покриви. Т.…… енциклопедиски речник

Инструкции

Аглите спротивни на катетите a и b ќе бидат означени со A и B, соодветно. Хипотенузата, по дефиниција, е страна на правоаголен триаголник што е спротивна на правиот агол (додека хипотенузата формира остри агли со другите страни на триаголникот). Должината на хипотенузата ја означуваме со c.

Ќе ви требаат:
Калкулатор.

Користете го следниов израз за ногата: a=sqrt(c^2-b^2), ако ги знаете вредностите на хипотенузата и на другата нога. Овој израз е изведен од Питагоровата теорема, која вели дека квадратот на хипотенузата на триаголникот е збир од квадратите на катетите. Операторот sqrt извлекува квадратни корени. Знакот „^2“ значи подигање до втората сила.

Користете ја формулата a=c*sinA ако ја знаете хипотенузата (c) и аголот спротивен на саканиот (го означивме овој агол како A).
Користете го изразот a=c*cosB за да пронајдете крак ако ја знаете хипотенузата (c) и аголот во непосредна близина на саканата катета (го означивме овој агол како B).
Пресметај го кракот од a=b*tgA во случај кога се дадени кракот b и аголот спротивен на саканиот крак (се договоривме овој агол да го означиме како A).

Забелешка:
Ако во вашиот проблем ногата не се најде на ниту еден од опишаните начини, најверојатно може да се сведе на еден од нив.

Корисни совети:
Сите овие изрази се добиени од добро познати дефиниции на тригонометриски функции, затоа, дури и ако заборавите една од нив, секогаш можете брзо да ја изведете користејќи едноставни операции. Исто така, корисно е да се знаат вредностите на тригонометриските функции за најчестите агли од 30, 45, 60, 90, 180 степени.

Видео на темата

Извори:

„Прирачник за математика за оние кои влегуваат на универзитети“, ед. Г.Н. Јаковлева, 1982 година
крак на правоаголен триаголник

Квадратен триаголник попрецизно се нарекува правоаголен триаголник. Односите меѓу страните и аглите на оваа геометриска фигура се детално разгледани во математичката дисциплина тригонометрија.

Ќе ви треба

- хартија;
- пенкало;
- Брадис маси;
- калкулатор.

Инструкции

Најдете тријаголниккористејќи ја Питагоровата теорема. Според оваа теорема, квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на катетите: c2 = a2+b2, каде што c е хипотенузата тријаголник, а и б се неговите нозе. За да го примените ова, треба да ја знаете должината на кои било две страни на правоаголникот тријаголник.

Ако условите ги специфицираат димензиите на нозете, пронајдете ја должината на хипотенузата. За да го направите ова, користете за да го извлечете квадратниот корен од збирот на нозете, од кои секоја прво мора да се квадрира.

Пресметајте ја должината на едната катета ако се познати димензиите на хипотенузата и другата катега. Со помош на калкулатор, извлечете го квадратниот корен од разликата помеѓу хипотенузата и познатата катета, исто така на квадрат.

Ако проблемот ја специфицира хипотенузата и еден од акутните агли во непосредна близина на неа, користете ги табелите Брадис. Тие ги обезбедуваат вредностите на тригонометриските функции за голем број агли. Користете калкулатор со синусни и косинусни функции, како и теореми за тригонометрија кои ги опишуваат односите помеѓу страните и правоаголните тријаголник.

Најдете ги катетите користејќи основни тригонометриски функции: a = c*sin α, b = c*cos α, каде што a е кракот спротивниот на аголот α, b е кракот во непосредна близина на аголот α. Пресметајте ја големината на страните на ист начин тријаголник, ако се дадени хипотенузата и друг остар агол: b = c*sin β, a = c*cos β, каде што b е кракот спротивен на аголот β, и е кракот во непосредна близина на аголот β.

Во случај на a и соседниот остар агол β, не заборавајте дека во правоаголен триаголник збирот на острите агли е секогаш еднаков на 90°: α + β = 90°. Најдете ја вредноста на аголот спротивен на кракот a: α = 90° – β. Или користете формули за тригонометриско намалување: sin α = sin (90° – β) = cos β; tan α = тен (90° – β) = ctg β = 1/tg β.

Видео на темата

Извори:

Како да се најдат страните на правоаголен триаголник по крак и остар агол во 2019 година

Совет 3: Како да пронајдете остар агол во правоаголен триаголник

Директно јаглеродниоттриаголникот е веројатно една од најпознатите, од историска гледна точка, геометриски фигури. Питагорејските „панталони“ можат да се натпреваруваат само со „Еурека!“ Архимед.

Ќе ви треба

- цртање на триаголник;
- владетел;
- транспортир

Инструкции

Збирот на аглите на триаголникот е 180 степени. Во правоаголна тријаголникеден агол (прав) секогаш ќе биде 90 степени, а останатите се акутни, т.е. помалку од 90 степени секој. Да се одреди кој агол е во правоаголник тријаголнике исправен, користете линијар за да ги измерите страните на триаголникот и да ја одредите најголемата. Тоа е хипотенузата (AB) и се наоѓа спроти прав агол (C). Останатите две страни формираат прав агол и краци (AC, BC).

Откако ќе одредите кој агол е остар, можете или да користите транспортер за да го пресметате аголот користејќи математички формули.

За да го одредите аголот со помош на транспортерот, порамнете го неговиот врв (да го означиме со буквата А) со посебна ознака на линијарот во центарот на транспортерот; ногата AC треба да се совпаѓа со нејзиниот горен раб. На полукружниот дел од транспортерот означете ја точката низ која хипотенузата AB. Вредноста во овој момент одговара на аголот во степени. Ако има 2 вредности означени на транспортерот, тогаш за остар агол треба да го изберете помалиот, за тап агол - поголемиот.

Најдете ја добиената вредност во референтните книги на Брадис и одреди на кој агол одговара добиената нумеричка вредност. Нашите баби го користеа овој метод.

Кај нас доволно е да се земе со функцијата на пресметување на тригонометриски формули. На пример, вградениот калкулатор на Windows. Стартувајте ја апликацијата „Калкулатор“, во ставката од менито „Преглед“, изберете „Инженерство“. Пресметајте го синусот на саканиот агол, на пример, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Префрлете го калкулаторот во режим на инверзна функција со кликнување на копчето INV на екранот на калкулаторот, а потоа кликнете на копчето за функција на лак (на екранот означено како грев минус првата моќност). Во прозорецот за пресметка ќе се појави следнава порака: asind (0.5) = 30. т.е. вредноста на саканиот агол е 30 степени.

Просечно ниво

Правоаголен триаголник. Целосниот илустриран водич (2019)

ПРАВОАГОЛЕН ТРИАГОЛНИК. ПРВО НИВО.

Во проблемите, вистинскиот агол воопшто не е неопходен - долниот лев, така што треба да научите да препознавате правоаголен триаголник во оваа форма,

и во ова

и во ова

Што е добро за правоаголен триаголник? Па..., прво, има посебни убави имиња за неговите страни.

Внимание на цртежот!

Запомнете и не мешајте: има две нозе, а има само една хипотенуза(еден и единствен, единствен и најдолг)!

Па, разговаравме за имињата, сега најважното нешто: Питагоровата теорема.

Питагорова теорема.

Оваа теорема е клучот за решавање на многу проблеми кои вклучуваат правоаголен триаголник. Тоа беше докажано од Питагора во сосема памтивек, и оттогаш им донесе многу корист на оние што го познаваат. А најдоброто нешто во врска со тоа е што е едноставно.

Значи, Питагорова теорема:

Се сеќавате ли на шегата: „Питагорејските панталони се еднакви од сите страни!“?

Ајде да ги нацртаме истите овие Питагорови панталони и да ги погледнеме.

Не личи на некакви шорцеви? Па, на кои страни и каде се еднакви? Зошто и од каде дојде шегата? И оваа шега е поврзана токму со Питагоровата теорема, или поточно со начинот на кој самиот Питагора ја формулирал својата теорема. И тој го формулираше вака:

„Збир области на квадрати, изградена на нозете, е еднаква на квадратна површина, изградена на хипотенузата“.

Дали навистина звучи малку поинаку? И така, кога Питагора ја нацрта изјавата на својата теорема, токму оваа слика излезе на виделина.

На оваа слика, збирот на површините на малите квадрати е еднаков на плоштината на големиот квадрат. И за да можат децата подобро да запомнат дека збирот на квадратите на нозете е еднаков на квадратот на хипотенузата, некој духовит ја смисли оваа шега за панталоните на Питагора.

Зошто сега ја формулираме Питагоровата теорема?

Дали Питагора страдал и зборувал за квадрати?

Видете, во античко време немало... алгебра! Немаше знаци и така натаму. Немаше натписи. Можете ли да замислите колку беше страшно за кутрите антички студенти да паметат сè со зборови??! И можеме да се радуваме што имаме едноставна формулација на Питагоровата теорема. Да го повториме уште еднаш за подобро да го запомниме:

Сега треба да биде лесно:

Квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на катетите.

Па, дискутирана е најважната теорема за правоаголните триаголници. Ако ве интересира како се докажува, прочитајте ги следните нивоа на теорија, а сега да одиме понатаму... во темната шума... тригонометрија! На страшните зборови синус, косинус, тангента и котангента.

Синус, косинус, тангента, котангента во правоаголен триаголник.

Всушност, сè воопшто не е толку страшно. Се разбира, „вистинската“ дефиниција за синус, косинус, тангента и котангента треба да се погледне во статијата. Но, јас навистина не сакам, нели? Можеме да се радуваме: за да ги решите проблемите за правоаголен триаголник, можете едноставно да ги пополните следниве едноставни работи:

Зошто сè е само за аголот? Каде е аголот? За да го разберете ова, треба да знаете како изјавите 1 - 4 се напишани со зборови. Погледнете, разберете и запомнете!

1.
Всушност звучи вака:

Што е со аголот? Дали има крак што е спроти аголот, односно спротивен (за агол) крак? Секако дека има! Ова е нога!

Што е со аголот? Погледнете внимателно. Која нога е во непосредна близина на аголот? Се разбира, ногата. Ова значи дека за аголот ногата е соседна, и

Сега, обрнете внимание! Погледнете што добивме:

Погледнете колку е кул:

Сега да преминеме на тангента и котангента.

Како можам да го запишам ова со зборови сега? Што е ногата во однос на аголот? Спротивно, се разбира - „лежи“ спроти аголот. Што е со ногата? Во непосредна близина на аголот. Па што имаме?

Погледнете како броителот и именителот ги заменија местата?

И сега повторно аглите и направивме размена:

Резиме

Ајде накратко да запишеме се што научивме.

Питагорова теорема:

Главната теорема за правоаголните триаголници е Питагоровата теорема.

Питагорова теорема

Патем, дали добро се сеќавате што се тоа нозе и хипотенуза? Ако не е многу добро, тогаш погледнете ја сликата - освежете го вашето знаење

Сосема е можно веќе многу пати да сте ја користеле Питагоровата теорема, но дали некогаш сте се запрашале зошто таквата теорема е вистинита? Како можам да го докажам тоа? Ајде да правиме како старите Грци. Ајде да нацртаме квадрат со страна.

Погледнете како паметно ги поделивме неговите страни на должини и!

Сега да ги поврземе означените точки

Овде, сепак, забележавме нешто друго, но вие самите погледнете го цртежот и размислете зошто е тоа така.

Колкава е површината на поголемиот квадрат? Во право,. Што е со помала површина? Секако,. Останува вкупната површина на четирите агли. Замислете дека ги земавме по две и ги потпревме еден на друг со нивните хипотенуси. Што се случи? Два правоаголници. Ова значи дека површината на „пресеците“ е еднаква.

Ајде да го собереме сето тоа сега.

Ајде да се трансформираме:

Така, го посетивме Питагора - ја докажавме неговата теорема на антички начин.

Правоаголен триаголник и тригонометрија

За правоаголен триаголник важат следните односи:

Синус на остар агол е еднаков на односот на спротивната страна со хипотенузата

Косинусот на остар агол е еднаков на односот на соседната нога и хипотенузата.

Тангентата на остар агол е еднаква на односот на спротивната страна со соседната страна.

Котангенсот на остар агол е еднаков на односот на соседната страна со спротивната страна.

И уште еднаш сето ова во форма на таблета:

Многу е удобно!

Знаци на еднаквост на правоаголните триаголници

I. Од две страни

II. Со нога и хипотенуза

III. Со хипотенуза и акутен агол

IV. По должината на ногата и акутен агол

а)

б)

Внимание! Овде е многу важно нозете да бидат „соодветни“. На пример, ако оди вака:

ТОГАШ ТРИАГОЛНИЦИТЕ НЕ СЕ ЕДНАКВИ, и покрај фактот што имаат еден идентичен остар агол.

Мора да во двата триаголници кракот беше соседен, или во двата беше спротивен.

Дали забележавте како знаците за еднаквост на правоаголните триаголници се разликуваат од вообичаените знаци за еднаквост на триаголниците? Погледнете ја темата „и обрнете внимание на фактот дека за еднаквост на „обичните“ триаголници, три од нивните елементи мора да бидат еднакви: две страни и аголот меѓу нив, два агли и страната меѓу нив или три страни. Но, за еднаквост на правоаголните триаголници, доволни се само два соодветни елементи. Одлично, нели?

Приближно иста е ситуацијата со знаците на сличност на правоаголните триаголници.

Знаци на сличност на правоаголните триаголници

I. По остар агол

II. На две страни

III. Со нога и хипотенуза

Медијана во правоаголен триаголник

Зошто е ова така?

Наместо правоаголен триаголник, разгледајте цел правоаголник.

Ајде да нацртаме дијагонала и да разгледаме точка - точката на пресек на дијагоналите. Што знаете за дијагоналите на правоаголникот?

И што следи од ова?

Така испадна дека

- средна:

Запомнете го овој факт! Помага многу!

Она што е уште поизненадувачко е што е и спротивното.

Каква корист може да се добие од фактот дека медијаната извлечена до хипотенузата е еднаква на половина од хипотенузата? Ајде да ја погледнеме сликата

Погледнете внимателно. Имаме: , односно, растојанијата од точката до сите три темиња на триаголникот се покажаа еднакви. Но, има само една точка во триаголникот, од кои растојанијата од сите три темиња на триаголникот се еднакви, а тоа е ЦЕНТАРОТ НА КРУГОТ. Што се случи?

Значи, да почнеме со ова „покрај...“.

Ајде да погледнеме и.

Но, сличните триаголници ги имаат сите еднакви агли!

Истото може да се каже и за и

Сега ајде да го нацртаме заедно:

Каква корист може да се извлече од оваа „тројна“ сличност?

Па, на пример - две формули за висина на правоаголен триаголник.

Да ги запишеме односите на соодветните страни:

За да ја пронајдеме висината, ја решаваме пропорцијата и добиваме првата формула „Висина во правоаголен триаголник“:

Значи, да ја примениме сличноста: .

Што ќе се случи сега?

Повторно ја решаваме пропорцијата и ја добиваме втората формула:

Треба многу добро да ги запомните двете формули и да ја користите онаа што е поудобна. Ајде повторно да ги запишеме

Питагорова теорема:

Во правоаголен триаголник квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на катетите: .

Знаци на еднаквост на правоаголните триаголници:

од две страни:
со нога и хипотенуза: или
по должината на ногата и соседниот акутен агол: или
по должината на ногата и спротивниот остар агол: или
по хипотенуза и остар агол: или.

Знаци на сличност на правоаголните триаголници:

еден акутен агол: или
од пропорционалноста на две нозе:
од пропорционалноста на ногата и хипотенузата: или.

Синус, косинус, тангента, котангента во правоаголен триаголник

Синус на остар агол на правоаголен триаголник е односот на спротивната страна со хипотенузата:
Косинусот на остар агол на правоаголен триаголник е односот на соседната катета со хипотенузата:
Тангентата на остар агол на правоаголен триаголник е односот на спротивната страна со соседната страна:
Котангенсот на остар агол на правоаголен триаголник е односот на соседната страна со спротивната страна: .

Висина на правоаголен триаголник: или.

Во правоаголен триаголник, медијаната извлечена од темето на правиот агол е еднаква на половина од хипотенузата: .

Плоштина на правоаголен триаголник:

преку нозете:

Просечно ниво

Правоаголен триаголник. Целосниот илустриран водич (2019)

ПРАВОАГОЛЕН ТРИАГОЛНИК. ПРВО НИВО.

и во ова

и во ова

Што е добро за правоаголен триаголник? Па..., прво, има посебни убави имиња за неговите страни.

Внимание на цртежот!

Запомнете и не мешајте: има две нозе, а има само една хипотенуза(еден и единствен, единствен и најдолг)!

Па, разговаравме за имињата, сега најважното нешто: Питагоровата теорема.

Питагорова теорема.

Значи, Питагорова теорема:

Се сеќавате ли на шегата: „Питагорејските панталони се еднакви од сите страни!“?

Зошто сега ја формулираме Питагоровата теорема?

Дали Питагора страдал и зборувал за квадрати?

Сега треба да биде лесно:

Квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на катетите.

Синус, косинус, тангента, котангента во правоаголен триаголник.

1.
Всушност звучи вака:

Сега, обрнете внимание! Погледнете што добивме:

Погледнете колку е кул:

Сега да преминеме на тангента и котангента.

Погледнете како броителот и именителот ги заменија местата?

И сега повторно аглите и направивме размена:

Резиме

Ајде накратко да запишеме се што научивме.

Питагорова теорема:

Главната теорема за правоаголните триаголници е Питагоровата теорема.

Питагорова теорема

Погледнете како паметно ги поделивме неговите страни на должини и!

Сега да ги поврземе означените точки

Овде, сепак, забележавме нешто друго, но вие самите погледнете го цртежот и размислете зошто е тоа така.

Ајде да го собереме сето тоа сега.

Ајде да се трансформираме:

Така, го посетивме Питагора - ја докажавме неговата теорема на антички начин.

Правоаголен триаголник и тригонометрија

За правоаголен триаголник важат следните односи:

Синус на остар агол е еднаков на односот на спротивната страна со хипотенузата

Косинусот на остар агол е еднаков на односот на соседната нога и хипотенузата.

Тангентата на остар агол е еднаква на односот на спротивната страна со соседната страна.

Котангенсот на остар агол е еднаков на односот на соседната страна со спротивната страна.

И уште еднаш сето ова во форма на таблета:

Многу е удобно!

Знаци на еднаквост на правоаголните триаголници

I. Од две страни

II. Со нога и хипотенуза

III. Со хипотенуза и акутен агол

IV. По должината на ногата и акутен агол

а)

б)

Внимание! Овде е многу важно нозете да бидат „соодветни“. На пример, ако оди вака:

ТОГАШ ТРИАГОЛНИЦИТЕ НЕ СЕ ЕДНАКВИ, и покрај фактот што имаат еден идентичен остар агол.

Мора да во двата триаголници кракот беше соседен, или во двата беше спротивен.

Приближно иста е ситуацијата со знаците на сличност на правоаголните триаголници.

Знаци на сличност на правоаголните триаголници

I. По остар агол

II. На две страни

III. Со нога и хипотенуза

Медијана во правоаголен триаголник

Зошто е ова така?

Наместо правоаголен триаголник, разгледајте цел правоаголник.

И што следи од ова?

Така испадна дека

- средна:

Запомнете го овој факт! Помага многу!

Она што е уште поизненадувачко е што е и спротивното.

Значи, да почнеме со ова „покрај...“.

Ајде да погледнеме и.

Но, сличните триаголници ги имаат сите еднакви агли!

Истото може да се каже и за и

Сега ајде да го нацртаме заедно:

Каква корист може да се извлече од оваа „тројна“ сличност?

Па, на пример - две формули за висина на правоаголен триаголник.

Да ги запишеме односите на соодветните страни:

Значи, да ја примениме сличноста: .

Што ќе се случи сега?

Повторно ја решаваме пропорцијата и ја добиваме втората формула:

Питагорова теорема:

Во правоаголен триаголник квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на катетите: .

Знаци на еднаквост на правоаголните триаголници:

од две страни:
со нога и хипотенуза: или
по должината на ногата и соседниот акутен агол: или
по должината на ногата и спротивниот остар агол: или
по хипотенуза и остар агол: или.

Знаци на сличност на правоаголните триаголници:

еден акутен агол: или
од пропорционалноста на две нозе:
од пропорционалноста на ногата и хипотенузата: или.

Синус, косинус, тангента, котангента во правоаголен триаголник

Синус на остар агол на правоаголен триаголник е односот на спротивната страна со хипотенузата:
Косинусот на остар агол на правоаголен триаголник е односот на соседната катета со хипотенузата:
Тангентата на остар агол на правоаголен триаголник е односот на спротивната страна со соседната страна:
Котангенсот на остар агол на правоаголен триаголник е односот на соседната страна со спротивната страна: .

Висина на правоаголен триаголник: или.

Плоштина на правоаголен триаголник:

преку нозете:

Својства на правоаголен триаголник

Почитувани седмоодделенци, веќе знаете кои геометриски фигури се нарекуваат триаголници, знаете како да докажете знаци за нивната еднаквост. Знаете и за посебни случаи на триаголници: рамнокрак и прави агли. Добро ви се познати својствата на рамнокракните триаголници.

Но правоаголните триаголници имаат и многу својства. Една очигледна е поврзана со теоремата за збир на внатрешниот агол на триаголникот: во правоаголен триаголник, збирот на акутните агли е 90°. Најневеројатното својство на правоаголен триаголник ќе го научите во 8-мо одделение, кога ќе ја проучувате познатата Питагорова теорема.

Сега ќе зборуваме за уште две важни својства. Едната е за правоаголни триаголници од 30°, а другата е за случајни правоаголни триаголници. Дозволете ни да ги формулираме и докажеме овие својства.

Добро знаете дека во геометријата е вообичаено да се формулираат искази кои се обратни на докажаните, кога условот и заклучокот во исказот се менуваат. Конверзните изјави не се секогаш вистинити. Во нашиот случај, двете обратни изјави се вистинити.

Имотот 1.1 Во правоаголен триаголник, кракот спроти аголот од 30° е еднаков на половина од хипотенузата.

Доказ: Размислете за правоаголниот ∆ ABC, во кој ÐA=90°, ÐB=30°, потоа ÐC=60°..gif" width="167" height="41">, значи, што требаше да се докаже.

Својство 1.2 (обратно на својството 1.1) Ако во правоаголен триаголник кракот е еднаков на половина од хипотенузата, тогаш аголот спроти него е 30°.

Имотот 2.1 Во правоаголен триаголник, медијаната што е нацртана до хипотенузата е еднаква на половина од хипотенузата.

Да разгледаме правоаголна ∆ ABC, во која РВ=90°.

BD-медијана, односно AD=DC. Да го докажеме тоа.

За да го докажеме ова, ќе направиме дополнителна конструкција: ќе продолжиме со BD надвор од точката D така што BD=DN и ќе го поврземе N со A и C..gif" width="616" height="372 src=">

Дадени: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7cm

1. ÐEBC=30o, бидејќи во правоаголна ∆BCE збирот на остри агли е 90o

2. BE=14cm (својство 1)

3. ÐABE=30o, бидејќи ÐA+ÐABE=ÐBEC (својство на надворешниот агол на триаголник) затоа ∆AEB е рамнокрак AE=EB=14cm.

3. (сопственост 1).

BC=2AN=20 cm (својство 2).

Задача 3. Докажете дека висината и средината на правоаголен триаголник земен до хипотенузата формираат агол еднаков на разликата помеѓу акутните агли на триаголникот.

Дадени се: ∆ ABC, ÐBAC=90°, AM-средна, AH-висина.

Докажи: RMAN=RS-RV.

Доказ:

1)РМАС=РС (по својство 2 ∆ AMC-рамнокрак, AM=SM)

2) ÐMAN = ÐMAS-ÐNAS = ÐS-ÐNAS.

Останува да се докаже дека РНАС=РВ. Ова произлегува од фактот дека ÐB+ÐC=90° (во ∆ ABC) и ÐNAS+ÐC=90° (од ∆ ANS).

Значи, RMAN = RС-РВ, што требаше да се докаже.

https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width="194" height="184">Дадено: ∆ABC, ÐBAC=90°, AN-висина, .

Најдете: РВ, РС.

Решение: Да ја земеме средната вредност AM. Нека AN=x, потоа BC=4x и

VM=MS=AM=2x.

Во правоаголна ∆AMN, хипотенузата AM е 2 пати поголема од кракот AN, затоа ÐAMN=30°. Бидејќи VM=AM,

РВ=РВAM100%">

Доц: Нека влезе ∆ABC ÐA=900 и AC=1/2BC

Да го прошириме AC надвор од точката А така што AD=AC. Потоа ∆ABC=∆ABD (на 2 крака). BD=BC=2AC=CD, со тоа ∆DBC-рамностран, ÐC=60o и ÐABC=30o.

Проблем 5

Во рамнокрак триаголник, еден од аглите е 120 °, основата е 10 cm. Најдете ја висината нацртана на страната.

Решение: за почеток, забележуваме дека аголот од 120° може да биде само на темето на триаголникот и дека висината повлечена на страната ќе падне на неговото продолжение.

https://pandia.ru/text/80/358/images/image019_27.gif" height="26">Скала беше потпрена на вертикален ѕид. Во средината на скалата седеше маче. Одеднаш почна скалата да се лизне по ѕидот.Која траекторија ќе ја опише?писе?

АБ - скалила, К - маче.

Во која било положба на скалата, додека конечно не падне на земја, ∆ABC е правоаголна. MC - средна ∆ABC.

Според својството 2 SK = 1/2AB. Односно, во секој момент должината на отсечката SK е константна.

Одговор: точката К ќе се движи по кружен лак со центар C и радиус SC=1/2AB.

Проблеми за самостојно решавање.

Еден од аглите на правоаголен триаголник е 60°, а разликата помеѓу хипотенузата и пократката катета е 4 cm. најдете ја должината на хипотенузата. Во правоаголна ∆ ABC со хипотенуза BC и агол B еднаков на 60°, се црта висината AD. Најдете DC ако DB=2cm. B ∆ABC ÐC=90o, CD - висина, BC=2ВD. Докажете дека АД=3ВД. Висината на правоаголен триаголник ја дели хипотенузата на делови од 3 cm и 9 cm. Најдете ги аглите на триаголникот и растојанието од средината на хипотенузата до подолгиот крак. Симетралата го дели триаголникот на два рамнокраки триаголници. Најдете ги аглите на првобитниот триаголник. Средината го дели триаголникот на два рамнокрак триаголници. Дали е можно да се најдат агли

Оригиналниот триаголник?